相似三角形的存在性问题
相似三角形的存在性问题
相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。
难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．【解题攻略】相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。
应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．【解题类型及其思路】相似三角形存在性问题需要注意的问题：1、若题目中问题为△ABC∽△DEF ，则对应线段已经确定。
2、若题目中为△ABC与△DEF相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC∽△DEF ,②△ABC∽△FDE、③△ABC∽△EFD、3、若题目中为△ABC与△DEF并且有∠A、∠D（或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC∽△DEF ，②、△ABC∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。
【典例指引】类型一 【确定符合相似三角形的点的坐标】典例指引1．（2017年湖北鄂州中考）已知，抛物线23y ax bx =++（a ＜0）与x 轴交于A （3，0）、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴是直线x =1，D 为抛物线的顶点，点E 在y 轴C 点的上方，且CE =12． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）求证：直线DE 是△ACD 外接圆的切线；（3）在直线AC 上方的抛物线上找一点P ，使12PAC ACD S S ∆∆=，求点P 的坐标； （4）在坐标轴上找一点M ，使以点B 、C 、M 为顶点的三角形与△ACD 相似，直接写出点M 的坐标．【举一反三】（2017年山东省济宁附中二模）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，（点A 在点B的左侧），与直线AC交于点C（2，3），直线AC与抛物线的对称轴l相交于点D，连接BD．（1）求抛物线的函数表达式，并求出点D的坐标；（2）如图2，若点M、N同时从点D出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿DA、DB运动，连接MN，将△DMN沿MN翻折，得到△D′MN，判断四边形DMD′N的形状，并说明理由，当运动时间t为何值时，点D′恰好落在x轴上？（3）在平面内，是否存在点P（异于A点），使得以P、B、D为顶点的三角形与△ABD相似（全等除外）？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．类型二【确定符合相似三角形的动点的运动时间或路程等】典例指引2．（2017年广东省深圳市模拟）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线2=++经过O，D，C三点.y ax bx c(1)求AD的长及抛物线的解析式；(2)一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ADE相似？(3)点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.本题考查了二次函数综合题，题目涉及了图形的折叠变换、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等重点知识．后两问的情况较多，需要进行分类讨论，以免漏解．【举一反三】（2017年云南昆明市官渡区一中模拟）如图,已知一次函数y=0.5x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,二次函数y=0.5x2+bx+c的图象与一次函数y=0.5x+1的图象交于点B、C两点,与x轴交于D、E两点,且D 点坐标为（1,0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在在x轴上有一动点P，从O点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动，是否存在动点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P运动时间t的值；若不存在，请说明理由；（3）若动点P在x轴上，动点Q在射线AC上，同时从A点出发，点P沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．类型三【确定符合相似三角形的函数解析式或字母参数的值】典例指引3．（2017年江苏省徐州市中考数学模拟）如图，已知：在平面直角坐标系中，直线l与y轴相交于点A（0，m）其中m＜0，与x轴相交于点B（4，0）．抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为F，它与直线l相交于点C，其对称轴分别与直线l和x轴相交于点D和点E．（1）设a=12，m=﹣2时，①求出点C、点D的坐标；②抛物线y=ax2+bx上是否存在点G，使得以G、C、D、F四点为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．（2）当以F、C、D为顶点的三角形与△BED相似且满足三角形FAC的面积与三角形FBC面积之比为1：3时，求抛物线的函数表达式．【名师点睛】本题考查了二次函数综合题，利用解方程组是求C点坐标的关键；利用菱形的对角线垂直且互相平分是求G 点的关键；利用相似三角形的性质的出关于a的方程是解题关键，又利用了平行线分线段成比例．【举一反三】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．【新题训练】1．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()2,1-，并且与y 轴交于点()0,3C ，与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1，设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ，问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与BCO 相似．若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．2．平面直角坐标系xOy 中，对称轴平行与y 轴的抛物线过点()1,0A 、()3,0B 和()4,6C ．（1）求抛物线的表达式．（2）现将此抛物线先沿x 轴方向向右平移6个单位，再沿y 轴方向平移k 个单位，若所得抛物线与x 轴交于点D 、E （点D 在点E 的左边），且使ACD AEC ∽（顶点A 、C 、D 依次对应顶点A 、E 、C ），试求k 的值，并说明方向．3．已知：关于x 的二次函数y=x 2+bx+c 经过点（﹣1，0）和（2，6）．（1）求b 和c 的值．（2）若点A （n ，y 1），B （n+1，y 2），C （n+2，y 3）都在这个二次函数的图象上，问是否存在整数n ，使123111310y y y ++=？若存在，请求出n ；若不存在，请说明理由． （3）若点P 是二次函数图象在y 轴左侧部分上的一个动点，将直线y=﹣2x 沿y 轴向下平移，分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点，若以CD 为直角边的△PCD 与△OCD 相似，请求出所有符合条件点P 的坐标．4．如图，二次函数22y ax bx =++的图像与x 轴交于点A ()1,0-、B ()4,0，与y 轴交于点C ． （1）a = ； b = ；（2）点P 为该函数在第一象限内的图像上的一点，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，连接PC ，①求线段PQ 的最大值；②若以P 、C 、Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似，求点P 的坐标．5．如图，抛物线28y ax bx =+-交x 轴于A ， B 两点，交y 轴于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称交于点E ，连接CE ，点A ， D 的坐标分别为()2,0-， ()6,8-． （1）求抛物线的解析式，并分别求出点B 和点E 的坐标．（2）在抛物线上是否存在点F ，使FOE ≌FCE ，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．6．已知直线y=2x﹣5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．