相似三角形的存在性(讲义及答案).

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《相似三角形》最全讲义(完整版)

相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。

2. 把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。

⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

⑶我们可以这样理解相似两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3. 相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。

a、 b 的长度分别是m、n，那么就说这两条线段am 的比是a：b＝m：n（或 b n ）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。

a叫做比的前项，b叫做比的后项。

说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

ac3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 b dac4、比例外项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。

ac5、比例内项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中b、c 叫做比例内项。

ac6、第四比例项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中， d 叫a、b、 c 的第四比例项。

ab7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 b a（或a:b ＝b:c 时，我们把b叫做 a 和 d 的比例中项。

8. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 a c（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线bd 段。

（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）2）比例性质acad bc1. 基本性质 :bd（两外项的积等于两内项积）a cb d2. 反比性b d a c （把比的前项、后项交换）3.更比性质（交换比例的内项或外项）：a b，（交换内项） cdcd c，（交换外项） db a d b．（同时交换内外项） ca4.合比性质：a c abc d（分子加（减）分母 ,分母不变） b d b d注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间注意：（1）此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．（2）应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3）可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．AC1）定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC （AC>BC ），如果AB2）黄金分割的几何作图：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点发生同样和差变化比例仍成立．如：acbd5. 等比性质：如果badc a ab c cd abcd分子分母分别相加，比值不变.）e m(b d f fnn 0），那么知识点三：黄金分割BC ，AC，AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割2即 AC 2=AB ×BC ，那么称线段点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。

冲刺2022年上海中考数学压轴题第7讲相似三角形的存在性解法分析与经典变式(解析版)

第7讲相似三角形的存在性在很多与相似三角形相关的压轴题中，其中常见的一种题型就是相似三角形的存在性讨论。

对于相似三角形的存在性问题，一般来说，会有一组等角，然后从边或从角的角度进行分类讨论：通常，我们还可以借助基本图形分析法，找到边与角的数量关系，从而完成上述问题的讨论。

例1.（2022金山一模25题）.已知：如图 11，AD⊥直线MN，垂足为D，AD=8，点B 是射线DM 上的一个动点，∠BAC=90°，边AC 交射线DN 于点C，∠ABC 的平分线分别与AD、AC 相交于点E、F.（1）求证：△ABE∽△CBF；（2）如果AE=x，FC=y，求y 关于x 的函数关系式；（3）联结DF，如果以点D、E、F 为顶点的三角形与△BCF 相似，求AE 的长.2022金山一模25题的图形背景是母子型+角平分线，解题路径围绕着相似三角形的性质定理、判定定理以及射影定理展开。

题型主要围绕证明三角相似，函数关系的建立以及相似三角形的存在性讨论。

本题的关键是根据三角形的相似或角平分线的性质标出图形中的等角，然后再根据角的等量关系确定线段间的数量关系。

解法分析：本题的第一问是相似三角形的判定。

利用角平分线和平行线得到等角，继而再射影定理模型中的等角关系，利用A.A判定相似即可。

解法分析：本题的第二问是函数关系的确立。

利用第一问中相似三角形对应线段成比例以及等角的三角比相等可以顺利地建立函数关系。

解法分析：本题的第三问是相似三角形的存在性讨论。

由第一问中角的数量关系可得∠BFC=∠DEF ，因此由角进行分类讨论。

在分类讨论的过程中，善于运用斜X 型和射影定理模型即可快速得到结论，对于不存在的情况要能够排除。

解：（1）∵AD ⊥直线MN ，∠BAC =90°，∴∠BAD +∠ABD = 90°， ∠BCF +∠ABD = 90°，∴∠BAD =∠BCF ……………………………………………………………………………（1分）∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABE =∠CBF ………………………………………………………（1分） ∴△ABE ∽△CBF . …………………………………………………………………………（1分）（2）作FH ⊥BC 垂足为点H .∵△ABE ∽△CBF ，∴∠AEB =∠CFB ，∵∠AEB+∠AEF =180°，∠CFB+∠CFE =180°∴∠AEF =∠CFE ，∴AE =AF=x ；…………………………………………………………（1分） ∵BF 平分∠ABC ，FH ⊥BC ，∠BAC =90°，∴AF=FH=x .∵FH ⊥BC ，AD ⊥直线MN ，∴FH∥AD ，∴FH FC AD AC=，即8x y y x =+，…………（2分）解得：28x y x=-（48x <<）……………………………………………………………（2分）（3）设AE=x ，由△ABE ∽△CBF ，如果以点D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCF 相似，即以点D 、E 、F 为顶点的三角形与△ABE 相似.∵∠AEB =∠DEF ，如果∠BAE =∠FDE ，得DF∥AB ，∴∠ABE =∠DFE ，∵∠ABE =∠DBE , ∴∠DBE =∠DFE ，∴BD=DF , ………………………………………（1分）由DF∥AB ，得∠DFC=∠BAC =90°，∴∠DFC=∠ABD =90°，又∠BAD =∠BCF ，∴△ABD ≌△CDF ，…………………………………………………（1分）CF=AD=8，即2=88x x-，解得：4x =-±（舍去负值），∴4AE x ==-+…………………………（1分）如果∠BAE =∠DFE ，得AE BE EF DE=，∵∠ABF =∠BED ，∴△AEF ∽△BED ，∴∠AFE =∠BDE ，因为∠AFE 是锐角，∠BDE 是直角，所以这种情况不成立。

九年级中考专题04 动点与相似三角形存在性问题解法题型讲义(教师版)

