3.4乘法公式
七年级数学下册 第三章 3.4 乘法公式(1)课件1
(3) (a+2b)(2b+a); (不能)
(4) (a−b)(a+b) ;
(能)
解:原式＝−(a2 −b2) ＝b2−a2
(5) (2x+y)(y−2x). (不能)
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（一）应用公式(gōngshì)：
例1. 利用平方差公式计算（先确定各题的a与b， 再填空）
(4).(x3y)(x3y).
(5).a(bc)(abc).
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判断并改错(ɡǎi ： cuò)
(1) (a+3)(a-3)=a²-3
( )×
改正： (a+3)(a-3)=a²-9
(2)(5y+2)(5y-2)=5y²-4
( )×
改正： (5y+2)(5y-2)=25y²-4
课外 拓展 (kèwài) 1.已知A=x2+x+1,B=x+p-1,化简AB-pA.并求 当x=-1时它的值.
2.计算(jìsuàn)(x3+2x2-3x-5)(2x3-3x2+x-2)时,若 不展开,求出x4项的系数.
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3.若(x3+mx+n)(x2-5x+3)展开(zhǎn kāi)后不含x3 和x2项,试求m,n的值.
例3：化简求值：
5(x1)(x1)(2x1)(2x1)
33
22
其中 x1. 3
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思考1：用平方差公式(gōngshì)计算：
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
新浙教版初中数学教材目录
【七年级上册】1.1从自然数到有理数1.2数轴1.3绝对值1.4有理数的大小比较第2章有理数的运算2.1有理数的加法2.2有理数的减法2.3有理数的乘法2.4有理数的除法2.5有理数的乘方2.6有理数的混合运算2.7近似数和计算器的使用第3章实数3.1平方根3.2实数3.3立方根3.4实数的运算第4章代数式4.1用字母表示数4.2代数式4.3代数式的值4.4整式4.5合并同类项4.6整式的加减第5章一元一次方程5.1一元一次方程5.2等式的基本性质5.3一元一次方程的解法第6章图形的初步知识6.1几何图形6.2线段、射线和直线6.3线段的大小比较6.4线段的和差6.5角与角的度量6.6角的大小比较6.7角的和差6.8余角和补角6.9相交直线【八年级上册】第1章三角形的初步知识1.1认识三角形1.2定义与命题1.3证明1.4全等三角形1.5全等三角形的判定1.6尺规作图第2章特殊三角形2.1图形的轴对称2.2等腰三角形2.3等腰三角形的性质定理2.4等腰三角形的判定定理2.5逆命题与逆定理2.6直角三角形2.7探索勾股定理2.8直角三角形全等的判定第3章一元一次不等式3.1认识不等式3.2不等式的基本性质3.3一元一次不等式3.4一元一次不等式组第4章图形与坐标4.1探索确定位置的方法4.2平面直角坐标系4.3坐标平面内的图形运动第5章一次函数5.1常量与变量5.2认识函数5.3一次函数5.4一次函数的图象5.5一次函数的简单应用【九年级上册】第1章二次函数1.1二次函数1.2二次函数的图象1.3二次函数的性质1.4二次函数的应用第2章简单事件的概率2.1事件的可能性2.2简单事件的概率2.3用频率估计概率2.4概率的简单应用第3章圆的基本性质3.1圆3.2图形的旋转3.3垂径定理3.4圆心角3.5圆周角3.6圆内接四边形3.7正多边形3.8弧长及扇形的面积第4章相似三角形4.1比例线段4.2由平行线截得的比例线段4.3相似三角形4.4两个三角形相似的判定4.5相似三角形的性质及应用4.6相似多边形【七年级下册】第1章平行线1.1平行线1.2同位角、内错角、同旁内角1.3平行线的判定1.4平行线的性质1.5图形的平移第2章二元一次方程组2.1二元一次方程2.2二元一次方程组2.3解二元一次方程组2.4二元一次方程组的简单应用2.5三元一次方程组及其解法(选学)第3章整式的乘除3.1同底数幂的乘法3.2单项式的乘法3.3多项式的乘法3.4乘法公式3.5整式的化简3.6同底数幂的除法3.7整式的除法第4章因式分解4.1因式分解4.2提取公因式法4.3用乘法公式分解因式第5章分式5.1分式5.2分式的基本性质5.3分式的乘除5.4分式的加减5.5分式方程第6章数据与统计图表6.1数据的收集与整理6.2条形统计图和折线统计表6.3扇形统计图6.4频数与频率6.5频数分布直方图【八年级下册】第1章二次根式1.1二次根式1.2二次根式的性质1.3二次根式的运算第2章一元二次方程2.1一元二次方程2.2一元二次方程的解法2.3一元二次方程的应用2.4一元二次方程的根与系数的关系第3章数据分析初步3.1平均数3.2中位数和众数3.3方差和标准差第4章平行四边形4.1多边形4.2平行四边形及其性质4.3中心对称4.4平行四边形的判定定理4.5三角形的中位线4.6反证法第5章特殊平行四边形5.1矩形5.2菱形5.3正方形第6章反比例函数6.1反比例函数6.2反比例函数的图象和性质6.3反比例函数的应用【九年级下册】第1章解直角三角形1.1锐角三角函数1.2有关三角函数的计算1.3解直角三角形第2章直线与圆的位置关系2.1直线与圆的位置关系2.2切线长定理2.3三角形的内切圆第3章投影和三视图3.1投影3.2简单几何体的三视图3.3由三视图描述几何体3.4简单几何体的表面展开图。
浙教版七年级数学下册 3.4 乘法公式(提高)知识讲解
乘法公式（提高讲义）【重点梳理】重点一、平方差公式平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.重点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3232()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 重点二、完全平方公式完全平方公式：()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.重点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab +=-+重点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.重点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 重点四、补充公式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=±m ；33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++. 【典型例题】类型一、平方差公式的应用例1、计算(2＋1)(221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1．【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2＋1与2－1，221+与221-，421+与421-等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算. 【答案与解析】解：原式＝(2－1)(2＋1)( 221+)(421+)(821+)(1621+)(3221+) ＋1 ＝(221-)( 221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1 ＝642－1＋1＝642．【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力． 举一反三：【变式1】(2019秋﹒平山县期末）用简便方法计算： (1)1002-200×99+992 (2)2018×2020-20192【分析】（1）将原式转化为1002-2×100×(100-1)+(100-1)2,再利用完全平方公式进行计算， (2)2018×2020转化为(2019-1)(2019+1),再利用平方差公式计算即可． 【解答】解：(1)1002-200×99+992 =1002-2×100×(100-1)+(100-1)2 =[100-(100-1)]2=12 =1；(2)2018×2020-20192=(2019-1)(2019+1)-20192=20192-1-20192 =-1．【点评】考查平方差公式、完全平方公式的应用，掌握公式特征是关键．【变式2】（2019•内江）（1）填空： （a ﹣b ）（a+b ）= ；（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）= ；（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）= ． （2）猜想：（a ﹣b ）（a n ﹣1+a n ﹣2b+…+ab n ﹣2+b n ﹣1）= （其中n 为正整数，且n≥2）．（3）利用（2）猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2． 【答案】解：（1）（a ﹣b ）（a+b ）=a 2﹣b 2；（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）=a 3+a 2b+ab 2﹣a 2b ﹣ab 2﹣b 3=a 3﹣b 3；（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）=a 4+a 3b+a 2b 2+ab 3﹣a 3b ﹣a 2b 2﹣ab 3﹣b 4=a 4﹣b 4；故答案为：a 2﹣b 2，a 3﹣b 3，a 4﹣b 4； （2）由（1）的规律可得：原式=a n﹣b n，故答案为：a n ﹣b n；（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=（2﹣1）（28+26+24+22+2）=342．例2、(2019秋﹒甘井子区期末）数学兴趣小组在“用面积验证平方差公式”时，经历了如下的探究过程：（1）小明的想法是：将边长为a 的正方形右下角剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，并用两种方式表示这两部分面积的和，请你按照小明的想法验证平方差公式．（2）小白的起法是：在边长为a 的正方形内部任意位置剪掉一个边长为b 的正方形（如图2），再将剩下部分进行适当分割，并将分割得到的几部分面积和用两种方式表示出来，请你按照小白的想法在图中用虚线画出分割线，并验证平方差公式．【考点】平方差公式的几何背景．乘法公式的几何验证方法∴①+②的面积=a 2-b 2;①+②的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=a 2-b 2, ∴(a+b)(a -b)=a 2-b 2．（2）①+②的面积=(a-b)b=ab-b 2, ③+④的面积=(a-b)a=a 2-ab, ∴①+②+③+④=a 2-b 2;①+②+③+④的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=a 2-b 2, ∴(a+b)(a -b)=a 2-b 2．