相似三角形存在性问题
相似三角形的存在性问题
相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。
难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．【解题攻略】相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。
应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．【解题类型及其思路】相似三角形存在性问题需要注意的问题：1、若题目中问题为△ABC∽△DEF ，则对应线段已经确定。
2、若题目中为△ABC与△DEF相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC∽△DEF ,②△ABC∽△FDE、③△ABC∽△EFD、3、若题目中为△ABC与△DEF并且有∠A、∠D（或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC∽△DEF ，②、△ABC∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。
【典例指引】类型一 【确定符合相似三角形的点的坐标】典例指引1．（2017年湖北鄂州中考）已知，抛物线23y ax bx =++（a ＜0）与x 轴交于A （3，0）、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴是直线x =1，D 为抛物线的顶点，点E 在y 轴C 点的上方，且CE =12． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）求证：直线DE 是△ACD 外接圆的切线；（3）在直线AC 上方的抛物线上找一点P ，使12PAC ACD S S ∆∆=，求点P 的坐标； （4）在坐标轴上找一点M ，使以点B 、C 、M 为顶点的三角形与△ACD 相似，直接写出点M 的坐标．【举一反三】（2017年山东省济宁附中二模）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，（点A 在点B的左侧），与直线AC交于点C（2，3），直线AC与抛物线的对称轴l相交于点D，连接BD．（1）求抛物线的函数表达式，并求出点D的坐标；（2）如图2，若点M、N同时从点D出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿DA、DB运动，连接MN，将△DMN沿MN翻折，得到△D′MN，判断四边形DMD′N的形状，并说明理由，当运动时间t为何值时，点D′恰好落在x轴上？（3）在平面内，是否存在点P（异于A点），使得以P、B、D为顶点的三角形与△ABD相似（全等除外）？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．类型二【确定符合相似三角形的动点的运动时间或路程等】典例指引2．（2017年广东省深圳市模拟）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线2=++经过O，D，C三点.y ax bx c(1)求AD的长及抛物线的解析式；(2)一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ADE相似？(3)点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.本题考查了二次函数综合题，题目涉及了图形的折叠变换、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等重点知识．后两问的情况较多，需要进行分类讨论，以免漏解．【举一反三】（2017年云南昆明市官渡区一中模拟）如图,已知一次函数y=0.5x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,二次函数y=0.5x2+bx+c的图象与一次函数y=0.5x+1的图象交于点B、C两点,与x轴交于D、E两点,且D 点坐标为（1,0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在在x轴上有一动点P，从O点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动，是否存在动点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P运动时间t的值；若不存在，请说明理由；（3）若动点P在x轴上，动点Q在射线AC上，同时从A点出发，点P沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．类型三【确定符合相似三角形的函数解析式或字母参数的值】典例指引3．（2017年江苏省徐州市中考数学模拟）如图，已知：在平面直角坐标系中，直线l与y轴相交于点A（0，m）其中m＜0，与x轴相交于点B（4，0）．抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为F，它与直线l相交于点C，其对称轴分别与直线l和x轴相交于点D和点E．（1）设a=12，m=﹣2时，①求出点C、点D的坐标；②抛物线y=ax2+bx上是否存在点G，使得以G、C、D、F四点为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．（2）当以F、C、D为顶点的三角形与△BED相似且满足三角形FAC的面积与三角形FBC面积之比为1：3时，求抛物线的函数表达式．【名师点睛】本题考查了二次函数综合题，利用解方程组是求C点坐标的关键；利用菱形的对角线垂直且互相平分是求G 点的关键；利用相似三角形的性质的出关于a的方程是解题关键，又利用了平行线分线段成比例．【举一反三】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．【新题训练】1．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()2,1-，并且与y 轴交于点()0,3C ，与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1，设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ，问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与BCO 相似．若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．2．平面直角坐标系xOy 中，对称轴平行与y 轴的抛物线过点()1,0A 、()3,0B 和()4,6C ．（1）求抛物线的表达式．（2）现将此抛物线先沿x 轴方向向右平移6个单位，再沿y 轴方向平移k 个单位，若所得抛物线与x 轴交于点D 、E （点D 在点E 的左边），且使ACD AEC ∽（顶点A 、C 、D 依次对应顶点A 、E 、C ），试求k 的值，并说明方向．3．已知：关于x 的二次函数y=x 2+bx+c 经过点（﹣1，0）和（2，6）．（1）求b 和c 的值．（2）若点A （n ，y 1），B （n+1，y 2），C （n+2，y 3）都在这个二次函数的图象上，问是否存在整数n ，使123111310y y y ++=？若存在，请求出n ；若不存在，请说明理由． （3）若点P 是二次函数图象在y 轴左侧部分上的一个动点，将直线y=﹣2x 沿y 轴向下平移，分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点，若以CD 为直角边的△PCD 与△OCD 相似，请求出所有符合条件点P 的坐标．4．