随机事件及其运算

第一章随机事件与概率一、教材说明本章内容包括：样本空间、随机事件及其运算，概率的定义及其确定方法（频率方法、古典方法、几何方法及主观方法），概率的性质、条件概率的定义及三大公式，以及随机事件独立性的概念及相关概率计算。

随机事件、概率的定义和性质是基础，概率的计算是基本内容，条件概率及事件独立性是深化。

1．教学目的与教学要求本章的教学目的是：（1）使学生了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，熟练掌握事件之间的关系和运算；（2）使学生掌握条件概率的三大公式并用这些公式进行相关概率计算；（3）使学生理解条件概率及独立性的概念并进行相关概率计算。

本章的教学要求是：（１）理解样本空间、随机事件、古典概率、几何概率、频率概率、主观概率、条件概率及事件独立性的概念；（２）熟练掌握事件之间的关系和运算，利用概率的性质及条件概率三大公式等求一般概率、条件概率以及独立情形下概率的问题；（３）掌握有关概率、条件概率及独立情形下的概率不等式的证明及相关结论的推导。

２．本章的重点与难点本章的重点、难点是概率、条件概率的概念及加法公式、乘法公式，全概率公式、贝叶斯公式及事件独立性的概念。

二、教学内容本章共分随机事件及其运算、概率的定义及其确定方法、概率的性质、条件概率、独立性等5节来讲述本章的基本内容。

1.1随机事件及其运算本节包括随机现象、样本空间、随机事件、随机变量、事件间的关系、事件运算、事件域等内容，简要介绍上述内容的概念及事件间的基本运算。

自然界里有两类不同性质的现象。

有一类现象，在一定条件下必然发生：如自由落体，1000C 时水沸腾等这类现象称为确定性事件或必然现象。

另一类现象，在一定条件下，可能发生也不可能不发生，其结果具有偶然性，这类具有偶然性的现象称为随机现象。

概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律的一门数学学科。

概率统计的理论和方法应用十分广泛，目前已经涉及几乎所有的科学技术领域及国民经济的各个部门，在经济管理预测、决策、投资、保险等领域发挥重要的作用。

特别是统计专业的这门课是本专业的一门基础课。

1.1.1 随机现象１．定义 在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。

例（１）抛一枚硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上； （２）掷一颗骰子，出现的点数； （３）一天内进入某超市的顾客数； （４）某种型号电视机的寿命；（５）测量某物理量（长度、直径等）的误差。

随机现象到处可见。

２．特点：结果不止一个；哪一个结果出现事先不知道。

３．随机试验：在相同条件下可以重复的随机现象。

对随机现象的大量的重复观察，它具有以下特征：重复性、明确性、随机性。

我们就是通过随机试验来研究随机现象的。

1.1.2 样本空间１．样本空间是随机现象的一切可能结果组成的集合，记为}{ω=Ω其中，ω表示基本结果，称为样本点。

（１）执一枚硬币的样本空间为：},{211ωω=Ω；两枚呢？两枚均匀的硬币的样本的样本空间Ω由以下四个基本结果组成，1ω=（正，正），2ω=（正，反），3ω=（反，正），4ω=（反，反），则 A=“至少出现一个正面”={123,,ωωω}；B=“最多出现一个正面”={234,,ωωω}；C=“恰好出现一个正面”={23,ωω}；D=“出现两面相同”={14,ωω}。

（２）执一颗质体均匀的骰子的样本空间为：}6,5,4,3,2,1{},,,,,{6543212==Ωωωωωωω；两颗呢？这时基本结果可以用一个数对（x,y ）表示，其中x 表示第一颗骰子出现的点数，y 表示第二颗骰子的点数，则其基本空间是Ω1={(x,y):x,y=1,2,3,4,5,6},共有36个结果。

则事件 A 1=“点数之和等于2”={（1，1）}，B 1=“点数之和等于5”={（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）}C 1=“点数之和超过9”={（4,6），（5,5），（5,6），(6,4),（6,5），（6,6）}D 1=“点数之和不小于4也不超过6”={（1，3），（1，4），（1，5），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（5，1）}。

（３）一天内进入某超市的顾客数的样本空间为：},10,,500,,5,4,3,2,1,0{},,,,{532103 ==Ωωωωω；为什么这样处理？（４）某种型号电视机的寿命样本空间为：}0,{4≥=Ωt t ； （５）测量误差的样本空间为：},{5+∞<<-∞=Ωx x 。

２．离散样本空间和连续样本空间。

样本空间分类：有限和无限；无限又可以分为可列与不可列有限与可列分为一类，称为离散样本空间；无限不可列属于另一类——连续样本空间。

1.1.3 随机事件1．定义 随机现象的某些样本点组成的集合。

随机现象的某些基本结果组成的集合称为随机事件，简称事件，常用大写字母A 、B 、C …来表示事件。

A=“出现奇数点”，A={1,3,5}等。

事件具有以下特征：（1）任一事件A 是相应样本空间Ω的一个子集。

（2）事件A 发生当且仅当A 中某一结果发生，或者说，当ω1（∈A ）发生，则说世事件A 发生，当ω2（∈A ） 发生，则说A 不发生。

（3）事件A 的表示可用集合，也可以用语言，但要使大家明白。

2．维恩图 事件的集合表示。

基本事件 复合事件必然事件不可能事件3．例掷一颗骰子的样本空间为：{1,2,3,4,5,6}Ω=。

事件A=“出现1点”，它由Ω的单个样本点“1”组成。

事件B=“出现偶数点”，它由三个样本点“2，4，6”组成。

事件C=“出现的点数大于6”，Ω中的任意样本点都不在C中，所以C是空集，即不可能事件∅。

事件D=“出现的点数不超过7”，Ω中的任意样本点都在D中，所以D是必然事件Ω。

样本空间与集合的关系，对应关系1.1.4 随机变量1．定义用来表示随机现象结果的变量称为随机变量，常用大写字母ξηζ等表示。

很多随机事件都可以用X Y Z等表示，也有的用希腊字母,,,,,,随机变量来表达。

2．例（1）掷一颗骰子，出现的点数是一个随机变量；（2）掷两颗骰子，出现的点数之和也是是一个随机变量；（3）检查10件产品，其中不合格产品数X是一个随机变量，表示（4）电视机的寿命T是一个随机变量。

