近似算法
近似算法与性能分析
近似算法与性能分析
局部搜索的原理与应用
局部搜索的原理与应用
▪ 局部搜索原理
1.局部搜索是一种在解决方案空间中寻找近似最优解的方法， 通过在当前解周围进行邻域搜索，逐步改进解的质量。 2.局部搜索的原理主要包括两个核心步骤：产生新解和接受新 解。通过对当前解的邻域进行探索，生成新的候选解，并根据 一定接受准则决定是否接受新解作为当前解。 3.局部搜索的有效性取决于邻域结构和接受准则的设计。合适 的邻域结构能够产生质量更好的新解，而合理的接受准则能够 保证搜索过程向更好的方向进行。
近似算法与性能分析
线性规划的原理与应用
线性规划的原理与应用
线性规划原理
1.线性规划是一种求解最优化问题的数学方法，其目标函数和约束条件均为线性函数。 2.线性规划的原理包括单纯形法和内点法等求解方法，能够高效地解决线性规划问题。 3.线性规划的应用范围广泛，包括生产计划、货物运输、资源分配等领域。
动态规划应用
1.动态规划在计算机科学和工程领域有广泛应用，如计算机网 络中的路由协议、语音识别、生物信息学中的序列比对等。 2.在解决实际问题时，首先需要确定问题是否具有“最优子结 构”性质，即问题的最优解能否由其子问题的最优解组合而成 。 3.动态规划的应用需要充分考虑问题的约束条件和目标函数， 以确保算法的正确性和效率。 以上内容仅供参考，建议查阅专业书籍或咨询专业人士获取更 全面和准确的信息。
▪ 贪心算法的优缺点
1.贪心算法的优点是简单、高效，适用于大规模数据的处理。 2.缺点是不一定能够得到全局最优解，只能得到近似最优解。
贪心算法的原理与应用
▪ 贪心算法的经典案例
1.活动选择问题：选择尽可能多的互不冲突的活动。 2.货郎担问题：经过若干个城市，选择最短的一条路径。
数学中的近似算法
数学中的近似算法近似算法是指通过一系列计算步骤，近似地求解某个数学问题。
在数学领域中，我们经常会遇到一些难以精确求解的问题，这时候，近似算法就能帮助我们在可接受的误差范围内获得近似的解。
一、近似算法简介近似算法通常是在充分利用已知信息和资源的情况下，通过适当的逼近和调整，得出一个接近于准确解的结果。
它的优势在于其可行性和实用性，虽然无法保证完全准确，但却能在较短的时间内给出一个比较好的解。
二、常见的近似算法1. 近似求解函数极值的方法在数学中，我们经常会面临求函数的极值问题，通常可以通过近似求解的方法得到一个较优的解。
例如，梯度下降法、模拟退火算法等都是常用的近似求解函数极值的方法。
这些算法通过调整函数的自变量，以逐步优化目标函数的值，最终得到一个极值点。
2. 近似计算积分的方法计算复杂函数的积分往往是一项具有挑战性的任务，而近似计算积分的方法可以大大简化计算过程。
例如，辛普森法则、梯形法则等都是常用的近似计算积分的方法。
这些方法通过将区间分割为若干个小段，并在每个小段上做线性或非线性逼近，从而得到整个区间上的近似积分值。
3. 近似求解方程的方法求解非线性方程在数学中也是一项困难的任务，而近似求解方程的方法可以提供一个接近准确解的答案。
例如，牛顿迭代法、二分法等都是常用的近似求解方程的方法。
这些方法通过不断迭代的方式，逐步逼近方程的根，从而得到一个近似解。
4. 近似计算特殊函数值的方法特殊函数在数学中广泛应用，但其计算常常十分复杂。
而近似计算特殊函数值的方法可以在保证一定精度的情况下，大大简化计算。
例如，泰勒展开、二项式展开等都是常用的近似计算特殊函数值的方法。
这些方法通过将函数在某一点展开为幂级数或多项式，再仅计算有限项，从而得到特殊函数的近似值。
三、近似算法的应用案例1. 图像压缩图像压缩是一种常见的应用场景。
在图像压缩中，我们可利用近似算法，通过降低图像色彩的精度或其他方法，以减少图像文件的大小，同时尽量保留图像的质量。
高考数学应试技巧之近似算法
高考数学应试技巧之近似算法数学被誉为一门科学的基础学科，也被称作是最具有钻研性的学科之一。
在高中学习过程中，数学知识的学习和掌握对于每一个学生来说都至关重要。
在高考中，数学成绩的好坏可以决定一个学生的考取去向。
因此，在备考阶段掌握一些高考数学应试技巧是至关重要的。
本文将着重介绍一种高考数学中非常常见的近似算法。
一、近似算法的定义近似算法是一种利用简单的数学方法，将实际问题简化为可以计算的近似值，从而迅速得出高精度答案的方法。
在数学竞赛和高考中，很多问题都需要使用近似算法来解决，因为高次方程、三角函数的精确值都不易求解。
所以，掌握近似算法对于高考数学的学习是至关重要的。
二、近似算法的分类（一）上取整和下取整法当我们计算除法时，如果希望得到的结果更加精确，可以尝试使用上取整或者下取整法。
例如，当我们需要计算 $ \frac{7}{3} $ 的值时，近似算法可以选择上取整法将其转化为 $ \lceil\frac{7}{3} \rceil =3 $ 或下取整法将其转化为 $ \lfloor \frac{7}{3}\rfloor =2 $ 。
这样计算出来的结果是相对精确的。
但是，在应用这种算法时，需要注意一些特殊情况。
例如，当被除数为正数，而除数为负数时，需要使用下取整法。
（二）牛顿迭代法牛顿迭代法是一种高级的近似算法，可以用于求解各种方程的根。
比如，我们需要求解$x$的平方根的问题，可以使用如下的迭代公式：$ x_{n+1} = \frac{1}{2}( x_{n} + x_{0} / x_{n}), n\ge0 $ ，其中 $x_{0}$表示要求解的值。
