云南师范大学概率论实验报告随机模拟计算的值--蒲丰投针问题

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概率论实验

实验一随机模拟计算π的值--蒲丰投针问题1、问题的背景在历史上人们对π的计算非常感兴趣性，发明了许多求π的近似值的方法，其中用蒲丰投针问题来解决求π的近似值的思想方法在科学占有重要的位置，人们用这一思想发现了随机模拟的方法。

2、实验目的本实验旨在使学生掌握蒲丰投针问题，并由此发展起来的随机模拟法，从中体学会到新思想产生的过程。

(1) 学习和掌握有关数学软件的命令；(2) 掌握蒲丰投针问题；(3) 理解随机模拟法；(4) 理解概率的统计定义；3、实验主要内容蒲丰投针问题：平面上画有间隔为(0)d d>的等距平行线，向平面任意投一枚长为()<的针，求针与任一平行线相交的概率，进而求π的近似值。

l l d对于n=50、100、1000、10000、50000各作5次试验，分别求出π的近似值，写出书面报告、总结出随机模拟的思路。

实验二正态分布的综合实验1、问题的背景正态分布是实际生活中最常用的概率分布，在概率论与数理统计的理论研究和实际应用中都具有重要的价值，应熟练掌握和运用。

2、实验目的学会产生服从正态分布的随机数并作密度函数和分布函数的图形，学会相关绘图工具的使用。

3、实验主要内容(1) 利用随机数发生器分别产生n=100、1000、10000个服从正态分布N的随机数，每种情形下各取组距为2、1、0.5作直方图及累积百分比曲线(6,1)图；μ=，分别取标准差为σ=0.01、0.02、0.03，绘制(2) 固定数学期望0.05密度函数和分布函数的图形；(3) 固定标准差为0.02σ=，分别取数学期望为μ=0.03、0.05、0.07，绘制密度函数和分布函数的图形。

实验三产生服从任意分布的随机数1、问题的背景实际中经常需要用到服从指定分布为()F x 的随机数据。

学会产生服从任意分布的随机数，对今后的学习和实际应用而言，是非常有帮助的。

2、实验目的要求学会产生分布函数为预先指定的分布函数()F x 的随机数；利用所产生的随机数据作直方图、密度函数图和分布函数图。

随机模拟Buffon投针试验统计计算实验报告

步骤分为（1）建立恰当模型（2）设计实验方法（3）从一个或者多个概率分布中重复生成随机数
（4）分析模拟结果
实验硬件及软件平台：
计算机 MATLAB VC 网络
实验步骤：
复习第四章有关知识，熟悉Buffon投针试验的原理
运用MATLAB，编写相关程序，输入代码
观察实验结果，进行讨论
撰写实验报告
实验内容（包括实验具体内容、算法分析、源代码等等）：
x=0;y=0;%赋变量初值
m=length(N);%求变量N的长度
pm=zeros(1,m);%赋变量初值
pival=pm;%赋变量初值
ri=1:m%通过循环求基于蒙特卡洛方法的模拟概率pm和圆周率pival
x=pi*rand(N(i),1);%产生[0,pi]上均匀分布随机数
y=d*rand(N(i),1)/2;%产生[0,d/2]上均匀分布随机数
（法一）Buffon投针试验求圆周率：
functiony=Buffon(a,l,N)//a为平行线间的距离；l为针长；N为投针次数
M=0;
i=0;
whilei<=N
xi=rand()*a/2;
yi=rand()*pi;
ifxi<=l/2*sin(yi)
M=M+1;
end
i=i+1;
end
phi=2*l*N/(a*M);
yb=h*sin(x)/2;
pm(i)=sum(y<=yb)/N(i);%求模拟概率
pival(i)=2*h*N(i)/(d*sum(y<=yb));%求圆周率的模拟值
end
实验结果与讨论：
Buffon投针试验求圆周率：