（1）如图，当点M与点A重合时，求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，求点N的坐标和线段MN的长；（3）抛物线y=﹣x2+bx+c在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN与△AOB相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x的顶点为A，直线y=x﹣2与抛物线交于B，C两点．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）作CD⊥x轴于点D，求证：△ODC∽△ABC；（3）若点P为抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说明理由．8．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；（2）求出线段BC、BE、ED的长度；（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时C、I两点之间的距离．9．如图，已知抛物线y=ax2﹣x+c的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），顶点为B．点C （5，m）在抛物线上，直线BC交x轴于点E．（1）求抛物线的表达式及点E的坐标；（2）联结AB，求∠B的正切值；（3）点G为线段AC上一点，过点G作CB的垂线交x轴于点M（位于点E右侧），当△CGM与△ABE相似时，求点M的坐标．10．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点B、C的坐标；（2）求△ABC的内切圆半径；学=科网（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．。
专题03 动点引起的相似三角形存在性问题(解析版)
专题04 动点引起的相似三角形存在性问题【相似三角形存在性】以A 、B 、C 为顶点的三角形与已知△DEF 相似，其中，∠ABC =∠DEF 分类讨论：①△ABC ∽△DEF ；②△CBA ∽△DEF 可得到：AB BC DE EF =；AB BC EF DE=，特殊地，当∠ABC =∠DEF =90°时，可借助tan ∠BAC =tan ∠DFE 或tan ∠BCA =tan ∠DFE 解答问题.【一题多解 · 典例剖析】例题1. （2021·山东省济宁市中考）如图，直线1322y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，过点A 的抛物线2y x bx c =-++与x 轴的另一交点为C ，与y 轴交于点()0,3D ，抛物线的对称轴l 交AD 于E ，连接OE 交AB于点F ．（1）求抛物线解析式； （2）求证：OE AB ⊥；（3）P 为抛物线上的一动点，直线PO 交AD 于点M ，是否存在这样的点P ，使以A ，O ，M 为顶点的三角形与ACD △相似？若存在，求点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y =－x 2+2x +3；（2）见解析；（3）存在，点P 113-±或±3 【解析】解：（1）∵直线1322y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B∴A （3,0），B （0，32）， 又抛物线经过A （3，0），D （0，3），∴22033300b c c ⎧=-++⎨=-++⎩， 解得：23b c =⎧⎨=⎩即抛物线的解析式为y =－x 2+2x +3；（2）由y =－x 2+2x +3得，抛物线对称轴为x =1 设直线AD 的解析式为：y =kx +a ， 将A （3，0），D （0，3）代入得：303k b b +=⎧⎨=⎩， 解得13k b =-⎧⎨=⎩即直线AD 的解析式为：y =－x +3， ∴E （1，2），G （1，0），在Rt △OEG 中，知tan ∠OEG =12OG EG = ， 在Rt △OAB 中，tan ∠BAO =12OB OA =， ∴∠OEG =∠BAO ， ∵∠OEG +∠EOG =90° ∴∠BAO +∠EOG =90° 即OE ⊥AB . （3）存在.∵A （3，0），抛物线的对称轴为直线x =1，∴C （－1，0）， ∴AC =3－（－1）=4， ∵OA =OD =3，∠AOD =90°， ∴232AD OA ==，设直线CD 解析式为y =mx +n ，则：03m n n -+=⎧⎨=⎩，解得33m n =⎧⎨=⎩∴直线CD 解析式为y =3x +3， 易知，∠MAO =∠COD ， 分类讨论：①当△AOM ∽△ACD 时，方法一：解析式法欲求P 点坐标，需求直线OP 的解析式，再与抛物线解析式联立即可. 可知，OM ∥CD即直线OP 的解析式为：y =3x ， 联立y =3x ，y =－x 2+2x +3得： x 113-±即P 113-±方法二：比例法 易知AM AN AD OA =,AM AOAD AC=,∴=AN AOOA AC 即3=34AN ∴AN =94，ON =34即M （34，94）∴直线OM 解析式为：y =3x 联立y =3x ，y =－x 2+2x +3得： x =1132-±. 方法三：设参数法设M （m ，－m +3），0<m <3，A （3,0） 易知，AM AOAD AC =，即3432AM = 即AM =924∴（3－m ）2+（－m +3）2=（924）2解析：m =34或m =214（舍）即M （34，94）∴直线OM 解析式为：y =3x 联立y =3x ，y =－x 2+2x +3得： x =1132-±. ②当△AMO ∽△ACD 时，方法一：比例法易知AM AOAC AD =, 即432AM = ∴AM 2由△AMN 为等腰直角三角形，知MN =AN =2， ∴ON =1，即M （1,2） ∴直线OM 的解析式为y =2x ， 联立y =2x ，y =－x 2+2x +3得： x =±3方法二：设参数法 设M （m ，－m +3），0<m <3由AM 2得：（m －3）2+（－m +3）2=（22 解得：m =1或m =5（舍） ∴直线OM 的解析式为y =2x ， 联立y =2x ，y =－x 2+2x +3得： x =±3综上所述，点P 113-±±3 【一题多解 · 对标练习】练习1．（2021·湖南省邵阳市中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C ：()20y ax bx c a =++≠经过点()1,1和()4,1．（1）求抛物线C 的对称轴．（2）当1a =-时，将抛物线C 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线1C ． ①求抛物线1C 的解析式．②设抛物线1C 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ，连接BC ．点D 为第一象限内抛物线1C 上一动点，过点D 作DE OA ⊥于点E ．设点D 的横坐标为m ．是否存在点D ，使得以点O ，D ，E 为顶点的三角形与BOC 相似，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）x=2.5；（2）①y=－x2+x+2；②11+33【解析】解：（1）∵抛物线图像过（1,1）、（4,1）两点，∴抛物线对称轴为：x=（1+4）÷2=2.5；（2）①将点（1,1）、（4,1）向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到（－1,0），（2,0），将点（－1,0），（2,0），a=－1，代入抛物线解析式得：y=－x2+x+2.②根据①中的函数关系式，可得:A（2,0），B（－1,0），C（0,2），D（m，－m2+m+2），其中0<m<2可知∠BOC=∠DEO=90°，以点O，D，E为顶点的三角形与△OBC相似有两种情况，（i）当△ODE∽△BCO时，方法一、比例法则OE DEOB OC=，即2-++2=12m m m，解得m=1或－2（舍），方法二、三角函数tan∠BOC=tan∠ODE即OB OEOC DE=，21=2-++2mm m解得：m=1或－2（舍），（ii）当△ODE∽△CBO时，方法一、比例法则OE DEOC OB=，即2-++2=21m m m，解得：1+331-3344=或（舍）m方法二、三角函数tan∠BOC=tan∠DOE即OB DEOC OE=，21-++2=2m mm解得：1+331-3344=或（舍）m综上所述，满足条件的m的值为1或1+334．【多题一解·典例剖析】例题2．