动点与相似三角形存在性问题解法动点存在性问题是中考的热点与难点，相似三角形存在性问题是其中的重点题型。

其解题核心是找到比例关系得到方程，难点在于分类讨论找出隐含的条件. 通常，隐含的条件中角度相等不太容易发现.一、典例解析例1. 【2020·广东东莞】如图，抛物线y =3+√36x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，点A ，B 分别位于原点的左、右两侧，BO ＝3AO ＝3，过点B 的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为C ，D ，BC =√3CD ．（1）求b ，C 的值；（2）求直线BD 的函数解析式；（3）点P 在抛物线的对称轴上且在x 轴下方，点Q 在射线BA 上．当△ABD 与△BPQ 相似时，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵OB=3OA=3∴B （3,0），A （-1,0）∴0930b c b c ⎧+=⎪⎪++=解得：b=，c= （2）过点D 作DE ⊥y 轴于E ，∵∠ECD=∠BCO，∠DEC=∠BOC=90°∴△CDE∽△CBO∴CD DE BC OB=3DE=，即D点横坐标为其坐标为D（）由B(3,0)得直线BD解析式为：y=（3）由A（-1,0），B（3,0），D（），知S△ABD=2），BD=2），AD=过点A作AH⊥BD于H，∴AH=2，DH=2，∴tan∠ADB=1，tan∠∠设Q（x，0），P（1，m），其中m<0，x<3，①当△ABD∽△BPQ时，∠DAB=∠QBP（由题意知∠QBP<90°，∠DAB>90°，不存在）②当△ABD∽△BQP时，同理，此种情况不存在；③当△ABD∽△QBP时，tan ∠ADB=tan ∠QPB=1，tan ∠ABD= tan ∠∠PQO=tan ∠∴2m -m=，21m x -=-即Q 0） ④当△ABD ∽△QPB 时，同理，∴12m -=，即m=-2，21m x -=-x=5-即Q （5-0）⑤当△ABD ∽△PQB 时，同理，∴12m -=，即m=-2，1m x --，x=1-即Q （1-0）⑥当△ABD ∽△PBQ 时，同理，∴2m -m=，11m x -=-，x=1即Q （1，0）. 例2.【2020·贵州铜仁】如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +6经过两点A （﹣1，0），B （3，0），C 是抛物线与y 轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P （m ，n ）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式（指出自变量m 的取值范围）和S 的最大值；（3）点M 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点M 、点N 使得∠CMN ＝90°，且△CMN 与△OBC 相似，如果存在，请求出点M 和点N 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）代入y ＝ax 2+bx +6，得：{a −b +6=09a +3b +6=0，解得：{a =−2b =4， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣2x 2+4x +6．（2）过点P 作PF ∥y 轴，交BC 于点F ，如图所示．当x ＝0时，y ＝﹣2x 2+4x +6＝6，∴点C 的坐标为（0，6）．设直线BC 的解析式为y ＝kx +c ，将B （3，0）、C （0，6）代入y ＝kx +c ，得：{3k +c =0c =6，解得：{k =−2c =6， ∴直线BC 的解析式为y ＝﹣2x +6．设点P 的坐标为（m ，﹣2m 2+4m +6），则点F 的坐标为（m ，﹣2m +6），∴PF ＝﹣2m 2+4m +6﹣（﹣2m +6）＝﹣2m 2+6m ，∴S △PBC =12PF •OB ＝﹣3m 2+9m ＝﹣3（m −32）2+274，∴当m =32时，△PBC 面积取最大值，最大值为274．∵点P （m ，n ）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，∴0＜m ＜3．（3）存在点M 、点N 使得∠CMN ＝90°，且△CMN 与△OBC 相似．①如图，∠CMN ＝90°，当点M 位于点C 上方，过点M 作MD ⊥y 轴于点D ，∵∠CDM ＝∠CMN ＝90°，∠DCM ＝∠NCM ，∴△MCD ∽△NCM ，若△CMN 与△OBC 相似，则△MCD 与△NCM 相似，设M （a ，﹣2a 2+4a +6），C （0，6），∴DC ＝﹣2a 2+4a ，DM ＝a ，当DM CD =OB OC =36=12时，△COB ∽△CDM ∽△CMN ， ∴a −2a 2+4a =12，解得，a ＝1，∴M （1，8），此时ND =12DM =12，∴N （0，172），②当CD DM =OB OC =12时，△COB ∽△MDC ∽△NMC ， ∴−2a 2+4a a =12，解得a =74，∴M （74，558），此时N （0，838）． ③如图，当点M 位于点C 的下方，过点M 作ME ⊥y 轴于点E ，设M （a ，﹣2a 2+4a +6），C （0，6），∴EC ＝2a 2﹣4a ，EM ＝a ，同理可得：2a 2−4a a =12或2a 2−4a a =2，△CMN 与△OBC 相似，解得a =94或a ＝3，∴M （94，398）或M （3，0），此时N 点坐标为（0，38）或（0，−32）．综上所述，M （1，8），N （0，172）或M （74，558），N （0，838）或M （94，398），N （0，38）或M （3，0），N （0，−32），使得∠CMN ＝90°，且△CMN 与△OBC 相似．例3.【2020·浙江金华】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC 的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB ，OC 的中点D ，E 作AE ，AD 的平行线，相交于点F ，已知OB =8.（1）求证：四边形AEFD为菱形.（2）求四边形AEFD的面积.（3）若点P在x轴正半轴上(异于点D)，点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P，Q，G为顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵DF∥AE，EF∥AD，∴四边形AEFD是平行四边形∵四边形ABOC是正方形，∴OB＝OC＝AB＝AC，∠ACE＝∠ABD＝90°∵点D，E是OB，OC的中点，∴CE＝BD，∴△ACE≌△ABD(SAS)，∴AE＝AD，∴平行四边形AEFD是菱形（2）连接DE∵S△ABD＝12AB·BD＝12×8×4=16S△ODE＝12OD·OE＝12×4×4=8∴S△AED＝S正方形ABOC－2 S△ABD－S△ODE＝64－2×16－8＝24，∴S菱形AEFD＝2S△AED＝48.（3）连接AF与DE相交于点K，易得△ADK的两直角边之比为1:3，①当AP为菱形一边时，点Q在x轴上方，有两种情况：（i）如图，AG与PQ交于点H，∵菱形P AQG∽菱形ADFE，∴△APH的两直角边之比为1:3.过点H作HN⊥x轴于点N，交AC于点M，设AM=t，∵HN∥OQ，点H是PQ的中点，∴点N是OP中点，∴HN是△OPQ的中位线，∴ON＝PN＝8－t.∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠PNH＝∠AMH＝90°，∴△HMA∽△PNH，∴13 AM MH NH PN==∴HN＝3AM＝3t，∴MH＝MN－NH＝8－3t，∵PN＝3MH，∴8－t=3(8－3t)，解得t＝2，∴OP＝2ON＝2(8－t)＝12，∴点P的坐标为(12，0).（ii）如图△APH的两直角边之比为1:3.过点H作HI⊥y轴于点I，过点P作PN⊥x轴交IH于点N，延长BA交IN于点M.∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠AMH＝∠PNH，∴△AMH∽△HNP，∴13 AM MH NH PN==设MH＝t，∴PN＝3MH＝3t，∴AM＝BM－AB＝3t－8，∴HN＝3AM＝3(3t－8)＝9t－24.∵HI是△OPQ的中位线，∴OP＝2IH，∴HI＝HN，∴8＋t＝9t－24，解得t＝4∴OP＝2HI＝2(8＋t)＝24，∴点P的坐标为(24，0).②当AP为菱形一边时，点Q在x轴下方，有两种情况，（i）△PQH的两直角边之比为1:3.过点H作HM⊥y轴于点M，过点P作PN⊥HM于点N.∵MH是△QAC的中位线，∴HM=4，同理，△HPN∽△QHM∴13 PN NH MH MQ==则PN=43，∴OM=4 3设HN＝t，则MQ＝3t.∵MQ＝MC，∴4383t=-，解得：t=209∴OP＝MN＝4＋t＝56 9即P（569，0）；（ii）△PQH的两直角边之比为1:3.过点H作HM⊥x轴于点M，交AC于点I，过点Q作NQ⊥HM于点N，同理，得：HM=4 3设PM＝t，则HN＝3t，∵HN＝HI，∴4383t=+，解得：t=289∴OP＝OM－PM＝QN－PM＝4－t＝8 9即P（89，0）.③当AP为菱形对角线时，△PQH的两直角边之比为1:3.同理得：点P的坐标为(16，0).综上所述，点P的坐标为(12，0)，(24，0)，（569，0），（89，0），(16，0).三、刻意练习1.【2020·山东烟台】如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝12，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）设OB ＝t ，则OA ＝2t ，则点A 、B 的坐标分别为（2t ，0）、（﹣t ，0），则12＝12（2t ﹣t ），解得：t ＝1，点A 、B 的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0），则抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣2）（x +1）＝ax 2+bx +2，解得：a ＝﹣1，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+x +2；（2）存在，理由：点D （m ，﹣m 2+m +2）（m ＞0），则OD ＝m ，DE ＝﹣m 2+m +2，以点O ，D ，E 为顶点的三角形与△BOC 相似，则DE OE =OB OC ，DE OE =OC OB即DE OE ＝2或12，即222m m m -++=或2212m m m -++=，解得：m ＝1或﹣2（舍去），综上所述，m ＝1． 2.【2020·黑龙江绥化】如图1，抛物线21(2)62y x =-++与抛物线21122y x tx t =-++-相交y 轴于点C ，抛物线1y 与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），直线23y kx =+交x 轴负半轴于点N ，交y 轴于点M ，且OC ON =．（1）求抛物线1y 的解析式与k 的值；（2）抛物线1y 的对称轴交x 轴于点D ，连接AC ，在x 轴上方的对称轴上找一点E ，使以点A ，D ，E 为顶点的三角形与AOC ∆相似，求出DE 的长；【答案】见解析.【解析】解：（1）当0x =时，得21(2)62642y x =-++=-+=， (0,4)C ∴，把(0,4)C 代入21122y x tx t =-++-得，24t -=， 6t ∴=，2134y x x ∴=-++，ON OC =，(4,0)N ∴-，把(4,0)N -代入23y kx =+中，得430k -+=，解得，34k =； ∴抛物线1y 的解析式为2134y x x =-++，k 的值为34．（2）连接AE ，令0y =，得21340y x x =-++=，解得，1x =-或4，(1,0)A ∴-，(4,0)B ，∴对称轴为：14322x -+==， 3(2D ∴，0)， 1OA ∴=，4OC =，32OD =，52AD =， ①当AOC EDA ∆∆∽时，OA OC DE DA=，即1452DE =， 58DE ∴=， ②当AOC ADE ∆∆∽时，AO OC AD DE=，即1452DE =， 10DE ∴=，综上，58DE =或10； 3.【2020·湖北鄂州】如图，抛物线y =12x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左边），与y 轴交于点C ．直线y =12x ﹣2经过B 、C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上的一动点，过点P 且垂直于x 轴的直线与直线BC 及x 轴分别交于点D 、M ．PN ⊥BC ，垂足为N ．设M （m ，0）．当点P 在直线BC 下方的抛物线上运动时，是否存在一点P ，使△PNC 与△AOC 相似．若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）针对于直线y =12x ﹣2，令x ＝0，则y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），令y ＝0，则0=12x ﹣2，∴x ＝4，∴B （4，0），将点B ，C 坐标代入抛物线y =12x 2+bx +c 中，得{c =−28+4b +c =0， ∴{b =−32c =−2， ∴抛物线的解析式为y =12x 2−32x ﹣2；（2）由（1）知，抛物线的解析式为y =12x 2−32x ﹣2，令y ＝0，则0=12x 2−32x ﹣2，∴x ＝﹣1或x ＝4，∴点A （﹣1，0），∴OA ＝1，∵B （4，0），C （0，﹣2），∴OB ＝4，OC ＝2，∴OAOC =OCOB ，∵∠AOC ＝∠COB ＝90°，∴△AOC ∽△COB ，∴∠OAC ＝∠OCB ，∠ACO ＝∠OBC ，∵△PNC 与△AOC 相似，当△PNC ∽△AOC ，∴∠PCN ＝∠ACO ，∴∠PCN ＝∠OBC ，∴CP ∥OB ，∴点P 的纵坐标为﹣2，∴12m 2−32m ﹣2＝﹣2， ∴m ＝0（舍）或m ＝3，∴P （3，﹣2）；当△PNC ∽△AOC 时，∴∠PCN ＝∠CAO ，∴∠OCB ＝∠PCD ，∵PD ∥OC ，∴∠OCB ＝∠CDP ，∴∠PCD ＝∠PDC ，∴PC ＝PD ，由①知，P （m ，12m 2−32m ﹣2），D （m ，12m ﹣2）， ∵C （0，﹣2），∴PD ＝2m −12m 2，PC =√m 2+(12m 2−32m −2+2)2=√m 2+(12m 2−32m)2，∴2m 2−12m =√m 2+(12m 2−32m)2，∴m =32，∴P （32，−258），即满足条件的点P 的坐标为（3，﹣2）或（32，−258）． 4.【2020·湖北荆州】如图1，在平面直角坐标系中，A （﹣2，﹣1），B （3，﹣1），以O 为圆心，OA 的长为半径的半圆O 交AO 延长线于C ，连接AB ，BC ，过O 作ED ∥BC 分别交AB 和半圆O 于E ，D ，连接OB ，CD ．（1）求证：BC 是半圆O 的切线；（2）试判断四边形OBCD 的形状，并说明理由；（3）如图2，若抛物线经过点D 且顶点为E ．①求此抛物线的解析式；②点P 是此抛物线对称轴上的一个动点，以E ，D ，P 为顶点的三角形与△OAB 相似，问抛物线上是否存在一点Q ．使S △EPQ ＝S △OAB ？若存在，请直接写出Q 点的横坐标；若不存在，说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）证明：设AB 与y 轴交于M ，∵A （﹣2，﹣1），B （3，﹣1），∴AB ∥x 轴，且AM ＝2，OM ＝1，AB ＝5，∴OA ＝OC =√5，∵DE ∥BC ，O 是AC 的中点，∴OE 是△ABC 的中位线，∴AE =12AB ，BC ＝2OE ，∴E （12，﹣1）， ∴EM =12，∴OE =√OM 2+ME 2=√12+(12)2=√52，∴BC ＝2OE =√5，在△ABC 中，∵AC 2+BC 2=(2√5)2+(√5)2=25，AB 2＝52＝25，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC 是直角三角形，且∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC ，∵AC 为半圆O 的直径，∴BC 是半圆O 的切线；（2）四边形OBCD 是平行四边形，理由是：由（1）得：BC ＝OD ＝OA =√5，∵OD ∥BC ，∴四边形OBCD 是平行四边形；（3）①由（1）知：OD ＝OA =√5，E 是AB 的中点，且E （12，﹣1），OE =√52，过D 作DN ⊥y 轴于N ，则DN ∥EM ，∴△ODN ∽△OEM ，∴ON OM =DN EM =OD OE ，即ON 1=DN12=√5√52，∴ON ＝2，DN ＝1，∴N （﹣1，2），设此抛物线的解析式为：y ＝a （x −12）2﹣1，把N （﹣1，2）代入得：2＝a （﹣1−12）2﹣1，解得：a =43，∴此抛物线的解析式为：y =43（x −12）2﹣1，即y =43x 2−43x −23；②存在，过D 作DG ⊥EP 于G ，设Q 的横坐标为x ，∵DG ＝1+12=32，EG ＝2+1＝3，∴DE =√DG 2+EG 2=√(32)2+32=3√52， tan ∠DEG =DG EG =323=12， ∵tan ∠OAM =OM AM =12，且∠DEG 和∠OAM 都是锐角， ∴∠DEG ＝∠OAM ，当△EPD ∽△AOB 时，EP AO =DE AB ，即√5=3√525，∴EP =32， ∵S △AOB =12AB ⋅OM =12×5×1=52， ∵S △EPQ ＝S △OAB ， ∴12⋅EP ⋅|x −12|=52，即12×32×|x −12|=52，解得：x =236或−176；当△OAB ∽△DEP 时，ABEP =OADE ，即5EP =√53√52，∴EP =152，同理得：12⋅152⋅|x −12|=52，解得：x =76或−16；综上，存在符合条件的点Q ，Q 点的横坐标为236或−176或76或−16． 5.【2020·湖北随州】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +1的对称轴为直线x =32，其图象与x轴交于点A 和点B （4，0），与y 轴交于点C ．（1）直接写出抛物线的解析式和∠CAO 的度数；（2）动点M ，N 同时从A 点出发，点M 以每秒3个单位的速度在线段AB 上运动，点N 以每秒√2个单位的速度在线段AC 上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t （t ＞0）秒，连接MN ，再将线段MN 绕点M 顺时针旋转90°，设点N 落在点D 的位置，若点D 恰好落在抛物线上，求t 的值及此时点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，设P 为抛物线上一动点，Q 为y 轴上一动点，当以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与△MDB 相似时，请直接写出点P 及其对应的点Q 的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意：{−b 2a =3216a +4b +1=0，解得{a =−14b =34， ∴抛物线的解析式为y =−14x 2+34x +1，令y ＝0，可得x 2﹣3x ﹣4＝0，解得x ＝﹣1或4，∴A （﹣1，0），令y ＝0，得到x ＝1，∴C （0，1），∴OA ＝OC ＝1，∴∠CAO ＝45°．（2）过点C 作CE ⊥OA 于E ，过点D 作DF ⊥AB 于F ．∵∠NEM ＝∠DFM ＝∠NMD ＝90°，∴∠NME +∠DMF ＝90°，∠DMF +∠MDF ＝90°， ∴∠NME ＝∠MDF ， ∵NM ＝DM ，∴△MEN ≌△DFM （AAS ）， ∴NE ＝MF ，EM ＝DF ，∵∠CA O ＝45°，AN =√2t ，AM ＝3t ， ∴AE ＝EN ＝t ， ∴EM ＝AM ﹣AE ＝2t ，∴DF ＝2t ，MF ＝t ，OF ＝4t ﹣1， ∴D （4t ﹣1，2t ），∴−14（4t ﹣1）2+34（4t ﹣1）+1＝2t ， ∵t ＞0，解得t =34，经检验，t =34时，M ，N 均没有达到终点，符合题意， ∴D （2，32）．（3）当点Q 在点C 的下方，点P 在y 的右侧，∠QCP ＝∠MDB 时，取E （12，0），连接EC ，过点E 作EG ⊥EC 交PC 于G ，∵M （54，0），D （2，32），B （4，0）∴FM ＝2−54=34，DM =3√54，BM =114，BD =52， ∴DF ＝2MF ， ∵OC ＝2OE ，∴tan ∠OCE ＝tan ∠MDF =12， ∴∠OCE ＝∠MDF ， ∴∠OCP ＝∠MDB ， ∴∠ECG ＝∠FDB ，∴tan ∠ECG ＝tan ∠FDB =43， ∵EC =√52， ∴EG =2√53，可得G （116，23）， ∴直线CP 的解析式为y =−211x +1，由{y =−211x +1y =−14x 2+34x +1，解得{x =0y =0或{x =4111y =39121， ∴P （4111，39121），∴PC =41√511，当MD CQ=BD CP或MD PC=BD CQ时，△QCP 与△MDB 相似，可得CQ =615242或2050363， ∴Q （0，−373242）或（0，−1687363）．当点Q 在点C 的下方，点P 在y 的右侧，∠QCP ＝∠DMB 时，设PC 交x 轴于K ．∵tan ∠OCK ＝tan ∠DMB ＝2， ∴OK ＝2OC ＝2，即点K 与F 重合，∴直线PC 的解析式为y =−12x +1，由{y =−12x +1y =−14x 2+34x +1，解得{x =0y =1或{x =5y =−32，∴P （5，−32）， ∴PC =5√52，当DM PC=BM CQ或DM CQ=BM PC时，△QCP 与△MDB 相似，可得CQ =556或7522， ∴Q （0，−496）或（0，−5322）．当点Q 在点C 的下方，点P 在y 的右侧，∠QCP ＝∠DBM 时，同法可得P （253，−919），Q （0，−25718）或（0，115199），当点Q 在点C 上方，∠QCP ＝∠DMB 时，同法可得P （1，32），Q （0，176）或（0，3722），当点Q 在点C 上方，∠QCP ＝∠MDB 时，同法可得P （2511，171121），Q （0，617242）或（0，1613363），当点Q 在点C 下方，点P 在y 轴的左侧时，∠QCP ＝∠DBM 时，同法可得P （−73，−199），Q （0，−5918）或（0，−25199）． 6.【2020·湖南怀化】如图所示，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点M 为抛物线的顶点．（1）求点C 及顶点M 的坐标．（2）直线CM 交x 轴于点E ，若点P 是线段EM 上的一个动点，是否存在以点P 、E 、O 为顶点的三角形与△ABC 相似．若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析. 【解析】解：（1）令y ＝x 2﹣2x ﹣3中x ＝0，此时y ＝﹣3，故C 点坐标为（0，﹣3），又∵y ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4， ∴抛物线的顶点M 的坐标为（1，﹣4）；（2）连接AC ，OP ，设MC 的解析式为：y ＝kx +m ，代入C （0，﹣3），M （1，﹣4）得{−3=m −4=k +m ，解得{k =−1m =−3∴MC 的解析式为：y ＝﹣x ﹣3，令y ＝0，则x ＝﹣3， ∴E 点坐标为（﹣3，0）， ∴OE ＝OB ＝3，且OC ⊥BE ， ∴CE ＝CB ，∴∠B ＝∠E ，设P （x ，﹣x ﹣3），又∵P 点在线段EC 上， ∴﹣3＜x ＜0，则EP =√(x +3)2+(−x −3)2=√2(x +3)，BC =√32+32=3√2，由题意知：△PEO 相似△ABC ， ①△PEO ∽△CBA ， ∴EO BA =EP BC，∴34=√2(x+3)3√2，解得x =−34，满足﹣3＜x ＜0，此时P 的坐标为(−34，−94)； ②△PEO ∽△ABC ， ∴EO BC =EP BA，∴3√2=√2(x+3)4，解得x ＝﹣1，满足﹣3＜x ＜0，此时P 的坐标为（﹣1，﹣2）．综上所述，P 点的坐标为(−34，−94)或（﹣1，﹣2）．7.【2020·江苏连云港】在平面直角坐标系中，把与轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线的顶点为，交轴于点、（点在点左侧），交轴于点．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为．（1）若抛物线经过点，求对应的函数表达式；（2）设点是抛物线上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若与相似，求其“共根抛物线” 的顶点的坐标．xOy x 2113:222L y x x =--D x A B A B y C 2L 1L P 2L (2,12)-2L Q 1L DPQ ∆ABC ∆2L P【答案】见解析.【解析】解：（1）当时，，解得或4，，，，由题意设抛物线的解析式为，把代入，，解得，抛物线的解析式为．（2）由题意，，，，，，，顶点，，由题意，不可能是直角，第一种情形：当时，①当时，， 0y =2132022x x --=1x =-(1,0)A ∴-(4,0)B (0,2)C 2L (1)(4)y a x x =+-(2,12)-(1)(4)y a x x =+-126a -=-2a =22(1)(4)268y x x x x =+-=--5AB =CB =CA =222AB BC AC ∴=+90ACB ∴∠=︒2CB CA =221313252()22228y x x x =--=--∴3(2D 25)8-PDQ ∠90DPQ ∠=︒QDP ABC ∆∆∽12QP AC DP BC ==设，则，，，，，，解得或（舍弃），，．②当时，，，解得或（舍），，．第二种情形：当． ①当时，，213(,2)22Q x x x --3(2P 2132)22x x --2213251392()228228DP x x x x =----=-+32QP x =-2PD QP =213923228x x x ∴-=-+112x =323(2P ∴39)8DQP ABC ∆∆∽2QO PD=239324x x x -=-+52x =323(2P ∴21)8-90DQP ∠=︒PDQ ABC ∆∆∽12PQ AC DQ BC ==过点作于．则，，，，，，，，，由，可得，，，．②当时，过点作于．同法可得，，，，，，由，可得，，．Q QM PD ⊥M QDM PDQ ∆∆∽∴12QM PQ MD DQ ==3(2M 39)811(2Q 39)88MD ∴=4MQ =DQ ∴=DQ PDDM DQ=10PD =3(2D 25)8-3(2P ∴55)8DPQ ABC ∆∆∽Q QM PD ⊥M 3(2M 21)8-5(2Q 21)8-12DM ∴=1QM =QD =QD PD DM DQ =52PD =3(2P ∴5)8-8.【2020·山东聊城】如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，其对称轴与线段交于点，垂直于轴的动直线分别交抛物线和线段于点和点，动直线在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿轴正方向移动到点．（1）求出二次函数和所在直线的表达式；（2）连接，，在动直线移动的过程中，抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）将点，，代入，得：，解得：，二次函数的表达式为：，当时，，，设所在直线的表达式为：，将、代入，得：，解得：，所在直线的表达式为：；24y ax bx ==++x (1,0)A -(4,0)B y C D BC E x l BC P F l x B 24y ax bx =++BC CP CD l P P C F DCE ∆P (1,0)A -(4,0)B 24y ax bx ==++0401644a b a b =-+⎧⎨=++⎩13a b =-⎧⎨=⎩234y x x =-++0x =4y =(0,4)C ∴BC y mx n =+(0,4)C (4,0)B y mx n =+404nm n =⎧⎨=+⎩14m n =-⎧⎨=⎩BC ∴4y x =-+（2）存在，理由如下：如图所示：由（2）得：，，又与有共同的顶点，且在的内部，，只有时，，，、，，由（2）得：，，的坐标为：，，，，，解得：，当时，， ∴点的坐标为：，．9.【2020·山东潍坊】如图，抛物线y ＝ax 2+bx +8（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣2，0）和点B （8，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接AC ，BC ，BC与抛物线的对称轴l 交于点E ．//PF DE CED CFP ∴∠=∠PCF ∠DCE ∠C PCF ∠DCE ∠PCF DCE ∴∠≠∠∴PCF CDE ∠=∠PCF CDE ∆∆∽∴PF CFCE DE=(0,4)C 3(2E 5)2CE ∴==154DE =24PF t t =-+F (,4)t t -+CF ∴∴240t ≠∴15(4)34t -+=165t =165t =2216168434()345525t t -++=-+⨯+=P 16(584)25（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是第一象限内抛物线上的动点，连接PB ，PC ，当S △PBC =35S △ABC 时，求点P 的坐标；（3）点N 是对称轴l 右侧抛物线上的动点，在射线ED 上是否存在点M ，使得以点M ，N ，E 为顶点的三角形与△OBC 相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +8（a ≠0）过点A （﹣2，0）和点B （8，0），∴{4a −2b +8=064a +8b +8=0，解得{a =−12b =3， ∴抛物线解析式为：y =−12x 2+3x +8；（2）当x ＝0时，y ＝8，∴C （0，8），∴直线BC 解析式为：y ＝﹣x +8，∵S △ABC =12⋅AB ⋅OC =12×10×8=40， ∴S △PBC =35S △ABC =24，过点P 作PG ⊥x 轴，交x 轴于点G ，交BC 于点F ，设P(t ，−12t 2+3x +8)，∴F （t ，﹣t +8），∴PF =−12t 2+4t ，∴S △PBC =12PF ⋅OB =24，即12×(−12t 2+4t)×8=24， ∴t 1＝2，t 2＝6，∴P 1（2，12），P 2（6，8）；（3）∵C （0，8），B （8，0），∠COB ＝90°，∴△OBC 为等腰直角三角形，抛物线y =−12x 2+3x +8的对称轴为x =−b 2a =−32×(−12)=3， ∴点E 的横坐标为3，又∵点E 在直线BC 上，∴点E 的纵坐标为5，∴E （3，5），设M(3，m)，N(n ，−12n 2+3n +8)，①当MN ＝EM ，∠EMN ＝90°，当△NME ～△COB 时，则{m −5=n −3−12n 2+3n +8=m，解得{n =6m =8或{n =−2m =0（舍去）， ∴此时点M 的坐标为（3，8），②当ME ＝EN ，当∠MEN ＝90°时，则{m −5=n −3−12n 2+3n +8=5，解得：{m =5+√15n =3+√15或{m =5−√15n =3−√15（舍去）， ∴此时点M 的坐标为(3，5+√15)；③当MN ＝EN ，∠MNE ＝90°时，连接CM ，故当N 为C 关于对称轴l 的对称点时，△MNE ～△COB ，此时四边形CMNE 为正方形，∴CM ＝CE ，∵C （0，8），E （3，5），M （3，m ），∴CM =√32+(m −8)2，CE =√32+(5−8)2=3√2，∴√32+(m −8)2=3√2，解得：m 1＝11，m 2＝5（舍去），此时点M 的坐标为（3，11）；故在射线ED 上存在点M ，使得以点M ，N ，E 为顶点的三角形与△OBC 相似，点M 的坐标为：（3，8），(3，5+√15)或（3，11）．10.【2020·山东烟台】如图，抛物线y ＝ax 2+bx +2与x 轴交于A ，B 两点，且OA ＝2OB ，与y 轴交于点C ，连接BC ，抛物线对称轴为直线x =12，D 为第一象限内抛物线上一动点，过点D 作DE ⊥OA 于点E ，与AC 交于点F ，设点D 的横坐标为m ．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线上是否存在点D ，使得以点O ，D ，E 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）设OB ＝t ，则OA ＝2t ，则点A 、B 的坐标分别为（2t ，0）、（﹣t ，0），则x =12=12（2t ﹣t ），解得：t ＝1，故点A 、B 的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0），则抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣2）（x +1）＝ax 2+bx +2，解得：a ＝﹣1，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+x +2；（2）存在，理由：点D （m ，﹣m 2+m +2）（m ＞0），则OD ＝m ，DE ＝﹣m 2+m +2，以点O ，D ，E 为顶点的三角形与△BOC 相似，则DE OE =OB OC 或OC OB ，即DE OE =2或12，即−m 2+m+2m =2或12，解得：m ＝1或﹣2（舍去）或1+√334或1−√334（舍去），故m ＝1或1+√334．11.【2020·陕西】如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A ，B ，C ，它的对称轴为直线l ．（1）求该抛物线的表达式；（2）P 是该抛物线上的点，过点P 作l 的垂线，垂足为D ，E 是l 上的点．要使以P 、D 、E 为顶点的三角形与△AOC 全等，求满足条件的点P ，点E 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式得{12=9+3b +c −3=4−2b +c ，解得{b =2c =−3，故抛物线的表达式为：y ＝x 2+2x ﹣3；（2）抛物线的对称轴为x ＝﹣1，令y ＝0，则x ＝﹣3或1，令x ＝0，则y ＝﹣3，故点A 、B 的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）；点C （0，﹣3），故OA ＝OC ＝3，∵∠PDE ＝∠AOC ＝90°，∴当PD ＝DE ＝3时，以P 、D 、E 为顶点的三角形与△AOC 全等，设点P （m ，n ），当点P 在抛物线对称轴右侧时，m ﹣（﹣1）＝3，解得：m ＝2，故n ＝22+2×2﹣5＝5，故点P （2，5），故点E （﹣1，2）或（﹣1，8）；当点P 在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P （﹣4，5），此时点E 坐标同上，综上，点P 的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点E 的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）．。

