北师九年级上数学资源与评价
北师大新版九年级数学上册教案带教学反思
北师大新版九年级数学上册教案带教学反思一、内容概览本章节是北师大新版九年级数学上册的一部分内容，围绕核心数学主题进行展开，涉及重要的数学概念和应用技能的培养。
教学计划结合教学目标以及学生的实际认知发展水平和学习需求精心设计，目的是提高学生解决实际问题的能力。
这一章的主题包括了代数、几何、概率与统计等关键数学领域的内容。
每个小节都将包含新的知识点和关键技能，并围绕这些知识点展开一系列的学习活动。
代数部分将涵盖二次方程、不等式及其求解技巧等。
几何部分将探讨复杂的几何图形及其性质，包括三角形、四边形、圆的性质等。
概率与统计也将是本章节的重要部分，包括数据的收集、整理和分析方法，以及概率的基本概念和计算方法等。
本章节还将注重数学知识的实际应用，通过解决一系列实际问题来加强学生对数学知识的理解和应用能力的提升。
在现实生活中运用数学知识解决实际问题，以及如何利用数学模型预测未来的趋势等。
这种实践导向的教学方式将极大地提高学生解决问题的能力。
每一课都会根据新课标的要求进行设计，保证知识深度、难度的递进关系处理得当，有助于提高学生综合分析问题解决问题的能力。
通过这个过程，学生可以深化对数学的理解和认识，进而对更高层次的数学学习产生积极的影响。
对于这一阶段的教学过程，教师会进行详细的反思和总结，以便更好地调整教学策略和方案。
1. 介绍北师大新版九年级数学上册的教学目标和重要性。
北师大新版九年级数学上册的教学目标是全面提升学生的数学素养和综合能力。
该教材紧扣国家课程标准，遵循学生的认知规律，注重知识与能力、过程与方法、情感态度与价值观的有机结合。
主要教学目标包括：知识与能力：使学生掌握初中数学的基本概念、原理和方法，包括代数、几何、概率统计等领域的基础知识。
注重培养学生的计算能力、推理能力、空间想象能力和数据处理能力等。
过程与方法：引导学生通过探究、合作、实践等多种方式学习，培养学生的自主学习能力、创新意识和实践能力。
2017年九年级数学上册(北师大版)全册教案及反思
第一章 特殊平行四边形1.掌握菱形、矩形、正方形的概念,以及它们之间的关系.2.理解菱形、矩形、正方形的性质定理与判定定理,并能证明其他相关结论.3.掌握直角三角形的性质定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.1.经历探索菱形、矩形、正方形的概念、性质与判定的猜想与证明的过程,丰富数学活动经验,进一步发展合情推理和演绎推理的能力.2.理解菱形、矩形、正方形的概念,了解它们与平行四边形之间的关系,进一步体会从一般到特殊的思考问题的方法,提高发现问题和解决问题的能力.3.在参与观察、试验、猜想、证明等数学活动中,有意识地渗透试验论证、逆向思维的思想,提高学生的能力.1.积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.2.经历图形的分类、性质探讨的过程,掌握图形与几何的基础知识和基本技能.通过“猜想——总结——证明——应用”的数学活动提升科学素养.3.提高自主探究的能力和增强与他人合作交流的意识、方法.四边形是人们日常生活中应用较为广泛的一种几何图形,尤其是平行四边形、菱形、矩形、正方形等特殊四边形的用处更多.因此,四边形既是几何中的基本图形,也是“空间与图形”领域中主要研究对象之一.本章是在已经学过的多边形、平行线、三角形、平行四边形的基础上对菱形、矩形、正方形的有关性质与常用的判定方法的证明与扩充.它们的探索方法也都与平行四边形的性质和判定的探索方法一脉相承.本章的学习有助于深化对平行四边形的理解,以及对识图、画图等操作技能的掌握,丰富学生的数学活动经验和体验,促进其良好数学观的形成.本章主要渗透归纳、类比、转化等数学思想,注重通过引导探索过程来渗透与展现证明的思路.此外还要注意引导学生探索证明的不同思路与方法,并进行适当的比较和讨论,提高分析、寻求证明思路的能力.【重点】菱形、矩形、正方形的定义、性质与判定.【难点】平行四边形与菱形、矩形、正方形之间的联系与区别.本章教学时间约需8课时,具体分配如下:1 菱形的性质与判定理解菱形的概念,了解它与平行四边形之间的关系.1.经历菱形的性质定理与判定定理的探索过程,进一步发展合情推理能力.2.能够用综合法证明菱形的性质定理与判定定理,进一步发展演绎推理能力.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学现象.【重点】1.菱形的概念和性质.2.探索菱形的判定方法【难点】菱形的概念和性质在生活中的应用.第课时探索并掌握菱形的概念和菱形所具有的特殊性质,会进行简单的推理和运算.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生合情推理的能力,进一步让学生养成用数学知识说理的习惯,并要求学生能熟练地按规范的推理格式书写.从学生已有的知识出发,通过欣赏、观察、动手操作等活动让学生感受身边的数学图形的和谐美与对称美,激发他们学习数学的兴趣,树立学好数学的信心,体会学习数学的快乐.培养学生主动探究、自主学习和合作交流的意识.【重点】菱形的概念和性质.【难点】菱形性质的灵活应用.【教师准备】1.教师在课前布置学生复习平行四边形的性质,搜集菱形的相关图片.2.多媒体课件.3.教师准备菱形纸片,上课前发给学生上课时使用.【学生准备】复习平行四边形的性质导入一:请同学们观察投影图片中的四边形并回答下列问题:(1)投影图片中有平行四边形吗?(2)这些平行四边形具有哪些特征?其中哪个特征不是平行四边形的性质?【师生活动】复习平行四边形的定义及性质.导入二:1.提问:什么是平行四边形?学生回顾交流.2.平行四边形的相邻两边可能相等吗?请同学们讨论一下在我们生活中是否有相邻两边相等的平行四边形形状的图案?一、情景交流结合上面的观察,你能举出和上述图形具有相同特征的实物图形吗?具有这一特征的平行四边形是什么四边形?【学生活动】通过讨论,以小组为单位分别说出生活中具有邻边相等特征的平行四边形形状的实物.【教师活动】投影图片展示一些生活中的具有邻边相等特征的平行四边形形状的实物.二、学生活动,归纳概念思路一请口答下列问题.(1)上述图形都是平行四边形吗?(2)上述图形都有一组邻边相等吗?(3)如果平行四边形有一组邻边相等,那么另一组邻边也相等吗?小组合作交流,类比平行四边形的定义尝试给出菱形的定义.【老师点评】(1)是平行四边形;(2)都有一组邻边相等.【课件展示】像这样,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.思路二【师】同学们,在观察上面图片之后,你能从中发现熟悉的图形吗?你能找出它们的共同特征吗?请同学们观察,图中的平行四边形与黑板上所画的▱ABCD 相比较,还有不同点吗?【生】投影图片中的平行四边形不仅对边相等,而且任意两条邻边也相等.【师】同学们观察得很仔细,像这样,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.三、共同探究【想一想】(1)菱形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗?【生】菱形的对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分.(2)同学们,你认为菱形还具有哪些特殊的性质?请你与同伴交流.【学生活动】分小组讨论菱形的性质,组长组织组员讨论,让尽可能多的组员发言,并汇总结果.【教师活动】教师巡视,并参与到学生的讨论中,启发学生类比平行四边形从图形的边、角和对角线三个方面探讨菱形的性质.对学生的结论,教师要及时作出评价,积极引导,激励学生.【做一做】请同学们用菱形纸片折一折,回答下列问题:(1)菱形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?对称轴之间有什么位置关系?(2)菱形中有哪些相等的线段?【学生活动】分小组折纸探索答案.组长组织,并汇总结果.【教师活动】教师巡视并参与学生活动,引导学生怎样折纸才能得到正确的结论.学生研讨完毕,教师要展示汇总学生的折纸方法以及相应的结论,以便于后面的教学.【师生结论】(1)菱形是轴对称图形,有两条对称轴,且是菱形的两条对角线所在的直线,两条对称轴互相垂直.(2)菱形的四条边相等.【验证提升】证明菱形性质【师】通过折纸活动,同学们已经对菱形的性质有了初步的理解,下面我们要对菱形的性质进行严谨的逻辑证明.【教师活动】如图所示,在菱形ABCD中,已知AB＝AD,对角线AC与BD相交于点O.求证:(1)AB＝BC＝CD＝AD;(2)AC⊥BD.【师生共析】(1)菱形不仅对边相等,而且邻边相等,这样就可以证明菱形的四条边都相等了.(2)因为菱形是平行四边形,所以点O是对角线AC与BD的中点.又因为在图形中可以得到相关的等腰三角形,所以就可以利用“三线合一”来证明结论了.【学生活动】写出证明过程,进行组内交流对比,优化证明方法,掌握相关定理.指名学生在黑板上演示证明过程.证明:(1)∵菱形ABCD是平行四边形,∴AB＝CD,AD＝BC(平行四边形的对边相等).∵AB＝AD,∴AB＝BC＝CD＝AD.(2)∵AB＝AD,∴ΔABD是等腰三角形.∵四边形ABCD是菱形,∴OB＝OD(菱形的对角线互相平分).在等腰三角形ABD中,∵OB＝OD,∴AO⊥BD,即AC⊥BD.【教师活动】展示学生的证明过程,进行恰当的点评和鼓励,优化学生的证明方法,规范学生的书写格式,提高学生的逻辑证明能力.【教师活动】请你根据上面的证明,归纳出菱形的性质.【学生活动】小组交流,共同总结.【教师活动】多媒体课件展示定理:菱形的四条边相等.定理:菱形的对角线互相垂直.最后强调“菱形的四条边相等”“菱形的对角线互相垂直”,让学生形成牢固记忆,留下深刻印象.四、展示交流【教师活动】例题讲解.(教材例1)如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD ＝60°,BD＝6,求菱形的边长AB和对角线AC的长.〔解析〕因为菱形的邻边相等,一个内角是60°,这样就可以得到等边三角形ABD,由BD＝6知菱形的边长也是6.菱形的对角线互相垂直,可以得到直角三角形AOB.菱形的对角线互相平分,可以得到OB＝3,根据勾股定理就可以求出OA的长度,再一次根据菱形的对角线互相平分,即AC＝2OA,求出AC.解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB＝AD(菱形的四条边相等),AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直),OB＝OD＝BD＝³6＝3(菱形的对角线互相平分).在等腰三角形ABD中,∵∠BAD＝60°,∴ΔABD是等边三角形.∴AB＝BD＝6.在RtΔAOB中,由勾股定理,得:OA2＋OB2＝AB2,∴OA＝＝3,∴AC＝2OA＝6.[知识拓展] (1)菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质;(2)菱形的定义既可以看做菱形的性质,也可以看做菱形的判定方法.1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.菱形的性质:(1)菱形是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在的直线;(2)菱形的四条边都相等;(3)菱形的对角线互相垂直平分.3.菱形具有平行四边形的所有性质,应用菱形的性质可以进行计算和推理.1.如图所示,在菱形ABCD中,AB＝5,∠BCD＝120°,则对角线AC的长是( )A.20B.15C.10D.5解析:因为四边形ABCD是菱形,所以AB＝CB,CD∥BA,所以∠ABC＝180°-∠BCD＝180°-120°＝60°,所以ΔABC是等边三角形,所以AC＝AB＝5.故选D.2.如图所示,菱形ABCD的周长为8 cm.∠BAD＝60°,则AC＝cm.解析:因为菱形ABCD的周长为8 cm,所以AB＝AD＝2 cm.又因为∠BAD＝60°,所以ΔABD是等边三角形,所以BD＝AB＝2 cm,所以OB＝BD＝1 cm,所以OA＝(cm),所以AC＝2 cm.故填2.3.如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB＝CD＝BC,则四边形ABCD是菱形吗?为什么?解:四边形ABCD是菱形.理由:∵AB∥CD,AB＝CD,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵CD＝BC,∴平行四边形ABCD是菱形.4.如图所示,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于点E.求证∠AFD ＝∠CBE.证明:∵四边形ABCD是菱形,∴CB＝CD,CA平分∠BCD.∴∠BCE＝∠DCE.又∵CE＝CE,∴ΔBCE≌ΔDCE(SAS).∴∠CBE＝∠CDE.在菱形ABCD中,∵AB∥CD,∴∠AFD＝∠CDE.∴∠AFD＝∠CBE.第1课时菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形的性质:菱形的四条边相等菱形的对角线互相垂直例1一、教材作业【必做题】教材第4页随堂练习.【选做题】教材第4页习题1.1的1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.在菱形ABCD中,AB＝5 cm,则此菱形的周长为 ( )A.5 cmB.15 cmC.20 cmD.25 cm2.菱形的周长为8 cm,高为1 cm,则菱形两邻角的度数比为( )A.3∶1B.4∶1C.5∶1D.6∶13.如图所示,在菱形ABCD中,两条对角线的长分别为AC＝6,BD＝8,则此菱形的边长为 ( )A.5B.6C.8D.104.如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC交BD于点O,AB＝8,E是CD的中点,则OE的长等于.5.如图所示,已知菱形ABCD,其顶点A,B在数轴上对应的数分别为-4和1,则BC ＝.6.如图所示,在菱形ABCD中,E,F分别是CB,CD上的点,且BE＝DF.求证∠AEF＝∠AFE.【能力提升】7.如图所示,两个全等菱形的边长均为1 cm,一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动,行走2015 cm后停下,则这只蚂蚁停在点.8.已知菱形ABCD的边长为6,且∠A＝60°,如果点P是菱形内一点,且PB＝PD ＝2,那么AP的长为.9.如图所示,在菱形ABCD中,∠A＝60°,AB＝4,O为对角线BD的中点,过O点作OE⊥AB,垂足为E.(1)求∠ABD的度数;(2)求线段BE的长.【拓展探究】10.如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC＝6,BD＝8,点E,F分别是边AB,BC的中点,点P在AC上运动,在运动过程中,存在PE＋PF的最小值,则这个最小值是( )A.3B.4C.5D.611.如图所示,在菱形ABCD中,F是BC上任意一点,连接AF交对角线BD于点E,连接EC.(1)求证AE＝EC;(2)当∠ABC＝60°,∠CEF＝60°时,点F在线段BC上的什么位置?说明理由. 【答案与解析】1.C(解析:因为菱形ABCD的四条边相等,所以菱形的周长为5³4＝20(cm).故选C.)2.C(解析:如图所示,因为菱形的周长为8 cm,所以AD＝2 cm.因为高DE＝1 cm,所以DE＝AD,所以∠A＝30°,所以∠ADC＝180°-30°＝150°,所以菱形两邻角的度数比为5∶1.故选C.)3.A (解析:因为四边形ABCD是菱形,所以OA＝AC＝3,OB＝BD＝4,∠AOB＝90°,所以AB＝＝5.故选A.)4.4(解析:因为四边形ABCD是菱形,所以O是AC的中点,且AD＝AB＝8.又因为E是CD的中点,所以OE是ΔACD的中位线,所以OE＝AD＝AB＝4.