（2021·湖南省怀化市中考）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且2OA=，4OB=，8OC=，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=－x2+2x+8；（2）存在，（1,2）或17 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】解：（1）∵OA=2，OB=4，OC=8，∴A（－2,0）、B（4,0）、C（0,8），设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，∴84201640c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩ 解得：812c a b =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴二次函数的解析式为y =－x 2+2x +8；（2）存在以点P 、C 、M 为顶点的三角形与△MNB 相似， 理由如下：由（1）知抛物线对称轴为直线：x =1，设直线BC 的解析式为y =kx +t ，将点B 、C 坐标代入可得：408k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：28a b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为y =－2x +8， ∴点M （1,6），N （1,0），∴BN =3，MN =6，BM =35，CM =5， 由∠BMN =∠CMP 知，分两种情况讨论： ①当∠CPM =∠MNB =90°时，如图所示：易知CP ∥x 轴，∴点P 坐标为（1,8）.②当∠PCM =∠MNB =90°时，如图所示：∴cos ∠CMP =cos ∠MNB 即CM MNPM BM=， 535=∴PM =52，即点P 坐标为171,2⎛⎫⎪⎝⎭.综上所述，符合要求的P 点坐标为（1,8）或171,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【多题一解 · 对标练习】练习2．（2021·四川省遂宁市中考）如图，已知二次函数的图象与x 轴交于A 和B （－3，0）两点，与y 轴交于C （0，－3），对称轴为直线1x =-，直线y ＝－2x ＋m 经过点A ，且与y 轴交于点D ，与抛物线交于点E ，与对称轴交于点F ．（1）求抛物线的解析式和m 的值；（2）在y 轴上是否存在点P ，使得以D 、E 、P 为顶点的三角形与△AOD 相似，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由.【答案】（1）y =（x +1）2－4；m =2；（2）存在，（0,12）或（0,14.5）.【解析】解：（1）∵二次函数的图象与x 轴交于A 和B （－3，0）两点，对称轴为直线x =－1， ∴A （1，0），设二次函数解析式为：y =a (x －1)(x +3)， 把C （0，－3）代入得： －3=a (0－1)(0+3)， 解得：a =1，即二次函数解析式为：y = (x －1)(x +3)，即：y =（x +1）2－4， ∵直线y ＝－2x ＋m 经过点A ， ∴0=－2×1+m ，解得：m =2；（2）由（1）得：直线AF 的解析式为：y =－2x +2， 又直线y =－2x +2与y 轴交于点D ，与抛物线交于点E ， ∴当x =0时，y =2，即D （0，2），联立()22214y x y x =-+⎧⎪⎨=+-⎪⎩，解得：11512x y =-⎧⎨=⎩，2210x y =⎧⎨=⎩， ∵点E 在第二象限， ∴E （－5，12），以D 、E 、P 为顶点的三角形与△AOD 相似，由∠EDP =∠ADO 知，分两种情况讨论. ①当∠EPD =∠AOD =90°时， 过点E 作EP ⊥y 轴于点P ，此时P （0，12）；②当∠PED =∠AOD =90°时，过点E 作EP ’⊥AE ，则tan ∠ADO =tan ∠PEP’， ∴OA PP OD EP '=，即：125PP '=， 解得：PP ’=2.5，此时P’（0，14.5），综上所述：点P 的坐标为（0，12）或（0，14.5）.练习3. （2021·四川省泸州市中考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线213442y x x =-++与两坐标轴分别相交于A ，B ，C 三点（1）求证：∠ACB =90°（2）点D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ． ①求DE +BF 的最大值；②点G 是AC 的中点，若以点C ，D ，E 为顶点的三角形与AOG 相似，求点D 的坐标．【答案】（1）（2）①9；②（4,6）或（3，254）．【解析】解：（1）在213442y x x =-++中，当x =0，y =4即C （0,4）当y =0时，即2134042x x -++=解得：x =－2或x =8即A (－2,0)，B （8,0）∴AB =10，AC 5BC 5则102=（52+（52即AB 2=AC 2+BC 2∴∠ACB =90°（2）①设直线BC 的解析式为：y =kx +b ，将（0,4），（8,0）代入得： 804k b b +=⎧⎨=⎩，解得：k =－0.5，b =4即直线BC 解析式为y =－0.5x +4设D （m ，213442m m -++），则BF =8－m ，DE =2124m m -+∴DE +BF =2124m m -++8－m =()21294m --+ ∵14-<0∴当m =2时DE +BF 取最大值，最大值为9.②∵点G 是AC 的中点，在Rt △AOC 中，OG =AG 5即△AOG 为等腰三角形，∵∠CAO +∠ACO =∠ACO +∠OCB =90°∴∠CAO =∠OCB又OC ∥DF∴∠OCB =∠CED∴∠CAO =∠CED设D （m ，213442m m -++），则E （m ，－0.5m +4），DE =2124m m-+ 当以点C ，D ，E 为顶点的三角形与△AOG 相似， 分两种情况讨论：①△ECD ∽△AOG 则CEDEAO AG =， 即212425m mCE -+=∴CE 21425m m -+又OC ∥DF ∴CEOFBC OB =845m=∴CE 5m21425m m -+5m解得：m =0（舍）或m =3即D （3，254）②△EDC ∽△AOG ，则CE DEAG OA=，212425m m-+=，∴CE=212452m m-+又OC∥DF，知，CE5m∴212452m m-+5m解得：m=0（舍）或m=4 即D（4,6）综上所述，D点坐标为（3，254）或（4,6）．。
第4讲相似三角形存在性处理策略
AB_DEAC~DFAB_DF再一次列方程求相似三角形存在性处理策略知识必备一、相似的判定1、两边成比列且夹角相等的两个三角形相似，不妨简称为述.2、两角分别相等的两个三角形相似，不妨简称为加.二、相似于“s”1、一般的，若MBC 与△门肋1相似，则不具备对应关系，需要分类讨论.2、若山恥sAD 肿，贝倶备对应关系. 三、定边与定角1、“定边定长”：确定的边，其长度确定，必可求。
2、“定角定长”：确定的角，其三角函数值确定，必可求。
方法提炼一、导边处理（&LS 法）相似三角形存在性问题，基本上都可以按部就班，如下解决：第一步：先找到一组关键的等角，有时明显，有时隐蔽第二步：以这两个相等角的两邻边分两种情况对应比例列方程不妨称此通法为3法举例；如图4-2-1,在LABC 与岂DEF中，若已确定=Z D,则要使MBC与'DEF相似，需要分两种情形讨论:二、导角处理（也法）第一步：先找到一组关键的等角第二步：另两个内角分两类对应相等不妨称此通法为：加法举例：如图4-2-1,在LABC与bDEF中，若已知ZA=ZD,要使与^DEF相似，需要分两种情形讨论:Z E Z或二/F,再导角分析处理.三、温馨提示解法一（临法），通用性更强，普适性更广，往往是首选2、解法二（迅4法），导角分析，常转化为角的存在性问题若相似三角形中有一个确定的三角形，可以先对其边、角作研究，定边求定长，定角求定比然后再寻求所要的三角形，基本可以做到无往不利。
实战分析（一）显性的“相等角”【例1】如图4-3-1,在四边形曲CQ中，AZ?//90°,AB=^,AD=3,BC=4,点尸为AB上一动点，若曲尸刀与AF5C相似，则满足条件的点尸共有（）个A、1B、2C、3D、4—q DEE<團4-3-1反思：相似三角形存在性问题，分类时可以先固定其中一个三角形的字母顺序，将另一个三角形换序即可，例如本体中的^ADP^KBCP或UDPsbEPC,所列方程也是3438-^固定等式的一边，将另一边的分子，分母颠倒即可，如或(一)隐性的“相等角”【例2】如图4-3-6已知二次函数的图像经过型?0),S(-3r R及原点0,顶点为U求此二次函数解析式连接EC交兀轴于点月，卩轴上是否存在点尸•使得心FOC与相似？若存在，求出尸点的坐标，若不存在，请说明理由。
相似三角形的存在性问题解题策略公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
P1
(2,
5 2
)
第13页
第三步 计算——详细问题详细分析
三部曲： 先找分类原则； 再画示意图； 后计算．
A(2,1), B(3,3),C(3, 3) 2
AB 5, BC 3 2
②当 BA AP BC AB
AP AB2 10 BC 3
P2
(2,
13 3
)
第14页
小结 夹角相等，两边相应成百分 比
第三步 计算——详细问题详细分析 ①假如DE为等腰△DEF腰
那么DE为△ABC中位线，DE=2.5
三部曲： 先找分类原则； 再画示意图； 后计算．