如图，二次函数22y ax bx =++的图像与x 轴交于点A ()1,0-、B ()4,0，与y 轴交于点C ． （1）a = ； b = ；（2）点P 为该函数在第一象限内的图像上的一点，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，连接PC ，①求线段PQ 的最大值；②若以P 、C 、Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似，求点P 的坐标．5．如图，抛物线28y ax bx =+-交x 轴于A ， B 两点，交y 轴于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称交于点E ，连接CE ，点A ， D 的坐标分别为()2,0-， ()6,8-． （1）求抛物线的解析式，并分别求出点B 和点E 的坐标．（2）在抛物线上是否存在点F ，使FOE ≌FCE ，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．6．已知直线y=2x﹣5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．（1）如图，当点M与点A重合时，求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，求点N的坐标和线段MN的长；（3）抛物线y=﹣x2+bx+c在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN与△AOB相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x的顶点为A，直线y=x﹣2与抛物线交于B，C两点．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）作CD⊥x轴于点D，求证：△ODC∽△ABC；（3）若点P为抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说明理由．8．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；（2）求出线段BC、BE、ED的长度；（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时C、I两点之间的距离．9．如图，已知抛物线y=ax2﹣x+c的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），顶点为B．点C （5，m）在抛物线上，直线BC交x轴于点E．（1）求抛物线的表达式及点E的坐标；（2）联结AB，求∠B的正切值；（3）点G为线段AC上一点，过点G作CB的垂线交x轴于点M（位于点E右侧），当△CGM与△ABE相似时，求点M的坐标．10．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点B、C的坐标；（2）求△ABC的内切圆半径；学=科网（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．。
专题03 动点引起的相似三角形存在性问题(解析版)
专题04 动点引起的相似三角形存在性问题【相似三角形存在性】以A 、B 、C 为顶点的三角形与已知△DEF 相似，其中，∠ABC =∠DEF 分类讨论：①△ABC ∽△DEF ；②△CBA ∽△DEF 可得到：AB BC DE EF =；AB BC EF DE=，特殊地，当∠ABC =∠DEF =90°时，可借助tan ∠BAC =tan ∠DFE 或tan ∠BCA =tan ∠DFE 解答问题.【一题多解 · 典例剖析】例题1. （2021·山东省济宁市中考）如图，直线1322y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，过点A 的抛物线2y x bx c =-++与x 轴的另一交点为C ，与y 轴交于点()0,3D ，抛物线的对称轴l 交AD 于E ，连接OE 交AB于点F ．（1）求抛物线解析式； （2）求证：OE AB ⊥；（3）P 为抛物线上的一动点，直线PO 交AD 于点M ，是否存在这样的点P ，使以A ，O ，M 为顶点的三角形与ACD △相似？若存在，求点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y =－x 2+2x +3；（2）见解析；（3）存在，点P 113-±或±3 【解析】解：（1）∵直线1322y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B∴A （3,0），B （0，32）， 又抛物线经过A （3，0），D （0，3），∴22033300b c c ⎧=-++⎨=-++⎩， 解得：23b c =⎧⎨=⎩即抛物线的解析式为y =－x 2+2x +3；（2）由y =－x 2+2x +3得，抛物线对称轴为x =1 设直线AD 的解析式为：y =kx +a ， 将A （3，0），D （0，3）代入得：303k b b +=⎧⎨=⎩， 解得13k b =-⎧⎨=⎩即直线AD 的解析式为：y =－x +3， ∴E （1，2），G （1，0），在Rt △OEG 中，知tan ∠OEG =12OG EG = ， 在Rt △OAB 中，tan ∠BAO =12OB OA =， ∴∠OEG =∠BAO ， ∵∠OEG +∠EOG =90° ∴∠BAO +∠EOG =90° 即OE ⊥AB . （3）存在.∵A （3，0），抛物线的对称轴为直线x =1，∴C （－1，0）， ∴AC =3－（－1）=4， ∵OA =OD =3，∠AOD =90°， ∴232AD OA ==，设直线CD 解析式为y =mx +n ，则：03m n n -+=⎧⎨=⎩，解得33m n =⎧⎨=⎩∴直线CD 解析式为y =3x +3， 易知，∠MAO =∠COD ， 分类讨论：①当△AOM ∽△ACD 时，方法一：解析式法欲求P 点坐标，需求直线OP 的解析式，再与抛物线解析式联立即可. 可知，OM ∥CD即直线OP 的解析式为：y =3x ， 联立y =3x ，y =－x 2+2x +3得： x 113-±即P 113-±方法二：比例法 易知AM AN AD OA =,AM AOAD AC=,∴=AN AOOA AC 即3=34AN ∴AN =94，ON =34即M （34，94）∴直线OM 解析式为：y =3x 联立y =3x ，y =－x 2+2x +3得： x =1132-±. 方法三：设参数法设M （m ，－m +3），0<m <3，A （3,0） 易知，AM AOAD AC =，即3432AM = 即AM =924∴（3－m ）2+（－m +3）2=（924）2解析：m =34或m =214（舍）即M （34，94）∴直线OM 解析式为：y =3x 联立y =3x ，y =－x 2+2x +3得： x =1132-±. ②当△AMO ∽△ACD 时，方法一：比例法易知AM AOAC AD =, 即432AM = ∴AM 2由△AMN 为等腰直角三角形，知MN =AN =2， ∴ON =1，即M （1,2） ∴直线OM 的解析式为y =2x ， 联立y =2x ，y =－x 2+2x +3得： x =±3方法二：设参数法 设M （m ，－m +3），0<m <3由AM 2得：（m －3）2+（－m +3）2=（22 解得：m =1或m =5（舍） ∴直线OM 的解析式为y =2x ， 联立y =2x ，y =－x 2+2x +3得： x =±3综上所述，点P 113-±±3 【一题多解 · 对标练习】练习1．（2021·湖南省邵阳市中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C ：()20y ax bx c a =++≠经过点()1,1和()4,1．（1）求抛物线C 的对称轴．