故填4.)5.5 (解析:因为点A,B在数轴上对应的数为-4和1,所以AB＝1-(-4)＝5.因为四边形ABCD是菱形,所以BC＝AB＝5.故填5.)6.证明:在菱形ABCD中,有AB＝AD,∠B＝∠D.在ΔABE和ΔADF中,,∴ΔABE≌ΔADF.∴AE＝AF.∴∠AEF＝∠AFE.7.G(解析:因为两个全等菱形的边长均为1 cm,所以蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序走一圈的路程为8³1＝8(cm),2015÷8＝251(cm)……7(cm),所以当蚂蚁走完第251圈后再走7 cm正好到达G点.)8.2或49.解:(1)在菱形ABCD中,AB＝AD,∠A＝60°,∴ΔABD为等边三角形.∴∠ABD＝60°.(2)由(1)可知BD＝AB＝4.又∵O为BD的中点,∴OB＝2.又∵OE⊥AB,∠ABD ＝60°,∴∠BOE＝30°.∴BE＝1.10.C11.证明:(1)如图所示,连接AC,∵BD是菱形ABCD的对角线,∴BD垂直平分AC,∴AE＝EC.(2)点F是线段BC的中点.理由如下.∵四边形ABCD是菱形,∴AB＝CB.又∵∠ABC＝60°,∴ΔABC是等边三角形,∴∠BAC＝60°.∵AE＝EC,∴∠EAC＝∠ACE.∵∠CEF＝60°,∴∠EAC＝30°.∴AF是ΔABC中∠BAC的平分线,∴BF ＝CF,∴点F是线段BC的中点.本课时的主要教学内容为菱形的定义和性质.学生已经学习了平行四边形的性质,这是本课时知识的基础.关于菱形的定义和性质,就是在平行四边形的基础上,进一步强化条件得到的.本课时授课思路为“创设情境——猜想归纳——逻辑证明——知识运用”.课堂上的折纸活动,可以让学生直观感知图形的特点,还可以激发学生学习的兴趣和积极性.教师应该留给学生充分的独立思考时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.教师要引导学生积极思考,抓住表面现象中的本质.在性质的证明和应用过程中,教师要鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和证明方法,提倡证明方法的多样性,并引导学生在与其他同学的交流中进行证明方法的比较,优化证明方法,有利于提高学生的逻辑思维水平.随堂练习(教材第4页)解:根据菱形的对角线互相垂直,可知ΔAOB是直角三角形,由勾股定理可求出OB＝3 cm,再根据菱形的对角线互相平分可得BD＝2OB＝6 cm.习题1.1(教材第4页)1.证明:在菱形ABCD中,AB＝BC,BC∥AD,∴∠B＋∠BAD＝180°,∵∠BAD＝2∠B,∴∠B＝60°,又∵BA＝BC,∴ΔABC是等边三角形.2.解:∵四边形ABCD 是菱形,∴AD＝DC＝CB＝BA,AC⊥BD,AO＝AC＝³8＝4,DO＝BD＝³6＝3,在RtΔAOD中,由勾股定理,得AD＝＝5. ∴菱形ABCD的周长为4AD＝4³5＝20.3.证明:在菱形ABCD中,AD＝AB,AC⊥BD,∴AC平分∠DAB,同理,CA平分∠DCB,BD 平分∠ABC和∠ADC.4.解:共有4个等腰三角形,分别为ΔBAD,ΔBCD,ΔADC,ΔABC.共有4个直角三角形,分别为ΔAOB,ΔAOD,ΔCOD,ΔBOC.(1)在折纸过程中,教师要与学生探讨折纸的方法,明确折叠过程中的对应点及相应的对称轴,便于学生正确迅速地找出菱形中的对称关系.掌握数学知识离不开“实践——认识——再实践——认识”这个重要的学习方法,通过说理论证可以使学生充分理解菱形的性质,在这个过程中,教师要充分关注学生使用几何语言的规范性和严谨性.(2)类比方法是数学中重要的方法,所以本课时类比以前学过的平行四边形的有关概念、性质,让学生通过自主学习,共同探究,很自然地突破了重难点.(3)本课时重难点、易错点的掌握要通过不同形式的练习加以巩固,让学生积极参与,培养合作意识,激发学习兴趣,同时教师随时注意学生们出现的问题,及时引导和反馈,使学生在快乐中掌握知识.(2014²莆田中考)如图所示,菱形ABCD的边长为4,∠BAD＝120°.点E是AB的中点,点F是AC上的一动点,则EF＋BF的最小值是.〔解析〕如图所示,连接DE,EC,DF,则BF＝DF.∵四边形ABCD为菱形,∠BAD＝120°,∴∠ABC＝60°.∴ΔABC为等边三角形.∵E是AB的中点,∴CE⊥AB,∴CE⊥CD.在RtΔBEC中,∠ABC＝60°,BC＝4,∴BE＝BC＝2,CE＝＝2.在RtΔECD中,CE＝2,DC＝4,∴ED＝2.根据两点之间线段最短,可知EF＋DF的最小值为2.∴EF＋BF的最小值为2.故填2.第课时1.理解菱形的定义,掌握菱形的判定方法;会用这些判定方法进行有关的论证和计算.2.在菱形的判定方法的探索与综合应用中,培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.尝试从不同角度寻求菱形的判定方法,并能有效地解决问题,尝试比较不同判定方法之间的差异,并获得判定四边形是菱形的经验.启发引导学生理解探索结论和证明结论的过程,掌握合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系,培养学生合作交流的能力,以及独立思考的良好习惯.【重点】探索证明菱形的两个判定方法,掌握证明的基本要求和方法.【难点】明确推理证明的条件和结论能用数学语言正确表达.【教师准备】木条和橡皮筋【学生准备】复习上课时的相关知识.导入一:人们戴的帽子的形状千奇百怪,有一段时间,电视上经常看到大学生戴的菱形帽,它是受到外国博士帽的启发.在日本,到第二次世界大战为止,戴菱形帽一直是年轻人的梦想,戴上它显得有知识有学问.这是由于菱形的特殊因素能给人一种舒服的感觉.那么,我们怎样判断一个四边形是否是菱形呢?导入二:什么样的四边形是平行四边形?它有哪些判定方法?教师提示:判定方法应该从三个方面分析:边:两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.角:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.对角线:对角线互相平分的四边形是平行四边形.那么,菱形的判定有什么方法呢?[设计意图]通过类比的方法引导学生发现判定菱形的方法.一、由菱形的定义判定【学生活动】明确菱形的定义既是菱形的性质,又可作为菱形的第一种判定方法,即有一组邻边相等的平行四边形是菱形.【思考】除了运用菱形的定义,类比平行四边形的性质定理和判定定理,你能找出判定菱形的其他方法吗?二、菱形的判定(1)思路一已知:在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥BD.求证▱ABCD是菱形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA＝OC.∵AC⊥BD,∴BD所在的直线是线段AC的垂直平分线.∴BA＝BC.∴▱ABCD是菱形(菱形的定义).【思考】从上述证明过程中,你得出什么结论?定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.思路二【学生活动】用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.(1)转动木条,这个四边形总有什么特征?你能证明你发现的结论吗?猜想:四边形的对角线互相平分.(2)继续转动木条,观察什么时候橡皮筋围成的四边形变成菱形?猜想:当木条互相垂直时,平行四边形的一组邻边相等,此时四边形为菱形.(3)你能证明你的猜想吗?猜想:如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直,那么这个平行四边形是菱形.已知:在▱ABCD中,对角线AC,BD互相垂直.求证▱ABCD是菱形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分).又∵AC⊥BD,∴BD所在的直线是线段AC的垂直平分线,∴AB＝BC,∴▱ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.三、菱形的判定(2)思路一学生先画两条等长的线段AB,AD,然后分别以B,D为圆心,AB长为半径画弧,得到两弧的交点C,连接BC,CD,就得到了一个四边形,猜一猜,这是什么四边形?请你画一画.通过探究,容易得到:四条边相等的四边形是菱形.证明上述结论.[设计意图]采用观察、操作、交流、演绎的手法来突破难点,通过严谨的推理和证明培养学生的几何思维.思路二问题我们如何画一个菱形呢?通常先画两条等长的线段AB,AD,然后分别以B,D 为圆心,AB长为半径画弧,得到两弧交点C,连接BC,CD即可.【学生活动】(1)观察画图的过程,你能说明得到的四边形为什么是菱形吗?学生思考后,展开讨论寻找原因.原因:这个四边形的四条边相等,根据菱形定义即可判定.(2)你能得出什么结论?学生得出从一般的四边形直接判定菱形的方法:四条边相等的四边形是菱形.[设计意图]通过教师画图演示,让学生从直观操作的角度去发现问题,使探究的问题形象化、具体化,培养学生的形象思维能力.利用平行四边形的判定和菱形的定义判定该四边形是菱形,进一步提高学生的抽象思维能力.本活动进一步体现了试验几何和论证几何的有机结合.猜想:四条边相等的四边形是菱形.如图所示,在四边形ABCD,已知AB＝BC＝CD＝DA.求证四边形ABCD是菱形.证明:∵AB＝CD,BC＝AD,∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).又∵AB＝BC,∴平行四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).[设计意图]由菱形的定义得出从一般的四边形直接判定菱形的方法:四条边相等的四边形是菱形,并激发学生探究的欲望.[知识拓展] 四条边相等的四边形是菱形.在▱ABCD中,已知对角线AC与BD相交于点O,AB＝,OA＝2,OB＝1.求证▱ABCD是菱形.证明:在ΔAOB中,∵AB＝,OA＝2,OB＝1,∴AB2＝AO2＋OB2.∴ΔAOB是直角三角形,即∠AOB是直角.∴AC⊥BD.∴▱ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).[知识拓展] (1)菱形的判断可以从两个基本图形(四边形或平行四边形)考虑,进行证明.(2)菱形的性质定理和菱形的判定定理是互逆定理.1.下列命题正确的是( )A.对角线互相平分的四边形是菱形B.对角线互相平分且相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形答案:D2.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是( )A.等腰梯形B.正方形C.长方形D.菱形答案:D3.如图所示,在ΔABC中,AD⊥BC于D,点D,E,F分别是BC,AB,AC的中点.求证四边形AEDF是菱形.解析:首先判定四边形AEDF是平行四边形,然后连接EF证明EF⊥AD,利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来判定.证明:∵点D,E,F分别是BC,AB,AC的中点,∴DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF是平行四边形.连接EF,如图所示,∵点E,F分别是AB和AC的中点,∴EF∥BC.又∵AD⊥BC,∴AD⊥EF,∴平行四边形AEDF是菱形.第2课时1.根据菱形的定义进行判定2.定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形3.定理:四条边相等的四边形是菱形例1例2一、教材作业【必做题】教材第7页随堂练习.【选做题】教材第7页习题1.2的1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.下列说法正确的是( )A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B.四条边都相等的四边形是菱形C.一组邻边相等的四边形是菱形D.对角线相等的四边形是菱形2.已知▱ABCD的对角线相交于点O,分别添加下列条件:①AC⊥BD;②AB＝BC;③AC平分∠BAD;④AO＝DO.使得▱ABCD是菱形的条件有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图所示,如果要使▱ABCD成为一个菱形,需要添加一个条件,那么你添加的条件是.4.如图所示,点E,F,G,H分别是四边形ABCD中AD,BD,BC,CA的中点,当四边形ABCD的边满足条件: 时,四边形EFGH是菱形.【能力提升】5.如图所示,在ΔABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,DE∥AC交BC于点E,DF∥BC 交AC于点F.求证四边形DECF是菱形.6.如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作直线EF ⊥BD,分别交AD,BC于点E,F,求证四边形BEDF是菱形.【拓展探究】7.如图所示,分别以ΔABC的三边为边在BC的同侧作等边三角形ABD,等边三角形BCE,等边三角形ACF,请回答下列问题:(1)四边形ADEF是什么四边形?(2)当ΔABC满足什么条件时,四边形ADEF为菱形?(3)当ΔABC满足什么条件时,以A,D,E,F为顶点的四边形不存在?【答案与解析】1.B2.C3.AB＝AD(答案不唯一)4.AB＝CD。
北师九年级上数学资源与评价
如图，在△ABC中，∠C=90。，AC=8cm，BC=6cm，点P，Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动（到点C为止），它们的速度都是1cm/s.经过几秒△PCQ的面积为RT△ACB面积的一半？
1.2直角三角形（2）
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1.了解并证明“斜边、直角边”定理.
2.应用“斜边、直角边”定理证明相关问题.
8.在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8 cm，则BC等于（）
A.3.8 cmB.7.6 cmC.11.4 cmD.11.2 cm
9.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB与边面内作等边△ABD，连结DC，以DC当边作等边△DCE，B、E在C、D的同侧，若AB= ，求BE的长.
4.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， C= C′= ，下列条件中能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的个数是（ ）
① A= A′,AC=A′C′ ②AC=A′C′,AB=A′B′
③AC=A′C′,CB=C′B′ ④ A= A′,AC=A′C′
A．1 B.2 C.3 D.4
5.给出以下几个命题：
聚沙成塔
如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，直线AN，MC交于点F.
(1)求证：AN=BM；(2)求证：△CEF为等边三角形；
(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转900，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）
A.15B.12C.15或12D.以上都不正确
9.已知：如图，AB=AC，DE∥AC，求证：△DBE是等腰三角形.
10.如图，△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，求证：AD平分∠BAC.