当$n$足够大时，$x_{n}$则可以视作$x$的平方根。
三、近似算法的应用近似算法在高考数学中，常常被用于解决求解三角函数值、计算级数的问题。
例如，在计算三角函数的时候，我们可以使用泰勒公式来进行近似计算。
泰勒公式表达式如下：$ \sin x = x-\frac{x^3}{3!} +\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$ ，$ \cos x =1-\frac{x^2}{2!} +\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$ 。
运筹学中整数规划问题的近似算法
运筹学中整数规划问题的近似算法运筹学是一门研究如何在有限资源下做最优决策的学科，其中整数规划是其中一种重要的决策方法。
整数规划问题是指在线性规划问题的基础上，对决策变量的取值加以限定，限定为整数值。
整数规划问题在实际应用中非常常见，例如优化生产计划、物流配送、资源分配等。
然而，整数规划问题的解空间通常是离散的，由于整数规划问题的NP难解性质，寻找准确解的效率很低，因此近似算法成为解决整数规划问题的重要手段。
一、近似算法的概念近似算法是指在可接受的误差范围内，通过有效的计算方法得到问题的近似最优解。
在整数规划问题中，近似算法主要通过松弛约束条件、局部搜索等方法寻找问题的近似解。
二、近似算法的分类近似算法可以根据问题的特性和解决方法的不同进行分类，下面介绍几种常见的近似算法。
1. 线性松弛算法（Linear Relaxation）线性松弛算法是整数规划问题中常用的近似算法之一。
该算法的基本思想是将整数规划问题的整数约束放宽为实数约束，得到一个线性规划问题。
然后通过求解线性规划问题的松弛解，并将松弛解的整数部分作为整数规划问题的一个近似解。
2. 近似局部搜索算法（Approximate Local Search）近似局部搜索算法通过在整数规划问题的解空间中进行局部搜索，通过一系列的改进和优化策略来逐步提高解的质量。
该算法在每一步都根据某种准则选择当前最优解，并通过局部搜索来寻找局部最优解。
然后，通过重复进行局部搜索和改进操作，逐渐向全局最优解靠近。
3. 启发式算法（Heuristic Algorithm）启发式算法是一种基于经验和直觉的算法，通过在可行解空间中搜索一组近似解，并根据某种评价准则选择最优解。
在解决整数规划问题时，启发式算法通过寻找有效的近似解，来替代寻找准确解，从而节省计算资源和时间。
三、近似算法的应用案例近似算法在实际问题中有广泛的应用，下面以物流配送问题为例，介绍近似算法的应用。
假设某物流公司需要将一批货物从仓库分配到多个客户，其中仓库和客户的位置已知，货物的需求和供应量也已知。
算法复杂度分析中的近似算法
算法复杂度分析中的近似算法随着计算机科学的发展，算法复杂度分析成为了评估算法效果和性能的重要方法之一。
在算法复杂度分析中，近似算法是一种重要的技术手段，用于解决NP-难问题或其他无法在多项式时间内求解的问题。
本文将介绍算法复杂度分析中的近似算法及其应用。
一、近似算法的基本概念近似算法是一类用于求解问题近似解的算法，其核心思想是在有限时间内找到一个接近最优解的解。
近似算法常用于求解优化问题，例如旅行商问题、背包问题等。
近似算法的输出称为近似解，与最优解的差距被称为近似比。
二、近似算法的分类根据问题的性质和求解过程的策略，近似算法可以分为以下几种类型：1. 贪心算法：贪心算法通过每一步都选择当前最优的解决方案来逐步求解问题。
尽管贪心算法不一定总能得到最优解，但它具有高效性和简单性的优势，常常应用于实际问题的求解。
2. 近似随机算法：近似随机算法通过引入随机性来求解问题，其中最著名的算法是马尔科夫链蒙特卡洛方法。
该方法通过在状态空间中的随机游走来逼近问题的最优解，其近似比与马尔科夫链的收敛速度有关。
3. 近似启发式算法：近似启发式算法通过结合问题的特点和启发信息来搜索问题的解空间。
典型的近似启发式算法包括模拟退火算法、遗传算法等。
这些算法通常具有较好的近似性能，但在计算复杂度上较高。
4. 近似线性规划算法：近似线性规划算法通过对问题进行线性规划松弛来获得问题的近似解。
该方法可以用于求解整数规划问题，并且具有较好的性能保证。
三、近似算法的性能评估在使用近似算法时，一个关键的问题是评估其解的质量和性能。
为此，我们引入了近似比的概念。
近似比是近似算法输出解与最优解之间的比值。
对于最大化问题，我们希望近似比越大越好；而对于最小化问题，我们则希望近似比越小越好。
通常情况下，我们希望近似算法具有多项式时间复杂度，并且能够输出具有较好近似比的近似解。
四、近似算法的应用近似算法在实际问题中具有广泛的应用，以下是其中一些典型的应用：1. 旅行商问题：旅行商问题是一个经典的组合优化问题，目标是找到一条经过所有城市且总长度最短的路径。
近似算法理论分析
近似算法理论分析近似算法是在计算问题的解决过程中，通过一定的近似策略来寻找问题的近似解，这样可以在多项式时间内得到一个接近最优解的解决方案。
近似算法理论分析是对近似算法性能进行理论上的衡量和评估。
在近似算法的理论分析中，通常使用近似比或近似比界来衡量算法的近似程度。
对于最优化问题，其最优解为OPT，而近似算法得到的解为APX，并且存在一个常数c，使得算法得到解APX满足以下条件：APX≤c×OPT近似比的取值范围在[1,+∞]之间，当近似比为1时，算法得到的解与最优解相等或非常接近；当近似比为大于1的常数时，算法得到的解与最优解的差距会相应增大。