云南师范大学概率论实验报告随机事件的模拟--模拟掷均匀硬币的随机试验

实验总结：概率论与数理统计的研究对象都是随机事件，所以产生的数必须是随
机数数，而且需要通过大量的实验数据才能统计出实验结果，所以随机数应尽量大一些，实实验数组也该多一些才能得到相对正确的答案。
进一步讨论或展望: 通过本次实验，我们以后也可以用 Excel 模拟随机事件，从而确定出现的现象的概率。
数学实验报告
实验序号：2 班级实验名称问题的背景：抛硬币实是一个古老而现实的问题，我们可以从中得出许多结论.但要做这个简单而重复的试验，很多人没有多余的时间或耐心来完成它，现在有了计算机的帮助，人人都可很短的时间内完成它. 抛硬币试验：抛掷次数为 n . 对于 n=20,50,100,1000,2000 各作 5 次试验.观察有没有什么规律，有的话，是什么规律. 实验目的：（1）学习和掌握 Excel 的有关命令（2）了解均匀分布随机数的产生（3）理解掌握随机模拟的方法. （4）体会频率的稳定性. 实验原理与数学模型： 12 级 B 班姓名日期： 2014 年 3 月 30 日学号
实验过程：(含解决方法和基本步骤，主要程序清单及异常情况记录等) 一、产生随机数 (1)用 Excel 表格完成模拟实验，打开 Excel，在“工具栏”中选择“数据分析” ，在弹出的对话框中选择“随机发生器” ，单击“确定”后弹出“随机发生器” ； (2)在“变量”处填上“1” ，在“随机数个数”处填上“n” ，在“分布”处填上“伯努利” ，在“p(A)”处填上“0.5” ，在“输出区域”处填上要输出的第一个数据的位置，单击“确定”后就产生了 n 个随机数。二、统计随机数的个数 (1)打开“插入函数” ，在弹出的对话框中，在“或选择类别”处选择“统计” ，在“选择函数”处选择“COUNTIF”后单击“确定” ； (2)在弹出的另一个对话框中，在“range”处填上要统计的这 n 个数在表格中的位置，，单击“确定”后就会在表格中的指定位置处出现“0”或“1”的个数。三、分析数据 (1)抛硬币的试验数据如下：

蒲丰(Buffon)投针试验

一、利用Matlab计算机语言验证蒲丰(Buffon)投针试验问题给定a=10，b=5时，模拟100万次投针实验的Matlab程序如下：a=10;b=5;n=1000000;p=10; % a为平行线间距，b为针的长度，n为投掷次数，p为有效数字位数x=unifrnd(0,a/2,[n,1]);phi=unifrnd(0,pi,[n,1]); % 产生均匀分布的随机数，分别模拟针的中点与最近平行线的距离和针的倾斜角y=x<0.5*b*sin(phi); m=sum(y); % 计数针与平行线相交的次数PI=vpa(2*b*n/(a*m),p)运行结果PI =3.138919145二、利用C++计算机语言编程通过大量重复实验验证以下结论：三个阄，其中一个阄内写着“有”字，两个阄内不写字，三人依次抓取，各人抓到“有”字阄的概率均为1/3。

程序如下：#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<time.h>void main(){int n=500000;int i,a[3]={0};srand(time(NULL));for(i=0;i<n;i++)a[rand()%3]++;printf("共测试%d次，其中有字事件有%d次, 占%.2f%%\n""抓到无字事件1有%d次，占%.2f%%\n""抓到无字事件2有%d次，占%.2f%%\n""抓到无字事件共%d次，占%.2f%%",n,a[0],a[0]*100.0/n,a[1],a[1]*100.0/n,a[2],a[2]*100.0/n,a[1]+a[2],(a[1]+a[2])*100.0/n);return 0;}。

蒲丰投针与几何概率的性质

（蒲丰投针问题）平面上有距离都为D 的平行线一族，向平面上任意投一根长度为L ()L D ≤的针，求针与直线相交的概率？解：设针的中点到最近直线的距离为x ，与此直线的夹角为 α则 )|0,02D S x x ααπ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭（，令 A=“针与直线相交”则 A ,)|0x sin ,0,022D D x x αααπ⎧⎫=≤≤≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭（L A P A =L Ω（）所以（）（）0sin d 2L 2L 2D D πααππ==⋅⎰ 另一方面，用统计概率的方法也可以求针与直线相交的概率，向平面投针n 次，查得针与直线相交 m 次，当投针次数相当大时，就有2m L n D π≈ 2nL mDπ⇒≈ 由此式我们可以想象，在地面上画一族距离为D 的平行线，站在较远处，向平面上投长度为L ()L D ≤的小木棍，统计投掷次数n 和相交次数m , 当投掷次数相当大时，就可以求出无理数 π的近似值，数学的奥妙真是不可思议！2、几何概率的性质（1）0()1P A ≤≤（2）()1P S =（3）设12,,..............k A A A 是k 个两两互不相容的事件，则 1212(..............)()()......()......k k P A A A P A P A P A ++++=++++与古典概率相比，第三条性质由有限可加性变成了可列可加性，这是由几何概型中基本事件的个数无穷多决定的，请看以下事实。

在区间 (0,1]内任意选一点，显然 {}|01(0,1]S x x =<≤=若令 122111"1]"]222A A ==点选入区间（，内，点选入区间（，内， (1)11"]22n n n A -=点选入区间（，内，…… 则有 121..............n n n S A A A A ∞==++++=而 ()1P S =1212(..............)()()......()......k k P A A A P A P A P A ++++=++++ 23111......1222=+++= 即满足可列可加性。

浦丰投针问题

怎么办呢？
如果我们将针的每一个位置看作是一个基本事件，此时，假定每一个位置都“同等可能” 是合理的。这样就可以用几何概率去解决。

模型建立与求解
x 以M 表示针落下后的中点，表示中点 M 到最近一条平行线的距离，表示针于平行线
x
a 2
的交角
则基本事件区域为 a 0 x : 2 0
这种方法由于来源于浦丰投针问题，常常被称为随机投针法。更进一步的，这种方法成为了现代计算机模拟的基础——蒙特卡洛方法。
结束
L ( A)
a
x
x
a 2
投针简图