【点评】本题考查平方差公式的几何背景；理解题意，结合图形面积的关系得到公式，并能灵活运用公式是解题的关键． 举一反三：【变式】(2019秋﹒南昌期末）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．（1）在图2中的阴影部分面积S 1可表示为a 2-b 2a 2-b 2,在图3中的阴影部分的面积S 2可表示为a 2-b 2a 2-b 2,由这两个阴影部分的面积得到的一个等式是BB ． A ．(a+b)2=a 2+2ab+b 2B ．a 2-b 2=(a+b)(a-b) C ．(a-b)2=a 2-2ab+b 2（2）根据你得到的等式解决下面的问题： ①计算：67.52-32.52; ②解方程：(x+2)2-(x-2)2=24．【考点】平方差公式的几何背景．【专题】整式；一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】（1）由正方形的面积，可得S 1=a 2-b 2;由长方形的面积，可得S 1=(a+b)(a-b)=a 2-b 2;所以a 2-b 2=(a+b)(a-b);（2）①67.52-32.52=(67.5+32.5)(67.5-32.5)=100×35=3500;②展开整理，得8x=24，解得x=3，所以方程的解是x=3．【解答】解：（1）由正方形的面积，可得 S 1=a 2-b 2;由长方形的面积，可得S 1=(a+b)(a-b)=a 2-b 2; ∴a 2-b 2=(a+b)(a-b); 故答案为a 2-b 2,a 2-b 2,选B ；（2）①67.52-32.52=(67.5+32.5)(67.5-32.5)=100×35=3500; ②(x+2)2-(x-2)2=24， 展开整理，得8x=24， 解得x=3， ∴方程的解是x=3．【点评】本题考查平方差公式的几何背景；理解题意，结合图形面积的关系得到公式，并能灵活运用公式是解题的关键．类型二、完全平方公式的应用例3、运用乘法公式计算：（1）2(23)a b +-；（2）(23)(23)a b c a b c +--+．【思路点拨】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将23a b +-化成(23)a b +-，看成a 与(23)b -和的平方再应用公式；（2）是两个三项式相乘，其中a 与a 完全相同，2b ，3c -与2b -，3c 分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”． 【答案与解析】解：（1）原式222[(23)]2(23)(23)a b a a b b =+-=+-+-22464129a ab a b b =+-+-+ 22446129a b ab a b =++--+．（2）原式22222[(23)][(23)](23)4129a b c a b c a b c a b bc c =+---=--=-+-． 【总结升华】配成公式中的“a ”“b ”的形式再进行计算. 举一反三：【变式】运用乘法公式计算：(1)()()a b c a b c -++-； (2)()()2112x y y x -+-+； (3)()2x y z -+； (4)()()231123a b a b +---． 【答案】解：(1) ()()a b c a b c -++-＝[a －(b －c )][ a ＋(b －c )]＝()()222222a b c a b bc c--=--+＝2222a b bc c -+-．(2) ()()2112x y y x -+-+ ＝[2x ＋(y －1)][2x －(y －1)]＝()()()222221421x y x y y --=--+＝22421x y y -+-．(3)()()()()22222x y z x y z x y x y z z -+=-+=-+-+⎡⎤⎣⎦＝222222x xy y xz yz z -++-+．(4) ()()231123a b a b +---＝()2231a b -+-＝－22[(23)2(23)1]a b a b ＋－＋＋＝－()22(2)2233461a a b b a b ⎡⎤+⋅⋅+--+⎣⎦＝224129461a ab b a b －－－＋＋－例4、已知△ABC 的三边长a 、b 、c 满足2220a b c ab bc ac ++---=，试判断△ABC 的形状．【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系． 【答案与解析】解：∵ 2220a b c ab bc ac ++---=，∴ 2222222220a b c ab bc ac ++---=，即222222(2)(2)(2)0a ab b b bc c a ac c -++-++-+=． 即222()()()0a b b c a c -+-+-=． ∴ 0a b -=，0b c -=，0a c -=，即a b c ==，∴ △ABC 为等边三角形．【总结升华】式子2220a b c ab bc ac ++---=体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着2ab 中的2倍，故想到等式两边同时扩大2倍，从而得到结论． 举一反三：【变式】多项式222225x xy y y -+++的最小值是____________. 【答案】4；提示：()()2222222514x xy y y x y y -+++=-+++，所以最小值为4.。
七年级数学下册第3章整式的乘除 乘法公式1第2课时教案新版浙教版
3.4乘法公式(1)教学目标：1．经历探索平方差公式的过程,会通过图形的拼接验证平方差公式,了解平方差公式的几何背景,并会运用所学的知识,进行简单的混合运算.2．通过创设问题情境,让学生在数学活动中建立平方差公式模型,通过探索规律,归纳出利用平方差公式,解决数字运算问题的方法,培养学生观察、归纳、应用能力. 3．了解平方差公式的几何背景,培养学生的数形结合意识.在探究学习中体会数学的现实意义,培养学习数学的信心. 教学重点与难点：重点：平方差公式的几何解释和广泛的应用．难点：准确地运用平方差公式进行简单运算,培养基本的运算技能． 教法及学法指导：有效的数学学习方法不能单纯地依赖模仿与记忆,我以问题为线索,让学生在动口、动手、动脑的活动中学习知识,让学生进一步理解“探索发现——归纳验证——应用拓展”这一学习与研究数学问题的方法．以探究体验的教学法为主,为学生创造一个良好的学习情境,指导学生深刻思考,细心观察,在解题时,一切从习题特点出发,根据习题特点寻找最佳解题方法,具体在运用公式计算时,要认清结构,找准a 、b ． 课前准备：多媒体课件,一张正方形纸板,剪刀． 教学过程:一、速算王的绝招师：在一次智力抢答赛中,主持人提供了两道题：1．2119?⨯= 2. 10397?⨯=主持人话音刚落,就立刻有一个学生刷地站起来抢答说：“第一题等于399,第二题等于9991。
”其速度之快,简直就是脱口而出。
同学们,你知道他是如何计算的吗？（学生讨论,部分预习效果较好的同学能够体会其中的道理,仍有部分学生很困惑．）师：这其中的奥秘,其实我们已经接触过了,通过本节课的学习我们都能像速算王一样聪明,能够迅速得到结果,我们开始今天的学习吧．【教师板书课题：3.4乘法公式(1)】设计意图：通过“速算王的绝招”这一故事的情境创设,引发学生学习的兴趣,同时激发了学生的好奇心和求知欲,顺利引入新课。
二、一起来热身师：为了更好地解决本节课的内容,大家回顾一下上节课学习的平方差公式的内容,哪个同学来回答？生1：平方差公式：22()()a b a b a b +-=-．生2：两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的平方差．生3：这个公式的结构特点是：左边是两个二项式的乘积,即两数和与这两数差的积； 右边是两数的平方差.师：大家回答的都很好.下面通过一组习题来复习一下大家的掌握情况. （多媒体出示习题） 利用平方差公式计算：（1）(23)(23)x y x y +-； （2）(2)(-2)x y y x --； （3）(5+8)(58)x x -； （4）2(3)(9)(3)x x x -++． （学生独立做题,师巡视.）【答案：（1）2249x y -；（2）224y x -；（3）22564x -；（4）481x -．】 师：在运用平方差公式时要注意什么？生：1．字母a 、b 可以是数,也可以是整式；2．注意计算过程中的符号和括号． 设计意图：通过习题训练功过上节课所学知识,为下面教学的展开做好铺垫． 三、数学是什么师：有人说,数学只是一些枯燥的公式、规定,没有什么实际意义！请问数学真的没有什么实际意义吗？ 请看下面的问题：师：请表示右图中阴影部分的面积. 生：a 2－b 2．师：你能将将阴影部分通过裁剪拼成一个长方形吗？如果能这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？（学生动手操作,教师巡视指导,指定同学演示）生：我是把剩下的图形（即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开),上面的大长方形宽是(a －b ),长是a ；下面的小长方形长是(a －b ),宽是b ．我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形,是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a －b ),我们可以将这两个边重合,这样就拼成了一个如下图所示的图形（阴影部分）,它的长和宽分别为(a +b )、(a －b )．师：比较前两问的结果,你有什么发现? （学生思考交流）生：这两部分面积应该是相等的,即(a +b )(a －b )=a 2－b 2．生：通过裁剪拼凑我们验证了上节课所学的平方差公式：(a +b )、(a －b )= a 2－b 2． 生：用拼图来验证平方差公式很直观,一剪一拼,利用面积相等就可推证． 师：由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方差公式,也许你会发现它更“神奇”的作用．设计意图：设计几何解释,目的是使学生看到数学中的公式反映了实际问题中的客观关系,是看得见摸得着的,纠正 “数学只是一些枯燥的公式、规定,没有什么实际的意义。
3.4乘法公式
2、（y—7)2
3、（—2x—3y)2
1 2 4、（3— t) 3
1 1 6. m n 5 2
2
5. 7 y
2
17
选择适当的公式计算：
（1）、（2x—1）（—1+2x） （2）、（—2x—y）（2x—y） （3）、 （—a+5）（—a—5） （4）、（ab—1）（—ab+1）
3
a
1
b
2
(a+b)(a+b) = a + 2ab + b
2
2
4
3
瑞安市万松公园有一个边长为a的正方形 园地，为种植不同的花卉，将其边长增加 了b，形成4个种植花卉的区域，以种植不 同品种的花卉，请你用不同的方法计算这 个园地的面积。
4
你能用下图图形的面积直观地表示(a+b)2 的结果吗？
(a+b)(a+b) = a + ab + ba + b
圃的面积分别增加了多少m2?