近似比界是指近似算法的最优近似比的上界。
对于一个问题，最优的近似比界往往很难确定，因此通常通过设计近似算法，通过实际求解问题来得到一个近似比界的估计值。
在进行近似算法的理论分析时，通常会涉及到以下几个方面：1.算法的设计思路：描述算法的整体框架和核心思想，通过简洁明了的描述来阐述算法的设计思路。
2.问题的数学表示和形式化定义：将问题转化为严格的数学表示，明确问题的输入和输出，以及问题的约束条件。
3.问题的最优解的定义：明确问题的最优解的定义和求解目标，为后续的理论分析提供准确的基础。
4.算法的正确性证明：通过数学推导和严密的推理，证明算法的输出符合问题的要求，即算法的解是问题的一个合法解。
5.算法的近似性分析：通过数学推导和估计，分析算法得到的解与最优解之间的近似程度。
通常使用近似比或近似比界来衡量算法的性能。
6.算法的时间复杂度和空间复杂度：分析算法的时间复杂度和空间复杂度，评估算法的运行效率和资源消耗情况。
近似算法的理论分析是为了对算法的性能进行客观评估和比较，并为实际应用场景中的问题提供解决方案。
通过近似算法的理论分析，可以知道算法在实际应用中的优劣势，为问题求解提供一个可接受的解决方案。
同时，理论分析也可以指导算法的改进和优化，使得算法在实际应用中能够更好地适应各种特殊情况和约束条件。
常见的随机算法、近似算法和启发式算法的案例
常见的随机算法、近似算法和启发式算法的案例常见的随机算法、近似算法和启发式算法的案例有：
随机算法：
1. 随机洗牌算法：用于打乱一组数据的顺序，常用于实现随机排列或游戏中的洗牌操作。
2. 蒙特卡洛算法：通过随机采样的方法，来估计一个问题的解或某个数值的概率分布，例如蒙特卡洛模拟的方法用于计算圆周率π的值。
近似算法：
1. 近似最近邻算法：快速搜索给定查询点最近邻的点，而不需要对所有数据点进行完全搜索，例如kd树算法。
2. 近似最小覆盖问题的算法：在给定一组区域的情况下，选择尽可能少的区域来覆盖所有点，例如贪心算法。
启发式算法：
1. 蚁群算法：模拟蚂蚁在寻找食物时的行为，通过信息素的释放和感知，来寻找全局最优解，常用于求解旅行商问题。
2. 遗传算法：基于生物进化理论，通过模拟自然选择、基因交叉、变异等操作，来搜索优化问题的解空间，例如用于解决旅行商问题或优化函数的最优解。
近似算法性能提升
▪ 可扩展性评估
1.可扩展性评估是衡量近似算法在处理更大规模和更复杂问题 时的性能和可扩展性的重要指标。 2.通过分析算法在不同规模和数据集上的性能表现，可以评估 近似算法的可扩展性和未来发展潜力。 3.提高近似算法的可扩展性可以使其更好地应对复杂问题和大 规模数据集的挑战，为实际应用提供更多价值。
▪ 空间复杂度评估
1.空间复杂度是衡量算法所需内存空间的重要指标，对于大规 模数据集和复杂问题尤为重要。 2.近似算法通常需要权衡运行时间和空间复杂度之间的关系， 以达到更好的性能。 3.通过优化数据结构和算法实现，可以降低近似算法的空间复 杂度，提高内存使用效率。
性能评估标准
▪ 近似比评估
1.近似比是衡量近似算法解决问题优劣程度的重要指标，反映 了算法的理论性能。 2.通过分析近似比的上界和下界，可以评估近似算法在不同问 题实例上的性能表现。 3.近似比需要与实际问题相结合，考虑实际应用场景下的性能 和效果。
近似算法性能提升
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Contents Page
1. 近似算法简介 2. 性能评估标准 3. 经典近似算法介绍 4. 近似算Байду номын сангаас性能瓶颈 5. 性能提升方法概述 6. 具体提升技术详解 7. 提升效果实验验证 8. 总结与展望
近似算法性能提升
近似算法简介
近似算法简介
近似算法定义
1.近似算法是在给定资源限制下，找到接近最优解的算法。 2.近似算法可以在多项式时间内得到近似最优解，适用于大规模优化问题。
近似算法分类
1.按照近似比例可以分为常数倍近似算法和多项式倍近似算法。 2.按照问题类型可以分为组合优化问题和连续优化问题的近似算法。
近似算法简介
▪ 近似算法性能评估
近似算法在NP难问题求解中的应用
近似算法在NP难问题求解中的应用近似算法是一种用于解决NP难问题的方法。
NP难问题是指在多项式时间内无法找到最优解的问题。
近似算法的目标是在合理的时间范围内找到一个接近最优解的解决方案。
本文将探讨近似算法在NP难问题求解中的应用，并介绍其中的一些经典算法。
一、近似算法的基本原理近似算法通过牺牲一定的解决精度来换取更高的求解效率。
它的基本思想是从一个初始解开始，逐步进行优化，并在每一步中只寻找局部最优解。
近似算法的时间复杂度通常是多项式级别的，因此可以在较短的时间内得到一个相对较好的解决方案。
二、近似算法的经典问题近似算法可以应用于很多NP难问题，如图着色、旅行商问题、集合覆盖等。
下面将介绍其中几个经典的近似算法应用案例。
1. 图着色问题图着色问题是指给定一个无向图，如何为每个顶点着色，使得相邻的顶点具有不同的颜色。
这是一个NP难问题，但可以使用近似算法来求解。
其中一种经典的近似算法是贪心算法，它从一个初始解开始，每次选择一个未被着色的顶点，并为其指定一个未被使用的颜色。
该算法的时间复杂度为O(n^2)，可以在多项式时间内找到一个近似最优解。