0
1 l sin d l 2
o

从而所求概率为 L( A) l 2l p L ( ) 1 a a 2
模型分析
2l 2）由于 p a
l 1）当比值不变时，值始终不变 p a
2l a 所以可以利用它来计算的近似值
o

基本事件简图
它为 ox 平面上的一个矩形，其面积为：
a L() 2M 为使针与平线（这线必定是它与最近的一条平行线）相交，其充要条件是 l 0 x sin , A 2 （为什么？） 0 显然A 是Ω 中的一个区域（如图），而 A 的面积为
对于一些不确定的自然现象和科学实验结果，我们通常用概率统计学去研究，建立概率统计模型（随机现象）
问题：平面上画有等距离为a ( a 0) l 的一些平行线,向此平面投一长为 (l a ) 的针,试求此针与任一平行线相交的概率？
分析：针投到平面上与平行线的关系有两种可能：
针与这些平行线中的某一根相交，或不相交。这两种可能性一般来说不一样大，即不具有等可能性。因此无法用古典概率来求解。

蒲丰(Buffon)投针随机试验的讨论 (修改稿)

（2006－3－7修改, 9-18再修改）例（蒲丰（Buffon ）投针随机试验的讨论）在平面上画有相互距离均为2a 的平行线束，向平面上随机投一枚长为2l 的针，为了避免针与两平行线同时相交的复杂情况，假定0>>l a , 设M 为针的中点，y 为M 与最近平行线的距离，φ为针与平行线的交角（如图1）a y ≤≤0， πϕ≤≤0. 于是，很明显，针与平行线相交的充要条件是ϕsin l y ≤（如图2），故相交的概率为ald l a dy d a p l πϕϕπϕπϕππ2 sin 1 1sin 000===⎰⎰⎰ (1) 我们用n 表示投针次数， n S 表示针与平行线相交次数，由大数定理知，当n 充分大时，频率接近于概率，即aln S n π2≈ 于是有naS nl2≈π （2）这就是上面所说的用随机试验求π值的基本公式。

根据公式（2），19—20世纪，曾有不少学者做了随机投针试验，并得到了π的估计值 . 其中最详细的有如下两个：其中π的估计值就是利用π的近似公式（8）得到的，即1596.363320002532455000362≈=⨯⨯⨯≈π （Wolf ）1415929.31133551808334085.22≈=⨯⨯⨯≈π （Lazzarini ）一般情况下，随机抽样试验的精度是不高的，Wolf 的试验结果是π≈3.1596，只准确两位有效数字 .精度是由方差n p p n S D n )1(-=⎪⎭⎫⎝⎛决定的，为了确定概率p ，不妨取l =a 这一极限情况，这时π2≈p =0.6366，n n S D n 2313.0≈⎪⎭⎫⎝⎛，由积分极限定理， dx n p p p n S P x n n ⎰-∞→=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--λλπλ221-e21)1(lim即频率n S n /近似地服从正态分布律()n p p p N /)1(,- . 如果要求以大于95%的概率（96.1=λ），保证以频率n S n /作为p 的近似值精确到三位有效数字，001.0≤-=p nS nε 即≈⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-001,0p n S P n 95.021/)1(001.0)1(001.0212≥⎰----np p np p x dx eπ则必须有96.1/)1(001.0=≥-λnp p根据上式，要求试验次数7.88001.0/231.096.122≈⨯≥n 万次 .至于Lazzarini 的试验，为什么实验次数少反而精确度却很高呢？这是由于这一试验结果恰好和祖冲之密率355/113相合，而祖冲之密率为无理数π的连分式，属于π的最佳有理逼近 . 很明显，作为一种具有随机性质的试验，其结果恰好与最佳有理逼近的结果一致是非常偶然的；顾及到上述讨论，故Lazzarini 的试验结果是不大可能的 .注：以上的讨论是第6章“假设检验”方法的一个有实际意义的例子。

蒲丰投针试验

P(
A)

m( A) m()

A对应区域D的度量对应区域S的度量
即等可能性
例（蒲丰投针问题）平面上有等距离的平行线，平行线间
的距离为a。向此平面任意投掷一枚长为l (l≤a) 的针，求针
与任一平行线相交的概率。
解：设M为针的中点，M点到最近平行线的距离为x，针与平行线的夹角为θ。针的位置可由(x, θ)决定，
概率论与数理统计
蒲丰投针试验
几何概型
定义：若随机试验的样本空间对应一个度
量有限的几何区域S，每一基本事件与S内的点一一对应，则任一随机事件A对应S中的某一子区域D。若事件A的概率只与A对应的区域D的度量成正比，而与D的形状及D在S中的位置无关。则称为几何概型。
事件A发生的概率为：
De Morgan(1860 1.0 600 年） Fox(1884年） 0.75 1030
相交次数近似值 m
2532
3.1596
1219
3.1541
383
3.1332
489
3.1596
2