初中数学相似三角形的存在性问题(word版+详解答案)

相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。

难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．【解题攻略】相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。

应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．【解题类型及其思路】相似三角形存在性问题需要注意的问题：1、若题目中问题为△ABC ∽△DEF ，则对应线段已经确定。

2、若题目中为△ABC 与 △DEF 相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC ∽△DEF , ②△ABC ∽△FDE 、 ③△ABC ∽△EFD 、3、若题目中为△ABC 与 △DEF 并且有 ∠A 、 ∠D （或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC ∽△DEF ，②、△ABC ∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。

【典例指引】类型一【确定符合相似三角形的点的坐标】典例指引1．（2019·贵州中考真题）如图，抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+分别相交于A ，B 两点，且此抛物线与x 轴的一个交点为C ，连接AC ，BC ．已知(0,3)A ，(3,0)C -．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使MB MC-的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ PA⊥交y轴于点Q，问：是否存在点P 使得以A，P，Q为顶点的三角形与ABC∆相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【举一反三】（2019·海南模拟）抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线335y x=+相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似?若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．类型二【确定符合相似三角形的动点的运动时间或路程等】典例指引2．（2019年广东模拟）如图，在矩形OABC 中，AO=10，AB=8，沿直线CD 折叠矩形OABC 的一边BC ，使点B 落在OA 边上的点E 处，分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线2y ax bx c =++经过O ，D ，C 三点.(1)求AD 的长及抛物线的解析式；(2)一动点P 从点E 出发，沿EC 以每秒2个单位长的速度向点C 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿CO 以每秒1个单位长的速度向点O 运动，当点P 运动到点C 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，以P ，Q ，C 为顶点的三角形与△ADE 相似？(3)点N 在抛物线对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 与点N ，使以M ，N ，C ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 与点N 的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.【举一反三】（2019·湖南模拟）如图，已知直线y=-x+3与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线y=-x 2+bx+c 经过A ，B 两点，点P 在线段OA 上，从点O 出发，向点A 以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q 在线段AB 上，从点A 出发，向点B 以2个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t 为何值时，△APQ 为直角三角形；（3）过点P 作PE ∥y 轴，交AB 于点E ，过点Q 作QF ∥y 轴，交抛物线于点F ，连接EF ，当EF ∥PQ 时，求点F 的坐标；（4）设抛物线顶点为M ，连接BP ，BM ，MQ ，问：是否存在t 的值，使以B ，Q ，M 为顶点的三角形与以O ，B ，P 为顶点的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．类型三【确定符合相似三角形的函数解析式或字母参数的值】典例指引3．（2019·江苏中考真题）如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数215y x =+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ．（1）点D 的坐标是 ______；（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P ，Q ，使得DPQ ∆与DAB ∆相似．①当275n =时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似，请直接写出n 的取值范围 ______．【举一反三】（2018武汉中考）抛物线L ：y=﹣x 2+bx+c 经过点A （0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B ．（1）直接写出抛物线L 的解析式；（2）如图1，过定点的直线y=kx ﹣k+4（k ＜0）与抛物线L 交于点M 、N ．若△BMN 的面积等于1，求k 的值；（3）如图2，将抛物线L 向上平移m （m ＞0）个单位长度得到抛物线L 1，抛物线L 1与y 轴交于点C ，过点C 作y 轴的垂线交抛物线L 1于另一点D ．F 为抛物线L 1的对称轴与x 轴的交点，P 为线段OC 上一点．若△PCD 与△POF 相似，并且符合条件的点P 恰有2个，求m 的值及相应点P 的坐标．【新题训练】1．（2019·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初三月考）如图1，已知抛物线；C 1：y ＝﹣1m（x +2）（x ﹣m ）（m ＞0）与x 轴交于点B 、C （点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点E ．（1）求点B 、点C 的坐标；（2）当△BCE 的面积为6时，若点G 的坐标为（0，b ），在抛物线C 1的对称轴上是否存在点H ，使得△BGH 的周长最小，若存在，则求点H 的坐标（用含b 的式子表示）；若不存在，则请说明理由；（3）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．2．（2020·浙江初三期末）边长为2的正方形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D 是边OA 的中点，连接CD ，点E 在第一象限，且DE DC ⊥，DE DC =.以直线AB 为对称轴的抛物线过C ，E 两点.（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从点C 出发，沿射线CB 每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒.过点P 作PF CD ⊥于点F ，当t 为何值时，以点P ，F ，D 为顶点的三角形与COD ∆相似？（3）点M 为直线AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，是否存在点M ，N ，使得以点M ，N ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.3．（2020·长沙市长郡双语实验中学初三开学考试）如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +c 的图象经过点C （0，﹣2），顶点D 的坐标为（1，﹣83），与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC ，E 为直线AC 上一点，当△AOC ∽△AEB 时，求点E 的坐标和AEAB的值．（3）点C 关于x 轴的对称点为H ，当55FC +BF 取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△QHF 是直角三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2019·贵州初三）如图，已知抛物线y=13x 2+bx+c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （﹣9，10），AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．5．（2020·河南初三）如图，在平面直角坐标系中，抛物线243y x bx c =-++与x 轴交于A 、D 两点，与y 轴交于点B ，四边形OBCD 是矩形，点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0，4），已知点E （m ，0）是线段DO 上的动点，过点E 作PE ⊥x 轴交抛物线于点P ，交BC 于点G ，交BD 于点H ．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P 在直线BC 上方时，请用含m 的代数式表示PG 的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．6．（2020·浙江初三期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线2yx 的对称轴为直线l ，将直线l 绕着点()0,2P 顺时针旋转α∠的度数后与该抛物线交于AB 两点（点A 在点B 的左侧），点Q 是该抛物线上一点（1）若45α∠=︒，求直线AB 的函数表达式（2）若点p 将线段分成2:3的两部分，求点A 的坐标（3）如图②，在（1）的条件下，若点Q 在y 轴左侧，过点p 作直线//l x 轴，点M 是直线l 上一点，且位于y 轴左侧，当以P ，B ，Q 为顶点的三角形与PAM ∆相似时，求M 的坐标 7．（2020·上海初三）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝13x 2+mx +n 经过点B （6，1），C （5，0），且与y 轴交于点A ．（1）求抛物线的表达式及点A 的坐标；（2）点P 是y 轴右侧抛物线上的一点，过点P 作PQ ⊥OA ，交线段OA 的延长线于点Q ，如果∠PAB ＝45°．求证：△PQA ∽△ACB ；（3）若点F 是线段AB （不包含端点）上的一点，且点F 关于AC 的对称点F ′恰好在上述抛物线上，求FF ′的长．8．（2019·江苏初三期末）如图，抛物线y＝ax2＋5ax＋c（a＜0）与x轴负半轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，D是抛物线的顶点，过D作DH⊥x轴于点H，延长DH交AC于点E，且S△ABD：S△ACB＝9：16，（1）求A、B两点的坐标；（2）若△DBH与△BEH相似，试求抛物线的解析式．9．（2019·湖南中考模拟）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2019·西安市铁一中学中考模拟）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为(2,1)-，并且与y轴交于点(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1，设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ，问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与BCO 相似．若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2019·广东中考模拟）如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线122y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是32x =-且经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）①直接写出点B 的坐标；②求抛物线解析式．（2）若点P 为直线AC 上方的抛物线上的一点，连接PA ，PC ．求△PAC 的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．（3）抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN 垂直x 轴于点N ，使得以点A 、M 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2019·江苏泗洪姜堰实验学校中考模拟）如图，抛物线2481293y x x =--与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于B 点．（1）求△AOB 的外接圆的面积；（2）若动点P 从点A 出发，以每秒2个单位沿射线AC 方向运动；同时，点Q 从点B 出发，以每秒1个单位沿射线BA 方向运动，当点P 到达点C 处时，两点同时停止运动．问当t 为何值时，以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△OAB 相似？（3）若M 为线段AB 上一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交抛物线于点N ．①是否存在这样的点M ，使得四边形OMNB 恰为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．②当点M 运动到何处时，四边形CBNA 的面积最大？求出此时点M 的坐标及四边形CBAN 面积的最大值．13．（2019·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线L ：()2y ax c a x c =+-+经过点A （-3，0）和点B （0，-6），L 关于原点O 对称的抛物线为L '. （1）求抛物线L 的表达式；（2）点P 在抛物线L '上，且位于第一象限，过点P 作PD ⊥y 轴，垂足为D.若△POD 与△AOB 相似，求符合条件的点P 的坐标.14．（2019·湖南中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点C ，且过点(2,3)D -．点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点． (1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在直线OD 下方时，求POD ∆面积的最大值．(3)直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当OBE ∆与ABC ∆相似时，求点Q 的坐标．15．（2018·四川中考真题）如图，抛物线y=12x 2+bx+c 与直线y=12x+3交于A ，B 两点，交x 轴于C 、D 两点，连接AC 、BC ，已知A （0，3），C （﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使|MB ﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ ⊥PA 交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2019·湖南中考真题）如图1，△AOB 的三个顶点A 、O 、B 分别落在抛物线F 1：21733y x x =+的图象上，点A 的横坐标为﹣4，点B 的纵坐标为﹣2.(点A 在点B 的左侧) (1)求点A 、B 的坐标；(2)将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到△A 'OB '，抛物线F 2：24y ax bx =++经过A '、B '两点，已知点M为抛物线F 2的对称轴上一定点，且点A '恰好在以OM 为直径的圆上，连接OM 、A 'M ，求△OA 'M 的面积； (3)如图2，延长OB '交抛物线F 2于点C ，连接A 'C ，在坐标轴上是否存在点D ，使得以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA 'C 相似.若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。

相似三角形存在性问题

一、格点中相似三角形的存在性
例1、（2010·衢州）如图所示，方格纸中每个小正方形的边长为1， △ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上。 ⑴判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； ⑵P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似（要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应的线段，不必说明理由）。
y E D x A O C B
四、课堂小结
y
A O
B
x
C D
三、坐标系中相似三角形的存在性
练习1：(2010·天门)如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C在x 轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于点M，点P 为线段FG上的一个动点（与点F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q。 ⑴求经过B、E、C三点的抛物线的解析式。 N y Q ⑵是否存在点P，使得以点P、Q、M为 G E 顶点的三角形与△AOD相似？若存在， M 求出满足条件的点P的坐标；若不存在， P F D 请说明理由。A来自FCD
O
E
B
三、坐标系中相似三角形的存在性
例3、（2010·定西）如图所示，抛物线与x轴交于A（-1，0）， B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），设抛物线的顶点为D。 ⑴求该抛物线的解析式与顶点D的坐标； ⑵以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？ ⑶探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与 △BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
D E

第11讲相似三角形的存在性(相似)讲义

FEDCBA 相似三角形存在性1．如图正方形ABCD 的边长为8，点E 是BC 边的中点，点P 在射线AD 上，过点P 作PF ⊥AE 于F .（1）请判断△PF A 与△ABE 是否相似，并说明理由；（2）当点P 在射线AD 上运动时，设P A =x ，是否存在实数x ，使以P 、F 、E 为顶点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由.2．如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ⊥EC 交AB 于F ，连结FC （AB ＞AE ）．（1）证明△AEF ∽△DCE ；（2）△AEF 与△EFC 是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由．（3）设ABBC ＝k ，是否存在这样的k 值，使△AEF 与△BFC 相似，若存在，证明你的结论并求出k 的值；若不存在，说明理由．EFP DCBAQPBOA 3．如图，在Rt △AOB 中，已知AO =6，OB =8，动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P 、Q 移动的时间为t 秒，当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似?4．（2011浙江义乌）如图，一次函数y =－2x 的图象与二次函数y =－x 2+3x 图象的对称轴交于点B .（1）写出点B 的坐标；（2）已知点P 是二次函数y =－x 2+3x 图象在y 轴右侧．．部分上的一个动点，将直线y =－2x 沿y 轴向上平移，分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点. 若以CD 为直角边的△PCD 与△OCD 相似，则点P 的坐标为．5．（2011天门）在平面直角坐标系中，抛物线32++=bx ax y 与x 轴的两个交点分别为A （-3，0）、B （1，0），过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H .（1）直接填写：a = ，b = ，顶点C 的坐标为；（2）在y 轴上是否存在点D ，使得△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点P 为x 轴上方的抛物线上一动点（点P 与顶点C 不重合），PQ ⊥AC 于点Q ，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点P 的坐标.ABHCxyOABHCxyO（备用图）6．（2009闸北）在△ABC 中，AB=BC=5，AC=3，DE//BC．当点D在AB边上时，BC 边上是否存在点F，使得△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．测试题1．（2011•山东临沂）如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥于x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．。

