01.第一讲.巧切西瓜(答案)

第一讲巧切西瓜
1．现在有半个西瓜，平放在桌子上，由你来切。

条件是只允许竖直地切，不允许横着切，也不允许斜着切。

问问你：切两刀最多能把这半个西瓜切成几块？切三刀呢？
图8-1-1竖着切，可以！图8-1-2 横着切，犯规！图8-1-3 斜着切，也犯规！
解答：
让我们拿出一张纸，既然只能竖着切，那么用一个圆就可以表示半个西瓜，用一条直线
就能表示每一刀怎么切，这样想就简单多啦，而
不用拿着真的西瓜乱切了!
首先第一刀怎么切呢？我们画一下，就会发
现原来第一刀怎么切都一样，只能将西瓜切成两
块，如右图9-0-4。

图8-1-4 一刀只能切成两块那么第二刀怎么切呢，我们可以想出两种切
法。

第一种切法如图9-0-5，如果第二刀和第一刀
不相交，只能把西瓜切成了三块；第二种切法如
图9-0-6，第二刀和第一刀相交，那么把西瓜切成
了四块。

经过试验小明知道了，竖着切两刀至多可图8-1-5 两刀可以切成3块
以把西瓜切成四块！
两刀的切法解决了，再解决三刀的切法就大功
告成啦！
其实呢，三刀的切法在前两刀切法的基础上再
切一刀就行了。

只要我们继续试验，发现第三刀共图8-1-6 两刀最多切成4块
有三种不同切法，第一种切法如图9-0-7，第三刀与前两刀都不相交，结果切成了5块；第二种切法如图9-0-8，第三刀只与前两刀中某一刀相交，结果切成了6块；第三种切法如图9-0-9，第三刀与前两刀每一刀都相交，结果切成7块。

图8-1-7 切成5块图8-1-8 切成6块图8-1-9 切成7块
原来，竖着切三刀最多可以将西瓜切成7块！
评论：
注意：如果想使切成的块数最多，切每一刀的时候就要使它和前面的每一刀都相交！
2． 半个西瓜，竖着切5刀，最多能切多少块？竖直切9刀呢？
解答：
从前面我们的切法中可以知道，要想使切出的块数最多，就必须使每一刀都与以前每一刀尽量相交。

我们在前面切三刀的解法的基础上再切第四刀，并让第四刀与前三刀都相交，发现最多可以切11块，如图9-1-1；然后再切第5刀，并且与前四刀也都相交，如图9-1-2，可以看出，竖直切5刀，最多可以切成16块。

图8-2-1 4刀最多切成11块 图8-2-2 5刀最多切成16块
5刀的问题我们解决了，但是如果继续切到9刀，画图的难度似乎越来越大了。

别着急，我们先回过头来观察一下已经得到的结论，看看有没有什么规律呢？
我们把竖直切的刀数和最多能切出的块数排列如下；
刀数 最多切的块数
0 1=1
1 1+1=2
2 1+1+2=4
3 1+1+2+3=7
4 1+1+2+3+4=11
5 1+1+2+3+4+5=16
… …
n 1+（1+2+3+…+n ）= ？
经过仔细观察分析，我们发现有这样的规律：
最多可以切出的块数 = 1+1+2+3+…+n
在这里还有一个规律：1+2+3+…+n = (1+n)×n÷2，你发现了没有？（以后我们会详细研究等差数列的，大家可不要小看等差数列呦）
所以：最多可以切出的块数 = 1+1+2+3+…+n = (1+n)×n÷2 + 1
有了这个规律，我们就不用去切9刀或者画9刀了，我们可以直接算出来，竖着切9刀最多可切出的块数为：
1+（1+9）×9÷2 = 1 + 45 = 46（块）
注意：我们这个规律只适合竖着切的情况，其他情况（横着切或斜着切）就不成立了！
3． 一块月饼，要切成11块，竖着切最少要切几刀？
解答：
切一块月饼和切半个西瓜其实是一样的，大家发现了吗，这两种情况下，我们在纸上画的都是用直线分割圆。

我们可以根据前面总结出的规律，列出那个表来，找到切11块需要切几刀：
1 3 2
4 1
2 3 4 5
1刀：1+1=2（块）
2刀：1+1+2=4（块）
3刀：1+1+2+3=7（块）
4刀：1+1+2+3+4=11（块）
……
于是可以知道，把一个月饼竖着切成11块，至少需要4刀。