2l
m() a / 2 a
蒲丰投针实验的应用
利用随机模拟方法计算
P(A) 2l 2l
a
aP( A)
利用P(A)m/n。其中n为投掷次数，m为相交次数。就可以近似计算。
验者
l/a 投掷次数n
Wolf(1850年） 0.8 5000
Smith(1855年） 0.6 3204
样本空间：
{(x, ) | 0 x a / 2, 0 }
设A：针与任一条平行线相交。其充要条件为:
x l sin

综合实验三蒲丰投针问题实验

综合实验三蒲丰投针问题实验一、实验目的1. 掌握几何概型、熟悉Monte Carlo 方法的基本思想；3．会用MATLAB 实现简单的计算机模拟二、实验内容在用传统方法难以解决的问题中，有很大一部分可以用概率模型进行描述．由于这类模型含有不确定的随机因素，分析起来通常比确定性的模型困难．有的模型难以作定量分析，得不到解析的结果，或者是虽有解析结果，但计算代价太大以至不能使用．在这种情况下，可以考虑采用Monte Carlo 方法。

下面通过例子简单介绍Monte Carlo 方法的基本思想．Monte Carlo 方法是计算机模拟的基础，它的名字来源于世界著名的赌城——摩纳哥的蒙特卡洛，其历史起源于1777年法国科学家蒲丰提出的一种计算圆周π的方法——随机投针法，即著名的蒲丰投针问题。

这一方法的步骤是：1) 取一张白纸，在上面画上许多条间距为d 的平行线，见图8.1(1)2) 取一根长度为()l l d <的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n 次，观察针与直线相交的次数，记为m3）计算针与直线相交的概率．由分析知针与平行线相交的充要条件是 ϕs i n 21≤x 其中πϕ≤≤≤≤0,20d x 建立直角坐标系),(x ϕ,上述条件在坐标系下将是曲线所围成的曲边梯形区域，见图 8．l （2）．由几何概率知(*)22s i n 210d l d d G g p ππϕϕπ===⎰的面积的面积 4）经统计实验估计出概率,n m P ≈由(*)式即?2=⇒=ππd l n m Monte Carlo 方法的基本思想是首先建立一个概率模型，使所求问题的解正好是该模型的参数或其他有关的特征量．然后通过模拟一统计试验，即多次随机抽样试验（确定m 和n ），统计出某事件发生的百分比．只要试验次数很大，该百分比便近似于事件发生的概率．这实际上就是概率的统计定义．利用建立的概率模型，求出要估计的参数．蒙特卡洛方法属于试验数学的一个分支．问题：(1) 经过n次试验后圆周率估计与的圆周之间的差的绝对值的规律是？其中n分别取100，1000，2000，5000，10000，20000，50000(2) 参数l，d的不同选择，会对圆周率的估计有什么影响？可以选择d为l.5倍，2倍，3倍，4倍，5倍，8倍，10倍，20倍，50倍三、实验要求写出实验步骤、结果显示及分析四、实验分析以x 表示针的中点与最近一条平行线的距离，以j表示针与此线间的交角．显然0≤x≤a/20≤j≤p针与平行线相交的充要条件是x≤lsin(j)/2因(x,j)在图(4)中下面的矩形中等可能地取点，可见针与平行线相交的概率p 为图(4)正弦曲线线段与横轴围成的面积同图(4)中矩形面积的比．经计算得p= 另一方面得到如大量得投针实验，利用大数定理知：随着实验次数的增加，针与平行线相交的频率依概率收敛到概率p．那么在上式中以频率代替相应的概率p，则可以获得圆周率p的近似值．下面的程序是用matlab语言编写的计算机模拟投针以计算p 的近似值的程序．五、实验步骤1.编写MATLAB程序cleard=2l=0.5counter=0n=100x=unifrnd(0,d/2,1,n)fi=unifrnd(0,pi,1,n)for i=1:nif x(i)<1*sin(fi(i))/2counter=counter+1endendfren=counter/npihat=2*1/(d*fren)sqrt((pihat-pi)^2)结果显示:fren = 0.3300pihat =3.0303ans =0.1113以此类推：将n=1000，2000，5000，10000，20000，50000分别代入，可得：当n=1000时，fren =0.3240pihat =3.0864ans =0.0552当n=2000时，fren =0.3230pihat =3.0960ans =0.0456当n=5000时，fren =0.3204pihat =3.1211ans =0.0205当n=10000时，fren =0.3190pihat =3.1348ans =0.0068当n=20000时，fren =0.3172pihat =3.1521ans =0.0105当n=50000时，fren =0.3177pihat =3.1478ans =0.00622.改变d的取值，分别为1.5，2 ，3 ，4，5，8，10，20，50倍仍用1中的程序：cleard=3l=0.5counter=0n=100x=unifrnd(0,d/2,1,n)fi=unifrnd(0,pi,1,n)for i=1:nif x(i)<1*sin(fi(i))/2counter=counter+1endendfren=counter/npihat=2*1/(d*fren)sqrt((pihat-pi)^2)结果显示：d为1.5倍时fren =0.2300pihat =2.8986ans =0.2430d为2倍时fren =0.1700pihat =2.9412ans =0.2004d为3倍时fren =0.1100pihat =3.0303ans =0.1113d为4倍时fren =0.0800pihat =3.1250ans =0.0166d为5倍时fren =0.0600pihat =3.3333ans =0.1872d为8倍时fren =0.0400pihat =3.1250ans =0.0211d为10倍时fren =0.0300pihat =3.3333ans =0.1872d为20倍时fren =0.0100pihat =5ans =1.8539d为50倍时fren =0pihat =Infans =Inf六、结果分析1．经过n次试验后圆周率估计与的圆周π之间的差的绝对值的规律是：n的次数取值越多，圆周率估计与的圆周π之间的差的绝对值越小：圆周率越接近真值。

