蒲丰投针问题
蒲丰投针问题
此外，随便说出3个正数，以这3个正数为边长可以围成一个钝角三角形的概率P也与π有关，这个概率为 （π-2）/4，证明如下：
设这三个正数为x，y，z，不妨设x≤y≤z，对于每一个确定的z，则必须满足x+y>z，x^2+y^2﹤z^2，容易 证明这两个式子即为以这3个正数为边长可以围成一个钝角三角形的充要条件，用线性规划可知满足题设的可行域 为直线x+y=z与圆x^2+y^2=z^2；围成的弓形，总的可行域为一个边长为z的正方形，则可以围成一个钝角三角形 的概率P=S弓形/S正方形=（πz^2/4-z^2/2）/z^2=（π-2）/4.因为对于每一个z，这个概率都为（π-2）/4， 因此对于任意的正数x，y，z，有P=（π-2）/4，命题得证。
投针步骤
实验数据
证明
下面是利用这个公式，用概率的方法得到圆周率的近似值的一些资料。
公元1901年，意大利数学家拉兹瑞尼宣称进行了多次的投针试验，每次投针数为3408次，平均相交数为1808 次，给出π的值为3.——准确到小数后6位。不过，不管拉兹瑞尼是否实际上投过针，他的实验还是受到了美国 犹他州奥格登的国立韦伯大学的L·巴杰的质疑．通过几何、微积分、概率等广泛的范围和渠道发现π，这是着实 令人惊讶的！
布丰投针实验是第一个用几何形式表达概率问题的例子，他首次使用随机实验处理确定性数学问题，为概率 论的发展起到一定的推动作用。
证明一：找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰恰等于平行线间的距离d。可以想象得到，对于这样的圆圈来 说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。因此，如果圆圈扔下的次数为n次，那么相交的交点总数必为2n。 设想把圆圈拉直，变成一条长为πd的铁丝。显然，这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些，可能 有4个交点，3个交点，2个交点，1个交点，甚至于都不相交。由于圆圈和直线的长度同为πd，根据机会均等的 原理，当它们投掷次数较多，且相等时，两者与平行线组交点的总数期望也是一样的。这就是说，当长为πd的铁 丝扔下n次时，与平行线相交的交点总数应大致为2n。
比丰投针概率求法
比丰投针概率求法
丰投针是一种概率问题，目的是求解在一定条件下，丰投针的概率。
丰投针问题的条件为：有一片木板，上面有若干平行的线条，线条之间的间距为d，投针的长度为l (l<=d)。
当投针的任意一端落在线条上方时，称为丰投，要求求解丰投概率P。
丰投针概率的求解方法可以通过数学计算来进行，其中最著名的是皮埃尔·索恩世纪问题。
索恩世纪问题提出了丰投概率的公式：
P = (2l)/(πd)
其中，π是圆周率。
这个公式可以通过数学推导得到，但是需要一定的数学知识和技巧。
在实际运用中，如果不涉及到很复杂的条件和特殊情况，我们也可以通过模拟实验的方法来估计丰投针的概率。
具体方法如下：
1.准备一片木板，上面绘制出若干平行的线条，线条之间的间距为d。
2.制作一根投针，长度为l，注意确保l小于等于d。
3.反复进行丰投实验，将投针随机抛掷到木板上，并观察投针的任意一端是否落在线条上方，记录丰投的次数以及总的实验次数。
4.通过丰投次数与总实验次数的比值，即可估计丰投概率P。
在实际模拟实验中，需要进行足够多的实验次数，以保证估计结果的准确性。
一般来说，实验次数越多越好，可以通过增加实验次数来提高结果的可靠性。
需要注意的是，以上的方法是估计丰投概率的一种方式，得到的结果是近似值，并不是准确值。
如果需要精确的计算结果，还是需要通过数学方法来进行求解。
蒲丰投针问题
蒲丰投针问题1.蒲丰简介蒲丰有的时候翻译成布丰，是18世纪法国著名的博物学家。
他喜欢研究数学和生物学。
主要的贡献有：（1）翻译了牛顿的《流数法》，流数法按现在的说法就叫微积分。
（2）写了一本巨著，这部巨著的名字叫《自然史》，因为他特别喜欢研究生物。
这个自然史一共有44卷，其中他生前写了36卷，后来他学生又完成了。
这本书对后来的世界有很大的影响，尤其影响到一个人叫达尔文，所以蒲丰这个人其实是很厉害的。
2.蒲丰投针1777年，在蒲丰晚年的时候，他有一次举行了一个家庭宴会。
邀请了一大堆他的朋友来帮他做实验。
做什么实验呢，就“投针”。
那朋友来了之后发现，就是桌子上有很多根间距相等的平行线。
然后蒲丰就说了，给你们同样大的针，你把这些针随机扔到这个桌子上。
然后宾客就随便扔吗，有可能这样，有可能这样……，随便扔是吧，这都有可能，什么情况都有可能。
有的针就没有跟平行线相交，比如这个，这个，这个，就没有相交，也有相交的，比如这个，这个，这个，这是相交的，对吧，然后他就数，他说这个针一共投了多少个呢？一共投了n =2212个。
其中与这个平行线相交的针有多少个，数了一下有m =704个。
然后他说，我现在可以计算圆周率了，别人都不信，他说你看我圆周率怎么算，我只要把这两个数相除就行了。
我用n 除以m ，这个数除完了大概是3.142，这个就是圆周率了。
别人说好神奇，这怎么回事儿，蒲丰说我给你解释解释这个原理是什么？其实这个原理并不复杂，我们来看一下它的原理是什么。
3. 蒲丰投针原理(1)首先，它这个平行线是严格平行的，那平行线之间的距离是固定的，是a 。
然后我随意地把一根针投上去，也许相交，也许不相交，这不一定。
比如说这个针投上去了，投上去了之后，针的总长是b ，针有一个中点叫M ，对吧，这个M 到它比较近的平行线之间的距离我们设为x ，大家注意，这个是针的中点到比较近的平行线的距离是x ，所以我们应该知道x 的范围。
x 的最小值就是这个终点正好落在平行线上，那最小值是0，对吧。
蒲丰(Buffon)投针试验
一、利用Matlab计算机语言验证蒲丰(Buffon)投针试验问题给定a=10，b=5时，模拟100万次投针实验的Matlab程序如下：a=10;b=5;n=1000000;p=10; % a为平行线间距，b为针的长度，n为投掷次数，p为有效数字位数x=unifrnd(0,a/2,[n,1]);phi=unifrnd(0,pi,[n,1]); % 产生均匀分布的随机数，分别模拟针的中点与最近平行线的距离和针的倾斜角y=x<0.5*b*sin(phi); m=sum(y); % 计数针与平行线相交的次数PI=vpa(2*b*n/(a*m),p)运行结果PI =3.138919145二、利用C++计算机语言编程通过大量重复实验验证以下结论：三个阄，其中一个阄内写着“有”字，两个阄内不写字，三人依次抓取，各人抓到“有”字阄的概率均为1/3。
