概率论 随机事件及其运算
概率论与数理统计(二)全部公式
第一章 随机事件及其概率一、随机事件的关系及其运算1．事件的包含若事件A 发生必然导致事件B 发生，则称事件B 包含事件A ，记为A B ⊃或B A ⊂．3．事件的和事件A 与事件B 的和是一个事件C ，它表示事件A 与事件B 中至少有一个发生，记为B A C =或B A C +=． ．4．事件的积事件A 与事件B 的积是一个事件C ，它表示事件A 与事件B 同时发生，记为B A C =或AB C =．5．事件的差 事件A 与事件B 的差是一个事件C ，它表示事件A 发生而事件B 不发生，记为B A C -=．6．互斥事件（不相容事件） 若事件A 与事件B 不能同时发生，即Φ=B A ，则称事件A 与事件B 为互斥事件（不相容事件）． 7．对立事件（逆事件） “事件A 不发生”的事件称为事件A 的对立事件. A 的对立事件记为A ． 关于对立事件，有性质(1) A A =Ω（必然事件）； (2) A A =Φ（不可能事件）；(3) A =A ．两个互为对立的事件，一定是互斥事件；反之，互斥事件不一定是对立事件． 概率的定义与性质定义1设Ω是随机试验E 的样本空间，对于E 的每一个事件A 赋予一个实数，记为P(A),称P(A)为事件A 的概率. 性质1 0≤P(A)≤1 P(Ø)=0性质2 对于任意事件A,B 有P(A ∩B)=P(A)+P(B)-P(AB).当A 与B 互不相容时,P(A ∪B)=P(A)+P(B). 性质3 P(B-A)=P(B)-P(AB).当A ⊂B 时，P(B-A)=P(B)-P(A),且P(A)≤P(B)性质4 P(A -)=1-P （A ）条件概率 一、条件概率1．定义 如果B A ,是两个随机事件，0)(≠A P , 则称在A 发生的前提下B 发生的概率为条件概率，记为)|(A B P ．2．计算公式 设B A ,是两个随机事件且0)(>A P , 则)()()|(A P AB P A B P =．二、乘法公式1．乘法公式 设B A ,为两个随机事件，则有0))(( )|()( 0))(( )|()()(>=>=B P B A P B P A P A B P A P AB P ．2．乘法公式的推论 对于任何正整数2≥n ,当0)(21>n A A A P 时，有)|()|()|()()(12121312121-=n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P ．三、全概率公式和贝叶斯公式1．定义 设n A A A ,,,21 为一事件组，若(1)n A A A ,...,21 互不相容，且P(iA )>0,i=0,1,2…n; (2)Ω=+++n A A A 21则称事件组nA A A ,,,21 是样本空间Ω的一个划分．2．全概率公式 设n A A A ,,,21 是样本本空间Ω的一个划分，并且),,2,1(0)(n i A P i =>,B 为任意一个事件，则∑==ni i i A B P A P B P 1)|()()(此公式叫做全概率公式．例题 盒中有5个白球3个黑球，连续不放回地从中取两次球，每次取一个，求第二次取到白球的概率。
随机事件及其运算
随机事件及其运算1. 随机现象概率论的研究对象是随机现象。
在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。
只有一个结果的现象叫做确定性现象。
随机现象随处可见。
有的随机现象可以在相同条件下重复，如抛硬币，掷骰子，测量一物体的质量。
也有很多随机现象是不能重复的，比如经济现象（如失业，经济增长速度等）大多不能重复. 在相同条件下重复的随机现象的观察、记录、实验称为随机试验.概率论主要研究能重复的随机现象，但也十分注意研究不能重复的随机现象。
2. 样本空间数学理论的建立总是需要首先给出一些原始的无定义的概念（例如，“点”和“直线”是欧氏几何的公理化处理中无定义的概念）。
在概率论中，第一个“无定义”的原始概念是“样本点”，随机现象的基本结果称为样本点，用?表示样本点；而随机现象的一切样本点组成的集合称为样本空间，记为??{?}.在具体的随机现象或试验中, 有的凭“实际经验”可确定样本点和样本空间,有的需要“数学的理想化”去确定样本点和样本空间,样本点和样本空间的确定也与试验观察或记录的是什么有关.例1 考虑试验:掷一骰子,观察出现的点数.根据“实际经验”,该试验的基本结果有6个:1,2,3,4,5,6,从而其样本空间为??{1,2,3,4,5,6}.例2 考虑试验:观察一天內进入某商场的人数. 一天內进入某商场的人数是非负整数,但由于不知道最多的人数和最少的人数,我们把该试验的样本空间“理想化”地定为??{0,1,2,3...}例3考虑试验:考察一个元件的寿命.为了数学上处理方便, 我们把该试验的样本空间“理想化”地定为??[0,??).例4 对于试验:将一硬币抛3次.若我们记录3次正反情况,则样本空间为??{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT};若我们记录正面出现的次数,则样本空间为??{0,1,2,3}.- 1 -若样本空间中的元素个数是有限个或可列个,我们称此样本空间为离散样本空间.3. 随机事件有了样本空间后,我们可给出随机事件的概念.直观上说, 随机事件是随机现象中可能发生也可能不发生的事件.例如,在掷骰子试验中,“出现偶数点”是可能发生也可能不发生的,因此它是随机事件,而且当试验出现的基本结果是2或4或6时该事件就发生了,否则该事件就不发生.一个事件是否发生了应当能由试验出现的基本结果判定,因此一个事件可以由能使其发生的那些基本结果组成.换言之, 随机事件可以由一个或多个样本点组成的集合来表示.因此有下面概念.样本空间的子集称为随机事件,简称为事件,常用大写字母A,B,C,?表示.事件A发生当且仅当试验出现的基本结果属于A.若一事件是由单个样本点组成,则称该事件为基本事件;由2个或2个以上样本点组成的事件称为复合事件.由全体样本点组成的事件称为必然事件,必然事件就是样本空间?本身.显然, 必然事件是必定发生的事件.空集?作为样本空间?的子集也是事件,称此事件为不可能事件,不可能在任一次试验中都不会发生.以后在理论上讨论概率论问题时，我们总是假定样本空间已经给定，而随机事件就是该样本空间的子集。
大学概率论与数理统计公式全集
大学概率论与数理统计公式全集一、随机事件和概率1、随机事件及其概率2、概率的定义及其计算二、随机变量及其分布1、分布函数性质P(X 乞b) =F(b) P(a ：： X 冬b) = F(b) _ F(a)2、离散型随机变量3、连续型随机变量三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布 P i =P(X =X i )二％ P(X = xi ,丫二 yj ) = ' pij pj =P( Y=yj )=' P(X 二 X j , 丫二 yj )=' pij j j离散型二维随机变量条件分布P(X =X j ,Y =yj )pij…= P(X =X j Y =y j ),i=1,2jP(丫 =yj )P j P(X=X j ,Y=y j )p j2、 P i j P ji3、x yf(u,v)dvdu4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数 边缘分布函数： F x (x) = [「f(u,v)dvdu 边缘密度函数：f x (x)二.-^o a-bof(u,y)du*^0.■bof (x, v)y ■:: F y (y)f (u,v)dudv f Y (y)二 5、二维随机变量的条件分布fYx (yx)二■■■■■y < fxY (xy)二<x :：: ■：：x Y四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：E(X)=.