第二十一讲相似三角形的性质(含答案)-

第二十一讲相似三角形的性质两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应边之比称为它们的相似比，可以想到这两个相似三角形中其他一些对应元素也与相似比有一定的关系．1．相似三角形对应高的比、对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比； 2．相似三角形周长之比等于相似比；3．相似三角形面积之比等于相似比的平方．以上诸多相似三角形的性质，丰富了与角、面积等相关的知识方法，开阔了研究角、面积等问题的视野．例题求解【例1】如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC(AD<BC)，AC 、BD 交于点O ，若S △OAB =256S 梯形ABCD ，则△AOD与△BOC 的周长之比是．(2001年浙江省绍兴市中考题)思路点拨只需求BCAD的值，而题设条件与面积相关，应求出BOC AOD S S ∆∆的值，注意图形中隐含的丰富的面积关系．注相似三角形的性质及比例线段的性质，在生产、生活中有广泛的应用．人类第一次运用相似原理进行测量，是2000多年前泰勒斯测金字塔的高度，泰勒斯是古希腊著名学者，有“科学之父”的美称．他把逻辑论证引进了数学，确保了数学命题的正确性．使教学具有不可动摇的说明力．【例2】如图，在平行四边形ABCD 中．E 为CD 上一点，DE ：CE=2：3，连结AE 、BE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，则S △DEF ：S △EBF ：S △ABF =( )A ．4：10：25B ．4：9：25C ．2：3：5D ．2：5：25 (2001年黑龙江省中考题)思路点拨运用与面积相关知识，把面积比转化为线段比．【例3】如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知∠C=90°，AB=5cm ，BC=3㎝，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长．思路点拨要在三角形内裁出面积最大的正方形，那么这正方形所有顶点应落在△ABC 的边上，先画出不同方案，把每种方案中的正方形边长求出．注本例是一道有实际应用背景的开放性题型，通过分析、推理、构思可能的方案，再通过比较、鉴别、筛选出最佳的设计方案，问题虽简单，但基本呈现了现实的生产中产生最佳设计方案的基本思路．【例4】如图．在△ABC 的内部选取一点P ，过P 点作3条分别与△ABC 的三边平行的直线，这样所得的3个三角形1t 、2t 、3t 的面积分别为4、9和49，求△ABC 的面积．(美国数学邀请赛试题)思路点拔图中有相似三角形、平行四边形，通过相似三角形性质建立面积关系式，关键是恰当选择相似比，注意等线段的代换．追求形式上的统一．【例5】如图，△ABC 中．D 、E 分别是边BC 、AB 上的点，且∠l ＝∠2=∠3，如果△ABC 、△EBD 、△ADC 的周长依次是m 、m 1、m 2，证明：4521≤+m m m ． (全国初中数学联赛试题)思路点拨把周长的比用相应线段比表示，力求统一，得到同—线段比的代数式，通过代数变形证明．注例4还隐舍着下列重要结论： (1)△FDP ∽△IPE ∽△PHG ∽△ABC ； (2)1=++BCHGAC IE AB DF ； (3) 2=++ACFGAB HI BC DE ．学历训练1．如图，已知DE ∥BC ，CD 和BE 相交于O ，若S △DOE ：S △COB =9：16，则AD ：DB= ． 2．如图，把正方形ABCD 沿着对角线AC 的方向移动到正方形A'B'C'D'的位置，它们的重叠部分(图中的阴影部分)的面积是正方形ABCD 面积的一半，若AC=2，则正方形移动的距离AA'是． (2003年江西省中考题)（第1题）（第2题）（第4题）3．若正方形的4个顶点分别在直角三角形的3条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm 和4cm ，则此正方形的边长为． (2000年武汉市中考题) 4．阅读下面的短文，并解答下列问题：我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同．就把它们叫做相似体．如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比：a ：b ，设S 甲：S 乙分别表示这两个正方体的表面积，则222)(66b a ba S S ==乙甲，又设V 甲、V 乙分别表示这两个正方体的体积，则333)(b a b a V V ==乙甲． (1)下列几何体中，一定属于相似体的是( )A ．两个球体B ．两个圆锥体C ．两个圆柱体D ．两个长方体 (2)请归纳出相似体的3条主要性质：①相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于；②相似体表面积的比等于；③相似体体积的比等于． (2001年江苏省泰州市中考题)5．如图，一张矩形报纸ABCD 的长AB=acm ，宽BC=b ㎝，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，将这张报纸沿着直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a ：b 于( )A ．2：1B ．1：2C ．3：1D ．1：3 (2004年南京市中考题)（第5题）（第6题）（第7题）6．如图，D 为△ABC 的边AC 上的一点，∠DBC=∠A ，已知BC=2，△BCD 与△ABC 的面积的比是2：3，则CD 的长是( ) A.34 B.3 C ．232 D ．334 7．如图，在正三角形ABC 中，D 、E 分别在AC 、AB 上，且31=AC AD ，AE=BE ，则有( ) A ．△AED ∽△BED; B ．△AED ∽△CBD;C ．△AED ∽△ABD; D ．△BAD ∽△BCD. (2001年杭州市中考题) 8．如图，已知△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，且AD ：FD ：FB=1：2：3，则S △ADE ：S 四边形DFGE ：S 四边形FBCG 等于( )A ．1：9：36B ．l ：4：9C ．1：8：27D ．1：8：36（第8题）（第9题） 9．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ACD=∠B ，求证：ADBCCD AB =22． 10．如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD 于E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE=∠C ．(1)求证：△ABF ∽△EAD ；(2)若AB=4，∠BAE=30°，求AE 的长；(3)在(1)、(2)的条件下，若AD=3，求BF 的长． (2003年长沙市中考题)11．如图，在△ABC 中，AB ＝5，BC=3，AC=4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上(与点A 、C 不重合)，Q 点在BC 上．(1)当△PQC 的面积与四边形PABQ 的面积相等时，求CP 的长； (2)当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长；(3)试问：在AB 上是否存在点M ，使得△PQM 为等腰直角三角形?若不存在，请简要说明理由，若存在，请求出PQ 的长． (2002年厦门市中考题)12．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC=2，在BC 上有100个不同的点P l 、P 2、…P 100，过这100个点分别作△ABC 的内接矩形P 1E 1F 1G 1，P 2E 2F 2G 2…P 100E 100F 100G 100，设每个内接矩形的周长分别为L 1、L 2，…L 100，则L 1+L 2+…+L 100= ． (安徽省竞赛题) 13．如图，在△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，GI ∥EF ∥AB ，若△ADE 、△EFG 、△GIC 的面积分别为20cm 2、45cm 2、80cm 2，则△ABC 的面积为．（第12题）（第13题）（第14题）14．如图，一个边长为3、4、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B 重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD 、DC 上，那么这个正方形的面积是厘米2． (第11届“希望杯”邀请赛试题)15．如图，正方形ABCD 中，AE ＝EF=FB ，BG=2CG ，DE ，DF 分别交AG 于P 、Q ，以下说法中，不正确的是( )A ．AG ⊥FDB ．AQ ：QG ＝6，7C ．EP ：PD=2 ： 11D ．S 四边形GCDQ ：S 四边形BGQF =17：9 (2002年重庆市竞赛题) 16．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且CD=3AB ，EF ∥CD ，EF 将梯形ABCD 分成面积相等的两部分，则AE ：ED 等于( )A ．2B ．23 C ．215+ D ．215-（第15题）（第16题）（第17题） 17．如图，正方形OPQR 内接于△ABC ，已知△AOR 、△BOP 和△CRQ 的面积分别是S 1=1，S 2=3和S 3=1，那么正方形OPQR 的边长是( ) A ．2 B ．3 C ．2 D ．318．在一块锐角三角形的余料上，加工成正方形零件，使正方形的4个顶点都在三角形边上，若三角形的三边长分别为 a 、b 、c ，且a ＞b ＞c d ，问正方形的2个顶点放在哪条边上可使加工出来的正方形零件面积最大?19．如图，△PQR 和△P ′Q ′R ′，是两个全等的等边三角形，它们的重叠部分是一个六边形ABCDEF ，设这个六边形的边长为AB= a 1，BC =b 1，CD= a 2，DE= b 2，EF= a 3，FA =b 3 ．求证：a 1 +a 2 +a 3= b 1+ b 2 +b 3．20．如图，在△ABC 中，AB=4，D 在AB 边上移动(不与A 、B 重合)，DE ∥BC 交AC 于E ，连结CD ，设S △ABC = S ，S △DEC =S 1． (1)当D 为AB 中点时，求SS 1的值； (2)若AD= x ，y SS =1，求y 与x 之间的关系式，并指出x 的取值范围； (3)是否存在点D ，使得S S 411>成立?若存在，求出D 点位置；若不存在，请说明理由． (2002年福州市中考题)21．已知∠AOB=90°，OM 是∠AOB 的平分线，按以下要求解答问题：(1)将三角板的直角顶点P 在射线OM 上移动，两直角边分别与边OA ，OB 交于点C ，D ． ①在图甲中，证明：PC=PD ；②在图乙中，点G 是CD 与OP 的交点，且PG=23PD ，求△POD 与△PDG 的面积之比． (2)将三角板的直角顶点P 在射线OM 上移动，一直角边与边OB 交于点D ，OD=1，另一直角边与直线OA ，直线OB 分别交于点C 、E ，使以P 、D 、E 为顶点的三角形与△OCD 相似，在图丙中作出图形，试求OP 的长．(2003年绍兴市中考题)。

九年级数学相似三角形的判定（教师版）知识点+详细答案

九年级数学相似三⾓形的判定（教师版）知识点+详细答案相似三⾓形的判定【学习⽬标】1、了解相似三⾓形的概念，掌握相似三⾓形的表⽰⽅法及判定⽅法；2、进⼀步探索相似三⾓形的判定及其应⽤，提⾼运⽤“类⽐”思想的⾃觉性，提⾼推理能⼒.【要点梳理】要点⼀、相似三⾓形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似⽐，“∽”读作“相似于”.要点诠释：(1)书写两个三⾓形相似时，要注意对应点的位置要⼀致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似⽐，要注意顺序和对应的问题，如果两个三⾓形相似，那么第⼀个三⾓形的⼀边和第⼆个三⾓形的对应边的⽐叫做第⼀个三⾓形和第⼆个三⾓形的相似⽐.当相似⽐为1时，两个三⾓形全等.要点⼆、相似三⾓形的判定定理1．判定⽅法（⼀）：平⾏于三⾓形⼀边的直线和其他两边相交，所构成的三⾓形和原三⾓形相似.2．判定⽅法（⼆）：如果两个三⾓形的三组对应边的⽐相等，那么这两个三⾓形相似. 3．判定⽅法（三）：如果两个三⾓形的两组对应边的⽐相等，并且相应的夹⾓相等，那么这两个三⾓形相似.要点诠释：此⽅法要求⽤三⾓形的两边及其夹⾓来判定两个三⾓形相似，应⽤时必须注意这个⾓必需是两边的夹⾓，否则，判断的结果可能是错误的.4．判定⽅法（四）：如果⼀个三⾓形的两个⾓与另⼀个三⾓形的两个⾓对应相等，那么这两个三⾓形相似.要点诠释：要判定两个三⾓形是否相似，只需找到这两个三⾓形的两个对应⾓相等即可，对于直⾓三⾓形⽽⾔，若有⼀个锐⾓对应相等，那么这两个三⾓形相似.要点三、相似三⾓形的常见图形及其变换：【典型例题】类型⼀、相似三⾓形1. 下列能够相似的⼀组三⾓形为( ).A.所有的直⾓三⾓形B.所有的等腰三⾓形C.所有的等腰直⾓三⾓形D.所有的⼀边和这边上的⾼相等的三⾓形【答案】C【解析】A中只有⼀组直⾓相等，其他的⾓是否对应相等不可知；B中什么条件都不满⾜；D中只有⼀条对应边的⽐相等；C中所有三⾓形都是由90°、45°、45°⾓组成的三⾓形，且对应边的⽐也相等.答案选C.举⼀反三：下列图形中，必是相似形的是（）．A．都有⼀个⾓是40°的两个等腰三⾓形B．都有⼀个⾓为50°的两个等腰梯形C．都有⼀个⾓是30°的两个菱形 D．邻边之⽐为2：3的两个平⾏四边形【答案】C类型⼆、相似三⾓形的判定2. 如图所⽰，已知中，E为AB延长线上的⼀点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三⾓形，并求出相应的相似⽐.【答案】∵四边形ABCD是平⾏四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC，∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.∴△BEF∽△CDF∽△AED.∴当△BEF∽△CDF时，相似⽐；当△BEF∽△AED时，相似⽐；当△CDF∽△AED时，相似⽐.3. 梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E、F分别为AB、BC的中点，EF与BD交于M．（1）求证：△EDM ∽△FBM；（2）若DB=9，求MB的长．【答案】（1）证明：为AB中点，，．⼜，四边形BCDE是平⾏四边形，，△EDM ∽△FBM．（2）解：由（1）知，．⼜，．4. 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上⼀点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2＝PE·PF．【答案】连接，，，是的中垂线，，，，．，．⼜，∽，，．举⼀反三：1、如图，AD 、CE 是△ABC 的⾼，AD 和CE 相交于点F ，求证：AF ·FD=CF ·FE ．【答案】∵ AD 、CE 是△ABC 的⾼, ∴∠AEF=∠CDF=90°, ⼜∵∠AFE=∠CFE, ∴△AEF ∽△CDF. ∴AF EFCF FD=, 即AF ·FD=CF ·FE ． 2、如图，F 是△ABC 的AC 边上⼀点，D 为CB 延长线⼀点，且AF=BD,连接DF, 交AB 于E. 求证：DE ACEF BC=.【答案】过点F 作FG ∥BC,交AB 于G.则△DBE ∽△FGE △AGF ∽△ABC∵DE DBEF GF=, ⼜∵AF=BD,∴.DE AFEF GF= ∵△AGF ∽△ABC∴AF AC GF BC=,即DE AC EF BC=.3、已知：如图正⽅形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．【答案】在正⽅形ABCD中，∵Q是CD的中点，∴=2∵=3，∴=4 ,⼜∵BC=2DQ，∴=2 ,在△ADQ和△QCP中，=，∠C=∠D=90°，∴△ADQ∽△QCP．4、如图，弦和弦相交于内⼀点，求证：.【答案】连接，.在中，，，∴∽。

相似三角形的性质及应用(解析版)