程序如下：#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<time.h>void main(){int n=500000;int i,a[3]={0};srand(time(NULL));for(i=0;i<n;i++)a[rand()%3]++;printf("共测试%d次，其中有字事件有%d次, 占%.2f%%\n""抓到无字事件1有%d次，占%.2f%%\n""抓到无字事件2有%d次，占%.2f%%\n""抓到无字事件共%d次，占%.2f%%",n,a[0],a[0]*100.0/n,a[1],a[1]*100.0/n,a[2],a[2]*100.0/n,a[1]+a[2],(a[1]+a[2])*100.0/n);return 0;}。
蒲丰投针实验模拟
一、蒲丰投针问题在平面上画有等距离的一些平行线，平行线间的距离为a(a>0) ，向平面上随机投一长为l(l<a)的针，针与平行线相交的概率p，结果发现π =2*l/(a*p).二、试验方法能够采纳MATLAB软件进行模拟实验，即用MATLAB编写程序来进行“蒲丰投针实验”。
1、基来源理因为针投到纸上的时候，有各样不一样方向和地点，但是，每一次投针时，其地点和方向都能够由两个量独一确立，那就是针的中点和偏离水平的角度。
以 x 表示针的中点到近来的一条平行线的距离，β表示针与平行线的交角。
明显有0<=x<=a/2 ，0<=β <=Pi 。
用边长为 a/2 及 Pi 的长方形表示样本空间。
为使针与平行线相交，一定x<=l*sinβ * ，知足这个关系的地区面积是从0 到Pi的l*sinβ对β的积分，可计算出这个概率值是(2l)/(Pi*a)。
只需随机生成n 对这样的x 和β，就能够模拟 n 次的投针实验，而后统计知足 x<=l*sin β * 的 x 的个数，就能够以为这是订交的次数。
而后利用公式求得π值。
2、MATLAB编程clear ('n')clear('a')clear('x')clear('f')clear ('y')clear ('m')disp(' 本程序用来进行投针实验的演示， a 代表两线间的宽度，针的长度 l=a/2 ，n 代表实验次数 '); a=input(' 请输入 a：');n=input(' 请输入 n：');x=unifrnd(0,a/2,[n,1]);f=unifrnd(0,pi,[n,1]);y=x<*a*sin(f);m=sum(y);PI=vpa(a*n/(a*m))三、实验数据 ( 部分程序截屏见后 )a n PI第一次310000第二次310000第三次3100000第四次3100000第五次31000000第六次31000000第七次3第八次3第九次3第十次3四、实验结论从上述数据剖析可知，跟着模拟次数的愈来愈多， PI 的值渐渐稳固在π值邻近，即愈来愈趋近于π，故蒲丰投针实验的确能够模拟出π的值。
浦丰投针问题
怎么办呢？
如果我们将针的每一个位置看作是一个基 本事件，此时，假定每一个位置都“同等可能” 是合理的。这样就可以用几何概率去解决。
模型建立与求解
x 以M 表示针落下后的中点， 表示中点 M 到最近一条平行线的距离， 表示针于平行线
x
a 2
的交角
则基本事件区域为 a 0 x : 2 0
这种方法由于来源于浦丰投针问题，常常被 称为随机投针法。更进一步的，这种方法成为了 现代计算机模拟的基础——蒙特卡洛方法。
结束
L ( A)
a
x
x
a 2
投针简图
0
1 l sin d l 2
o
从而所求概率为 L( A) l 2l p L ( ) 1 a a 2
模型分析
2l 2）由于 p a
l 1）当比值 不变时， 值始终不变 p a
2l a 所以可以利用它来计算 的近似值
o
基本事件简图
它为 ox 平面上的一个矩形，其面积为：
a L() 2M 为使针与平线（这线必定是它与 最近的一条平行线）相交，其充要条件是 l 0 x sin , A 2 （为什么？） 0 显然A 是Ω 中的一个区域（如图） ， 而 A 的面积为
对于一些不确定的自然现象和科学实验 结果，我们通常用概率统计学去研究，建立 概率统计模型（随机现象）
问题：平面上画有等距离为a ( a 0) l 的一些平行线,向此平面投一长为 (l a ) 的针,试求此针与任一平行线 相交的概率？
分析： 针投到平面上与平行线的关系有两种可能：
针与这些平行线中的某一根相交，或不相交。 这两种可能性一般来说不一样大，即不具有等 可能性。因此无法用古典概率来求解。
浦丰投针
l
l sin 2
l 针与一平行线相交 0 x sin , 2
设 A=“针与一平行线相交”，则
l A : 0 x sin , 2 m ( A) P ( A) m (Ω)
l x sin 2
x a/2 A
0
0
l sin d 2l 2 . a a 2
1777年,法国科学家蒲丰( Buffon )提出了投针 试验问题.平面上画有等距离a (a>0)的一些平行线， 向平面任意投一长为l (l<a)的针，试求针与平行线 相交的概率. 解 设M表示针落下后，针 的中心，x 表示M与最近 一平行线的距离， 表示 针与这平行线的夹角，则 样本空间： a 0 x , 0 , 2
试验者
Wolf Smith De Morgan
时间
1850 1855 1860
针长 投掷次数
0.8 0.6 1.0 5000 3204 600
相交次 π的近似值 数
2532 1218 382 3.1596 3.1554 3.137
Fox Lazzerini Reina
1884 1901 1925
0.75 0.83 0.5419
1030 3408 2520
489 1808 859
3.1595 3.1415929 3.1795
蒲丰投针试验的应用及意义
2l P ( A) = aπ