；「X k P k连续型随机变量：E(X)二=xf(x)dx2、数学期望的性质(1)E(C) =C,C为常数E[E(X)] =E(X) E(CX) =CE(X)(2)E(X _Y) =E(X) _E(Y) E(aX _b) =aE(X) _b E(C^X^ ■ C n X n^C1E(X1^ ■ C n E(X n) ⑶ 若GY相互独立则：E(XY) =E(X)E(Y)(4) [E(XY)]2 <E2(X)E2(Y)3、万差:D(x) =E(X2) —E2(x)4、方差的性质(1) D(C) =0 D[D(X)] =0 D(aX _b) =a2D(X) D(X) ：：:E(X -C)2⑵ D(X _Y)二D(X) • D(Y) _2Cov(X,Y)若 GY相互独立则：D(X _Y)二D(X) • D(Y)5、协方差：Cov(X,Y)二E(X,Y) _E(X)E(Y)若 GY相互独立则：Cov(X,Y)=06、相关系数：认「(X,Y)〜Cov(X,丫)若GY相互独立则：认=0即GY不相关J D(X)阿石7、协方差和相关系数的性质(1)Cov(X,X) =D(X) Cov(X,Y)二Cov(Y, X)(2)Cov(X1 X2,Y) =Cov(X1,Y) Cov(X2,Y) Cov(aX c, bY • d)二abCov(X,Y)&常见数学分布的期望和方差五、大数定律和中心极限定理1、 切比雪夫不等式若 E(X)-」.,D(X)=：；2,对于任意'.0 有 P{X _E(X) _ }空里^2 或 P{X _E(X) ：：： }n n2、 大数定律：若X i …X n 相互独立且「时，—、• X i —D r-7 E(X i )ni 4ni二nn(1)若 X i X n 相互独立，E(X i ) =A i , D(X i ) =52且 O i 2兰M 贝y ： -Z X i — 1瓦 E(X i ),(n T ©nyny1n⑵若X i …X n 相互独立同分布，且E(X j )=n 则当n 时：―、X, P> Jn y3、 中心极限定理(1) 独立同分布的中心极限定理：均值为 」，方差为C 20的独立同分布时，当n 充分 大时有：n' X k —n ・iY n = ------------------- 二 N(0,1)U n cr(2) 拉普拉斯定理：随机变量n (n =1,2 )~B( n, p)则对任意G 有:xt 2lim P { ：n np兰x} = f -j^e 2dt =Q (x) x -°p(1-p) - ： .2 二六、数理统计1、总体和样本n _(5) 样本 k 阶中心距：B k =Mk(X i -X)k ,^2,3'nm(1)样本平均值： n n n2X 」、X i (2)样本方差：S 2匚、(X i -X)2L' (X i 2-nx )n-1y n -1(3)样本标准差：，彳 n ns= 1v(X i-X)2(4)样本 k 阶原点距：A k X i k,k=1,2 … ,n -1^(X 1，X 2 X n )的联合分布为 F(X 1,X 2 X n )F (X k )心(3)近似计算:nP(a 乞、X k Eb) =P(生' X k -n 」■k'.nc<^n 1才一门.」：泸- nc、、..总体X 的分布函数F(X)样本 2、统计量(6)次序统计量：设样本(X1，X2…X n)的观察值凶七和，将为,X?…X.按照由小到大的次,记取值为X(i)的样本分量为X(i),则称X(1宀(2)「乞x(n) 序重新排列,得到X(1)乞X(2) <X(n)为样本(X1,X2…X n)的次序统计量。
概率论知识点
第一章 随机事件及其概率§1.1 随机事件及其运算随机现象：概率论的基本概念之一。
是人们通常说的偶然现象。
其特点是,在相同的条件下重复观察时,可能出现这样的结果,也可能出现那样的结果,预先不能断言将出现哪种结果.例如,投掷一枚五分硬币,可能“国徽”向上,也可能“伍分”向上;从含有5件次品的一批产品中任意取出3件,取到次品的件数可能是0,1,2或3.随机试验：概率论的基本概念之一.指在科学研究或工程技术中,对随机现象在相同条件下的观察。
对随机现象的一次观察(包括试验、实验、测量和观测等),事先不能精确地断定其结果,而且在相同条件下可以重复进行,这种试验就称为随机试验。
样本空间: 概率论术语。
我们将随机试验E 的一切可能结果组成的集合称为E 的样本空间,记为Ω。
样本空间的元素,即E 的每一个结果,称为样本点。
随机事件：实际中,在进行随机试验时,人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合.称试验E 的样本空间Ω的子集为E 的随机事件,简称事件.在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.特别,由一个样本点组成的单点集,称为基本事件.样本空间Ω包含所有的样本点,它是Ω自身的子集,在每次试验中它总是发生的,称为必然事件.空集Ø不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,它在每次试验中都不发生,称为不可能事件.互斥事件（互不相容事件）: 若事件A 与事件B 不可能同时发生，亦即ΦB A = ，则称事件A 与事件B 是互斥(或互不相容)事件。
互逆事件: 事件A 与事件B 满足条件ΦB A = ，Ω=B A ,则称A 与B 是互逆事件，也称A 与B 是对立事件,记作A B =（或B A =）。
互不相容完备事件组：若事件组n A A A ,,21满足条件ΦA A j i = ，（n 1,2j i, =），Ω== n 1i i A,则称事件组n A A A ,,21为互不相容完备事件组(或称n A A A ,,21为样本空间Ω的一个划分)。
概率论知识点梳理
第一章：随机事件及其概率这一章的内容基本上属于高中学过的知识，除了第三节的全概率公式和Bayes公式。
但这两个公式只是把条件概率的计算换了一种形式。
一、随机事件及运算二、概率及其运算三、条件概率四、事件的独立性第二章:随机变量这一章将随机事件抽象成数字变量，并分为离散和连续两种进行研究。
最后用函数来表达两种变量的概率分布，再推广到多维变量。
其中运用了一些微积分知识。
一、离散型随机变量介绍离散型随机变量的概念和性质，介绍几种常见的离散性随机变量如：0-1分布、二项分布、泊松分布二、随机变量的分布函数将变量值及其概率用函数联系起来。
其实就是在不同的区间上变量值的概率。
但因为离散的关系，所以更像是数列而不是函数。
三、连续型随机变量变量值有无穷多的可能，所以变量的分布函数在各个区间上是连续的。
它和离散型随机变量的关系有些类似于函数和数列的关系。
四、一维随机变量的函数分布当变量和概率是一一对应时的函数分布，有归一、单调不减等性质。
概率密度是概率分布的导数，概率分布式概率密度的积分。
涉及到已知变量与另外一个变量具有函数关系，求另一个变量概率函数分布问题。
五、二维随机变量的联合分布当变量是成对出现时，概率的函数分布，同样有归一等性质。
变量的划分从各区间变为各区域。
涉及到二重积分、全微分等知识。
六、多维随机变量及其独立性其实就是二维的推广，此处将随机事件的独立性抽象为随机变量的独立性。
七、条件分布还是将随机事件的条件分布抽象化，用数字和符号来表示。
顺便将条件分布推广到多维随机变量。
八、多维随机变量函数的分布第三章：随机变量的数字特征一、随机变量的数学期望和高中所学的期望是一个东西，类似于加权平均分，不过现在要通过概率密度和概率分布去求。
二、方差体现变量的稳定性，和高中所学相同，不过同样需要用新的概念和知识去求解。
三、协方差和相关系数协方差是一个新的概念，用来判断两个随机变量是否相关。
相关系数是用来衡量两个变量之间的相关程度的量。
概率论与数理统计-事件间的关系及运算
或 A1A2 An.