2. 旅行商问题旅行商问题是指给定一组城市和它们之间的距离，找到一条路径使得旅行商依次经过每个城市并最终回到起点，且总路径长度最短。
这是一个经典的组合优化问题，也是一个NP难问题。
近似算法可以通过构造一个近似最优解来求解该问题，如最小生成树算法和蚁群算法等。
3. 集合覆盖问题集合覆盖问题是指如何从一个给定的集合中选择一些子集，使得这些子集的并集恰好包含了原始集合中的所有元素。
该问题也是一个NP难问题，但可以使用近似算法求解。
一种经典的近似算法是贪心算法，它每次选择覆盖了最多未覆盖元素的子集，直到所有元素都被覆盖。
该算法的时间复杂度为O(n^2)，可以在多项式时间内找到一个近似最优解。
三、近似算法的优缺点近似算法的优点是可以在多项式时间内找到一个接近最优解的解决方案，这对于很多实际问题来说已经是足够好的结果。
定积分的近似计算方法
定积分的近似计算方法定积分是微积分中的重要概念，它代表了曲线与坐标轴之间的有限面积。
在实际问题中，有时候我们需要计算一些函数在一定范围内的定积分，以获得其中一种物理量或求解其中一种问题的解析解。
然而，有些函数的原函数较复杂甚至难以找到，这时候我们就需要使用定积分的近似计算方法。
下面将介绍几种常用的定积分近似计算方法：1.矩形法：矩形法是最简单的一种近似计算方法。
它的思想是将积分区间等分成若干个小区间，然后在每个小区间上选择一个代表点，通过函数在这些代表点处的函数值与小区间长度的乘积来近似计算定积分。
具体计算公式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ Δx * (f(x₁) + f(x₂) + ... + f(xₙ))其中，Δx=(b-a)/n，n为小区间个数，x₁、x₂等为代表点。
当n越大时，近似结果越接近真实结果。
2.梯形法：梯形法是将积分区间分成若干个小区间，然后在每个小区间上构造一个梯形，通过计算梯形的面积来近似计算定积分。
具体计算公式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ Δx * (f(x₁) + f(x₂))/2 + Δx * (f(x₂) +f(x₃))/2 + ... + Δx * (f(xₙ-1) + f(xₙ))/2其中，Δx=(b-a)/n，n为小区间个数，x₁、x₂等为小区间的端点。
3.辛普森法：辛普森法是一种比矩形法和梯形法更精确的近似计算方法。
它的思想是将积分区间分成若干个小区间，然后在每个小区间上构造一个二次多项式，通过计算这些二次多项式的面积来近似计算定积分。
具体计算公式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ Δx * (f(x₀)+4f(x₁)+f(x₂))/3 + Δx *(f(x₂)+4f(x₃)+f(x₄))/3 + ... + Δx * (f(xₙ-2)+4f(xₙ-1)+f(xₙ))/3其中，Δx=(b-a)/n，n为小区间个数，x₀、x₁、x₂等为小区间的端点。
4.蒙特卡洛法：蒙特卡洛法是通过随机抽取点的方法来近似计算定积分。
近似算法
近似算法1 近似算法所有已知的解决NP-难问题算法都有指数型运行时间。
但是，如果我们要找一个“好”解而非最优解，有时候多项式算法是存在的。
给定一个最小化问题和一个近似算法，我们按照如下方法评价算法：首先给出最优解的一个下界，然后把算法的运行结果与这个下界进行比较。
对于最大化问题，先给出一个上界然后把算法的运行结果与这个上界比较。
1.1最小顶点覆盖先来回忆一下顶点覆盖的定义，它是一个与图中所有边相关联的顶点集。
最小顶点覆盖问题是要找一个顶点数最少的顶点覆盖。
最小顶点覆盖的下界可以由最大匹配给出。
因为匹配中任两边不相邻，所以匹配中的每条边至少有一个顶点在顶点覆盖中。
而且，注意到在最大匹配中所有匹配顶点的集合就是一个顶点覆盖。
这是因为，任何一条两端点均未被匹配的边可以添加到匹配中，与匹配的最大性相矛盾。
显然，这个算法包含的顶点数是我们的下界，最大匹配的边数，的两倍。
因此，算法得到的值不会超过最优值的两倍。
我们感兴趣的两个问题是：相对于最优解，我们的下界到底有多“好”，而最后的解又有多“好”？首先来说明下界可能是最优值的两倍。
例如n条边的完全图，最大匹配有条边，所以我们的下界是。
但是，需要n-1个顶点来覆盖这个图。
因为任取一个n-2个顶点的集合，此图是完全图，在被删掉的两个顶点之间肯定存在一条边与选中的这n-2个顶点不关联。
N足够大时，我们有。
因此，比较算法与这个界，不可能有比最优值的2倍更好的下界了。
接下来比较算法的最后结果与最优解。
算法输出被最大匹配匹配的所有顶点。
考虑每部分有n个顶点的完全二分图，这个图存在完美匹配，因此算法输出每一个顶点，即2n个顶点。
但是最优顶点覆盖仅包含来自一边的n个顶点。
可以看出，算法的下界是紧的。
1.2 旅行售货员问题旅行售货员问题如下：给定一个完全图和一个定义在每条边上的距离函数，找一个长度最小的哈密顿圈。
注意，最小支撑树(MST)是最优解的一个下界。
因为如果有一条途径比MST更短，那么在此途径中删掉一条边，就可以得到更小的支撑树。
近似算法
0.4(s6)
0.5(s5)(d) 箱子4 0.2(s10) (e) 箱子5
算法11.1——顶点覆盖问题 1．for (i=0; i<n; i++) //顶点覆盖初始化为空 x[i]=0; 2．E'=E； 3．循环直到E'为空 3.1 从E'中任取一条边(u, v)； 3.2 x[u]=1; x[v]=1; //将顶点u和v加入顶点覆盖中 3.3 从E'中删去与u和v相关联的所有边；