根据频率的稳定性，当投针试验次数n很大时， m 算出针与平行直线相交的次数m,则频率值 即可 n 作为P(A)的近似值代入上式，那么
m 2l 2ln π n aπ am
蒲丰投针原理
/4.因为对于每一个z，这个概率都为（π-2）/4，因此对于任意的正数x，y，z，有P=（π-2）/4，命题得证。
为了估算π的值，我们需要通过实验来估计它的概率，这一过程可交由计算机编程来实现，事实上x+y>z，x²+y²；﹤z²；等价于（x+y-z）（x²+y²-z²；）﹤0，因此只需检验这一个式子是否成立即可。
若进行了m 次随机试验，有n次满足该式，当m足够大时，n/m趋近于（π-2）/4，令n/m=（π-2）/4，解得π=4n/m+2，即可估计出π值。
值得注意的是这里采用的方法：设计一个适当的试验，它的概率与我们感兴趣的一个量（如π）有关，然后利用试验结果来估计这个量，随着计算机等现代技术的发展，这一方法已经发展为具有广泛应用性的蒙特卡罗方法。
计算π最稀奇方法之一计算π的最为稀奇的方法之一，要数18世纪法国的博物学家C·布丰和他的投针实验：在一个平面上，用尺画一组相距为d的平行线；一根长度小于d的针，扔到画了线的平面上；如果针与线相交，则该次扔出被认为是有利的，否则则是不利的．布丰惊奇地发现：有利的扔出与不利的扔出两者次数的比，是一个包含π的表示式．如果针的长度等于d，那么有利扔出的概率为2/π．扔的次数越多，由此能求出越为精确的π的值．公元1901年，意大利数学家拉兹瑞尼作了3408次投针，给出π的值为3．1415929——准确到小数后6位．不过，不管拉兹瑞尼是否实际上投过针，他的实验还是受到了美国犹他州奥格登的国立韦伯大学的L·巴杰的质疑．通过几何、微积分、概率等广泛的范围和渠道发现π，这是着实令人惊讶的！证明下面就是一个简单而巧妙的证明。
找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰恰等于平行线间的距离d。
可以想象得到，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。
蒲丰投针问题_概率论论文
Buffon投针问题摘要本文讨论了Buffon投针问题的解法及其不同解法之间的内在联系，同时从投针到投平面图形对Buffon投针问题给出了一些推广，并得到一般的结论，指出了其概率在探矿、近似计算中的应用。
关键词蒲丰投针概率随机试验近似计算一、引言蒲丰投针问题是由法国科学家蒲丰（Buffon）在1777年提出的，它是概率中非常有代表性的问题，它是第一个用几何形式表达概率问题的例子，其结论具有很强的理论与实际意义。
蒲丰针问题的解决不仅较典型的反应了集合概率的特征及处理方法，而且还可以由此领略到从“概率土壤”上开出的一朵瑰丽的鲜花——蒙特卡洛（Monte-Carlo）方法。
二、Buffon投针问题及其解法Buffon投针问题：平面上画有等距离的平行线，每两条平行线之间的距离为2a，向平面任意投掷一枚长为2l(l<a)的针，试求针与平行线相交的概率。
解：以x表示针的中点M到最近一条平行线的距离，以φ表示该针与平行线的夹角。
针与平行线的关系见图1.则有：0≤x≤a，0≤φ≤π，由它们所围成的矩形区域记为G1。
针与平行线相交的充要条件是：0≤x≤lsinφ，记满足这个关系的区域为g1(图2中的阴影部分)。
则所求概率为P1=g1的面积G1的面积=∫lsinφdφπaπ=2laπ三、Buffon投针问题不同解法及其内在联系上述解法是常见解法之一(记为解法一)，这里讨论一下蒲丰针问题的其他解法及其之间的联系。
1.其他解法解法二：以x表示针的重点M到最近一条平行线的距离，y表示该针在此平行线上投影和长度，如图3所示。
易知x和y的取值范围是0≤x≤a，0≤y≤2l，这两个不等式确定了xOy平面上的矩形区域G2，针与平行线相交的充要条件是(y2)2+x2≤l2，该不等式确定了矩形区域G2(如图4所示)中的区域g2，从而所求概率为P2=g2的面积G2的面积=14·l·2l·π2l·a=lπ4a解法三：作垂直于平行线的直线，在该直线上选定一方向为正向，用z1，z2分别表示针头与针尾关于某平行线的纵坐标(如图5所示)，该平行线的选取应使|z1+z2|≤2a。
布丰投针数学分析与实验设计(原创)
l 由(1)和(2)我们可以得出一些结论： n 根长度为 的小 n 针仍出去后压线的概率之和与一根长为 l 的针扔出去后压线 l 的概率相等；将 n 根长为 的小针连接成任意形状后扔出去 n 压线的概率与长为 l 的针扔出去压线的概率相等；当 n ，线就是曲线，所以结论可以进一步推广：随机投
k
称作这个连分式的第 k 个渐进分数。同时，
k
它也是所有分母不超过
q 的分数中最接近实数 x 的分数，
k
k
是实数 x 的第 k 个最佳渐进分数。
k
求渐进连分式，当然可以用上面分式求出，下面给出第
p k 个渐进连分式 的递推求法： q p a q 1 p a a 1 q a a p p ( k 2) p q a q q ( k 2 )
如上图所示，AB 针的长度为 2l ，CD 针长度为 l 。在 AB 针 或 AB 针的延长线与直线的夹角为 ，AB 针的中点 M 的取
角 相等，所以 M ' , M ' ' 是 m' , m' ' 的两倍，于是 CD 与直线相交的概率是 AB 与直线相交的概率的一半。对于其 余任意夹角都有这个结论。所以：长度为 l 的针与直线相交 的概率是长度为 2l 的针与直线相交概率的一半。
产生误差原因 1：m/n 的精度问题，这个是数学造 成的误差。解决办法：选取合适的 m 值，使 m/n 的有 效数字达到要求的精度。 产生误差原因 2：如果针的端点与直线非常接近， 例如相距万分之一毫米，用肉眼无法判断针是否与直线 相交，造成误差。解决办法：该次事件无效，不予统计， 继续进行下一次实验。 产生误差原因 3：l/d 的精度问题，这是测量问题。 产生误差的原因 1 和 2，我们都可以解决，使之达
投针试验
投针试验投针问题1777年法国科学家布丰提出的一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的布丰投针问题。
投针步骤这一方法的步骤是：1）取一张白纸，在上面画上许多条间距为a的平行线。
