随机事件及其运算

第一章随机事件与概率

一、教材说明

本章内容包括：样本空间、随机事件及其运算，概率的定义及其确定方法（频率方法、古典方法、几何方法及主观方法），概率的性质、条件概率的定义及三大公式，以及随机事件独立性的概念及相关概率计算。随机事件、概率的定义和性质是基础，概率的计算是基本内容，条件概率及事件独立性是深化。

1．教学目的与教学要求

本章的教学目的是：

（1）使学生了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，熟练掌握事件之间的关系和运算；

（2）使学生掌握条件概率的三大公式并用这些公式进行相关概率计算；

（3）使学生理解条件概率及独立性的概念并进行相关概率计算。

本章的教学要求是：

（１）理解样本空间、随机事件、古典概率、几何概率、频率概率、主观概率、条件概率及事件独立性的概念；

（２）熟练掌握事件之间的关系和运算，利用概率的性质及条件概率三大公式等求一般概率、条件概率以及独立情形下概率的问题；

（３）掌握有关概率、条件概率及独立情形下的概率不等式的证明及相关结论的推导。

２．本章的重点与难点

本章的重点、难点是概率、条件概率的概念及加法公式、乘法公式，全概率公式、贝叶斯公式及事件独立性的概念。

二、教学内容

本章共分随机事件及其运算、概率的定义及其确定方法、概率的性质、条件概率、独立性等5节来讲述本章的基本内容。

1.1随机事件及其运算

本节包括随机现象、样本空间、随机事件、随机变量、事件间的关系、事件运算、事件域等内容，简要介绍上述内容的概念及事件间的基本运算。

自然界里有两类不同性质的现象。有一类现象，在一定条件下必然发生：如

自由落体，1000C 时水沸腾等这类现象称为确定性事件或必然现象。另一类现象，在一定条件下，可能发生也不可能不发生，其结果具有偶然性，这类具有偶然性的现象称为随机现象。

概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律的一门数学学科。

概率统计的理论和方法应用十分广泛，目前已经涉及几乎所有的科学技术领域及国民经济的各个部门，在经济管理预测、决策、投资、保险等领域发挥重要的作用。特别是统计专业的这门课是本专业的一门基础课。 1.1.1 随机现象

１．定义 在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。 例（１）抛一枚硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上； （２）掷一颗骰子，出现的点数； （３）一天内进入某超市的顾客数； （４）某种型号电视机的寿命；

（５）测量某物理量（长度、直径等）的误差。 随机现象到处可见。

２．特点：结果不止一个；哪一个结果出现事先不知道。

３．随机试验：在相同条件下可以重复的随机现象。对随机现象的大量的重复观察，它具有以下特征：重复性、明确性、随机性。我们就是通过随机试验来研究随机现象的。 1.1.2 样本空间

１．样本空间是随机现象的一切可能结果组成的集合，记为

}{ω=Ω

其中，ω表示基本结果，称为样本点。

（１）执一枚硬币的样本空间为：},{211ωω=Ω；

两枚呢？两枚均匀的硬币的样本的样本空间Ω由以下四个基本结果组成，

1ω=（正，正），2ω=（正，反），3ω=（反，正），4ω=（反，反），则 A=“至少出现一个正面”={123,,ωωω}；B=“最多出现一个正面”={234,,ωωω}；C=“恰好出现一个正面”={23,ωω}；D=“出现两面相同”={14,ωω}。

（２）执一颗质体均匀的骰子的样本空间为：

}6,5,4,3,2,1{},,,,,{6543212==Ωωωωωωω；两颗呢？

这时基本结果可以用一个数对（x,y ）表示，其中x 表示第一颗骰子出现的点数，y 表示第二颗骰子的点数，则其基本空间是

Ω1={(x,y):x,y=1,2,3,4,5,6},共有36个结果。则事件 A 1=“点数之和等于2”={（1，1）}，

B 1=“点数之和等于5”={（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）}

C 1=“点数之和超过9”={（4,6），（5,5），（5,6），(6,4),（6,5），（6,6）}

D 1=“点数之和不小于4也不超过6”={（1，3），（1，4），（1，5），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（5，1）}。

（３）一天内进入某超市的顾客数的样本空间为：

},10,,500,,5,4,3,2,1,0{},,,,{532103 ==Ωωωωω；为什么这样处理？

（４）某种型号电视机的寿命样本空间为：}0,{4≥=Ωt t ； （５）测量误差的样本空间为：},{5+∞<<-∞=Ωx x 。 ２．离散样本空间和连续样本空间。

样本空间分类：有限和无限；无限又可以分为可列与不可列

有限与可列分为一类，称为离散样本空间；无限不可列属于另一类——连续样本空间。 1.1.3 随机事件

1．定义 随机现象的某些样本点组成的集合。

随机现象的某些基本结果组成的集合称为随机事件，简称事件，常用大写字母A 、B 、C …来表示事件。A=“出现奇数点”，A={1,3,5}等。

事件具有以下特征：

（1）任一事件A 是相应样本空间Ω的一个子集。

（2）事件A 发生当且仅当A 中某一结果发生，或者说，当ω1（∈A ）发生，则说世事件A 发生，当ω2（∈A ） 发生，则说A 不发生。 （3）事件A 的表示可用集合，也可以用语言，但要使大家明白。

2．维恩图 事件的集合表示。 基本事件 复合事件

必然事件

不可能事件

3．例掷一颗骰子的样本空间为：{1,2,3,4,5,6}

Ω=。

事件A=“出现1点”，它由Ω的单个样本点“1”组成。

事件B=“出现偶数点”，它由三个样本点“2，4，6”组成。

事件C=“出现的点数大于6”，Ω中的任意样本点都不在C中，所以C是空集，即不

可能事件∅。

事件D=“出现的点数不超过7”，Ω中的任意样本点都在D中，所以D是必然事件Ω。

样本空间与集合的关系，对应关系

1.1.4 随机变量

1．定义用来表示随机现象结果的变量称为随机变量，常用大写字母

ξηζ等表示。很多随机事件都可以用X Y Z等表示，也有的用希腊字母,,,

,,,

随机变量来表达。

2．例（1）掷一颗骰子，出现的点数是一个随机变量；

（2）掷两颗骰子，出现的点数之和也是是一个随机变量；

（3）检查10件产品，其中不合格产品数X是一个随机变量，表示

（4）电视机的寿命T是一个随机变量。此外射击次数、候车时间、购买某种股票的收益率等都是随即变量。

取值情况：有限、无限可列——离散型随机变量；

剩下的——非离散型随机变量（主要研究连续型随机变量）有了随机变量，我们就可以用随机变量来表达随机事件，才可以用数学方法（分析方法）来研究随机性问题。

随机事件的三种表达形式：集合，语言描述，随机变量。

1.1.5 事件之间的关系

为以后的概率计算化繁为简，需要研究事件间的关系与事件的运算规则，这里先研究事件的关系，它与集合的运算有着相同之处。

事件之间的关系有：

一、包含关系