首次适宜法首先将所有的箱子初始化为空，然后依次
取每一个物品，将该物品装入第一个能容纳它的箱子中。 例如，有10个物品，其体积分别为S＝(4, 2, 7, 3, 5, 4, 2, 3, 6, 2)，若干个容量为10的箱子，采用首次适宜 法得到的装箱结果如图11.3所示。
0.3(s4) 0.2(s2) 0.4(s1) (a) 箱子1 (b) 箱子2 0.2(s7) 0.7(s3)
设算法11.2中深度优先遍历生成树T得到的路线为R，则 R中对于T的每条边都经过两次，所以，有：
W(R)=2W(T)
算法11.2得到的近似解H是R删除了若干中间点（不是 第一次出现的顶点）得到的，每删除一个顶点恰好是用三 角形的一条边取代另外两条边。例如，在图11.2中，遍历生 成 树 的 路 线 为 a→b→c→b→h→b→a→d→e→f→e→g→e→d→a，删除第2 次出现的顶点b，相当于用边(c, h)取代另外两条边(c, b)和(b, h)。由三角不等式可知，这种取代不会增加总代价，所以， 有 W(H)≤W(R) 从而 W(H)≤2W(H*) 由此，算法11.2的近似比为2。
即使某个问题存在有效算法，好的近似算法也会发挥作 用。因为待求解问题的实例是不确定的，或者在一定程度上 是不准确的，如果使用近似算法造成的误差比不精确的数据 带来的误差小，并且近似算法远比精确算法高效，那么，出 于实用的目的，当然更愿意选择近似算法了。 近似算法的基本思想是用近似最优解代替最优解，以换 取算法设计上的简化和时间复杂性的降低。近似算法是这样 一个过程：虽然它可能找不到一个最优解，但它总会为待求 解的问题提供一个解。为了具有实用性，近似算法必须能够 给出算法所产生的解与最优解之间的差别或者比例的一个界 限，它保证任意一个实例的近似最优解与最优解之间相差的 程度。显然，这个差别越小，近似算法越具有实用性。
第十五章近似算法
第⼗五章近似算法1第⼗五章近似算法输⼊数据本⾝就是近似的很多问题的最优解，允许有⼀定程度的近似采⽤近似算法可以在很短的时间内得到问题的解（特别是与指数时间相⽐较）15.1 近似算法的性能⼀、近似算法的基本要求对于规模为n 的问题，1. 算法能以n 的多项式时间内完成；2. 算法的近似解满⾜⼀定的精度。
⼆、近似⽐率1、近似算法的近似⽐率∏是最⼩化问题，I 是∏的⼀个实例，A 是解∏的⼀个近似算法， )(I A 是⽤算法A 对∏的实例I 求解时得到的近似值；OPTA 是解∏的最优算法， )(I OPTA 是算法OPTA 对∏的实例I 求解时所得到准确值。
则近似算法A 的近似⽐率)(I ρ为：)()()(I OPTA I A I =ρ如果∏是最⼤化问题，则)(I ρ为：)()()(I A I OPTA I =ρ2、与近似⽐率相关的问题1）对最⼩化问题，有：)()(I OPTA I A ≥；对最⼤化问题，有：)()(I OPTA I A ≤。
2）近似算法A 的近似⽐率)(I ρ总⼤于或等于1。
3）近似算法的近似⽐率越⼩，则算法的性能越好。
三、相对误差1、相对误差的定义相对误差表⽰近似算法的精确度，相对误差定义为：)()()(I OPTA I A I OPTA -=λ2、相对误差的界2若对输⼊规模为n 的问题，存在函数)(n ε，使得：)()()()(n I OPTA I A I OPTA ε≤-称函数)(n ε为近似算法A 的相对误差的界。
3、相对误差)(n ε与近似⽐率)(n ρ的关系1)()(-≥n n ρε。
四、优化问题的近似⽅案（approximation scheme ）1、很多难解的问题，可以增加近似算法的计算量，来改善近似算法的性能。
2、优化问题的近似⽅案把满⾜εερ+≤1),(I A 的⼀类近似算法}0|{>εεA ，称为优化问题的近似⽅案算法的性能⽐率会聚于1。
3、多项式近似⽅案（polynomial approximation scheme PAS ）近似⽅案中的每⼀个算法εA ，以输⼊实例的规模的多项式时间运⾏，称该近似⽅案为多项式近似⽅案。
组合优化问题中的近似算法研究
组合优化问题中的近似算法研究在组合优化问题中，难以通过精确算法直接解决的问题常常需要利用近似算法来求解。
近似算法是指在一定误差范围内，能够快速求解问题的算法。
在实际应用中，近似算法经常被采用来解决诸如最大切割问题、最长路径问题等NP难问题。
组合优化问题可以被抽象为各种图形、网络、森林等结构形式。
这些问题的求解通常需要在整个“可能解”空间中搜索最优解，这种搜索方式在大多数情况下是不现实的。
因为，当问题的规模逐渐增大时，搜索解空间的复杂度会呈指数级增长。
因此，近似算法成为解决组合优化问题的一种有效策略。
常见的近似算法包括按比例取整法、贪心算法、拉格朗日松弛法、动态规划法、随机化算法等。
其中，按比例取整法和贪心算法适用于解决比较简单的问题，而拉格朗日松弛法、动态规划法和随机化算法则用于解决更为复杂的组合优化问题。
按比例取整法是指按比例将每个根据其价值大小进行分割的算法。
例如，在最大切割问题中，可以将每个边根据其权值大小进行分割，然后依次计算切面，得到最大切割。
按比例取整法虽然易于实现，但其求解结果往往与实际情况有较大的误差，通常用于初步方案设计与比较。
贪心算法是指根据局部最优解，在整个可能解空间中寻找最优解的方法。
例如，在最大顶点覆盖问题中，贪心算法每次将一个未被覆盖的顶点添加到集合中，并将与其相连的边标记为已覆盖。