解：设原正方形苗圃的边长为a(m), 边长增加1.5m后,新正方形的边长 为(a+1.5)m；由题意可得，
2
a 1.5
a a 3a 1.5 a 3a 2.25,
2 2 2 2
当a=30.1时，3a+2.25=3×30.1+2.25=92.55； 当a=29.5时，3a+2.25=3×29.5+2.25=90.75； 答：两块苗圃的面积分别增加了92.55平方米，90.75平方米。
2
运用平方差公式计算:
(1) (2x+1)(2x-1) 2 x
(2)
四年级下册数学教案-3.4乘法运算定律的应用 ｜人教版
四年级下册数学教案－3.4乘法运算定律的应用一、教学目标根据《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的要求，结合本节课的内容，确定以下教学目标：1. 知识与技能：使学生理解和掌握乘法运算定律，并能运用乘法运算定律进行简便计算。
2. 过程与方法：通过观察、实验、猜想、验证等数学活动，让学生经历乘法运算定律的发现、运用过程，培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：让学生体验数学与生活的联系，感受数学的趣味性和挑战性，培养学生的团队合作意识和创新精神。
二、教学内容人教版小学数学四年级下册第3.4节：乘法运算定律的应用。
三、教学重点与难点重点：乘法运算定律的理解和运用。
难点：灵活运用乘法运算定律简便计算。
四、教学过程1. 导入新课通过创设情境，引导学生回顾乘法运算定律的内容，为新课的学习做好铺垫。
2. 探究新知（1）观察特例，发现规律请学生观察以下算式：① 2 × 3 = 3 × 2② 4 × 5 = 5 × 4③ 6 × 7 = 7 × 6让学生发现这些算式有什么共同特点，引导学生总结出乘法运算定律。
（2）举例验证，归纳规律让学生自己举几个例子，验证乘法运算定律的正确性，然后引导学生总结出乘法运算定律的适用范围。
（3）运用定律，简便计算出示例题，让学生运用乘法运算定律简便计算，并总结计算方法。
3. 巩固练习设计不同层次的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
4. 小结引导学生回顾本节课所学内容，总结乘法运算定律的应用方法。
5. 作业布置布置适量的作业，让学生巩固所学知识，提高运算能力。
五、教学反思本节课结束后，教师要对教学过程进行反思，分析教学目标的达成情况，总结教学经验，为今后的教学提供借鉴。
1. 教学目标是否达成：通过学生的课堂表现和作业完成情况，了解学生对乘法运算定律的理解和运用是否到位。
2. 教学方法是否恰当：分析所采用的教学方法是否有助于学生理解和掌握乘法运算定律，是否激发了学生的学习兴趣。
3.4乘法公式(1)
平方差引发的连锁反应：
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 =(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 =(24-1)(24+1)(28+1)+1
=(28-1)(28+1)+1 =216-1+1 =216
(a+b)(a-b)=a2利用平方差公式计算（先确定各题的a 与b，再填空）
(1)(5+6x)(5-6x)=( 5 )2-( 6x )2=______ 25-36x2 x2-4y2 (2)(x-2y)(2y+x)=( x )2-(2y )2=_______ (3)(-m+n)(-n-m)=(-m)2-( n )2=_______ m2-n2
两式和与这两式差的积， 等于它们的平方差
1)左边为两个式的和与差的积,右边为两 个式的平方差
2)有些式子通过适当变形实质上能用公式 3)公式中的a和b可以是数,也可以是整式 即整体思想
(1) 103×97 (2) 59.8×60.2
1 8 (3)100 99 9 9
运用平方差公式计算:
2 5678×5680-5679 2 =(5679-1)(5679+1)-5679 2 =5679
-1
2 -5679
= -1
先化简，再求值： （2a b）b 2a ) (2b a )(2b a ), ( 其中a 1, b 2
王敏同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖 果10.2千克，
售货员刚拿起计算器，王敏就说出应99.96元， 结果与售货员计算出的结果相吻合。 售货员很惊讶地说：“你好象是个神童，怎 么算得这么快？” 王敏同学说：“过奖了，我利用了在数学上 刚学过的一个公式。” 你知道王敏同学是怎么计算的吗?
3.4《乘法分配率》人教新课标(2014秋)(共22张PPT)【实用资料】
二、填一填
8×（125+9）=8×125 +8×9 7×48+7×52=7×（48 +52 ）
(x+y) ×z= x × z + y×z
考考你，下面的式子怎么填空。 （1）（7＋8＋10）×4＝ __7___×4＋___8__×4＋__1_0__×4
看谁仔细
2、选一选，请用手势表示正确 答案的编号 与 25×（4×8）相等的算式是 （⑶ ） ①25×4＋25×8； ②25×4×25×8； ③25×4×8
乘法结合律
88×125 =(80+8)×125 =80×125+8×125
=10000+1000
=11000
乘法分配律
我能行：[一】
39 ×101
=39 ×(100+1) =39 ×100 + 39 ×1 =3900 + 39 =3939
也能应用乘法分配律吗？【二】
63×99+6
=36□3 ○×（□○99□+）1
四年级数学第三单元
练习课
茂县河西小学：杨云花
乘法分配律：
（ A ＋B ）×C= A × C ＋ B × C
1．辨一辨，下面哪些算式运用了乘法分配 律
1、 117×3＋117×7＝117×（3＋7） 是
2、 24×（5＋12）＝24×17 不是
3、 4×a＋a×5＝（4＋5）×a 是
4、 35×（4×6）＝35×6×4 不是
也能应用乘法分配律吗？【三】
79×101-79
□ =7□9○×（ 1○01□－）1
也能应用乘法分配律吗？【四】 99×46
□ =4□6 ○×（ 1○00□－）1 □ =4□6 ○× 1○00□－○□46 × 1
2019-2020年七年级数学下册第3章整式的乘除3.4乘法公式第1课时校本作业B本新版浙教版
2019-2020年七年级数学下册第3章整式的乘除3.4乘法公式第1课时校本作业B本新版浙教版2019-2020年七年级数学下册第3章整式的乘除3.4乘法公式第1课时校本作业B本新版浙教版课堂笔记两数和与这两数差的积等于这两数的 . 即（a+b）（a-b）=a2-b2.分层训练A组基础训练1. 计算（-4x-5y）（5y-4x）的结果是（）A. 16x2-25y2B. 25y2-16x2C. -16x2-25y2D. 16x2+25y22. 下列计算错误的是（）A. （6a+1）（6a-1）=36a2-1B. （-m-n）（m-n）=n2-m2C. （a3-8）（-a3+8）=a9-64D. （-a2+1）（-a2-1）=a4-13. （4x2-5y）需乘以下列哪个式⼦，才能使⽤平⽅差公式进⾏计算（）A. -4x2-5yB. -4x2+5yC. （4x2-5y）2D. （4x+5y）24. 若x+y=6，x-y=5，则x2-y2的值为（）A. 11B. 15C. 30D. 605. 与（9a-b）相乘的积等于b2-81a2的因式为（）A. 9a-bB. 9a+bC. -9a-bD. b-9a6. 已知x2-y2=4，那么（x-y）2（x+y）2的结果是（）A. 4B. 8C. 16D. 327. 对于（2a+3b-1）（2a-3b+1），为了⽤平⽅差公式，下列变形正确的是（）A. [2a-（3b+1）]2B. [2a+（3b-1）][2a-（3b-1）]C. [（2a-3b）+1][（2a-3b）-1]D. [2a-（3b-1）]28. 计算（x4+1）（x2+1）（x+1）（x-1）的结果是（）A. x8+1B. x8-1C. （x+1）8D. （x-1）89．判断题（对的打“√”，错的打“×”）：（1）（-x+y）（-x-y）=-x2-y2；（）（2）（-x-y）（x-y）=-x2+y2；（）（3）（-x+y）（x-y）=-x2-y2；（）（4）（2x-1）（x+1）=2x2-1.（）10. 计算：（1）（a+1）（a-1）= ；（2）（-a+1）（-a-1）= ；（3）（-a+1）（a+1）= ；（4）（a+1）（-a-1）= .11. 如果（-x-y）·P=x2-y2，那么P等于 .12. 填空：（1）（x+y）（）=x2-y2；（2）（）（m+n）=m2-n2；（3）（-5s+6t）（）=25s2-36t2；（4）（+ ）（ -）=x4-.13. 请你观察如图的图形，依据图形⾯积的关系，不需要添加辅助线，便可得到⼀个⾮常熟悉的乘法公式，这个公式是 .14. 若x-y=4，x2-y2=24，则（x+y）3= .15. 