FC 3k, EC 5k 1.5 k 0.3, FC 3k 0.9 BF 5 0.9 4.1
BF ' DE 2.5
第20页
第三步 计算——详细问题详细分析 ②假如DE为等腰△DEF底边 那么四边形DECF为平行四边形
第29页
第一步 寻找分类原则
△ABC与△ACD 保持直角三角形性质不变
三部曲： 先找分类原则； 再画示意图； 后计算．
分两种情况：
① AB CA AC CD
② AB CD AC CA
第30页
第二步 不必画图——罗列线段长
三部曲： 先找分类原则； 再画示意图； 后计算．
A
B C
D
yB
yA
8 m
几何法三部曲： 先分类； 再画图； 后计算．
代数法三部曲： 先罗列三边； 再分类列方程； 后解方程、检查．
几何法与代数法相结合
第1页
几何法
代数法
拟定目的
准拟定位
几何法与代数法相结合——又好又快
第2页
08上海25
相似三角形存在性问题
例1如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD⊥DC，BC＝10cm，CD＝6cm．在线段BC、CD上有动点F、E，点F以每秒2cm的速度，在线段BC上从点B向点C匀速运动；同时点E以每秒1cm的速度，在线段CD上从点C向点D匀速运动．当点F到达点C时，点E同时停止运动．设点F运动的时间为t（秒）．
（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒 个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？
例4抛物线L： 经过点A(0，1)，与它的对称轴直线x＝1交于点B
(1)直接写出抛物线L的解析式；
练习：
1.如图1，在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）．平移二次函数 的图象，得到的抛物线F满足两个条件：①顶点为Q；②与x轴相交于B、C两点（∣OB∣<∣OC∣），连结A，B．
（1）是否存在这样的抛物线Fห้องสมุดไป่ตู้使得 ？请你作出判断，并说明理由；
（2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO＝ ，求抛物线F对应的二次函数的解析式．
5.如图1，已知点A(-2，4)和点B(1，0)都在抛物线 上．
（1）求m、n；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．
(2)如图1，过定点的直线y＝kx－k＋4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；
(3)如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线 ，抛物线 与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线 于另一点D．F为抛物线 的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标
2015.24重要相似三角形存在性问题
相似三角形存在性问题需要注意的问题：1、若题目中问题为DEF ABC ∆∆∽，则对应线段已经确定。
2、若题目中为DEF ABC ∆∆)(与和相似，则没有确定对应线段，此时有 三种情况：①DEF ABC ∆∆∽ ②EFD ABC ∆∆∽ ③FDE ABC ∆∆∽3、若题目中为DEF ABC ∆∆)(与和、并且有D A ∠=∠（或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、DEF ABC ∆∆∽ ②、DFE ABC ∆∆∽需要分类讨论上述的各种情况例1.如图，在△ABC 中，AB=10cm ，BC=20cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以2cm/s的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，问经过几秒钟，△PBQ 与△ABC 相似．解题的步骤：①假设经过t 时间后，两个三角形相似并求出满足要求的t 的取值范围；（设t ） ②用未知数t 去表示相似边；（表示边长）③根据假设列出相似的各种情况；（出相似）④根据相似写出对应的相应线段比，并用各种已知量和未知数t 列出分式方程； （解方程）⑤验证t 是否符合条件。
例2．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．例3、已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，讨论若问题为以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？例4、如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q 从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；9．（2013•遵义）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C 同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？思考题1．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s 的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C 出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？22. （10分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.2.如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．10．（2013•苏州）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．（1）当t= 2.5s时，四边形EBFB′为正方形；（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．10．解：（1）若四边形EBFB′为正方形，则BE=BF，即：10-t=3t，解得t=2.5；（2）分两种情况，讨论如下：①若△EBF∽△FCG，则有EB BFFC CG=，即103123 1.5t tt t-=-，解得：t=2.8；②若△EBF∽△GCF，则有EB BFCG FC=，即1031.5123t tt t-=-，解得：．∴当t=2.8s或t=（s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似．（3）假设存在实数t，使得点B′与点O重合．如图，过点O作OM⊥BC于点M，则在Rt△OFM中，OF=BF=3t，FM=12BC-BF=6-3t，OM=5，由勾股定理得：OM2+FM2=OF2，即：52+（6-3t）2=（3t）2解得：t=61 36；过点O作ON⊥AB于点N，则在Rt△OEN中，OE=BE=10-t，EN=BE-BN=10-t-5=5-t，ON=6，由勾股定理得：ON2+EN2=OE2，即：62+（5-t）2=（10-t）2解得：t=3.9．∵6136≠3.9，∴不存在实数t，使得点B′与点O重合．。
相似三角形的存在性问题
1． 已知24AB AD ==，，90DAB ∠=，AD BC ∥（如图13）．E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点．（1）设BE x =，ABM △的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）如果以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，求线段BE 的长； （3）联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似，求线段BE 的长．2．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线22y x =沿y 轴向上平移1个单位，再沿x 轴向右平移两个单位，平移后抛物线的顶点坐标记作A ，直线3x =与平移后的抛物线相交于B ，与直线OA 相交于C ． （1）求△ABC 面积；（2）点P 在平移后抛物线的对称轴上，如果△ABP 与△ABC 相似，求所有满足条件的P 点坐标．B A D M E C图13 B A D C 备用图 B A D M E C图13B A DC 备用图24题图Oy x D C BA OyxDCBA3．如图九，△ABC 中，AB=5，AC=3，cosA=310．D 为射线BA 上的点（点D 不与点B 重合），作DE//BC 交射线CA 于点E.．(1) 若CE =x ，BD =y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段BD ，CE 为直径的两圆相切时，求DE 的长度；(3) 当点D 在AB 边上时，BC 边上是否存在点F ，使△ABC 与△DEF 相似？若存在，请求出线段BF 的长；若不存在，请说明理由．5、如图，双曲线x y 2-=和x y 8-=在第二象限中的图像，A 点在xy 8-=的图像上，点A 的横坐标为m （m ＜0），AC ∥y 轴交x y 2-=图像于点C ，AB 、DC 均平行x 轴，分别交xy 2-=、xy 8-=的图像于点B 、D .（1）用m 表示A 、B 、C 、D 的坐标； （2）求证：梯形ABCD 的面积是定值； （3）若△ABC 与△ACD 相似，求m 的值.B （备用图二）B（图九）B （图九）B （备用图一）B （备用图一）B （备用图二）6．已知∠AOB=45°，P 是边OA 上一点，OP=24，以点P 为圆心画圆，圆P 交OA 于点C （点P 在O 、C 之间，如图）。