i1
互不相容（关系）
如果事件 A与B 不可能同时发生,即 AB ,则称二
事件 A与B是互不相容的(或互斥的).
两个互不相容事件A 与 B的并，记作：A B .
如果 n 个事件 A1, A2,, An中任意两个事件不可能同 时发生,即
Ai Aj (1 i j n),
则称这 n 个事件是互不相容的(或互斥的).
此时，A1, A2 , , An 的并记作
n
A1 A2 An 或 Ai.
i1
互逆（关系）
如果事件 A与 B互不相容且它们中必有一事件发生， 即二事件 A与B 中有且仅有一事件发生,即
AB 且 A B ,
则称事件 A与 B是对立的(或互逆的),称事件 是事A 件 的 对立B 事件(或逆事件);同样,事件 也是事件B 的对立事A 件(或逆事件).
n
记作：A1 A2 An. (简记为： Ai ) i1
事件的交（积）（运算）
“二事件 A与B都发生”这一事件叫做事件 A与B的交.
记作：A B 或 AB. B
A
A B
“ n 个事件 A1, A2,, An中都发生”这一事件叫做事
件 A1, A2,, An的交.
n
记作： A1 A2 An (简记为： Ai )
A 事件A的对立事件
集合A是集合 B的子集 集合A与集合 B相等 集合A与集合 B的并集 集合 A与集合 B的交集 集合A 与B 不相交 集合A 的余集
[例1] 设有A, B, C三个事件，用 A, B, C 的运算表
示以下事件：
① A, B, C 至少有一个发生；
A BC
② A, B, C 都发生；
概率论的基本概念
⑵.两件都是次品: ；
⑶.一件是正品、另一件是次品: ；
⑷.第二件是次品: 。
6、高射炮向敌机发射三枚炮弹，设每发炮弹击中敌机的概率为 (每发击中与否相互独立)，而敌机中一弹时坠落的概率为 ，中两弹时坠落的概率为 ，中三弹时坠落的概率为 。
⑴.求敌机被击落的概率；
⑵.若敌机被击落，求它只中一弹的概率。
解:用 分别表示电话是打给 的， 分别表示 因公外出，则
⑴. ；
⑵. ；
⑶. ；
⑷. ；
⑸. 。
解:用 表示敌机中 弹， ，用 表示敌机被击落,则
， ，故
，
。
7、已知男子中有 是色盲患者，女子中有 是色盲患者，现从男女人数相等的人群中随机地选一人，问此人是色盲患者的概率为多少若已知此人是色盲患者，求此人是男性的概率。
解:用 表示所选人为男性， 表示所选人为色盲患者，则
， ， ，故
，
。
8、甲、乙、丙三人独立地去破译密码，已知甲、乙、丙各自能译出密码的概率分别为 ，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率为多少
概率论的基本概念
第一章概率论的基本概念
【内容提要】
一、随机事件及其运算关系
1．随机现象在一定条件下，可能出现不同结果(不可预先确知的)的现象。
2．随机试验在一定条件下，对随机现象进行观测或观察的过程。随机试验具有如下特点:
⑴.可以在相同条件下重复进行；
⑵.每次试验的结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；
⑴．非负性: ，有 ；
⑵．规范性: ；
⑶．可列可加性:对任意可列无穷多个两两互斥的事件 ，有 。
则称 为事件 的概率。事件的概率有如下性质:
随机事件及其运算
Ω 1={正面，反面}
E2：投掷一枚硬币两次，观察其出现正面还是反面的试验.
Ω 2={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}
E3：测量一根粉笔长度的试验. Ω 3={x|0≤x≤a}, E4：观察一只羊在羊圈中的位臵的试验. Ω 4={(x,y)|0≤x≤a , 0≤y≤b}
第 一章 随机事件及其概率
基本事件: 只包含一个试验结果的事件,用ω 来表示.
随机事件与基本事件之间的关系：
例,掷一枚骰子试验 出现的点数ωi= “出现i点” (i=1,…,6) A＝“出现奇数点” 都是基本事件
是随机事件，但不是基本事件
由ω1, ω3, ω5组合成的，记A={ω1,ω3,ω5},当且仅当这三 个基本事件之一发生时事件A才发生.
A1 A2 A1 A3 A2 A3
考虑逆事件：A1 A2 A1 A3 A2 A3
第 一章 随机事件及其概率 例2 一名射手连续向某个目标射击三次，事件Ai表示该射手 第i次射击时击中目标.试用文字叙述下列事件 ： （1）A1 A2 A3 ;（2） A2 （4）A1 A2 A3 ；（3） A1 A2 A3 ；
（8）三次中至少两次击中.