计算：（1）（5ab-3x）（-3x-5ab）；（2）（-y2+x）（x+y2）；（3）（宜昌中考）（a+b）（a-b）+2b2；（4）（m＋n）（m－n）；（5）（－2x－1）（1－2x）－（3－2x）（2x＋3）；（6）（m-）（m2+）（m+）.16. ⽤平⽅差公式计算：（1）30.8×29.2；（2）xx2-xx×xx.17. 先化简，再求值：（a-2b）（2a-b）-（2a-b）（b+2a），其中a=-1，b=1.B组⾃主提⾼18. 对于任意的整数n，能整除代数式（n+3）（n-3）-（n+2）（n-2）的整数是（）A. 4B. 3C. 5D. 219．某村正在进⾏绿地改造，原有⼀正⽅形绿地，若将它的每边都加长3m，则⾯积增加63m2.问：原绿地的边长为多少⽶？C组综合运⽤20. 我们在计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）时，发现直接运算很⿇烦，如果在算式前乘以（2-1）即1，原算式的值不变，⽽且还使整个算式能⽤乘法公式计算. 即：原式=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）=232-1. 你能⽤上述⽅法迅速地算出（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）的值吗？请试着计算.参考答案3.4 乘法公式（第1课时）【课堂笔记】平⽅差【分层训练】1—5. ACACC 6—8. CBB9. （1）×（2）√（3）×（4）×10. （1）a2-1 （2）a2-1 （3）1-a2（4）-a2-2a-111. -x+y12. （1）x-y （2）m-n （3）-5s-6t（4）x2 x213. （x+y）（x-y）=x2-y2【点拨】利⽤⾯积相等即可列出.14. 21615. （1）原式=9x2-25a2b2（2）原式=x2-y4（3）原式=a2+b2（4）原式＝（m）2－（n）2＝2m2－3n2（5）原式＝4x2－1－（9－4x2）＝8x2－10.（6）原式=m4-16. （1）原式＝（30＋0.8）（30－0.8）＝302－0.82＝900－0.64＝899.36（2）原式=xx2-（xx-1）（xx+1）=xx2-（xx2-1）=1.17. （a-2b）（2a-b）-（2a-b）（b+2a）=2a2-ab-4ab+2b2-[（2a）2-b2]=2a2-5ab+2b2-（4a2-b2）=2a2-5ab+2b2-4a2+b2=-2a2-5ab+3b2. 当a=-1，b=1时，原式=-2×（-1）2-5×（-1）×1+3×12=6.【点拨】利⽤平⽅差公式直接写出结果时，“平⽅”是⼀个整体的平⽅，不但字母要平⽅，系数也必须同时平⽅.18. C19. 设原绿地的边长为x（m），根据题意，得（x＋3）2－x2＝63，即3（2x＋3）＝63，解得x＝9.答：原绿地的边长为9m.20. （532-1）2019-2020年七年级数学下册第3章整式的乘除3.4乘法公式第2课时校本作业A本新版浙教版课堂笔记1. 两数和的平⽅，等于这两数的平⽅和，加上这两数积的 . 即（a+b）2=a2+2ab+b2.2. 两数差的平⽅，等于这两数的，减去这两数积的2倍. 即（a-b）2=a2-2ab+b2. 分层训练A组基础训练1．计算（a＋）2的结果是（）A. a2－a＋B. －a2＋a＋C. a2＋a＋D. －a2－a＋2. 下列计算正确的是（）A. （a+b）2=a2+b2B. （a-b）2=a2-b2C. （2x+y）2=4x2+4xy+y2D. （x-2y）2=x2-2xy+4y23. 若a2+ab+b2加上⼀个整式后，可得（a-b）2，则这个整式为（）A. -abB. 3abC. -3abD. ab4. 在下列各式中：①（-2a-1）2；②（-2a-1）（-2a+1）；③（-2a+1）（2a+1）；④（2a-1）2；⑤（2a+1）2，计算结果相同的是（）A. ①④B. ①⑤C. ②③D. ②④5. 如果（x-y）2+P=（x+y）2，那么P等于（）A. ±4xyB. 4xyC. ±2xyD. 2xy 6．利⽤图形中阴影部分的⾯积与边长a，b之间的关系，可以验证某些数学公式．例如，根据图1，可以验证两数和的平⽅公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，根据图2能验证的数学公式是（）A. （a－2b）2＝a2－4ab＋4b2B. （a－b）2＝a2－2ab＋b2C. a2－b2＝（a＋b）（a－b）D. （a＋2b）2＝a2＋4ab＋4b27. 加上下列单项式后，仍不能使4x2+1成为⼀个整式的完全平⽅式的是（）A. 2xB. 4xC. -4xD. 4x48. 填空：（1）x2+ +36=（x+6）2；（2）x2- +25=（x-5）2；（3）9x2+6x+ =（3x+1）2；（4）4-12x+ =（2-3x）2.9. 填空：（1）若（7x+A）2=49x2-14xy+B，则A= ，B= ；（2）若（a+b）2+M=（a-b）2，则M= ；（3）（+ ）2=a4+ +1；（4）（ +3b）2= +12a2b+ .10. 若a2+2a=4，则（a+1）2= .11. 将正⽅形的边长由acm增加6cm，则正⽅形的⾯积增加了 .12. 运⽤完全平⽅公式计算：（1）（3a+b）2= ；（2）（-x+3y）2= ；（3）（x-2y）2= ；（4）（-m-2n）2= ；（5）（a－2）2＝．13. 运⽤公式计算下列各题：（1）992；（2）10.2214．利⽤乘法公式计算：（1）（2m+1）2（2m-1）2；（2）（a-2b）（a+2b）（a2-4b2）.B组⾃主提⾼15．解⽅程：（1－3x）2＋（2x－1）2＝13（x－1）（x＋1）．16．（1）已知a+b=3，ab=2，求a2+b2的值；（2）已知（m+n）2=21，m2+n2=9，求mn的值；（3）若a2+b2=10，ab=-3，求a+b的值；（4）已知x＋＝2，则x2＋＝．17．（1）已知x＋y＝，x－y＝，求xy的值．（2）已知x2－2x－2＝0，求（x－1）2＋（x＋3）（x－3）＋（x－3）（x－1）的值．C组综合运⽤18. 如下所⽰，（a+b）n与相应的杨辉三⾓中的⼀⾏数相对应. （a+b）1……………………1 1（a+b）2…………………1 2 1（a+b）3………………1 3 3 1（a+b）4……………1 4 6 4 1（a+b）5…………1 5 10 10 5 1由以上规律可知：（a+b）2=a2+2ab+b2；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（a+b））4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.请你写出下⾯两个式⼦的结果：（a+b）5= ；（a+b）6= .参考答案3.4 乘法公式（第2课时）【课堂笔记】1. 2倍2. 平⽅和【分层训练】1—5. CCCBB 6—7. BA8. （1）12x （2）10x （3）1 （4）9x29. （1）-y y2（2）-4ab （3）1 a2 （4）2a2 4a4 9b210. 511. （12a+36）cm212. （1）9a2+6ab+b2（2）x2-6xy+9y2（3）x2-2xy+4y2（4）m2+4mn+4n2（5）3a2－4a＋413. （1）9801 （2）104.0414. （1）16m4-8m2+1 （2）a4-8a2b2+16b415. 1－6x＋9x2＋4x2－4x＋1＝13（x2－1），－10x＝－15，解得x＝1.5.16. （1）5 （2）6 （3）±2 （4）217. （1）∵（x＋y）2＝x2＋y2＋2xy＝6，（x－y）2＝x2＋y2－2xy＝5，∴（x＋y）2－（x－y）2＝4xy＝1，∴xy＝.（2）∵x2－2x－2＝0，∴x2－2x＝2. ∴原式＝x2－2x＋1＋x2－9＋x2－4x＋3＝3x2－6x－5＝3（x2－2x）－5＝3×2－5＝1.18. a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6。
3.4乘法公式(2)课件
（1）（2x 1）(1 2x) （2）（- 2x 1）(2x -1) （3）（2x 1）(2x -1) （4）（2x 1）(1 2x)
小结
1、通过本节课的内容，你有哪些收 获？
完全平方公式
(a b)2 a2 2ab b2
2、用公式时，你有什么要提醒大家的？
拓展提升
运用乘法公式计算： (1) ( x +2y－3) (x－ 2y +3) ; (2)(a + b +c ) 2.
两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数 积的2倍.
探究2
（a - b）2 a (b)2
= a2 —2ab+ b2
探究2
b
a
（a - b）2
b a
探究2 两数差的完全平方公式：
（a - b）2 a2 —2ab+ b2
两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两 数积的2倍.
两数和的完全平方公式与两数差的完全平方公式， 统称完全平方公式.