一直这样进行下去，直到全部顶点都被覆盖。
贪心算法的优点是求解速度快，但其结果也难以保证最优。
拉格朗日松弛法是一种将约束条件松弛的方法，从而将原问题转换为更容易求解的问题。
例如，在背包问题中，将约束条件变为不等式约束，将整数规划问题转换为线性规划问题。
虽然拉格朗日松弛法可以获得较为精确的结果，但其求解时间相对较长。
动态规划法是一种将问题分解为多个子问题，并逐步求解的方法。
例如，在最长公共子序列问题中，通过比较两个序列的前缀来构建子问题。
动态规划法的求解结果通常是最优解，但其需要占用较多的存储空间。
组合优化问题的近似算法研究
组合优化问题的近似算法研究一、组合优化问题简介组合优化问题指的是，在满足一定的限制条件下，寻求某种指标的最优解的问题，其中限制条件和指标通常都是离散的。
组合优化问题在现实生活中非常常见，如任务分配、路线规划等等。
然而，由于其NP困难的性质，使得传统精确算法无法高效地解决该类问题。
二、组合优化问题的近似算法近似算法是指，在多项式时间内，对组合优化问题的最优解进行一个近似的估计，而不一定得到精确解。
当问题规模较大时，近似算法能够在可接受的时间内得到一个合理的解，具有一定实用价值。
1.近似比在研究近似算法时，第一个需要考虑的指标便是近似比。
近似比可以被定义为算法得到的近似解与问题的最优解的比值。
以任务分配问题为例，假设问题的最优解为OPT，算法得到的近似解为ALG，则$approximation \ ratio=\frac{ALG}{OPT}$。
显然，近似比越接近1，则算法得到的近似解越优。
2.贪心算法贪心算法是一种常用的近似算法，其策略是在每一步选择当前情况下看似最优的选择，最终得到一个近似解。
然而，贪心算法往往不能得到问题的最优解，其近似比通常不稳定。
可根据具体问题的特征设计不同的贪心策略，提高贪心算法的近似效果。
3.LP松弛LP松弛是指将问题的整数限制条件替换为线性限制条件，转化为线性规划（LP）问题，并求解其松弛问题的最优解。
通过这种方法，我们可以得到一个上界，即问题的最优解的一个下界。
与此同时，我们也可以得到问题的一个近似解。
然而，由于线性规划问题的复杂性，LP松弛只适用于一部分组合优化问题。
4.随机化算法随机化算法是指在算法中引入一定的随机性，通过多次重复执行，得到问题的多个近似解，最终选取其中最优的一个。
随机化算法往往能够得到问题的较好的近似解。
其中，拉斯维加斯算法保证了解的正确性，但是其运行时间较长；蒙特卡罗算法运行时间短，但得到的解可能无法保证正确。
5.局部搜索局部搜索是指从一个初始解开始，不断调整当前解使其满足限制条件，直到无法再进行任何调整时得到一个局部最优解。
近似算法
多项式近似方案：
对于某正整数k，令 ε 1/k 。 算法 Aε 的步骤： maxv=0 for 物品集合每个大小<=k的子集S do 将S中的物品放入背包（放得下时）
• 算法原理及应用
对U-S(剩余的物品集合)运行算法KNAPSACKGREEDY if v>maxv then maxv=v // v为背包中物品的总价值 end for
（不妨设s1, s2, …, sn <=C）
子集和问题是0/1背包问题的特例：
每种物品的体积与价值数值相等：si= vi ，i=1,2,…n 背包容量取C
动态规划算法：算法15.4.doc (P253)
近似算法—设计、分析及应用
具有完全多项式近似方案的问题
子集和问题
完全多项式近似方案
近似算法—设计、分析及应用
装箱问题
• 算法原理及应用
近似算法：
最先适配法(FF)：箱子编号为1, 2, …, n，初始时各箱子 为空。各项按u1, u2, …, un的顺序装箱，装项ui时，将其 装入序号最小的可容得下该项的箱子中（即装入满足 l<= 1-si的序号最小的箱子中，其中l表示箱子的已填充 容量）。 最佳适配法(BF)：与FF法类似，不同之处仅在于装项ui 时，将其装入满足l<= 1-si的箱子中使l值最大的箱子中。 递减最先适配法(FFD)：首先将n个项按大小递减的顺序 排序，然后用FF法装箱。
问题描述：设G=(V, E)是一个平面图，对图G的所有顶 点着色，使得任意一对相邻顶点的颜色都不同，最少要 用几种颜色？ 一个带差界K=1的近似算法： if G不含有边 then 输出１ else if G可２着色 then 输出２ else 输出４
近似算法
| A(I ) OPT(I ) | K
构造一个新实例 I ，使
sj s j , vj ( K 1)v j
15
则 I 和 I 有相同的解，且
A(I) (K 1)A(I )
OPT(I) (K 1)OPT(I )
| A(I) OPT(I) | K
令R ，选取V (G)中的最大度点v加入到R中
并删除与v关联的边，再在V (G) \ R中选最大
度点，重复直到E(G) .
这个算法的近似度是无界的(Page 396).
20
另一个直观的启发式方法：在G中任选一条边e， 将它的一个端点(设为v)加入到C中，然后删除边e 以及所有与v关联的边，再选取另一条边，重复这 个步骤，直到G不再有边 。
scheme.
12
1. 平面图着色
由四色定理，每个平面图是4可着色的。另外判断一 个图是不是2可着色是相当容易的。对于求平面图G 的色数这个问题，可采用如下算法：
(1) 若G没有边，则输出1； (2) 若G有边，判断G是否2可着色，若是则输出2，
否则输出4.
这是一个差界为1的近似算法.