第 一章 随机事件及其概率
小
一、概念 1.随机试验；
结
2.随机事件；
两个特殊事件：必然事件，不可能事件. 3.样本空间. 二、事件之间的关系及运算 注意互不相容事件与互逆事件、二者的关系
第 一章 随机事件及其概率
课后作业： 习题一 2 ；3.
P19
8.完备事件组
若事件 A1,…,An为两两互不相容事件， 且A1∪…∪An= Ω,则称A1,…,An 构成一个完备事件组（或称事件的划分）. 当n为2时，完备事件组为互逆事件. 例 设Ω={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={2,4},C={6},则 （1）A,B,C构成完备事件组. （2）AB=Φ，即A,B互不相容，但不是互逆. 因为A∪B={1,2,3,4,5}, 但A∪B≠Ω.
概率论中的随机事件及概率的定义及计算
概率论中的随机事件及概率的定义及计算在概率论中，随机事件是指一个结果是不确定的事件，例如掷骰子的结果、抽奖的结果、病人是否能成功治愈等。
通过对随机事件的概率进行计算，我们可以预测它们发生的可能性大小，从而对未来的结果进行预测和控制。
随机事件的概率定义在概率论中，随机事件的概率定义为该事件在所有可能结果中出现的比例。
例如，在掷一次骰子时，获得6面的概率为1/6，因为6面是6个可能结果中的一个。
概率的计算方法一般来说，概率的计算方法有两种：相对频率方法和古典概型方法。
1. 相对频率方法相对频率方法是指通过实验来计算概率。
具体来说，我们可以对随机事件进行多次实验，然后统计该事件发生的次数与实验总次数之比。
例如，如果我们想要计算投掷骰子获得6面的概率，我们可以对骰子进行大量实验，并记录6面出现的次数。
然后，我们可以计算该事件发生的次数与实验总次数之比，即得到6面出现的概率。
2. 古典概型方法古典概型方法是指对于已知的固定有限集合，每个结果的概率相等时，对随机事件进行计算。
例如，对于投掷一枚骰子的情况，我们可以通过以下公式计算获得特定面的概率：P(E) = n(E) / n(S)其中，n(E)是事件E中有利结果的数量，n(S)是样本空间中的所有结果数。
概率的性质在概率论中，概率具有以下几个重要的性质：1. 非负性：概率是非负的，即概率不会小于零。
2. 正则性：所有可能事件的概率之和等于1。
3. 加法性：对于两个不相交事件A和B，它们的概率之和等于它们的并集的概率。
4. 乘法性：对于两个事件A和B，它们的联合概率等于它们各自的概率的积。
总结概率论是应用广泛的一门学科，在许多领域都有着重要的应用，例如统计学、经济学、金融学等。
随机事件及概率的定义和计算方法是概率论中最基础的概念，建立了整个概率论体系的基础。
了解概率论的基本概念和方法，可以帮助我们更好地理解和应用它们，在实际应用中更加准确地估计未来的结果和降低风险。
概率论与数理统计总结
第一章随机事件与概率第一节随机事件及其运算1、随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象2、样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω｝，其中ω表示基本结果，又称为样本点。
3、随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A、B、C等表示,Ω表示必然事件，∅表示不可能事件.4、随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X、Y、Z等表示。
5、时间的表示有多种：（1）用集合表示，这是最基本形式（2）用准确的语言表示（3）用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示6、事件的关系（1）包含关系:如果属于A的样本点必属于事件B，即事件 A 发生必然导致事件B发生，则称A被包含于B，记为A⊂B；（2）相等关系：若A⊂B且B⊃A，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。
（3）互不相容:如果A∩B=∅,即A与B不能同时发生,则称A与B互不相容7、事件运算（1）事件A与B的并:事件A与事件B至少有一个发生,记为 A∪B。
(2）事件A与B的交：事件A与事件B同时发生,记为A∩ B或AB。
(3）事件A对B的差：事件A发生而事件B不发生，记为 A－B。
用交并补可以表示为。
（4)对立事件:事件A的对立事件（逆事件），即“A不发生”,记为.对立事件的性质：。
8、事件运算性质：设A，B,C为事件，则有(1）交换律：A∪B=B∪A,AB=BA（2）结合律：A∪（B∪C)=(A∪B）∪C=A∪B∪C A(BC）=（AB)C=ABC（3)分配律：A∪(B∩C）＝(A∪B)∩(A∪C)、A（B∪C)＝(A∩B）∪(A∩C)= AB∪AC（4）棣莫弗公式（对偶法则）：9、事件域：含有必然事件Ω，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ称为事件域，又称为σ代数。
具体说,事件域ξ满足：（1）Ω∈ξ;(2）若A∈ξ，则对立事件∈ξ；（3)若A n∈ξ,n=1,2，···，则可列并ξ。
概率与统计中的随机事件与事件的运算
概率与统计中的随机事件与事件的运算在概率与统计学中，随机事件是指在一次试验中，可能发生也可能不发生的事件。
事件的运算则是对多个事件进行组合、操作的过程。
本文将探讨概率与统计中的随机事件及其运算。
一、随机事件的定义与特性在随机试验中，发生的结果称为样本点。
而样本空间是指所有可能结果的集合。
随机事件是指样本空间的一个子集，表示某些特定的结果或结果组合。
随机事件具有以下特性：1. 互斥性：如果两个事件不可能同时发生，则称这两个事件是互斥的。
互斥事件的交集为空集。
2. 完备性：在一个随机试验中，必定会发生某个事件，因此，所有事件的事件和为样本空间。
3. 对立性：对立事件是指两个事件互斥且完备。
例如，抛硬币的结果只能是正面或反面，两者互斥且完备。
二、随机事件的运算1. 事件的并：事件A和事件B的并（A∪B）包含了事件A和事件B发生的所有情况。
例如，A为掷骰子得到奇数的事件，B为掷骰子得到偶数的事件，则A∪B为掷骰子得到任意数的事件。
2. 事件的交：事件A和事件B的交（A∩B）包含了既属于事件A 又属于事件B的所有情况。
例如，A为抽出红球的事件，B为抽出大球的事件，则A∩B为抽出既是红球又是大球的事件。
3. 事件的差：事件A和事件B的差（A-B）包含了属于事件A但不属于事件B的所有情况。
例如，A为掷骰子得到奇数的事件，B为掷骰子得到3的事件，则A-B为掷骰子得到1或5的事件。
4. 事件的补：事件A的补（A'）包含了属于样本空间但不属于事件A的所有情况。
例如，A为掷骰子得到偶数的事件，则A'为掷骰子得到奇数的事件。
三、事件的概率事件的概率是指事件发生的可能性大小，用P(A)表示。
根据概率公理，事件的概率满足以下条件：1. 非负性：0 ≤ P(A) ≤ 12. 完备性：P(样本空间) = 13. 加法法则：对于互斥事件A和B，P(A∪B) = P(A) + P(B)4. 减法法则：对于事件A和B，P(A-B) = P(A) - P(A∩B)四、示例分析假设有一批产品，经过质量检测，A表示产品合格的事件，B表示产品不合格的事件。
1.1随机事件及其运算
在试验E中,人们除了关心所有的基本事件(样 本点)外,还可能关心满足某些特征的样本点是否 出现.比如“出现的点数是偶数”、“出现的点数 大于4”等事件是否会发生。
从集合的观点看， “出现的点数是偶数”这 一事件包含了样本空间中的三个样本点：2点、4 点、或6点；如果试验出现的结果是三个样本点中 的某一个，则该事件发生；反之如果该事件发生， 则试验的结果一定是这三个样本点中的某一个。
表示A与B同时发生所构成的事件.