关于用蒲丰投针求∏值的实验报告

关于用蒲丰投针求∏值的实验报告实验目的理解蒲丰投针的模型，逐渐掌握用数学知识解决实际问题的能力掌握运用matlab 进行一般的数学运算培养团队合作精神实验原理在一张纸上画出间距为l 的多条直线，随机在上面投放长度为 a 的针，投放n 次，记与直线相交的次数为m ，当n 相当大之后，则针与线相交的概率n m p =如下图，通过分析，针与线相交的条件简化为 ϕsin 21≤x 而πϕ≤≤≤≤0,20dx这是一个几何特型的概率问题，通过推理可得(*)22s i n 210d l dd G g p ππϕϕπ===⎰的面积的面积所以，实验过程及结果用matlab 模拟投针过程求∏值的函数：function f=fun(a,l,n)x=pi.*rand(1,n);y=(a/2).*rand(1,n);c=(y<=((l/2).*sin(x)));m=sum(c);f=2*l*n/(m*a);随机一次实验求得的∏值>> a=input('a=');l=input('l=');n=input('n=');a=20l=15n=1000>> fun(a,l,n)ans =3.131524008350731>>以上得到的∏值不是十分精确，这是由于实验次数有限导致的误差，当实验的次数相当大之后，所得结果必定会更加逼近∏的精确值。

缺点和改进上述模拟实验还不是十分精确，而且没有绘图，不够直观，下次会注意模拟的更加精确，更加直观。

布丰投针数学分析与实验设计(原创)

l 由(1)和(2)我们可以得出一些结论： n 根长度为的小 n 针仍出去后压线的概率之和与一根长为 l 的针扔出去后压线 l 的概率相等；将 n 根长为的小针连接成任意形状后扔出去 n 压线的概率与长为 l 的针扔出去压线的概率相等；当 n ，线就是曲线，所以结论可以进一步推广：随机投
k
称作这个连分式的第 k 个渐进分数。同时，
k
它也是所有分母不超过
q 的分数中最接近实数 x 的分数，
k
k
是实数 x 的第 k 个最佳渐进分数。
k
求渐进连分式，当然可以用上面分式求出，下面给出第
p k 个渐进连分式的递推求法： q p a q 1 p a a 1 q a a p p ( k 2) p q a q q ( k 2 )
如上图所示，AB 针的长度为 2l ，CD 针长度为 l 。在 AB 针或 AB 针的延长线与直线的夹角为，AB 针的中点 M 的取
角相等，所以 M ' , M ' ' 是 m' , m' ' 的两倍，于是 CD 与直线相交的概率是 AB 与直线相交的概率的一半。对于其余任意夹角都有这个结论。所以：长度为 l 的针与直线相交的概率是长度为 2l 的针与直线相交概率的一半。
产生误差原因 1：m/n 的精度问题，这个是数学造成的误差。解决办法：选取合适的 m 值，使 m/n 的有效数字达到要求的精度。产生误差原因 2：如果针的端点与直线非常接近，例如相距万分之一毫米，用肉眼无法判断针是否与直线相交，造成误差。解决办法：该次事件无效，不予统计，继续进行下一次实验。产生误差原因 3：l/d 的精度问题，这是测量问题。产生误差的原因 1 和 2，我们都可以解决，使之达

布丰投针实验

布丰投针实验第一篇：布丰投针实验布丰投针实验：利用概率求圆周率布丰（Comte de Buffon）设计出他的著名的投针问题（needle problem）。

依靠它，可以用概率方法得到π的近似值。

假定在水平面上画上许多距离为a的平行线，并且，假定把一根长为l＜a的同质均匀的针随意地掷在此平面上。

布丰证明：该针与此平面上的平行线之一相交的概率为：p=2l/(api)把这一试验重复进行多次，并记下成功的次数，从而得到P的一个经验值，然后用上述公式计算出π的近似值，用这种方法得到的最好结果是意大利人拉泽里尼（Lazzerini）于1901年给出的。