4．一块月饼，要切成20块，竖直切最少要切多少刀？
解答：
我们接着考察前面表中的列出的数据：
1刀：1+1=2（块）
……
5刀：1+1+2+3+4+5=16（块）
6刀：1+1+2+3+4+5+6=22（块）
……
我们发现5刀至多能切出16块，而6刀则最多可以切出22块，所以我们可以知道，要切20块的话，5刀肯定不行，6刀则可以完成任务。

因此，至少需要竖直地切6刀。

注意：表中只列出了最多的可能，例如6刀最多可以切出22块，那么6刀当然可能切出20块，想一想怎样切？而且，6刀也能切出18块呢。

再想一想，6刀最少可以将西瓜切成几块？
5．你能把一块豆腐切3刀，切成8小块吗？怎样切？
解答：
同学们要认真读题哦，题目并没有要求我们像以前那样竖直切下去，这次是可以斜着或者横着切的。

而且如果竖直切的话，3刀至多切出7块，也是切不出8块来的。

所以我们可以先竖着切然后再横着切，如果我们竖直切两刀可以切成4块，再横切一刀分成两层就变成了4×2=8块。

而从前面可以知道，竖着切两刀，最多切出1+1+2=4块，因
第一刀第二刀第三刀
6．小明过生日，要把一个大蛋糕分成12块，想一想，小明要怎样切，最少切几刀？
解答：
最少要切4刀。

如下图，先竖着切3刀，再横着切一刀。

想一想，还有别的切法吗？
7． 一个长方形，用剪刀剪下一个角，还剩多少个角？
解答：
与剪的方式有关，可能剩下5个角，4个角，或者3个角，如图（右上角是被剪掉的角）：
还剩5个角 还剩4个角 还剩3个角
8． 三个完全一样的圆，最多可以将平面分成几部分？
解答：
仿照例7的思路，仍然从一个圆的简单情形开始考虑，做出图形来参考，如下图分别为一个、二个、三个相同的圆最多可以将平面分成几部分。

发现与例题非常类似，新画的圆和原来的圆交点越多，划分出的部分越多。

如图可知三个同样的圆最多可以将平面分成8部分。

9． 一块豆腐，四刀切成十二块，怎样切？方法唯一吗？
分析与解答：
如果竖着切4刀，无法切成12块！（为什么？）鉴于前面两题的经验，我们先横切一刀将豆腐分成上下两层，然后再竖切三刀将豆腐切成六块就可以了。

由于竖切三刀最多能将豆腐切成1+1+2+3=7块，所以切成6块也是可以的。

如图9-6-1，从顶上3刀已经将豆腐切成6块，再横切一刀就可以得到6×2=12块了。

图9-6-1 图9-6-2
另解：
在例5答案的基础上，再横切一刀，这样一共3层，每层4块，一共4×3=12块，如图9-6-2，这样的切法也是满足要求的。

10．两个完全一样等边三角形，可以把一个平面分成多少个部分？最多呢？ 分析与解答：
从最简单的情况开始思考，边想边画。

注意：一个三角形可以将一个平面分成两个部分——内部和外部！
如图9-7中，两个相同的等边三角形，可以根据相对位置的不同将平面分成3，4，5
，1 2 2
3 1
4 1 4 7
5 3
6 2
8
6，7，8个部分。

经过试验可以知道，同切西瓜类似，让三角形的边的交点越多，那么分出的区域也越多。

所以最后答案为8，如图。

一个三角形分平面成2部分 两个三角形分平面成3部分
两个三角形分平面成4部分 两个三角形分平面成5部分 两个三角形分平面成6部分
两个三角形分平面成7部分 两个三角形分平面成8部分
图9-7 三角形是如何划分平面的
11． 两个同样大小的正方形，最多能将平面分成多少个区域？
解答：
与例7类似，交点越多越好。

最多可以将平面分成10个区域，如图。

12．一个五角星，一刀最多能切掉几个角？想一想，怎样才能一刀切掉5个角呢？ 解答：
(1) 一刀最多能切掉2个角，如图：
2 1
3 1
2 3 1 2 4 3 1 2 5 4 3 1 2 6 4 5
3
1 2 8 4 5 6 7 1 3
4
5
2 9 8 7 6 10
(2) 因为五角形是对称图形，可以沿图中虚线先把五角星折起来，然后就可以一刀切掉5个角了：。