类似地,事件A1，A2，…，An同时发生所构 成的事件表示为
A1∩A2∩…∩An 或 A1A2…An
例如若A=“出现偶数点”；B=“点数大于4”
则AUB ={2,4,5,6}； A∩B ={6}.
5.事件的差 记作 A-B
Ω
由包含在A中而又不包含在
B中的样本点构成的事件. 表示A发生而B不发
第一章 随机事件及其概率
自然界和社会生活中出现的现象大致上可 以分为两类：
确定性现象：在一定条件下一定会发生的 现象。如太阳从东方升起；苹果从树上掉落到 地上等。
随机现象：在相同条件下可能发生的结果 呈现出偶然性的现象。比如，随机掷一枚硬币， 结果可能出现正面朝上或反面朝上。
随机现象虽然在一次或少数几次试验中出 现的结果表现出偶然性，但在大量的重复试验 中又表现出一定的规律性——统计规律性。比 如通过进行大量的掷硬币试验，人们发现正面 朝上和反面朝上的频率接近相等。
随机事件:试验E的样本空间Ω的子集称为试验 E的随机事件,简称事件. 一般用大些字母A、B、 C等表示.
例如,记A表示“出现的点数是偶数”,则 A={2点,4点,6点}，
这里A是Ω的子集。
基本事件、复合事件、必然事件、不可能事件
概率论第一章
I Ai = A1 I A2 I L I An = { A1 , A2 , ... An同 时 发 生}
i =1 ∞
I Ai = A1 I A2 I L = { A1 , A2 , ...同时 发 生}
i =1
—刘 赪—
第一章 随机事件与概率
事件间的关系及运算-3
4 差事件：A-B={e|e∈A且e∉B} 当且仅当A发生，B不发生时， 事件A-B发生
称
fn
( A)
=
n( A) n
为事件A的频率.
Ø 频率f n(A)会稳定于某一常数(稳定值).
Ø 用频率的稳定值作为该事件的概率.
—刘 赪—
第一章 随机事件与概率
确定概率的古典方法
1° 样本空间中的元素个数只有有限个，可记为
Ω ={e1,e2,…,en} 2° 每个基本事件ei出现的可能性相等，i=1,2,…,n,
Ex 4. 若在区间( 0, 1) 内任取两个数，则两数之和
小于 6/5 的概率是多少？
-- 刘 赪 --
SWJTU
第三节
第一章
概率的性质
SWJTU
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概率的基本性质 -1
1 P(φ) = 0
∑ ( ) 2
P
5 P( A) + P( A) = 1
6 P(A∪B)≤ P(A)+P(B) 且有概率的加法公式 P(A∪B)= P(A)+P(B)-P(AB)
-- 刘 赪 --
SWJTU
Ø 概率的加法公式可以推广到更多事件的情形： P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)
随机事件的关系与运算
随机事件的关系与运算随机事件是指在一定条件下具有随机性质的事件，其发生与否是由随机因素决定的。
在随机事件中，我们需要对其进行运算，以便得到更加准确的结果。
本文将从随机事件的关系与运算角度，对随机事件的基本概念、性质、运算规则等进行探讨。
一、随机事件的基本概念与性质随机事件是指在一定条件下具有随机性质的事件，其发生与否是由随机因素决定的。
随机事件的基本概念包括：样本空间、随机事件、必然事件和不可能事件。
样本空间是指一个试验中所有可能的结果构成的集合，记作S。
随机事件是指样本空间S中的一个子集，即一个具有一定概率的事件。
必然事件是指在样本空间中所有结果都属于该事件的事件，记作Ω。
不可能事件是指在样本空间中没有任何结果属于该事件的事件，记作∅。
随机事件具有以下性质：1. 互斥性：若两个事件A和B之间没有公共结果，则称它们互斥。
2. 相对补集：若事件A的发生导致事件B的不发生，则称事件A是事件B的补事件，记作A的补集，即A^c。
3. 包含关系：若事件A的发生导致事件B的发生，则称事件A包含事件B，记作A⊇B。
二、随机事件的运算规则在随机事件的运算中，我们需要对事件之间的关系进行分析和计算。
随机事件的运算包括并、交、差和补四种运算。
1. 并运算并运算是指将两个事件A、B的结果集合并为一个结果集的操作，用符号“∪”表示。
即：A∪B={x|x∈A或x∈B}。
并运算的性质：（1）交换律：A∪B=B∪A。
（2）结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
（3）分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。
2. 交运算交运算是指将两个事件A、B的公共结果构成一个新的事件的操作，用符号“∩”表示。
即：A∩B={x|x∈A且x∈B}。
交运算的性质：（1）交换律：A∩B=B∩A。
（2）结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
（3）分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
3. 差运算差运算是指事件A中除去事件B的结果所构成的新事件，用符号“-”表示。
第一节 随机事件的运算及关系
二、随机事件的关系及运算 它和集合的关系及运算是完全相互类比的， 摆在我们面前的问题是如何把集合论的语 言准确的换成概率论的语言。
下面我们用集合的关系与运算类比的讲述事件的
四种关系
和
三种运算
1、事件A包含于事件B:若事件A发生必有事件B发生，
集合A包含于集 合B：若对 A, 总有B， 则称集合A包含 于集合B，记成 AB。
4、称最大的子集（样本空间本身）为必然事件，
称最小的子集（空集）为不可能事件。
5、 事件可以用子集表示，也可以用准确无误的语言来表示。
也可以用数集来表示
定义：用来表示随机现象结果的变量称为随机变量， 用大写字母 X，Y，Z……表示
掷骰子
例 1 .6 任 投 一 枚 骰 子 ， 出 现 的 点 数 是 一 个 随 机 变 量 X。
事件A与B的差： 若事件C发生当且 仅当事件A发生且 事件B不发生,则 称事件C为事件A 与B的差,记成 A-B。
6、A与B互斥
事件A与B不能同时发生。
(或互不相容事件),
7、 A和 B对 立
A和 B当 且 仅 当 之 一 发 生 A B= AB=
AB=Ø
请同学思考互斥和对立
的区别与联系？
例 1 .2 一 战 士 连 续 向 以 目 标 射 击 ， 直 到 打 中 为 止 ， 令 i i= 射 击 次 数 ，
则
U 1 ，，， 2 3 ...........