2）取一根长度为l（l<a）的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n次，观察针与直线相交的次数，记为m3）计算针与直线相交的概率．18世纪，法国数学家布丰和勒可莱尔提出的“投针问题”，记载于布丰1777年出版的著作中：“在平面上画有一组间距为a的平行线，将一根长度为l（l<a）的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率。
”布丰本人证明了，这个概率是p=2l/（πd) π为圆周率利用这个公式可以用概率的方法得到圆周率的近似值。
下面是一些资料试验者时间投掷次数相交次数圆周率估计值Wolf1850年5000 2532 3.1596Smith 1855年3204 1218.5 3.1554C.De Morgan 1680年600 382.5 3.137Fox1884年1030 489 3.1595Lazzerini 1901年3408 1808 3.1415929Reina 1925年2520 859 3.1795设这三个正数为x，y，z，不妨设x≤y≤z，对于每一个确定的z，则必须满足x+y>z，x²+y²；﹤z²；，容易证明这两个式子即为以这3个正数为边长可以围成一个钝角三角形的充要条件，用线性规划可知满足题设的可行域为直线x+y=z与圆x²+y²=z²；围成的弓形，总的可行域为一个边长为z的正方形，则可以围成一个钝角三角形的概率P=S弓形/S正方形=（πz²/4-z²/2）/z²=（π-2）/4.因为对于每一个z，这个概率都为（π-2）/4，因此对于任意的正数x，y，z，有P=（π-2）/4，命题得证。
蒲丰投针试验---------概率论与数理统计
蒲丰资料
1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提ห้องสมุดไป่ตู้了投针 试验问题.平面上画有等距离为a(a>0)的一些平行直 线,现向此平面任意投掷一根长为b( b<a )的针,试求 针与某一平行直线相交的概率. 解 以 x表示针投到平面上时,
针的中点M到最近的一条平行
a
M x
直线的距离, 表示针与该平行直线的夹角.
1.0
0.75 0.83 0.5419
600
1030 3408 2520
382
489 1808 859
3.137
3.1595 3.1415929 3.1795
利用蒙特卡罗(Monte Carlo)法进行计算机模拟. 单击图形播放/暂停 ESC键退出 取a 1, b 0.85.
利用上式可计算圆周率π 的近似值.
历史上一些学者的计算结果(直线距离a=1)
试验者 Wolf Smith 时间 1850 1855 针长 0.8 0.6 投掷次数 相交次数 π的近似值 5000 3204 2532 1218 3.1596 3.1554
De Morgan 1860
Fox Lazzerini Reina 1884 1901 1925
那么针落在平面上的位置可由( x , )完全确定.
投针试验的所有可能结果与 矩形区域
a S {( x , ) 0 x ,0 π} 2 中的所有点一一对应 . 由投掷的任意性可知 这是一个几何概型问题.
a
M x
所关心的事件
o
A { 针与某一平行直线相交} 发生的充分必要条件为S 中的点满足 b 0 x sin , 0 π . 2
概率论与数理统计 南京大学 1 第一章概率论的基本概念 (1.2.1) 蒲丰投针实验
m( A) m()
A对应区域D的度量 对应区域S的度量
即等可能性
例（蒲丰投针问题）平面上有等距离的平行线，平行线间
的距离为a。向此平面任意投掷一枚长为l (l≤a) 的针，求针
与任一平行线相交的概率。
解：设M为针的中点，M点到最近平行线的距离为x，针与 平行线的夹角为θ。针的位置可由(x, θ)决定，
De Morgan(1860 1.0 600 年） Fox(1884年） 0.75 1030
相交次数 近似值 m
2532
3.1596
1219
3.1541
383
3.1332
489
3.1596
2
2l
m() a / 2 a
蒲丰投针实验的应用
利用随机模拟方法计算
P(A) 2l 2l
a
aP( A)
利用P(A)m/n。其中n为投掷次数，m为相交次数。 就可以近似计算。
实验者
l/a 投掷次数n
Wolf(1850年） 0.8 5000
Smith(1855年） 0.6 3204
概率论与数理统计
蒲丰投针试验
几何概型
定义： 若随机试验的样本空间对应一个度
量有限的几何区域S，每一基本事件与S内的 点一一对应，则任一随机事件A对应S中的某 一子区域D。若事件A的概率只与A对应的区 域D的度量成正比，而与D的形状及D在S中的 位置无关。则称为几何概型。
事件A发生的概率为：
样本空间：
{(x, ) | 0 x a / 2, 0 }
设A：针与任一条平行线相交。其充要条件为:
x l sin
2
l/2
蒲丰试验
蒲丰试验一天,法国数学家蒲丰请许多朋友到家里,做了一次试验.蒲丰在桌子上铺好一张大白纸,白纸上画满了等距离的平行线,他又拿出很多等长的小针,小针的长度都是平行线的一半.蒲丰说:“请大家把这些小针往这张白纸上随便仍吧！”客人们按他说的做了。
蒲丰的统计结果是：大家共掷2212次，其中小针与纸上平行线相交704次，2210÷704≈3.142。
蒲丰说：“这个数是π的近似值。
每次都会得到圆周率的近似值，而且投掷的次数越多，求出的圆周率近似值越精确。
”这就是著名的“蒲丰试验”。
笛卡儿笛卡儿，（1596-1650）法国哲学家，数学家，物理学家，解析几何学奠基人之一。
他认为数学是其他一切科学的理论和模型，提出了数学为基础，以演绎为核心的方法论，对后世的哲学。
数学和自然科Х⒄蛊鸬搅司薮蟮淖饔谩?笛卡儿分析了几何学和代数学的优缺点，表示要寻求一种包含这两门科学的优点而没有它们的缺点的方法，这种方法就是用代数方法，来研究几何问题--解析几何，《几何学》确定了笛卡儿在数学史上的地位，《几何学》提出了解析几何学的主要思想和方法，标志着解析几何学的诞生，思格斯把它称为数学的转折点，以后人类进入变量数学阶段。
笛卡儿还改进了韦达的符号记法，他用a、b、c……等表示已知数，用x、y、z……等表示未知数，创造了“=”，“”等符号，延用至今。
