静力学第五章PPT课件

理论力学 运 动 学
运动学：研究物体运动几何性质（轨迹、运动方程、速度、 加速度等）的科学。或从几何（数学）的角度研究运动本 身，而不涉及运动产生的原因。
几个基本概念： 1、参考体、参考系或坐标系； 2、点、动点、质点。 3、运动方程、轨迹、速度、加速度；
动点在空间运动，我们用什么方法或者数学工具来描述呢？ 主要研究三种方法。
§5-2 直角坐标法 用直角坐标来描述点的运动
1、运动方程
x x(t)y y(t)z z(t)
直角坐标与位置矢量之间的关系
r (t) x t i y(t) j z(t)k
2、速度
v
dr dt
dx i dt
dy dt
j
dz dt
k
vxi
vy
j
vzk
vx
dx dt
vy
dy dt
vz
dz dt
例5-1 凸轮顶杆机构如图，OC =e ,偏心轮可绕定轴O 转动，
为t, 常数，求顶杆上A点的运动方程、速度、加速度。
解：1、运动方程
yA AB R e sin t
2、速度
vA
dyA dt
e cost
3、加速度
aA
dvA dt
d 2 yA dt 2
e2 sin t
4、轨迹：直线
理论力学 第五章 点的运动学
理论力学 第五章 点的运动学
3、加速度 a lim v dv d2r t0 t dt dt 2
大小为矢量的模
单位 m/s2
加速度的方向？
沿（速度）失端曲线的切线， 指向轨迹凹的一向。
M1
v1
—
r1
M2 v2
r2
Or +
位置矢端曲线
O1
v
v1 M1
v2 M2
速度矢端 曲线
M a1
v
理论力学 第五章 点的运动学
ax
dvx dt
d2 x dt 2
加速度的大小为
ay
dvy dt
d2 y dt 2
az
dvz dt
d2z dt 2
a
ax2
a
2 y
az2
x2 y2 z2
其方向余弦为 cos(a, i) x , cos(a, j) y , cos(a, k) z
a
a
a
4、轨迹：
理论力学 第五章 点的运动学
ds
为曲率半径
t tsin dt limt
2
d s0
dt
ds
的方向：就是 t
的极限方向：
趋于
n
dt dt ds dt n 则 a dv t v2 n
理论力学 第五章 点的运动学
速度的大小为 v vx2 vy2 vz2 x2 y2 z2
其方向余弦为 cos(v, i) x , cos(v, j) y , cos(v, k) z
v
v
v
3、加速度
a dv dt
dvx i dvy dt dt
j dvz k dt
axi
ay j azk
b t n
当点的运动轨迹已知时，用动点处轨迹的切向和法向来表示 动点的速度、加速度的大小与方向有时很简单。例如：卫星 的轨迹是圆或椭圆，定轴转动的刚体上任一点的轨迹是圆， 机械工程中某些点只能沿确定线路运动等等。
理论力学
3、速度：
第五章 点的运动学
v lim r dr
t 0 t dt
v dr dr ds ds t vt
例5-3 如图所示，一直杆以匀角速度ω0 绕其固定端O 转动， 沿此杆有一滑块以匀速v 0 滑动。设运动开始时，杆在
水平位置，滑块在点O。求滑块的运动方程、速度、加速度。
0t
解：1、运动方程
xM OM cos v0t cos t
yM OM sin v0t sin t
2、速度、加速度：求导、 再求导
3、轨迹？
理论力学 第五章 点的运动学
§5-3 自然（坐标）法
自然法：当点的运动轨迹已知时，利用点的运动轨迹建立弧 坐标和自然轴系，来描述和分析点的运动的方法。
1、弧坐标
设动点M 的轨迹为如 图所示的曲线，则动点M在
轨迹上的位置可以这样确定： 在轨迹上任选一点O 为参考点，并设点O的某一侧为正向，动 点M在轨迹上的位置由弧长s 确定，视弧长s为代数量，称它为 动点M 在轨迹上的弧坐标。当动点M 运动时，s 随着时间变化， 它是时间的单值连续函数，即
dt ds dt dt
v ds为速度的大小,方向与t同。
dt
理论力学 第五章 点的运动学
4、加速度 a dv d(vt dv t v dt
dt dt dt dt
分析： dt 的大小
ds
dt dt d d ds d ds ds
dt dt ds dt
dt ds dt ds t
d 1 为曲线在M点的曲率
称主法线。令主法线的单位矢量为n，指向曲线内凹一侧。过点
M且垂直于切线及主法线的直线称副法线，其单位矢量为b，指
向与t 、 n构成右手系。
理论力学 第五章 点的运动学
自然坐标系是一个运动的坐标系：
理论力学 第五章 点的运动学
当点的运动轨迹为一平面曲线时，自然轴系确定相对简单：
—
M t
n 轨迹 +
b
t
切线
理论力学
在点的运动轨迹
曲线上取极为接近
的两点M和M1，这 两点切线的单位矢
量分别为t和t1。将 t1平移到点M，则t 和t1’决定一平面。
令M无限趋近点M1， 则此平面趋近于某
一极限位置，此极
M1
t t1 t'1
限平面称为曲线在
点M的密切面.
过点M并与切线垂直的平面称为法平面，法平面与密切面的交线
s f (t)
理论力学 第五章 点的运动学
2、自然坐标系
以点M 为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的 正交坐标系称为曲线在点M 的自然坐标系，这三个轴称为自然
轴系。且三个单位矢量满足右手法则，即
切向单位矢量 t 主法Байду номын сангаас单位矢量 n
副法线单位矢量 b t n
副法线
主法线
法面 密切面
n
M
1、矢量法: 2、直角坐标法： 3、自然坐标法。 数学的极坐标，柱坐标等等都可以用来描述点的运动。
理论力学 第五章 点的运动学
§5-1 矢量法：
用矢量 来r 描述点的空间位置，当时间t变化时， 也r随时间变
化，点的位置（矢量r的终端点，即失端）亦随时间变化。
• 点在空间运动 1、运动方程 r r t z
O
x
r
M
y
矢量 r t 称为动点的位置矢或矢经。
理论力学 第五章 点的运动学
2、速度
r
dr v
dt
M
O
单位 m/s
Mv
r(t)
Δr M' 矢端曲线
r(t+Δt)
O
v lim r dr
t 0 t dt
速度等于矢经对时间的导数。
速度的大小为这个矢量的模，
速度的方向？ 沿矢端曲线的切线，指向运动一向。 其实就是沿轨迹的切线，指向运动一向。