相似三角形存在性探究
相似三角形的存在性问题
相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。
难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．【解题攻略】相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。
应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．【解题类型及其思路】相似三角形存在性问题需要注意的问题：1、若题目中问题为△ABC∽△DEF ，则对应线段已经确定。
2、若题目中为△ABC与△DEF相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC∽△DEF ,②△ABC∽△FDE、③△ABC∽△EFD、3、若题目中为△ABC与△DEF并且有∠A、∠D（或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC∽△DEF ，②、△ABC∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。
【典例指引】类型一 【确定符合相似三角形的点的坐标】典例指引1．（2017年湖北鄂州中考）已知，抛物线23y ax bx =++（a ＜0）与x 轴交于A （3，0）、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴是直线x =1，D 为抛物线的顶点，点E 在y 轴C 点的上方，且CE =12． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）求证：直线DE 是△ACD 外接圆的切线；（3）在直线AC 上方的抛物线上找一点P ，使12PAC ACD S S ∆∆=，求点P 的坐标； （4）在坐标轴上找一点M ，使以点B 、C 、M 为顶点的三角形与△ACD 相似，直接写出点M 的坐标．【举一反三】（2017年山东省济宁附中二模）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，（点A 在点B的左侧），与直线AC交于点C（2，3），直线AC与抛物线的对称轴l相交于点D，连接BD．（1）求抛物线的函数表达式，并求出点D的坐标；（2）如图2，若点M、N同时从点D出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿DA、DB运动，连接MN，将△DMN沿MN翻折，得到△D′MN，判断四边形DMD′N的形状，并说明理由，当运动时间t为何值时，点D′恰好落在x轴上？（3）在平面内，是否存在点P（异于A点），使得以P、B、D为顶点的三角形与△ABD相似（全等除外）？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．类型二【确定符合相似三角形的动点的运动时间或路程等】典例指引2．（2017年广东省深圳市模拟）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线2=++经过O，D，C三点.y ax bx c(1)求AD的长及抛物线的解析式；(2)一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ADE相似？(3)点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.本题考查了二次函数综合题，题目涉及了图形的折叠变换、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等重点知识．后两问的情况较多，需要进行分类讨论，以免漏解．【举一反三】（2017年云南昆明市官渡区一中模拟）如图,已知一次函数y=0.5x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,二次函数y=0.5x2+bx+c的图象与一次函数y=0.5x+1的图象交于点B、C两点,与x轴交于D、E两点,且D 点坐标为（1,0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在在x轴上有一动点P，从O点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动，是否存在动点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P运动时间t的值；若不存在，请说明理由；（3）若动点P在x轴上，动点Q在射线AC上，同时从A点出发，点P沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．类型三【确定符合相似三角形的函数解析式或字母参数的值】典例指引3．（2017年江苏省徐州市中考数学模拟）如图，已知：在平面直角坐标系中，直线l与y轴相交于点A（0，m）其中m＜0，与x轴相交于点B（4，0）．抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为F，它与直线l相交于点C，其对称轴分别与直线l和x轴相交于点D和点E．（1）设a=12，m=﹣2时，①求出点C、点D的坐标；②抛物线y=ax2+bx上是否存在点G，使得以G、C、D、F四点为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．（2）当以F、C、D为顶点的三角形与△BED相似且满足三角形FAC的面积与三角形FBC面积之比为1：3时，求抛物线的函数表达式．【名师点睛】本题考查了二次函数综合题，利用解方程组是求C点坐标的关键；利用菱形的对角线垂直且互相平分是求G 点的关键；利用相似三角形的性质的出关于a的方程是解题关键，又利用了平行线分线段成比例．【举一反三】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．【新题训练】1．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()2,1-，并且与y 轴交于点()0,3C ，与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1，设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ，问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与BCO 相似．若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．2．平面直角坐标系xOy 中，对称轴平行与y 轴的抛物线过点()1,0A 、()3,0B 和()4,6C ．（1）求抛物线的表达式．（2）现将此抛物线先沿x 轴方向向右平移6个单位，再沿y 轴方向平移k 个单位，若所得抛物线与x 轴交于点D 、E （点D 在点E 的左边），且使ACD AEC ∽（顶点A 、C 、D 依次对应顶点A 、E 、C ），试求k 的值，并说明方向．3．已知：关于x 的二次函数y=x 2+bx+c 经过点（﹣1，0）和（2，6）．（1）求b 和c 的值．（2）若点A （n ，y 1），B （n+1，y 2），C （n+2，y 3）都在这个二次函数的图象上，问是否存在整数n ，使123111310y y y ++=？若存在，请求出n ；若不存在，请说明理由． （3）若点P 是二次函数图象在y 轴左侧部分上的一个动点，将直线y=﹣2x 沿y 轴向下平移，分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点，若以CD 为直角边的△PCD 与△OCD 相似，请求出所有符合条件点P 的坐标．4．如图，二次函数22y ax bx =++的图像与x 轴交于点A ()1,0-、B ()4,0，与y 轴交于点C ． （1）a = ； b = ；（2）点P 为该函数在第一象限内的图像上的一点，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，连接PC ，①求线段PQ 的最大值；②若以P 、C 、Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似，求点P 的坐标．5．