笛卡儿在物理学，生理学和天文学方面也有许多独到之处。
韦达韦达（1540-1603），法国数学家。
年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会议员，在西班牙的战争中曾为政府破译敌军密码。
韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数理论研究的重大进步。
韦达讨论了方程根的多种有理变换，发现了方程根与分数的关系，韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。
1579年，韦达出版《应用于三角形的数学定律》，同时还发现，这是π的第一个分析表达式。
主要著有《分析法入门》、《论方程的识别与修正》、《分析五章》、《应用于三角形的数学定律》等，由于他贡献卓著，成为十六世纪法国最杰出的数学家。
蒲丰(Buffon)投针随机试验的讨论 (修改稿)
（2006－3－7, 2009-9-18再修改）例 （ 蒲丰（Buffon ）投针随机试验的讨论 ） 在平面上画有相互距离均为2a 的平行线束，向平面上随机投一枚长为2l 的针，为了避免针与两平行线同时相交的复杂情况，假定0>>l a , 设M 为针的中点，y 为M 与最近平行线的距离，φ为针与平行线的交角（如图1）a y ≤≤0， πϕ≤≤0. 于是，很明显，针与平行线相交的充要条件是ϕsin l y ≤（如图2），故相交的概率为ald l a dy d a p l πϕϕπϕπϕππ2 sin 1 1sin 000===⎰⎰⎰ (1) 我们用n 表示投针次数， n S 表示针与平行线相交次数，由大数定理知，当n 充分大时，频率接近于概率，即aln S n π2≈ 于是有naS nl2≈π （2）这就是上面所说的用随机试验求π值的基本公式。
根据公式（2），19—20世纪，曾有不少学者做了随机投针试验，并得到了π的估计值 . 其中最详细的有如下两个 ：其中π的估计值就是利用π的近似公式（8）得到的，即1596.363320002532455000362≈=⨯⨯⨯≈π （Wolf ）1415929.31133551808334085.22≈=⨯⨯⨯≈π （Lazzarini ）一般情况下，随机抽样试验的精度是不高的，Wolf 的试验结果是π≈3.1596，只准确两位有效数字 .精度是由方差n p p n S D n )1(-=⎪⎭⎫⎝⎛决定的，为了确定概率p ，不妨取l =a 这一极限情况，这时π2≈p =0.6366，n n S D n 2313.0≈⎪⎭⎫⎝⎛，由积分极限定理， dx n p p p n S P x n n ⎰-∞→=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--λλπλ221-e21)1(lim即频率n S n /近似地服从正态分布律()n p p p N /)1(,- . 如果要求以大于95%的概率（96.1=λ），保证以频率n S n /作为p 的近似值精确到三位有效数字，001.0≤-=p nS nε 即≈⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-001,0p n S P n 95.021/)1(001.0)1(001.0212≥⎰----np p np p x dx eπ则必须有96.1/)1(001.0=≥-λnp p根据上式，要求试验次数7.88001.0/231.096.122≈⨯≥n 万次 .至于Lazzarini 的试验，为什么实验次数少反而精确度却很高呢？这是由于这一试验结果恰好和祖冲之密率355/113相合，而祖冲之密率为无理数π的连分式，属于π的最佳有理逼近 . 很明显，作为一种具有随机性质的试验，其结果恰好与最佳有理逼近的结果一致是非常偶然的；顾及到上述讨论，故Lazzarini 的试验结果是不大可能的 .注：以上的讨论是第6章“假设检验”方法的一个有实际意义的例子。
蒲丰投针实验原理
蒲丰投针实验原理1.地球是一个球体：在蒲丰时代，人们普遍相信地球是一个球体，而蒲丰的实验就是为了验证这一点。
2.光线传播是直线传播：蒲丰认为光线传播是呈直线传播的，这是基于他对光学的观察和实验中得到的结论。
基于以上前提，蒲丰提出了以下实验步骤来验证地球的球形：1.准备一个平坦的地面：选择一个平坦的地面，比如一块大理石板或者是一个平整的木板。
2.准备一把针：选择一根细长的针，尽量确保它是笔直的。
3.垂直投放针：将针垂直地向地面投放，确保它垂直于地面，并且尽量避免针倾斜或弯曲。
4.观察针在地面上的分布：观察针在地面上的分布情况，看是否存在一定的规律。
理论上，如果地球是一个平坦的平面，那么无论针的位置如何投放，针都应该均匀地分布在地面上。
然而，如果地球是一个球体，那么针的位置投放将会影响其在地面上的分布。
由于地球表面的曲率，针的投放位置不同将导致一些规律的变化。
根据蒲丰的实验，当针被随机分布在地面上时，如果地球是一个球体，那么在一些特定范围内的细长物体的位置分布将会有所偏差。
这是因为在投针的过程中，总有一些针会与地面相交，而一些则不会。
蒲丰实验的原理是基于概率统计的方法。
通过计算和观察一系列接触和不接触地面的针，可以推导出地球的曲率和球形。
如果这些数据和理论上的期望一致，那么可以得出结论地球是球状的。
总结起来，蒲丰投针实验的原理是基于光线的直线传播以及地球的球形假设。
通过观察针在地面上的分布情况，可以验证地球是否是球状的。
这个实验的重要性在于它提供了一种简单直观的方法来验证古代关于地球形状的理论，并且可以通过实验数据来验证理论的正确性。
蒲丰投针问题与无理数π的模拟
5、在C4输入=3*SIN(C4)/2。下托到C1003；在D4输入=IF(D4<=1,"1","0")下托到D1003，在E4输入=COUNTIF(E4:E10003,"1")在下托到E1003，在F4输入=2*10000*3/(F4*4)。
教师评语与成绩：
实验结果总结：计算机上模拟蒲丰投针试验，可以求出π的近似的值.我的到的值为3.225133和3.123367.他与.31415926存在了差别.可能是由于计算机取的1000个随机数的差别.虽然它们存在差别,但是它们已经很接近啦,这比人工或其它方法计远的快和准确于人的计算.