（2）当1a =-时，将抛物线C 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线1C ． ①求抛物线1C 的解析式．②设抛物线1C 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ，连接BC ．点D 为第一象限内抛物线1C 上一动点，过点D 作DE OA ⊥于点E ．设点D 的横坐标为m ．是否存在点D ，使得以点O ，D ，E 为顶点的三角形与BOC 相似，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）x=2.5；（2）①y=－x2+x+2；②11+33【解析】解：（1）∵抛物线图像过（1,1）、（4,1）两点，∴抛物线对称轴为：x=（1+4）÷2=2.5；（2）①将点（1,1）、（4,1）向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到（－1,0），（2,0），将点（－1,0），（2,0），a=－1，代入抛物线解析式得：y=－x2+x+2.②根据①中的函数关系式，可得:A（2,0），B（－1,0），C（0,2），D（m，－m2+m+2），其中0<m<2可知∠BOC=∠DEO=90°，以点O，D，E为顶点的三角形与△OBC相似有两种情况，（i）当△ODE∽△BCO时，方法一、比例法则OE DEOB OC=，即2-++2=12m m m，解得m=1或－2（舍），方法二、三角函数tan∠BOC=tan∠ODE即OB OEOC DE=，21=2-++2mm m解得：m=1或－2（舍），（ii）当△ODE∽△CBO时，方法一、比例法则OE DEOC OB=，即2-++2=21m m m，解得：1+331-3344=或（舍）m方法二、三角函数tan∠BOC=tan∠DOE即OB DEOC OE=，21-++2=2m mm解得：1+331-3344=或（舍）m综上所述，满足条件的m的值为1或1+334．【多题一解·典例剖析】例题2．（2021·湖南省怀化市中考）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且2OA=，4OB=，8OC=，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=－x2+2x+8；（2）存在，（1,2）或17 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】解：（1）∵OA=2，OB=4，OC=8，∴A（－2,0）、B（4,0）、C（0,8），设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，∴84201640c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩ 解得：812c a b =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴二次函数的解析式为y =－x 2+2x +8；（2）存在以点P 、C 、M 为顶点的三角形与△MNB 相似， 理由如下：由（1）知抛物线对称轴为直线：x =1，设直线BC 的解析式为y =kx +t ，将点B 、C 坐标代入可得：408k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：28a b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为y =－2x +8， ∴点M （1,6），N （1,0），∴BN =3，MN =6，BM =35，CM =5， 由∠BMN =∠CMP 知，分两种情况讨论： ①当∠CPM =∠MNB =90°时，如图所示：易知CP ∥x 轴，∴点P 坐标为（1,8）.②当∠PCM =∠MNB =90°时，如图所示：∴cos ∠CMP =cos ∠MNB 即CM MNPM BM=， 535=∴PM =52，即点P 坐标为171,2⎛⎫⎪⎝⎭.综上所述，符合要求的P 点坐标为（1,8）或171,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【多题一解 · 对标练习】练习2．（2021·四川省遂宁市中考）如图，已知二次函数的图象与x 轴交于A 和B （－3，0）两点，与y 轴交于C （0，－3），对称轴为直线1x =-，直线y ＝－2x ＋m 经过点A ，且与y 轴交于点D ，与抛物线交于点E ，与对称轴交于点F ．（1）求抛物线的解析式和m 的值；（2）在y 轴上是否存在点P ，使得以D 、E 、P 为顶点的三角形与△AOD 相似，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由.【答案】（1）y =（x +1）2－4；m =2；（2）存在，（0,12）或（0,14.5）.【解析】解：（1）∵二次函数的图象与x 轴交于A 和B （－3，0）两点，对称轴为直线x =－1， ∴A （1，0），设二次函数解析式为：y =a (x －1)(x +3)， 把C （0，－3）代入得： －3=a (0－1)(0+3)， 解得：a =1，即二次函数解析式为：y = (x －1)(x +3)，即：y =（x +1）2－4， ∵直线y ＝－2x ＋m 经过点A ， ∴0=－2×1+m ，解得：m =2；（2）由（1）得：直线AF 的解析式为：y =－2x +2， 又直线y =－2x +2与y 轴交于点D ，与抛物线交于点E ， ∴当x =0时，y =2，即D （0，2），联立()22214y x y x =-+⎧⎪⎨=+-⎪⎩，解得：11512x y =-⎧⎨=⎩，2210x y =⎧⎨=⎩， ∵点E 在第二象限， ∴E （－5，12），以D 、E 、P 为顶点的三角形与△AOD 相似，由∠EDP =∠ADO 知，分两种情况讨论. ①当∠EPD =∠AOD =90°时， 过点E 作EP ⊥y 轴于点P ，此时P （0，12）；②当∠PED =∠AOD =90°时，过点E 作EP ’⊥AE ，则tan ∠ADO =tan ∠PEP’， ∴OA PP OD EP '=，即：125PP '=， 解得：PP ’=2.5，此时P’（0，14.5），综上所述：点P 的坐标为（0，12）或（0，14.5）.练习3. （2021·四川省泸州市中考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线213442y x x =-++与两坐标轴分别相交于A ，B ，C 三点（1）求证：∠ACB =90°（2）点D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ． ①求DE +BF 的最大值；②点G 是AC 的中点，若以点C ，D ，E 为顶点的三角形与AOG 相似，求点D 的坐标．【答案】（1）（2）①9；②（4,6）或（3，254）．【解析】解：（1）在213442y x x =-++中，当x =0，y =4即C （0,4）当y =0时，即2134042x x -++=解得：x =－2或x =8即A (－2,0)，B （8,0）∴AB =10，AC 5BC 5则102=（52+（52即AB 2=AC 2+BC 2∴∠ACB =90°（2）①设直线BC 的解析式为：y =kx +b ，将（0,4），（8,0）代入得： 804k b b +=⎧⎨=⎩，解得：k =－0.5，b =4即直线BC 解析式为y =－0.5x +4设D （m ，213442m m -++），则BF =8－m ，DE =2124m m -+∴DE +BF =2124m m -++8－m =()21294m --+ ∵14-<0∴当m =2时DE +BF 取最大值，最大值为9.②∵点G 是AC 的中点，在Rt △AOC 中，OG =AG 5即△AOG 为等腰三角形，∵∠CAO +∠ACO =∠ACO +∠OCB =90°∴∠CAO =∠OCB又OC ∥DF∴∠OCB =∠CED∴∠CAO =∠CED设D （m ，213442m m -++），则E （m ，－0.5m +4），DE =2124m m-+ 当以点C ，D ，E 为顶点的三角形与△AOG 相似， 分两种情况讨论：①△ECD ∽△AOG 则CEDEAO AG =， 即212425m mCE -+=∴CE 21425m m -+又OC ∥DF ∴CEOFBC OB =845m=∴CE 5m21425m m -+5m解得：m =0（舍）或m =3即D （3，254）②△EDC ∽△AOG ，则CE DEAG OA=，212425m m-+=，∴CE=212452m m-+又OC∥DF，知，CE5m∴212452m m-+5m解得：m=0（舍）或m=4 即D（4,6）综上所述，D点坐标为（3，254）或（4,6）．。