例 1 .3 测 量 某 电 子 元 件 的 寿 命 ， U = x | 0 x <
例 1 .4 在 0 ， 上 任 取 一 数 ， 1
第一章
第一节
随机事件与概率
随机事件及其运算
随机事件的概念和计算
随机事件的概念和计算随机事件是指在一定条件下，其结果无法确定或者无法预测的事件。
它是概率论和统计学中的重要概念，用来描述随机性的现象。
在现实生活中，我们经常会遇到各种各样的随机事件，比如掷骰子、抽奖、赌博等等。
为了更好地理解随机事件，我们需要了解概率论中相关的概念和计算方法。
一、随机事件的定义在概率论中，随机事件是指在一个试验中可能出现的结果。
试验是指一个过程或实验，具有确定的条件和规则，并具有可重复性。
随机事件的结果是不确定的，其发生与否具有一定的概率。
在数学上，我们用事件的符号表示随机事件。
通常用A、B、C等大写字母表示事件，将事件发生记作A，事件不发生记作A'或A^c。
例如，掷一枚硬币的结果可以表示为事件A，正面朝上；如果用B表示事件“掷一枚硬币的结果是反面朝上”，则B'表示事件“掷一枚硬币的结果是正面朝上”。
二、随机事件的计算在概率论中，我们可以通过计算来确定随机事件发生的概率。
概率是描述事件发生可能性的数值，它的取值范围在0到1之间。
事件发生的概率越大，其可能性就越高；事件发生的概率越小，其可能性就越低。
1. 等可能随机事件的计算在某些情况下，事件的发生是等可能的，这时我们可以通过计算来确定事件发生的概率。
例如，掷一枚均匀的硬币，正反两面出现的概率是相等的。
如果用P(A)表示事件A的概率，我们可以通过下面的公式来计算：P(A) = 发生事件A的次数 / 总的可能性次数以掷一枚硬币的例子来说，假设我们掷硬币10次，正面朝上的次数是5次，那么事件“正面朝上”的概率可以计算如下：P(正面朝上) = 5 / 10 = 0.52. 不等可能随机事件的计算在一些情况下，事件的发生是不等可能的，这时我们需要使用不同的计算方法。
例如，从一副扑克牌中抽取一张牌，抽到黑桃A的概率是多少？在一副扑克牌中，总共有52张牌，其中有4张黑桃A。
我们可以通过下面的公式来计算：P(A) = 事件A的可能性 / 总的可能性对于抽到黑桃A的概率来说：P(抽到黑桃A) = 4 / 52 = 1 / 13 ≈ 0.07693. 互斥事件和独立事件的计算在概率论中，互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况。
有关随机事件关系和运算的例析
有关随机事件关系和运算的例析随机事件是概率论中的基础概念，是指在某一实验中可能发生的事件。
在实际应用中，我们常常需要对多个随机事件进行关系和运算，以求得更为准确的结果。
下面，我们将通过一些例子，来深入探究随机事件的关系和运算。
一、事件的关系1. 包含关系当事件A包含事件B时，我们可以表示为 AB。
例如：在掷一枚骰子的实验中，事件A表示掷出的点数是偶数，事件B表示掷出的点数是2。
显然，事件B包含在事件A中，即 AB。
2. 相等关系当事件A和事件B所包含的样本点完全相同时，我们可以表示为A=B。
例如：在掷一枚骰子的实验中，事件A表示掷出的点数是偶数，事件B表示掷出的点数不是偶数。
显然，事件A和事件B所包含的样本点完全相同，即 A=B。
3. 互斥关系当事件A和事件B所包含的样本点没有交集时，我们可以表示为A∩B=。
例如：在掷一枚骰子的实验中，事件A表示掷出的点数是偶数，事件B表示掷出的点数是奇数。
显然，事件A和事件B所包含的样本点没有交集，即 A∩B=。
4. 独立关系当事件A和事件B的发生与否互不影响时，我们可以表示为P(A|B)=P(A) 或 P(B|A)=P(B)。
例如：在掷一枚骰子的实验中，事件A表示掷出的点数是偶数，事件B表示掷出的点数大于3。
显然，事件A和事件B的发生与否互不影响，即 P(A|B)=P(A) 或 P(B|A)=P(B)。
二、事件的运算1. 并集运算当事件A和事件B中至少有一个发生时，我们可以表示为 A∪B。
例如：在掷一枚骰子的实验中，事件A表示掷出的点数是偶数，事件B表示掷出的点数是3。
显然，事件A和事件B中至少有一个发生，即 A∪B。
2. 交集运算当事件A和事件B同时发生时，我们可以表示为 A∩B。
例如：在掷一枚骰子的实验中，事件A表示掷出的点数是偶数，事件B表示掷出的点数是4。
显然，事件A和事件B同时发生，即 A∩B。
3. 补集运算当事件A不发生时，我们可以表示为 A'。
概率的运算和事件的运算
概率的运算和事件的运算概率是数学中的一个分支，它研究随机事件发生的可能性。
在概率论中，事件是指一个或多个结果的集合，它们可能会发生或不发生。
事件的运算是对事件的组合进行操作，从而得到新的事件。
本文将着重介绍概率的运算和事件的运算。
一、概率的运算1. 加法原理加法原理是指，如果事件A和事件B是不相交的，那么它们的联合事件（即事件A或事件B发生）的概率等于事件A的概率与事件B 的概率之和。
例如，如果A表示抛掷一枚骰子时得到1或2的事件，B表示抛掷一枚骰子时得到3或4的事件，那么P(A或B)=P(A)+P(B)=2/6+2/6=4/6。
2. 乘法原理乘法原理是指，如果事件A和事件B是独立的，那么它们的交集事件（即事件A和事件B都发生）的概率等于事件A的概率与事件B 的概率之积。
例如，如果A表示从一副扑克牌中抽取一张红色牌的事件，B表示从一副扑克牌中抽取一张大牌（即A、K、Q、J、10中的一张）的事件，那么P(A且B)=P(A)×P(B)=26/52×20/52=5/26。
