《机械优化设计》试卷及答案

《机械优化设计》复习题及答案

、填空题

1、用最速下降法求f(X)=100(x2- X12) 2+(1- x i) 2的最优解时，设X (°)=[-0.5,0.5]T，第一

步迭代的搜索方向为[-47;-50]_________________ 。

2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向二是计算最佳步长因

子 ________ 。

3、当优化问题是—凸规划______ 的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。

4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和

终点，它们的函数值形成高-低-高___________ 趋势。

5、包含n个设计变量的优化问题，称为__n _______ 维优化问题。

1

6、函数—X T HX B T X C的梯度为HX+B 。

2

7、设G为n>n对称正定矩阵，若n维空间中有两个非零向量d0，d1，满足(d°)T Gd—=0, 则d0、d1之间存在—共轭 ______ ■关系。

8、设计变量、约束条件______________ 、目标函数________________ 是优化设计问题数学模型的基本要素。

9、对于无约束二元函数f(X1,X2)，若在X°(X10,X20)点处取得极小值，其必要条件是_梯度为

零，充分条件是海塞矩阵正定 ______________ 。

10、 ________________ 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作

用的各约束函数梯度的非负线性组合。

11、用黄金分割法求一元函数f (x) x2 10x 36的极小点，初始搜索区间

[a,b] [ 10,10]，经第一次区间消去后得到的新区间为[-2.36236] 。

12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设_________ 、

13、牛顿法的搜索方向d k= ______ ，其计算量大，且要求初始点在极小点逼近位置。

14、将函数f(X)=x 12+X22-X1X2-10x1-4x2+60 表示成-X T HX B T X C 的形

2

式 ________________________ 。

15、存在矩阵H，向量d1，向量d2,当满足(d1)TGd2=0 ，向量d1和向量d2是关于H共轭。

16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因

子r数列，具有____________ 由小到大趋于无穷 ________________ 特点。

17、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即

求 _____________ 。

1、下面________ 方法需要求海赛矩阵

A、最速下降法

B、共轭梯度法

C、牛顿型法

D、DFP法

2、对于约束问题

min f X2X

12

x4x24

g1 X x2

X2 1 0

g2 X3X10

g3 X X20

根据目标函数等值线和约束曲线，判断X1 [1,1]T为

为 ____________ 。

A ?内点；内点

B. 外点；外点

C. 内点；外点

D. 外点；内点

3、内点惩罚函数法可用于求解___________ 化问题。

A无约束优化问题

B只含有不等式约束的优化问题

C只含有等式的优化问题

D含有不等式和等式约束的优化问题

4、对于一维搜索，搜索区间为[a, b],中间插入两个点a1、b1, a1

A [a1, b1]

B [ b1, b]

C [a1, b]

D [a, b1]

5、_________ 是优化设计问题数学模型的基本要素

B约束条件

C目标函数

D最佳步长

6、变尺度法的迭代公式为x k+1=x k- a H k V f(x k)，下列不属于H k必须满足的条件的是

。

A. H k之间有简单的迭代形式

B. 拟牛顿条件

C. 与海塞矩阵正交

D. 对称正定

7、函数f (X)在某点的梯度方向为函数在该点的_____________ 。

A、最速上升方向

B、上升方向

C、最速下降方向

D、下降方向

&下面四种无约束优化方法中，_____________ 构成搜索方向时没有使用到目标函数的一阶或二阶导数。

A梯度法

B牛顿法

C变尺度法

D 坐标轮换法

9、设f(X)为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的函数，则f (X)在R上为凸函数的

充分必要条件是海塞矩阵G(X)在R上处处_______ 。

A正定

B 半正定

C负定

D半负定

10、__________________________________________________________________________ 下列关于最常用的一维搜索试探方法一一黄金分割法的叙述，错误的是 ________________ 假设要求在区间［a，b］插入两点a、a，且a

A、其缩短率为0.618

B、a=b-入(b-a)

C、a=a+ \ (b-a)

D、在该方法中缩短搜索区间采用的是外推法。

11、与梯度成锐角的方向为函数值上升方向，与负梯度成锐角的方向为函数值下降方向，与梯度成直角的方向为函数值不变方向。

A、上升

B、下降

C、不变

D、为零

12、二维目标函数的无约束极小点就是___________ 。

A、等值线族的一个共同中心

B、梯度为0的点

C、全局最优解

D、海塞矩阵正定的点

13、最速下降法相邻两搜索方向d k和d k+1必为__________ 向量。

A相切

B 正交

C成锐角

D共轭

14、下列关于内点惩罚函数法的叙述，错误的是_________ 。

A可用来求解含不等式约束和等式约束的最优化问题。

B惩罚因子是不断递减的正值

C初始点应选择一个离约束边界较远的点。

D初始点必须在可行域内

15、通常情况下，下面四种算法中收敛速度最慢的是

A牛顿法B梯度法C共轭梯度法D变尺度法

16、一维搜索试探方法一一黄金分割法比二次插值法的收敛速度

A、慢

B、快

C、一样

D、不确定

17、下列关于共轭梯度法的叙述，错误的是。A需要求海赛矩阵

B除第一步以外的其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度C共轭梯度法具有

二次收敛性

D第一步迭代的搜索方向为初始点的负梯度

三、问答题

1、试述两种一维搜索方法的原理，它们之间有何区

答：搜索的原理是：区间消去法原理

区别：（1）、试探法：给定的规定来确定插入点的位置，此点的位置确定仅仅按照区间的缩短如何加快，而不顾及函数值的分布关系，如黄金分割法

（2）、插值法：没有函数表达式，可以根据这些点处的函数值，利用插值方法建立函数的某种近似表达式，近而求出函数的极小点，并用它作为原来函数的近似值。这种方法称为插值法，又叫函数逼近法。

2、惩罚函数法求解约束优化问题的基本原理是什么？

答，基本原理是将优化问题的不等式和等式约束函数经过加权转化后，和原目标函数结合形成新的目标函数一一惩罚函数求解该新目标函数的无约束极值，以期得到原问

题的约束最优解

3、试述数值解法求最佳步长因子的基本思路。

答主要用数值解法，利用计算机通过反复迭代计算求得最佳步长因子的近似值

4、试述求解无约束优化问题的最速下降法与牛顿型方法的优缺点。

答：最速下降法此法优点是直接、简单，头几步下降速度快。缺点是收敛速度慢，越到后面收敛越慢。牛顿法优点是收敛比较快，对二次函数具有二次收敛性。缺点是每次迭代需要求海塞矩阵及其逆矩阵，维数高时及数量比较大。

5、写出用数学规划法求解优化设计问题的数值迭代公式，并说明公式中各变量的意义，

并说明迭代公式的意义。

四、解答题

1、试用梯度法求目标函数f（X）=1.5x I2+0.5X22- x i x2-2x i的最优解，设初始点x（0）=[-2，4]T, 选代精度& =0.02（迭代一步）。