4.5相似三角形的性质及应用一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则21122=1122ABCA B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 二、三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段.OEFDABC即12OD OE OF OA OB OC === . 要点：H OEFDAB C过点E 作EH ∥BC 交AD 于H ，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得CD=2EH ，从而得到BD=2EH ，再根据△BDO 和△EHO 相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证1=2OE HE OB BD ，同理其他比例也可以得到．三、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC 、BD 、CE 的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB 的长.2．如乙图所示，可先测AC 、DC 及DE 的长，再根据相似三角形的性质计算AB 的长.要点：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．一、单选题1．两三角形的相似比是2：3，则其对应角的角平分线之比是（） A ．2:3 B ．2：3 C ．4：9 D ．8：27 【解答】B【提示】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比解答即可．【详解】解：∵两三角形的相似比是2：3， ∴相似三角形对应角平分线的比是2：3，故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应角平分线的比，对应高的比，对应中线的比都等于相似比的性质．2．已知ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2，若BC 边上的中线长为1，则EF 边上的中线长是（） A ．2 B ．2 C ．3D ．4【解答】A【提示】由ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2可知：相似比为1:2，则对应中线的比为1:2，即可求出答案．【详解】∵ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2 ∴相似比为1:2 ∴其对应中线的比为1:2 ∵BC 边上的中线长为1 ∴EF 边上的中线长是2 故选：A【点睛】本题主要考查了相似三角形的相似比的相关知识点，熟练掌握相似三角形面积比、相似比、对应边的高线、中线的比的关系是解题的关键，属于基础知识题．3．如图点D 、E 分别在△ABC 的两边BA 、CA 的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC 的是（）．A ．AD DEAB BC =； B ．AD AE AC AB =；C ．AD AB DE BC ⋅=⋅； D ．AD AC AB AE ⋅=⋅．【解答】D【提示】根据选项选出能推出ADE ABC ∆∆∽，推出D B ∠=∠或E C ∠=∠的即可判断．【详解】解：A 、∵AD DEAB BC =，EAD BAC ∠=∠，不符合两边对应成比例及夹角相等的相似三角形判定定理. 无法判断ADE ∆与ABC ∆相似，即不能推出//DE BC ，故本选项错误；B 、AD AE AC AB =EAD BAC ∠=∠， ADE ACB ∴∆∆∽，E B ∴∠=∠，D C ∠=∠，即不能推出//DE BC ，故本选项错误；C 、由AD AB DE BC ⋅=⋅可知AB DEBC AD =，不能推出DAE BAC ∆∆∽，即不能推出D B ∠=∠，即不能推出两直线平行，故本选项错误；D 、∵AD AC AB AE ⋅=⋅，AD AEAB AC ∴=，EAD BAC ∠=∠， DAE BAC ∴∆∆∽，D B ∴∠=∠，//DE BC ∴，故本选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线的判定的应用，主要考查学生的推理和辨析能力，注意：有两组对应边的比相等，且这两边的夹角相等的两三角形相似． 4．已知ABC 与DEF 相似，且A D ∠=∠，那么下列结论中，一定成立的是（） A ．B E ∠=∠ B ．AB ACDE DF =C ．相似比为AB DED ．相似比为BCEF【解答】D【提示】根据相似三角形的性质对不同的对应角和对应边进行分类讨论．【详解】解：∵B 可以与E 对应，也可以与F 对应，∴∠B=∠E 或∠B=∠F ，A 不一定成立；同上，AB 可以与DE 对应，也可以与DF 对应，∴AB AC DE DF =或AB ACDF DE =，B 不一定成立；同上，AB 可以与DE 对应，也可以与DF 对应，∴相似比可能是AB DE ，也可能是ABDF ，C 不一定成立；∵∠A=∠D ，即∠A 与∠D 是对应角，∴它们的对边一定是对应比，即BC 与EF 是对应比，∴相似比为BCEF ，∴D 一定成立，故选D ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，注意相似三角形的性质是针对对应角和对应边而言的． 5．如图，小明站在 C 处看甲、乙两楼楼顶上的点 A 和点 E ．C ，E ，A 三点在同一直线上，B ，C 相距 20 米，D ，C 相距 40 米，乙楼的高 BE 为 15 米，小明的身高忽略不计，则甲楼的高 AD 为（）A ．40 米B ．20 米C ．15 米D ．30 米【解答】D【提示】证明ADC EBC ∽△△，利用相似三角形的性质解答即可．【详解】解：由题意可知：90ADC ∠=︒，90EBC ∠=︒，C ∠是公共角，∴ADC EBC ∽△△， ∴AD DCEB BC =， ∵20m BC =，40m DC =，15m BE =， ∴40=15=30m 20DC AD EB BC =⨯⨯．故选：D【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定及性质． 6．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=，CD AB ⊥垂足为D ，那么下列结论错误的是（）A ．22AC BD BC AD ⋅=⋅B ．22BC BD CD AB ⋅=⋅C ．AD BC AC CD ⋅=⋅ D ．CD BC AC BD ⋅=⋅ 【解答】B【提示】根据直角三角形的性质与相似三角形的判定可知△ADC ∽△CDB ∽△ACB ，利用相似三角形的对应线段成比例即可求解. 【详解】∵∠ACB=90°，CD ⊥AB ， ∴△ADC ∽△CDB ∽△ACB ∴AC2=AD·AB ，BC2=BD·AB ，故22AC BD BC AD ⋅=⋅，A 正确，B 错误；∵△ADC ∽△CDB∴AD AC CDCD BC BD == ∴AD BC AC CD ⋅=⋅，CD BC AC BD ⋅=⋅,C,D 选项正确；故选B.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知直角三角形的性质及相似三角形的判定.7．如图，E ，F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，AE=CF=14AC ．连接DE ，DF 并延长，分别交AB ，BC 于点G ，H ，连接GH ，则ADG BGHS S △△的值为（）A ．12B ．23C ．34D ．1【解答】C【提示】首先证明AG ：AB=CH ：BC=1：3，推出GH ∥AC ，推出△BGH ∽△BAC ，可得223924ADC BAC BGHBGHS S BA SSBG （）（）====,13ADG ADCSS=，由此即可解决问题．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD=BC ，DC=AB ， ∵AC=CA ， ∴△ADC ≌△CBA ， ∴S △ADC=S △ABC ，∵AE=CF=14AC ，AG ∥CD ，CH ∥AD ，∴AG ：DC=AE ：CE=1：3，CH ：AD=CF ：AF=1：3， ∴AG ：AB=CH ：BC=1：3， ∴GH ∥AC ， ∴△BGH ∽△BAC ， ∴223924ADC BAC BGHBGHS S BA S SBG （）（）====，∵13ADG ADCS S=，∴913434ADG BGHS S=⨯=.故选C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．8．如图，在正方形ABCD 中，ABP 是等边三角形，AP 、BP 的延长线分别交边CD 于点E 、F ，联结AC 、CP 、AC 与BF 相交于点H ，下列结论中错误的是（）A ．AE=2DEB ．CFP APHC ．CFP APCD ．2CP PH PB =⋅【解答】C【提示】A.利用直角三角形30度角的性质即可解决问题． B.根据两角相等两个三角形相似即可判断．C.通过计算证明∠DPB≠∠DPF ，即可判断．D.利用相似三角形的性质即可证明．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠D=∠DAB=90°， ∵△ABP 是等边三角形， ∴∠PAB=∠PBA=∠APB=60°， ∴∠DAE=30°， ∴AE=2DE ，故A 正确; ∵AB ∥CD ，∴∠CFP=∠ABP=∠APH=60°，∵∠PHA=∠PBA+∠BAH=60°+45°=105°，又∵BC=BP ，∠PBC=30°， ∴∠BPC=∠BCP=75°， ∴∠CPF=105°，∴∠PHA=∠CPF ，又易得∠APB=∠CFP=60°， ∴△CFP ∽△APH ，故B 正确; ∵∠CPB=60°+75°=135°≠∠DPF ， ∴△PFC 与△PCA 不相似，故C 错误; ∵∠PCH=∠PCB-∠BCH=75°-45°=30°， ∴∠PCH=∠PBC ， ∵∠CPH=∠BPC ， ∴△PCH ∽△PBC ，∴PC PHPB PC =,∴PC2=PH•PB ，故D 正确，故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．如图所示，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、BC 上的点，且//DE AC ，AE 、CD 相交于点O ．若45::2DOE COA S S ∆∆=，则BDES ∆与CDE S ∆的比是（）A ．1：2B ．1： 3C ．2：3D ．2：5 【解答】C【提示】利用相似三角形的性质解决问题即可．【详解】解：∵//DE AC ， ∴DEO CAO ∆∆∽， ∵45::2DOE COA S S ∆∆=，∴2425DE AC ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴25DE AC =， ∵//DE AC ， ∴25BE DE BC AC ==， ∴23BE EC =，∴BDES ∆与CDE S ∆的比2:3=，故选：C ．【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．10．如图，正方形ABCD 和正方形CGFE 的顶点,,C D E 在同一条直线上，顶点, ,B C G 在同一条直线上．O 是EG 的中点，EGC ∠的平分线GH 过点D ，交BE 于点H ，连接FH 交EG 于点M ，连接OH 交EC 于点N ．则BCCG 的值为（）A ．31-B ．3C ．21-D ．2【解答】C【详解】∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形，,,BC DC CE CG BCE DCG ∴==∠=∠．在BCE和DCG △中，,,(),,BC DC BCE DCG BCE DCG SAS BEC BGH CE CG =⎧⎪∠=∠∴∴∠=∠⎨⎪=⎩≌．90BGH CDG ∠+∠=︒，,90CDG HDE BEC HDE ∠=∠∴∠+∠=︒．GH BE ∴⊥．GH 平分,EGC BGH EGH ∠∴∠=∠．()BGH EGH ASA ∴≌．BH EH ∴=．又O 是EG 的中点，//HO BG ∴．D C DHN G ∴∽△△．DN HN DC CG ∴=．设HN a =，正方形ECGF 的边长是2b ，则2BC a =，22,,22b a aCD a NC b a b -==∴=，即2220a ab b +-=，解得(12)a b =-+或(12)a b =--（舍去），则221,212a BCb CG =-∴=-．二、填空题11．若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为 _________．【解答】3：5【提示】根据相似三角形的性质：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比即可得出答案．【详解】∵两个相似三角形的面积比是9：25 ∴两个相似三角形的相似比是3：5 ∴对应边上的中线的比为3：5 故答案为：3：5．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 12．如图，△ABC ∽△CBD ，AB=9，BD=25，则BC=______．【解答】15【提示】根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可求解．【详解】解：∵△ABC ∽△CBD ，∴AB CBCB BD =，即2BC AB BD =⨯， AB=9，BD=25，2292522515BC AB BD ∴=⨯=⨯==，15BC =∴，故答案为：15【点睛】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质列出比例式是解题的关键． 13．一个三角形三边长度之比为2：5：6，另一个与它相似的三角形最长边为24，则三角形的最短边为_________．【解答】8【提示】首先设与它相似的三角形的最短边的长为x ，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程，解此方程即可求得答案．【详解】解：设与它相似的三角形的最短边的长为x ，则 2624x =，∴8x =；∴三角形的最短边为8．故答案为：8．【点睛】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用．14．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，连接AE ，过点E 作EF AE ⊥交DC 于点F ．若4AB =，6BC =，则DF 的长为______．【解答】74【提示】结合矩形的性质证明BAECEF ∆∆可求得CF 的长，再利用DF CD DF =-可求解．【详解】解：四边形ABCD 为矩形，90B C ∴∠=∠=︒，4CD AB ==，90BAE AEB ∴∠+∠=︒，EF AE⊥，90AEF∴∠=︒，90AEB CEF∴∠+∠=︒，BAE CEF∴∠=∠，BAE CEF∴∆∆，::AB CE BE CF∴=，E是BC的中点，6BC=，3BE CE∴==，4AB=，4:33:CF∴=，解得94CF=，97444DF CD DF∴=-=-=．故选：7 4．【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明BAE CEF∆∆是解题的关键．15．用杠杆撬石头的示意图如图所示，P是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕P点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起8cm，已知杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压_____cm．【解答】32【提示】首先根据题意画出图形，然后根据△APM∽△BPN有AP AMBP BN=，然后再利用动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1和8BN≥即可求出AM的最小值．【详解】解：如图：AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN；∴△APM∽△BPN；∴APBP＝AMBN，∵杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，∴AMBN＝41，即AM＝4BN；∴当BN≥8cm时，AM≥32cm；故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A 向下压32cm ．故答案为：32．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 16．如图，已知,20,60AB BC ACBAD DAE AD DE AE ︒︒==∠=∠=，则DAC ∠的度数为_________．【解答】40°【提示】由AB BC ACAD DE AE ==可判定△ABC ∽△ADE ，得到∠BAC=∠DAE ，再根据20BAD ︒∠=，60DAE ︒∠=，可得出∠DAC 的度数.【详解】解：∵AB BC ACAD DE AE ==， ∴~ABC ADE ， ∴60BAC DAE ︒∠=∠=，又∵20BAD ︒∠=， ∴40DAC ︒∠=．故答案为：40°.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是能根据AB BC ACAD DE AE ==判定出△ABC ∽△ADE.17．如图，已知在ABC 中，90C ∠=︒，10AB =，1cot 2B =，正方形DEFG 的顶点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长为_____．【解答】207【提示】作CM ⊥AB 于M ，交GF 于N ，由勾股定理可得出AB ，由面积法求出CM ，证明△CGF ∽△CAB ，再根据对应边成比例，即可得出答案．【详解】作CM ⊥AB 于M ，交GF 于N ，如图所示： ∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，1cot B 2=，∴设BC ＝k ，则AC ＝2k ，AB2＝AC2＋BC2，即：102＝（2k ）2＋k2，解得：k ＝25， ∴BC ＝25，AC ＝45， ∴CM ＝AC BC AB ⋅＝452510⨯＝4，∵正方形DEFG 内接于△ABC ， ∴GF ＝EF ＝MN ，GF ∥AB ， ∴△CGF ∽△CAB ，∴CN GF =CM AB ，即4EF EF410-=，解得：EF ＝207；故答案为：207．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．18．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点E 是边AC 上一点，以BE 为斜边往BC 侧作等腰Rt BEF △，连接,CF AF ，若6AB =，四边形ABFC 的面积为12，则AE =_________，AF =_________．【解答】 234【提示】如图，过点E 作EH AB ⊥于H ，过点F 作FQ AC ⊥，交AC 的延长线于Q ，由面积和差关系可求3BCF S ∆=，通过证明ABE CBF ∆∆∽，可得2()ABE BCF S AB S BC∆∆=，可求2EH =，由勾股定理可求AE ，BE ，EF 的长，通过证明BEH EFQ ∆∆∽，可得2BE EH BH EF QF EQ ===，可求22EQ =，2QF =，由勾股定理可求解．【详解】解：如图，过点E 作EH AB ⊥于H ，过点F 作FQ AC ⊥，交AC 的延长线于Q ，90ACB ∠=︒，AC BC =，2AB BC ∴，=6AB ，32AC BC ∴==四边形ABFC 的面积为12，12ABC BCF S S ∆∆∴+=， 3BCF S ∆∴=，等腰Rt BEF ∆，2BE BF ∴，45EBF∠=︒，=45ABC ∠︒，ABE CBF ∴∠=∠，2AB BE BC FB == ABE CBF ∴∆∆∽，∴2()ABE BCF S AB S BC ∆∆=， 326ABE S ∆∴=⨯=，∴162AB EH ⨯=，2EH ∴=，45CAB ∠=︒，EH AB ⊥，45CAB AEH ∴∠=∠=︒，2AH EH ∴==，222AE EH ==，4BH ∴=，2CE =，2221825BE CE BC ∴=+=+=，10EF ∴=，180AEH BEH FEB QEF ∠+∠+∠+∠=︒， 90BEH FEQ ∴∠+∠=︒，且90BEH EBH ∠+∠=︒EBH QEF ∴∠=∠，且90Q BHE ∠=∠=︒，BEH EFQ ∴∆∆∽， ∴2BE EH BHEF QF EQ ===， 22EQ ∴=，2QF =， 42AQ ∴=，2232234AF AQ QF ∴=+=+=，故答案为：22，34．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用相似三角形的性质求出EH 的长是本题的关键．三、解答题19．如图，在ABP 中，C ，D 分别是,AP BP 上的点．若4,5,6,3CD CP DP AC BD =====．(1)求证：ABP DCP ∽△△； (2)求AB 的长．【解答】(1)见解析(2)AB＝8【提示】（1）△ABP与△DCP有公共角，分别计算PDPC与APBP的值，得到PD PCPA PB=，根据相似三角形的判定定理得出结论；（2）运用相似三角形的性质计算即可．（1）证明：∵CD＝CP＝4，DP＝5，AC＝6，BD＝3，∴AP＝AC+CP＝6+4＝10，BP＝BD+DP＝3+5＝8，∴54PDPC=，10584APBP==，∴PD APPC BP=，即PD PCPA PB=，∵∠DPC＝∠APB，∴△ABP∽△DCP；（2）解：∵△ABP∽△DCP，∴AB PBCD PC=，即844AB=，∴AB＝8．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，属于基础题．解决问题的关键是掌握：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．20．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，BE与对角线AC交于点F．(1)求证：△AEF∽△CBF；(2)若BE⊥AC，求AE：ED．【解答】(1)见解析(2)1：3【提示】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，然后根据相似三角形的判断方法可判断△AEF∽△CBF；（2）设AB=x，则BC=2x，利用矩形的性质得到AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，接着证明△ABE∽△BCA，利用相似比得到AE=12x，则DE=32x，从而可计算出AE：DE．（1）解：证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴△AEF∽△CBF；（2）设AB=x，则BC=2x，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，∵BE⊥AC，∴∠AFB=90°，∵∠ABF+∠BAF=90°，∠BAC+∠ACB=90°，∴∠ABF=∠ACB，∵∠BAE=∠ABC，∠ABE=∠BCA，∴△ABE∽△BCA，∴AE ABAB BC=，即2AE xx x=，∴AE=12x，∴DE=AD-AE=32x，∴AE：DE=13:22x x=1：3．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等条件，同时利用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了矩形的性质．21．如图，为了测量平静的河面的宽度EP，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆AB，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即PM PN=，两岸均高出水平面0.75米，即0.75DE FP==米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直与河面EP，求河宽EP是多少米？【解答】河宽为12米【提示】连接DF ，根据题意可得出四边形DEPF 为矩形，由ADB NDF ∽△△可求得DF ，便可解决问题．【详解】解：如图，连接DF ，∵点B 、D 、F 共线，DE 、MF 均垂直与河面EP ，且0.75DE FP ==， 4.5MF =， ∴四边形DEPF 为矩形， ∴DF EP =，∴ 4.50.75 5.25PN FM FP =+=+=， ∴ 5.250.756FN PN FP =+=+=， ∵AB 、DE 、MF 均垂直与河面EP ， ∴90ABD NFD ∠=∠=︒， ∵ADB NDF ∠=∠， ∴ADB NDF ∽△△； ∴AB NFBD DF =， ∵ 1.6AB =， 3.2BD =， ∴1.663.2DF =，∴12DF =， ∴12EP =（米）．答：河宽EP 是12米．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的判定和性质等知识．关键是构造和证明三角形相似．22．如图，已知AD ，BC 相交于点E ，且△AEB ∽△DEC ，CD ＝2AB ，延长DC 到点G ，使CG ＝12CD ，连接AG ．(1)求证：四边形ABCG 是平行四边形；(2)若∠GAD ＝90°，AE ＝2，CG ＝3，求AG 的长．【解答】(1)证明见解析； (2)35AG =【提示】（1）根据相似三角形的性质可得AB ∥CD ，再由CD ＝2AB ，CG ＝12CD ，可得AB ＝CG ，即可证明；（2）由平行四边形的性质可得AG ∥BC ，可得∠AEB ＝90°，再由CG ＝3可得AB ＝3，利用勾股定理可得BE ，再由相似三角形的性质可得CE ，从而得出BC ，即可求解．（1）证明：∵△AEB ∽△DEC ， ∴∠B ＝∠BCD ， ∴AB ∥CD ，即AB ∥CG ，∵CD ＝2AB ，CG ＝12CD ，∴AB ＝CG ，∴四边形ABCG 是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCG 是平行四边形，AE ＝2，CG ＝3， ∴AG ∥BC ，AG ＝BC ，AB ＝CG ＝3， ∵∠GAD ＝90°， ∴∠AEB ＝90°，在Rt △ABE 中，由勾股定理可得：BE 22AB AE -即BE ＝22325-=，∵△AEB ∽△DEC ， ∴12BE AB CE CD ==， ∴CE ＝25，∴BC ＝BE+CE ＝35， ∴AG ＝BC ＝35．【点睛】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，勾股定理的运用，平行四边形的判定与性质．23．如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，点E 是边AC 上一点，且满足ADE B ∠=∠．(1)证明：ADB AED ∆∆；(2)若3AE =，5AD =，求AB 的长．【解答】(1)见解析(2)253【提示】（1）证出∠BAD=∠EAD ．根据相似三角形的判定可得出结论；（2）由相似三角形的性质可得出AD ABAE AD =，则可得出答案．（1）∵AD 是∠BAC 的角平分线， ∴∠BAD=∠EAD ． ∵∠ADE=∠B ， ∴△ADB ∽△AED ．（2）∵△ADB ∽△AED ， ∴AD ABAE AD =，∵AE=3，AD=5， ∴535AB =， ∴253AB =．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24．已知：平行四边形ABCD ，E 是BA 延长线上一点，CE 与AD 、BD 交于G 、F ．求证：2CF GF EF =⋅．【解答】见解析【提示】根据平行四边形的性质得到AD BC ∥，AB CD ∥，得到△DFG ∽△BFC ，△DFC ∽△BFE ，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC ∥，AB CD ∥，∴△DFG ∽△BFC ，△DFC ∽△BFE ∴GF DF CF BF =，CF DFEF BF =， ∴GF CFCF EF =，即2CF GF EF =⋅．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25．如图，已知cm,cm,23,36,117AD a AC b BC AC B D ===∠∠=︒=︒，ABC DAC △∽△．（1）求AB 的长；（2）求DC 的长；（3）求BAD ∠的度数．【解答】（1）32cm a ；（2）2cm3b ；（3）153︒【提示】（1）由ABC DAC △∽△，可得：,AB BCAD AC =再代入数据可得答案；（2）由ABC DAC △∽△，可得：,AC BCDC AC =再代入数据可得答案；（3）由ABC DAC △∽△，可得：117,36,BAC D B DAC ∠=∠=︒∠=∠=︒再利用角的和差可得答案；【详解】解：（1）23,,BC AC AD a ==3,2BC AC ∴= ABC DAC △∽△，,AB BCAD AC ∴= 3,2AB a ∴= 3.2AB a ∴=（2） ABC DAC △∽△，,AC BCDC AC ∴= 而3,,2BC AC b AC == 3,2b DC ∴=2.3DC b ∴=（3） ABC DAC △∽△，36,117,B D ∠=︒∠=︒117,36,BAC D B DAC ∴∠=∠=︒∠=∠=︒11736153.BAD BAC DAC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边成比例是解题的关键.26．如图，在四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点F ．点E 在BD 上，且BAE CAD ∠=∠，AB ACAE AD =．(1)求证：ABC AED ∽△△． (2)若20BAE ∠=︒，求∠CBD 的度数．【解答】(1)证明见解析 (2)20︒【提示】（1）根据两边对应成比例，且夹角相等，两个三角形相似，即可证明．（2）根据（1）中ABC AED ∽△△，得出ADB ACB ∠=∠，再根据对顶角相等，AFD BFC ∠=∠，证得AFD BFC ∽△△，得出CBD CAD BAE ∠=∠=∠，即可求解．（1）∵BAE CAD ∠=∠∴BAE EAF CAD EAF ∠+∠=∠+∠， ∴BAC DAE ∠=∠， AB ACAE AD =，∵在ABC 和AED △中， AB ACAE AD BAC DAE ⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，∴ABC AED ∽△△．（2）∵ABC AED ∽△△， ∴ADB ACB ∠=∠，又∵AFD BFC ∠=∠，对顶角相等，∴AFD BFC ∽△△， ∴CBD CAD ∠=∠，∵BAE CAD ∠=∠，20BAE ∠=︒，∴20CAD ∠=︒，故答案为：20︒．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 27．如图，四边形ABCD 为正方形，且E 是边BC 延长线上一点，过点B 作BF ⊥DE 于F 点，交AC 于H 点，交CD 于G 点．(1)求证：△BGC ∽△DGF ； (2)求证：GD AB DF BG ⋅=⋅； (3)若点G 是DC 中点，求GFCE 的值．【解答】(1)见解析 (2)见解析 (3)5GF CE=【提示】（1）由正方形性质和题干已知垂直条件得直角相等，后由对顶角相等，进而得到△BGC ∽△DCF ．（2）由第一问的结论可得到相似比，既有DG BC DF BG ⋅=⋅，然后因为正方形四边相等，进行等量代换即可求出证明出结论．（3）通过ASA 判定出△BGC ≌△DEC ，进而根据第一问结论可得△BGC ∽△DGF ，然后通过相似比设未知数，赋值CG x =，即可求出GFCE 的值．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴90BCD ADC ∠=∠=︒ ∵BF DE ⊥ ∴90GFD ∠=︒ ∴BCD GFD ∠=∠，又∵BGC DGF ∠=∠， ∴△BGC ∽△DCF ．（2）证明：由（1）知△BGC ∽△DGF ， ∴BG BCDG DF =， ∴DG BC DF BG ⋅=⋅ ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB BC =∴DG AB DF BG ⋅=⋅．（3）解：由（1）知△BCC ∽△DGF ， ∴FDG CBG ∠=∠，在△BGC 与△DEC 中，,{,=,CBG CDE BCG DCE BC CD ∠=∠∠=∠ ∴△BGC ≌△DEC （ASA ） ∴CG EC = ∵G 是CD 中点 ∴CG DG = ∴::GF CE CF DC = ∵△BGC ∽△DGF ∴::GF DG CG BG =在Rt △BGC 中，设CG x =，则2BC x =，BC =∴CG BG =∴GF CE=【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识点，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键．28．如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是AB 边上一点（含端点A 、B ），过点B 作BE 垂直于射线CD ，垂足为E ，点F 在射线CD 上，且EF BE =，连接AF 、BF ．（1）求证：ABF CBE ∽；（2）如图2，连接AE ，点P 、M 、N 分别为线段AC 、AE 、EF 的中点，连接PM 、MN 、PN ．求PMN ∠的度数及MNPM 的值；（3）在（2）的条件下，若2BC =PMN 面积的最大值．【解答】（1）证明见解析；（2）135PMN ∠=；=2MN PM 3）14 【提示】（1）根据两边对应成比例，夹角相等判定即可．（2）PMN ∠的值可以根据中位线性质，进行角转换，通过三角形内角和定理求解即可，MNPM 的比值转换为AFCE 的比值即可求得.（3）过点P 作PQ 垂直于NM 的延长线于点Q ，12PMN S MN PQ =△，将相关线段关系转化为CE ，可得关系218PMN S CE =△，观察图象，当2CE BC == 【详解】（1）证明：∵90ACB ∠=︒，AC BC = ∴2AB BC =,45ABC BAC ∠=∠= ∵BE 垂直于射线CD , ∴90,BEF ∠= 又∵EF BE =∴2FB EB =,45FBE EFB ∠=∠= ∵+ABC ABE ABE FBE ∠∠=∠+∠ 即：ABF CBE ∠=∠又∵2AB BFCB BE == ∴ABF CBE ∽（2）解：∵点P 、M 、N 分别为线段AC 、AE 、EF 的中点∴//PM CN ，//MN AF ，11,22PM CE MN AF== ∴MPN CNP ∠=∠,CNM EFA ∠=∠∴+MPN MNP CNP MNP CNM EFA ∠∠=∠+∠=∠=∠ 又∵ABF CBE ∽ ∴90AFB CEB ∠=∠= 又∵45EFB ∠=∴904545EFA AFB BFE ∠=∠-∠=-= ∴+45MPN MNP ∠∠=又∵++180MPN MNP PMN ∠∠∠= ∴18045135PMN ∠=-=又∵12=12AFMN AFPM CECE = 又∵ABF CBE ∽ ∴=2AF AB CE CB = ∴=2MNPM（3）如下图：过点P 作PQ 垂直于NM 的延长线于点Q , 135,PMN ∠=︒ 45,PMQ MPQ ∴∠=︒=∠,PQ ∴= 111221222228216PMNS MN PQ AF PM AF CE AF CE ==⨯⨯==△又∵BC =∴AF =∴221168PMN S CE ==△∴当CE 取得最大值时，PMN 取得最大值， ,BE CE ⊥E ∴在以BC 的中点为圆心，BC 为直径的圆上运动，∴当CE CB ==CE 最大，∴11=2=84S ⨯，【点睛】本题考查的是三角形相似和判定、以及三角形面积最大值的求法，根据题意找见相关的等量是解题关键．。