13
2. 困难结果：背包问题
然而要找一个有效的近似算法也并不乐观，甚至存在 一些困难问题，似乎连“合理”的近似算法都可能不存 在，除非NP=P。
2
组合优化问题Π是一个最大（或最小）化问题。它 由三部分组成：
(1) 一个实例的集合DΠ； (2) 对每个实例 I ∈DΠ，存在I的一个候选解的有限 集合SΠ(I)； (3) 对DΠ中的一个实例I的每个候选解σ∈SΠ(I)， 存在一个值fΠ(σ)，称为σ的解值。
这个近似算法的近似度也是无界的！
近似算法总结
近似算法总结近似算法：在计算中寻找近似解的艺术近似算法是一种在计算机科学和数学领域中常用的算法设计技术。
它的目标是在给定的时间限制内，找到一个“近似解”，即不一定是精确解，但足够接近问题的最优解。
这种算法在实际应用中非常有用，因为很多复杂问题的精确解往往难以计算或需要耗费巨大的计算资源。
近似算法可以应用于各种问题，如图论、优化问题、组合问题等等。
它们的设计思想可以归纳为两种主要方法：启发式算法和近似理论。
启发式算法是一种基于经验和直觉的算法设计方法。
它通过不断试探和优化，逐步接近最优解。
其中，贪心算法是最简单和常用的启发式算法之一。
它每次选择当前看起来最好的解决方案，然后继续迭代下去，直到找到一个接近最优解的解决方案。
虽然贪心算法很容易实现和理解，但它并不能保证找到最优解，只能找到一个近似解。
近似理论是一种通过数学分析问题的算法设计方法。
它通过数学模型和理论证明，给出一个近似解的上界或下界。
其中，近似比是衡量近似算法性能的重要指标。
近似比越接近1，表示算法的近似解越接近最优解。
近似理论的好处是可以提供对算法性能的理论保证，但缺点是有时证明复杂且困难。
在实际应用中，近似算法被广泛使用。
例如，在路由问题中，寻找最短路径是一个经典的优化问题。
由于计算所有可能路径的成本太高，人们常常使用近似算法，如迪杰斯特拉算法或A*算法，来找到一个近似最短路径。
在图像处理中，人们也常常使用近似算法来进行图像压缩，以减少存储和传输成本。
值得一提的是，近似算法并不是万能的，它有时可能会给出错误的结果或者无法保证结果的质量。
因此，在使用近似算法时，我们需要根据具体问题的特点和要求，权衡算法的效率和准确性，选择合适的算法。
近似算法是一种在计算中寻找近似解的重要方法。
它通过启发式算法和近似理论，能够在有限的时间内找到一个接近最优解的解决方案。
虽然近似算法不能保证找到精确解，但在实际应用中具有广泛的适用性和实用性。
通过合理选择和设计近似算法，我们能够在计算中更高效地解决复杂问题，提高计算机的性能和效率。
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近似算法12.1 简介到目前为止，我们已经学习了很多可以在多项式时间内高效解决的问题，我们可以很快速的解决这些问题。
然而，在下面几讲，我们将考虑一些不知道如何高效解决的问题。
12.1.1 NP-完全性问题在学习这些问题的时候，我们会遇到这个概念NP-完全性。
NP-完全性问题是由很多组合和最优化问题组成，这些问题都有两个共同点：z没有很高效的算法；然而，我们可以在指数时间内解决这些问题。
z有高效的缩影存在于所有其他的NP-完全性问题中；因此，如果我们有一个黑盒，它能解决其中的一个问题，那么我们就能够高效的解决所有的问题。
下面就列举了一些NP-完全性问题的例子。
除了SAT的每一个问题都可以被阐明为最优化问题，尽管严格来说，它取决于每一个问题的NP-完全性。
另一方面讲，存在一个与SAT相关的最优化问题，称为MAXSAT。
在这个问题中，我们给出一个布尔公式，我们必须找到一些变量的赋值来最大化的满足子句。
可满足性问题(SAT)：给定一个布尔公式，是否存在一个变量的赋值使得它满足此公式(即使公式的值为真)？装箱问题：给定一些箱子和物品，这些物品有着特定的大小，这些箱子有着一定的容积，求出能容纳这些物品的所需的最小箱子数。
最大独立子集问题：给定一个图，找出节点的最大子集，使得在这个子集中没有两个节点是相互连接的。
背包问题：给定一个能容纳一定大小的背包和一些物品，这些物品有着特定的大小和价值，求出此背包能容纳的最大价值量。
并行机器调度问题：给定一组相同的机器和一组任务，这些任务都有特定的所需时间，求如何分配任务给这些机器，使得所有的机器完成分配给它们的任务所需的时间最小。
旅行商问题：找出一个最短路径使得旅行商从一个城市出发，最后又回到该城市，并且要求每一个城市只能经过一次。
所有的这些问题不能依赖于这个假定P≠NP高效的解决。
尽管这个推测还没有被证明，但是我们可以相信它是正确的，所以我们可以简单的假定P≠NP。
12.1.2 解决NP-完全性问题如果我们不知道如何高效的解决NP-完全性问题，那我们应该怎么做呢？启发式：一种可能性就是放弃寻求多项式算法，取而代之的是集中开发启发式的算法，它在实践中接近于多项式的时间复杂度。
但是一般来说，很难找到低于指数级的算法，达到这样的目标是有分歧的(关于P和NP问题是否相同)。
一般情况分析：与其分析这些算法的最坏情况下的性能，我们不如分析某一类特定输入下的算法行为。
这取决于某些特定输入实例的分布情况。
但是，使用不同的分布又会有很大的差别。
近似算法：我们试图找到多项式时间的近似算法，它们被证明是近似正确的。
12.2 最优化问题在我们讨论近似算法之前，我们必须为最优化问题定义一些术语。
定义1 一个最优化问题有一组问题实例(problem instances)。
定义2 每一个实例I 都有一个解集。
()S I 定义3 最大/最小化问题就是找到一个解()s S I ∈，能达到最大/最小化的目标值()f s 。
我们假定f 的输入和输出都是整数(由多项式级的位数组成)。
定义4 实例I 得到的最优解值()f s ，用表示。
()OPT I 12.1.1给出的每一个最优化问题的例子都符合这个最优化的结构。
例如，最大独立子集问题。
每一个问题实例都是一个图；图的解集都是由节点的所有子集组成，在每个子集中，没有两个顶点是互相连接的。
解的值就是在这个子集中的节点的个数。
尽管我们喜欢把这些最优化问题归于NP-完全性问题，但是这个术语经常为决策(判定问题)问题所保留。
所以，我们用NP-难这个概念来代替。
定义5 如果一些其他的NP-难问题能够在多项式的时间内解决，那这样的最优化问题称为NP-hard 。
一般情况下，NP-hard 问题对应于决策问题，它的最优解至少(或至多)是某个值的问题。
()OPT I K12.3 绝对近似算法定义 6 近似算法就是在多项式时间内的算法，当给定一个实例I 时，返回解空间中的一个解。