相似三角形存在性问题(含解析)
相似三角形存在性问题(含解析)相似存在性问题1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x 轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线256y axx c =++过点A （0，4）和C （8，0），P （t ，0）是x 轴正半轴上的一个动点，M 是线段AP 的中点，将线段MP 绕点P 顺时针旋转90°得线段PB ．过点B 作x 轴的垂线、过点A 作y 轴的垂线，两直线相交于点D ．（1）求此抛物线的对称轴；（2）当t 为何值时，点D 落在抛物线上？（3）是否存在t ，使得以A 、B 、D 为顶点的三角形与△PEB 相似？若存在，求此时t 的值；若不存在，请说明理由．3．如图，过点A （0，3）的直线l 1与x 轴交于点B ，tan ∠ABO=43．过点A 的另一直线l 2：y ＝－34tx ＋b (t ＞0)与x 轴交于点Q ，点P 是射线AB 上的一个动点，过P 作PH ⊥x 轴于点H ，设PB ＝5t ．（1）求直线l 1 的函数解析式；（2）当点P在线段AB上运动时，设△PHQ的面积为S（S≠0），求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）当点P 在射线AB上运动时，是否存在这样的t值，使以P，H，Q为顶点的三角形与△AOQ相似？若存在，直接写出所有满足条件的t值所对应的P点坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，点A是x轴正半轴上的动点，点B的坐标为（0，4），将线段AB的中点绕点A按顺时针方向旋转90°得点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y轴的垂线与直线CF 相交于点E，点D是点A关于直线CF的对称点，连接AC、BC、CD，设点A的横坐标为t．（1）线段AB与AC的数量关系是，位置关系是．（2）当t=2时，求CF的长；（3）当t为何值时，点C落在线段BD上？求出此时点C的坐标；（4）设△BCE的面积为S，求S与t之间的函数关系式．5．如图，抛物线y=－14x2+32x－2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，分别过点B，C作y轴，x 轴的平行线，两平行线交于点D，将△BDC绕点C逆时针旋转，使点D旋转到y轴上得到△FEC，连接BF．（1）求点B，C所在直线的函数解析式；（2）求△BCF的面积；（3）在线段BC上是否存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第 11 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
《相似三角形存在性问题》教学设计
《相似三角形存在性问题》教学设计三角形是数学中最为重要的图形，它承载着着众多有趣的性质和定理。
其中，在三角形学中，最为重要的考究就是三角形的相似性。
相似三角形存在性问题就是在考察三角形的相似性的过程中，出现的一类重要的问题，即以特定的条件下可以存在相似三角形，这对于三角形学的发展有着重要的意义。
本文将从多个角度，对相似三角形存在性问题的思想进行整体性的阐述，并在此基础上制定教学设计，以便学生通过具体的实践，认识和掌握知识点。
二、相似三角形存在性问题1、定义相似三角形存在性问题是指当三角形的两个边长满足某一特定的关系时，三角形是存在的。
2、概念任意两个三角形若存在着一一对应的相似的边和角，即称两个三角形相似。
具体地说，当三角形abc和ABC的两个边ab，ac分别与AB，AC满足某一特定关系时，它们便满足相似三角形存在性问题，即它们两个三角形相似，存在。
3、特点相似三角形存在性问题，反映出三角形的部分性质，它是三角形学中重要的研究内容，它涉及到数学中有关角的关系及相似三角形的边的比例等，反映出三角形的结构及形体性质的一种体现。
三、教学设计1、课前准备堂准备：教师准备素材和图形，提前告知学生掌握本节课的知识点;生准备：学生初步了解本节课的知识点，并且提前准备好推理用的纸、笔等物资。
2、课堂教学活动1）引入：教师利用课前准备好的素材和图形，引入本节课的主题：“相似三角形的存在性问题”，介绍它的定义和概念，并且举例说明。
2）探究：让学生利用手中的纸笔，完成一系列的探究题，以探究不同的边的关系下三角形的相似性。
3）归纳：根据学生探究的结果，归纳出三角形的相似性，促进学生能够深入理解相似三角形存在性问题。
4）拓展：拓展到更多的实际例子中，让学生在实际应用中进行探究，促进学生在实际中的操作能力。
3、课后作业据课堂的内容，安排学生在家完成课后作业，也可以安排小测验，考察学生对于相似三角形存在性问题的理解程度。
四、结语相似三角形存在性问题是数学中一个重要的研究课题，也是推动三角形学向前发展的重要突破口。
相似三角形存在性问题与二次函数结合，压轴题常考
相似三角形存在性问题与二次函数结合，压轴题常考
相似三角形存在性问题，是各地中考和模拟考试压轴题的热点问题，这种类型的题目综合性较强,更重要的是涉及方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论等重要的思想方法,对学生分析、解决问题的能力具有较高的要求。
现就九年级周末作业中的一道题目为例，从不同角度，用不同策略，多种方法解密相似存在性问题。
第一类：化斜为直处理
反思：
直角坐标系中只有与坐标轴平行或垂直的线段才方便与点的坐标建立联系，故在直角坐标系背景下处理线段问题，常采用“化斜为直”
的解题策略。
根据形似三角形的判定定理3：两角相等的两个三角形相似．目标△CED与△AOC中有
∠CED＝∠AOC＝90°，故两个三角形相似则需再有一组角对应相等．故将三角形相似问题转化为等角问题处理．故还可以采用以下处理方法。
第二类：垂直处理
第三类：等腰处理
第四类：图形变换处理
第五类：对称处理
反思：
利用对称处理其本质是互相垂直的线段的处理，即以互相垂直的两条线段的端点作系列水平竖直线，构造“三垂直”相似，也可理解为以互相垂直的两条线段为斜边构造两个直角三角形，利用相似或三角函数的知识解决问题．其核心仍是“化斜为直”思想的运用．
第六类：一线三等角。
相似三角形存在性问题(含解析)
相像存在性问题1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c 与 x 轴交于 A、 D 两点，与 y 轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点 A 的坐标为（ 1，0），点 B 的坐标为（ 0，4），已知点 E（ m， 0）是线段 DO上的动点，过点 E 作 PE⊥ x 轴交抛物线于点 P，交 BC于点 G，交 BD于点 H．（ 1）求该抛物线的分析式；（ 2）当点 P 在直线 BC上方时，请用含 m的代数式表示 PG的长度；（ 3）在（ 2）的条件下，能否存在这样的点 P，使得以 P、B、G为极点的三角形与△ DEH相像？若存在，求出此时 m的值；若不存在，请说明原因．2．如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线25C xy ax x c过点A（，）和（，），（，）是轴正0 48 0 P t0690°得线段 PB．过点 B作x轴的垂线、过点半轴上的一个动点， M是线段 AP 的中点，将线段MP绕点 P 顺时针旋转A 作y轴的垂线，两直线订交于点D．（ 1）求此抛物线的对称轴；（ 2）当t为什么值时，点 D落在抛物线上？（ 3）能否存在t，使得以 A、B、D 为极点的三角形与△PEB相像？若存在，求此时t 的值；若不存在，请说明原因．333．如图，过点 A （ 0， 3）的直线 l 1 与 x 轴交于点 B ， tan ∠ ABO=4．过点 A 的另向来线 l 2： y ＝－4 tx ＋ b (t ＞0)与 x 轴交于点 Q ，点 P 是射线 AB 上的一个动点， 过 P 作 PH ⊥ x 轴于点 H ，设 PB ＝ 5t ．（ 1）求直线 l 1 的函数分析式；（ 2）当点 P 在线段 AB 上运动时，设△ PHQ 的面积为 S （ S ≠ 0），求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；（3）当点 P 在射线 AB上运动时，能否存在这样的 t 值，使以 P， H，Q为极点的三角形与△ AOQ相像？