归纳法问题

一、次数问题

…0624．（20分）如图9所示，在水平地面上放置一块质量为M 的长平板B ，在平板的上方某一高度处有一质量为m 的物块P 由静止开始落下。在平板上方附近存在“相互作用”的区域（如图中虚线所示区域），当物块P 进入该区域内，B 便会对P 产生一个竖直向上的恒力f 作用，使得P 恰好不与B 的上表面接触，且f ＝kmg ，其中k ＝11。在水平方向上P 、B 之间没有相互作用力。已知平板与地面间的动摩擦因数μ＝2.0×10－3，平板和物块的质量之比M /m ＝10。在P 开始下落时，平板B 向右运动的速度v 0＝1.0m/s ，P 从开始下落到进入相互作用区域经历的时间t 0＝2.0s 。设平板B 足够长，保证物块P 总能落到B 板上方的相互作用区域内，忽略物块P 受到的空气阻力，取重力加速度g ＝10m/s 2。求：

（1）物块P 从开始下落到再次回到初始位置所经历的时间。

（2）从物块P 开始下落到平板B 的运动速度减小为零的这段时间内，P 能回到初始位置的次数。

解：（1）物块P 进入作用区速度v 1，01gt v =＝20m/s 物块P 从进入相互作用区域到速度减小为零的过程中，设加速度为a ， 根据牛顿第二定律：ma mg kmg =-

设下落时间为t ， a

v t 1

=

而物块从开始下落到回到初始位置的时间T ＝2(t ＋t 0)=

01

2t k k

-＝4.4s 。 （2）设在一个运动的周期T 内，平板B 的速度减小量为Δv ，根据动量定理有

v M t f Mg t Mg ∆μμ=⋅++⋅2)(20 解得 1

)

1(20-+

=

k M m gkt v μ∆＝9.7×10－3m/s 。

P 回到初始位置的次数 v

v n ∆0

=

＝10.3， n 应取整数，即n ＝10。 注：若用牛顿第二定律解答，可以根据解答过程给分。

‘11石123．一轻质细绳一端系一质量为m =0.05kg 的小球A ，另一端套在光滑水平细轴O 上，

O 到小球的距离为L = 0.1 m ，小球与水平地面接触，但无相互作用。在球的两侧等距离处分别固定一个光滑的斜面和一个挡板，二者之间的水平距离s =2m ，如图所示。现有一滑块B ，质量也为m ，从斜面上高度h =3m 处由静止滑下，与小球和挡板碰撞时均没有机械能损失。若不计空气阻力，并将滑块和小球都视为质点，滑块B 与水平地面之间的动摩擦因数μ=0.25，g 取10 m/s 2。求：

（1）滑块B 与小球第一次碰撞前瞬间，B 速度的大小；

（2）滑块B 与小球第一次碰撞后瞬间，绳子对小球的拉力；

（3）小球在竖直平而内做完整圆周运动的次数。

解： （1）（4分）B ，下滑h +2s →碰A ，∵动能定理 mgh -μmg 2s =2

021mv

∴ v 0=55≈7.4m/s

（2）（6分）B 与A 第一次 完全弹碰：

mv 0=mv A +mv B

2

021mv =221A mv +22

1B mv ∴ v A =v 0；v B =0

A 以v 0绕O 圆运动，最低点 ∵牛二律

T -mg =m L

v 20

∴ T =28N

（3）（8分）A 球最后一周完整圆运动，最低点v 1→最高点v 2：∵机械能守恒和牛二律

2121mv =mg 2L +2

22

1mv mg =m L

v 2

2

∴ v 1=5m/s

由于B 、A 弹碰速度互换，B 滑过s 总碰A 时速度至少为v 1=5m/s

∵ 动能定理：mgh -μmg s 总=212

1mv

∴ s 总=11m A 完整圆运动次数：n =

s

s 2 总+1=6次

二、归纳法问题

‘10西24．（20分）在如图所示的x-o-y 坐标系中，y>0的区域内存在着沿y 轴正方向、场强为

E 的匀强电场，y<0的区域内存在着垂直纸面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场。一带电粒子从y 轴上的P （0，h ）点以沿x 轴正方向的初速度射出，恰好能通过x 轴上的D （d ，0）点。已知带电粒子的质量为m ，带电量为 – q 。h 、d 、q 均大于0，不计重力的影响。 （1）若粒子只在电场作用下直接到达D 点，求粒子初速度的大小v 0； （2）若粒子在第二次经过x 轴时到达D 点，求粒子初速度的大小v 0； （3）若粒子在从电场进入磁场时到达D 点，求粒子初速度的大小v 0； 解（1）粒子只在电场作用下直接到达D 点

设粒子在电场中运动的时间为t ，

粒子沿x 方向做匀速直线运动，则 x=v 0 t ① （1分） 沿y 方向做初速度为0的匀加速直线运动，则 h=

2

2

1at ② （1分） 加速度 m

qE

a =

③ （1分） 粒子只在电场作用下直接到达D 点的条件为 x=d ④ （1分） 解①②③④得 mh

qE

d

v 20= （2分）

（2）粒子在第二次经过x 轴时到达D 点，其轨迹如图3所

示。设粒子进入磁场的速度大小为v ，v 与x 轴的夹角为θ，轨迹半径为R ，则

v sin θ = a t ⑤ （1分）

R

v m qvB 2

= ⑥ （2分）

粒子第二次经过x 轴时到达D 点的条件为

x －2R sin θ = d ⑦ （2分）

解①②③⑤⑥⑦得

mh qE d

v 20=+B

E

2 （2分）

（3）粒子在从电场进入磁场时到达D 点，其轨迹如图4所示。

根据运动对称性可知QN=2OM=2 x （2分） 粒子在从电场进入磁场时到达D 点的条件为

x +n (2x －2R sin θ) = d ⑧ （3分）

其中n 为非负整数。 解①②③⑤⑥⑧得mh

qE

n d v 2120+=

+B E n n ⋅+122 （2分） ‘12024．（20分）如图所示，有 n （n >10）个相同的小物块（可视为质点）静止在倾角

图3

图4