()S I s 例如：在装箱问题中，一种可能的近似算法就是简单的把每一个物品放入一个箱子里。
但是这样做质量不高。
为了提高质量，我们考虑绝对近似算法。
定义7 给定一个实例I ，一个α-绝对近似算法就是找到一个解值至多是()OPT I α+。
我们需要指出的是这个定义只有针对最小化问题行得通，一个最大化问题的α-绝对近似算法将返回的解值至少是()OPT I α−。
我们注意到当我们设计一个绝对近似算法的时候，我们希望α值越小越好。
12.3.1 图着色算法考虑这样一个平面图的着色问题，在这个问题中，我们给定一个平面图，我们必须找出一个顶点的着色方式，使得没有两个相邻的顶点着同样的颜色。
就像下面的定理所陈述的那样，这个问题就有一个绝对近似算法。
定理1 平面图着色问题都存在一个2-绝对近似算法。
证明：根据5色定理，每一个平面图都可以用5种颜色满足条件。
更进一步，空图(即没有边的图)可以用一种颜色，二分图可以用2种颜色满足条件，然而所有其他的图都需要至少3种颜色。
这种观察，可以让我们得出下面的一种算法：1. 如果这个图是空图或者二分图，可以用最优的方式着色。
2. 其他情况下，用5种颜色着色。
因为这个算法只需要5种颜色，最优情况下，颜色的数量是3种，那么它就是2-绝对近似算法。
我们可以再考虑边着色的问题。
不像平面图着色那样，边着色问题所需的颜色数量没有固定的上界，因为的最优值的下界是由顶点的最大度数 决定的。
不过，我们有下面的定理：()OPT I定理2 任一个图的边着色至多使用 +1种颜色。
因为这个定理证明是具有建设性的，它能为我们提供一种算法：能找到比最优情况下至多用一种颜色的方法给边着色。
推论1 边着色问题存在一个1-绝对近似算法。
12.3.2 通过缩放证明负面的例子尽管这些着色问题都存在绝对近似算法，但是大部分的NP-难问题都不存在。
事实上，对于这些问题的大部分，我们可以证明，绝对近似算法是不存在的，除非P 等同于NP 。
这个证明使用一种称为scaling(缩放)。
在缩放中，我们首先增加实例的某些参数值，然后我们就可以看出，如果一个绝对近似算法存在的话，它能够为一个修改过的实例得到解，那么这个解再回缩就能够为原来的实例产生一个最优的算法。
但是这就暗示着NP-难问题存在一种高效的算法，那么P 就等同于NP 。
下面的两个例子就证明了这种scaling 技术。
引理 1 背包问题不存在绝对近似算法。
证明：考虑一个背包问题的实例I ，每一个物品i 都有其价值i p ,我们假定有一个α-绝对近似算法A 。
如果我们把每一个物品的价值增大到2i p 来形成一个新的实例2I ，那么产生的最优算法就是原来最优算法的2倍，因为原来物品的设置能产生而现在产生的价值为2。
如果我们在实例(2)OPT I ()OPT I ()OPT I ()OPT I 2I 上运行这个绝对近似算法A ，那么我们就能得到一个解法至少是ε(2)2()OPT I OPT I αα−=−。
最后，我们可以用2除，那么我们就能得到原来实例的一个解()/2OPT I α−，因此，我们可以提高α的值为/2α。
一般来说，缩放原实例I ，缩放因子为，然后再用除解值，那么我们就把r r α降低为/r α。
因此，如果我们选择为r ⎡⎤α2，那么我们就把α降低为α/⎡⎤α2≤1/2，那就意味着对实例I 的解的值至少是s ()1/2OPT I −。
假定实例I 的大小和价值是整型，能达到的最优解也是整型，所以一定等于。
因此， 我们解决背包问题的整型实例有高效的算法，那么就与我们的假定P≠NP 相矛盾。
()OPT I s ()OPT I引理 2 最大独立子集也不存在绝对近似算法。
证明：假定我们有个α-绝对近似算法A 。
如果我们修改实例I (通过复制该图),新实例称为2I ，2I 中的最优独立子集的元素个数是I 中的2倍。
因此，等于，那么意味着在实例(2)OPT I 2(OPT I )2I 上运行算法A 产生的独立子集的大小至少是(2)2()OPT I OPT I αα−=−。
为了转换这个解来适合原来的实例I ，我们必须记住2I 中独立子集的顶点个数。
其中一个图必须包含至少一半的这些顶点，因此，那么这个图的独立子集的大小至少是(2())/2()/2OPT I OPT I αα−=−，意味着我们减小α为/2α。
为了使结论一般化，如果做⎡⎤α2个的图的副本，我们能够利用算法A 来找到I 实例的独立子集的大小至少为。
但是这个必须等于，因为顶点的个数是整型。
那么，我们就有解决最大独立子集的高效算法，那么就与之相矛盾。
()1/2OPT I −()OPT I12.4 相对近似算法因为绝对近似算法存在于太少的优化问题当中，所以我们有一种更好的近似算法就是相对近似算法。
因为它们应用如此普遍，我们简单的把它们称为近似算法。
定义8 一个α-近似算法就是能找到一个解值最多是*(OPT I )α。
需要指出，虽然α的值能随着输入的大小而改变，那我们只考虑常量的情况。
为了阐明α-近似算法的设计与分析，让我们考虑并行机器调度问题，负载平衡的普遍形式。
并行机器调度：给定台机器和个作业，每个作业的处理时间是m i m n j p ，给每个机器分配作业，使得负载 (所有机器完成分配的作业所需的时间)最小。
在调度符号中，∑∈ij j p max这个问题可以被描述为。
max ||P C 解决这个问题的最自然的方法就是利用贪心算法，称为list scheduling(列表调度)。
定义9 一个列表调度算法就是分配作业给机器，分配每一个作业给具有最小负载的机器。
需要指出，处理作业的顺序并没有指定。
为了分析列表调度的性能，我们必须将每一个实例I 的解(称这个解为()A I )与最优解相比较。
但是我们并不知道如何得到的分析表达式。
然而，如果我们能找到的下界，并能证明对于某个()OPT I ()OPT I ()OPT I ()LB I α，有()()A I LB I α≤i ，那么我们就能得到()()A I LB I α≤i()OPT I α≤i利用的下界的方法，我们现在就可以得出列表调度的性能。
()OPT I 引理3 列表调度是为并行机器调度提出的一个2-近似算法。
证明：考虑下面的最优负载的两个下界()OPT I z 最大的处理时间max j j p p =z 平均负载是=。
L ∑j j m p /最大处理时间p 很明显是一个下界，该机器完成所分配给它的任务所需要的时间至少是p 。
平均负载也是一个下界，需要指出，如果所有的机器都能在少于的时间内完成它的任务，那么最大负载就小于平均值，这个是相互矛盾的。
现在假定机器有最大的运行时间，作业L i m max C j 是分配给该机器的最后一个作业。