若存在，直接写出全部知足条件的 t 值所对应的 P 点坐标；若不存在，请说明原因．4．如图，点 A 是x 轴正半轴上的动点，点 B 的坐标为（0， 4），将线段AB 的中点绕点 A 按顺时针方向旋转90°得点 C，过点 C 作 x 轴的垂线，垂足为F，过点 B 作 y 点，连结AC、 BC、 CD，设点 A 的横坐标为t ．轴的垂线与直线CF 订交于点E，点D是点A 对于直线CF的对称（ 1）线段AB与AC的数目关系是，地点关系是．（2）当 t=2 时，求 CF 的长；（3）当 t 为什么值时，点 C 落在线段 BD上？求出此时点 C的坐标；（4）设△ BCE的面积为 S，求 S与 t 之间的函数关系式．5．如图，抛物线y=－1x2+3x－ 2 交 x 轴于 A， B 两点（点 A 在点 B 的左边），交 y 轴于点 C，分别过点B， C 作 y 42轴， x轴的平行线，两平行线交于点D，将△BDC绕点C 逆时针旋转，使点D旋转到y 轴上获得△FEC，连结BF．（1）求点 B， C所在直线的函数分析式；（ 2）求△ BCF的面积；（3）在线段 BC上能否存在点 P，使得以点 P，A， B 为极点的三角形与△ BOC相像？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明原因．。
相似三角形的存在性(讲义及答案)
相似三角形的存在性➢ 知识点睛1. 存在性问题的处理思路①分析不变特征分析背景图形中的定点，定线，定角等不变特征． ②分类、的图形．，画出符合题意 通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形． ③求解、验证围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解；验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意． 注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点，线，角；函数背景研究点坐标，表达式等．2. 相似三角形的存在性不变特征及特征下操作要点举例：一般先从角（不变特征）入手，分析对应关系后，作出符合题意图形， 再借助不变特征和对应边成比例列方程求解． 常见特征如一组角对应相等，这一组相等角顶点为确定对应 点，结合对应关系分类后，作出符合题意图形，一般利用对 应边成比例列方程求解 ．结合图形形成因素（判定，定义等）考虑分类 画图MM➢ 精讲精练1.如图，将长为 8 cm ，宽为 5 cm 的矩形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在 CD 边的点 E 处，压平后得到折痕 MN ，点 A 的对称点为点 F ，CE =4 cm ．若点 G 是矩形边上任意一点，则当 △ABG 与△CEN 相似时，线段 AG 的长为．FFADA D EEBNCBNC2.如图，抛物线 y = - 1 x 2 + 10x - 8 经过 A ，B ，C 三点，3 3BC ⊥OB ，AB =BC ，过点 C 作 CD ⊥x 轴于点 D ．点 M 是直线 AB 上方的抛物线上一动点，作 MN ⊥x 轴于点 N ，若 △AMN 与△ACD 相似，则点 M 的坐标为．3.如图，已知抛物线 y = 3x 2 + bx + c 与坐标轴交于 A ，B ，C 三4点，点 A 的坐标为(-1，0)，过点 C 的直线 y = 34tx - 3 与 x 轴交于点 Q ，点 P 是线段 BC 上的一个动点，过 P 作 PH ⊥OB于点 H ．若 PB =5t ，且 0＜t ＜1．（1） 点 C 的坐标是，b = ，c = ．（2） 求线段 QH 的长（用含 t 的代数式表示）．（3） 依点 P 的变化，是否存在 t 的值，使以 P ，H ，Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有符合条件的 t 值；若不存在，说明理由．yCA OB xEyCA OB xEyCA OB xEyCA OB xE4.如图，抛物线y =-1x2 +3x + 2 与x 轴交于A，B 两点，与2 2y 轴交于点C，点D(1，m)在抛物线上，直线y=-x-1 与抛物线交于A，E 两点，点P 在x 轴上，且位于点B 的左侧，若以P，B，D 为顶点的三角形与△ABE 相似，则点P 的坐标为．5. 如图，已知抛物线过点 A (0，6)，B (2，0)，C (7， 5)．2（1） 求抛物线的解析式．（2） 若 D 是抛物线的顶点，E 是抛物线的对称轴与直线 AC的交点，F 与 E 关于 D 对称．求证：∠CFE =∠AFE ．（3） 在 y 轴上是否存在这样的点 P ，使△AFP 与△FDC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在， 请说明理由．6.如图，抛物线y=ax2+bx 经过两点A(-1，1)，B(2，2)．过点B作BC∥x 轴，交抛物线于点C，交y 轴于点D．连接OA，OB，OC，AC，点N 在坐标平面内，且△AOC 与△OBN 相似（边OA与边OB对应），则点N 的坐标为．yE C BFO AxD yE C BD 1 FO AxD7.如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y =3 x 2 + 3 3 x - 7 38 4 8与 x 轴交于点 A ，B （点 A 在点 B 右侧），点 D 为抛物线的顶点．点 C 在 y 轴的正半轴上，CD 交 x 轴于点 F ，△CAD 绕点 C 顺时针旋转得到△CFE ，点 A 恰好旋转到点 F ，连接 BE ．（1） 求点 A ，B ，D 的坐标．（2） 求证：四边形 BFCE 是平行四边形．（3） 如图 2，过顶点 D 作 DD 1⊥x 轴于点 D 1，点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 PM ⊥x 轴，点 M 为垂足，使得△P AM 与△DD 1A 相似（不含全等）．①求出一个满足以上条件的点 P 的横坐标； ②直．接．回．答．这样的点 P 共有几个？图1图2⎨【参考答案】1. 15 ， 20 ， 25 或 25 4 3 4 32. M 1( 5 ， - 7 )，M 2( 11 ， 1 )2 4 2 43.（1）(0，-3)； - 9；-3；4⎧4 - 8t （0 < t ≤1 ） （2） QH = ⎪ 2； 1⎪8t - 4（⎪⎩ 2< t < 1）（3）符合条件的 t 值有 732 4. P 1( 13 ，0)，P 2( - 22，0)或 25 或 32-1．7 55.（1）抛物线的解析式为 y = 1x 2 - 4x + 6 ；2（2）证明略；（3）符合条件的点 P 的坐标为(0，-2)或(0，-41 )． 26. (3，4)，(4，3)，(-2，-1)或(-1，-2)7. （1）A (1，0)；B (-7，0)；D (-3， -2 3 )；（2）证明略；（3）①点 P 的横坐标分别为-11，-5 - 37；②共 3 个． 3 32。
《相似三角形存在性问题》教学设计
《相似三角形存在性问题》教学设计
在数学中，相似三角形的存在性是一个重要的问题，因为它能够帮助我们理解三角形的形状、大小和角度，以及它们之间的关系。
在本文中，我们将分析相似三角形从定义和存在性等不同角度，研究如何证明它们的存在。
我们提出一种教学设计来帮助学生们在实际应用时理解相似三角形的概念，并运用这种概念解决问题。
一、义
相似三角形是指两个三角形，它们都有相同的外接圆，且各个相邻的角的度数和长度相等，叫做相似三角形。
又称六边形规则。
二、在性
证明相似三角形的存在性首先需要证明它们的长度和角度都相等。
我们可以使用三角形几何原理进行证明，三角形几何原理是指任意一条直线上角顶点两边对称，对应角一定相等。
因此，在计算机上可以使用相关的算法计算三角形的角度和长度，以证明两个三角形的相似性。
三、学设计
本教学设计从三个方面进行设计，包括概念提出、实例说明和计算机求解。
1.念提出：首先给学生们介绍相似三角形的定义，让学生们理解这种相似三角形的概念和特点。
2.实例说明：接着介绍如何运用相似三角形解决实际应用中的问题，如如何计算墙壁外面三个垂直平面构成的三角形的角度等。
3.算机求解：最后用计算机模拟实际情况，以验证相似三角形的存在性。
四、论
通过本文的探讨，我们已经简要地介绍了相似三角形的定义、存在性以及与之相关的教学设计。
本教学设计旨在帮助学生将相似三角形的概念应用到实际的问题中，结合实际情况来求解三角形的角度和长度，进而证明它们的存在性。
第4讲相似三角形存在性问题处理策略
第四讲相似三角形存在性问题知识必备一、相似的判定1、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，简称为”SAS”2、两角分别相等的个三角形相似，简称为“AA二、相似与∽1、一般地，若△ABC 与△DEF相似，,则不具备对应关系,需分类求解2、若△ABC ∽△DE,，则具备对应关系三、定边与定角1、定边与定长：确定的边、其长度确定,必可求；2、定角定比：确定的角、其三角函数值确定,必可求。