相似三角形的存在性(学生用)

相似三角形的存在性（一）1.如图，已知二次函数的图象经过三点，直线与x轴交于点D，与抛物线交于点E．连接AC，BE，若△BDE与△AOC相似，则点E的坐标为( )A. B.C. D.2.如图，抛物线过A，B两点，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C处．M 为第一象限内的抛物线上一点，过点M作MN垂直于x轴，垂足为点N．若以M，O，N为顶点的三角形与△BOC相似，则点M的坐标为( )A. B.C.D.3.如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，连接BC．N 为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t，且，当△OPN∽△COB时，点N的坐标为( )A.B. C.D.4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于AD两点，与y轴交于点B．四边形OBCD是矩形，已知点是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．当点P在直线BC上方时，若以P，B，G为顶点的三角形与△DEH相似，则m的值为( )A.-1B.C.-1或-3D.第1题图第2题图第3题图第4题图相似三角形的存在性（二）思考问题1：相似三角形的判定有哪些？问题2：在相似三角形存在性问题中，什么样的三角形是目标三角形？1.如图，已知二次函数的图象经过A(-4，3），B(4，4)两点，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．P为第二象限内的抛物线上一动点，过点P 作PH⊥x轴于点H，若△PHD与△ABC相似，则点P的坐标为( )A.B.C.D.2.如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．连接AC，过点B作BD∥AC 交抛物线于点D，连接BC，AD，若P是x轴上方抛物线上一点，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，若△BPE与△CBD相似，则点P的坐标为( )A. B.C. D.3.如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，D为抛物线的顶点．若P为坐标轴上一点，且△PAC与△BCD相似，则点P的坐标为( )A.，B.C. D.总结反思问题1：结合第1题考虑，目标三角形是________，不变特征是________．问题2：结合第1题考虑，△PHD与△ABC相似用到相似三角形的哪一个判定？如何确定分类标准？问题3：结合第1题分析，相似三角形的存在性问题的处理思路是什么？相似三角形的存在性（三）问题1：研究二次函数时需要关注哪些信息？如何研究函数背景？问题2：相似三角形存在性问题的处理思路是什么？问题3：分析定点、动点，找不变特征的目的是什么？1.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，C，经过A，C两点的抛物线与x轴负半轴的另一交点为B，tan∠CBO=3，D为抛物线的顶点．若P为射线BD上一点，且以P，A，B为顶点的三角形与△ABC相似，则点P的坐标为( )A. B.C. D.2.如图，直线与x轴、y轴分别交于点B，C，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P．若Q为x轴上一点，且以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，则点Q的坐标为( )A. B.C. D.3.如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线经过点A和x轴正半轴上的点B，且OA=OB=2，∠AOB=120°．（1）连接OM，则∠AOM的度数为( )A.160°B.120°C.135°D.150°4.（上接第3题）（2）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，则点C的坐标为( )A. B.C. D.总结反思问题1：结合第4题考虑，为什么点C在点B右侧的x轴上？问题2：结合第4题考虑，相似三角形的存在性问题的分类标准是什么？相似三角形的存在性（四）问题1：具有什么特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？铅垂法的具体做法是什么？问题2：如何利用铅垂法表达三角形的面积？问题3：分析定点、动点，找不变特征的目的是什么？1.如图，已知抛物线经过坐标原点O，交x轴于点A，顶点B的坐标为．Q是x轴上方抛物线上的一动点，当△AOQ与△AOB相似时，点Q的坐标为( )A. B.C. D.2.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B均在x轴正半轴上，连接OD，BD，△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E．连接OE，点P在直线BF上，若△BPD与△OED相似，则满足条件的点P共有( )个．A.1B.2C.3D.43.如图，抛物线（k为常数，且）与x轴从左至右依次交于点A，B，与y轴交于点C．若在第一象限内的抛物线上存在点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，则k的值为( )A. B.C. D.总结反思问题1：结合第3题分析，以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似的分类标准是什么？相似三角形的存在性（五）1.如图，直线OA与反比例函数的图象交于点，向下平移直线OA，与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点C．（1）经过A，B，C三点的抛物线的解析式为( )A. B.C. D.2.（上接第1题）（2）设（1）中抛物线的顶点为D，对称轴与x轴的交点为E．P是抛物线对称轴上一点，若△POE与△BCD相似，则点P的坐标为( )A. B.C.D.3.如图，在平面直角坐标系xOy中，点B在y轴正半轴上，点C在x轴负半轴上，四边形ABCO是平行四边形，且AB=4，OB=2，抛物线过A，B，C三点，与x轴交于另一点D．动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿BA向终点A运动，同时动点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动，当点P到达点A时，点Q同时停止运动．设点P运动的时间为t秒．若以P，B，O为顶点的三角形与以Q，B，O为顶点的三角形相似，则t的值为( )A. B. C. D.总结反思问题1：分析定点、动点，找不变特征的目的是什么？问题2：结合第2题考虑为什么会出现双重分类（动点问题的分类以及相似三角形存在性问题的分类）？分类标准是什么？问题3：相似三角形的存在性问题，既要考虑_______，又要考虑_______，二者缺一不可。

压轴题“一题精讲”（一）：相似三角形的存在性

压轴题“一题精讲”（一）：相似三角形的存在性处理相似三角形存在性问题时，一般可遵循以下思路：第一步：确定对应关系对于需要讨论的两个三角形，常常可以从发现一组同角（等角）入手，继而进一步挖掘条件或分类讨论，确定对应关系.第二步：解得未知量①代数方法：通过对应关系列出比例式，用未知数和常数表示比例式中的每条边，通过列方程求解.根据定理“两边对应成比例且夹角相等，则两个三角形相似”，围绕着已证明等角的夹边列比例式比较简单.如下图：在两个三角形中，有∠A=∠D，则∠A的夹边AB和AC，∠D的夹边DE和DF，则可列出以下两组比例式，即AB:AC=DE:DF 或AB:AC=DF:DE.②几何方法：通过对应关系确定对应角，通过角之间的等量关系发现新的等腰或相似三角形，建立数量关系，从而得以求解。

（以下习题及解法部分选自黄喆《图解中考数学压轴题》）(1)本题的第一问是证明AE和PE间的数量关系，由此可以联想到通过发现相似三角形，从而找到线段间的数量关系。

可以发现图中有两组相似三角形，其中一组是“斜A型”相似三角形：△ADP和△ABC，其三边的比为1:2:√5；另一组是“共边共角型相似三角形”△PDE和△APE，其中两边的相似比为1:2.(2)本题的第二问是建立三△BEP的面积和线段AP间的函数关系.由于BP的长度可以用含x的代数式表示，因此过点E作BP的垂线EH，用含x的代数式表示EH的长度即可.对于EH的求法，可以借助构造的DP-EH-A型图进行求解，结合DE与AE的数量关系，可以求得DP 和EH的比值，进而可以求出用用含x的代数式表示EH的长度.(3)本题的第三问是相似三角形存在性的讨论。

①寻找等角：∵∠DPE=∠A，∠DPA=∠C=90°，∴∠ABC=∠BPE(等角的余角相等)方法1 代数方法：根据夹边列出比例关系列出比例关系：PB:PE=AB:BC或PB:PE=BC:AB，即用含x的代数式表示PE成为关键。

相似三角形的存在性(六)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：相似三角形存在性的处理思路①分析特征：分析背景图形中的_________、_________及_________，结合图形形成因素（判定等）考虑分类．注：相似三角形存在性问题主要结合_________及不变特征考虑分类．②画图求解：往往先从____________入手，再结合背景中的不变特征分析，综合考虑对应关系和不变特征后列方程求解．注：相似三角形列方程往往借助_____________；③结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．问题2：相似三角形的判定有哪些？相似三角形的存在性（六）一、单选题(共5道，每道20分)1.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(-2，2)，点B的坐标为(6，6)，抛物线经过A，O，B三点，M为线段OB下方的抛物线上一动点（不与点O，B重合）．（1）设△BOM的面积为S，则S的最大值为( )A. B.C. D.12答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数之面积问题2.（上接第1题）如图，当△BOM的面积最大时，过点A作x轴的平行线，过点M作y轴的平行线交于点H，则的值为( )A.4B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的定义3.（上接第1，2题）（3）当△BOM的面积最大时，若P为射线OM上一点，且△BOP与△OAM 相似，则点P的坐标为( )A. B. C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的存在性4.如图，已知抛物线的图象与x轴的一个交点为B(5，0)．另一个交点为A，且与y轴交于点C(0，5)．（1）直线BC与抛物线的解析式为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数与几何综合5.（上接第4题）（2）取BC的中点为点N，过点N作MN∥y轴交抛物线于一点M．若点P 是坐标轴上一点，则以C，B，P为顶点的三角形与△CMN相似的点P的坐标为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的存在性。

沪教版九年级上学期-相似三角形讲义(含解析) (1)