二次函数的存在性问题(相似三角形的存在性问题)
二次函数的存在性问题（相似三角形）1、已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一交点为B。
(1)求抛物线的解析式；(2)若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；(3)连接OA、AB，如图②，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。
，` "A AB BO^x x y yxyF-2,-6A CEPDB5 *1 24 6 G2、设抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m ，0)，与y 轴交于点C.且∠ACB=90°． (1)求m 的值和抛物线的解析式；(2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A 的直线1y x =+交抛物线于另一点E ．若点P 在x 轴上，以点P 、B 、D 为顶点的三角形与△AEB 相似，求点P 的坐标．(3)在(2)的条件下，△BDP 的外接圆半径等于________________．~解：(1)令x=0，得y=－2 ∴C(0，一2)．∵ACB=90°，CO ⊥AB,．∴ △AOC ∽△COB,．∴OA ·OB=OC 2；∴OB=22241OC OA == ∴m=4．3、已知抛物线2y ax bx c =++经过点A （5，0）、B （6，-6）和原点.（1）求抛物线的函数关系式； （2）若过点B 的直线y kx b '=+与抛物线相交于点C （2，m ），请求出∆OBC 的面积S 的值.·（3）过点C 作平行于x 轴的直线交y 轴于点D ，在抛物线对称轴右侧位于直线DC 下方的抛物线上，任取一点P ，过点P 作直线PF 平行于y 轴交x 轴于点F ，交直线DC 于点E . 直线PF 与直线DC 及两坐标轴围成矩形OFED （如图），是否存在点P ，使得∆OCD 与∆CPE 相似若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意得：255036600a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩ 解得150a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩故抛物线的函数关系式为25y x x =-+（2）C 在抛物线上，2252,6m m ∴-+⨯=∴= C ∴点坐标为（2，6），B 、C 在直线y kx b '=+上∴6266k b k b '=+⎧⎨'-=+⎩解得3,12k b '=-=∴直线BC 的解析式为312y x =-+设BC 与x 轴交于点G ，则G 的坐标为（4，0）1146462422OBCS∴=⨯⨯+⨯⨯-= （3）存在P ，使得OCD ∽CPE 设P (,)m n ，90ODC E ∠=∠=︒ 故2,6CE m EP n =-=-若要OCD ∽CPE ，则要OD DC CE EP =或OD DC EP CE = 即6226m n =--或6262n m =-- 解得203m n =-或123n m =- 又(,)m n 在抛物线上，22035m n n m m =-⎧⎨=-+⎩或21235n mn m m=-⎧⎨=-+⎩ 解得12211023,,6509m m n n ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或121226,66m m n n ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ 故P 点坐标为1050()39，和(6,6)-；4、如图，抛物线(1)(5)y a x x =+-与x 轴的交点为M N ，．直线y kx b =+与x 轴交于(20)P -，，与y 轴交于C ．若A B ，两点在直线y kx b =+上，且AO BO ==，AO BO ⊥．D 为线段MN 的中点，OH 为Rt OPC △斜边上的高．（1）OH 的长度等于 ；k = ，b = ．（2）是否存在实数a ，使得抛物线(1)(5)y a x x =+-以D N E ，，为顶点的三角形与AOB △是否还有符合条件的E 点（简要说明理由）每一个E 点，直线NE 与直线AB 的交点G 是否总满足】10PB PG <解：（1）1OH =；k =b =（2）设存在实数a ，使抛物线(1)(5)y a x x =+-上有一点E ，满足以D NE ，，为顶点的三角形与等腰直角AOB △相似．∴以D N E ，，为顶点的三角形为等腰直角三角形，且这样的三角形最多只有两类，一类是以DN 为直角边的等腰直角三角形，另一类是以DN 为斜边的等腰直角三角形．①若DN 为等腰直角三角形的直角边，则ED DN ⊥．由抛物线(1)(5)y a x x =+-得：(10)M -，，(50)N ，．(20)D ∴，，3ED DN ∴==．E ∴的坐标为(23)，．把(23)E ，代入抛物线解析式，得13a =-．∴抛物线解析式为1(1)(5)3y x x =-+-．即2145333y x x =-++．②若DN 为等腰直角三角形的斜边，则DE EN ⊥，DE EN =．E ∴的坐标为(3.51.5)，．把(3.51.5)E ，代入抛物线解析式，得29a =-． ∴抛物线解析式为2(1)(5)9y x x =-+-，即22810999y x x =-++当13a =-时，在抛物线2145333y x x =-++上存在一点(23)E ，满足条件，如果此抛物线上还有满足条件的E 点，不妨设为E '点，那么只有可能DE N '△是以DN 为斜边的等腰直角三角形，由此得(3.51.5)E '，， 显然E '不在抛物线2145333y x x =-++上，故抛物线2145333y x x =-++上没有符合条件的其他的E 点． {当29a =-时，同理可得抛物线22810999y x x =-++上没有符合条件的其他的E 点． 当E 的坐标为(23)，，对应的抛物线解析式为2145333y x x =-++时，EDN △和ABO △都是等腰直角三角形，45GNP PBO ∴∠=∠=又NPG BPO ∠=∠，NPG BPO∴△∽△．PG PNPO PB∴=，2714PB PG PO PN ∴==⨯=，∴总满足10PB PG <．当E 的坐标为(3.51.5)，，对应的抛物线解析式为22810999y x x =-++时，同理可证得：2714PB PG PO PN ==⨯=，∴总满足10PB PG <5、如图，抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M ，使△MOB 的面积是△AOB 面积的3倍；（3）连结OA ，AB ，在x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，使△OBN 与△OAB 相似若存在，求出N 点的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）由题意可设抛物线的解析式为1)2(2+-=x a y·∵抛物线过原点 ∴01)20(2=+-a ∴41-=a∴抛物线的解析式为1)2(412+--=x y 即x x y +-=241.