他只掷了3408次针，就得到了准确到6位小数的π的值。

他的试验结果比其他试验者得到的结果准确多了，甚至准确到使人们对它有点怀疑。

还有别的计算π的概率方法。

例如，1904年，查尔特勒斯（R·Chartres）就写出了应用下列实例的报告：如果写下任意两个整数测它们互素的概率为6／π2。

下面就是一个简单而巧妙的证明。

找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰恰等于平行线间的距离d。

可以想象得到，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。

因此，如果圆圈扔下的次数为n次，那么相交的交点总数必为2n。

现在设想把圆圈拉直，变成一条长为πd的铁丝。

显然，这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些，可能有4个交点，3个交点，2个交点，1个交点，甚至于都不相交。

由于圆圈和直线的长度同为πd，根据机会均等的原理，当它们投掷次数较多，且相等时，两者与平行线组交点的总数可望也是一样的。

这就是说，当长为πd的铁丝扔下n次时，与平行线相交的交点总数应大致为2n。

现在转而讨论铁丝长为l的情形。

当投掷次数n增大的时候，这种铁丝跟平行线相交的交点总数m应当与长度l成正比，因而有：m=kl，式中k是比例系数。

为了求出k来，只需注意到，对于l=πk 的特殊情形，有m=2n。

概率论与数理统计应用实验报告

交通大学实验报告_______________________________________________________________________________ 课程：概率论与数理统计应用实验名称：概率论在实验中的应用实验日期：2021 年12 月15 日系别：电信专业班级：电信少41XX：星辰学号：2120406102_____________________________________________________________________一、实验目的：1. 了解matlab 在实现数学问题时如何应用；2. 加强对matlab 的操作能力；3. 对实际问题在概率论中的应用的理解有所加深；4. 将实际问题进展模拟，提高数学建模能力。

二、实验容：本次试验将解决下面4 个问题：1. 二项分布的泊松分布与正态分布的逼近；2. 正态分布的数值计算；3. 通过计算机模拟已有分布律进展模拟实验；4. 进展蒲丰投针实验模拟。

三、实验问题分析、解决与思考：1.二项分布的泊松分布与正态分布的逼近设X ~ B(n，p) ，其中np=21) 对n=101,…,104,讨论用泊松分布逼近二项分布的误差。

画处逼近的图形2) 对n=101,…,104, 计算)505(≤<X P ，)9020(≤<X P1〕用二项分布计算2〕用泊松分布计算3〕用正态分布计算比拟用泊松分布逼近与正态分布逼近二项分布的优劣。

解：〔1〕x = -10:0.1:10;y1 = binopdf(x,10,2/10); %此处仅列出n=10时的二项分布语句y2 = poisspdf(x,2); %泊松分布语句plot(x,y1,'r') %做出二项分布图像hold onplot(x,y2,'b') %做出泊松分布图像title('泊松分布逼近二项分布图像')(图中红线为二项分布，蓝线为泊松分布)n=10，很明显地看出拟合效果不太好，红线与蓝线没有完全重合：n=100，放大之后可以看出还是有一局部没有很好地拟合〔后为局部图〕：n=1000，仅仅只有一局部的拟合程度没有很完美〔后为局部图〕：n=10000可以看出，当n ≥100时拟合程度较好。

蒲丰投针问题

蒲丰投针问题1777年法国科学家布丰提出的一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的蒲丰投针问题。

投针步骤这一方法的步骤是：1) 取一张白纸，在上面画上许多条间距为d的平行线。

2) 取一根长度为l（l<d）的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n次，观察针与直线相交的次数，记为m3）计算针与直线相交的概率．18世纪，法国数学家布丰和勒可莱尔提出的“投针问题”，记载于布丰1777年出版的著作中：“在平面上画有一组间距为d的平行线，将一根长度为l （l<d）的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率。

”布丰本人证明了，这个概率是p=2l/(πd) π为圆周率利用这个公式可以用概率的方法得到圆周率的近似值。

下面是一些资料实验者年代投掷次数相交次数圆周率估计值沃尔夫 1850 5000 2531 3.1596 L/D=0.8史密斯 1855 3204 1219 3.1554 L/D=0.6德摩根 1680 600 383 3.137 L/D=1福克斯 1884 1030 489 3.1595 L/D=0.75拉泽里尼 1901 3408 1808 3.1415929 L/D=0.8赖纳 1925 2520 859 3.1795 L/D=0.5布丰投针实验是第一个用几何形式表达概率问题的例子，他首次使用随机实验处理确定性数学问题，为概率论的发展起到一定的推动作用。