如图，抛物线28y ax bx =+-交x 轴于A ， B 两点，交y 轴于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称交于点E ，连接CE ，点A ， D 的坐标分别为()2,0-， ()6,8-． （1）求抛物线的解析式，并分别求出点B 和点E 的坐标．（2）在抛物线上是否存在点F ，使FOE ≌FCE ，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．6．已知直线y=2x﹣5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．（1）如图，当点M与点A重合时，求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，求点N的坐标和线段MN的长；（3）抛物线y=﹣x2+bx+c在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN与△AOB相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x的顶点为A，直线y=x﹣2与抛物线交于B，C两点．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）作CD⊥x轴于点D，求证：△ODC∽△ABC；（3）若点P为抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说明理由．8．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；（2）求出线段BC、BE、ED的长度；（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时C、I两点之间的距离．9．如图，已知抛物线y=ax2﹣x+c的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），顶点为B．点C （5，m）在抛物线上，直线BC交x轴于点E．（1）求抛物线的表达式及点E的坐标；（2）联结AB，求∠B的正切值；（3）点G为线段AC上一点，过点G作CB的垂线交x轴于点M（位于点E右侧），当△CGM与△ABE相似时，求点M的坐标．10．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点B、C的坐标；（2）求△ABC的内切圆半径；学=科网（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．。
三角形的相似性质与判定
三角形的相似性质与判定三角形是平面几何中的基本图形，具有相似性质的三角形在数学和实际应用中起着重要的作用。
本文将探讨三角形的相似性质以及如何判定两个三角形是否相似。
一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相同的形状但大小不一的三角形。
它们的边长之比相等，并且对应角度相等。
考虑两个三角形ABC和DEF，若存在一个比值k使得AB/DE=BC/EF=AC/DF=k，则称这两个三角形相似。
相似三角形有以下性质：1. 对应角度相等：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
2. 对应边长比例相等：AB/DE = BC/EF = AC/DF = k。
3. 对应边长比例相等的性质也可以表达为：AB/BC = DE/EF =AC/DF = 1/k。
二、判定三角形相似的方法1. 三边对应角相等法（SAS法）：如果两个三角形的两条边的比值相等，并且这两个边夹角相等，那么这两个三角形相似。
根据这个方法，可以判定两个三角形是否相似，但需要注意两个三角形的顶点要对应一致。
2. 角-角-角（AAA）法：如果两个三角形的三个角度分别相等，那么这两个三角形相似。
由于一个三角形的内角和为180度，所以只需知道两个角度相等就可以推断出第三个角度相等。
但是需要注意，AAA法只能说明两个三角形是相似的可能性，还需要验证其他条件。
3. 角-边-角（ASA）法：如果两个三角形的一对角度相等，并且夹在两条相等边之间的夹角也相等，那么这两个三角形相似。
4. 边-角-边（SAS）法：如果两个三角形的一对边比值相等，并且两条边之间夹角相等，那么这两个三角形相似。
三、相似三角形的应用1. 比例定理：相似三角形的边长比值等于对应边上的线段比值。
例如，若三角形ABC与三角形DEF相似，则有AB/DE = BC/EF =AC/DF。
2. 测量不可达长度：当实际中无法直接测量到物体的长度时，可以利用相似三角形的性质来计算。
通过测量已知长度的物体与其相似三角形的对应边长，再利用比例关系计算出不可达长度。
相似三角形的性质
相似三角形的性质在我们的数学世界中，相似三角形就像是一对有着特殊关系的“姐妹花”，它们之间存在着许多有趣且重要的性质。
今天，就让我们一起来深入探究一下相似三角形的那些性质。
相似三角形，简单来说，就是形状相同但大小可能不同的三角形。
如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就是相似的。
首先，相似三角形的对应角是相等的。
这意味着，如果两个三角形相似，那么它们的三个角的度数是一一对应的，而且完全相同。
比如说，一个三角形的三个角分别是 30°、60°和 90°，那么与它相似的三角形的三个角也必然是 30°、60°和 90°。
这一性质就像是一把钥匙，能够帮助我们快速判断两个三角形是否相似。
其次，相似三角形的对应边成比例。
假设三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，那么边 AB 与边 A'B' 的比值，等于边 BC 与边 B'C' 的比值，也等于边 AC 与边 A'C' 的比值。
这个比例关系在解决很多几何问题时非常有用。
相似三角形的对应高的比等于相似比。
什么是对应高呢？就是从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边上的高。
如果两个相似三角形的相似比是 k，那么它们对应边上的高的比也是 k。
比如说，一个三角形的边长是 3、4、5，另一个与其相似的三角形的边长是 6、8、10，相似比为 2。
那么第一个三角形的高是 24，第二个三角形对应边的高就是 48，高的比也是 2。
相似三角形对应中线的比也等于相似比。
中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段。
相似三角形中，对应中线的长度之比与相似比保持一致。
相似三角形对应角平分线的比同样等于相似比。
角平分线是将三角形一个角平均分成两个相等角的线段。
接下来，我们看看相似三角形的周长比。
相似三角形的周长比等于相似比。
二次函数-相似三角形存在性问题(一)-含答案
似？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
y C
A O
B x
（1）求抛物线的解析式； （2）如图 2，直线 OQ 与线段 BC 相交于点 E，当△OBE 与△ABC 相似时，求点 Q 的坐标．
y
y
A O
B x
C
D
图1
A O
C
B x
E Q
D
图2
第2页,共14页
【分析】
（1）抛物线： y = x2 − 2x − 3；
（2）思路：考虑到△ABC 和△BOE 有一组公共角，公共角必是对应角．
根据线段长度可知∠ABQ 与∠ABC 的两边并不成比例，故（-8，-7）舍掉．
情况二：若∠ABQ=∠BAC，
过点 B 作 AC 平行线，与抛物线交点即为 Q 点．
易得直线 BQ 解析式： y = 3 x − 9 ， 42
联立方程：
3 4
x
−
9 2
=
−1 8
x2
+
1 4
x
+
3 ，解得：
x1
=
−10
，
x2
的坐标．
y B
A
C
O
x
第6页,共14页
【分析】 （1） y = 1 x2 − 2x +1 ；
3 （2） tan ABC = 1 ；
2 （3）思路：平行得相等角，构造两边成比例
《探索三角形相似的条件》说课稿
《探索三角形相似的条件》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《探索三角形相似的条件》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析“探索三角形相似的条件”是初中数学中重要的内容之一。
它是在学生已经学习了相似图形的概念和性质，以及三角形全等的基础上进行的。