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
例题讲解
例1 用完全平方公式计算：
（1）（2a 3b）2 （2） (5t 3)2 （3）（- 4x y）2 （4）（- 2x 3y）2
达标测评
1.如果x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值为（ D ） A．3 B．6 C．±3 D．±6
导入
看谁算得快：
10298
平方差公式:（a b）(a b) a2 b2
你能快速计算 1022 吗？ 982 呢？ （100 2）2 （100- 2）2
3.4 乘法公式
初中数学浙教版七年级下册第3章 整式的乘除3.4 乘法公式-章节测试习题(1)
章节测试题1.【答题】是一个完全平方式，则m的值为（）A. 3B. 9C. -3D.【答案】D【分析】根据完全平方式得出的值，从而得出m的值．【解答】解：∵为完全平方式，∴，∴m=±3，选D.2.【答题】如图，4块完全相同的长方形围成一个正方形. 图中阴影部分的面积可以用不同的代数式进行表示，由此能验证的等式是（）A.B.C.D.【答案】C【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，分阴影部分割成四个长方形的面积和补成大正方形的面积减去中间小正方形的面积整理即可．解此类题目关键在于仔细分析图形，用不同的方法表示出阴影部分的面积．【解答】∵阴影部分的面积为=4ab，或是：(a+b)2−(a−b)2∴.选C.3.【答题】如果是完全平方式，则常数m的值是（）A. 8B. －8C. ±8D. 17【答案】C【分析】确定了二次项和常数项的完全平方式可能是完全平方差，也可能是完全平方和，故可设完全平方式为(x±4)2.【解答】解：设x2＋mx＋16＝(x±4)2，则x2＋mx＋16＝x2±8x＋16，所以m＝±8.故答案为C.4.【答题】若x2﹣3y﹣5=0，则6y﹣2x2﹣6的值为（）A. 4B. ﹣4C. 16D. ﹣16【答案】D【分析】把目标整式化为包含已知的形式，整体代入计算.【解答】解：x2﹣3y=5，则6y﹣2x2﹣6=-2(x2-3y)-6=-16.选D.5.【答题】下列运算正确的是（）A. a2•a2=2a2B. a2+a2=a4C. （1+2a）2=1+2a+4a2D. （﹣a+1）（a+1）=1﹣a2【答案】D【分析】根据整式的乘法、加法法则及完全平方公式和平方差公式逐一计算可得．【解答】解：A、a2•a2=a4，此选项错误；B、a2+a2=2a2，此选项错误；C、（1+2a）2=1+4a+4a2，此选项错误；D、（-a+1）（a+1）=1-a2，此选项正确；选D.方法总结：（1）；（2）；（3）.6.【答题】下列运算正确的是（）A. a2+a3=a5B. （a+2b）2=a2+2ab+b2C. a6÷a3=a2D. （﹣2a3）2=4a6【答案】D【分析】A.a2与a3不是同类项不能合并；B.不符合完全平方公式的特征；C. 同底数幂相除，底数不变指数相减的结果错误；D.不符合积的乘方的运算法则.【解答】解： A. a2与a3不是同类项不能合并，故A错误；B. （a+2b）2=a2+4ab+4b2，故B错误；C. a6÷a3=a3，故C错误；D. （﹣2a3）2=4a6，故D正确.7.【答题】如图，A类、B类卡片为正方形，C类卡片为长方形，现有A类卡片4张，B类卡片1张，张，C类卡片4张，则这9张卡片能拼成的正方形的边长是（）A.B.C.D.【答案】B【分析】本题考查了正方形的面积公式的运用以及完全平方公式的几何背景：通过几何图形面积关系证明完全平方公式．解题时注意数形结合思想的运用．【解答】解：∵所求的正方形的面积等于4张正方形A类卡片、1张正方形B类卡片和4张长方形C类卡片的和，∴所求正方形的面积＝4a2＋b2＋4ab＝(2a＋b)2，∴所求正方形的边长为2a＋b．选B.8.【答题】已知a+b=5，ab=1，则（a-b）2=（）A. 23B. 21C. 19D. 17【答案】B【分析】本题考查了完全平方公式以及利用完全平方公式的变形求值，熟记完全平方公式是解题的关键.【解答】∵a+b=5，∴（a+b）2=52，即：a2+2ab+b2=25，又∵ab=1，∴a2+b2=23，∴（a-b）2=a2-2ab+b2=23-2=21，选B.9.【答题】如图，4块完全相同的长方形围成一个正方形. 图中阴影部分的面积可以用不同的代数式进行表示，由此能验证的等式是（）A.B.C.D.【答案】C【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，分阴影部分割成四个长方形的面积和补成大正方形的面积减去中间小正方形的面积整理即可．解此类题目关键在于仔细分析图形，用不同的方法表示出阴影部分的面积．【解答】∵阴影部分的面积为=4ab，或是：(a+b)2−(a−b)2∴.选C.10.【答题】不论、为何有理数，多项式的值总是（）A. 正数B. 零C. 负数D. 非负数【答案】A【分析】化成完全平方式解答即可.【解答】因为x2+y2-4x-2y+8=x2-4x+4+y2-2y+1+3=(x-2)2+(y-1)2+3，且(x-2)2≥0，(y-1)2≥0，所以(x-2)2+(y-1)2+3＞0，选A.11.【答题】若a 2 +2ba+4是完全平方式，则b的值为（）A. ± 2B. 1C. ±1D.【答案】A【分析】根据完全平方式解答即可.【解答】解：完全平方公式是指，则2b=±4，则b=±2，选A.12.【答题】如图，将完全相同的四个长方形纸片拼成一个大的正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（）A. （a+b）2=a2+2ab+b2B. （a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C. a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D. （a+b）2=（a﹣b）2+4ab【答案】D【分析】主要考查了完全平方公式的几何背景，正确表示出各边长是解题关键．【解答】由图形可得：大正方形的边长为：a+b，则其面积为：（a+b）2，小正方形的边长为：（a﹣b），则其面积为：（a﹣b）2，长方形面积为：ab，故（a+b）2=（a﹣b）2+4ab．选D.13.【答题】如果是个完全平方式，那么m的值是（）。
大一高数知识点公式总结
大一高数知识点公式总结在大一高数学习中，掌握各种数学公式是非常重要的，它们可以帮助我们解决各种复杂问题。
下面将为您总结一些大一高数常见的知识点和相关公式。
1. 代数运算1.1 加法和减法公式：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2(a + b)(a - b) = a^2 - b^21.2 乘法公式：(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd1.3 平方差公式：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)1.4 分式运算：a/b + c/d = (ad + bc)/(bd)a/b - c/d = (ad - bc)/(bd)2. 数列与级数2.1 等差数列公式：第n项公式：an = a1 + (n - 1)d前n项和公式：Sn = n/2(a1 + an)2.2 等比数列公式：第n项公式：an = a1 * r^(n-1)前n项和公式：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)2.3 等差数列和公式：Sn = n/2(a1 + an)3. 极限与导数3.1 极限的定义：lim(x->a) f(x) = L，表示当x无限接近a时，f(x)无限接近L 3.2 常见极限：lim(x->0) sin(x)/x = 1lim(x->∞) (1 + 1/x)^x = e3.3 导数的定义：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x))/h3.4 常见导数公式：(常数C)' = 0(x^n)' = nx^(n-1)(e^x)' = e^x(sin(x))' = cos(x)4. 积分4.1 定积分的定义：∫[a,b] f(x)dx表示从x=a到x=b的f(x)函数的积分 4.2 常见积分公式：∫x^n dx = (1/(n+1)) x^(n+1) + C (n≠-1)∫k f(x) dx = k ∫f(x) dx∫(f(x)±g(x)) dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx5. 空间解析几何5.1 空间坐标表示：三维直角坐标系中，点P的坐标表示为P(x, y, z)5.2 点与线段距离公式：点P(x1, y1, z1)到直线Ax + By + Cz + D = 0的距离公式为：d = |Ax1 + By1 + Cz1 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)通过掌握以上知识点和公式，我们可以更好地应对大一高数中的复杂问题。
[数学]-专项3.4 乘法公式(知识解读)(原版)
![[数学]-专项3.4 乘法公式(知识解读)(原版)](https://img.taocdn.com/s3/m/d130a890a48da0116c175f0e7cd184254b351b38.png)
专题3.4 乘法公式（知识解读）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.4.能用平方差公式和完全平方公式的逆运算解决问题【知识点梳理】知识点1：平方差公式平方差公式：语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 知识点2：平方差公式的特征抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 ③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2 ⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2 =x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2=x 2-2xy +y 2-z 222()()a b a b a b +-=-b a ,知识点3：完全平方公式完全平方公式：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：知识点4：拓展、补充公式2222222a b c ab ac bc =+++++（a+b+c ） 222112a a a±=+±（a ）；；；.【典例分析】【考点1：平方差公式】 【典例1】用平方差公式计算：（1）（1+x ）（1﹣x ）； （2）（a +3b ）（a ﹣3b ）；（3）（3+2a ）（3﹣2a ）； （4）（x ﹣2y ）（﹣x ﹣2y ）．【变式1-1】计算：（a ﹣b ）（a +b ）．()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab +=-+2()()()x p x q x p q x pq ++=+++2233()()a b a ab b a b ±+=±33223()33a b a a b ab b ±=±+±2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++【变式1-2】（2m+n）（2m﹣n）．【变式1-3】（2022秋•唐河县期末）下列能用平方差公式计算的是（）A．