（2）∵△AOB 与△MOB 同底不等高 又∵S △MOB =3 S △AOB ∴△MOB 的高是△AOB 高的3倍 即点M 的纵坐标是3-∴x x +-=-2413 ∴01242=--x x 解得 61=x ，22-=x∴)36(1-，M )32(2--，M （3）由抛物线的对称性可知：AO =ABABO AOB ∠=∠若△OBN 与△OAB 相似， 必须有BNO BOA BON ∠=∠=∠， 显然 )12('-，A ∴直线ON 的解析式为x y 21-=， 由x x x +-=24121，得01=x ，62=x ∴)36(-，N 过N 作NE ⊥x 轴，垂足为E . 在Rt △BEN 中，BE =2，NE =3，∴133222=+=NB 又OB =4 ∴NB ≠OB ∴∠BON ≠∠BNO ∴△OBN 与△OAB 不相似，同理说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N 点.故在抛物线上不存在N 点，使得△OBN 与△OAB 相似】6、如图所示，将矩形OABC 沿AE 折叠，使点O 恰好落在BC 上F 处，以CF 为边作正方形CFGH ，延长BC 至M ， 使CM ＝｜CE —EO ｜，再以CM 、CO 为边作矩形CMNO. (1)试比较EO 、EC 的大小，并说明理由；(2)令CMNOCFGH S S m 四边形四边形=，请问m 是否为定值若是，请求出m 的值；若不是，请说明理由；(3)在(2)的条件下，若CO ＝1，CE ＝31，Q 为AE 上一点且QF ＝32，抛物线y ＝mx 2+bx+c 经过C 、Q 两点，请求出此抛物线的解析式. (4)在(3)的条件下，若抛物线y ＝mx 2+bx+c 与线段AB 交于点P ，试问在直线BC 上是否存在点K ，使得以P 、B 、K 为顶点的三角形与△AEF 相似若存在，请求直线KP 与y 轴的交点T 的坐标若不存在，请说明理由。
中考数学压轴题解题策略：相似三角形的存在性问题
相似三角形的存在性问题解题策略专题攻略相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题1、2、3、4．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6．应用判定定理3解题不多见，如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方程(组)．例题解析例❶如图1-1,抛物线y=1x2-3x+4与X轴交于A、B两点(A点在B点左侧),与y轴交于点C.动82直线EF(EF//x轴)从点C开始，以每秒1个单位的速度沿y轴负方向平移，且分别交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段0B上以每秒2个单位的速度向原点0运动.是否存在t,使得△匕卩卩与厶ABC相似.若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由.图1-1【解析】ABP卩与厶ABC有公共角ZB，那么我们梳理两个三角形中夹ZB的两条边.△ABC是确定的.由y=x2-x+4，可得A(4,0)、B(&0)、C(0,4).782于是得到BA=4,BC=4*5.还可得到C E=C0=1.EF OB2△BPF中，BP=21,那么BF的长用含t的式子表示出来，问题就解决了. 在RtAEFC中，CE=t,EF=21,所以CF=^5t.因此BF=处5-呂二*；5(4-1).于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程BABP ①当—时，BCBF42t44_—.解得t—（如图1-2）. 4冒55（4-1）3BABF ②当—时，BCBP4—〔5（4-1）.解得1—20（如图1-3）. 4f5217得顶点M(1,-图1-2 图1-3例❷如图2-1,在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx(a>0)经过点A和x轴正半轴上的点B,AO=BO=2,ZAOB=120°.(1)这条抛【解析】AABC与AAOM中相等的一组角在哪里呢?本题由简到难，层层深入.第(1)题求出抛物线的解析式，得到顶点M的坐标，为第(2)题求ZAOM的大小作铺垫；求得了ZAOM的大小，第(3)题暗示了要在△ABC中寻找与ZAOM相等的角.(1)如图2-2,过点A作AH丄y轴，垂足为H.容易得到A(-1,3).再由A(-1,J3)、B(2,0)两点，可求得抛物线的解析式为y二辜x2-睾x.⑵由y吕x2一斗x召(x-1)2-斗,v33(3)由A (-1,\：'3)、B(2,0),可得ZABO=30°. 因此当点C 在点B 右侧时，ZABC=ZA0M=150°. 所以△ABC 与AAOM 相似，存在两种情况：① 当燮=_°A 仝时，BC =BA ==2.此时C(4,0)(如图2-3).BCOM J3弋3 BC OA —② 当==时，BC =x/3BA =\3x 2\；3=6.此时C (8,0)(如图2-4).BAOM图2-3.图2-4例❸如图3-1,抛物线y=ax 2+bx —3与x 轴交于A(l,0)、B(3,0)两点，与y 轴交于点D,顶点为C.(1)求此抛物线的解析式；(2)在x 轴下方的抛物线上是否存在点M,过M 作MN 丄x 轴于点N,使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.图3-1【解析】AAMN 是直角三角形，因此必须先证明△BCD 是直角三角形.一般情况下，根据直角边对应成比例分两种情况列方程.所以 tan ZBOM=.所以ZBOM=30。
冲刺2022年上海中考数学压轴题第7讲 相似三角形的存在性 解法分析与经典变式(解析版)
第7讲相似三角形的存在性在很多与相似三角形相关的压轴题中，其中常见的一种题型就是相似三角形的存在性讨论。
对于相似三角形的存在性问题，一般来说，会有一组等角，然后从边或从角的角度进行分类讨论：通常，我们还可以借助基本图形分析法，找到边与角的数量关系，从而完成上述问题的讨论。
例1.（2022金山一模25题）.已知：如图 11，AD⊥直线MN，垂足为D，AD=8，点B 是射线DM 上的一个动点，∠BAC=90°，边AC 交射线DN 于点C，∠ABC 的平分线分别与AD、AC 相交于点E、F.（1）求证：△ABE∽△CBF；（2）如果AE=x，FC=y，求y 关于x 的函数关系式；（3）联结DF，如果以点D、E、F 为顶点的三角形与△BCF 相似，求AE 的长.2022金山一模25题的图形背景是母子型+角平分线，解题路径围绕着相似三角形的性质定理、判定定理以及射影定理展开。
题型主要围绕证明三角相似，函数关系的建立以及相似三角形的存在性讨论。
本题的关键是根据三角形的相似或角平分线的性质标出图形中的等角，然后再根据角的等量关系确定线段间的数量关系。
解法分析：本题的第一问是相似三角形的判定。
利用角平分线和平行线得到等角，继而再射影定理模型中的等角关系，利用A.A判定相似即可。
解法分析：本题的第二问是函数关系的确立。
利用第一问中相似三角形对应线段成比例以及等角的三角比相等可以顺利地建立函数关系。
解法分析：本题的第三问是相似三角形的存在性讨论。
由第一问中角的数量关系可得∠BFC=∠DEF ，因此由角进行分类讨论。
在分类讨论的过程中，善于运用斜X 型和射影定理模型即可快速得到结论，对于不存在的情况要能够排除。