本实验旨在让实验者在计算机上模拟蒲丰投针试验,掌握无理数 的近似计算方法，理解随机模拟法的基本原理,从中体会到新思想、新方法产生的过程。
实验内容：
蒲丰投针问题：平面上画有间隔为 的等距平行线，向平面任意投一枚长为 的针，求针与任一平行线相交的概率,进而求 的近似值。若做了 次投针试验，有 次针与线相交,那么由教材例1.2.9结论知所求概率为 ，而 ，故有 。
2、单击数据/数据分析/随机数发生器，选择变量个数2，随机数1000，均匀分布，介于-1到1，输出区域$A$2，确定；
3、在C2输入=A2^2+B2^2；
4、在D2输入=IF(C6<=1,"1","0")，在E2输入=COUNTIF(D2:D10002,"1")；
5、在F2输入=4*E2/10000。
实验二、蒲丰投针问题与无理数π的模拟
以皓骏设计“蒲丰投针”问题的积件及教学应用
专题研究 以皓骏设计“蒲丰投针”问题的积件及教学应用谭势威，邹灵杰，黄永幸（广西师范大学数学与统计学院，５４１００４）基金项目：２０２０年广西研究生教育创新计划项目“基于ＴＰＡＣＫ视角的初中数学微课的优化设计研究（ＸＹＣＳＲ２０２００６４）”的部分研究成果． “蒲丰投针”问题是北师大版本必修一第七章概率的阅读材料，作为频数与频率的补充阅读，以一种全新的概率思想计算π的近似值．在课堂教学中，蒲丰投针问题是一个极好地激发学生好奇心的数学素材，但在有限时间的实际课堂中，上千次的实验是不可能实现的．本文基于皓骏动态数学软件设计“蒲丰投针”问题积件，通过模拟投针实验，实现在短时间内完成数量庞大的投针实验，不仅增强学生对概率学习的兴趣，更能使学生感受计算机对科学研究的重要性，同时提升学生的数学建模核心素养．下面阐述皓骏制作“蒲丰投针”问题积件的设计原理与制作步骤以及在实际教学中的应用．详细操作步骤请扫描二维码学习微课．１ 应用皓骏设计“蒲丰投针”的原理及制作步骤１．１ 积件的设计原理蒲丰投针实验操作方法较为简单：在一张白纸上画上许多条间距为ａ的平行线，取一根长度为ｌ（ｌ≤ａ）的针，随机向画有平行线的白纸投掷ｎ次，观察针与直线相交的次数，并记为ｍ次．当针与直线相交时，如图１．如图１，点Ｍ表示针的中点，当针与直线相交时，θ为针与直线的夹角，ｄ为中点Ｍ与最近直线的距离．针落在白纸上的所有基本结果组成的集合为｛θ，ｄ｜０≤θ≤π，０≤ｄ≤ａ２，θ，ｄ∈Ｒ｝，它是平面上的一个矩形区域Ω，也就是样本空间．而针与线相交的所有基本结果组成的集合为｛θ，ｄ｜０≤θ≤π，０≤ｄ≤１２ｓｉｎθ，θ，ｄ∈Ｒ｝，它为样本空间的子集Ａ，如图２．区域Ω与区域Ａ面积分别为ＳΩ＝ａπ２，ＳＡ＝∫π０１２ｓｉｎθｄθ＝ｌ，所以针与线相交的概率为Ｐ＝ＳＡＳΩ＝ｌａπ２＝２ｌπａ，蒲丰发现有利的扔出（针与直线相交）与不利的扔出（针与直线不相交）的比为一个包含π的代数式，Ｐ＝ｍｎ＝２ｌπａ π＝２ｎｌｍａ，当ｌ＝ａ２时，π＝ｎｍ，扔的次数越多，得到的π的近似值就越精确．以上是蒲丰投针的数学原理，下面基于皓骏软件的ｒａｎｄ函数、ｓｉｇｎ函数、ｓｇｎ函数，以及脚本设置、参数输入等功能设计积件．首先做出一个矩形区域且在其中绘制一组可更改间距的平行线，随后用ｓｉｇｎ函数、ｒａｎｄ函数以及ｓｇｎ函数模拟随机投针，通过代数表达式计算投针次数和针线相交次数，最后构建参数输入按钮以及界面优化．１．２ 积件的制作步骤１．２．３ 绘制线宽可变的平行线和构造长度可变的针构造平面直角坐标系，点击“绘图｜坐标点”，分别绘制点Ａ（０，０），Ｂ（０，１），Ｃ（６，０），按住Ｃｒｔｌ键，依次选中点Ａ、点Ｂ，点击“绘制｜射线”，在射线ＡＢ上绘制点Ｄ，依次选中点Ａ、点Ｄ，点击“测量｜长度”，选中度量值，按空格键或者在左上角打开编辑模式，单击右键，在“属性对话框｜基本”中获取其变量名为ｕ０００，连接ＡＣ并选中ＡＣ，单击“变换｜数字平移”，ｘ平移分量中输入０，ｙ平移分量中输入ｕ０００，平移次数输入为４；点击“插入｜动画｜变量”，“变量”输入栏中输入ｂ，在编辑模式下，选中单击右键打开“属性对话框｜脚本”，设置脚本代码，如图１，接着，在“属性对话框｜外框｜图例说明”中输入“针长：线宽”，点击确定．随后，单击“测量｜表达式”，输入ｂ ｕ０００，并在编辑模式下打开“属性对话框”，将“基本｜内容”中的“＼＄Ｌｂ ｕ０００＝＼＆ｍｖ（ｕ００１）”改为“＼＄Ｌ针的长度：ｌ＝＼＆ｍｖ（ｂ） ａ＝＼＆ｍｖ（ｕ００１）”，其变量名为ｕ００１；随后，打开编辑模式，选择Ａ、Ｄ的测量长度，将“属性对话框｜基本｜内容”中“＼＄Ｌ｜ＡＤ｜＝＼＆ｍｖ（ｕ０００）”改为“＼＄Ｌ线宽：ａ＝＼＆ｍｖ（ｕ０００）”．·４８·１．２．３ 模拟随机投针实验首先，点击“插入｜动画｜变量”，“变量”输入栏中输入ｔ，点击确定，打开编辑模式，右键单击按钮，打开“属性对话框｜脚本”，设置脚本代码，如图２．接着，在“属性对话框｜外框｜图例说明”中输入投针次数，点击确定；接着，点击“测量｜表达式”，分别输入ｓｉｇｎ（ｔ） ｒａｎｄ（０，６），ｓｉｇｎ（ｔ） ｒａｎｄ（０，４ ｕ０００），ｓｉｇｎ（ｔ） ｒａｎｄ（０，２ ｐｉ）（ｐｉ表示π，因为本文是将针饶一个点随机旋转从而模拟针的不同方向，故设计过程中取得角度最大可为２π），得到的等式的变量名分别为ｕ００２、ｕ００３、ｕ００４；随后，绘制针形，点击“绘图｜坐标点”，作出点Ｅ（ｕ００２，ｕ００３），Ｆ（ｕ００２＋ｕ００１ ｃｏｓ（ｕ００４），ｕ００３＋ｕ００１ ｓｉｎ（ｕ００４）），并连接ＥＦ，选中线段ＥＦ和点Ｅ，单击“绘制｜跟踪”，并打开编辑模式，单击右键，将“属性对话框｜基本｜跟踪个数”改为８８８８８；最后，设置初始化按钮，点击“插入｜动画｜变量”，“变量”输入栏中输入ｔ，将最大值改为０，点击确定，打开编辑模式，选中按钮，单击右键，在“属性对话框｜外框｜图例说明”中输入初始化，点击确定．