新版九上资源与评价数学答案
.数学《资源与评价》九上 答案第一章 特殊平行四边形1.1菱形的性质（1）1.52.283.54.355.606.257.338.D9.B 10.C 11.D 12.B 13.B 14.B 15.(1)32(2)2和32 16.18度 17.CE=CF ，理由略 18.（1）略（2）100度 19.略 20.略 聚沙成塔21.（1）略（2）120度 （3）略（延长GB 到I ，使BI=DG ，连接CI ，证△CDG ≌△CBI ）1.1菱形的判定（2）1.D2.D3.D4.C5.C6.B7.C8.菱形9.③ 10.3 11.略 12.（1）略 （2）四边形AECF 是菱形，证明略 13.（1）有错误，原因是对角线互相垂直平分的四边形是菱形，当互相垂直平分时，才是菱形。
小明只说明EF 是AC 的垂直平分线，没有说明AC 是EF 的垂直平分线。
（2）略 14.t=3 聚沙成塔15.（1）略 （2）略（证明△AOF ≌△COE ） （3）可能是菱形，AC 绕点O 顺时针旋转45°时，四边形BEDF 为菱形 1.1菱形的性质与判定（3）1.242.93.10cm4.菱形的每一条对角线都平分它的一组对角5.2.56.AD=BC7.1:2,168.()13-n （n 为正整数） 9.12- 10.π-32 11.B 12.9.6cm 13.（1）略 （2）略（可以证明四边形AEDF 是菱形） 14.略 15.(1)略 (2) 当EB ⊥CD 时，∠EFD=∠BCD 。
理由略 16.（1）略 （2）38 17.（1）菱形 （2）成立，理由略 聚沙成塔18.（1）略（2）61.2矩形的性质（4）1.52.153.354.105.90°,45°6.30，107.(am-ab)8.B9.B 10.D 11.B 12.C 13.D 14.B 15.C 16.D 17.略 18.略（可以连接AN ，DN ） 19.略 20.（1）3 （2）39 聚沙成塔21.略1.2矩形的判定（5）1.B2.C3.B4.605.矩形6.矩形7.四边形ABCD 是矩形，理由略8.（1）略 （2）24cm 29.是矩形，理由略 10.略 11.略 12.（1）略 （2）12，n 224（或323-n ） （3）27 13.（1）略 （2）213（3）点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形，理由略 聚沙成塔14.（1）略 （2）矩形，理由略1.2矩形的性质与判定（6） 1.C2.C3.B4.B5.B6.1287.4.88.AD=AB9.（1）略 （2）12 10.略 11.略 12.略 13.矩形，理由略 聚沙成塔14.图（2）的探究结论为2PA +2PC =2PB +2PD ，图（3）的探究结论为2PA +2PC =2PB +2PD 。
北师大版数学九年级上册2.2用配方法求解一元二次方程(第一课时)优秀教学案例
3.小组合作的学习方式：组织学生进行小组合作、讨论交流，培养学生合作意识和团队精神，提高自主学习能力。这种学习方式使得学生在互动中思考，共同解决问题，增强学生的团队协作能力。
（二）讲授新知
1.配方法的原理：引导学生发现配方法的基本步骤和规律。例如：“同学们，我们刚才观察到的抛物线，其实可以用配方法来求解。配方法是一种解一元二次方程的有效方法，它包括以下几个步骤：第一步，将方程写成标准形式；第二步，找到方程中的a、b、c值；第三步，进行配方；第四步，求解方程。通过这些步骤，我们可以轻松地求解一元二次方程。”
2.强调配方法在实际生活中的应用，提高学生的应用意识。例如：“同学们，配方法不仅在数学学习中有着重要作用，它在生活中也有很多应用。比如，在租赁房屋、购买商品等方面，我们都可以运用配方法来解决问题。”
（五）作业小结
1.布置相关的作业，让学生巩固所学知识。例如：“同学们，请大家课后运用配方法解几个一元二次方程，并将解题过程写下来。这样可以加深对配方法的理解和记忆。”
2.配方法的应用：通过例题讲解，让学生掌握配方法解题的具体步骤。例如：“同学们，现在我们来解决一个实际问题。假设有一个一元二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0。我们来按照配方法的步骤来解这个方程。”
（三）学生小组讨论
1.组织学生进行小组讨论，让学生合作探索配方法的应用。例如：“同学们，现在请大家分成小组，一起讨论如何运用配方法解这个方程。每个小组成员都要发表自己的观点，共同得出解题思路。”
2.鼓励学生提出问题，培养学生的质疑精神和探究能力。例如，在教学过程中，鼓励学生提问：“为什么配方法可以解一元二次方程？”“配方法的步骤有哪些？”等。
九年级数学上册教案(北师大版)
九年级数学上册教案（北师大版）一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握九年级数学上册的基本概念、公式、定理，提高学生的数学运算能力和解决问题的能力。
2. 过程与方法：通过自主学习、合作探究、实践操作等活动，培养学生独立思考、创新能力和团队协作精神。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养积极的学习态度，提高学生的自主学习能力。
二、教学内容1. 第一章：实数与方程1.1 实数的概念与性质1.2 一元一次方程1.3 不等式与不等式组2. 第二章：多边形的计算2.1 三角形的面积计算2.2 四边形的面积计算2.3 多边形的面积计算3. 第三章：数据的整理与分析3.1 数据的收集与整理3.2 数据的描述与分析3.3 数据的处理与展示4. 第四章：函数的初步认识4.1 函数的概念与性质4.2 一次函数的图象与性质4.3 二次函数的图象与性质5. 第五章：几何图形的证明5.1 平行线的性质与判定5.2 三角形的性质与判定5.3 四边形的性质与判定三、教学方法1. 启发式教学：通过问题引导，激发学生的思考，培养学生的创新能力和解决问题的能力。
2. 合作学习：组织学生进行小组讨论、探究，培养学生的团队协作精神和沟通能力。
3. 实践操作：引导学生动手操作，提高学生的实践能力和数学运算能力。
4. 信息技术辅助教学：利用多媒体课件、网络资源等，丰富教学手段，提高教学效果。
四、教学评价1. 过程性评价：关注学生在学习过程中的表现，如态度、参与度、合作能力等。
2. 终结性评价：通过考试、测验等方式，检测学生对知识与技能的掌握程度。
3. 自我评价：鼓励学生进行自我反思，提高学生的自主学习能力。
五、教学资源1. 教材：九年级数学上册（北师大版）2. 教辅资料：习题集、解析、教学课件等。
3. 网络资源：相关数学教学网站、视频、论坛等。
4. 教学仪器：黑板、粉笔、多媒体设备等。
六、教学计划1. 第六章：概率初步6.1 随机事件与概率6.2 排列组合6.3 概率的计算与应用2. 第七章：初中数学综合应用7.1 数学与生活7.2 数学与科学7.3 数学与社会科学3. 第八章：数学阅读与写作8.1 数学阅读8.2 数学写作8.3 数学语言表达4. 第九章：数学思想方法9.1 化归思想9.2 数形结合思想9.3 分类讨论思想5. 第十章：总复习10.1 复习要点与方法10.2 中考数学考试大纲解析10.3 模拟测试与真题演练七、教学策略1. 第六章：概率初步运用实例引入概率的概念，通过实践活动让学生体验概率的计算过程，培养学生的实际应用能力。
北师大版九年级数学上册教材分析与建议
九年级(上)教材分析第一章证明（二）一、本章教材的特点、内容：《证明》这一部分内容是新旧教材转换中变化比较大的一部分内容，无论是《标准》对证明的要求上，还是对于“证明”在数学教学中价值的重新定位，以及证明在整个教材中的编排顺序上，都与我们传统《几何》教学中的证明大有不同。
我们老师在接触到这部分内容时往往感到受传统教材的影响较大，难以把握。
我想针对此问题，在本章教材分析之前，首先应该搞清楚两个问题：1、证明在整个教材中的位置？—有利于我们系统全面的了解教材、合理的处理教材。
（我们知道新教材打破了传统的《代数》、《几何》的界限，而是将数学知识分为四大领域）；２、《标准》中是怎样阐述“证明”的具体目标？对“证明”的要求是什么？—便于我们准确的把握“证明”的难易。
《标准》在重新审视传统几何教学目标的基础上对证明重新提出了明确的要求：“能通过观察、试验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据，给出证明或举出反例”，“从几个基本事实出发，证明一些有关三角形、四边形的性质，从中体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化思想”。
《标准》同时指出“应注重对证明的理解，而不追求证明的数量和技巧”，这就既保留了传统几何中推理论证的部分要求，有明确防止过分“形式化”的证明。
欧几里的公理体系建立以来,几何与推理证明结下了不解之缘,培养推理证明能力成为几何教学的主要价值体现.而事实上,推理既有合情推理,也有演绎推理,“演绎推理”就是我们平常说的“证明”，是结论已知的必然性推理；“合情推理”是根据已有的知识和经验，在某种情境和过程中推出可能性结论的推理（包括归纳、类比、统计推理等形式）。
任何一个科学结论（包括数学定理、法则、公式等）的发现往往发端于对事物的观察、比较、归纳、类比，即通过合情推理得出猜想，然后再通过演绎推理说明猜想的正确或错误。
所以合情推理的实质是”发现”,因而关注合情推理能力的培养有助于发展学生的创新精神.回想我们经历过的七（下）”平行线的判定与性质”、八（上）”全等三角形的判定与性质”、“等腰三角形性质”、“角平分线、线段垂直平分线性质”等，都是在学生动手实践操作（包括作图、测量、折纸等）的基础上，通过观察归纳猜想得到的，这也就是“合情推理“。
最新北师大版九年级数学上册全册各章节优秀教案教学设计(含教学反思)
北师大版九年级数学上册全册教案第一章特殊平行四边形 (2)1菱形的性质与判定 (2)第1课时菱形的定义和性质 (2)第2课时菱形的判定 (5)第3课时菱形的性质与判定的应用 (8)2矩形的性质与判定 (11)第1课时矩形的定义和性质 (11)第2课时矩形的判定 (14)第3课时矩形的性质与判定的应用 (16)3正方形的性质与判定 (19)第1课时正方形的定义和性质 (19)第2课时正方形的判定 (22)第二章一元二次方程 (27)1认识一元二次方程 (27)第1课时一元二次方程的定义 (27)第2课时用估算法求一元二次方程的近似解 (29)2用配方法求解一元二次方程 (32)第1课时用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程 (32)第2课时用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程 (34)3用公式法求解一元二次方程 (37)第1课时用公式法求解一元二次方程 (37)第2课时用公式法解决一元二次方程的实际问题 (41)4用因式分解法求解一元二次方程 (43)5一元二次方程的根与系数的关系 (46)6应用一元二次方程 (49)第1课时列一元二次方程解决几何与行程问题 (49)第2课时列一元二次方程解决利润问题 (53)第三章概率的进一步认识 (56)1用树状图或表格求概率 (56)2用频率估计概率 (60)第四章图形的相似 (63)1成比例线段 (63)2平行线分线段成比例 (67)3相似多边形 (69)4探索三角形相似的条件 (72)第1课时相似三角形和判定定理1 (72)第2课时相似三角形的判定定理2和3 (74)第3课时黄金分割 (77)5相似三角形判定定理的证明 (80)6利用相似三角形测高 (83)7相似三角形的性质 (86)8图形的位似 (89)第五章投影与视图 (93)1投影 (93)第1课时灯光与影子 (93)第2课时太阳光与影子 (96)2视图 (99)第六章反比例函数 (101)1反比例函数 (101)2反比例函数的图象与性质 (104)3反比例函数的应用 (107)第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定第1课时菱形的定义和性质1．经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系．2．体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理的能力．3．在证明菱形的性质和运用性质定理解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能力．重点理解并掌握菱形的概念与性质定理．难点菱形性质定理的证明及运用．一、情境导入课件出示教材第2页情境图，提出问题：你能从这几幅图中发现你熟悉的图形吗？你认为它们有什么样的共同特征呢？学生：图片中有八年级学过的平行四边形．教师：请同学们观察，这些平行四边形与下图的平行四边形ABCD相比较，还有什么不同点吗？学生：这些平行四边形不仅对边相等，而且任意两条邻边也相等．教师：同学们观察得很仔细．像这样，有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．二、探究新知1．菱形的性质教师：菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质．你能列举一些这样的性质吗？学生：菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分．教师：同学们，你认为菱形还具有哪些特殊的性质？请你与同伴交流．学生讨论交流后，教师点评．教师：请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：(1)菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？(2)菱形中有哪些相等的线段？学生分小组进行折纸活动后讨论交流，回答问题，教师点评，并进一步讲解：①菱形是轴对称图形，有两条对称轴．对称轴是菱形对角线所在的直线，两条对角线互相垂直．②菱形的四条边相等．2．证明菱形的性质教师：通过折纸活动，同学们已经对菱形的性质有了初步的理解，下面我们要对菱形的性质进行严格的逻辑证明．课件出示：已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O.求证：(1)AB＝BC＝CD＝AD；(2)AC⊥BD.分析：①菱形不仅对边相等，而且邻边相等，这样就可以证明菱形的四条边都相等．②因为菱形是平行四边形，所以点O是对角线AC与BD的中点；又因为在菱形中可以得到等腰三角形，这样就可以利用“三线合一”来证明结论．学生写出证明过程，进行组内交流对比，教师点评．证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC(菱形的对边相等)． 又∵AB＝AD ， ∴AB ＝BC ＝CD ＝AD. (2)∵AB＝AD ，∴△ABD 是等腰三角形． 又∵四边形ABCD 是菱形，∴OB ＝OD(菱形的对角线互相平分)． 在等腰三角形ABD 中， ∵OB ＝OD ， ∴AO ⊥BD ， 即AC⊥BD. 三、举例分析例 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O, ∠BAD ＝60°，BD ＝6，求菱形的边长AB 和对角线AC 的长．分析：①因为菱形的邻边相等，一个内角是60°，所以可以得到等边△ABD，BD ＝6，菱形的边长也是6.②由菱形的对角线互相垂直，可以得到直角△AOB；由菱形的对角线互相平分，可以得到OB ＝3，根据勾股定理可以求出OA 的长度；再一次根据菱形的对角线互相平分，即AC ＝2OA ，求出AC 的长．解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝AD(菱形的四条边相等)， AC ⊥BD(菱形的对角线互相垂直)，OB ＝OD ＝12BD ＝12×6 ＝3(菱形的对角线互相平分)．在等腰三角形ABD 中， ∵∠BAD ＝60°， ∴△ABD 是等边三角形． ∴AB ＝BD ＝6.在Rt △AOB 中，由勾股定理，得 OA 2＋OB 2＝AB 2，∴OA ＝AB 2－OB 2＝62－32＝3 3.∴AC＝2OA＝63(菱形的对角线互相平分)．四、练习巩固教材第4页“随堂练习”．五、小结1．什么叫做菱形？2．菱形有哪些性质？六、课外作业教材第4～5页习题1.1第1～4题．本节课的主要教学内容为菱形的定义和性质．学生已经学习了平行四边形的性质，这是本节课的知识基础．关于菱形的定义和性质，就是在平行四边形的基础上进一步强化条件得到的．课堂上通过折纸活动，让学生直观地感知图形的特点，激发学生学习的兴趣和积极性，教师要引导学生积极思考，抓住表面现象中的本质．在性质的证明和应用过程中，教师要鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和方法，提倡证明方法的多样性，并引导学生在与其他同学的交流中进行证明方法的比较，优化证明方法，有利于提高学生的逻辑思维水平．第2课时菱形的判定1．探索证明菱形的判定方法，掌握证明的基本要求、方法及思路．2．经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．3．经历实际操作，探索菱形判定定理的证明过程，发展合情推理的能力．4．在具体问题的证明过程中，有意识地渗透试验论证、逆向思维的思想，提高学生解决问题的能力．重点菱形判定定理的证明及应用．难点菱形的判定方法的综合运用．一、复习导入1．菱形的定义是什么？2．菱形有哪些性质？教师：同学们对菱形的性质都掌握得很好，那么怎样判定一个四边形是菱形呢？这就是我们这节课所要研究的内容．二、探究新知1．菱形的判定方法一教师：根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这可以作为菱形的第一种判定方法．2．