一、比和比例一般来说，两个数或两个同类的量a与b相除，叫做a与b的比，记作:a b（或表示为ab ）；如果::a b c d=（或a cb d=），那么就说a、b、c、d成比例．二、比例的性质（1）基本性质：如果a cb d=，那么ad bc=；相似三角形知识结构模块一：比例线段知识精讲2 / 34如果a cb d =，那么b d ac =，a b cd =，c d a b=．（2）合比性质：如果a cb d =，那么a bc db d++=；如果a cb d =，那么a bc db d--=．（3）等比性质：如果a c kb d ==，那么ac a c k bd b d+===+．三、比例线段的概念对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果::a b c d =（或表示为a cb d=），那么a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段．四、黄金分割如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP PB >）两段（如下图），其中AP 是AB 和PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点．其中，510.6182AP AB -=≈，称为黄金分割数，简称黄金数．五、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．如图，已知ABC ∆，直线l // BC ，且与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，那么AD AEDB EC=．APBlAB CDEAB C DEAB CDE ll六、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，如果DE // BC ，那么DE AD AE BC AB AC==．七、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍．八、三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．九、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．如图，在ABC ∆中，直线l 与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，如果ADAEDB EC=，那么l //BC ．ABCD EA BCDEAB CDEABCD E4 / 34十、平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例．如图，直线1l //2l //3l ，直线m 与直线n 被直线1l 、2l 、3l所截，那么DF EGFB GC=．十一、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等．【例1】如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 和BC 上．下列所给的四个条件中，不一定能得到DE // AC 的条件是（） A ．BE BCBD BA =B ．CE ADBE BD =C ．BD DEBA AC=D ．BC CEAB AD=【难度】★ 【答案】C ．例题解析A BCDEF BC D E F G【解析】如图，作DF DE =，则DF DE AC AC =，∴BD DEBA AC=不能判定DE // AC ，故选C ．【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选．【例2】在比例尺为1 : 40000的一张地图上，量得A 、B 两地的距离是37 cm ，那么A 、B两地的实际距离是______km ．【难度】★ 【答案】14.8．【解析】设A 、B 两地的实际距离是x km ，则51371040000x -⨯=，解得：14.8x =．【总结】本题考查了比例尺的有关计算，注意单位的换算．【例3】如图，已知1l //2l //3l ，DE = 4，DF = 6，那么下列结论正确的是（）A ．BC : EF = 1 : 1B ．BC : AB = 1 : 2 C ．AD : EF = 2 : 3 D ．BE : CF = 2 : 3 【难度】★ 【答案】B ．【解析】::1:2BC AB EF DE ==，故B 正确．【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用．【例4】如果线段a = 4 cm ，b = 9 cm ，那么它们的比例中项是______cm ．【难度】★ 【答案】6．【解析】设它们的比例中项是x cm ，则由题意得249x =⨯，解得：6x =．【总结】本题考查了比例中项的概念及计算．6 / 34BC DE FGA【例5】四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交边AD 于点F ，交对角线BD 于点G ．求证：CG 是EG 与FG 的比例中项．【难度】★ 【答案】详见解析．【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴CG BG FG GD =，EG BGCG GD=， ∴CG EGFG CG=， ∴CG 是EG 与FG 的比例中项．【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用．【例6】已知线段AB = 10，P 是线段AB 的黄金分割点（AP > PB ），则AP =______．【难度】★ 【答案】555．【解析】由题意得51AP AB -=555AP =．【总结】本题考查了黄金分割的有关计算．【例7】已知23a c eb d f ===，18ac e =--，0bd f ++≠，求b d f ++的值．【难度】★★ 【答案】27．【解析】∵23a c eb d f ===，0b d f ++≠，∴23a c e b d f ++=++， ∵18a c e =--，∴18a c e ++=，∴27b d f ++=．【总结】本题考查了等比性质的应用．【例8】如果直角三角形的斜边长为18，那么这个三角形的重心到直角顶点的距离为______．【难度】★★ 【答案】6．【解析】如图，易得192CD AB ==，∴263CG CD ==．【总结】本题考查了重心的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【例9】如图，已知AD // EF // BC ，AE = 3BE ，AD = 2，EF = 5，那么BC =______．【难度】★★ 【答案】6．【解析】作AN ∥DC 分别交EF 、BC 于点M 、N ，由题意得2NC MF AD ===，EM AEBN AB=，即334BN =，∴4BN =，∴6AB =．【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用．【例10】如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边AB 、BC 上，EF 与对角线BD 交于点G ，如果BE = 5，BF = 3，那么FG : EF 的比值是_______．【难度】★★A BCDEF M NA BCDEFGH【答案】38．【解析】作GH AB⊥于点H，易得GH BH=，∵GH EHBF EB=，535GH GH-=，解得：158GH=，∴38 FG BHEF BE==．【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用，注意比和比值的区别．【例11】如图，BD是ABC∆的角平分线，点E、F分别在BC、AB上，且DE // AB，DEF A∠=∠．（1）求证：BE = AF；（2）设BD与EF交于点M，联结AE，交BD于点N，求证：BN MD BD ND=．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵DE // AB，DEF A∠=∠，∴AD∥EF，∴四边形AFED是平行四边形，∴AF DE=，ABD EDB∠=∠，∵BD是ABC∆的角平分线，∴ABD EBD∠=∠，∴EDB EBD∠=∠，∴BE DE=，∴BE AF=；（2）∵DE // AB，∴BN AB ND ED=，∵AD∥EF，∴BD ABMD AF=，MAFB E CDN8/ 34ABCDEFM∵ED AF =，∴BD AB MD ED =，∴BN BDND MD=， ∴BN MD BD ND ⋅=⋅．【总结】本题考查了平行四边形的判定及平行线分线段成比例定理．【例12】如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，90DAB ABC ∠=∠=︒，E 为CD 的中点，联结AE 并延长交BC 的延长线于F ；（1）联结BE ，求证：BE = EF ．（2）联结BD 交AE 于M ，当AD = 1，AB =2，AM = EM 时，求CD 的长．【难度】★★【答案】（1）详见解析；（2）5CD =．【解析】（1）∵AD // BC ，DE EC =，易得ADE ∆≌FCE ∆， ∴E 为AF 的中点，∵90DAB ABC ∠=∠=︒， ∴BE EF =；（2）∵AM EM =，∴13AM MF =，∴13AD BF =， ∵1AD CF ==，∴3BF =，2BC =，∵2AB =，∴()225DC BC AD AB -+．【总结】本题考查了直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理及勾股定理等．10 / 34一、相似三角形的定义如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．如图，DE 是ABC ∆的中位线，那么在ADE ∆与ABC ∆中， A A ∠=∠， ADE B ∠=∠，AED C ∠=∠；12AD DE AE AB BC AC ===．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作ADE ∆∽ABC ∆，其中点A 与点A 、点D 与点B 、点E 与点C 分别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”．用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“∆”后相应的位置上．根据相似三角形的定义，可以得出：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似．二、相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．模块二：相似三角形DABCE知识精讲AB C A 1B 1C 1如图，已知直线l 与ABC ∆的两边AB、AC 所在直线分别交于点D 和点E ，则ADE ∆∽ABC ∆．三、相似三角形判定定理1如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠，那么ABC ∆∽111A B C ∆．常见模型如下：ABCDEAB C DEAB CDE12 / 34AB C AB CABC A 1B 1C 1四、相似三角形判定定理2如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，1A A ∠=∠，1111AB ACA B AC =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．五、相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果111111AB BC CAA B B C C A ==，那么ABC ∆∽111A B C ∆．六、直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．如图，在Rt ABC ∆和111Rt A B C ∆中，如果190C C ∠=∠=︒，1111AB BCA B B C =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．七、相似三角形性质定理相似三角形性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．相似三角形性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比．相似三角形性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方．例题解析ABCA 1B 1C 114/ 34AB CDEF【例13】在下列44⨯的正方形网格图中，每个小正方形的边长都是1，三角形的顶点都在格点上，那么与图1中ABC∆相似的三角形所在的网格图是（）A．B．C．D．【难度】★【答案】B．【解析】由图易得ABC∆为直角三角形，且:1:2BC AB=，故选B．【总结】本题考查了相似三角形的判定．【例14】已知ABC∆∽DEF∆，且相似比为3 : 4，2ABCS∆=cm2，则DEFS∆=______ cm2．【难度】★【答案】329．【解析】由题意得234ABCDEFSS∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴329DEFS∆=cm2．【总结】本题考查了相似三角形的性质．【例15】如图，已知点D是ABC∆中的边BC上的一点，BAD C∠=∠，ABC∠的平分线交边AC于点E，交AD于F，那么下列结论中错误的是（）A．BAC∆∽BDA∆B．BFA∆∽BEC∆图1ABCDABCD EF C ．BDF ∆∽BEC ∆ D ．BDF ∆∽BAE ∆【难度】★ 【答案】C ．【解析】∵BAD C ∠=∠，ABD CBA ∠=∠，∴BAC ∆∽BDA ∆； ∵BAD C ∠=∠，ABF CBF ∠=∠，∴BFA ∆∽BEC ∆；∵BAE BDF ∠=∠，ABF CBF ∠=∠，∴BDF ∆∽BAE ∆；故C 错误．【总结】本题考查了相似三角形的判定．【例16】如图，已知点D 在ABC ∆的边AB 上，且ACD B ∠=∠，:1:3ACD DBC S S ∆∆=．求AC AB的值．【难度】★【答案】12．【解析】∵ACD B ∠=∠，CAD BAC ∠=∠，∴CAD BAC ∆∆，∴22::CAD BAC S S AC AB ∆∆=，∵:1:3ACD DBC S S ∆∆=，∴:1:4CAD BAC S S ∆∆=，∴12AC AB =．【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质．【例17】如图，已知点E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 和CD 上，EF AE ⊥，BE = 3 cm ，AB = 6 cm ，矩形ABCD 的周长为28 cm ，求CF 的长．【难度】★16 / 34ABCDEAMG【答案】52CF =cm ．【解析】∵AB = 6 cm ，矩形ABCD 的周长为28 cm ， ∴8BC =cm ，∴5EC =cm ，∵EF AE ⊥，易证ABE ∆∽ECF ∆，∴AB BE EC CF =，即635CF =，解得：52CF =cm ．【总结】本题考查了一线三等角基本模型的运用．【例18】如图，已知点D 、E 分别在ABC ∆边AB 、AC 上，DE // BC ，BD = 2AD ，那么:DEB EBC S S ∆∆等于（）A ．1 : 2B ．1 : 3C ．1 : 4D ．2 : 3【难度】★★ 【答案】B ．【解析】∵BD = 2AD ，∴2BDE ADE S S ∆=，∵DE // BC ，∴9ABC ADE S S ∆∆=，∴6EBC ADE S S ∆∆=，∴:DEB EBC S S ∆∆1:3=．【总结】本题考查了相似三角形的性质及同底等高模型的综合运用．【例19】如图，ABC ∆中，如果AB = AC ，AD ⊥BC 于点D ，M 为AC 中点，AD 与BM 交于点G ，那么:GDM GAB S S ∆∆的值为_______．【难度】★★ABCDEF【答案】14．【解析】∵AB = AC ，AD ⊥BC ， ∴BAD CAD ∠=∠，BD DC =， ∵M 为AC 中点，∴DM AM =，∴BAD MDA ∠=∠， ∴GDM ∆∽GAB ∆，∵点G 为ABC ∆的重心，∴214GDM GAB S GD S GA ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭．【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质，同时考查了重心的性质．【例20】如图，已知ABC ∆中，AB = AC ，CD 是边AB 上的高，且CD = 2，AD = 1，四边形BDEF 是正方形．CEF ∆和BDC ∆相似吗？试证明你的结论．【难度】★★【答案】相似，详见解析．【解析】由题意，可得：5AC AB =∴51BD DE EF ===，∴35CE =∴51BD DC -=355151CE EF --==-，∴BD CEDC EF=，∵BDC CEF∠=∠，∴CEF∆∽BDC∆．【总结】本题考查了相似三角形的判定．【例21】已知：如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且BAC BDC DAE∠=∠=∠．（1）求证：ABE∆∽ACD∆；（2）求证：BC AD DE AC=．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵BAC BDC DAE∠=∠=∠，∴BAE CAD∠=∠，∵BEA EDA DAE∠=∠+∠，CDA EDA BDC∠=∠+∠，∴BEA CDA∠=∠，∴ABE∆∽ACD∆；（2）由（1）知AB AEAC AD=，∴AB ACAE AD=，又∵BAC EAD∠=∠，∴ABC∆∽AED∆，∴BC ACED AD=，∴BC AD DE AC=．【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质的综合运用．EDCBA18/ 34ABCD EFGHA BCD EF 【例22】如图，已知：四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交AD于点F ，ECA D ∠=∠．（1）求证：ECA ∆∽ECB ∆；（2）若DF = AF ，求AC : BC 的值．【难度】★★【答案】（1）详见解析；（22．【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴B D ∠=∠，∵ECA D ∠=∠，∴ECA B ∠=∠，又∵E E ∠=∠， ∴ECA ∆∽ECB ∆；（2）∵DF AF =，易证DC AE AB ==，∴2EB EA =，由（1）得AC EC EA BC EB EC ==，即2EC EAEA EC=，∴2EC EA =， ∴22AC EA BC EC ==．【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质的应用．【例23】如图，BD 是平行四边形ABCD 的对角线，若45DBC ∠=︒，DE BC ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，DE 与BF 相交于H ，BF 与AD 的延长线相交于G ．求证：（1）CD = BH ；（2）AB 是AG 和HE 的比例中项．【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵45DBC ∠=︒，DE BC ⊥， ∴ED EB =，∵BF CD ⊥，∴EBH CDE ∠=∠，∴EDC ∆≌EBH ∆，20 / 34∴CD BH =；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴C A ∠=∠，∴BHE A ∠=∠，∵EBH BGA ∠=∠，∴EBH ∆∽BGA ∆，∴AG ABHB HE=， ∵HB CD AB ==，∴AG ABAB HE=，∴AB 是AG 和HE 的比例中项．【总结】本题考查了全等及相似三角形的判定．【例24】如图，已知等腰ABC ∆中，AB = AC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ．（1）求证：CAD ECB ∠=∠；（2）点F 是AC 的中点，联结DF ，求证：2BD FC BE =．【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ， ∴BAD ECB ∠=∠， ∵AB = AC ，∴BAD CAD ∠=∠， ∴CAD ECB ∠=∠；（2）由题意得12ED BC BD ==，∴DBE DEB ∠=∠， ∵点F 是AC 的中点，∴12DF AC FC ==，∴DCF FDC ∠=∠， ∵DBE DCF ∠=∠，∴CDF ∆∽BED ∆， ∴CD FC BE BD =，∵CD BD =，∴BD FCBE BD=， ∴2BD FC BE =．CBADEFABC D E F G【总结】本题考查了直角三角形的性质及相似三角形的判定．【例25】如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，90A ∠=︒，AB = AD ．点E 在边AB 上，且DE CD ⊥，DF 平分EDC ∠，交BC 于点F ，联结CE 、EF ．（1）求证：DE = DC ；（2）如果2BE BF BC =，求证：BEF CEF ∠=∠．【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）作CH AD ⊥的延长线于点H ， ∵AD // BC ，90A ∠=︒，AB = AD ，∴CH AD =，∵DE CD ⊥，∴ADE HCD ∠=∠， ∴ADE ∆≌HCD ∆，∴DE DC =；（2）∵2BE BF BC =，B B ∠=∠，∴BEF ∆∽BCE ∆，∴BEF BCE ∠=∠， ∵DF 平分EDC ∠，DE DC =，∴DEF ∆≌DCF ∆，∴DEF DCF ∠=∠，∵DEC DCE ∠=∠，∴CEF BCE ∠=∠，∴BEF CEF ∠=∠．【总结】本题考查了一线三直角模型及相似和全等三角形的综合应用．【例26】已知：如图，在ABC ∆中，AB = AC ，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，DF ⊥AC ，DF 与CE 相交于点F ，AF 的延长线与BD 相交于点G ．（1）求证：2AD DG BD =；（2）联结CG ，求证：ECB DCG ∠=∠．【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵AB = AC ，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，A BCDEFH∴ACE∆≌ABD∆，∴ABD ACE∠=∠，∵DF⊥AC，∴FAD FCD∠=∠，∴ABD FAD∠=∠，∴DAG∆∽DBA∆，∴AD DG BD AD=，∴2AD DG BD=；（2）∵AD DC=，∴DC DG BD DC=，∵CDG BDC∠=∠，∴CDG∆∽BDC∆，∴DBC DCG∠=∠，∵ABC ACB∠=∠，∴ABD GCB∠=∠，∴ACE GCB∠=∠，∴ECB DCG∠=∠．【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质．ABCD EFG【例27】如图，直角梯形ABCD 中，90B ∠=︒，AD // BC ，BC = 2AD ，点E 为边BC 的中点．（1）求证：四边形AECD 为平行四边形；（2）在CD 边上取一点F ，联结AF 、AC 、EF ，设AC 与EF 交于点G ，且EAF CAD ∠=∠．求证：AEC ∆∽ADF ∆；（3）在（2）的条件下，当45ECA ∠=︒时，求：FG : EG 的比值．【难度】★★【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）45．【解析】（1）∵BC = 2AD ，点E 为边BC 的中点， ∴AD EC =，∵AD // BC ，∴四边形AECD 为平行四边形；（2）∵EAF CAD ∠=∠，∴EAC DAF ∠=∠， ∵四边形AECD 为平行四边形，∴AEC D ∠=∠， ∴AEC ∆∽ADF ∆；（3）∵45ECA ∠=︒，∴AB BC =，设1AD =，则1BE EC ==，2AB =，∴5AE =∵AEC ∆∽ADF ∆，∴AD DFAE EC=，解得5DF =，∴45FC ， ∴45FG FC EG AE ==．24 / 34【总结】本题考查了平行四边形的判定、勾股定理、相似三角形的判定及性质的综合运用，综合性较强，解题时注意进行分析．【例28】如图，已知在ABC ∆中，P 是边BC 上的一个动点，PQ // AC ，PQ 与边AB 相交于点Q ，AB = AC = 10，BC = 16，BP = x ，APQ ∆的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）试探索：APQ ∆与ABP ∆能否相似？如果能相似，请求出x 的值，如果不能相似，请说明理由．【难度】★★★【答案】（1）()23301616y x x x =-<<；（2）能相似，394x =．【解析】（1）作AH BC ⊥于点H ，ABCPQ H∵AB = AC = 10，BC = 16，∴6AH =，∴1482ABC S BC AH ∆=⋅⋅=，132ABP S BP AH x ∆=⋅⋅=， ∵PQ // AC ，∴BPQ ∆∽BCA ∆，∴22256BPQ BCAS BP x S BC ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴2316BPQ x S ∆=，∴23316APQ ABP BPQ S S S x x ∆∆∆=-=-，即()23301616y x x x =-<<；（2）能相似，此时394x =，详解如下： ∵BPQ ∆∽BCA ∆，∴BQ BP BA BC =，∴58BQ x =，∵AQP B ∠>∠，∴AQP APB ∠=∠，∴APQ ∆∽ABP ∆，∴AP PQ AB BP =，即5810xAP x =，解得：254AP =，∵AQ PQ AP BP =，即551088254x xx -=，解得：394x =，综上，APQ ∆与ABP ∆能相似，此时394x =．【总结】本题考查了相似三角形的性质及相似三角形的存在性问题．26 / 34ABCMN【习题1】如果两个相似三角形的面积的比为4 : 9，那么它们对应的角平分线的比是______．【难度】★ 【答案】2:3．【解析】相似三角形面积比等于相似比的平方．【总结】本题考查了相似三角形的性质．【习题2】如图，ABC ∆和AMN ∆都是等边三角形，点M 是ABC ∆的重心，那么AMNABCS S ∆∆的值为（） A ．23B ．13C ．14D ．49【难度】★★ 【答案】B ．【解析】∵点M 是ABC ∆的重心，设2AM =，则可得23AB =，∴AMN ABC S S ∆∆213AM AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选B ．【总结】本题考查了相似三角形及重心的性质的综合运用．【习题3】如图，AB // DC ，DE = 2AE ，CF = 2BF ，且DC = 5，AB = 8，则EF =______．【难度】★★随堂检测CDMABCDEF O P【答案】7．【解析】延长AD 、BC 交于点M ，∵AB // DC ，∴MD MCDA CB=， ∵DE = 2AE ，CF = 2BF ，∴MD MCDE CF=，∴EF // DC ，过点D 作DH ∥CB ，易求7EF =．【总结】本题考查了本题考查了平行线分线段成比例定理的运用．【习题4】已知，如图，D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、AB 、AC 的中点，AD 与EF 相交于点O ，线段CO 的延长线交AB 于点P ，求证：AB = 3AP ．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】∵D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、AB 、AC 的中点， ∴EF ∥BC ，22BD CD OE OF ===，设PE k =，则14PE OE PB BC ==，∴4PB k =，3BE k =，∴3AE k =， ∴2AP k =，6AB k =，∴3AB AP =．【总结】本题考查了三角形一边平行线的性质定理及中位线性质定理的运用．【习题5】如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ．（1）求证：CD DF BC BE =；（2）若M 、N 分别是AB 、AD 中点，且60B ∠=︒，求证：EM // FN ．ABCDEFMNG28 / 34ABCDEF【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴B D ∠=∠， ∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴ABE ∆∽ADF ∆，∴AB BEAD DF=，∵AB CD =，AD BC =， ∴CD DF BC BE =；（2）延长EM 、DA 交于点G ，∵M 、N 分别是AB 、AD 中点，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴EM BM =，FN ND =， ∵60B ∠=︒，∴BME ∆、DFN ∆为等边三角形， ∴60BEM DNF ∠=∠=︒，∵G BEM ∠=∠，∴G DNF ∠=∠，∴EM // FN ．【总结】本题考查了相似三角形的判定及直角三角形的有关性质．【习题6】如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是边BC 上一点，点E 、F 分别是线段AB 、AD 中点，联结CE 、CF 、EF ．（1）求证：CEF ∆≌AEF ∆；（2）联结DE ，当BD = 2CD 时，求证：DE = AF ．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵90ACB∠=︒，点E、F分别是线段AB、AD中点，∴12CF AD AF==，12CE AB AE==，∵EF EF=，∴CEF∆≌AEF∆；（2）∵点E、F分别是线段AB、AD中点，∴EF∥BD，12EF BD=，∵BD = 2CD，∴EF CD=，∴四边形CFED是平行四边形，∴DE CF=，∵CF AF=，∴DE AF=．【总结】本题考查了直角三角形的性质、三角形全等及平行四边形的判定和性质的综合运用．【习题7】已知正方形ABCD的对角线相交于点O，CAB∠的平分线分别交BD、BC于点E、F，作BH AF⊥，垂足为H ，BH的延长线分别交AC、CD于点G、P．（1）求证：AE = BG；（2）求证：GO AG CG AO=．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵ABCD为正方形，∴OA OB=，AC BD⊥，∵BH AF⊥，∴BGO BEH∠=∠，∵AEO BEH∠=∠，∴BGO AEO∠=∠，∴AEO∆≌BGO∆，∴AE BG=；（2）∵AF为CAB∠的平分线，∴OAE BAF∠=∠，∵CBP BAF∠=∠，∴OAE∆∽CBP∆，∴OE PCAO BC=，∵AB BC=，GO OE=，∴GO PCAO AB=，A BCD PGOFHE30 / 34ABCDE F∵PC ∥AB ，∴CG PCAG AB=， ∴GO CGAO AG=，∴GO AG CG AO =．【总结】本题考查了正方形的性质及相似三角形的判定．【作业1】若ABC ∆∽111A B C ∆（其中点A 和1A 、B 和1B 、C 和1C 分别对应），且AB = 4，11A B= 6，则ABC ∆的周长和111A B C ∆的周长之比是（）A ．9 : 4B ．4 : 9C ．2 : 3D ．3 : 2【难度】★ 【答案】C ．【解析】相似三角形的周长比等于相似比．【总结】本题考查了相似三角形的性质．【作业2】已知，如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 为AB 的中点，BE CD ⊥，垂足为点F ，BE 交AC 于点E ，CE = 1cm ，AE = 3 cm ．求证：（1）ECB ∆∽BCA ∆；（2）求斜边AB 的长．课后作业【难度】★【答案】详见解析．【解析】（1）∵BE CD⊥，90ACB∠=︒，∴ACD CBE∠=∠，∵点D为AB的中点，∴CD AD=，∴ACD DAC∠=∠，∴CBE A∠=∠，∴ECB∆∽BCA∆；（2）由（1）得CB CECA CB=，解得：2CB =cm，∴2225AB AC BC=+=cm．【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质，注意观察母子形．【作业3】已知：如图，线段AB // CD，AC CD⊥，AC、BD相交于点P，E、F分别是线段BP和DP的中点．（1）求证：AE // CF；（2）如果AE和DC的延长线相交于点Q，M、N分别是线段AP和DQ的中点，求证：MN = CE．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵AB // CD，∴AP BP PC PD=，∵E、F分别是线段BP和DP的中点，A BCDEFPQNM32 / 34∴22AP PE PEPC PF PF==， ∴AE // CF ；（2）∵AC CD ⊥，E 、F 分别是线段BP 和DP 的中点，∴AE EP EB ==，∵EA EBEQ ED=，∴ED EQ =， ∵M 、N 分别是线段AP 和DQ 的中点，∴EM AC ⊥，EN DQ ⊥，∴四边形MNCE 是矩形，∴MN CE =．【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理和矩形的判定及性质．【作业4】如图，已知在四边形ABCD 中，AD // BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD 平分ABC ∠，过点D 作DF // AB ，分别交AC 、BC 于点E 、F ．（1）求证：四边形ABFD 是菱形；（2）设AC AB ⊥，求证：AC OE AB EF =．【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵AD // BC ，DF // AB ，∴四边形ABFD 是平行四边形， ∵BD 平分ABC ∠，∴ABD DBC ∠=∠，∵ADB DBC ∠=∠， ∴ABD ADB ∠=∠，∴AB AD =，∴四边形ABFD 是菱形；（2）连接OF ，易证AOB ∆≌FOB ∆，∵AC AB ⊥，∴OF BC ⊥，∵DF // AB ，∴EF OC ⊥，∴CEF ∆∽FEO ∆，∴EF CEEO EF=， ∵CE EF AC AB =，即CE AC EF AB =，∴EF ACEO AB=，∴AC OE AB EF =．【总结】本题考查了菱形的判定及相似三角形的判定及性质的综合运用．ABC DEFO【作业5】已知：如图，四边形ABCD 是菱形，点E 在边CD 上，点F 在BC 的延长线上，CF = DE ，AE 的延长线与DF 相交于点G ．（1）求证：CDF DAE ∠=∠；（2）如果DE = CE ，求证：AE = 3EG ．【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AD DC =，ADE DCF ∠=∠，∵CF = DE ，∴ADE ∆≌DCF ∆，∴CDF DAE ∠=∠；（2）延长AG 、BF 交于点M ， ∵DE = CE ，易证ADE ∆≌MCE ∆，∴AE EM =，AD CM =，设1DE =，则2AD DC CM ===，1CF FM ==，∴12MG MF AG AD ==，设MG k =，则2AG k =，1322AE AM k ==，∴12EG k =，∴3AE EG =．【总结】本题考查了全等三角形的判定及相似三角形的性质．【作业6】已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，联结BE ，过点A 作AF BE ⊥，分别交BE 、CD 于点H 、F ，联结BF ．（1）求证：BE = BF ；（2）联结BD ，交AF 于点O ，联结OE ．求证：AEB DEO ∠=∠．【难度】★★ 【答案】详见解析．EDCG FABMAB CDEFHO【解析】（1）∵四边形ABCD 是正方形，AF BE ⊥， ∴AB AD =，DAF ABE ∠=∠，∴DAF ∆≌ABE ∆，∴AE DF =，∴点F 为DC 中点，∴CBF ∆≌ABE ∆，∴BE BF =；（2）∵DE DF =，EDO FDO ∠=∠，DO DO =， ∴EDO ∆≌FDO ∆，∴DEO DFO ∠=∠，由（1）得AEB DFO ∠=∠，∴AEB DEO ∠=∠．【总结】本题考查了全等三角形的判定及正方形的性质的综合运用．。