方法提炼一、导边处理(“AA”法)相似三角形存在性问题、基本上都可以按部就班,如下解决：第一步：先找到一组关键的等角,有时明显,有时隐蔽；第二步：以这两个相等角的两邻边分两种情形对应成比例列方程此法为通法。
如图4-2-1、在△ABC 和△DEF 中,若已确定∠A=∠D,则要使△ABC 与△DEF 相似，需要分两种情形讨论:AB/AC=DE/DF或AB/AC=DF/DE,再依次列方程求解二、导角处理(“AA法)第一步先找到一组关键的等角第二步:另两个内角分两类对应相等。
不称此通法为”AA法举例:如图4-2-1,在△ABC 和△DEF 中,若已确定∠A=∠D,要使△ABC 与△DEF 相似，需要分两种情形讨论:∠B=∠E 或∠B=∠F,再导角分析处理。
三温馨提示1.解法一(“SAS法),通用性更强,普适性更广,往往是首选。
2.解法二(“AA法),导角分析，常转化为角的存在性问题。
举例（一）显性的相等角例1、在四边形ABCD中，AD//BC,∠B=90°，AB=8,AD=3,BC=4,点P为AB边上的一动点，若△PAD与△PBC相似，则满足条件的点P共有（）个A.1B. 2C. 3D.4（二）隐形的相等角例2、已知二次函数的图像经过A(-2,0),B(-3,3)及原点，顶点为C。
（1）求此二次函数的解析式；（2）连接BC，交x轴于点F，y轴上是否存在点P,使得△POC与△BOF相似?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
相似三角形的存在性(一)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：相似三角形存在性的处理思路①分析特征：分析背景图形中的_________、_________及_________，结合图形形成因素（判定等）考虑分类．注：相似三角形存在性问题主要结合_________及不变特征考虑分类．②画图求解：往往先从____________入手，再结合背景中的不变特征分析，综合考虑对应关系和不变特征后列方程求解．注：相似三角形列方程往往借助_____________；③结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．问题2：相似三角形的判定有哪些？相似三角形的存在性（一）一、单选题(共4道，每道25分)1.如图，已知二次函数的图象经过三点，直线与x轴交于点D，与抛物线交于点E．连接AC，BE，若△BDE与△AOC相似，则点E的坐标为( )A.B.C.D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数背景下的存在性问题2.如图，抛物线过A，B两点，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C处．M 为第一象限内的抛物线上一点，过点M作MN垂直于x轴，垂足为点N．若以M，O，N为顶点的三角形与△BOC相似，则点M的坐标为( )A.B.C.D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数背景下的存在性问题3.如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，连接BC．N 为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t，且，当△OPN∽△COB时，点N的坐标为( )A.B.C.D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数背景下的存在性问题4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于AD两点，与y轴交于点B．四边形OBCD是矩形，已知点E(m，0)是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．当点P在直线BC上方时，若以P，B，G为顶点的三角形与△DEH相似，则m的值为( )A.-1B.C.-1或-3D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数背景下的存在性问题。
相似三角形的存在性问题解题策略
相似三角形的存在性问题解题策略相似三角形的存在性问题是上海中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．【例1】（2011年青浦区第24题）如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD⊥DC，BC＝10cm，CD＝6cm．在线段BC、CD上有动点F、E，点F以每秒2cm的速度，在线段BC上从点B向点C匀速运动；同时点E以每秒1cm 的速度，在线段CD上从点C向点D匀速运动．当点F到达点C时，点E同时停止运动．设点F运动的时间为t（秒），点F、E在运动过程中，如果△CEF与△BDC相似，求线段BF的长．图1〖解题策略〗如图2，用含有t的式子把线段的长标记出来．观察△CEF与△BDC，两个三角形有一个公共的锐角∠C，△BDC是确定的直角三角形，夹∠C的两边比是6∶10＝3∶5，那么根据判定定理2，在△CEF中，夹∠C的两边比为3∶5．因此分两种情况：①如图3，当∠CEF＝90°时，35CE CDCF CB==．所以31025tt=-．解得3011t=．此时60211BF t==cm．②如图4，当∠CFE＝90°时，35CF CDCE CB==．所以10235tt-=．解得5013t=．此时100213BF t==cm．图2 图3 图4【例2】（2010年长宁区第25题）如图5，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)交x轴于A、B两点（A点在B点左侧），交y轴于点C．已知B（8，0），tan∠ABC＝12，△ABC的面积为8．（1）求抛物线的解析式；（2）若动直线EF（EF//x轴）从点C开始，以每秒1个长度单位的速度沿y轴负方向平移，且分别交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O 运动．联结FP，设运动时间t秒．是否存在t的值，使以P、B、F为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由．图5 〖解题策略〗第（1）题求得的抛物线的解析式对第（2）题不产生影响，但是点A 的坐标在两个小题中都要用到． 观察△ABC 与△PBF ，两个三角形有一个公共的锐角∠B ，△ABC 是确定的三角形，那么根据判定定理2，在△PBF 中，夹∠B 的两边比分两种情况，解答如下：在Rt △OBC 中，OB ＝8，OC ＝4，所以45BC =．在Rt △EFC 中，EF ＝2t ，CE ＝t ，所以5CF t =．在△BFP 中，夹∠B 的两边BP ＝2t ，4555(4)BF t t =-=-． 在△ABC 与△BFP 中，有公共的∠B ．①当BA BP BC BF =时，42455(4)t t =-．解得43t =． ②当BA BF BC BP =时，45(4)245t t -=．解得207t =． 综上所述，当34t =或720t =时，△ABC 与△BFP 相似． 【例3】（2009年闸北区第25题）如图6，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，cos A ＝310．D 为射线BA 上的点（点D 不与点B 重合），作DE //BC 交射线CA 于点E .．(1) 若CE ＝x ，BD ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域；(2) 当点D 在AB 边上时，BC 边上是否存在点F ，使△ABC 与△DEF 相似？若存在，请求出线段BF 的长；若不存在，请说明理由．图6〖解题策略〗解读题设部分，我们知道△ABC 是腰长为5，底边为3的等腰三角形，根据平行线截得的对应线段成比例，容易得到第（1）题的关系为53y x =． 平行线DE 截得的△ADE 与△ABC 相似，要探求△DEF 与△ABC 相似，根据相似三角形的传递性，△DEF 与△ADE 也是相似的，都是腰长与底边比为5∶3的等腰三角形．那么根据DE 来分类，分DE 为腰或底边两种情况．如图7，当DE 为△ADE 与△DEF 的公共腰时，根据轴对称和中心对称，可以知道，D 、E 、F ′分别是AB 、AC 和BC 的中点，此时BF ′＝2.5， BF ＝4.1．如图8，当DE 为等腰三角形DEF 的底边时，四边形DECF 是平行四边形，此时12534BF =．图7 图8【例4】（2011年静安区第25题） 如图9，点A 、B 在⊙O 上，∠AOB =90º，点C 是AB 上的一个动点，AC 与OB 的延长线相交于点D ，是否存在点C ，使得△DCB ∽△DOC ？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由． O B CD图9〖解题策略〗△DCB 与△DOC 有一个公共的角∠D ，而∠DBC 是△BOC 的一个外角，因此∠DBC ＞∠DOC ，所以这两个三角形如果相似的话，只存在∠DCB ＝∠DOC 的情况．△AOC 与△BOC 的两个底角的和∠ACO ＋∠BCO ＝135°为定值，因此∠DCB ＝∠DOC ＝45°，点C 是AB 的中点．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