１．２．３ 计算投针次数和相交次数计算投针次数：单击“测量｜表达式”，输入“ｓｉｇｎ（ｔ） （ｕ００５＋１）”，打开编辑模式，选中表达式，单击右键，将“属性对话框｜基本”中的“＼＄Ｌ（１＋ｕ００５） ｓｉｇｎ（ｔ）＝＼＆ｍｖ（ｕ００５）”改为“＼＄Ｌ＼＆ｍｖ（ｕ００５，０）”，点击确定．计算相交次数：选中线段ＥＦ，单击“绘制｜中点”，得到中点Ｇ，选中点Ｇ，单击“测量｜ｙ坐标”获取点Ｇ的纵坐标，选中Ｇ的ｙ坐标，打开编辑模式，单击右键，在“属性对话框｜基本”中获取变量名为ｕ００６，单击“测量｜表达式”，输入“ｆｌｏｏｒ（（ｕ００６－０）／ｕ０００）”，其变量名为ｕ００７；接着再次“测量｜表达式”输入“ｕ００６－０－ｕ０００ ｕ００７”，其变量名为ｕ００８；再次“测量｜表达式”输入“ｕ０００－ｕ００８”，其变量名为ｕ００９，ｕ００８和ｕ００９都是点Ｍ到领近平行线的距离；再次“测量｜表达式”输入“（（１＋ｓｇｎ（（ｕ０００／２）－ｕ００８））／２） ｕ００８＋（（１＋ｓｇｎ（（ｕ０００／２）－ｕ０１０））／２） ｕ００９”，其变量名为ｕ０１０，ｕ０１０为ｕ００８与ｕ００９之中的最小值；再次“测量｜表达式”输入“（１＋ｓｇｎ（（ｕ０００／２） ａｂｓ（ｓｉｎ（ｕ００４））－ｕ０１０））／２”，其变量名为ｕ０１１，这个表达式输出结果为当针与线相交时值为１，不相交时值为０；再次“测量｜表达式”输入“ｓｉｇｎ（ｔ） （ｕ０１２＋ｕ０１１）”计算相交的次数，随后打开编辑模式，选中表达式，单击右键，将“属性对话框｜基本”中的“＼＄Ｌ（ｕ０１１＋ｕ０１２） ｓｉｇｎ（ｔ）＝＼＆ｍｖ（ｕ０１２）”改为“＼＄Ｌ＼＆ｍｖ（ｕ０１２，０）”，点击确定．１．２．４ 实验数据的处理点击“测量｜文字表格｜普通文本”，分别输入“投针次数”“针、线相交次数”，接着点击“测量｜文字表格｜公式文本”，分别输入“Ｐ＿（针与线相交）＝（２ ｌ）／（π ａ）”“π＝（２ ｌ）／（Ｐ ａ）”，点击“测量｜表达式”输入“ｕ０１２／ｕ００５”，并将“属性对话框｜基本｜文本”中“＼＄Ｌｕ０１２／ｕ００５＝＼＆ｍｖ（ｕ０１３）”改为“＼＄Ｌ＼＆ｍｖ（ｕ０１３）”，其变量名为ｕ０１３；接着，点击“测量｜表达式”输入“（２ ｕ００１）／（ｕ０１３ ｕ０００）”，并将“属性对话框｜基本｜文本”中“＼＄Ｌ（２ ｕ００１）／（ｕ０１３ ｕ０００）＝＼＆ｍｖ（ｕ０１４）”改为“＼＄Ｌ＼＆ｍｖ（ｕ０１４）”，其变量名为ｕ０１４；点击“绘制｜坐标点”，通过线段的平移绘制表格，将对应将相应文本和数值放到相应位置．１．２．５ 界面的优化选中表达式ｕ００１，通过拖动按钮字符框将文字和数字改为合适大小，表达式ｕ００２、表达式ｕ０１４、表达式ｕ０１５重复上述操作；选中“投针次数”“针、线相交次数”等文本，过拖动按钮字符框将文字和数字改为合适大小；打开编辑模式，右键单击按钮，将“属性对话框｜外框｜图例字体”改为宋体，“图例尺寸”改为２０，“样式”改为ｎｏｒｍａｌ，并点击“基本｜系统媒体”选择合适图片，重复设置其他按钮；选中其他表达式和线段ＥＦ、射线ＡＢ、点Ｅ、点Ｆ、点Ｇ、点Ａ、点Ｂ、点Ｈ、点Ｉ、点Ｊ，点击“设计｜隐藏”，隐藏不需要的点和线段．２ 积件的主要教学应用该积件的应用主要有两个亮点：一是能够在较短时间内完成数量庞大的投针实验，二是能够生动直观地展示投针的的过程．鉴于教材中只是给出有关的数据结果以及实际课堂中演示投针实验的不易，难以更深层次地探究有趣的投针实验背后的概率思想，因此本积件以“蒲丰投针”的数学原理出发，模拟演示投针的过程和自动统计相应数据并进行计算π的近似值，应用此积件在调动学生学习兴趣的同时，增加学生的参与性与互动性，在授人以鱼的同时授人以渔和欲［１］，并且在探究数学原理的过程中逐步培养学生数学建模的核心素养．参考文献：［１］唐剑岚．“鱼渔欲”三位一体优化数学教学的理念与策略———以“三角形的内角”课例片段分析为例．基础教育研究，２０１５（９）：５－１０．·５８·。
法国数学家蒲丰的故事
法国数学家蒲丰的故事
法国数学家蒲丰1777年的一天，法国数学家蒲丰约请许多朋友到家里，要做一次试验。
蒲丰在桌子上铺好一张大白纸，白纸上画满了一条一条等距离的平行线，他又拿出很多等长的小针，每根小针的长度都是平行线距离的一半。
蒲丰说：请大家把这些小针一根一根地往这张白纸上随便扔吧！客人们你看看我，我看看你，谁也弄不清楚他要干什么，但还是把小针一根一根地往白纸上乱扔。
扔完了，他们又把针捡起来再扔。
蒲丰却在一旁紧张地记数。
他统计的结果是：大家共掷2212次，其中小针与纸上平行线相交704次，蒲丰做了一个除法：2212 704 3.142蒲丰说：诸位，这个数是圆周率的近似值。
客人们觉得十分奇怪：这样乱扔和圆周率怎么会有关系呢？蒲丰解释说：大家怀疑这个试验？你们还可以再做，每次都会得到圆周率的近似值，而且投掷的次数越多，求出的圆周率近似值越精确。
这就是著名的蒲丰试验。
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蒙特卡罗方法概述
