解物理题时的近似处理

解物理题时的近似处理

（近似法）

在处理物理问题时，往往突出实际问题的主要方面，忽略某些次要因素，进行近似处理的手段简化求解过程。近似法是研究物理的基本思想方法之一。善于对实际问题进行合理的近似处理，是从事创造性研究的重要能力之一。纵观近几年的高考和竞赛试题，越来越注重这种能力的考查。

今天我们就来看看这种近似法在实际解题中的应用。 下面我们先来看一道这种类型的题：

体验一：猎犬追兔

如图所示，一只兔子以不变的速度1v 沿着直线AB 逃跑，一只猎犬以不变的速率2v 追击，其运动方向始终对准兔子，某时刻兔子在F 处，猎犬在D 处，FD ⊥AB ，且FD ＝L ，求猎犬的加速度大小。

体验思路： 猎犬的运动方向始终对准兔子且速度大小不变，故猎犬做匀速率曲线运动，根据向

心加速度2

2v a r

=

，r 为猎犬所在处的曲率半径，因为r 不断变化，故猎犬的加速

度的大小、方向都在不断变化，题目要求猎犬在D 处的加速度大小，由于2v 大小不变，如果求出D 点的曲率半径，此时猎犬的加速度大小也就求得了。

体验过程： 猎犬做匀速率曲线运动，其加速

度的大小和方向都在不断改变。在所求时刻开始的一段很短的时间t ∆内，猎犬运动的轨迹可近似看做是一段圆弧，设其半径

为R ，则加速度2

2v a R

=

的方向与速度垂直，如右图所示。在t ∆时间内，设兔子

和猎犬分别到达F ′和D ′，猎犬的速度方向转过的角度为

2/v t R α=∆

而兔子跑过的距离是：1v t L α∆≈ 因而2121//,/v t R v t L R Lv v ∆=∆= 所以猎犬的加速度大小为：

2

212/v a v v L R

=

=

经过体验一，相信同学们已经对近似法有所体会了，下面为了进一步掌握，我们再看一道题：

体验二：船的速率多大？

如图所示，岸高为h ，人用绳经滑轮拉船靠岸，若当绳与水平方向为a 时，收绳速率为v ，则该位置船的速率为多大？

体验思路： 要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间求它的平均速

率，当这一小段时间趋于0时，该平均速率就为所求速率。

体验过程： 该船在a 角位置时，经t ∆时间向

左行驶x ∆距离，滑轮右侧的绳长

缩短L ∆，如右图所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，

A B C ∆可近似看做是一个直角三角形，因而有：

cos L x α∆=∆

两边同除以t ∆得：

cos L

x

t t

α∆∆=

∆∆

即收绳速率为

cos v v α=船

因此船的速率为cos v v α

=

船。

小 结： 通过这两个题目，同学们可以看到近似法常常用于微小时间和微小位移的状态下，

对于求解瞬时状态很有帮助。

提 示： 请同学们解下面这些题，如果你用我们所讲的方法来解，肯定能很快得到正确

答案，试试看吧！

实践 1 ： 如图所示，半径为R ，质量为m 的圆形绳圈，以角速度w 绕中心轴O 在光滑水平面

上匀速转动时，绳中的张力为多大？

实践 2 ： 如图所示，半径为R 的圆盘固定不可转动，细绳不可伸长但质量可以忽略，绳下悬

挂的两物体质量分别为M 、m 。设圆盘与绳间光滑接触，试求盘对绳的法向支持力线密度。

实践 3 ： 一质量为M 、均匀分布的圆环，其半径为r ，几何轴与水平垂直，若它经受的最大

张力为T ，求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度。

实践题答案

实践1 指点迷津

如下图所示，取绳上一小段来研究，当此段弧长对应的圆心角θ∆很小时，有近

似关系式sin ,sin 22

θθ

θθ∆∆∆≈≈。利用近似关系和牛顿第二定律求解。

实践略解 2

2m R T ωπ

=

实践2 指点迷津

求盘对绳的法向支持力线密度也就是求盘对绳法向单位长度所受的支持力。因为盘与绳间光滑接触，则任取一小段绳，其两端受到张力大小相等，如图所示，其中的近似关系与上题类似。

实践略解 ()2M m g

n M m R

=

+

实践3 指点迷津

因为向心力2

F mr ω=，当w 一定时，r 越大，向心力越大，所以要想求最大张力T 所对应的角速度w ，r 应取最大值。在圆环上取一小段L ∆分析。

实践略解

ω=