3. 条件概率条件概率是指，在已知事件B发生的情况下，事件A发生的概率。
条件概率的计算公式为P(A|B)=P(A且B)/P(B)，其中P(A且B)表示事件A和事件B都发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
例如，如果A表示某人患有某种疾病的事件，B表示某人的年龄在40岁以上的事件，那么P(A|B)表示在已知某人年龄在40岁以上的情况下，他患有某种疾病的概率。
二、事件的运算1. 并集并集是指由两个或多个事件的所有结果组成的集合。
例如，如果A 表示抛掷一枚骰子时得到1或2的事件，B表示抛掷一枚骰子时得到2或3的事件，那么A和B的并集表示抛掷一枚骰子时得到1、2或3的事件。
2. 交集交集是指由两个或多个事件的公共结果组成的集合。
例如，如果A 表示从一副扑克牌中抽取一张红色牌的事件，B表示从一副扑克牌中抽取一张大牌的事件，那么A和B的交集表示从一副扑克牌中抽取一张既是红色牌又是大牌的事件。
1.1 随机事件及其运算
例如，在E1中
{1, 2, 3,4,5,6} 表示必然事件 ；
A {1, 3,5} B {1, 2, 3}
表示出现奇数点的事件；
表示出现点数小于 4 的事件；
C {2, 4, 6} 表示出现偶数点的事件 ； D {4,6}
表示出现大于2 的偶点事件 。
{出现7点}
表示不可能事件。
A
B A B ; A B A B. 和之逆即逆之积 ; 积之逆即逆之和
例1 电路如图所示。用A表示事件“信号灯点 亮”，用B，C，D 依次表示“继电器Ⅰ闭合” ， “继电器Ⅱ闭合”，“继电器Ⅲ闭合” 。试给出 用 B，C，D 间的运算关系表示事件 A 的关系式。
AB
(C
D)
A BC
BD
ABC
ABC
6）A、B、C 中只有一个发生； ABC 8）A、B、C 中恰有两个发生. ABC
ABC ABC
ABC ABC
7）A、B、C 中不多于两个发生； ABC
ABC
集合的运算
一、补集与全集
定义: 一般地，设S是一个集合，A是S的一个 子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合， 叫做S中子集A的补集，记作
概率论与数理统计
数学教研室
贺 丽 娟
一、概率论的诞生及应用
概率论与数理统计 是研究和揭
示随机现象统计规律性的数学学科。
1. 概率论的诞生——分赌本问题
甲、乙二人赌博，各出赌注30元，共60 元，每局甲、乙胜的机会均等，都是 1/2。约定：谁先胜满3局则他赢得全部 赌注60元，现已赌完3局，甲2胜1负，而 因故中断赌情，问这60元赌注该如何分 给2人，才算公平? 点
Ω
Ω
概率论 随机事件及其运算
A B A AB
A B A ( B A) A ( B AB)
A AB AB
样本空间的分割
若 A1，A2，……，An 有
1. Ai互不相容； 2. A1A2 ……An= Ω 则称 A1，A2，……，An 为Ω的一组分割.
课堂练习
1. 若A 是 B 的子事件，则 AB = ( B )， AB = ( A )
2. 设 A 与B 同时出现时 C 也出现，则( ③ ) ① AB 是 C 的子事件； ② C 是 AB 的子事件； ③ AB 是 C 的子事件； ④ C 是 AB 的子事件.
3. 设事件 A = “甲种产品畅销，乙种产品滞销” ， 则 A 的对立事件为（ ④ ） ① 甲种产品滞销，乙种产品畅销； ② 甲、乙两种产品均畅销； ③ 甲种产品滞销； ④ 甲种产品滞销或者乙种产品畅销. 4. 设 x 表示一个沿数轴做随机运动的质点位臵， 试说明下列各对事件间的关系 A B ① A ={|xa|＜σ}，B ={x a＜σ} ② A ={x＞20}， B ={x≤22} 相容 ③ A ={x＞22}， B ={x＜19} 不相容
集合论
空间 空集 元素 A是B的子集 A与B无相同元素 A与B的并集 A与B的交集 A与B的差集 A的余集
A
注意点(1)
基本事件互不相容，基本事件之并=Ω
A A A A Ω
A
A A
A A
A
A AB A B B
注意点(2)
5. 试用A、B、C 表示下列事件： ① A 出现； A ② 仅 A 出现；ABC ③ 恰有一个出现；ABC ABC ABC ④ 至少有一个出现；A B C ⑤ 至多有一个出现； ABC ABC ABC ABC ⑥ 都不出现； ABC ⑦ 不都出现； ABC A B C ⑧ 至少有两个出现； AB AC BC
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课堂练习
1. 若A 是 B 的子事件，则 AB = ( B )， AB = ( A )
2. 设 A 与B 同时出现时 C 也出现，则( ③ ) ① AB 是 C 的子事件； ② C 是 AB 的子事件； ③ AB 是 C 的子事件； ④ C 是 AB 的子事件.
3. 设事件 A = “甲种产品畅销，乙种产品滞销” ， 则 A 的对立事件为（ ④ ） ① 甲种产品滞销，乙种产品畅销； ② 甲、乙两种产品均畅销； ③ 甲种产品滞销； ④ 甲种产品滞销或者乙种产品畅销. 4. 设 x 表示一个沿数轴做随机运动的质点位臵， 试说明下列各对事件间的关系 A B ① A ={|xa|＜σ}，B ={x a＜σ} ② A ={x＞20}， B ={x≤22} 相容 ③ A ={x＞22}， B ={x＜19} 不相容
3.随机事件的发生
某个事件A发生当且仅当A所包含的一个样本点出现.