通过对三角形相似条件的探索，不仅可以加深学生对相似图形的理解，还为后续学习相似三角形的性质和应用奠定了基础。
本节课在教材中的地位和作用十分重要，它是从定性研究相似图形到定量研究相似三角形的过渡，同时也为解决实际问题提供了有力的工具。
二、学情分析在学习本节课之前，学生已经掌握了相似图形的基本概念，了解了全等三角形的判定方法，具备了一定的观察、分析和推理能力。
但对于从数量关系来判定三角形相似，学生可能会感到较为抽象和困难。
此外，这个阶段的学生思维活跃，好奇心强，但在逻辑思维和抽象思维方面还需要进一步的培养和提高。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够理解并掌握三角形相似的判定条件。
（2）能够运用三角形相似的判定条件解决简单的问题。
2、过程与方法目标（1）通过观察、猜想、验证等活动，培养学生的探究能力和创新精神。
（2）经历三角形相似条件的探索过程，提高学生的逻辑推理能力和数学思维能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生在探索中体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。
（2）培养学生合作交流的意识和勇于探索的精神。
四、教学重难点1、教学重点三角形相似的判定条件及其应用。
2、教学难点三角形相似判定条件的推导和应用。
五、教法与学法1、教法（1）引导发现法：通过创设问题情境，引导学生观察、思考、猜想，从而发现三角形相似的条件。
（2）讲练结合法：在讲解新知识的同时，通过练习让学生及时巩固所学内容，提高应用能力。
2、学法（1）自主探究法：让学生通过自主思考、探究，发现问题、解决问题，培养学生的自主学习能力。
相似三角形存在性问题
例1、（2010·衢州）如图所示，方格纸中每个小正方形的边长为1， △ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上。 ⑴判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； ⑵P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个 格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似 （要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应的线段，不 必说明理由）。
y E D x A O C B
四、课堂小结
y
A O
B
x
C D
三、坐标系中相似三角形的存在性
练习1：(2010·天门)如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C在x 轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经 过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于点M，点P 为线段FG上的一个动点（与点F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交 于点Q。 ⑴求经过B、E、C三点的抛物线的解析式。 N y Q ⑵是否存在点P，使得以点P、Q、M为 G E 顶点的三角形与△AOD相似？若存在， M 求出满足条件的点P的坐标；若不存在， P F D 请说明理由。A来自FCD
O
E
B
三、坐标系中相似三角形的存在性
例3、（2010·定西）如图所示，抛物线与x轴交于A（-1，0）， B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），设抛物线的顶点为D。 ⑴求该抛物线的解析式与顶点D的坐标； ⑵以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？ ⑶探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与 △BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出 点P的坐标；若不存在，请说明理由。
D E
相似三角形存在性问题
例1如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD⊥DC，BC＝10cm，CD＝6cm．在线段BC、CD上有动点F、E，点F以每秒2cm的速度，在线段BC上从点B向点C匀速运动；同时点E以每秒1cm的速度，在线段CD上从点C向点D匀速运动．当点F到达点C时，点E同时停止运动．设点F运动的时间为t（秒）．
（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒 个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？
例4抛物线L： 经过点A(0，1)，与它的对称轴直线x＝1交于点B
(1)直接写出抛物线L的解析式；
练习：
1.如图1，在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）．平移二次函数 的图象，得到的抛物线F满足两个条件：①顶点为Q；②与x轴相交于B、C两点（∣OB∣<∣OC∣），连结A，B．
（1）是否存在这样的抛物线Fห้องสมุดไป่ตู้使得 ？请你作出判断，并说明理由；
（2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO＝ ，求抛物线F对应的二次函数的解析式．
5.如图1，已知点A(-2，4)和点B(1，0)都在抛物线 上．
（1）求m、n；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．
(2)如图1，过定点的直线y＝kx－k＋4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；
(3)如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线 ，抛物线 与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线 于另一点D．F为抛物线 的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标
二次函数的存在性问题(相似三角形的存在性问题)
二次函数的存在性问题（相似三角形）1、已知抛物线的顶点为A (2，1)，且经过原点O ，与x 轴的另一交点为B 。
(1)求抛物线的解析式；(2)若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；(3)连接OA 、AB ，如图②，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。
2、设抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m ，0)，与y 轴交于点C.且∠A C B=90°．A AB B OO x x y yxyF -2 -4-6ACE PDB5 2 1 24 6 G (1)求m 的值和抛物线的解析式；(2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A 的直线1y x =+交抛物线于另一点E ．若点P 在x 轴上，以点P 、B 、D 为顶点的三角形与△AEB 相似，求点P 的坐标．(3)在(2)的条件下，△BDP 的外接圆半径等于________________．解：(1)令x=0，得y=－2 ∴C(0，一2)．∵ACB=90°，CO⊥AB,．∴ △AOC ∽△COB,．∴OA ·OB=OC 2；∴OB=22241OC OA == ∴m=4．3、已知抛物线2y ax bx c =++经过点A （5，0）、B （6，-6）和原点.（1）求抛物线的函数关系式； （2）若过点B 的直线y kx b '=+与抛物线相交于点C （2，m ），请求出∆OBC 的面积S 的值.（3）过点C 作平行于x 轴的直线交y 轴于点D ，在抛物线对称轴右侧位于直线DC 下方的抛物线上，任取一点P ，过点P 作直线PF 平行于y 轴交x 轴于点F ，交直线DC 于点E . 