（﹣x+y）（x+y）B．（﹣x+y）（x﹣y）C．（x+2）（2+x）D．（2x+3）（3x﹣2）【典例2】用简便方法计算下列各题：（1）992；（2）1022﹣101×103．【变式2-1】计算20212﹣2020×2022的结果是（）A．1B．﹣1C．0D．2×20212﹣1【变式2-2】简便计算：（1）20222﹣2020×2024；（2）1882﹣376×88+882．【考点2：平方差公式的几何背景】【典例3】（2022秋•邹城市校级期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是（请选择正确的一个）．A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．【变式3-1】（2022秋•离石区期末）在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A．a2﹣ab＝a（a﹣b）B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【变式3-2】乘法公式的探究及应用．（1）如图1，是将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是；如图2，阴影部分的面积是；比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到乘法公式；（2）运用你所得到的公式，计算下列各题：①103×97；②（2x+y﹣3）（2x﹣y+3）．【变式3-3】如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）探究：上述操作能验证的等式是．（2）应用：利用（1）中得出的等式，计算：．【考点3：完全平方公式】【典例4】（2021春•罗湖区校级期中）运用完全平方公式计算：（1）（3a+b）2 （2）（x﹣2y）2（3）（﹣x﹣y）2 （4）1992．【变式4-1】（2020春•沙坪坝区校级月考）（﹣4x﹣）2．【变式4-2】（2020春•沙坪坝区校级月考）（3a﹣b）2．【变式4-3】（2019秋•静安区校级月考）（a+b﹣c）2．【典例5】（2022秋•丰宁县校级期末）若x2+mx+81是完全平方式，则m的值是（）A．±18B．±9C．9D．18【变式5-1】（2022秋•新会区校级期末）已知x2﹣ax+16可以写成一个完全平方式，则a可为（）A．4B．±4C．8D．±8【变式5-2】（2022秋•沙坪坝区期末）若x2+（k+1）x+1是一个完全平方式，则k的值是（）A．﹣3B．1C．﹣3或1D．±2【考点4：完全平方公式的几何背景】【典例6】（2022秋•西岗区校级期末）图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．（1）图2中阴影部分的正方形的边长是；（用含a、b的式子表示）（2）观察图2，用一个等式表示下列三个整式：（a+b）2、（a﹣b）2、ab 之间的等量关系；（3）根据（2）问中的等量关系，解决如下问题：若m+n＝8，mn＝12，求m﹣n的值．【变式6-1】（2022秋•南关区校级期末）如图1，三种纸片A、B、C分别是边长为a的正方形，边长为b的正方形和宽与长分别为a与b的长方形．（1）数学课上，老师用图1中的一张纸片A，一张纸片B和两张纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，由此可以得到的乘法公式是；（2）若小莉想用图1中的三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+b）的大长方形，需要A、B、C三种纸片分别张．【变式6-2】（2022秋•黄石港区期末）如图，对一个正方形进行了分割，通过面积恒等，能够验证下列哪个等式（）A．x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2C．（x+y）2＝x2+2xy+y2D．（x﹣y）2+4xy＝（x+y）2【变式6-3】（2022春•邗江区期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值；解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）填空：①若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝；②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝．（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝25，BC＝15，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为200平方单位，求图中阴影部分的面积和．【考点5：完全平方公式拓展运用】【典例7】（2022春•巨野县期末）已知x+y＝﹣5，xy＝﹣3．（1）求x2+y2的值；（2）求（x﹣y）2的值．【变式7-1】（2022春•平桂区期末）已知x+y＝5，xy＝2，求x2+y2的值．【变式7-2】（2021秋•尚志市期末）已知：x+y＝3，xy＝﹣1，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）（x﹣y）2．【变式7-3】（2021秋•汝阳县期中）已知x2+y2＝29，x+y＝7，求各式的值：（1）xy；（2）x﹣y．。
浙教版七年级初一数学下册 3.4 乘法公式 (2)
(2)(a 2)(a 2) a2 4a 4
三项
(3)(﹏x ﹏3)(﹏x ﹏3) x2 932
二项
(4)(﹏a ﹏2﹏b)(﹏a ﹏2﹏b) a2 (42bb2)2
(5)(1 x y)(1 x y) (1 x)22 y2 ﹏2 ﹏﹏ ﹏2 ﹏﹏ 42
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如何用文字 语言表达
平方差公式 (a b)(a b) a2 b2
是
否 (a b)(a b)
正 a2 ab ab b2
确 ？
a2 b2
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(a n)(b m) ab am nb nm
验 证
m am nm
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平方差公式：(a b)(a b) a2 b2
以上利用图形面积验证等式的成立，像这样用几何
图形解决代数问题的方法,体现了 数形结合 的
9数/13/2学019思想方法。
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例题一 运用平方差公式计算：
(1)(3x 5y)(3x 5y)
(2)(1 b a)( 1 b a)
b ab nb
an9Leabharlann 13/20195如何用文字 语言表达
平方差公式 (a b)(a b) a2 b2
是
否 (a b)(a b)
正 a2 ab ab b2
确 ？
a2 b2
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平方差公式：(a b)(a b) a2 b2
2
2
归纳：①平方差公式的用途
②应用平方差公式计算的关键
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浙教版初中数学知识点总结归纳
初中数学教学大纲七年级上册第1章有理数1.1从自然数到有理数正数负数 0既不是正数也不是负数整数分数有理数1.2 数轴原点单位长度正方向数轴相反数1.3 绝对值1.4 有理数的大小比较第2章有理数的运算2.1有理数的加法加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)2.2 有理数的减法减去一个数，等于加上这个数的相反数2.3 有理数的乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘任何数与零相乘，积为零互为倒数乘法交换律：a*b=b*a乘法结合律：(a*b)*c=a*(b*c)分配率：a*(b+c)=a*b+a*c2.4 有理数的除法两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除0除以任何一个不等于0的数都得0除以一个数（不等于0），等于乘以这个数的倒数2.5 有理数的乘方幂底数指数科学记数法2.6 有理数的混合运算先算乘方，再算乘除，最后算加减，如有括号，先进行括号里的运算2.7 近似数准确数近似数第3章实数3.1 平方根平方根开平方算数平方根3.2 实数无理数3.3 立方根3.4 实数的运算先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算第4章代数式4.1 用字母表示数4.2 代数式4.3 代数式的值4.4 整式单项式系数次数多项式常数项4.5 合并同类项把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变4.6 整式的加减第5章一元一次方程5.1 一元一次方程5.2 等式的基本性质5.3 一元一次方程的解法5.4 一元一次方程的应用第6章图形的初步认识6.1 几何图形6.2 线段、射线和直线6.3 线段的长短的比较两点之间线段最短6.4 线段的和差中点6.5 角与角的度量6.6 角的大小比较直角锐角钝角6.7 角的和差角的平分线6.8 余角和补角同角或等角的余角相等同角或等角的补角相等6.9 直线的相交对顶角相等连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短初中数学教学大纲七年级下册第1章平行线1.1平行线1.2同位角、内错角、同旁内角1.3 平行线的判定同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行1.4 平行线的性质两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补1.5图形的平移第2章二元一次方程组2.1 二元一次方程2.2 二元一次方程组2.3 解二元一次方程组代入消元法加减消元法2.4 二元一次方程组的应用2.5 三元一次方程组及其解法第3章整式的乘除3.1 同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加幂的乘方，底数不变，指数相乘积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘3.2 单项式的乘法3.3 多项式的乘法(a+n)(b+m)=ab+am+nb+mn3.4 乘法公式(a+b)(a-b)=a ²-b ²(a+b) ²=a ²+2ab+b ²(a-b) ²=a ²+2ab+b ²3.5 整式的化简3.6 同底数幂的除法同底数幂相除，底数不变，指数相减3.7 整式的除法(a+b+c) ÷m=a÷m+b÷m+c÷m (m≠0)第4章因式分解4.1 因式分解4.2 提取公因式法4.3 用乘法公式分解因式第5章分式5.1 分式分式中字母的取值不能使分母为零，当分母的值为零时，分式就没有意义5.2 分式的基本性质分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变最简分式5.3 分式的乘除5.4 分式的加减5.5 分式方程第6章数据与统计图表6.1 数据的收集与整理全面调查抽样调查总体个体样本样本的容量简单随机抽样6.2 条形统计图和折线统计图6.3 