§ 8.2 引例：蒲丰投针问题
在用传统方法难以解决的问题中，有很大一部分可以用概率模型进行描述．由于这类模型含有不确定的随机因素，分析起来通常比确定性的模型困难．有的模型难以作定量分析，得不到解析的结果，或者是虽有解析结果，但计算代价太大以至不能使用．在这种情况下，可以考虑采用Monte Carlo 方法。
下面通过例子简单介绍Monte Carlo 方法的基本思想．
Monte Carlo 方法是计算机模拟的基础，它的名字来源于世界著名的赌城——摩纳哥的蒙特卡洛，其历史起源于1777年法国科学家蒲丰提出的一种计算圆周π的方法——随机投针法，即著名的蒲丰投针问题。
这一方法的步骤是：
1) 1) 取一张白纸，在上面画上许多条间距为d 的平行线，见图8.1(1)
2) 2) 取一根长度为)(d l l <的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n 次，观察针与直线相交的次数，记为m
3）计算针与直线相交的概率．
由分析知针与平行线相交的充要条件是
ϕsin 21≤
x 其中
πϕ≤≤≤≤0,2
0d x 建立直角坐标系),(x ϕ,上述条件在坐标系下将是曲线所围成的曲边梯形区域，见图
8．l （2）．
由几何概率知
(*)22
sin 210d l d d G g p ππϕϕπ===⎰的面积的面积 4）经统计实验估计出概率,n m P ≈由(*)式即?2=⇒=ππd
l n m Monte Carlo 方法的基本思想是首先建立一个概率模型，使所求问题的解正好是该模型的参数或其他有关的特征量．然后通过模拟一统计试验，即多次随机抽样试验（确定m 和n ），统计出某事件发生的百分比．只要试验次数很大，该百分比便近似于事件发生的概率．这实际上就是概率的统计定义．利用建立的概率模型，求出要估计的参数．蒙特卡洛方法属于试验数学的一个分支．
************************************************************************* 提示：设x 是一个随机变量，它服从区间[０，d/2]是的均匀分布，同理，ϕ是一个随机变量，它服从区间],0[π上的均匀分布。
按照某种抽样法，产生随机变量的可能取值，例如
进行n 次抽样，得到样本值n i x i i ,,2,1),,( =ϕ，统计出满足不等式
i i d x ϕsin 2
≤
的次数m(m<n),从而可以计算出p 的估计值n m p /ˆ=． **************************************************************************** 使用MATLAB 语言编程实现(4.m)
l=1
d=2；
m=0；
for k ＝l ：n
x ＝unifmd （0，d ／2）；
p ＝unifmd （0，pi ）；
if )sin(15.0y x ⨯⨯<
m=m ＋1
elsc
end
end
p=m/n
pi_m=1/p
运行，取n=1000,simu4回车，即得结果
*************************************************************************** 想：1）在上述的程序中任意调整n 的取值，会发现什么规律？
2）参数 l ，d 的不同选择，会导致什么结果？
*************************************************************************** 蒙特卡洛方法适用范围很广泛，它既能求解确定性的问题，也能求解随机性的问题以及科学研究中的理论问题．例如利用蒙特卡洛方法可以近似地计算定积分，即产生数值积分问题．
任意曲边梯形面积的近似计算
一个古老的问题：用一堆石头测量一个水塘的面积．应该怎样做呢？测量方法如下：假定水塘位于一块面积已知的矩形农田之中．如图8．2所示．随机地向这块农田扔石头使得它们都落在农田内．被扔到农田中的石头可能溅上了水，也可能没有溅上水，估计被“溅上水的”石头量占总的石头量的百分比．试想如何利用这估计的百分比去近似计算该水塘面积？
结合图8．2中的图形(1)分析，只要已知各种参数及函数（a ，b ，H ，f(x)），有以下两种方法可近似计算水塘面积．
1．随机投点法
1）赋初值：试验次数n=0，成功次数m=0；规定投点试验的总次数N ；
2）随机选择m 个数对,1,,m i y x i i <<，其中H y b x a i i <<<<0,，置 n ＝n ＋l ；
3）判断N n ≤，若是，转4，否则停止计算；
4）判断条件)(i i x f y <(表示一块溅水的石头)是否成立，若成立则置m=m+1，转2，否则转2；
5）计算水塘面积的近似值N m a b H S /)(⨯-⨯=．
2．平均值估计法
1）产生[a,b]区间的均匀随机数;,,2,1,N i x i =
2) 计算;,,2,1),(N i x f i =
3）计算∑=-=N
i i x f N a b S 1
)()(。
该方法的特点是估计函数f(x)在[a,b]上的平均值，面积近似等于该平均值乘以(b-a)． *************************************************************************** 做：用MA TLAB 软件编制程序实现，并对以上两种方法进行比较．。