直线PF 与直线DC 及两坐标轴围成矩形OFED （如图），是否存在点P ，使得∆OCD 与∆CPE 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意得：255036600a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩ 解得150a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩故抛物线的函数关系式为25y x x =-+（2）C Q 在抛物线上，2252,6m m ∴-+⨯=∴= C ∴点坐标为（2，6），B Q 、C 在直线y kx b '=+上∴6266k b k b'=+⎧⎨'-=+⎩ 解得3,12k b '=-=∴直线BC 的解析式为312y x =-+设BC 与x 轴交于点G ，则G 的坐标为（4，0）1146462422OBC S ∴=⨯⨯+⨯⨯-=V （3）存在P ，使得OCD V ∽CPE V 设P (,)m n ，90ODC E ∠=∠=︒Q 故2,6CE m EP n =-=-若要OCD V ∽CPE V ，则要OD DC CE EP =或OD DC EP CE = 即6226m n =--或6262n m =-- 解得203m n =-或123n m =- 又(,)m n Q 在抛物线上，22035m n n m m =-⎧⎨=-+⎩或21235n mn m m =-⎧⎨=-+⎩解得12211023,,6509m m n n ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或121226,66m m n n ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ 故P 点坐标为1050()39，和(6,6)- 4、如图，抛物线(1)(5)y a x x =+-与x 轴的交点为M N ，．直线y kx b =+与x 轴交于(20)P -，，与y 轴交于C ．若A B ，两点在直线y kx b =+上，且AO BO ==AO BO ⊥．D 为线段MN 的中点，OH 为Rt OPC △斜边上的高．（1）OH 的长度等于 ；k = ，b = ． （2）是否存在实数a ，使得抛物线(1)(5)y a x x =+-以D N E ，，为顶点的三角形与AOB △是否还有符合条件的E 点（简要说明理由）每一个E 点，直线NE 与直线AB 的交点G 是否总满足PB PG <g解：（1）1OH =；k =b =（2）设存在实数a ，使抛物线(1)(5)y a x x =+-上有一点E ，满足以D N E ，，为顶点的三角形与等腰直角AOB △相似．∴以D N E ，，为顶点的三角形为等腰直角三角形，且这样的三角形最多只有两类，一类是以DN 为直角边的等腰直角三角形，另一类是以DN 为斜边的等腰直角三角形．①若DN 为等腰直角三角形的直角边，则ED DN ⊥．由抛物线(1)(5)y a x x =+-得：(10)M -，，(50)N ，．(20)D ∴，，3ED DN ∴==．E ∴的坐标为(23)，．把(23)E ，代入抛物线解析式，得13a =-．∴抛物线解析式为1(1)(5)3y x x =-+-．即2145333y x x =-++．②若DN 为等腰直角三角形的斜边，则DE EN ⊥，DE EN =．E ∴的坐标为(3.51.5)，．把(3.51.5)E ，代入抛物线解析式，得29a =-． ∴抛物线解析式为2(1)(5)9y x x =-+-，即22810999y x x =-++当13a =-时，在抛物线2145333y x x =-++上存在一点(23)E ，满足条件，如果此抛物线上还有满足条件的E 点，不妨设为E '点，那么只有可能DE N '△是以DN 为斜边的等腰直角三角形，由此得(3.51.5)E '，， 显然E '不在抛物线2145333y x x =-++上，故抛物线2145333y x x =-++上没有符合条件的其他的E 点． 当29a =-时，同理可得抛物线22810999y x x =-++上没有符合条件的其他的E 点． 当E 的坐标为(23)，，对应的抛物线解析式为2145333y x x =-++时，EDN Q △和ABO △都是等腰直角三角形，45GNP PBO ∴∠=∠=o 又NPG BPO ∠=∠Q ，NPG BPO∴△∽△．PG PNPO PB∴=，2714PB PG PO PN ∴==⨯=g g ，∴总满足PB PG <g ．当E 的坐标为(3.51.5)，，对应的抛物线解析式为22810999y x x =-++时，同理可证得：2714PB PG PO PN ==⨯=g g ，∴总满足PB PG <g 5、如图，抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M ，使△MOB 的面积是△AOB 面积的3倍；（3）连结OA ，AB ，在x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，使△OBN 与△OAB 相似？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，说明理由． 解：（1）由题意可设抛物线的解析式为1)2(2+-=x a y∵抛物线过原点 ∴01)20(2=+-a ∴41-=a ∴抛物线的解析式为1)2(412+--=x y 即x x y +-=241. （2）∵△AOB 与△MOB 同底不等高 又∵S △MOB =3 S △AOB ∴△MOB 的高是△AOB ∴x x +-=-2413 ∴01242=--x x 解得 61=x ，22-=x ∴)36(1-，M )32(2--，My CNP（3）由抛物线的对称性可知：AO =AB ABO AOB ∠=∠若△OBN 与△OAB 相似， 必须有BNO BOA BON ∠=∠=∠， 显然 )12('-，A ∴直线ON 的解析式为x y 21-=， 由x x x +-=24121，得01=x ，62=x ∴)36(-，N 过N 作NE ⊥x 轴，垂足为E . 在Rt △BEN 中，BE =2，NE =3，∴133222=+=NB 又OB =4 ∴NB ≠OB ∴∠BON ≠∠BNO ∴△OBN 与△OAB 不相似，同理说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N 点.故在抛物线上不存在N 点，使得△OBN 与△OAB 相似6、如图所示，将矩形OABC 沿AE 折叠，使点O 恰好落在BC 上F 处，以CF 为边作正方形CFGH ，延长BC 至M ， 使CM ＝｜CE —EO ｜，再以CM 、CO 为边作矩形CMNO. (1)试比较EO 、EC 的大小，并说明理由；(2)令CMNOCFGH S S m 四边形四边形=，请问m 是否为定值？若是，请求出m 的值；若不是，请说明理由；(3)在(2)的条件下，若CO ＝1，CE ＝31，Q 为AE 上一点且QF ＝32，抛物线y ＝mx 2+bx+c 经过C 、Q 两点，请求出此抛物线的解析式. (4)在(3)的条件下，若抛物线y ＝mx 2+bx+c 与线段AB 交于点P ，试问在直线BC 上是否存在点K ，使得以P 、B 、K 为顶点的三角形与△AEF 相似?若存在，请求直线KP 与y 轴的交点T 的坐标?若不存在，请说明理由。
三角形的相似性及其性质
三角形的相似性及其性质三角形是几何学中重要的图形，它们由三条边和三个角组成。
在研究三角形时，了解三角形的相似性及其性质对于解决各种几何问题非常有帮助。
本文将详细探讨三角形的相似性及其性质。
一、相似三角形的定义及判定相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
当两个三角形的对应角度相等时，它们是相似的。
判定两个三角形是否相似有以下几种方法：1. AAA相似判定法：当两个三角形的对应角度分别相等时，它们是相似的。
例如，如果一个三角形的三个内角分别等于另一个三角形的三个内角，那么这两个三角形就是相似的。
2. AA相似判定法：当两个三角形的一个角相等，且两个角所对的边成比例时，这两个三角形是相似的。
例如，如果一个三角形的一个内角等于另一个三角形的一个内角，并且这两个角所对的边的比值相等，那么这两个三角形就是相似的。
3. SSS相似判定法：当两个三角形的对应边成比例时，它们是相似的。
例如，如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边成比例，那么这两个三角形就是相似的。
二、相似三角形的性质在相似三角形中，存在一些重要的性质，这些性质对于解决各种几何问题有很大的帮助。