菱形的判定方法二课件出示：用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．教师转动木条，提出问题：(1)转动木条，这个四边形总有什么特征？(2)继续转动木条，什么时候橡皮筋围成的四边形变成菱形？引导学生猜想：当木条互相垂直时，平行四边形的一组邻边相等，此时四边形为菱形．教师：你能证明你的猜想吗？学生独立完成，指名板演，教师点评．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.求证：▱ABCD是菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC.又∵AC⊥BD，∴BD是线段AC的垂直平分线．∴BA＝BC.∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义)．3．菱形的判定方法三教师：已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？学生独立尝试作图，教师点评，并进一步讲解用尺规作菱形的方法：如图，分别以A ，C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B ，D ，依次连接A ，B ，C ，D.教师：你能说明得到的四边形为什么是菱形吗？ 学生小组讨论交流，找到原因：该四边形四边相等． 教师：你能证明四边相等的四边形是菱形吗？ 学生独立完成，指名板演，教师点评．已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA. 求证： 四边形ABCD 是菱形．证明：∵AB＝CD ，AD ＝BC ， ∴四边形ABCD 是平行四边形． 又∵AB＝BC ，∴四边形ABCD 是菱形(菱形的定义). 教师：你能用折纸等办法得到一个菱形吗？ 学生动手操作，教师巡视指导． 三、举例分析例 已知：如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ＝5，OA ＝2，OB ＝1. 求证：▱ABCD 是菱形．思考：(1)观察题目中的数据，AB ，OA ，OB 有什么数量关系？ (2)利用勾股定理的逆定理能否判定△ABO 是直角三角形？(3)如果可以得到直角三角形，那么利用菱形的哪一个判定定理进行判断？ 四、练习巩固1．教材第7页“随堂练习”．2．教材第7页习题1.2第1题．五、小结1．怎样判定一个四边形是菱形？2．通过本节课的学习，你还学到了哪些知识？六、课外作业教材第7页习题1.2第2，3题．在本节课中，课前复习为本节课的探究作了有效的铺垫．学生资源的灵活运用提高了学生参与探究的兴趣，证明思路的分析过程让学生体会了逆向思维、一题多解等数学思想．另外，学生通过经历试验—猜想—证明—应用的探索过程提高了自身的科学素养．第3课时菱形的性质与判定的应用1．能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法．2．经历菱形的性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法．重点菱形的性质定理与判定定理的综合应用及菱形面积的求法．难点等宽纸条交叉部分为菱形的证明及菱形面积的综合应用．一、复习导入1．如图①，在菱形ABCD中，AB＝6.(1)求AD，DC，BC的长．(2)对角线AC与BD有什么位置关系？(3)若∠ADC＝120°，求AC的长．图①图②2．如图②，在▱ABCD 中添加一个条件使其成为菱形． 添加方式1：________________________________________________________________________.添加方式2：________________________________________________________________________.二、探究新知 1．课件出示：如图，四边形ABCD 是边长为13 cm 的菱形，其中对角线BD 长10 cm .求： (1)对角线AC 的长度； (2)菱形ABCD 的面积．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴∠AED ＝90°(菱形的对角线互相垂直)， DE ＝12BD ＝12×10＝5(cm )(菱形的对角线互相平分)．∴在Rt △ADE 中，由勾股定理可得： AE ＝AD 2－DE 2＝132－52＝12(cm )．∴AC ＝2AE ＝2×12＝24(cm )(菱形的对角线互相平分)． (2)S 菱形ABCD ＝ S △ABD ＋ S △CBD ＝2×S △ABD ＝2×12×BD×AE＝BD×AE ＝10×12 ＝120( cm 2)．注意：学生对于第一个问题的解决比较容易，但是学生的书写过程不规范；对于第二个问题，学生很容易求一边上的高，经过讨论、交流、点拨后学生能接受这种方法．在实际过程中教师应追问学生菱形的面积和对角线有什么关系，引起学生的思考，进而突破这一教学难点．2．课件出示教材第87页图1－7，提出问题：两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？分析：由图可知，重叠部分为平行四边形，且相邻的两边对应的高相等，由平行四边形的面积，可证平行四边形ABCD为菱形．三、举例分析例(变式训练)如上图，四边形ABCD是菱形，其中对角线BD长12 cm，AC长16 cm.求：(1)菱形的边长；(2)菱形一条边上的高．分析：灵活运用菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积进而求出一边上的高．教师：同学们，在我们刚才完成的例题及变式训练中你有什么感悟或经验？教师引导学生总结经验，帮助学生形成解题思路．四、练习巩固1．教材第9页“随堂练习”第1，2题．2．教材第10页习题1.3第5题．五、小结通过本节课的学习，你有哪些收获？还有什么疑问？六、课外作业1．教材第9页习题1.3第1～4题．2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED 相交于点F.当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．本节课的教学内容是菱形的性质定理与判定定理的综合运用．通过课前复习，加深学生对菱形的性质定理及判定定理的记忆．在教学中，通过例题讲解，帮助学生总结经验并形成解题思路．学生对于几何题的规范答题是在课堂上需要重点强调的，这是培养学生严谨细致的数学素养的一个手段．同时，在教学中应注意学生解题的反思过程，例如由例题及变式训练完成反思过程后，学生的思维得到了升华，同时对于同类题目的突破方式有了初步的框架，能促进以后的学习，从本质上讲学习就是在学生不断反思中完成的．2矩形的性质与判定第1课时矩形的定义和性质1．了解矩形的概念，理解并掌握矩形的性质定理．2．经历探索矩形的概念和性质定理的过程，发展学生合情推理的意识．3．培养学生严谨的推理能力，掌握几何思维方法，体会逻辑推理的思维价值．重点矩形的性质定理的理解及应用．难点矩形的性质定理的应用．一、情境导入课件出示教材第11页情境图，提出问题：这三幅图片中都含有一些特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？学生讨论交流后汇报，教师点评，并进一步讲解：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．教师：你还能举出一些生活中矩形的例子吗？二、探究新知1．探究矩形的性质定理教师出示一个平行四边形活动框架，完成以下探究．(1)改变平行四边形活动框架，将框架夹角∠α变为90°，平行四边形成为一个矩形，这说明平行四边形与矩形具有怎样的从属关系？学生：矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形所有的性质．(2)用橡皮筋做出两条对角线，这两条对角线有什么关系？学生：橡皮筋的长度相等，因此矩形的两条对角线相等．(3)矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？学生：矩形是轴对称图形，它有2条对称轴． (4)你认为矩形还具有哪些特殊性质？ 学生：矩形的四个角都是直角，对角线相等． 教师：你能证明这些结论吗？学生独立完成，指名板演，教师点评，得到如下定理： 矩形的四个角都是直角． 矩形的对角线相等．2．探究直角三角形的性质定理课件出示教材第12页图1－9，提出问题：如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点E ，那么BE 是Rt △ABC 中一条怎样的特殊线段？它与AC 有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？学生观察、思考后发现：AE ＝12AC ，BE ＝12BD ，BE 是Rt △ABC 的中线．由此归纳直角三角形的一个性质定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 三、举例分析例1 如图，在矩形ABCD 中，两条对角线相交于点O ，∠AOB ＝60°，AB ＝4 cm ，求这个矩形对角线的长．分析：利用矩形对角线相等且平分得到OA ＝OB ，由于∠AOB＝60°，∴△AOB 为等边三角形，则OA ＝AB ＝4 cm ，∴AC ＝BD ＝2OA ＝8 cm .例2 如图，在△ABC 中，∠A ＝2∠B，CD 是△ABC 的高，E 是AB 的中点，求证：DE ＝12AC.分析：本题可从E 是AB 的中点切入，考虑应用三角形中位线定理．应用三角形中位线必需找到另一个中点．可以取BC 的中点F ，也可以取AC 的中点G.学生分四人小组，合作探究不同的证法． 证法一：取BC 的中点F ，连接EF ，DF ，如图①. ∵E 为AB 中点，∴EF ∥AC.∴∠FEB ＝∠A.∵∠A ＝2∠B，∴∠FEB ＝2∠B.∵DF＝12BC ＝BF ，∴∠1＝∠B.∴∠FEB＝2∠B＝2∠1＝∠1＋∠2.∴∠1＝∠2.∴DE＝EF ＝12AC.证法二：取AC 的中点G ，连接DG ，EG ，如图②. ∵CD 是△ABC 的高，∴在Rt △ADC 中，DG ＝12AC ＝AG.∵E 是AB 的中点，∴GE ∥BC.∴∠1＝∠B. ∴∠GDA ＝∠A＝2∠B＝2∠1.又∠GDA＝∠1＋∠2，∴∠1＋∠2＝2∠1. ∴∠2＝∠1.∴DE＝DG ＝12AC.四、练习巩固1．教材第13页“随堂练习”．2．如图，从矩形ABCD 的顶点C 作对角线BD 的垂线与∠BAD 的平分线相交于点E.求证：AC ＝CE.分析：要证AC ＝CE ，可以考虑证明∠E＝∠CAE.∵AE 平分∠BAD，∴∠DAE ＝∠BAE，且∠CAE＝∠DAE－∠DAC.另外一个条件是CE⊥BD，过点A 作AF⊥BD 于点F ，则AF∥CE，可以将∠E 转化为∠FAE，∠FAE ＝∠BAE－∠FAB.现在只要证明∠BAF＝∠DAC 即可，而实际上，∠BAF ＝∠BDA＝∠DAC，问题迎刃而解．五、小结 1．什么叫矩形？2．矩形有哪些性质？3．矩形有几条对称轴？六、课外作业教材第13～14页习题1.4第1～4题．本节课依据新课标的要求，设计的每个环节都是以学生为主体，在学生已有的知识经验的基础上，让学生自己动手探究完成，提高学生的探索创新思维和创造能力．首先，从矩形的定义和平行四边形的性质引入，提出问题，让学生猜想矩形应具有的性质，调动学生的思维积极性，激发探究欲望．教学过程中，先利用平行四边形活动框架，让学生通过观察、测量、思考、讨论等活动，得出矩形的性质．在解决问题的过程中发展了学生的合情推理意识．再引导学生进行推理证明及应用，通过探索证明，发展了学生的思维能力，帮助他们在自主探索与合作交流过程中真正理解和掌握矩形的性质定理，体验数学学习过程中的探索性、挑战性以及推理的严谨性．第2课时矩形的判定1．理解和掌握矩形的判定定理．2．经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力．3．通过对比已学的知识，体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法．重点理解和掌握矩形的判定定理．难点矩形的判定定理的应用．一、情境导入课前准备小木板和橡皮筋，制作一个如图所示的平行四边形活动框架．用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？二、探究新知1．矩形的判定定理1根据上面的实践活动提出问题：(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？(2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？学生讨论交流后回答，教师点评，并归纳：矩形的判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形．矩形的判定定理1的证明过程：(1)学生独立画出图形，在教师引导下写出已知、求证；(2)对比平行四边形和菱形的判定定理的证明，对已知、求证进行分析；(3)请学生交流大体思路；(4)用规范的数学语言写出证明过程；(5)同学之间进行交流，找出自己还存在的问题．2．矩形的判定定理2教师：我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流．学生讨论交流后回答，教师点评，并引导学生归纳：矩形的判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．矩形的判定定理2的证明过程：(1)学生独立画出图形，在教师引导下写出已知、求证；(2)对比平行四边形和菱形的判定定理的证明，对已知、求证进行分析；(3)请学生交流大体思路；(4)用规范的数学语言写出证明过程；(5)同学之间进行交流，找出自己还存在的问题．三、举例分析例1 实际问题：(1)如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是平行四边形？(2)如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是菱形？(3)如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是矩形？学生分小组讨论后回答，教师点评，并总结：先利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”证明是平行四边形，再由“对角线相等的平行四边形是矩形”得证．例2 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB＝4，求▱ABCD的面积．学生独立完成，指名板演，教师点评．四、练习巩固1．教材第16页“随堂练习”．2. 已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, CM∥BD，DM∥AC.求证：四边形OCMD是矩形．五、小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．矩形的判定定理有哪些？六、课外作业教材第16页习题1.5第1～3题．对于本节课的知识，不能机械地照搬教材内容，而应该对教材内容进行再加工，灵活运用，使教材内容得到升华．课堂是学生展示自己的一个舞台，在课堂教学中，给予学生充分的时间和空间展示自己，不仅有利于提高学生学习的积极性，更有利于教师发现学生的独到见解和新思维、新想法，同时还能发现学生存在的问题，这对于课堂教学是非常有利的．几何教学对学生想象能力要求比较高，有些学生在这方面很有优势，而有些学生可能要差一点，课堂教学不能过急．此外，几何教学中要合理把握学生的课堂兴奋点，合理安排时间，力图让学生在注意力最集中时完成最重要的知识内容，掌握本节课重要的学习方法．还要注意的是，不要让思维活跃的学生的回答掩盖了其他学生的疑问，应该争取关注每一个学生．第3课时矩形的性质与判定的应用1．能够运用矩形的性质定理和判定定理解决问题．2．经历矩形的性质与判定的应用过程，发展学生的推理论证能力． 3．通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学的严谨性．重点矩形的性质定理与判定定理的应用． 难点灵活地运用矩形的性质定理与判定定理解决问题．一、复习导入1．如图①，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，已知∠AOD＝ 120°，AB ＝2.5 cm ，则∠DAO＝__________，AC ＝__________ cm ，S 矩形ABCD ＝__________ cm 2.2. 如图②，四边形ABCD 是平行四边形，添加一个条件________________，可使它成为矩形．二、探究新知课件出示：如图，在矩形ABCD 中，AD ＝6，对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为E ，ED ＝3BE.求AE 的长．学生小组合作完成本题的求解，教师点评并板书： 解：∵ 四边形ABCD 是矩形，∴AO ＝BO ＝DO ＝12BD(矩形的对角线相等且互相平分)，∠BAD ＝90°(矩形的四个角都是直角)． ∵ED ＝3BE ， ∴BE ＝OE. 又∵ AE⊥BD， ∴AB ＝AO.∴AB ＝AO ＝BO.即 △ABO 是等边三角形． ∴∠ABO ＝60°.∴∠ADB＝90°－∠ABO＝30°. 在Rt △AED 中， ∵∠ADE ＝30°， ∴AE ＝12AD ＝12×6＝3.注意：本题的解法不唯一，采取小组合作时，应当鼓励学生提出自己不同的意见． 三、举例分析例 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为∠BAC 的平分线，AN 为△ABC 的外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为E.求证：四边形ADCE 是矩形．证明：∵AD 平分∠BAC，AN 平分∠CAM， ∴∠CAD ＝12∠BAC，∠CAN ＝12∠CAM.∴∠DAE ＝∠CAD＋∠CAN ＝12(∠BAC＋∠CAM)＝12×180°＝90°. 在△ABC 中，∵AB ＝AC ，AD 为∠BAC 的平分线， ∴AD ⊥BC. ∴∠ADC ＝90°. 又∵CE⊥AN， ∴∠CEA ＝90°.∴四边形ADCE 为矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)． 四、练习巩固1．在上一题中，条件不变，连接DE ，交AC 于点F(如图①)． (1)试判断四边形ABDE 的形状，并证明你的结论． (2)线段DF 与AB 有怎样的关系？请证明你的结论．图①图②2．如图②，四边形ABCD是由两个全等的等边△ABD和△CBD组成，点M，N分别是BC 和AD的中点．求证：四边形BMDN是矩形．五、小结通过本节课的学习，你有什么收获？还有哪些疑问？六、课外作业教材第18～19页习题1.6第1～5题．本课时，是综合运用矩形的性质定理和判定定理，应给予学生充分的时间和空间展示自己，不仅有利于提高学生学习的积极性，更有利于教师发现学生的独到见解和新思维、新想法，同时还能发现学生存在的问题，这对于课堂教学是非常有利的．在教学过程中，不应加大习题量，题目在精不在多，扎实地讲解和学习比大量练习要有效果得多．把关注学生能力的培养提到首位，达到本节课所要完成的真正目标．3正方形的性质与判定第1课时正方形的定义和性质1．理解正方形的概念和性质定理，通过由一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系．2．在探索正方形的性质定理的过程中，发展学生的合情推理能力．3．培养学生勇于探索、团结协作交流的精神，激发学生学习的积极性与主动性．。