扇形统计图6.4 频数与频率组距频数频数统计表频率6.5 频数直方图初中数学教学大纲八年级上册第1章三角形的初步认识1.1认识三角形三角形三个内角的和等于180°三角形任何两边的和大于第三边三角形的角平分线三角形的中线三角形的高线1.2定义与命题定义命题条件结论真命题假命题定理1.3证明三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和1.4全等三角形全等三角形的对应边相等，对应角相等1.5三角形全等的判定三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等角平分线上的点到角两边的距离相等1.6 尺规作图第2章特殊三角形2.1 图形的轴对称对称轴垂直平分连结两个对称点的线段成轴对称的两个图形是全等图形2.2 等腰三角形2.3等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等在同一个三角形中，等边对等角等边三角形的各个内角都等于60°等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形的三线合一2.4 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形在同一个三角形中，等角对等边三个角都相等的三角形是等边三角形有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形2.5 逆命题和逆定理2.6 直角三角形直角三角形的两个锐角互余直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半有两个角互余的三角形是直角三角形2.7 探索勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方a²+b²=c²如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形2.8 直角三角形全等的判定斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”“HL”）角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上第3章一元一次不等式3.1 认识不等式3.2不等式的基本性质a＞b→a+c＞b+c,a-c＞b-ca＜b→a+c＜b+c,a-c＜b-ca＞b,且c＞0→ac＞bc,a/c＞b/ca＞b,且c＜0→ac＜bc,a/c＜b/c3.3 一元一次不等式3.4 一元一次不等式组第4章图形与坐标4.1 探索确定位置的方法4.2 平面直角坐标系4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移在直角坐标系中，点（a,b）关于x轴的对称点的坐标为（a,-b）,关于y轴的对称点的坐标为（-a，b）第5章一次函数5.1 常量与变量5.2 函数5.3 一次函数一般地，函数y=kx+b(k，b都是常数，且k≠0) 叫做一次函数正比例函数比例系数待定系数法5.4 一次函数的图像对于一次函数y=kx+b(k,b为常数，且k≠0),当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。
乘法的速算方法讲解
乘法的速算方法讲解乘法是数学中的基本运算之一，掌握一些乘法的速算方法可以大大提高我们的计算速度和准确度。
本文将为您详细讲解几种实用的乘法速算方法。
一、分解法分解法是指将一个数分解成几个数的和或差，然后分别与另一个数相乘，最后将结果相加或相减得到最终答案。
例如：计算13 × 23我们可以将13 分解为10 + 3，然后分别与23 相乘：10 × 23 = 2303 × 23 = 69最后将结果相加得到：230 + 69 = 299所以，13 × 23 = 299。
二、倍数法倍数法是指将一个数乘以另一个数的整数倍，然后通过简单的加减运算得到最终答案。
例如：计算14 × 15我们可以将14 乘以10 得到140，再将14 乘以5 得到70，最后将这两个结果相加：140 + 70 = 210所以，14 × 15 = 210。
三、交叉相乘法交叉相乘法适用于两个两位数相乘的情况。
具体步骤如下：1.将两个两位数的十位数和个位数分别相乘，得到两个乘积。
2.将这两个乘积相加，得到一个中间结果。
3.将两个两位数的个位数和十位数分别相乘，得到另外两个乘积。
4.将这两个乘积相加，得到另一个中间结果。
5.将这两个中间结果拼接在一起，得到最终答案。
例如：计算47 × 381.4 × 3 = 12，7 × 8 = 562.12 + 56 = 68（中间结果）3.4 × 8 = 32，7 × 3 = 214.32 + 21 = 53（中间结果）5.将68 和53 拼接在一起，得到680 + 53 = 733所以，47 × 38 = 733。
四、平方差法平方差法适用于计算形如a - b 的乘法运算。
例如：计算27 × 23我们可以将其转换为(30 - 3) × (20 + 3)，然后运用平方差公式(a - b) ×(a + b) = a - b：(30 - 3) × (20 + 3) = 30 - 3= 900 - 9= 891所以，27 × 23 = 891。
初中数学浙教版七年级下册第3章 整式的乘除3.4 乘法公式-章节测试习题
章节测试题1.【题文】已知:a+b=3,ab=2,求的值.【答案】5.【分析】把a+b=3两边平方，再利用完全平方公式展开，再把ab=2代入进行计算即可得解．【解答】解：∵a+b=3，∴（a+b）2=9，即a2+2ab+b2=9，∵ab=2，∴a2+b2=9-2ab=9-2×2=5．2.【题文】考古学家从幼发拉底河附近的一座寺庙里，发掘出数千块泥板书，他们从泥板书中发现美索不达米亚的祭祀已经知道平方表的用法，并能够利用平方表算出任意两个自然数的乘积．例如：计算乘以，祭祀们会按下面的流程操作：第一步：加上，将和除以得；第二步：减去，将差除以得；第三步：查平方表，得的平方是；第四步：查平方表，得的平方是；第五步：减去，得到答案．于是他们便得出．请你利用所学的代数知识，设两个自然数分别为、，对泥板书计算两个自然数乘积的合理性做出解释．【答案】见解析【分析】按照题中所给的步骤进行推导即可.【解答】解：．3.【题文】计算：．【答案】【分析】先利用平方差公式进行计算，然后再利用完全平方公式进行计算即可.【解答】解：原式.4.【题文】已知:a+b=3,ab=2,求的值.【答案】5.【分析】把a+b=3两边平方，再利用完全平方公式展开，再把ab=2代入进行计算即可得解．【解答】解：∵a+b=3，∴（a+b）2=9，即a2+2ab+b2=9，∵ab=2，∴a2+b2=9-2ab=9-2×2=5．5.【题文】计算:(m-n)(m+n)+(m+n)2-2m2.【答案】2mn【分析】原式第一项利用平方差根式化简，第二项利用完全平方公式展开，计算即可得到结果．【解答】解：(m-n)(m+n)+(m+n)2-2m2=m2-n2+m2+2mn+n2-2m2=2mn.6.【题文】用乘法公式计算：99.82．【答案】9960.04．【分析】把99.8写成（100-0.2），然后利用完全平方公式计算即可得解；【解答】解：99.82=（100﹣0.2）2=1002﹣2×100×0.20+22=9960.04．7.【题文】已知（x+y）2=25，xy=，求x﹣y的值．【答案】±4【分析】首先，根据完全平方公式将(x+y)2打开，并根据xy的值求出x2+y2；然后，根据完全平方公式求出(x-y)2的值，开平方即可求解.【解答】解：∵(x+y)2=25，∴x2+2xy+y2=25，又∵xy=94，∴x2+y2=412，∴(x-y)2=x2-2xy+y2=412-2×94=16，∴x-y=±4.8.【题文】现有边长分别为a，b的正方形Ⅰ号和Ⅱ号，以及长为a，宽为b的长方形Ⅲ号卡片足够多，我们可以选取适量的卡片拼接成几何图形．（卡片间不重叠、无缝隙）尝试解决：（1）图1是由1张Ⅰ号卡片、1张Ⅱ号卡片、2张Ⅲ号卡片拼接成的正方形，那么这个几何图形表示的等式是______；（2）小聪想用几何图形表示等式（a+b）（2a+b）=2a2+3ab+b2，图2给出了他所拼接的几何图形的一部分，请你补全图形；（3）小聪选取1张Ⅰ号卡片、3张Ⅱ号卡片、4张Ⅲ号卡片拼接成一个长方形，那么拼接的几何图形表示的等式是______；拓展研究：（4）如图3，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用m、n表示四个直角三角形的两直角边边长（b＞a），观察图案，以下关系式中正确的有______．（填写序号）①ab=；②a+b=m；③a2+b2=m2；④a2+b2=．【答案】（1）（a+b）2=a2+2ab+b2；（2）答案见解析；（3）（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2；（4）①③．【分析】（1）根据图形，有直接求和间接求两种方法，列出等式即可；（2）根据已知等式画出相应的图形，如图所示；（3）根据题意列出关系式，分解因式后即可得到结果．根据完全平方公式判断即可．【解答】解：(1)这个几何图形表示的等式是(2)如图：(3)拼接的几何图形表示的等式是根据图③得：∴∵∴∴①③正确，故答案为：①③9.【题文】已知，，求下列代数式的值：（1）；（2）．【答案】（1）10；（2）±8．【分析】（1）把两边平方，利用完全平方公式化简，再将代入计算即可求出值；（2）利用完全平方公式及平方根定义求出的值，原式利用平方差公式分解后，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：(1)把x+y=4两边平方得：将xy=3代入得：(2)∵∴∴x−y=2或x−y=−2，则原式=(x+y)(x−y)=8或−8.10.【题文】利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝ [(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．(1)请你检验这个等式的正确性；(2)若a＝2 016，b＝2 017，c＝2 018，你能很快求出a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值吗？【答案】（1）详见解析；（2）3.【分析】(1)已知等式右边利用完全平方公式化简,整理即可作出验证;(2)把a,b,c的值代入已知等式右边,求出值即为所求式子的值.解：(1)等式右边＝ (a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2)＝ (2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac)＝a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝等式左边，所以等式是成立的．(2)原式＝ [(2 016－2 017)2＋(2 017－2 018)2＋(2 018－2 016)2]＝3.11.【题文】计算：（2x﹣1）2﹣2（x+3）（x﹣3）．【答案】2x2﹣4x+19．【分析】用完全平方公式和平方差公式展开后，再合并同类项.【解答】解：(2x﹣1)2﹣2(x+3)(x﹣3)=4x2﹣4x+1﹣2x2+18=2x2﹣4x+19．12.【题文】已知，，求下列代数式的值．（1）；（2）．【答案】（1）30；（2）8．