下面介绍几个常见的相似三角形性质：1. 相似三角形的对应边成比例：如果两个三角形是相似的，那么它们的对应边的长度成比例。
即对应边的比值相等。
例如，如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边成比例，那么第三条边也与第三条边成比例。
2. 相似三角形的对应角相等：如果两个三角形是相似的，那么它们的对应角度相等。
即对应角相等。
例如，如果一个三角形的一个内角与另一个三角形的一个内角相等，那么这两个角所对的边的比值也相等。
3. 相似三角形的周长和面积之比：如果两个三角形是相似的，那么它们的周长和面积之比等于对应边长度的比值的平方。
例如，如果一个三角形的周长和面积分别是另一个三角形的周长和面积的2倍，那么这两个三角形就是相似的。
三、应用实例三角形的相似性及其性质在实际问题中有广泛的应用。
学生-相似三角形的存在性问题解题策略
相似三角形的存在性问题解题策略专题攻略相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题1、2、3、4．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6．应用判定定理3解题不多见，如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）． 例题解析例❶ 如图1-1，抛物线213482y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C ．动直线EF （EF //x 轴）从点C 开始，以每秒1个单位的速度沿y 轴负方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的速度向原点O 运动．是否存在t ，使得△BPF 与△ABC 相似．若存在，试求出t 的值；若不存在，请说明理由．图1-1例❷如图2-1，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求这条抛物线的解析式；（2）连结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．图2-1例❸如图3-1，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A(1, 0)、B(3, 0)两点，与y轴交于点D，顶点为C．（1）求此抛物线的解析式；（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N 为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．图3-1例❹如图4-1，在平面直角坐标系中，A(8,0)，B(0,6)，点C在x轴上，BC平分∠OBA．点P在直线AB上，直线CP与y轴交于点F，如果△ACP与△BPF相似，求直线CP的解析式．图4-1例❺如图5-1，二次函数y＝x2＋3x的图象经过点A(1,a)，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在y轴上取一点C(0, 2)，直线AC交抛物线于点B，连结OA、OB、OD、BD．求坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E的坐标；图5-1例❻如图6-1，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝8．⊙A的半径为2，动点P从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动．延长BA交⊙A于点D，连结AP交⊙A于点E，连结DE并延长交BC于点F．设点P运动的时间为t秒，当△ABP与△FBD 相似时，求t的值．图6-1因动点产生的相似三角形问题课前导学相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分AB DEAC DF=和AB DFAC DE=两种情况列方程．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好．如图1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了．水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减．图1例 1 2014年湖南省衡阳市中考第28题二次函数y＝a x2＋b x＋c（a≠0）的图象与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，与y轴交于点C(0,－3m)（m＞0），顶点为D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图1，当m＝2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图2，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？图1 图22014年湖南省益阳市中考第21题如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，∠B＝60°，AB＝10，BC＝4，点P 沿线段AB从点A向点B运动，设AP＝x．2·1·c·n·j·y（1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S＝S1＋S2，求S的最小值.例3 2015年湖南省湘西市中考第26题如图1，已知直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c 经过A、B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B结PQ，设运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）过点P作PE//y轴，交AB于点E，过点Q作QF//y轴，交抛物线于点F，连结EF，当EF//PQ时，求点F的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连结BP、BM、MQ，问：是否存在t的值，使以B、Q、M为顶点的三角形与以O、B、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1。
三角形与三角形的相似性质
三角形与三角形的相似性质三角形是几何学中的基本形状之一，由于其独特的性质，不同的三角形之间存在着相似性质。
本文将探讨三角形与三角形之间的相似性质，以及相关的定理和推论。
一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
当两个三角形的对应角度相等时，它们是相似的。
具体而言，若三角形ABC与三角形DEF满足∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，则称三角形ABC与三角形DEF为相似三角形。
二、三角形的相似性质1. AAA相似定理若两个三角形的对应角度完全相等，则它们是相似的。
具体而言，若∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，则三角形ABC与三角形DEF 相似。
2. SAS相似定理若两个三角形的两个对应边的比值相等，且两个对应边夹角相等，则它们是相似的。
具体而言，若AB/DE = AC/DF，且∠A = ∠D，则三角形ABC与三角形DEF相似。
3. SSS相似定理若两个三角形的三边各自比值相等，则它们是相似的。
具体而言，若AB/DE = BC/EF = AC/DF，则三角形ABC与三角形DEF相似。
三、相似三角形的推论1. 相似三角形的比例关系在相似三角形ABC与DEF中，对应边的比值相等。
具体地，AB/DE = BC/EF = AC/DF。
2. 切比雪夫定理对于两个相似三角形ABC与DEF，其中一个内角的余弦等于另一个内角的余弦的比值。
具体而言，cosA = cosD。
3. 相似三角形的高线比值在相似三角形ABC与DEF中，对应边的高线比值等于对应边的边长比值。
具体而言，h₁/h₂ = AB/DE = BC/EF = AC/DF。
四、实例验证例如，我们有一个边长为3的三角形ABC和边长为6的三角形DEF，其中∠A = ∠D = 60°，∠B = ∠E = 45°，∠C = ∠F = 75°。