解：（1）∵AD ⊥直线MN ，∠BAC =90°，∴∠BAD +∠ABD = 90°， ∠BCF +∠ABD = 90°，∴∠BAD =∠BCF ……………………………………………………………………………（1分）∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABE =∠CBF ………………………………………………………（1分） ∴△ABE ∽△CBF . …………………………………………………………………………（1分）（2）作FH ⊥BC 垂足为点H .∵△ABE ∽△CBF ，∴∠AEB =∠CFB ，∵∠AEB+∠AEF =180°，∠CFB+∠CFE =180°∴∠AEF =∠CFE ，∴AE =AF=x ；…………………………………………………………（1分） ∵BF 平分∠ABC ，FH ⊥BC ，∠BAC =90°，∴AF=FH=x .∵FH ⊥BC ，AD ⊥直线MN ，∴FH∥AD ，∴FH FC AD AC=，即8x y y x =+，…………（2分） 解得：28x y x=-（48x <<）……………………………………………………………（2分）（3）设AE=x ，由△ABE ∽△CBF ，如果以点D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCF 相似，即以点D 、E 、F 为顶点的三角形与△ABE 相似.∵∠AEB =∠DEF ，如果∠BAE =∠FDE ，得DF∥AB ，∴∠ABE =∠DFE ，∵∠ABE =∠DBE , ∴∠DBE =∠DFE ，∴BD=DF , ………………………………………（1分） 由DF∥AB ，得∠DFC=∠BAC =90°，∴∠DFC=∠ABD =90°，又∠BAD =∠BCF ，∴△ABD ≌△CDF ，…………………………………………………（1分）CF=AD=8，即2=88x x-，解得：4x =-±（舍去负值），∴4AE x ==-+…………………………（1分）如果∠BAE =∠DFE ，得AE BE EF DE=，∵∠ABF =∠BED ，∴△AEF ∽△BED ，∴∠AFE =∠BDE ， 因为∠AFE 是锐角，∠BDE 是直角，所以这种情况不成立。
中考数学压轴题：二次函数综合、相似三角形存在性问题
中考数学压轴题：二次函数综合、相似三角形存在性问题1．如图，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若C1C2=65，求m的值．2．如图，抛物线y＝ax2+bx+√3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；（2）连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M、O、A为顶点的三角形与△AOC相似．请直接写出所有符合条件的点M坐标．3．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．该抛物线的顶点为M．（1）求该抛物线的解析式；（2）判断△BCM的形状，并说明理由；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y＝x﹣2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）求证：△ABC是直角三角形；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P在抛物线的对称轴上，当△ACP的周长最小时，求出点P的坐标；（3）点N在抛物线上，点M在抛物线的对称轴上，是否存在以点N为直角顶点的Rt△DNM与Rt△BOC相似？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知抛物线y=13x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP 的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于C（0，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）D是C关于x轴的对称点，P是抛物线上的一点，当△PBD与△AOC相似时，求符合条件的P点的坐标．8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连接BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P 运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；9．如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+bx +c （b ，c 为常数）的图象经过点A （3，1），点C （0，4），顶点为点M ，过点A 作AB ∥x 轴，交y 轴于点D ，交该二次函数图象于点B ，连接BC ．（1）求该二次函数的解析式及点M 的坐标；（2）点P 是直线AC 上的动点，若点P ，点C ，点M 所构成的三角形与△BCD 相似，请直接写出所有点P 的坐标．10．如图，抛物线y ＝ax 2+bx 经过两点A （﹣1，1），B （2，2）．过点B 作BC ∥x 轴，交抛物线于点C ，交y 轴于点D ．（1）求此抛物线对应的函数表达式及点C 的坐标；（2）若抛物线上存在点M ，使得△BCM 的面积为72，求出点M 的坐标； （3）连接OA 、OB 、OC 、AC ，在坐标平面内，求使得△AOC 与△OBN 相似（边OA 与边OB 对应）的点N 的坐标．11．如图1，抛物线y＝ax2+1经过点A（4，﹣3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；（2）如图2，设点C（1，﹣2），问是否存在点P，使得以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．。
二次函数-相似三角形存在性问题(一)-含答案
似？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
y C
A O
B x
（1）求抛物线的解析式； （2）如图 2，直线 OQ 与线段 BC 相交于点 E，当△OBE 与△ABC 相似时，求点 Q 的坐标．
y
y
A O
B x
C
D
图1
A O
C
B x
E Q
D
图2
第2页,共14页
【分析】
（1）抛物线： y = x2 − 2x − 3；
（2）思路：考虑到△ABC 和△BOE 有一组公共角，公共角必是对应角．
根据线段长度可知∠ABQ 与∠ABC 的两边并不成比例，故（-8，-7）舍掉．
情况二：若∠ABQ=∠BAC，
过点 B 作 AC 平行线，与抛物线交点即为 Q 点．
易得直线 BQ 解析式： y = 3 x − 9 ， 42
联立方程：
3 4
x
−
9 2
=
−1 8
x2
+
1 4
x
+
3 ，解得：
x1
=
−10
，
x2
的坐标．
y B
A
C
O
x
第6页,共14页
【分析】 （1） y = 1 x2 − 2x +1 ；
3 （2） tan ABC = 1 ；
2 （3）思路：平行得相等角，构造两边成比例
相似三角形存在性问题