相似三角形的存在性问题【真题典藏】1.（2008年上海市第25题）（本题满分14分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）已知AB＝2，AD＝4，∠DAB＝90°，AD//BC（如图13）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．（1）设BE＝x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．图1 备用图2．（2009年闸北区第25题）如图2，△ABC中，AB＝5，AC＝3，c os A＝310．D为射线BA上的点（点D不与点B重合），作DE//BC交射线CA于点E.．(1) 若CE＝x，BD＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；(2) 当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；(3) 当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．图2 备用图备用图【满分攻略】我们先来解读第1题（2008年上海市第25题）的第（3）题，学习相似三角形的存在性问题：第一步，把两个三角形涂上颜色或者画上阴影(如图6)，寻找分类标准与分类方法． 一般来讲，不论用相似三角形的判定定理1，还是判定定理2，至少有一组角是相等的．我们可以看到，∠ADN 的大小是确定不动的，∠AND 是钝角，∠ADN ＝∠DBE >∠MBE ，因此按照与∠AND 相等，分两种情况①∠ADN ＝∠BME ；②∠ADN ＝∠BEM ．第二步，拿起三角尺，按照分类情况反复比划，画两个比较准确的示意图（如图7，图8），把相等的角都标记出来．第三步，具体情况具体分析．① 如图7，当∠ADN ＝∠BME 时， 经过等量代换，∠DBE ＝∠BME ，这时△DBE 与△BME 就是我们熟悉的相似三角形的典型图“A 字形”，那么2212EB EM ED ED =⋅=，这样问题就转化为如何用含有x 的式子表示ED 的长．已知直角梯形的两底和直腰，你说怎样求斜腰ED 呢？②如图8，当∠ADN ＝∠BEM 时，经过等量代换，∠DBE ＝∠BEM ，这时△DBE 是等腰三角形，BC ＝2AD ＝8．图6 图7 图8还需要提醒的是，备用图暗示要分类讨论，合理利用试卷和答题纸上的备用图，不要急于乱画，先分好类，再反复比划，后落笔．图7不可能画准确，但是要接近，这样好观察图形间的关系．示范一下书写，注意用标志性的语句引领书写的层次性和阅卷老师的眼球． （2）①当∠ADN ＝∠BME 时，∠DBE ＝∠BME ，这时△DBE ∽△BME ． ∴2212EB EM ED ED =⋅=． ∴22212(4)2x x ⎡⎤=+-⎣⎦． ∴122,10x x ==-（舍去负值）．②当∠ADN ＝∠BEM 时，∠DBE ＝∠BEM ，这时△DBE 是等腰三角形，BC ＝2AD ＝8． 综上所述，当△ADN 与△BME 相似时，BE 的长为2或8．我们再来解读第2题（2009年闸北区第25题）的第（3）题， 求等腰三角形DEF 的存在性． 由第（1）、（3）题知，在△BDG 中，645,,cos 55BD x DG x BDG =-=∠=． 第一步，寻找分类标准与分类方法．我们可以看到，△ABC 是确定的，那么AB ＝5，AC ＝3，c os A ＝310暗示了什么？ △ABC 是等腰三角形．由于DE //BC ，因此当△ABC 与△DEF 相似时，△DEF 与△ADE 、△ABC 是相似的等腰三角形．因此我们按照DE 为腰或者底边两种情况进行分类讨论．第二步，拿起尺、规，按照分类情况反复比划，画两个比较准确的示意图（如图9或图10，图11），把相等的角、边都标记出来．第三步，具体情况具体分析．①当DE 为等腰三角形DEF 的腰时，不论你画的是图9还是图10，你都可以感受到DE 是△ABC 的中位线．在图10中，很容易知道BF ＝DE ＝2.5．在图9中，你能否敏锐地观察到△DBF 与△EFC 也是等腰三角形，并且△ABC ∽△FEC ，根据对应边成比例，这样你就可以计算出FC 的长了,从而得到BF ＝4.1．如果你比划出图9而反应不出图10，或者你比划出图10而反应不出图9，那说明你的思想还不成熟： 当DE 为等腰三角形DEF 的腰时，顶角的顶点是D 还是E ? 这是本题的二级（二次）分类．②当DE 为等腰三角形DEF 的底边时，如图11，四边形DECF 是平行四边形，此时53BF DF =,解得12534BF =． CAA A DDDEEE图9 图10 图11我们用看图说话的形式来分析第3题（2010年上海市第25题）的第（1）题：图12中的△ABC 是30°角的直角三角形，因此图13中的△ADE 是等边三角形，进而得到图14中的△BDP 是顶角为120°的等腰三角形．这样，如果△AEP 与△BDP 相似，那么只有一种情况，就是三角形AEP也是顶角为120°的等腰三角形，因此EP ＝EA ＝1，从而得到CE ＝0.5．如果你苦思冥想没有思路，那么记住一个经验：遇到特殊角度，把能标注的度数都标注出来，或许就是柳暗花明．图12 图13 图14相似三角形的存在性问题1．如图1，平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，3)，线段AB垂直于y轴，垂足为B，将线段AB绕点A逆时针方向旋转90°，点B落在点C处，直线BC与x轴的交于点D．（1）试求出点D的坐标；（2）试求经过A、B、D三点的抛物线的表达式，并写出其顶点E的坐标；（3）在（2）中所求抛物线的对称轴上找点F，使得以点A、E、F为顶点的三角形与△ACD相似．图12．如图2，已知直线112y x=+与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°，使点A落在点C，点B落在点D，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A、D、C，其对称轴与直线AB交于点P．（1）求抛物线的表达式；（2）点M在x轴上，且△ABM与△APD相似，求点M的坐标．图23．如图3，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm．点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向运动．点E、G的速度均为每秒2cm，点F的速度为每秒4cm．当点F追上点G(即点F与点G 重合)时，三个点随之停止运动．设运动的时间为t秒钟．若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．图34．如图4，AB⊥BC，AD//BC， AB＝3，AD＝2．点P在线段AB上，联结PD，过点D作PD的垂线，与BC相交于点C．设线段AP的长为x．当△APD∽△DPC时，求线段BC的长．图4考典31 相似三角形的存在性问题1．（1）D (3，0)．（2）y ＝－x 2＋2x ＋3．顶点E (1，4)．（3）如图1，图2，在△ACD 中，由A (2，3)、C (2，1)、D (3，0)， 得∠ACD ＝135°，CD ＝2，CA ＝2．由A (2，3)、E (1，4)， 知AE ＝2，AE 与抛物线的对称轴的夹角为45°． 因此要使得△AEF 与△ACD 相似，只有点F 在点E 的上方时，∠AEF ＝135°． ①如图1，当EF CAEA CD =时，222EF =．所以EF ＝2．此时点F 的坐标为（1，6）． ②如图2，当EF CDEA CA =时，222EF =．所以EF ＝1．此时点F 的坐标为（1，5）．图1 图22．（1）y ＝－(x ＋2)(x －1)＝－x 2－x ＋2． （2）B (0,1)，D (1,0)，P 13(,)24-．因为△APD 是钝角等腰三角形，如果△ABM 与△APD 相似，那么 △ABM 也是钝角等腰三角形，分两种情况：①如图3，当BA ＝BM 时，点A 与点M 关于y 轴对称，此时点M 的坐标为(2,0)． ②如图4，当MA ＝MB 时，点M 在线段AB 的垂直平分线上，由cos AN AOA AM AB==，可得2524AN AB AB AM AO AO ⋅===．所以OM ＝34，此时点M 的坐标为3(,0)4-．图3 图4 3．当F在BC上时，BE＝12－2t， BF＝4t，CF＝8－4t，CG＝2t．①如图5，当EB FCBF CG=时，1228442t tt t--=．解得23t=．②如图6，当EB GCBF CF=时，1222484t tt t-=-．解得32t=．图5 图64．如图7，过点C作BC的垂线交AD的延长线于E．当△APD∽△DPC时，AP DPAD DC=，即2243242x xx+=+．解得43x=．由△APD∽△EDC，得AP EDAD EC=，即23x ED=．所以322ED x==．因此BC＝AE＝AD＋ED＝4．图7。