根据相似三角形的定义和AAA相似定理，我们可以得出这两个三角形是相似的。
第4讲相似三角形存在性处理策略
第4讲相似三角形存在性处理策略在数学领域中，相似三角形的存在性处理策略是指确定两个或多个三角形是否相似的方法和步骤。
相似三角形是指具有相同形状但可能有不同大小的三角形。
下面列举了几种常见的相似三角形存在性处理策略：1.AA相似定理（角-角相似定理）AA相似定理是指当两个三角形的两个对应角度分别相等时，这两个三角形是相似的。
具体的处理策略是在已知两个角度相等的前提下，确定三角形的其它对应角是否相等。
如果三角形的所有对应角度都相等，则可以得出结论这两个三角形是相似的。
2.SSS相似定理（边-边-边相似定理）SSS相似定理是指当两个三角形的三个对应边的比例相等时，这两个三角形是相似的。
处理策略是确定两个三角形的三个对应边的比例是否相等。
如果比例都相等，则可以得出结论这两个三角形是相似的。
3.SAS相似定理（边-角-边相似定理）SAS相似定理是指当两个三角形的一个对应角相等，而且两个对应边的比例相等时，这两个三角形是相似的。
处理策略是在已知一个对应角相等和两个对应边的比例相等的前提下，确定三角形的其它对应角是否相等。
如果三角形的所有对应角度都相等，则可以得出结论这两个三角形是相似的。
4.HL相似定理（斜边-斜边相似定理）HL相似定理是指当两个直角三角形的斜边长度相等，而且一个锐角和一个直角对应角相等时，这两个三角形是相似的。
处理策略是在已知一个锐角和一个直角对应角相等以及斜边长度相等的前提下，确定三角形的其它对应边是否成比例。
如果两个对应边成比例，则可以得出结论这两个三角形是相似的。
在处理相似三角形存在性时，需要注意以下几点：1.已知条件的准确性：确保已知条件是准确的，否则可能会导致错误的结论。
2.证明过程的逻辑性：需要有清晰的思路和逻辑关系，按照合理的步骤进行证明。
3.几何图形的正确绘制：确保几何图形的绘制准确无误，以便更好地理解问题和推导结论。
4.先验知识的运用：相似三角形的存在性处理策略需要运用一些先验知识和数学定理，例如角度和边的性质，三角函数的概念等。
相似三角形存在性问题(含解析)
相像存在性问题1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c 与 x 轴交于 A、 D 两点，与 y 轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点 A 的坐标为（ 1，0），点 B 的坐标为（ 0，4），已知点 E（ m， 0）是线段 DO上的动点，过点 E 作 PE⊥ x 轴交抛物线于点 P，交 BC于点 G，交 BD于点 H．（ 1）求该抛物线的分析式；（ 2）当点 P 在直线 BC上方时，请用含 m的代数式表示 PG的长度；（ 3）在（ 2）的条件下，能否存在这样的点 P，使得以 P、B、G为极点的三角形与△ DEH相像？若存在，求出此时 m的值；若不存在，请说明原因．2．如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线25C xy ax x c过点A（，）和（，），（，）是轴正0 48 0 P t0690°得线段 PB．过点 B作x轴的垂线、过点半轴上的一个动点， M是线段 AP 的中点，将线段MP绕点 P 顺时针旋转A 作y轴的垂线，两直线订交于点D．（ 1）求此抛物线的对称轴；（ 2）当t为什么值时，点 D落在抛物线上？（ 3）能否存在t，使得以 A、B、D 为极点的三角形与△PEB相像？若存在，求此时t 的值；若不存在，请说明原因．333．如图，过点 A （ 0， 3）的直线 l 1 与 x 轴交于点 B ， tan ∠ ABO=4．过点 A 的另向来线 l 2： y ＝－4 tx ＋ b (t ＞0)与 x 轴交于点 Q ，点 P 是射线 AB 上的一个动点， 过 P 作 PH ⊥ x 轴于点 H ，设 PB ＝ 5t ．（ 1）求直线 l 1 的函数分析式；（ 2）当点 P 在线段 AB 上运动时，设△ PHQ 的面积为 S （ S ≠ 0），求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；（3）当点 P 在射线 AB上运动时，能否存在这样的 t 值，使以 P， H，Q为极点的三角形与△ AOQ相像？若存在，直接写出全部知足条件的 t 值所对应的 P 点坐标；若不存在，请说明原因．4．如图，点 A 是x 轴正半轴上的动点，点 B 的坐标为（0， 4），将线段AB 的中点绕点 A 按顺时针方向旋转90°得点 C，过点 C 作 x 轴的垂线，垂足为F，过点 B 作 y 点，连结AC、 BC、 CD，设点 A 的横坐标为t ．轴的垂线与直线CF 订交于点E，点D是点A 对于直线CF的对称（ 1）线段AB与AC的数目关系是，地点关系是．（2）当 t=2 时，求 CF 的长；（3）当 t 为什么值时，点 C 落在线段 BD上？求出此时点 C的坐标；（4）设△ BCE的面积为 S，求 S与 t 之间的函数关系式．5．如图，抛物线y=－1x2+3x－ 2 交 x 轴于 A， B 两点（点 A 在点 B 的左边），交 y 轴于点 C，分别过点B， C 作 y 42轴， x轴的平行线，两平行线交于点D，将△BDC绕点C 逆时针旋转，使点D旋转到y 轴上获得△FEC，连结BF．（1）求点 B， C所在直线的函数分析式；（ 2）求△ BCF的面积；（3）在线段 BC上能否存在点 P，使得以点 P，A， B 为极点的三角形与△ BOC相像？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明原因．。
相似三角形的存在性(讲义及答案)
相似三角形的存在性➢ 知识点睛1. 存在性问题的处理思路①分析不变特征分析背景图形中的定点，定线，定角等不变特征． ②分类、的图形．，画出符合题意 通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形． ③求解、验证围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解；验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意． 注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点，线，角；函数背景研究点坐标，表达式等．2. 相似三角形的存在性不变特征及特征下操作要点举例：一般先从角（不变特征）入手，分析对应关系后，作出符合题意图形， 再借助不变特征和对应边成比例列方程求解． 常见特征如一组角对应相等，这一组相等角顶点为确定对应 点，结合对应关系分类后，作出符合题意图形，一般利用对 应边成比例列方程求解 ．结合图形形成因素（判定，定义等）考虑分类 画图MM➢ 精讲精练1.如图，将长为 8 cm ，宽为 5 cm 的矩形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在 CD 边的点 E 处，压平后得到折痕 MN ，点 A 的对称点为点 F ，CE =4 cm ．若点 G 是矩形边上任意一点，则当 △ABG 与△CEN 相似时，线段 AG 的长为．FFADA D EEBNCBNC2.如图，抛物线 y = - 1 x 2 + 10x - 8 经过 A ，B ，C 三点，3 3BC ⊥OB ，AB =BC ，过点 C 作 CD ⊥x 轴于点 D ．点 M 是直线 AB 上方的抛物线上一动点，作 MN ⊥x 轴于点 N ，若 △AMN 与△ACD 相似，则点 M 的坐标为．3.如图，已知抛物线 y = 3x 2 + bx + c 与坐标轴交于 A ，B ，C 三4点，点 A 的坐标为(-1，0)，过点 C 的直线 y = 34tx - 3 与 x 轴交于点 Q ，点 P 是线段 BC 上的一个动点，过 P 作 PH ⊥OB于点 H ．若 PB =5t ，且 0＜t ＜1．（1） 点 C 的坐标是，b = ，c = ．（2） 求线段 QH 的长（用含 t 的代数式表示）．（3） 依点 P 的变化，是否存在 t 的值，使以 P ，H ，Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有符合条件的 t 值；若不存在，说明理由．yCA OB xEyCA OB xEyCA OB xEyCA OB xE4.如图，抛物线y =-1x2 +3x + 2 与x 轴交于A，B 两点，与2 2y 轴交于点C，点D(1，m)在抛物线上，直线y=-x-1 与抛物线交于A，E 两点，点P 在x 轴上，且位于点B 的左侧，若以P，B，D 为顶点的三角形与△ABE 相似，则点P 的坐标为．