此外射击次数、候车时间、购买某种股票的收益率等都是随即变量。

取值情况：有限、无限可列——离散型随机变量；剩下的——非离散型随机变量（主要研究连续型随机变量）有了随机变量，我们就可以用随机变量来表达随机事件，才可以用数学方法（分析方法）来研究随机性问题。

随机事件的三种表达形式：集合，语言描述，随机变量。

1.1.5 事件之间的关系为以后的概率计算化繁为简，需要研究事件间的关系与事件的运算规则，这里先研究事件的关系，它与集合的运算有着相同之处。

事件之间的关系有：一、包含关系（1）事件的包含设在同一个试验里有两个事件A，B，若事件A中任一基本结果必在B中，则称A包含于事件B或B包含A，记为A⊂B,B⊃A。

此时若A发生则必导致B发生。

如A=“出现4点”，B=“出现偶数点”显然对于任意一个事件A有Ω⊃A⊃Φ二、相等关系事件的相等设在同一个试验里有两个事件A 与B，，若AB且BA，则称事件A与B是相等的,记为A=B。

这时A与B必然包含相同的基本事件。

A = B⇔A⊂B而且B⊂A.如掷两颗色子，观察它们出现的点数（x,y），设A=“x+y=奇数”，B=“x与y的奇偶性不同”，则A=B.三、互不相容关系(3)事件的互不相容（互斥）设在同一个试验里，若两个事件A与B没有相同的基本结果，则称事件A与B互不相容，这时事件A与B不可能同时发生。

如A=“出现点数为偶数”，B=“出现3点或5点”，则A与B互不相容。

同样可以推广到多个事件的互不相容性，若在一个试验里有几个事件A1,A2,…,An，若其中任意两个事件都是互不相容的，则称这n个事件是互不相容的。

各种关系的维恩图表示。

1.1.6 事件运算1．事件运算：一、事件A与B的并（和），记为：A B“由事件A与B中所有样本点（相同的只计入一次）组成的新事件”“事件A与B中至少有一个发生”“A或B ”举例且：A B A⊃，A B B⊃；当A B⊃时，?A B=A AΦ=,AΩ=Ω；12nA A A表示12,,,nA A A中至少有一个发生。

1niiA=称为有限并，1iiA+∞=称为可列并二、事件A与B的交，记为：A B或AB“由事件A与B中公共样本点组成的新事件”“事件A与B中同时发生”“A且B”举例且：A B A⊂，A B B⊂；当A B⊃时，?A B=AΦ=Φ,A AΩ=；12nA A A表示12,,,nA A A全部发生。

若A与B互不相容（互斥），则A B=Φ；反之，亦然。

1niiA=称为有限交，1iiA+∞=称为可列交。

三、事件A与B的差，记为：A B-“由事件A中但不在B中的样本点组成的新事件”“事件A发生而B中不发生”“A非B”举例：如A={1，3，5}，B={1，2，3}，则A－B=｛５｝，而B－A＝｛２｝。

一般情况下A B A AB-=-这是在以后计算概率时常遇到的公式之一。

将A B表示为互不相容事件的和：()()A B A AB B A B AB=-=-等。

若X为随机变量，则有：{}{}{}X a X a X a==≤-<{}{}{}a Xb X b X a<≤=≤-≤四、对立事件设A为试验里的事件，则由不在A中的一切结果组成的事件称为A的对立事件，记为A,A就是“A不发生”。

如A=“出现偶数点”，则A=“出现奇数点”。

对立事件是相互的，A=A,Φ=Ω，Ω=Φ。

举例：对立与互不相容的区别与联系，比较举例：设A，B，C是某个试验中的三个事件，则（1）事件“A与B发生，C 不发生”可以表示为ABC。

（2）事件“A，B，C中至少有一个发生”可以表示为A B C(3)事件“A，B，C中至少有两个发生”可以表示为AB BC AC（4）事件“A，B，C中恰好有两个发生”可以表示为ABC ABC ABC.(5) 事件“A，B，C中有不多于一个事件发生”可以表示为ABC ABC ABC ABC（6）事件“A ，B ，C 中至少有一个发生的对立事件”是A B C A B C =。

2．事件的运算性质： （1）交换律：A B B A =，A B B A =；（2）结合律：()()A B C A B C =，()()A B C A B C =； （3）分配律：()()()A B C A C B C =，()()()A B C A C B C =； （4）对偶律（德莫根公式）：,A B A B A B A B ==。

证明：1212n n A A A A A A ⋯=⋯或者11nni i i i A A ===、11i i i i A A +∞+∞===1212n n A A A A A A ⋯=⋯或者11nni i i i A A ===、11i i i i A A +∞+∞===完备事件组（或者称为样本空间的一个分割） 把样本空间Ω分成n 个事件1B ，2B ，… ，n B ，假如（1）P(i B )>0,i=1,2, …,n ; (2) 1B ，2B ，… ，n B 互不相容，；（3）1ni i B ==Ω。