【分析】（1）原式提取5，利用完全平方公式变形，将x+y与xy的值代入计算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式变形，将x+y与xy的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵x+y=2，xy=﹣1，∴5x2+5y2=5（x2+y2）=5[（x+y）2﹣2xy]=5×[22﹣2×（﹣1）]=30；（2）∵x+y=2，xy=﹣1，∴（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=22﹣4×（﹣1）=4+4=8．13.【题文】已知a－b＝5，ab＝，求a2＋b2和(a＋b)2的值．【答案】a2＋b2＝28，(a＋b)2＝31【分析】用完全平方公式变形解答即可．【解答】解：，∴=25+3=28，=28+3=31．14.【题文】阅读材料：若，求，的值．解：∵，∴，∴，∴，，∴，．根据你的观察，探究下面的问题：（），则__________，__________．（）已知，求的值．（）已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长．（提示：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）【答案】（1）a=3,b=1;(2)16（3）9【分析】(1) (2)(3) 将已知化为完全平方形式，利用非负性求值.【解答】解：（）∵，，，∵，，∴，，，．（），，，∵，，∴，，，，∴，∴．（），，，∵，，∴，，，，∵，∴，，∴，∵、、为正整数，∴，∴周长．15.【题文】（1）计算：x（4x﹣1）﹣（2x﹣3）（2x+3）+（x﹣1）2；（2）已知实数a，b满足（a+b）2=1，（a﹣b）2=25，求a2+b2+ab的值．【答案】（1）原式=x2﹣3x+10；（2）a2+b2+ab=13﹣6=7．【分析】（1）x（4x﹣1）按照单项式乘多项式的法则计算，（2x﹣3）（2x+3）根据平方差公式计算，（x﹣1）2根据完全平方公式计算；（2）把（a+b）2=1，（a ﹣b）2=25的左边按照完全平方公式乘开，然后把两个式子相加可得a2+b2=13，把两个式子相减可得ab=﹣6.【解答】解：（1）原式=4x2﹣x﹣（4x2﹣9）+（x2﹣2x+1）=4x2﹣x﹣4x2+9+x2﹣2x+1=x2﹣3x+10；（2）∵（a+b）2=1，∴a2+2ab+b2=1①，∵（a﹣b）2=25，∴a2﹣2ab+b2=25②，由 ①+‚②得：a2+b2=13，由①•﹣②‚得：ab=﹣6，∴a2+b2+ab=13﹣6=7．16.【题文】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到(a+b)²=a²+2ab+b²．图1 图2 图3（1）写出由图2所表示的数学等式：_____________________；写出由图3所表示的数学等式：_____________________；（2）利用上述结论，解决下面问题：已知a+b+c=11，bc+ac+ab=38，求a²+b²+c²的值．【答案】（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc （a-b-c）2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc 45【分析】（1）根据数据表示出矩形的长与宽，再根据矩形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的矩形的面积，然后根据面积相等即可写出等式．（2）根据利用（1）中所得到的结论，将a+b+c=11，bc+ac+ab=38，作为整式代入即可求出．【解答】解：(1)根据题意,大矩形的面积为：小矩形的面积为：(2)由（1）得17.【题文】已知，求：（1）的值；（2）的值；（3）的值.【答案】（1）-30；（2）；（3）【分析】（1）提公因式，然后将a+b=5和ab=-6整体代入求值；（2）将原式利用配方法转化为两根的和与两根的积来解答；（3）将原式利用配方法转化为两根的和与两根的积来解答．【解答】解：（1）∵，∴；（2）；（3），故.18.【题文】利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是怎样的？写出得到公式的过程．【答案】（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．【分析】根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积．【解答】解：∵大正方形的面积= a2还可以表示为19.【题文】已知a2+b2=1,a-b=,求a2b2与(a+b)4的值.【答案】【分析】把目标代数式化成包含已知代数式的形式. 【解答】解：因为a2+b2=1,a-b=,所以(a-b)2=a2+b2-2ab.所以ab=- [(a-b)2-(a2+b2)]=.所以a2b2=(ab)2=.因为(a+b)2=(a-b)2+4ab.=,所以(a+b)4=[(a+b)2]2=.20.【题文】请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；并由此得到怎样的等量关系？请用等式表示；（2）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2=53，ab=14，求：①a+b的值；②a－b 的值．【答案】（1）a2+b2=(a+b)2-2ab;(2)①9;②5.【分析】（1）两个阴影部分的面积可以用阴影部分面积相加和用总面积减去非阴影部分面积来表示。
初中数学七年级下册《3.4 乘法公式》PPT课件 (15)
消防控制室值班制度及消防控制室管理及应急程序一、消防控制室值班制度消防控制室是保障单位消防安全的重要部门，为了确保消防控制室的正常运行和及时响应各类应急情况，制定一套科学合理的值班制度是非常必要的。
1. 值班人员的职责和要求值班人员是消防控制室的核心力量，他们需要具备以下职责和要求：（1）24小时轮班，确保消防控制室的连续运行。
（2）熟悉消防设备的操作和维护，能够及时处理各类消防报警。
（3）掌握应急预案和操作流程，能够迅速响应各类紧急情况。
（4）具备较强的沟通和协调能力，能够与其他部门和外部单位进行有效的信息交流。
（5）保持良好的工作状态和精神状态，确保能够高效地应对各类突发情况。
2. 值班制度的安排（1）根据消防控制室的工作量和人员数量，制定合理的值班班次和轮班制度。
（2）确保每个班次都有足够的人员配备，避免因人员不足而导致值班工作的疏漏。
（3）制定值班人员的换班规定，确保换班时的交接工作顺利进行，避免信息的遗漏和传递不及时。
（4）定期进行值班人员的培训和考核，提高他们的专业素质和应急处理能力。
二、消防控制室的管理消防控制室是一个高度机密的地方，管理工作的严谨性和规范性对于消防安全至关重要。
1. 人员管理（1）建立健全的人员管理制度，包括招聘、培训、考核和奖惩等方面的规定。
（2）对消防控制室的工作人员进行背景调查和安全审查，确保其具备良好的品行和职业操守。
（3）定期对消防控制室的工作人员进行岗位培训和技能培训，提高他们的专业水平和应急处理能力。
（4）建立健全的考核制度，对工作人员的工作情况进行定期评估，发现问题及时进行纠正和改进。
2. 设备管理（1）建立健全的设备管理制度，确保消防设备的正常运行和有效维护。
（2）定期对消防设备进行检查和维护，及时发现和解决设备故障，确保其处于良好的工作状态。
（3）建立设备档案，记录设备的购置、维修和更换等信息，方便日后的管理和维护工作。
（4）加强对设备的保密工作，确保设备信息不被泄露，防止设备被非法操作和损坏。
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-2x 3
(-2x)²-3² 4x²-9
①怎样确定a与b：符号相同的看作a，符号不同的看作b
②当a ,b是分数或负数或数与字母的乘积时,要把它们看成一个 整体用括号括起来，最后的结果又要去_掉__括_号__,化__简__到__最_简____。
检验成果:
1.辩一辩：判断并改错：
(1) (a+3)(a-3)=a²-3 改正：(a+3)(a-3)=a²-9
找出相等的“项”和符号相反的“项”， 然后应用公式．
(1) (-3a2+2b2)(
)=9a4-4b4
(2) (
)(-y-1)=1-y2
例2.利用平方差公式计算:
(1) 103×97
（2）59.8×60.2
完成课本P75 课内练习（3）（4），作业题第3题
1.运用平方差公式计算:
(1) ( 2a 3b)( 2a 3b)
运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，找出相等 的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式；
对于不符合平方差公式标准形式者，要利用加法 交换律，或提取两“−”号中的“−”号，变成公 式标准形式后，再用公式。
96104
径山镇中学 盛敏建
情境引入 计算下列各题，你能发现什么规律？ (1)(x+1)(x-1)= __x_2_－__1____； (2) (m+2)(m-2)=__m_2_－__4___； (3) (2x+1)(2x-1)=__4_x_2_－__1数。
右边是乘式中两项的平方差。
(a+b)(a-b) = a2-b2
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差 。
公式验证 a
a
a
b
a-b
b
新长方形的面积为：_(_a____b_)_(_a___b__)___
原图形实际面积为：__a__2____b_2_______
(a b)(a b) a2 b2
（a+b)(a-b） a
b
a2-b2
最后结果
(b+3)(b-3) b 3
b2-32
b2-9
(a+3b)(a-3b) a 3b a²-(3b)² a²-9b²
(1-5b)(1+5b) 1 5b 1²-(5b)² 1-25b²
(-x+2)(-x-2) -x 2
(-x)²-2² x²-4
(-2x-3)(2x+3)
(×)
(2)(5y+2)(5y-2)（=5y）²-4 改正：(5y+2)(5y-2)=25y²-4
( ×)
(3) (-m+7)(7+m)=m²-49
(× )
改正：(-m+7)(7+m)=(7-m)(7+m)=49-m²
2.下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么?
(1) (-4k+3)(-4k-3) (2) (1-x)(-x-1) 能
（2）5678×5680-56792
2.已知x2-y2=8，x-y=4，则x+y的值为___.
(a+b-c)(a-b-c)能用平方差公式运算 吗?若能结果是哪两数的平方差?
本节课你的收获是什么？
1、会用语言表述平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2。
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差。 2、应用平方差公式 时要注意一些什么？
能 (3) (-x-1)(x+1) 不能 (4)(x+3)(x-2) 不能
初步尝试:
例1 运用平方差公式计算：
(1) (3x 5 y)(3x 5 y)
(2) ( 1 b a)( 1 b a)
2
2
(3) (4a 3 1)(4a 3 1)
完成课本P75 作业题第1题
步骤：1、判断；2、调整；3、用公式。
初识平方差公式
(a+b)(a−b)=a2−b2
(1) 公式左边两个二项式必须是 相同两数的和与差相乘；
特征 结构
(2) 公式右边是这两个数的平方差；
即括号内的 （相同项）2 -（相反项）2.
(3) 公式中的 a和b 可以是数字、字母、 单项式，也可以是两个多项式等。
填一填 熟悉 平 方 差 公 式