5. 如图，已知抛物线过点 A (0，6)，B (2，0)，C (7， 5)．2（1） 求抛物线的解析式．（2） 若 D 是抛物线的顶点，E 是抛物线的对称轴与直线 AC的交点，F 与 E 关于 D 对称．求证：∠CFE =∠AFE ．（3） 在 y 轴上是否存在这样的点 P ，使△AFP 与△FDC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在， 请说明理由．6.如图，抛物线y=ax2+bx 经过两点A(-1，1)，B(2，2)．过点B作BC∥x 轴，交抛物线于点C，交y 轴于点D．连接OA，OB，OC，AC，点N 在坐标平面内，且△AOC 与△OBN 相似（边OA与边OB对应），则点N 的坐标为．yE C BFO AxD yE C BD 1 FO AxD7.如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y =3 x 2 + 3 3 x - 7 38 4 8与 x 轴交于点 A ，B （点 A 在点 B 右侧），点 D 为抛物线的顶点．点 C 在 y 轴的正半轴上，CD 交 x 轴于点 F ，△CAD 绕点 C 顺时针旋转得到△CFE ，点 A 恰好旋转到点 F ，连接 BE ．（1） 求点 A ，B ，D 的坐标．（2） 求证：四边形 BFCE 是平行四边形．（3） 如图 2，过顶点 D 作 DD 1⊥x 轴于点 D 1，点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 PM ⊥x 轴，点 M 为垂足，使得△P AM 与△DD 1A 相似（不含全等）．①求出一个满足以上条件的点 P 的横坐标； ②直．接．回．答．这样的点 P 共有几个？图1图2⎨【参考答案】1. 15 ， 20 ， 25 或 25 4 3 4 32. M 1( 5 ， - 7 )，M 2( 11 ， 1 )2 4 2 43.（1）(0，-3)； - 9；-3；4⎧4 - 8t （0 < t ≤1 ） （2） QH = ⎪ 2； 1⎪8t - 4（⎪⎩ 2< t < 1）（3）符合条件的 t 值有 732 4. P 1( 13 ，0)，P 2( - 22，0)或 25 或 32-1．7 55.（1）抛物线的解析式为 y = 1x 2 - 4x + 6 ；2（2）证明略；（3）符合条件的点 P 的坐标为(0，-2)或(0，-41 )． 26. (3，4)，(4，3)，(-2，-1)或(-1，-2)7. （1）A (1，0)；B (-7，0)；D (-3， -2 3 )；（2）证明略；（3）①点 P 的横坐标分别为-11，-5 - 37；②共 3 个． 3 32。
探索三角形相似的条件
探索三角形相似的条件一周强化一、一周知识概述相似三角形的判定方法(1)定义法：各角对应相等、各边对应成比例的两个三角形相似．(2)判定方法1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．(3）判定方法2：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．(4)判定方法3：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．(5)判定方法4：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．二、重难点知识归纳1、相似的传递性：若△ABC∽△A′B′C′，且△A′B′C′∽△A″B″C″，则△ABC∽△A″B″C″．2、“平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似”的基本图形有三种情况，如图，其符号语言：因为DE∥BC，所以△ABC∽△ADE；这个判定方法有着广泛的应用，要做到“见平行想相似，见平行想比例”．3、相似三角形判定方法的选择（1）已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定方法1或判定方法3；（2）已有两边对应成比例时，可考虑利用判定方法3或判定方法4．但是，在选择利用判定方法3时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．4、有关三角形的相似的基本图形．（1）平行线型(如图)（2）双直角三角形中的相似三角形(如图)△ABC∽△DBA，△ABC∽△DAC，△ABD∽△CADAB2=BD·BC，AC2=CD·CB，AD2=BD·DC三、典型例题讲解例1、如图，在△ABC中，点D在AB上，请再添加一个适当条件，使△ADC∽△ACB，那么要添加的条件是__________(只需填写满足要求的一个条件即可)．解析：由于要判定的两个相似三角形隐含着一个公共角∠A，因此根据判定方法1或判定方法3，只要再找一个角对应相等，或找夹∠A的两边对应成比例，即可填∠ACD=∠B，或∠ADC=∠ACB，或AC2=AD·AB．例2、如图，在□ABCD 中，E是AB延长线上一点，连结DE，交AC于点G，交BC 于点F，那么图中相似的三角形(不含全等三角形)共有（）A.6对B.5对C.4对D.3对解：由AE∥DC，可得△AEG∽△CDG，△DFC∽△EFB；由BC∥AD，可得△BFE∽△ADE，△FCG∽△DAG，△DCF∽△EAD.故选B.点评:本题主要是考查相似三角形识别的掌握情况．可运用平行线去直接找相似三角形，也可利用相似三角形的判定方法来找相似三角形，但要注意不要漏找．例3、(1)如图，O是△ABC内任一点，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，求证：△DEF∽△ABC；(2)如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，DF=3CF，写出图中所有相似三角形，并证明．分析：(1)根据题设，观察图形易见，DE、EF、FD分别是△AOB、△BOC、△COA的中位线，利用三角形的中位线性质可证△DEF与△ABC的三边对应成比例；(2)由于正方形的四条边相等，且BE=CE，DF=3CF，设出正方形边长后，图中所有线段都能求出，故可从三边是否成比例判定哪些三角形相似．点评：①第(1)题，若点O在△ABC外，其他条件不变，结论仍成立；②第(2)题也可用判定方法3，先证△ABE∽△ECF，得出∠AEF=90°后，再证其中任意三角形与△AEF相似，显然，以上证法较简便．例4、已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接DE并延长交BC的延长线于F，连接DC，BE．若∠BDE＋∠BCE=180°．(1)写出图中三对相似三角形(注意：不得添加其他字母和线)；(2)请在你所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由．分析：先由角的关系入手，由∠BDE＋∠BCE=180°和图形中∠BDE＋∠ADE=∠BCE＋∠ECF=180°，可得∠BDE=∠ECF，∠ADE=∠BCE，易得△ADE∽△ACB(∠A为公共角)、△ECF∽△BDF(∠F为公共角)，其次，由△ECF∽△BDF得，可得△FDC∽△FBE(∠F为公共角)．解：(1)△ADE∽△ACB，△ECF∽△BDF，△FDC∽△FBE．(2)①△ADE∽△ACB．证明如下：因为∠BDE＋∠BCE=180°，又因为∠BDE＋∠ADE=180°，所以∠ADE=∠BCE．因为∠A=∠A，所以△ADE∽△ACB．②△ECF∽△BDF．证明如下：因为∠BDE＋∠BCE=180°，又因为∠BCE＋∠ECF=180°，所以∠BDE=∠ECF．因为∠F=∠F，所以△ECF∽△BDF．③△FDC∽△FBE．证明如下：因为∠BDE＋∠BCE=180°，又因为∠BCE＋∠ECF=180°，所以∠BDE=∠ECF．因为∠F=∠F，所以△ECF∽△BDF．所以．因为∠F=∠F，所以△FDC∽△FBE．点评：这是一道结论开放型试题，这种题型要求根据题意去探求，往往结论不唯一，具有开放性，解题时，要充分利用已知条件进行大胆而合理地猜想，发现结论，这就要求平时要注意发散性思维和所学基本知识的应用能力的培养．例5、如图（1）在△ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上一点，过点C作CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF与点F，试证明：BP2=PE·PF．