线性代数行列式经典编辑例题

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线性代数行列式经典例题

例1计算元素为a ij = | i -j |的n 阶行列式.

解 方法1 由题设知,11a =0,121a =,1,1,n a n =-L L ,故

011102120

n n n D n n --=

--L L M

O

L

1

,1,,2

i i r r i n n --=-=

L 0111111

1

1

n ----L L M O L

1,,1

j n c c j n +=-=

L 121

1

021

(1)2(1)020

1

n n n n n n ------=----L L L L M O O L M L

其中第一步用的是从最后一行起,逐行减前一行.第二步用的每列加第n 列.

方法2 011102120

n n n D n n --=

--L L M O

L

11,2,,1

111111120

i i r r i n n n +-=----=

--L L L M

O

L

1

2,,1

0012

01231

j c c j n

n n n +=---=

---L L L M

O

L

=1

2(1)

2(1)

n n n ----

例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明:

的充要条件是a + b + c =0.

证明: 考察范德蒙行列式:

=

行列式 即为y 2前的系数. 于是

=

所以 的充要条件是a + b + c = 0.

例3计算D n =

121

100010n n n x x a a a x a ----+K K M M M M K

解: 方法1 递推法 按第1列展开,有

D n = x D 1-n +(-1)

1

+n a n 1

11

11n x x

x

-----O O

= x D 1-n + a n

由于D 1= x + a 1,22

1

1x D a x a -=+,于是D n = x D 1-n + a n =x (x D 2-n +a 1-n )+ a n =x 2

D 2-n +

a 1-n x + a n =L = x

1

-n D 1+ a 2x

2

-n +K + a 1-n x + a n =1

11n n n n x a x a x a --++++L

方法2 第2列的x 倍,第3列的x 2倍,K ,第n 列的x

1

-n 倍分别加到第1列上

12

c xc n D += 2112

1

010010000n n n n x x x

a xa a a x a -----++K K K M M M M K

.\

213

c x c +=

3212

1231

010*********n n n n n n x x x a xa x a a a a x a --------+++K K K

M

M

M

M M

K

=L L =

11

1x f

x

---O

O O

n r =

按展开

1(1)n f

+-1

11

1n x x

x

----O

O =

111n n n n x a x a x a --++++L

方法3 利用性质,将行列式化为上三角行列式.

D n

21

32

1

111n n c c x c c x c c x

-+++=

L

1122

000000000n n n

n

n n n

x x x a a a a a a k x

x x ---+

++K

K K

M M M M K

n =

按c 展开

x

1

-n k n = x

1

-n (

1-n n x a + 2

1--n n x

a +K +x a 2

+a 1+x) =111n n

n n a a x a x x --++++L

方法4 n r n D =按展开

1

(1)n n

a +-1000100001

x x ---K

K M M M M K

+ 21(1)n n a +--

000010

1

x x --K K M M M M K

+K +21

2

(1)

n a --10000

01

x x --K K M M M M K

+21

(1)()n

a x -+1000000

00x x x

-K K M M M M L

=(-1)

1

+n (-1)1

-n a n +(-1)2

+n (-1)

2

-n a 1-n x

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