像投针实验一样，用通过概率实验所求的概率来估计我们感兴趣的一个量，这样的方法称为蒙特卡罗方法（Monte Carlo method）。

蒙特卡罗方法是在第二次世界大战期间随着计算机的诞生而兴起和发展起来的。

这种方法在应用物理、原子能、固体物理、化学、生态学、社会学以及经济行为等领域中得到广泛利用。

法国数学家布丰（1707-1788）最早设计了投针试验。

并于1777年给出了针与平行线相交的概率的计算公式P=2L/πd(其中L是针的长度，d是平行线间的距离，π是圆周率)。

蒲丰投针试验---------概率论与数理统计

蒲丰投针试验
蒲丰资料
1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提ห้องสมุดไป่ตู้了投针试验问题.平面上画有等距离为a(a>0)的一些平行直线,现向此平面任意投掷一根长为b( b<a )的针,试求针与某一平行直线相交的概率. 解以 x表示针投到平面上时,
针的中点M到最近的一条平行
a
M x
直线的距离, 表示针与该平行直线的夹角.
1.0
0.75 0.83 0.5419
600
1030 3408 2520
382
489 1808 859
3.137
3.1595 3.1415929 3.1795
利用蒙特卡罗(Monte Carlo)法进行计算机模拟. 单击图形播放/暂停 ESC键退出取a 1, b 0.85.
利用上式可计算圆周率π 的近似值.
历史上一些学者的计算结果(直线距离a=1)
试验者 Wolf Smith 时间 1850 1855 针长 0.8 0.6 投掷次数相交次数 π的近似值 5000 3204 2532 1218 3.1596 3.1554
De Morgan 1860
Fox Lazzerini Reina 1884 1901 1925
那么针落在平面上的位置可由( x , )完全确定.
投针试验的所有可能结果与矩形区域
a S {( x , ) 0 x ,0 π} 2 中的所有点一一对应 . 由投掷的任意性可知这是一个几何概型问题.
a
M x
所关心的事件
o
A { 针与某一平行直线相交} 发生的充分必要条件为S 中的点满足 b 0 x sin , 0 π . 2

蒲丰投针试验及蒙特卡罗模拟电子教案模拟

概率模型的随机模拟与蒲丰投针实验第1章模拟1.1 模拟的概念每一个现实系统外部环境之间都存在着一定的数学的或者逻辑的关系，这些关系在系统内部的各个组成部分之间也存在。

对数学、逻辑关系并不复杂的模型，人们一般都可用解析论证和数值计算求解。

但是，许多现实系统的这种数学、逻辑模型十分复杂，例如大多数具有随机因素的复杂系统。

这些系统中的随机性因素很多，一些因素很难甚至不可以用准确的数学公式表述，从而无法对整个系统采用数学解析法求解。

这类实际问题往往可以用模拟的方法解决。

模拟主要针对随机系统进行。

当然，也可以用于确定性系统。

本文讨论的重点是其中的随机模拟。

采用模拟技术求解随机模型，往往需要处理大批量的数据。

因此，为了加速模拟过程，减少模拟误差，通常借助于计算机进行模拟，因此又称为计算机模拟。

计算机模拟就是在已经建立起的数学、逻辑模型的基础之上，通过计算机试验，对一个系统按照一定的决策原则或作业规则，由一个状态变换为另一个状态的行为进行描述和分析。

1.2 模拟的步骤整个模拟过程可以划分为一定的阶段，分步骤进行。

(1)明确问题，建立模型。

在进行模拟之前，首先必须正确地描述待研究的问题，明确规定模拟的目的和任务。

确定衡量系统性能或模拟输出结果的目标函数，然后根据系统的结构及作业规则，分析系统各状态变量之间的关系，以此为基础建立所研究的系统模型。

为了能够正确反映实际问题的本质，可先以影响系统状态发生变化的主要因素建立较为简单的模型，以后再逐步补充和完善。

(2)收集和整理数据资料。

模拟技术的正确运用，往往要大量的输入数据。

在随机模拟中，随机数据仅靠一些观察值是不够的。

应当对具体收集到的随机性数据资料进行认真分析。

确定系统中随机性因素的概率分布特性，以此为依据产生模拟过程所必需的抽样数据。

(3)编制程序，模拟运行。

选择适当的计算机语言。

按照系统的数学、逻辑模型编写计算机程序。

然后可以进行调试性模拟，分析模拟结果是否能够正确地反映现实系统的本质。

大学数学实验蒲丰投针

蒲丰掷针法一．实验目的通过蒲丰掷针法来计算pi 的近似值，其本质是蒙特卡罗法随机模拟，通过求概率来求得pi 的近似值。

二．实验内容与要求（根据问题重新叙述）在白纸上画许多等距为d 的平行线，将一根长为的d/2的直针随机投掷向白纸，在进行n 次实验之后其中有m 次与平行线相交，当n 很大时，pi 的近似值可认为是n/m 。

三．实验原理（问题假设，分析，模型建立）由于针投到纸上的时候，有各种不同的方向和位置，但是，每一次投针时，其位置和方向都可以由两个量唯一确定，即针的中点距平行线的距离（最近的平行线）d 和偏离水平的角度α。