北师大版九年级数学上册(全册)单元教材分析
北师大版九年级数学上册（全册）单元教材分析第一章特殊平行四边形本章的内容包括：菱形的性质与判定；矩形的性质与判定；正方形的性质与判定。
本章在学习了平行四边形的基础上研究特殊的平行四边形。
通过平行四边形角、边的特殊化，研究菱形、矩形和正方形等特殊的平行四边形，认识这些图形的联系与区别，明确它们的内涵与外延。
探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质定理和判定定理，进一步明确命题及其逆命题的关系，不断发展学生的合情推理和演绎推理能力．菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的性质定理和判定定理的研究方法，与平行四边形性质定理和判定定理的研究方法一脉相承。
特殊平行四边形一章在中考中出题的频率较高，主要考查菱形、矩形、正方形的定义、性质和判定，以及利用性质和判定进行相关计算和证明，各种题型均有涉及．近几年，中考中又出现了以特殊平行四边形为背景的开放题、应用题、阅读理解题、学科间综合题、动点问题、折叠问题等热点题型。
第二章一元二次方程本章的主要内容包括：一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法)，一元二次方程根与系数的关系，运用一元二次方程分析和解决实际问题。
其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容。
方程是科学研究中重要的数学思想方法，也是后续内容学习的基础和工具，本章是对一元一次方程知识的延续和深化，同时为二次函数的学习做好准备．联系一元一次方程和函数的基本知识，继续探索实际问题中的数量关系及其变化规律，让学生进一步体会“方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”。
本章是中考考查的重点内容，主要考查一元二次方程的解及其解法、一元二次方程根与系数的关系、建立一元二次方程模型解决实际问题。
第三章概率的进一步认识本章的主要内容包括：用树状图或表格求概率、用频率来估计概率。
七年级已经认识了许多随机事件，理论地研究了一些简单的随机事件发生的可能性。
本章是上述内容的延伸，介绍了两种计算简单事件概率的方法——画树状图法和列表法，以及利用试验频率和理论概率之间的关系，揭示统计推断的一些理论依据，加强概率和统计的联系，加深对概率的理解。
2022秋北师广东九年级数学上册 典中点 第二章综合素质评价
第二章综合素质评价一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是()A．3(x＋1)2＝2(x＋1) B．1x2＋1x－2＝0C．ax2＋bx＋c＝0 D．x2－2x＝x2－12．用配方法解方程x2＋4x＋1＝0时，配方结果正确的是() A．(x＋2)2＝3 B．(x－2)2＝3 C．(x＋2)2＝5 D．(x＋4)2＝153．根据下面表格中的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0，a，b，c为常数)的一个根x的取值范围是()A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.264．某水果种植基地的“1号葡萄”2019年的产量为800吨，2021年的产量为968吨．设这种葡萄产量的年平均增长率为x，则可列方程为()A．800(1－x)2＝968 B．800(1＋x)2＝968C．968(1－x)2＝800 D．968(1＋x)2＝8005．某个三角形的两边的长分别为4和7，第三边的长是方程x2－8x＋12＝0的根，则这个三角形的周长是()A．6 B．13 C．17 D．13或17 6．若一元二次方程x2－8x＋3＝0的两个实数根分别是a，b，则关于x的一次函数y＝abx－a－b的图象一定不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．某超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克．经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销售量减少20千克，现该超市要保证销售这种水果每天可盈利6 000元，每千克应涨价()A．15元或20元B．10元或15元C．10元D．5元或10元8．若关于x的方程m(x＋h)2＋k＝0(m，h，k均为常数，m≠0)的解是x1＝－3，x2＝2，则方程m(x＋h－3)2＋k＝0的解是()A ．x 1＝－6，x 2＝－1B ．x 1＝0，x 2＝5C ．x 1＝－3，x 2＝5D ．x 1＝－6，x 2＝29．已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x >2（x －2），3x －x ＋12≤12a 有且只有4个整数解，且关于x 的一元二次方程(a －2)x 2＋2x ＋1＝0有实数根，则所有满足条件的整数a 的和为( )A ．3B ．5C ．9D ．1010．如果关于x 的方程x 2＋k 2－16＝0和x 2－3k ＋12＝0有相同的实数根，那么k 的值是( )A ．－7B ．－7或4C ．7D ．411．如果方程(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x ＋k 4＝0的三个根可以作为一个三角形的三边的长，那么实数k 的取值范围是( )A ．k ≤4B ．3<k <4C ．3≤k <4D ．3<k ≤412．我国古代数学家赵爽(公元3～4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程(正根)的几何解法．以方程x 2＋2x －35＝0，即x (x ＋2)＝35为例说明，记载的方法如下：构造如图1所示的图形，大正方形的面积是(x ＋x ＋2)2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35＋22，据此易得x ＝5．下列方程中，图2是其几何解法的是( )A ．x 2＋3x －10＝0B ．x 2＋2x －8＝0C ．x 2－4x －5＝0D ．x 2＋5x －6＝0二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 13．已知 3x 2－2x ＝5，则9－6x 2＋4x ＝________．14．已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 是实数，且a ≠0)，若a －b ＋c ＝0，则方程必有一根是________________．15．如图，点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧，且点A 对应的数是2x－1，点B 对应的数是x 2＋x ，已知AB ＝5，则x 的值为________．16．若数a 使关于x 的一元二次方程x 2－2x －6＋a ＝0有两个不相等的实数解，且使关于y 的分式方程a y －1＋31－y＝2的解为非负整数，则满足条件的a 的值为________．17．已知关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0和x 2＋cx ＋d ＝0有一个公共解是x ＝2，且a ≠c ，b ≠d ，b ≠0，d ≠0．下列结论：①c －a b －d 有唯一对应的值12；②a 2＋c 24≤b ＋d ；③x ＝12是一元二次方程(b ＋d )x 2＋(a ＋c )x ＋2＝0的一个解．其中正确结论的序号是________．18．设一元二次方程x 2－2 023x ＋1＝0的两个根分别为a ，b ，记S 1＝11＋a＋11＋b ，S 2＝11＋a 2＋11＋b 2，S 3＝11＋a 3＋11＋b 3，…，S 10＝11＋a 10＋11＋b 10，则S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 10＝________．三、解答题(一)：本大题共2小题，每小题8分，共16分． 19．解方程：(1)x 2－7x ＝8(x －7)； (2)(x ＋8)(x ＋1)＝－12．20．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．(1)求y关于x的函数关系式；(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．21．某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．经市场调查发现，每千克特产每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．若该特产专卖店销售这种特产想要平均每天获利2 240元，且销售量尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？(1)解法1：设每千克特产降价x元，由题意可列方程为______________________；解法2：设每千克特产定价为x元，由题意可列方程为____________________．(2)请你选择(1)中的一种解法，写出完整的解答过程．22．已知x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根，若满足|x1－x2|＝1，则此方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义．解决下列问题：(1)通过计算，判断方程x2－4x－5＝0是否是“差根方程”；(2)已知关于x的方程x2＋2ax＝0是“差根方程”，求a的值；(3)若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0(a，b是常数，a>0)是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．23．已知点P(14，1)，一次函数y＝－x＋a的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．若△ABP的面积为18，求a的值．24．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝16 cm ，BC ＝6 cm ．动点P 从点A 出发，以3 cm/s 的速度向点B 运动，到点B 时停止运动．(1)若动点Q 同时从点C 出发，以2 cm/s 的速度向点D 运动，当点P 停止运动时，点Q 也停止运动，连接PQ ，当运动时间为多少秒时，PQ ＝10 cm ? (2)连接PC ，PD ．①以PC ，PD 为边作平行四边形PDEC ，对角线PE ，CD 的长度能否相等？若能相等，说明点P 的位置；若不能相等，说明理由；②设PC ＝a ，PD ＝b ，当a ，b 满足16a ＝a 2＋60，12b 2＝8b －30时，求PCPD ＋PDPC 的值．答案一、1．A 2．A 3．C 4．B 5．C 6．B 7．D 8．B 9．A 10．D 11．D 12．A二、13．－1 14．x ＝－1 15．1－172 16．1或517．①③18．10 点拨：∵一元二次方程x 2－2 023x ＋1＝0的两个根分别为a ，b ，∴ab ＝1，∴S 1＝11＋a ＋11＋b ＝2＋a ＋b 1＋a ＋b ＋ab ＝2＋a ＋b 1＋a ＋b ＋1＝1，S 2＝11＋a 2＋11＋b 2＝2＋a 2＋b 21＋a 2＋b 2＋a 2b 2＝2＋a 2＋b 21＋a 2＋b 2＋1＝1，S 3＝11＋a 3＋11＋b 3＝2＋a 3＋b 31＋a 3＋b 3＋a 3b 3＝2＋a 3＋b 31＋a 3＋b 3＋1＝1，…，S 10＝11＋a 10＋11＋b 10＝2＋a 10＋b 101＋a 10＋b 10＋a 10b 10＝2＋a 10＋b 101＋a 10＋b 10＋1＝1，∴S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 10＝10．三、19．解：(1)原方程可变形为x 2－7x ＝8x －56．x 2－15x ＋56＝0．(x －7)(x －8)＝0． x －7＝0或x －8＝0，∴x 1＝7，x 2＝8． (2)原方程可化为x 2＋9x ＋20＝0， 即(x ＋4)(x ＋5)＝0． x ＋4＝0或x ＋5＝0． ∴x 1＝－4，x 2＝－5．20．解：(1)依题意得y ＝x (32÷2－x )＝－x 2＋16x ．(2)由(1)知，y ＝－x 2＋16x ．当y ＝60时，－x 2＋16x ＝60，即(x －6)(x －10)＝0． 解得 x 1＝6，x 2＝10，即当x 为6或10时，围成的养鸡场的面积为60平方米． (3)不能围成面积为70平方米的养鸡场．理由如下： 由(1)知，y ＝－x 2＋16x ．当y ＝70时，－x 2＋16x ＝70，即x 2－16x ＋70＝0． 因为Δ＝(－16)2－4×1×70＝－24＜0， 所以该方程无解．即不能围成面积为70平方米的养鸡场．四、21．解：(1)(60－40－x )(100＋10x )＝2 240；(x －40)[100＋10(60－x )]＝2 240(2)选解法1：设每千克特产降价x 元，由题意可列方程为(60－40－x )(100＋10x )＝2 240，解得x 1＝4，x 2＝6．因为要让销售量尽可能大，所以x ＝6，60－6＝54(元)，即每千克特产应定价为54元．(答案不唯一)22．解：(1)设x 3，x 4是一元二次方程x 2－4x －5＝0的两个实数根，∴x 3＋x 4＝4，x 3x 4＝－5．∴|x 3－x 4|＝（x 3 ＋x 4）2－4x 3 x 4 ＝42－4×（－5）＝6． ∴方程x 2－4x －5＝0不是“差根方程”． (2) x 2＋2ax ＝0，因式分解得，x (x ＋2a )＝0， 解得x ＝0或x ＝－2a ．∵关于x 的方程x 2＋2ax ＝0是“差根方程”， 即|0－(－2a )|＝|2a |＝1， ∴2a ＝±1，即a ＝±12．(3)设x 5，x 6是一元二次方程ax 2＋bx ＋1＝0( a ，b 是常数，a >0)的两个实数根，∴x 5＋x 6＝－b a ，x 5x 6＝1a ．∵关于x 的方程ax 2＋bx ＋1＝0( a ，b 是常数，a >0)是“差根方程”， ∴|x 5－x 6|＝1，∴|x 5－x 6|＝（x 5 ＋x 6）2－4x 5 x 6 ＝1，即(－b a )2－4·1a ＝1，∴b 2＝a 2＋4a ．五、23．解：当a ＝0时，△ABP 不存在，所以a ≠0；当点P (14，1)恰好在一次函数y ＝－x ＋a 的图象上，即a ＝15时，△ABP 不存在，所以a ≠15．过点P 作x 轴的垂线，垂足为M (14，0)．①当点A 在线段OM 上(不含点O )，即0<a ≤14时，S △PAB ＝S 梯形PMOB －S △PMA －S △BOA ，即12×14(1＋a )－12(14－a )×1－12a 2＝18， 解得a 1＝3，a 2＝12．②当点A 在点M 右侧，且点P 在直线y ＝－x ＋a 上方，即14<a <15时，S △PAB ＝S 梯形PMOB ＋S △PMA －S △AOB ，即12×14(1＋a )＋12(a －14)×1－12a 2＝18，解得a 1＝3(舍去)，a 2＝12(舍去)．③当点A 在点M 右侧，且点P 在直线y ＝－x ＋a 下方，即a >15时，S △PAB ＝S △BOA －S 梯形PMOB －S △PMA ， 即12a 2－12×14(1＋a )－12(a －14)×1＝18， 解得a 1＝15＋3412，a 2＝15－3412(舍去)．④当点A 在点O 左侧，即a <0时，连接BM ，S △PAB ＝S △PMA ＋S △BMA －S △PMB ，即12(14－a )×1＋12(14－a )×(0－a )－12×1×14＝18，解得a 1＝15－3412， a 2＝15＋3412 (舍去)．综上所述，满足题意的a 的值是3或12或15－3412或15＋3412．24．解：(1)过点Q 作QF ⊥AB 于点F ，易证四边形BCQF 为矩形，∴CQ ＝BF ，QF ＝BC ＝6 cm ．晨鸟教育Earlybird 设运动时间为t s ，由题意得AP ＝3t cm ，BF ＝CQ ＝2t cm ，∴PF ＝AB －AP －BF ＝(16－5t ) cm ．在Rt △PQF 中，PF 2＋QF 2＝PQ 2，即(16－5t )2＋62＝102，解得t 1＝85，t 2＝245．易知0≤t ≤163，∴当运动时间为85s 或245s 时，PQ ＝10 cm ．(2)①能相等．∵四边形PDEC 是平行四边形，PE ＝CD ，∴四边形PDEC 是矩形，∴∠DPC ＝90°．∴DP 2＋PC 2＝CD 2．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠B ＝90°，AD ＝BC ＝6 cm ，CD ＝AB ＝16 cm ．∴DP 2＝AD 2＋AP 2，PC 2＝BP 2＋BC 2．设AP ＝x cm ，则BP ＝(16－x ) cm ，则62＋x 2＋(16－x )2＋62＝162，解得x 1＝8＋2 ，x 2＝8－2 ．∴对角线PE ，CD 的长度相等时，点P 距点A (8＋2)cm 或(8－2)cm ．②由16a ＝a 2＋60得a 2－16a ＋60＝0，由12b 2＝8b －30得b 2－16b ＋60＝0．当a ＝b ，即PC ＝PD 时，PC PD ＋PD PC ＝2；当a ≠b ，即PC ≠PD 时，可将a ，b 看成方程x 2－16x ＋60＝0的两个根，∴a ＋b ＝16，ab ＝60，∴PC PD ＋PD PC ＝a b ＋b a ＝a 2＋b 2ab ＝（a ＋b ）2－2ab ab ＝162－2×6060＝3415． 综上所述，PC PD ＋PD PC 的值为2或3415．。