因动点产生的相似三角形问题例1 2015年市宝山区嘉定区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定24”，拖动点E在射线CB上运动，可以体验到，△ACE与△ACD相似，存在两种情况．思路点拨1．直线AD//BC，与坐标轴的夹角为45°．2．求△ABC的面积，一般用割补法．3．讨论△ACE与△ACD相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程．满分解答（1）将点A(2, m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2, 4)．将点A(2, 4)代入kyx=，得k＝8．（2）将点B(n, 2)，代入8yx=，得n＝4．所以点B的坐标为(4, 2)．设直线BC为y＝x＋b，代入点B(4, 2)，得b＝－2．所以点C的坐标为(0,－2)．由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,－2)，可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4．所以AB＝22，BC＝42，∠ABC＝90°．图2所以S△ABC＝12BA BC⋅＝122422⨯⨯＝8．（3）由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,－2)，得AD＝22，AC＝210．由于∠DAC＋∠ACD＝45°，∠ACE＋∠ACD＝45°，所以∠DAC＝∠ACE．所以△ACE与△ACD相似，分两种情况：①如图3，当CE ADCA AC=时，CE＝AD＝22．此时△ACD≌△CAE，相似比为1．②如图4，当CE ACCA AD=时，21021022=．解得CE＝102．此时C、E两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E(10, 8)．图3 图4考点伸展第（2）题我们在计算△ABC的面积时，恰好△ABC是直角三角形．一般情况下，在坐标平面计算图形的面积，用割补法．如图5，作△ABC的外接矩形HCNM，MN//y轴．由S矩形HCNM＝24，S△AHC＝6，S△AMB＝2，S△BCN＝8，得S△ABC＝8．图5例2 2014年市中考第24题如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“1424”，拖动点P运动，可以体验到，若△BPQ可以两次成为直角三角形，与△ABC相似．当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．PQ的中点H在△ABC的中位线EF上．思路点拨1．△BPQ与△ABC有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程．2．作PD⊥BC于D，动点P、Q的速度，暗含了BD＝CQ．3．PQ的中点H在哪条中位线上？画两个不同时刻P、Q、H的位置，一目了然．满分解答（1）Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．△BPQ与△ABC相似，存在两种情况：①如果BP BABQ BC=，那么510848tt=-．解得t＝1．②如果BP BCBQ BA=，那么588410tt=-．解得3241t=．图3 图4 （2）作PD⊥BC，垂足为D．在Rt △BPD 中，BP ＝5t ，cos B ＝45，所以BD ＝BP cos B ＝4t ，PD ＝3t ． 当AQ ⊥CP 时，△ACQ ∽△CDP ．所以AC CD QC PD =，即68443t t t -=．解得78t =．图5 图6（3）如图4，过PQ 的中点H 作BC 的垂线，垂足为F ，交AB 于E ．由于H 是PQ 的中点，HF //PD ，所以F 是QD 的中点．又因为BD ＝CQ ＝4t ，所以BF ＝CF ．因此F 是BC 的中点，E 是AB 的中点．所以PQ 的中点H 在△ABC 的中位线EF 上．例3 2012年市中考第29题如图1，已知抛物线211(1)444b y x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“1229”，拖动点B 在x 轴的正半轴上运动，可以体验到，点P 到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB 的面积等于2b 的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B ，可以体验到，存在∠OQA ＝∠B 的时刻，也存在∠OQ ′A ＝∠B 的时刻．思路点拨1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等．2．联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示．3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上．满分解答（1）B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为(0,4b)．（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC．因此PD＝PE．设点P的坐标为(x, x)．如图3，联结OP．所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝1152428bx b x bx⨯⋅+⨯⋅=＝2b．解得165x=．所以点P的坐标为(1616,55)．图2 图3（3）由2111(1)(1)()4444by x b x x x b=-++=--，得A(1, 0)，OA＝1．①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．当BA QAQA OA=，即2QA BA OA=⋅时，△BQA∽△QOA．所以2()14bb=-．解得843b=±Q为(1,23)．②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。
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因动点产生得相似三角形问题例1 ２015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第2４题如图1,在平面直角坐标系中,双曲线(k≠０)与直线y=x+２都经过点A(2, m).(1)求ｋ与ｍ得值;(2)此双曲线又经过点B(ｎ, ２),过点B得直线BＣ与直线y=x＋2平行交ｙ轴于点C,联结AB、AＣ,求△ＡBC得面积;(３)在(2)得条件下,设直线y=ｘ+２与y轴交于点D,在射线CB上有一点E,如果以点Ａ、C、Ｅ所组成得三角形与△AＣＤ相似,且相似比不为1,求点E得坐标、图１动感体验请打开几何画板文件名“１5宝山嘉定２4”,拖动点E在射线CB上运动,可以体验到,△ACE与△ACD相似,存在两种情况。
思路点拨１、直线AD/／BＣ,与坐标轴得夹角为45°.2.求△AＢC得面积,一般用割补法.３。
讨论△ACＥ与△ＡCD相似,先寻找一组等角,再根据对应边成比例分两种情况列方程.满分解答(1)将点Ａ(２, m)代入ｙ＝ｘ＋２,得m=４.所以点Ａ得坐标为(２,4).将点A(2, 4)代入,得k＝8。
(２)将点B(n, 2),代入,得n=４。
所以点Ｂ得坐标为(4, 2)、设直线ＢＣ为y=x＋ｂ,代入点B(4, 2),得b=—2.所以点C得坐标为(0,—2).由A(2, ４) 、Ｂ(4, 2) 、Ｃ(0,-2),可知A、B两点间得水平距离与竖直距离都就是２,B、C两点间得水平距离与竖直距离都就是4.所以AＢ＝,BC＝,∠ＡBＣ＝９0°.图２所以S△ＡBC＝＝=8、(3)由Ａ(2, 4)、Ｄ(0, 2) 、C(0,—2),得AD＝,AC＝、由于∠ＤAＣ+∠ACＤ=4５°,∠ＡCE＋∠ACＤ＝4５°,所以∠DAC＝∠ACE。
所以△ACE与△ＡCD相似,分两种情况:①如图3,当时,CE＝AＤ=.此时△ACD≌△CAE,相似比为1.②如图４,当时,、解得CＥ＝.此时Ｃ、E两点间得水平距离与竖直距离都就是10,所以E(10, ８)、图3 图4考点伸展第(2)题我们在计算△ＡBC得面积时,恰好△ＡBC就是直角三角形、一般情况下,在坐标平面内计算图形得面积,用割补法、如图5,作△AＢＣ得外接矩形ＨＣNＭ,MN/／y轴.由S矩形HCNM=2４,S△AHC=6,S△ＡMB=2,S△BCN＝8,得S△ABC＝8.图5例２201４年武汉市中考第24题如图1,Rt△ABC中,∠ＡCB＝９0°,ＡC=6 cm,BC＝８cm,动点Ｐ从点Ｂ出发,在BA边上以每秒５cｍ得速度向点Ａ匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4 ｃm得速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t＜2),连接PQ。