因此只要随机生成n 对这样的 d 和 α，就可以模拟n 次的投针实验。

设平行线之间的距离为d ，以y 表示针的中点到最近的一条平行线的距离，α表示针与平行线间的夹角，其中0≤y ≤2d ,0≤α≤Pi 。

而直针与一平行线相交的充要条件：0≤y ≤4d sin α ，0≤α≤Pi 。

四．实验过程（模型求解，模型结果）当n 的值为1000时，重复5次后，计算结果分别为：PI= 3.1546 PI= 3.2895 PI= 3.3223 PI= 3.2573 PI= 3.0303当n 的值为10000时，重复5次后，计算结果分别为：PI= 3.1546 PI= 3.1676 PI= 3.1066 PI= 3.2092 PI= 3.2010 当n 的值为50000时，重复5次后，计算结果分别为：PI= 3.1584 PI= 3.1283 PI= 3.1131 PI= 3.1273 PI= 3.1644五．实验总结（结果分析）当n 的值越来越大时，可以发现通过随机模拟得到的PI 的值越来越接近真实的pi 的值（pi 的值的前8位为pi=3.1415926）虽然不是很接近pi 的值，但得到的PI 的值离真实的pi 的值越来越近。

且得到的PI 的值也越来越稳定。

六．附录（源程序）。

蒲丰投针问题_概率论论文

Buffon投针问题摘要本文讨论了Buffon投针问题的解法及其不同解法之间的内在联系，同时从投针到投平面图形对Buffon投针问题给出了一些推广，并得到一般的结论，指出了其概率在探矿、近似计算中的应用。

关键词蒲丰投针概率随机试验近似计算一、引言蒲丰投针问题是由法国科学家蒲丰（Buffon）在1777年提出的，它是概率中非常有代表性的问题，它是第一个用几何形式表达概率问题的例子，其结论具有很强的理论与实际意义。

蒲丰针问题的解决不仅较典型的反应了集合概率的特征及处理方法，而且还可以由此领略到从“概率土壤”上开出的一朵瑰丽的鲜花——蒙特卡洛（Monte-Carlo）方法。

二、Buffon投针问题及其解法Buffon投针问题：平面上画有等距离的平行线，每两条平行线之间的距离为2a，向平面任意投掷一枚长为2l(l<a)的针，试求针与平行线相交的概率。

解：以x表示针的中点M到最近一条平行线的距离，以φ表示该针与平行线的夹角。

针与平行线的关系见图1.则有：0≤x≤a，0≤φ≤π，由它们所围成的矩形区域记为G1。

针与平行线相交的充要条件是：0≤x≤lsinφ，记满足这个关系的区域为g1(图2中的阴影部分)。

则所求概率为P1=g1的面积G1的面积=∫lsinφdφπaπ=2laπ三、Buffon投针问题不同解法及其内在联系上述解法是常见解法之一(记为解法一)，这里讨论一下蒲丰针问题的其他解法及其之间的联系。

1.其他解法解法二：以x表示针的重点M到最近一条平行线的距离，y表示该针在此平行线上投影和长度，如图3所示。

易知x和y的取值范围是0≤x≤a，0≤y≤2l，这两个不等式确定了xOy平面上的矩形区域G2，针与平行线相交的充要条件是(y2)2+x2≤l2，该不等式确定了矩形区域G2(如图4所示)中的区域g2，从而所求概率为P2=g2的面积G2的面积=14·l·2l·π2l·a=lπ4a解法三：作垂直于平行线的直线，在该直线上选定一方向为正向，用z1，z2分别表示针头与针尾关于某平行线的纵坐标(如图5所示)，该平行线的选取应使|z1+z2|≤2a。

云南师范大学概率论实验报告定积分的计算

所以，J2=2*c2=0.741755.从上述结果可以看出，误差较大，必须加大容量.
实验结果与实验总结(体会)：
通过本实验的两种方法的使用，将定积分用两种不同的方法计算出来，并得到不同的结果。该两种方法是基于不同的思想原理和步骤进行的。我们在学习和使用这两种方法的过程中必须明确它们各自的原理与不同点，也要求客观的评价和使用这两种方法。当然，作为数学软件的使用，它们都是各有千秋的。
实验所用软件及版本：Microsoft office Excel 2010
主要内容(要点):
(1)用随机投点法和平均值法计算定积分:
(2)比较两种方法的精度.(n=100,1000,10000.对每一个n重复做5次),本次实验报告只做了n=1000的情况
实验过程：（含解决方法和基本步骤，主要程序清单及异常情况记录等）
进一步讨论或展望:
随机投点法与平均执法相比更复杂，它比平均值法多了一步的比较。而且，平均值法的精度比随机投点发的精度更小。
教师评语与成绩：
1.学习和掌握Excel的有关命令.
2.进一歩理解大数定律.
3.掌握随机模拟的思路.
4.比较两种方法的精度.(n=100,1000,10000)
实验原理与数学模型：
(1)随机投点法
设定积分其中在[0，1]上连续，且有 .
设服从[0,1;0,1]上的均匀分布，则可知服从[0,1]上的均匀分布，且独立.因为，所以，定积分的值就是事件的概率 .这样，根据大数定律，我们可以用频率来近似概率.具体做法如下：先产生2 上均匀的随机数： .然后
数学实验报告
实验序号：5日期：2004年5月7日
班级
B班
姓名
学号
实验
名称