北师大新版九年级数学上册教案带教学反思 (全册)
1．1菱形的性质与判定第1课时菱形的性质1．通过折、剪纸张的方法，探索菱形独特的性质，理解菱形与平行四边形之间的联系；2．通过学生间的交流、讨论、分析、类比、归纳，运用已学过的知识总结菱形的特征；3．掌握菱形的概念和菱形的性质以及菱形的面积公式的推导．(重点、难点)一、情景导入请看演示：(可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示)如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念．让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子．总结：(1)菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是有一组邻边相等．(2)菱形是特殊的平行四边形，即当一个平行四边形的一组邻边相等时，该平行四边形是菱形．不能忽略平行四边形这一前提，而错误地认为有一组邻边相等的四边形就是菱形．二、合作探究探究点一：菱形的性质【类型一】菱形的四条边相等如图所示，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是()A．10B．12C．15D．20解析：根据菱形的性质可判断△ABD是等边三角形，继而根据AB＝5求出△ABD的周长．∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝AD . 又∵∠A ＝60°， ∴△ABD 是等边三角形， ∴△ABD 的周长＝3AB ＝15. 故选C.方法总结：如果一个菱形的内角为60°或120°，则两边与较短对角线可构成等边三角形，这是非常有用的基本图形．【类型二】 菱形的对角线互相垂直如图所示，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD ＝12cm ，AC ＝6cm ，求菱形的周长．解析：由于菱形的四条边都相等，所以要求其周长就要先求出其边长．由菱形性质可知，其对角线互相垂直平分，因此可以在直角三角形中利用勾股定理进行计算．解：因为四边形ABCD 是菱形， 所以AC ⊥BD ， AO ＝12AC ，BO ＝12BD .因为AC ＝6cm ，BD ＝12cm ， 所以AO ＝3cm ，BO ＝6cm.在Rt △ABO 中，由勾股定理，得AB ＝AO 2＋BO 2＝32＋62＝35(cm)．所以菱形的周长＝4AB ＝4×35＝125(cm)．方法总结：因为菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以菱形的有关计算问题常转化到直角三角形中求解．【类型三】 菱形是轴对称图形如图，在菱形ABCD 中，CE ⊥AB 于点E ，CF ⊥AD 于点F ，求证：AE ＝AF . 解析：要证明AE ＝AF ，需要先证明△ACE ≌△ACF .证明：连接AC .∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC 平分∠BAD ， 即∠BAC ＝∠DAC . ∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD ， ∴∠AEC ＝∠AFC ＝90°. 在△ACE 和△ACF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEC ＝∠AFC ，∠BAC ＝∠DAC ，AC ＝AC ， ∴△ACE ≌△ACF . ∴AE ＝AF .方法总结：菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．探究点二：菱形的面积的计算方法如图所示，在菱形ABCD 中，点O 为对角线AC 与BD 的交点，且在△AOB 中，AB ＝13，OA ＝5，OB ＝12.求菱形ABCD 两对边的距离h .解析：先利用菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半求得菱形的面积，又因为菱形是特殊的平行四边形，其面积等于底乘高，也就是一边长与两边之间距离的乘积，从而求得两对边的距离．解：在Rt △AOB 中，AB ＝13，OA ＝5，OB ＝12，于是S △AOB ＝12OA ·OB ＝12×5×12＝30，所以S 菱形ABCD ＝4S △AOB ＝4×30＝120.又因为菱形两组对边的距离相等， 所以S 菱形ABCD ＝AB ·h ＝13h ， 所以13h ＝120，得h ＝12013.方法总结：菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半．三、板书设计菱形⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形的性质⎩⎪⎨⎪⎧边：对边平行且四条边相等角：对角相等，邻角互补对角线：互相垂直平分，且每一条 对角线都平分一组对角菱形的对称性：菱形是轴对称图形，每条对角线 所在的直线是它的对称轴菱形的面积公式：S ＝底×高＝两条对角线长度 乘积的一半为学生提供动手实践、研究探讨的时间与空间，让学生经历知识发生、发展的全过程，培养学生自主学习、合作学习、主动获取知识的能力，使学生经历实践、推理、交流等数学活动过程，亲身体验数学思想方法及数学观念，培养学生能力，促进学生发展.第2课时 菱形的判定1．理解并掌握菱形的判定方法；(重点)2．灵活运用菱形的判定方法进行有关的证明和计算．(难点)一、情景导入木工在做菱形的窗格时，总是保证四条边框一样长，你知道其中的道理吗？借助以下图形探索：如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，试说明四边形ABCD 是菱形．二、合作探究探究点一：对角线互相垂直的平行四边形是菱形如图所示，ABCD 的对角线BD 的垂直平分线与边AB ，CD 分别交于点E ，F .求证：四边形DEBF 是菱形．解析：本题首先应用到平行四边形的性质，其次应用到菱形的判定方法．要证四边形DEBF 是菱形，可以先证明其为平行四边形，再利用“对角线互相垂直”证明其为菱形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥DC .∴∠FDO ＝∠EBO . 又∵EF 垂直平分BD ， ∴OB ＝OD .在△DOF 和△BOE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠FDO ＝∠EBO ，OD ＝OB ，∠FOD ＝∠EOB ，∴△DOF ≌△BOE (ASA)． ∴OF ＝OE .∴四边形DEBF 是平行四边形． 又∵EF ⊥BD ，∴四边形DEBF 是菱形．方法总结：用此方法也可以说是对角线互相垂直平分的四边形是菱形，但对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须强调对角线是互相垂直且平分的．探究点二：四边相等的四边形是菱形如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6cm ，BC ＝8cm.将△ABC 沿射线BC 方向平移10cm ，得到△DEF ，A ，B ，C 的对应点分别是D ，E ，F ，连接AD .求证：四边形ACFD 是菱形．解析：根据平移的性质可得CF ＝AD ＝10cm ，DF ＝AC ，再在Rt △ABC 中利用勾股定理求出AC 的长为10cm ，就可以根据四边相等的四边形是菱形得到结论．证明：由平移变换的性质得CF ＝AD ＝10cm ，DF ＝AC . ∵∠B ＝90°，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝62＋82＝10(cm)， ∴AC ＝DF ＝AD ＝CF ＝10cm ， ∴四边形ACFD 是菱形．方法总结：当四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便．探究点三：菱形的判定和性质的综合应用如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BE ＝2DE ，延长DE 到点F ，使得EF ＝BE ，连接CF .(1)求证：四边形BCFE 是菱形； (2)若CE ＝4，∠BCF ＝120°，求菱形BCFE 的面积． (1)证明：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点， ∴DE ∥BC 且2DE ＝BC . 又∵BE ＝2DE ，EF ＝BE ， ∴EF ＝BC ，EF ∥BC ，∴四边形BCFE 是平行四边形． 又∵EF ＝BE ，∴四边形BCFE 是菱形； (2)解：∵∠BCF ＝120°，∴∠EBC ＝60°， ∴△EBC 是等边三角形， ∴菱形的边长为4，高为23， ∴菱形的面积为4×23＝8 3.方法总结：判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以尝试证出这个四边形是平行四边形，然后用定义法或判定定理1来证明菱形．三、板书设计菱形的判 定⎩⎪⎨⎪⎧有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）四边相等的四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直平分的四边形是菱形经历菱形的证明、猜想的过程，进一步提高学生的推理论证能力，体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学方法．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.1．2矩形的性质与判定第1课时矩形的性质1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系；(重点)2．会运用矩形的概念和性质来解决有关问题．(难点)一、情景导入1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片(推拉门、活动衣架、篱笆、井架等)，想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？(动画演示拉动过程如图)3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形(小学学过的长方形)，引出本课题及矩形定义．矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都是矩形．有一个角是直角的平行四边形是矩形．矩形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质．二、合作探究探究点一：矩形的性质【类型一】矩形的四个角都是直角如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC.若BE＝4，AC＝15，则△AEC的面积为()A．15B．30C．45D．60解析：如图，过E 作EF ⊥AC ，垂足为F . ∵AE 平分∠BAC ，EF ⊥AC ，BE ⊥AB ， ∴EF ＝BE ＝4，∴S △AEC ＝12AC ·EF ＝12×15×4＝30.故选B.方法总结：矩形的四个角都是直角，常作为证明或求值的隐含条件．【类型二】 矩形的对角线相等如图所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOD ＝60°，AD ＝2，则AC的长是( )A ．2B ．4C ．2 3D ．4 3解析：根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC ＝OD ＝OA ＝12AC ，由∠AOD ＝60°得△AOD 为等边三角形，即可求出AC 的长．∵四边形ABCD 为矩形，∴AC ＝BD ，OA ＝OC ＝12AC ，OD ＝OB ＝12BD ，∴OA ＝OD .∵∠AOD ＝60°， ∴△AOD 为等边三角形， ∴OA ＝OD ＝2，∴AC ＝2OA ＝4. 故选B.方法总结：矩形的两条对角线互相平分且相等，即对角线把矩形分成四个等腰三角形，当两条对角线的夹角为60°或120°时，图中有等边三角形，从而可以利用等边三角形的性质解题．探究点二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如图，已知BD ，CE 是△ABC 不同边上的高，点G ，F 分别是BC ，DE 的中点，试说明GF ⊥DE .解析：本题的已知条件中已经有直角三角形，有斜边上的中点，由此可联想到应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理．解：连接EG ，DG .∵BD ，CE 是△ABC 的高， ∴∠BDC ＝∠BEC ＝90°. ∵点G 是BC 的中点， ∴EG ＝12BC ，DG ＝12BC .∴EG ＝DG .又∵点F 是DE 的中点， ∴GF ⊥DE .方法总结：在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题．探究点三：矩形的性质的应用【类型一】 利用矩形的性质求有关线段的长度如图，已知矩形ABCD 中，E 是AD 上的一点，F 是AB 上的一点，EF ⊥EC ，且EF ＝EC ，DE ＝4cm ，矩形ABCD 的周长为32cm ，求AE 的长．解析：先判定△AEF ≌△DCE ，得CD ＝AE ，再根据矩形的周长为32列方程求出AE 的长．解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝∠D ＝90°， ∴∠CED ＋∠ECD ＝90°. 又∵EF ⊥EC ，∴∠AEF ＋∠CED ＝90°， ∴∠AEF ＝∠ECD . 而EF ＝EC ，∴△AEF ≌△DCE ，∴AE ＝CD . 设AE ＝x cm ，∴CD ＝x cm ，AD ＝(x ＋4)cm ， 则有x ＋4＋x ＝16，解得x ＝6. 即AE 的长为6cm.方法总结：矩形的各角为直角，常作为全等的一个条件用来证三角形全等，可借助直角的条件解决直角三角形中的问题．【类型二】 利用矩形的性质求有关角度的大小如图，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，∠DAE ：∠BAE ＝3：1，求∠BAE 和∠EAO的度数．解析：由∠BAE 与∠DAE 之和为90°及这两个角之比可求得这两个角的度数，从而得∠ABO 的度数，再根据矩形的性质易得∠EAO 的度数．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°， AO ＝12AC ，BO ＝12BD ，AC ＝BD ，∴∠BAE ＋∠DAE ＝90°，AO ＝BO . 又∵∠DAE ：∠BAE ＝3：1， ∴∠BAE ＝22.5°，∠DAE ＝67.5°. ∵AE ⊥BD ， ∴∠ABE ＝90°－∠BAE ＝90°－22.5°＝67.5°， ∴∠OAB ＝∠ABE ＝67.5° ∴∠EAO ＝67.5°－22.5°＝45°.方法总结：矩形的性质是证明线段相等或倍分、角的相等与求值及线段平行或垂直的重要依据．【类型三】 利用矩形的性质求图形的面积如图所示，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB 、CD 于E 、F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的( )A.15B.14C.13D.310解析：由四边形ABCD 为矩形，易证得△BEO ≌△DFO ，则阴影部分的面积等于△AOB 的面积，而△AOB 的面积为矩形ABCD 面积的14，故阴影部分的面积为矩形面积的14.