(1)若△BPQ与△ABC相似,求t得值;(2)如图2,连接AＱ、ＣP,若AQ⊥CP,求ｔ得值;(３)试证明:PQ得中点在△ABC得一条中位线上、图１图2动感体验请打开几何画板文件名“14武汉２4”,拖动点Ｐ运动,可以体验到,若△ＢPQ可以两次成为直角三角形,与△ABＣ相似.当AQ⊥CP时,△ＡＣQ∽△ＣＤP、PＱ得中点H在△ABＣ得中位线EF上、思路点拨1、△BPQ与△ＡBC有公共角,按照夹角相等,对应边成比例,分两种情况列方程、2.作ＰD⊥ＢC于Ｄ,动点Ｐ、Q得速度,暗含了BＤ＝CQ。
3。
PQ得中点H在哪条中位线上？画两个不同时刻P、Q、Ｈ得位置,一目了然。
满分解答(1)Ｒt△ABC中,AC＝６,BC＝８,所以ＡB=１０.△BPQ与△ABC相似,存在两种情况:①如果,那么.解得t＝1.②如果,那么.解得。
图3 图4(2)作PD⊥ＢC,垂足为D。
在Rt△BPD中,BP=5ｔ,cos B=,所以BD=BPｃosＢ＝4t,ＰＤ＝3t。
当ＡQ⊥ＣP时,△ＡＣQ∽△CDP、所以,即。
解得.图５图6(３)如图４,过ＰQ得中点H作BC得垂线,垂足为F,交ＡＢ于E.由于H就是PQ得中点,ＨF//PＤ,所以F就是QD得中点、又因为BD=ＣQ＝4t,所以BF=CＦ。
因此F就是BC得中点,E就是AＢ得中点。
所以PQ得中点H在△ＡBＣ得中位线ＥＦ上.例3 2０12年苏州市中考第2９题如图1,已知抛物线(b就是实数且b＞２)与ｘ轴得正半轴分别交于点Ａ、B(点A位于点B 就是左侧),与y轴得正半轴交于点C、(１)点B得坐标为_____＿,点C得坐标为＿＿_＿____＿_(用含b得代数式表示);(2)请您探索在第一象限内就是否存在点Ｐ,使得四边形PCOB得面积等于２b,且△ＰBC 就是以点P为直角顶点得等腰直角三角形？如果存在,求出点P得坐标;如果不存在,请说明理由;(3)请您进一步探索在第一象限内就是否存在点Q,使得△QCO、△QOA与△QAＢ中得任意两个三角形均相似(全等可瞧作相似得特殊情况)?如果存在,求出点Q得坐标;如果不存在,请说明理由.图1动感体验请打开几何画板文件名“１2苏州２９”,拖动点Ｂ在x轴得正半轴上运动,可以体验到,点Ｐ到两坐标轴得距离相等,存在四边形PＣOＢ得面积等于2ｂ得时刻.双击按钮“第(3)题”,拖动点B,可以体验到,存在∠ＯQA=∠B得时刻,也存在∠OＱ′A＝∠B得时刻.思路点拨1。
第(２)题中,等腰直角三角形PBＣ暗示了点P到两坐标轴得距离相等.2.联结OP,把四边形PCOＢ重新分割为两个等高得三角形,底边可以用含b得式子表示。
3、第(３)题要探究三个三角形两两相似,第一直觉这三个三角形就是直角三角形,点Q最大得可能在经过点A与x轴垂直得直线上.满分解答(1)B得坐标为(b, 0),点C得坐标为(0, )、(2)如图2,过点P作PD⊥ｘ轴,PE⊥y轴,垂足分别为D、E,那么△PＤB≌△PEC。
因此PＤ＝PＥ、设点P得坐标为(ｘ, x)、如图3,联结OP.所以Ｓ四边形ＰCOB＝S△ＰCＯ＋S△PBO＝=2b。
解得。
所以点P得坐标为()。
图２图3(3)由,得A(1, 0),OA＝1、①如图４,以OＡ、OＣ为邻边构造矩形OAQC,那么△ＯQC≌△QＯA。
当,即时,△BQＡ∽△QOA.所以.解得。
所以符合题意得点Q为().②如图５,以OC为直径得圆与直线x＝1交于点Q,那么∠OQC＝90°。
因此△OCQ∽△ＱＯA.当时,△BＱA∽△QOA、此时∠ＯQＢ＝90°。
所以C、Q、B三点共线.因此,即.解得。
此时Q(1,4).图4 图５考点伸展第(３)题得思路就是,Ａ、Ｃ、Ｏ三点就是确定得,B就是x轴正半轴上待定得点,而∠QOA 与∠QＯＣ就是互余得,那么我们自然想到三个三角形都就是直角三角形得情况.这样,先根据△QＯA与△QOC相似把点Ｑ得位置确定下来,再根据两直角边对应成比例确定点Ｂ得位置、如图中,圆与直线ｘ＝1得另一个交点会不会就是符合题意得点Q呢?如果符合题意得话,那么点B得位置距离点A很近,这与OB=４ＯＣ矛盾.例5 201０年义乌市中考第24题如图1,已知梯形OＡBC,抛物线分别过点O(0,0)、A(2,0)、B(６,3)。
(1)直接写出抛物线得对称轴、解析式及顶点M得坐标;(２)将图1中梯形OABC得上下底边所在得直线OA、CＢ以相同得速度同时向上平移,分别交抛物线于点Ｏ1、A１、C1、B1,得到如图2得梯形O１A1B1C1.设梯形O1A1B1C１得面积为Ｓ,A1、B1得坐标分别为(x１,y1)、(ｘ2,y2).用含S得代数式表示x2－x１,并求出当S=36时点A1得坐标;(3)在图1中,设点D得坐标为(1,3),动点P从点B出发,以每秒1个单位长度得速度沿着线段BC运动,动点Q从点D出发,以与点P相同得速度沿着线段ＤM运动.P、Ｑ两点同时出发,当点Ｑ到达点M时,Ｐ、Q两点同时停止运动.设Ｐ、Ｑ两点得运动时间为ｔ,就是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线AＢ、x轴围成得三角形与直线PQ、直线AＢ、抛物线得对称轴围成得三角形相似？若存在,请求出t得值;若不存在,请说明理由.图1图2动感体验请打开几何画板文件名“10义乌２4”,拖动点I上下运动,观察图形与图象,可以体验到,ｘ2－x1随S得增大而减小.双击按钮“第(3)题”,拖动点Q在ＤM上运动,可以体验到,如果∠GAＦ＝∠ＧＱE,那么△GAＦ与△GＱＥ相似.思路点拨1.第(2)题用含S得代数式表示x2－x1,我们反其道而行之,用x1,x2表示S。
再注意平移过程中梯形得高保持不变,即y2－y１＝3、通过代数变形就可以了、2.第(３)题最大得障碍在于画示意图,在没有计算结果得情况下,无法画出准确得位置关系,因此本题得策略就是先假设,再说理计算,后验证.３。
第(３)题得示意图,不变得关系就是:直线ＡＢ与x轴得夹角不变,直线AB与抛物线得对称轴得夹角不变.变化得直线ＰQ得斜率,因此假设直线PQ与AB得交点G在ｘ轴得下方,或者假设交点G在x轴得上方.满分解答(1)抛物线得对称轴为直线,解析式为,顶点为Ｍ(1,)、(2)梯形O1A1B1C１得面积,由此得到.由于,所以.整理,得、因此得到.当S＝3６时, 解得此时点Ａ1得坐标为(６,3).(3)设直线AB与PQ交于点G,直线ＡＢ与抛物线得对称轴交于点E,直线ＰQ与x轴交于点F,那么要探求相似得△GAF与△GQE,有一个公共角∠G。
在△GEQ中,∠GEQ就是直线AB与抛物线对称轴得夹角,为定值、在△ＧＡF中,∠ＧAF就是直线AB与x轴得夹角,也为定值,而且∠GEQ≠∠GAF、因此只存在∠GQE＝∠GＡF得可能,△ＧQＥ∽△GAF.这时∠GAF=∠ＧQE=∠PQD、由于,,所以.解得.图３图4考点伸展第(3)题就是否存在点G在x轴上方得情况?如图4,假如存在,说理过程相同,求得得t得值也就是相同得.事实上,图３与图4都就是假设存在得示意图,实际得图形更接近图3。
例6 2009年临沂市中考第26题如图1,抛物线经过点Ａ(4,0)、B(1,0)、C(０,－2)三点、(1)求此抛物线得解析式;(2)Ｐ就是抛物线上得一个动点,过P作PM⊥x轴,垂足为Ｍ,就是否存在点P,使得以A、Ｐ、M为顶点得三角形与△ＯAC相似?若存在,请求出符合条件得点P得坐标;若不存在,请说明理由;(3)在直线AＣ上方得抛物线就是有一点D,使得△ＤCＡ得面积最大,求出点D得坐标、,图1动感体验请打开几何画板文件名“09临沂26”,拖动点Ｐ在抛物线上运动,可以体验到,△P AM得形状在变化,分别双击按钮“P在Ｂ左侧”、“Ｐ在x轴上方”与“Ｐ在A右侧”,可以显示△P AＭ与△OAC相似得三个情景.双击按钮“第(3)题", 拖动点Ｄ在x轴上方得抛物线上运动,观察△DCA得形状与面积随D变化得图象,可以体验到,Ｅ就是AC得中点时,△DCA得面积最大.思路点拨1.已知抛物线与x轴得两个交点,用待定系数法求解析式时,设交点式比较简便、２.数形结合,用解析式表示图象上点得坐标,用点得坐标表示线段得长.3。