蒲丰投针问题

蒙特卡罗方法概述
§ 8.2 引例：蒲丰投针问题
在用传统方法难以解决的问题中，有很大一部分可以用概率模型进行描述．由于这类模型含有不确定的随机因素，分析起来通常比确定性的模型困难．有的模型难以作定量分析，得不到解析的结果，或者是虽有解析结果，但计算代价太大以至不能使用．在这种情况下，可以考虑采用Monte Carlo 方法。

下面通过例子简单介绍Monte Carlo 方法的基本思想．
Monte Carlo 方法是计算机模拟的基础，它的名字来源于世界著名的赌城——摩纳哥的蒙特卡洛，其历史起源于1777年法国科学家蒲丰提出的一种计算圆周π的方法——随机投针法，即著名的蒲丰投针问题。

这一方法的步骤是：
1) 1) 取一张白纸，在上面画上许多条间距为d 的平行线，见图8.1(1)
2) 2) 取一根长度为)(d l l <的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n 次，观察针与直线相交的次数，记为m
3）计算针与直线相交的概率．
由分析知针与平行线相交的充要条件是
ϕsin 21≤
x 其中
πϕ≤≤≤≤0,2
0d x 建立直角坐标系),(x ϕ,上述条件在坐标系下将是曲线所围成的曲边梯形区域，见图
8．l （2）．
由几何概率知
(*)22
sin 210d l d d G g p ππϕϕπ===⎰的面积的面积 4）经统计实验估计出概率,n m P ≈由(*)式即?2=⇒=ππd
l n m Monte Carlo 方法的基本思想是首先建立一个概率模型，使所求问题的解正好是该模型的参数或其他有关的特征量．然后通过模拟一统计试验，即多次随机抽样试验（确定m 和n ），统计出某事件发生的百分比．只要试验次数很大，该百分比便近似于事件发生的概率．这实际上就是概率的统计定义．利用建立的概率模型，求出要估计的参数．蒙特卡洛方法属于试验数学的一个分支．
************************************************************************* 提示：设x 是一个随机变量，它服从区间[０，d/2]是的均匀分布，同理，ϕ是一个随机变量，它服从区间],0[π上的均匀分布。

按照某种抽样法，产生随机变量的可能取值，例如
进行n 次抽样，得到样本值n i x i i ,,2,1),,( =ϕ，统计出满足不等式
i i d x ϕsin 2
≤
的次数m(m<n),从而可以计算出p 的估计值n m p /ˆ=． **************************************************************************** 使用MATLAB 语言编程实现(4.m)
l=1
d=2；
m=0；
for k ＝l ：n
x ＝unifmd （0，d ／2）；
p ＝unifmd （0，pi ）；
if )sin(15.0y x ⨯⨯<
m=m ＋1
elsc
end
end
p=m/n
pi_m=1/p
运行，取n=1000,simu4回车，即得结果
*************************************************************************** 想：1）在上述的程序中任意调整n 的取值，会发现什么规律？
2）参数 l ，d 的不同选择，会导致什么结果？
*************************************************************************** 蒙特卡洛方法适用范围很广泛，它既能求解确定性的问题，也能求解随机性的问题以及科学研究中的理论问题．例如利用蒙特卡洛方法可以近似地计算定积分，即产生数值积分问题．
任意曲边梯形面积的近似计算
一个古老的问题：用一堆石头测量一个水塘的面积．应该怎样做呢？测量方法如下：假定水塘位于一块面积已知的矩形农田之中．如图8．2所示．随机地向这块农田扔石头使得它们都落在农田内．被扔到农田中的石头可能溅上了水，也可能没有溅上水，估计被“溅上水的”石头量占总的石头量的百分比．试想如何利用这估计的百分比去近似计算该水塘面积？
结合图8．2中的图形(1)分析，只要已知各种参数及函数（a ，b ，H ，f(x)），有以下两种方法可近似计算水塘面积．
1．随机投点法
1）赋初值：试验次数n=0，成功次数m=0；规定投点试验的总次数N ；
2）随机选择m 个数对,1,,m i y x i i <<，其中H y b x a i i <<<<0,，置 n ＝n ＋l ；
3）判断N n ≤，若是，转4，否则停止计算；
4）判断条件)(i i x f y <(表示一块溅水的石头)是否成立，若成立则置m=m+1，转2，否则转2；
5）计算水塘面积的近似值N m a b H S /)(⨯-⨯=．
2．平均值估计法
1）产生[a,b]区间的均匀随机数;,,2,1,N i x i =
2) 计算;,,2,1),(N i x f i =
3）计算∑=-=N
i i x f N a b S 1
)()(。

该方法的特点是估计函数f(x)在[a,b]上的平均值，面积近似等于该平均值乘以(b-a)． *************************************************************************** 做：用MA TLAB 软件编制程序实现，并对以上两种方法进行比较．。