故选B.方法总结：求阴影部分的面积时，当阴影部分不规则或比较分散时，通常运用割补法将阴影部分转化为较规则的图形，再求其面积．【类型四】 矩形中的折叠问题如图，将矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C ′处，BC ′交AD 于点E ，AD＝8，AB ＝4，求△BED 的面积．解析：这是一道折叠问题，折后的图形与原图形全等，从而得知△BCD ≌△BC ′D ，则易得BE ＝DE .在Rt △ABE 中，利用勾股定理列方程求出BE 的长，即可求得△BED 的面积．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠A ＝90°， ∴∠2＝∠3.又由折叠知△BC ′D ≌△BCD ， ∴∠1＝∠2.∴∠1＝∠3.∴BE ＝DE .设BE ＝DE ＝x ，则AE ＝8－x .∵在Rt △ABE 中，AB 2＋AE 2＝BE 2， ∴42＋(8－x )2＝x 2.解得x ＝5， 即DE ＝5.∴S △BED ＝12DE ·AB ＝12×5×4＝10.方法总结：矩形的折叠问题是常见的问题，本题的易错点是对△BED 是等腰三角形认识不足，解题的关键是对折叠后的几何形状要有一个正确的分析．三、板书设计矩形⎩⎪⎨⎪⎧矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形矩形的性质⎩⎪⎨⎪⎧四个角都是直角两组对边分别平行且相等对角线互相平分且相等经历矩形的概念和性质的探索过程，把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形的概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形．培养学生的推理能力以及自主合作精神，掌握几何思维方法，体会逻辑推理的思维价值.第2课时矩形的判定1．理解并掌握矩形的判定方法；(重点)2．能熟练掌握矩形的判定及性质的综合应用．(难点)一、情景导入小明想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框？看看谁的方法可行！二、合作探究探究点一：对角线相等的平行四边形是矩形如图所示，外面的四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，里面的四边形MPNQ的四个顶点都在矩形ABCD的对角线上，且AM＝BP＝CN＝DQ.求证：四边形MPNQ是矩形．解析：要证明四边形MPNQ是矩形，应先证明它是平行四边形，由已知可再证明其对角线相等．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵AM＝BP＝CN＝DQ，∴OM＝OP＝ON＝OQ.∴四边形MPNQ是平行四边形．又∵OM＋ON＝OQ＋OP，∴MN＝PQ.∴平行四边形MPNQ是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．方法总结：在判断四边形的形状时，若已知条件中有对角线，可首先考虑能否用对角线的条件证明矩形．探究点二：有三个角是直角的四边形是矩形如图，GE ∥HF ，直线AB 与GE 交于点A ，与HF 交于点B ，AC 、BC 、BD 、AD分别是∠EAB 、∠FBA 、∠ABH 、∠GAB 的平分线，求证：四边形ADBC 是矩形．解析：利用已知条件，证明四边形ADBC 有三个角是直角．证明：∵GE ∥HF ，∴∠GAB ＋∠ABH ＝180°.∵AD 、BD 分别是∠GAB 、∠ABH 的平分线， ∴∠1＝12∠GAB ，∠4＝12∠ABH ，∴∠1＋∠4＝12(∠GAB ＋∠ABH )＝12×180°＝90°，∴∠ADB ＝180°－(∠1＋∠4)＝90°.同理可得∠ACB ＝90°.又∵∠ABH ＋∠FBA ＝180°， ∠4＝12∠ABH ，∠2＝12∠FBA ，∴∠2＋∠4＝12(∠ABH ＋∠FBA )＝12×180°＝90°，即∠DBC ＝90°.∴四边形ADBC 是矩形．方法总结：矩形的判定方法和矩形的性质是相辅相成的，注意它们的区别和联系，此判定方法只要说明一个四边形有三个角是直角，则这个四边形就是矩形．探究点三：有一个角是直角的平行四边形是矩形如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF ＝BD .连接BF .(1)BD 与DC 有什么数量关系？请说明理由；(2)当△ABC 满足什么条件时，四边形AFBD 是矩形？并说明理由．解析：(1)根据“两直线平行，内错角相等”得出∠AFE ＝∠DCE ，然后利用“AAS ”证明△AEF 和△DEC 全等，根据“全等三角形对应边相等”可得AF ＝CD ，再利用等量代换即可得BD ＝CD ；(2)先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFBD 是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知∠ADB ＝90°.由等腰三角形三线合一的性质可知△ABC 满足的条件必须是AB ＝AC .解：(1)BD ＝CD .理由如下： ∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE . ∵E 是AD 的中点， ∴AE ＝DE .在△AEF 和△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠DCE ，∠AEF ＝∠DEC ，AE ＝DE ，∴△AEF ≌△DEC (AAS)，∴AF ＝DC . ∵AF ＝BD ， ∴BD ＝DC ；(2)当△ABC 满足AB ＝AC 时，四边形AFBD 是矩形．理由如下： ∵AF ∥BD ，AF ＝BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形． ∴AB ＝AC ，BD ＝DC ， ∴∠ADB ＝90°.∴四边形AFBD 是矩形．方法总结：本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．三、板书设计矩形的判定⎩⎪⎨⎪⎧对角线相等的平行四边形是矩形三个角是直角的四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）通过探索与交流，得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的发生过程，并会运用定理解决相关问题．通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法．通过动手实践、合作探索、小组交流，培养学生的逻辑推理能力.1．3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质1．了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理；(重点)2．会利用正方形的性质进行相关的计算和证明．(难点)一、情景导入如图(1)所示，把可以活动的矩形框架ABCD的BC边平行移动，使矩形的邻边AD，DC相等，观察这时矩形ABCD的形状．如图(2)所示，把可以活动的菱形框架ABCD的∠A变为直角，观察这时菱形ABCD的形状．图(1)中图形的变化可判断矩形ABCD→特殊的四边形是什么四边形？图(2)中图形变化可判断菱形ABCD→特殊的四边形是什么四边形？经过观察，你发现既是矩形又是菱形的图形是什么四边形？引入正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．注意：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，即：有一组邻边相等的矩形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形．二、合作探究探究点一：正方形的性质如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.在Rt△AOD中，由勾股定理，得AD＝OA2＋OD2＝22＋22＝8.∴正方形的周长为4AD＝48＝82，面积为AD2＝(8)2＝8.方法总结：结合勾股定理，充分利用正方形的四边相等、四角相等、对角线相等且互相垂直平分的性质，是解决与正方形有关的题目的关键．探究点二：正方形的性质的应用【类型一】利用正方形的性质求角度四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，求∠BEC的大小．解析：等边△ADE可以在正方形的内部，也可以在正方形的外部，因此本题分两种情况．解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部．【类型二】利用正方形的性质求线段长如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．解析：线段BE是Rt△ABE的一边，但由于AE未知，不能直接用勾股定理求BE，由条件可证△ABE≌△AFE，问题转化为求EF的长，结合已知条件易获解．解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.又∵∠ECF＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE，∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.∴FC＝BE.在Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝12＋12＝2(cm)，∴FC＝AC－AF＝2－1(cm)，∴BE＝2－1(cm)．方法总结：正方形被对角线分成4个等腰直角三角形，因此在正方形中解决问题时常用到等腰三角形的性质与直角三角形的性质．【类型三】利用正方形的性质证明线段相等如图，已知过正方形ABCD的对角线BD上一点P，作PE⊥BC于点E，PF⊥CD 于点F，求证：AP＝EF.解析：由PE⊥BC，PF⊥CD知四边形PECF为矩形，故有EF＝PC，这时只需说明AP ＝CP，由正方形对角线互相垂直平分可知AP＝CP.证明：连接AC，PC，如图．∵四边形ABCD为正方形，∴BD垂直平分AC，∴AP＝CP.∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，∴四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，∴AP＝EF.方法总结：(1)在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等；(2)无论是正方形还是矩形，经常连接对角线，这样可以使分散的条件集中．三、板书设计正方形⎩⎪⎨⎪⎧正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做 正方形正方形的性质⎩⎪⎨⎪⎧四个角都是直角四条边都相等对角线相等且互相垂直平分经历正方形有关性质的探索过程，把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容．在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法．培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值．第2课时 正方形的判定1．掌握正方形的判定方法；(重点)2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算．(难点)一、情景导入我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入下图中．通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱形都是特殊的平行四边形．1．怎样判断一个四边形是矩形？ 2．怎样判断一个四边形是菱形？3．怎样判断一个四边形是平行四边形？ 4．怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？议一议：你有什么方法判定一个四边形是正方形？二、合作探究探究点一：正方形的判定【类型一】先证明是矩形再证明是正方形已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．解析：欲证明四边形CEDF是正方形，先根据∠C＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC，证明四边形CEDF是矩形，再证明一组邻边相等即可．证明：如图所示，过点D作DG⊥AB于点G.∵DF⊥AC，DE⊥BC，∴∠DFC＝∠DEC＝90°.又∠C＝90°，∴四边形CEDF是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)．∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，∴DF＝DG.同理可得DE＝DG.∴DE＝DF.∴四边形CEDF是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)．方法总结：正方形的判定方法有很多，可以先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等．【类型二】先证明是菱形再证明是正方形如图，EG，FH过正方形ABCD的对角线的交点O，且EG⊥FH.求证：四边形EFGH 是正方形．解析：已知EG⊥FH，要证四边形EFGH为正方形，则只需要证四边形的对角线EG，HF互相平分且相等即可，根据题意可通过三角形全等来证OE＝OH＝OG＝OF.证明：∵四边形ABCD为正方形，∴OB＝OC，∠ABO＝∠BCO＝45°，∠BOC＝90°＝∠COH＋∠BOH.∵EG⊥FH，∴∠BOE＋∠BOH＝90°，∴∠COH＝∠BOE，∴△CHO≌△BEO，∴OE＝OH.同理可证：OE＝OF＝OG，∴OE＝OF＝OG＝OH.又∵EG⊥FH，∴四边形EFGH为菱形．∵EO＋GO＝FO＋HO，即EG＝HF，∴四边形EFGH为正方形．方法总结：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．探究点二：正方形、菱形、矩形与平行四边形之间的关系填空：(1)对角线________________的四边形是矩形；(2)对角线____________的平行四边形是矩形；(3)对角线__________的平行四边形是正方形；(4)对角线________________的矩形是正方形；(5)对角线________________的菱形是正方形．解：(1)相等且互相平分(2)相等(3)垂直且相等(4)垂直(5)相等方法总结：从对角线上分析特殊四边形之间的关系应充分考虑特殊四边形的性质与判别，防止混淆．菱形、矩形、正方形都是平行四边形，且是特殊的平行四边形，特殊之处在于：矩形是有一个角为直角的平行四边形；菱形是有一组邻边相等的平行四边形；而正方形是兼具两者特性的更特殊的平行四边形，它既是矩形，又是菱形．三、板书设计经历正方形判定条件的探索过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法．理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点.2．1 认识一元二次方程 第1课时 一元二次方程1．了解一元二次方程的概念；(重点)2．掌握一元二次方程的一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)，能分清二次项、一次项与常数项以及二次项系数、一次项系数等，会把一元二次方程化成一般形式；(重点)3．能根据具体问题的数量关系，建立方程的模型．(难点)一、情景导入一个面积为120m 2的矩形苗圃，它的长比宽多2m ，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为x m ，则长为(x ＋2)m. 根据题意，得x (x ＋2)＝120. 所列方程是否为一元一次方程？(这个方程便是即将学习的一元二次方程．) 二、合作探究探究点一：一元二次方程的概念 【类型一】 判定一元二次方程下列方程中，是一元二次方程的是________(填入序号即可)． ①y 24－y ＝0；②2x 2－x －3＝0；③1x 2＝3； ④x 2＝2＋3x ；⑤x 3－x ＋4＝0；⑥t 2＝2； ⑦x 2＋3x －3x＝0；⑧x 2－x ＝2.。
北师大版九年级数学上册说课稿：4.1成比例线段
北师大版九年级数学上册说课稿：4.1 成比例线段一. 教材分析北师大版九年级数学上册的“4.1 成比例线段”一节，是在学生已经掌握了比例的性质，以及线段的基本知识的基础上进行的一节内容。
这一节主要向学生介绍成比例线段的定义及其性质，以及如何通过成比例线段来解决一些实际问题。
教材通过生活中的实例，引出成比例线段的定义，接着通过大量的练习，让学生加深对成比例线段的理解。
在这一节的内容中，学生需要掌握成比例线段的定义，以及如何判断两条线段是否成比例，同时，还需要学会如何通过成比例线段来解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于比例的性质和线段的知识有一定的了解。