4、必然事件与不可能事件
必然事件：在随机试验中，每次试验都必然发生的事件。用 Ω表示； 不可能事件：在随机试验中，每次试验都必然不会发生的事 件。用 表示。 例如，在上述掷骰子的试验中，“点数小于7”是必然事 件，“点数大于6”是不可能事件。 注：严格来讲，必然事件与不可能事件反映了确定性现象， 可以说它们并不是随机事件，但为了研究问题的方便，我们 把它们作为特殊的随机事件。 有了上述讨论，可见术语、符号去描述事件之间的关 系与运算。
练习:
1.判断 (1)一次试验只能出现一个样本点. (2)一次试验只有一个事件发生. 2.写出下列事件 (1)一次掷两颗骰子,事件A={两骰子点数之和为8} (2)公共汽车每10分钟一趟,两个人去乘同一班车,事 件B={两人等车时间相差不超过3分钟} (3)将一尺长的棒任意折成三段,事件C={这三段能构 成三角形} (4)两人相约在中午12点到下午1点之间在某地会面， 先到者等候20分钟然后离开，事件D={两人能会面}
A B A B B, AB A
A B A AB
A B A ( B A) A ( B AB)
A AB AB
样本空间的分割
若 A1，A2，……，An 有
1. Ai互不相容； 2. A1A2 ……An= Ω 则称 A1，A2，……，An 为Ω的一组分割.
会表现出一定的规律性，这种规律性称之为 统计规律性.
一门火炮在一定条件下进行射击，个别 炮弹的弹着点可能偏离目标(有随机误差)， 但多枚炮弹的弹着点就呈现出一定的规律。 如：命中率等。
测量一件物体的长度，由于仪器或观测 者受到环境的影响，每次测量的结果可能有 差异，但多次测量结果的平均值随着测量次 数的增加而逐渐稳定在常数，并且各测量值 大多落在此常数附近，离常数越远的测量值 出现的可能性越小。
趣味题
有十堆苹果，每堆有十个，有九堆是每个 苹果都是一斤重，还有一堆每个苹果是九 两重，给你一杆称，只能称一次，怎么找 出都是九两重苹果的那堆！
练习:
作业:
下列现象中哪些是随机现象？
A. 在一个标准大气压下, 水在100℃时沸腾； × B. 明天的最高温度; √ C. 掷一颗骰子，观察其向上点数； √ D. 上抛的物体一定下落； ×
E. 新生婴儿体重。 √
• 特点：1. 结果不止一个; 2. 事先不知道哪一个会出现.
• 随机现象的统计规律性：随机现象的各种结果
集合论
空间 空集 元素 A是B的子集 A与B无相同元素 A与B的并集 A与B的交集 A与B的差集 A的余集
A
注意点(1)
基本事件互不相容，基本事件之并=Ω
A A A A Ω
A
A A
A A
A
A AB A B B
注意点(2)
【理论应用1：谚语的概率解释】
（1）伊索寓言“孩子与狼”的故事，讲的是一个小孩每 天到山上放羊，山里有狼出没.第一天，他在山上喊：“狼 来了！狼来了！”山下的村民闻声便去打狼，可到了山上， 发现狼没有来；第二天仍是如此；第三天，狼真的来了，可 无论小孩怎么喊叫，也没有人来救他，因为前两天他说了谎， 人们不再相信他了.试用概率方法分析此寓言中村民对这个 小孩的可信程度是如何下降的. （2）常言道：“三个臭皮匠赛过一个诸葛亮”，这是对 人多办法多，人多智慧高的一种赞誉，如何利用概率的计算 得到证实？
想一想
“天有不测风云”和“天气可以预报” 有无矛盾? ☆ 天有不测风云指的是：对随机现象进行一 次观测，其观测结果具有偶然性；
☆ 天气可以预报指的是：观测者通过大量的 气象资料对天气进行预测，得到天气的变 化规律。
随机试验：对随机现象进行观测，若满足 1）在相同条件下，试验可以重复进行； 2）试验前，不知道会出现哪个结果； 3）试验结果不唯一，但出现的每个结果 是确定的。
1.2 样本点与样本空间
1. 样本点 —— 随机试验的每一个可能结果，记为 w1，……， wn .
2. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合，记为Ω . 3. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
练习:
写出下列试验的样本点与样本空间 1.掷两枚骰子，观察出现的点. 2.公共汽车每10分钟一趟,观察某人的等车时间. 如果是两个人去乘同一班车,观察两个人的等车时间. 3.袋中有标号为1,2,3,4,5的五个球, (1)从中任取2个; (2)从中依次取2个; (3)从中取一个,放回再取一个, 观察两个球的号码. 4.将一尺长的棒任意折成三段.(用x,y表示左段与中段 长)
5. 试用A、B、C 表示下列事件： ① A 出现； A ② 仅 A 出现；ABC ③ 恰有一个出现；ABC ABC ABC ④ 至少有一个出现；A B C ⑤ 至多有一个出现； ABC ABC ABC ABC ⑥ 都不出现； ABC ⑦ 不都出现； ABC A B C ⑧ 至少有两个出现； AB AC BC
A
1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 具有某种特性的样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示. 2.随机事件包括基本事件和复合事件。
由一个样本点构成的集合称为基本事件；由多个样本点构成 的集合称为复合事件. 例如，在投骰子的试验中，事件A={掷出偶数点}是复合事件， 事件B={出现2点}是基本事件.
事件运算的图示
AB
AB
AB
德莫根公式
A B A B; A B A B
A A;
i i i 1 i 1
n
n
A A
i i 1 i 1
n
n
i
记号
Ω φ AB AB=φ AB AB AB
概率论
样本空间, 必然事件 不可能事件 样本点 A发生必然导致B发生 A与B互不相容 A与B至少有一发生 A与B同时发生 A发生且B不发生 A不发生、对立事件
1.4 事件间的关系
包含关系： A B, A 发生必然导致 B 发生. 相等关系: A = B A B 而且 B A.
互不相容： A 和 B不可能同时发生.
1.5 事件的运算
• • • • 并： A B 交： A B = AB 差： A B 对立： A A 与 B 至少有一发生 A 与 B 同时发生 A发生但 B不发生 A 不发生
实际问题
有三扇门，其中一扇门后有奖品，但只 有主持人知道。这时你随机选了一扇门，主 持人看到你的选择后，在其余两扇门中打开 了没有奖品的一扇门。此时场上剩下两扇门， 一扇是你选的，主持人这个时候问你：给你 一次机会改变主意，2选1，你要更换自己的 选择吗？换吗？
模块1 随机事件及其运算
1.1 随机现象：在一定的条件下，并不总出现 相同结果的现象称为随机现象.
注意：
①样本空间是一个集合，它是由样本点构成。其 表示方法，可以用列举法，也可以用描述法。 ②在样本空间中，样本点可以是一维的，也可 以是多维的；可以是有限个，也可以是无限个。 ③对于一个随机试验而言，样本空间并不唯一。 在同一试验中，当试验的目的不同时，样本空间往 往是不同的，但通常只有一个会提供最多的信息。