分析:证明型的一般方法是把等积式写成比例式,然后再观察所在的两个三角形是否相似.如本题BP、PE、PF在一条直线上，就要看能否通过等量代换，自然要连结PC ，用BP的等量PC代入，再找出两个三角形相似，即可得解．证明：连结PC．因为AB=AC，AD是中线，所以AD⊥BC (三线合一性质)．所以AD是BC的垂直平分线．所以BP=PC．又∠PBC=∠PCB，∠ABC=∠ACB，所以∠ABP=∠ACP．而AB∥CF，所以∠ABC=∠F．所以∠F=∠ACP．又∠EPC=∠CPF，所以△EPC∽△CPF，所以．即PC2=PE·PF．故BP2=PE·PF．点评:①证形如时，还要注意两个基本图形如图⑵、⑶所示．如图⑵．因为△CDB∽△ADC∽△ACB，易得BC2=BD·AB ，AC2=AD·AB，CD2=AD·DB．如图⑶，当∠A=∠1时，∠C是公共角．所以△ABC∽△BDC，易得BC2=DC·AC．②在图⑵中，△ACB是直角三角形，CD是斜边上的高，还要注意面积的应用，易得AC·CB=AB·CD的结论．例6、如图，在正方形ABCD中，M、N分别是AB、BC上的点，BM=BN，BP⊥MC 于点P．求证：(1)△PBN∽△PCD；(2)PN⊥PD．分析：要证PN⊥PD，即证∠DPN=90°，由已知∠BPC=90°，而∠BPC与∠DPN有公共部分∠CPN，因此只要证明∠4=∠5即可．这就必须先证明出结论(1)．在△PBN与△PCD 中，易证∠1=∠3，以下只要证明夹∠1、∠3的两边对应成比例．证明：(1)在正方形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°．因为BP⊥MC，所以△PBM∽△PCB．点评：要注意观察出图中存在的“母子相似三角形”基本图形，从而充分利用它得出∠1=∠2及△PBM∽△PCB等重要结论．。
探讨直角三角形中的相似性
探讨直角三角形中的相似性直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。
在直角三角形中，我们可以探讨相似性，即两个直角三角形的相似性质。
本文将探讨直角三角形中的相似性，并展示相关的定理和应用。
一、相似三角形的定义相似三角形是指对应角度相等、对应边长成比例的三角形。
在直角三角形中，如果两个直角三角形的对应角度相等，则可以推断两个直角三角形是相似的。
二、勾股定理的推论勾股定理是直角三角形中经典的定理，它表明直角三角形的两个边长和斜边之间存在特殊的关系。
根据勾股定理，我们可以推导出直角三角形中的相似性质。
勾股定理的表达式为：a² + b² = c²，其中a和b表示直角三角形的两个直角边，c表示斜边。
推论1：等腰直角三角形的相似性等腰直角三角形是指直角三角形的两个直角边相等的情况。
根据勾股定理的推论，我们可以得出等腰直角三角形的相似性质。
例如，假设有直角三角形ABC，其中∠ACB = 90°，AC = BC，根据勾股定理可得：AC² + BC² = AB²。
由于AC = BC，所以可以简化为：2AC² = AB²，进一步推导可以得出：2 = AB/AC。
从上述推导可以看出，等腰直角三角形的斜边与直角边的比值为根号2。
这意味着，一旦我们知道了等腰直角三角形的一个边长，就可以计算出其他边长，因为它们之间存在特定的比例关系。
推论2：相似直角三角形的比例关系根据勾股定理的推论，我们可以进一步探讨相似直角三角形的比例关系。
假设有两个直角三角形ABC和DEF，满足∠A = ∠D、∠B = ∠E 和∠C = ∠F。
根据相似三角形的定义，我们可以得出：AB/DE =AC/DF = BC/EF。
这说明，两个相似直角三角形中，对应边长之间的比例关系是相等的。
如果我们知道了一个直角三角形的两个边长，可以利用比例关系来计算另一个直角三角形的对应边长。
相似三角形的性质(存在性)
《相似三角形存在性问题》教案【教学目标】知识与技能目标：掌握相似三角形存在性一类问题的解题思路：抓住角相等进行讨论；过程和方法目标：经历相似三角形存在性一类问题的解题思路产生过程；情感态度价值观：渗透分类讨论思想。
【重难点】重点：相似三角形存在性一类问题的解题思路；难点：变一变与想一想中，从图中找出相等的角比较难。
【教学过程】一、复习回顾1.要使得两个三角形相似，它们的角或边需要满足什么关系？(1)两个角对应相等;(2)两边对应成比例，且夹角相等;(3)三边对应成比例2.如图，D是△ABC的边AB上的点，在边AC上画出点E，使△ABC∽△ADE。
变式：将其中“△ABC∽△ADE”改成“△ABC与△ADE相似”二、例题精析小试牛刀：在直角坐标系中已知点A(2,0)，B(0,4)，C(1,0)，D是y轴正半轴上一点，是否存在D点，使△AOB与△COD相似，若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由。
（学生独立思考完成）变一变：在直角坐标系中已知点A(-1,-5)，B(0,-4)，C(4,0)，D是x轴正半轴上一点，是否存在D点，使△AOB与△BCD相似，若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由。
（师生共同完成，并总结这类题型的解题方法。
）三、习题精练，巩固方法试一试：如图，抛物线经过三点A(4,0),B(1,0),C(0,-2)（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线在第一象限的一点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点,使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（学生独立思考完成，教师点拨）想一想：已知直线x=3与顶点为A的抛物线y=2(x-2)2+1交于B，与直线OA相交于C．点P在抛物线的对称轴上的一点，是否存在点P，使得△ABP与△ABC相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（学生先独立思考，然后讨论，教师点拨）四、收获与反思解题思路：抓住角相等的条件进行讨论。
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相似三角形存在性探究
如图，点D 在△ABC 的边上.
(1)要判断△ADB 与△ABC 相似，
添加一个条件是
(2)要判断△ADB 与△ABC 相似，AB =4、AD =2. 则AC =
(3)通过(1)(2)的解答，你能说出相似三角形哪些知识？
例1如图,在△ABC 的边AB 上有一点E ,AB =4cm AE =1cm AC =3cm 。
在AC 边上是否存在点F ,使得△AEF 和△ABC 相似？若存在，求出AF 的长。
变式 如图, 点E 在AB 边上从点A 向点B 运动，速度为2cm/s ，
点F 同时从点C 向点A 运动，速度为1cm/s,设运动时间为t 秒，问是否存在t 的值，使得△AEF 和△ABC 相似？若存在，试求出t 的值，若不存在，请说明理由。
C A
D B C
E F
B E
F
例2如图，在平面点直角坐标系xoy中，A(1,0)、B(3,0)、C(0,-3)、P(2,1)请问在x轴上是
否存在点Q,使以P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由。
变式如图，在平面点直角坐标系xoy中，A(1,0)、B(3,0)、C(0,-3)、P(2,1)
(1)求过A、B、C三点的抛物线解析式
(2)请问在x轴下方的抛物线上是否存在点M,过M作
M N⊥x轴于点N,使以A,M,N为顶点的
三角形与△BCP相似？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由。
做一做 如图，抛物线 与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点左侧）与y 轴交于点C ，动直线EF (EF //x 轴）从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿y 轴负方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位长度的速度向原点O 运动，是否存在t 的值，使△BPF 与△ABC 相似？若存在试求出t 的值，若不存在，请说明理由。
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3812+-=x x y。