但是，对于成比例线段的定义及其应用，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将会以学生已有的知识为基础，引导学生逐步理解成比例线段的定义，并通过大量的练习，让学生掌握成比例线段的性质和应用。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：理解成比例线段的定义，掌握成比例线段的性质，能够判断两条线段是否成比例，并能够运用成比例线段来解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生体验到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：成比例线段的定义及其性质。
2.教学难点：如何判断两条线段是否成比例，以及如何运用成比例线段来解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等，引导学生主动探究，积极参与。
2.教学手段：利用多媒体课件，为学生提供丰富的学习资源，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入：通过生活中的实例，引出成比例线段的定义。
2.新课导入：讲解成比例线段的性质，让学生通过观察、操作、思考，理解并掌握成比例线段的性质。
3.练习巩固：布置一些相关的练习题，让学生通过练习，加深对成比例线段的理解。
2022秋北师广东版九年级数学上册 典中点 第五章综合素质评价
第五章综合素质评价一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．1．下列影子不是中心投影的是()A．皮影戏中的影子B．晚上在房间内墙上的手影C．舞厅中霓虹灯下物体的影子D．太阳光下林荫道上的树影2．如图①②③④是一天中四个不同时刻的木杆在地面上的影子，将它们按时间先后顺序排列正确的一项是()A．①②③④B．④③①②C．②③①④D．③①④②3．把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是()4．如图是由几个大小相同的小立方块搭成的几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是()5．在阳光的照射下，一块三角板的投影不会是()A．线段B．与三角板全等的三角形C．变形的三角形D．点6．桌面(中间有一个直径为0.4 m的圆洞)正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为1.2 m，桌面离地面1 m，若灯泡离地面3 m，则地面上圆环形阴影的面积是()A．0.324π m2B．0.288π m2C．1.08π m2D．0.72π m27．如图，白炽灯下有一个乒乓球，当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上的影子()A．越大B．越小C．大小不变D．无法确定8．如图，太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一个球上，球在地面上的投影长是10 3，则球的直径是()A．5 3 cm B．15 cm C．10 cm D．8 3 cm9．如图，在一条笔直的小路上有一盏路灯，晚上小雷从点B处径直走向点A 处，小雷在路灯照射下的影长y与行走的路程x之间的函数图象大致是()10．如图，一人在两等高的路灯之间走动，GB为人AB在路灯EF照射下的影子，BH为人AB在路灯CD照射下的影子．当人从点C走向点E时两段影子之和GH的变化趋势是()A．先变长后变短B．先变短后变长C．不变D．先变短后变长，再变短11．如图，在平面直角坐标系中，点P(2，2)是一个光源．木杆两端A，B的坐标分别为(0，1)，(3，1)．则木杆AB在x轴上的投影长为()A．3 B．5 C．6 D．712．如图是一个几何体的三视图，主视图与左视图完全一样，则该几何体的表面积是()A．80－2π B．80＋4π C．80 D．80＋6π二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．13．如图，小明在A时测得某树的影长为2 m，B时测得该树的影长为8 m，若两次日照的光线互相垂直，则该树的高度为________m．14．如图，一块直角三角形木板ABC，∠ACB＝90°，BC＝12 cm，AC＝8 cm，测得BC边的中心投影B1C1的长为24 cm，则A1B1的长为________cm．15．在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10 m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20 m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车车尾x m，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8 m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2 m，若小张能看到整个红灯，则x的最小值为______．16．如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的基础上(不改变原有小立方块的位置)，继续添加相同的小立方块，使得搭成一个大正方体，至少还需要______个小立方块．17．如图所示是某种型号的正六角螺母毛坯的三视图，则它的表面积为________cm2．18．如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子AC(AC＞AB)，在木杆绕点A按逆时针方向旋转直至到达地面的过程中，其影子的长度发生变化．已知AE＝5 m，在旋转过程中，木杆影子长度的最大值为5 m，最小值为3 m，且影子长度最大时，木杆与光线垂直，则路灯EF的高度为________．三、解答题(一)：本大题共2小题，每小题8分，共16分．19．如图是一个正三棱柱及其俯视图．(1)作出该正三棱柱的主视图和左视图；(2)若AC＝2，AA′＝3，求左视图的面积．20．一透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α(∠CBE＝α，如图1所示)，此时液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，三视图及尺寸如图2所示，当正方体平放(面ABCD在桌面上)时，求此时液体的深度．四、解答题(二)：本大题共2小题，每小题10分，共20分．21．如图所示，有4张除了正面图案不同，其余都相同的图片．(1)以上四张图片所示的立体图形中，主视图是矩形的有________；(填字母序号)(2)将这四张图片背面朝上混匀，从中随机抽出一张后放回，混匀后再随机抽出一张．求两次抽出的图片所示的立体图形的主视图都是矩形的概率．22．为加快新农村建设，某市投入资金建设新型农村社区．如图为农村社区内的两幢楼，它们的高AB＝CD＝30 m，现需了解甲楼对乙楼采光情况的影响．当太阳光线与水平线的夹角为30°时，试求：(1)若两楼间的距离AC＝24 m，则甲楼落在乙楼上的影子有多高；(结果保留根号)(2)若甲楼的影子刚好不影响乙楼，则两楼之间的距离应当有多远？(结果保留根号)五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分．23．在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米(如图1)．小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图2)，测得墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．小丽：发现丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上(如图3)，测得台阶上的水平影长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米．小明：测得丁树落在水平地面上的影长为2.4米，落在坡面上的影长为3．2米(如图4)．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落在坡面上，小芳测得他的影长为2米．(1)甲树的高度为________米；(2)求出乙树的高度(画出示意图)；(3)丙树的高度为________；(填字母序号)A．6.5米B．5.75米C．6.05米D．7.25米(4)请计算出丁树的高度．24．某兴趣小组开展课外活动．如图，小明从点M出发以1.5米/秒的速度，沿射线MN方向匀速前进，2秒后到达点B，此时他在某一灯光下的影子为MB，继续按原速前进2秒到达点D，此时他在同一灯光下的影子GD 仍落在其身后，并测得GD长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再前进2秒到达点F，图中线段AB，CD，EF表示小明的身高．(1)请在图中画出光源点O的位置，并画出小明到达点F时在这个灯光下的影子FH(不写画法)；(2)求小明到达点F时在这个灯光下的影子FH的长．答案 一、1．D 2．B 3．A 4．C 5．D 6．D 7．A 8．B 9．C 10．C11．C12．B 点拨：由三视图可知，该几何体由一个长方体中间挖去一个圆柱后所得，长方体的长，宽，高分别为4，4，3，圆柱的底面圆直径为2，高为3，长方体表面积：4×4×2＋4×3×4＝80，圆柱侧面积：2π×3＝6π，上、下底面圆面积：2×⎝ ⎛⎭⎪⎫222×π＝2π， ∴这个几何体的表面积是80＋6π－2π＝80＋4π．二、13．414．813 点拨：∵∠ACB ＝90°，BC ＝12 cm ，AC ＝8 cm ，∴AB ＝413 cm ．∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，B 1C 1＝24 cm ，∴A 1B 1 ∶AB ＝B 1C 1 ∶BC ＝2 ∶1，∴A 1B 1＝813 cm ．15．10 16．54 17．(123＋36) 18．7.5 m三、19．解：(1)作图如下：(2)如图，过点B 作BD ⊥AC 于点D ，∵AC ＝2，∴AD＝1，AB＝AC＝2，∴BD＝3，则左视图的面积为3×3＝33．20．解：由题图可知CQ＝5 dm，BC＝AB＝4 dm，∠QBC＝90°，∴BQ＝CQ2－BC2＝52－42＝3(dm)，∴液体的体积V液＝12×3×4×4＝24(dm3)，∴此时液体的深度是24÷(4×4)＝1.5(dm)．四、21．解：(1)B，D(2)列表如下：由表可知，共有16种等可能的结果，其中两次抽出的图片所示的立体图形的主视图都是矩形的有4种，分别是(B，B)，(B，D)，(D，B)，(D，D)，所以两次抽出的图片所示的立体图形的主视图都是矩形的概率为416＝14．22．解：(1)∵AB＝CD＝30 m，BA⊥AC，CD⊥AC，∴四边形ABDC是矩形．∴BD＝AC＝24 m，∠BDE＝90°．∵∠DBE＝30°，∴设DE＝x m，则BE＝2x m．∴在Rt△BDE中，BD＝BE2－DE2＝（2x）2－x2＝3x(m)．∴3x＝24，解得x＝83，即DE＝83m．∴EC＝CD－DE＝(30－83)m，即甲楼落在乙楼上的影子有(30－83)m高．(2)如图，当太阳光照射到点C时，甲楼的影子刚好不影响乙楼．在Rt △ABC 中，AB ＝30 m ，∠ACB ＝30°，∴BC ＝2AB ＝60 m ．由勾股定理得AC ＝BC 2－AB 2＝602－302＝303(m)．∴若甲楼的影子刚好不影响乙楼，则两楼之间的距离应当有30 3 m 远．五、23．解：(1)5. 1(2)如图1，设AB 为乙树，BC 为乙树落在地面上的影子，CD 为乙树落在墙壁上的影子．AD ，EC 为太阳光线．则BC ＝2.4米，CD ＝1.2米．易得四边形AECD 是平行四边形．∴AE ＝CD ＝1.2米，由题意知，BE BC ＝10.8，即BE 2.4＝10.8，解得BE＝3米，∴AB ＝AE ＋BE ＝4.2米；(3)C(4)如图2：设MN 为丁树，MQ 为丁树落在水平地面上的影子，QP 为丁树落在坡面上的影子，NP ，GQ 为太阳光线．过点Q 作QH ∥MN ，交NP 于点 H ．则MQ ＝2.4米，QP ＝3.2米．易得四边形NGQH 是平行四边形．∴NG ＝QH ．由题意知，GM MQ ＝10.8，即GM 2.4＝10.8，解得GM ＝3米．由题意知，QH QP ＝1.62，即QH 3.2＝1.62，解得QH ＝2．56米，∴NG ＝2.56米，∴MN ＝NG ＋GM ＝5.56米．故丁树的高度为5.56米．24．解：(1)如图，点O和FH为所作；(2)由题意可得MB＝BD＝2×1.5＝3 m，GD＝1.2 m，DF＝1.5×1.5×2＝4.5(m)，设AB＝CD＝EF＝a m，作OK⊥MN于K，如图，∵AB∥OK，∴△MAB∽△MOK，∴ABOK＝MBMK，即aOK＝36＋DK①．∵CD∥OK，∴△GCD∽△GOK，∴CDOK＝GDGK，即aOK＝1.21.2＋DK②．由①②得36＋DK＝1.21.2＋DK，∴DK＝2 m．∴aOK＝36＋2＝38，FK＝DF－DK＝4.5－2＝2.5(m)．∵EF∥OK，∴△HEF∽△HOK，∴aOK＝FHKH，即FHFH＋2.5＝38，∴FH＝1.5 m．答：小明到达点F时在这个灯光下的影子FH的长为1.5 m．。
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评测练习1.如图1，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的一个条件是.2.能够判断一个四边形是矩形的条件是（）图1 A.对角线相等B.对角线垂直C.对角线互相平分且相等D.对角线垂直且相等3.下列能使平行四边形ABCD是矩形的条件是（）A. AB=CDB.AC⊥BDC. ∠ABC=90°D.AD=BC4.已知：如图2，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB=MC，求证：四边形ABCD是矩形.图2效果分析本节课从学生熟悉的生活中的平行四边形图片出发，引导学生找出常见的平行四边形有哪些，然后引导学生尝试着对这些图形进行分类，从而比较直观地展现出四边形、平行四边形、特殊的平行四边形之间的关系。
之后，通过独立思考与小组活动，引导学生尝试用自己的语言根据矩形相对于一般平行四边形的特殊之处描述矩形的定义，充分调动学生的学习积极性，激发学生的学习兴趣，让学生在操作过程中探究出矩形的特殊性，从而从多角度得出矩形的定义，使复杂问题简单化。
练习和作业的设置在考虑落实知识点的基础上，也充分考虑到知识的应用性、层次性和开放性，正确处理好传授知识与培养能力的关系，把学好基础知识、培养能力和学生数学思维的发展结合起来，为学生的发展创造了更广阔的思维空间；通过学生代表讲解可以培养学生的语言表达能力，引导学生分享自己的解题经验。
在整节课的设计中，突出了学生自主探索的过程，定义的探究是通过学生的观察、操作、交流等过程展开的，在活动中让学生顺理成章地发现结论，突出了知识的形成过程，矩形判定定理是通过严格的逻辑推理证明的，在过程中让学生较自然的获取知识，训练思维和培养自主学习的习惯。
另外，我创造性地使用教材，引导学生发现如果把判定定理作为矩形定义，那么定义本身就成了判定，旨在开拓学生思维，培养学生自信心与自主学习能力。
初中数学课堂教学评价表听课人王彬评价项目评价指标符合程度A B C D教学目标10分①符合“课程标准”的规定和学生的实际情况，目标明确，要求具体、切合实际。
九年级数学上学期课程纲要(北师大新版)
《九年级数学上学期》课程纲要课程名称：九年级数学（上册）教学材料：北京师范大学出版社义务教育教科书授课时间：50--55课时授课教师：李强窦松斌张慧玲授课对象：九年级课程目标：第一章特殊平行四边形1．探索并掌握菱形的判定方法，积累经验，并能综合运用，形成解决问题的能力。
2．理解并掌握矩形的判定方法。
3．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力。
4．知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算.第二章一元二次方程1.了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法，公式法，分解因式法解简单的一元二次方程（数字系数）.2.能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果合理性.3.经历在具体情境中估计一元二次方程解的过程，发展估算能力.第三章概率的进一步认识1.进一步经历用树状图、列表法计算两步随机实验的概率．能力训练要求。
2.经历实验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。
3.通过实验，理解当实验次数较大时实验频率稳定于理论频率，并据此估计某一事件发生的概率。
第四章图形的相似1.知道两条线段的比的概念并且会计算两条线段的比..2.知道成比例线段的定义.熟记比例的性质并会应用.3.了解平行线分线段成比例定理4.会用平行线分线段成比例定理解决实际问题5.使学生理解相似多边形的定义，掌握定义中的两个条件，理解相似比的意义．6.了解相似三角形判定定理7.会证明相似三角形判定定理8.通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验.9.熟悉测量工具的使用技能，了解小镜子使用的物理原理.10.相似三角形的周长比，面积比与相似比的关系.11.相似三角形的周长比，面积比在实际中的应用.12.似图形的性质和以坐标原点为位似中心的位似变换的性质。
13.位似将一个图形放大或缩小。