相似三角形的存在性(讲义及答案)

相似三角形的存在性➢ 知识点睛1. 存在性问题的处理思路①分析不变特征分析背景图形中的定点，定线，定角等不变特征． ②分类、的图形．，画出符合题意通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形． ③求解、验证围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解；验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意．注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点，线，角；函数背景研究点坐标，表达式等．2. 相似三角形的存在性不变特征及特征下操作要点举例：一般先从角（不变特征）入手，分析对应关系后，作出符合题意图形，再借助不变特征和对应边成比例列方程求解．常见特征如一组角对应相等，这一组相等角顶点为确定对应点，结合对应关系分类后，作出符合题意图形，一般利用对应边成比例列方程求解．结合图形形成因素（判定，定义等）考虑分类画图MM➢ 精讲精练1.如图，将长为 8 cm ，宽为 5 cm 的矩形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在 CD 边的点 E 处，压平后得到折痕 MN ，点 A 的对称点为点 F ，CE =4 cm ．若点 G 是矩形边上任意一点，则当 △ABG 与△CEN 相似时，线段 AG 的长为．FFADA D EEBNCBNC2.如图，抛物线 y = - 1 x 2 + 10x - 8 经过 A ，B ，C 三点，3 3BC ⊥OB ，AB =BC ，过点 C 作 CD ⊥x 轴于点 D ．点 M 是直线 AB 上方的抛物线上一动点，作 MN ⊥x 轴于点 N ，若 △AMN 与△ACD 相似，则点 M 的坐标为．3.如图，已知抛物线 y = 3x 2 + bx + c 与坐标轴交于 A ，B ，C 三4点，点 A 的坐标为(-1，0)，过点 C 的直线 y = 34tx - 3 与 x 轴交于点 Q ，点 P 是线段 BC 上的一个动点，过 P 作 PH ⊥OB于点 H ．若 PB =5t ，且 0＜t ＜1．（1）点 C 的坐标是，b = ，c = ．（2）求线段 QH 的长（用含 t 的代数式表示）．（3）依点 P 的变化，是否存在 t 的值，使以 P ，H ，Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有符合条件的 t 值；若不存在，说明理由．yCA OB xEyCA OB xEyCA OB xEyCA OB xE4.如图，抛物线y =-1x2 +3x + 2 与x 轴交于A，B 两点，与2 2y 轴交于点C，点D(1，m)在抛物线上，直线y=-x-1 与抛物线交于A，E 两点，点P 在x 轴上，且位于点B 的左侧，若以P，B，D 为顶点的三角形与△ABE 相似，则点P 的坐标为．5. 如图，已知抛物线过点 A (0，6)，B (2，0)，C (7， 5)．2（1）求抛物线的解析式．（2）若 D 是抛物线的顶点，E 是抛物线的对称轴与直线 AC的交点，F 与 E 关于 D 对称．求证：∠CFE =∠AFE ．（3）在 y 轴上是否存在这样的点 P ，使△AFP 与△FDC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．6.如图，抛物线y=ax2+bx 经过两点A(-1，1)，B(2，2)．过点B作BC∥x 轴，交抛物线于点C，交y 轴于点D．连接OA，OB，OC，AC，点N 在坐标平面内，且△AOC 与△OBN 相似（边OA与边OB对应），则点N 的坐标为．yE C BFO AxD yE C BD 1 FO AxD7.如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y =3 x 2 + 3 3 x - 7 38 4 8与 x 轴交于点 A ，B （点 A 在点 B 右侧），点 D 为抛物线的顶点．点 C 在 y 轴的正半轴上，CD 交 x 轴于点 F ，△CAD 绕点 C 顺时针旋转得到△CFE ，点 A 恰好旋转到点 F ，连接 BE ．（1）求点 A ，B ，D 的坐标．（2）求证：四边形 BFCE 是平行四边形．（3）如图 2，过顶点 D 作 DD 1⊥x 轴于点 D 1，点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 PM ⊥x 轴，点 M 为垂足，使得△P AM 与△DD 1A 相似（不含全等）．①求出一个满足以上条件的点 P 的横坐标； ②直．接．回．答．这样的点 P 共有几个？图1图2⎨【参考答案】1. 15 ， 20 ， 25 或 25 4 3 4 32. M 1( 5 ， - 7 )，M 2( 11 ， 1 )2 4 2 43.（1）(0，-3)； - 9；-3；4⎧4 - 8t （0 < t ≤1 ）（2） QH = ⎪ 2； 1⎪8t - 4（⎪⎩ 2< t < 1）（3）符合条件的 t 值有 732 4. P 1( 13 ，0)，P 2( - 22，0)或 25 或 32-1．7 55.（1）抛物线的解析式为 y = 1x 2 - 4x + 6 ；2（2）证明略；（3）符合条件的点 P 的坐标为(0，-2)或(0，-41 )． 26. (3，4)，(4，3)，(-2，-1)或(-1，-2)7. （1）A (1，0)；B (-7，0)；D (-3， -2 3 )；（2）证明略；（3）①点 P 的横坐标分别为-11，-5 - 37；②共 3 个． 3 32。

相似三角形的性质(有答案)

27.2.2 相似三角形的性质学习目标：1. 理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比，并运用其解决问题. (重点、难点)2.理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并运用其解决问题. (重点)【自主学习】一、知识链接1. 相似三角形的判定方法有哪几种？2. 三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素?【合作探究】一、要点探究探究点1：相似三角形对应线段的比思考如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？证明如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k，求它们对应高的比.试一试仿照求高的比的过程，当△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k 时，求它们对应中线的比、对应角平分线的比.【要点归纳】相似三角形对应高的比等于相似比.类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.【典例精析】例1已知△ABC∽△DEF，BG、EH 分别是△ABC和△DEF 的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4 cm，BG= 4.8 cm. 求EH 的长.【针对训练】1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3，那么对应角平分线的比是，对应边上的中线的比是.2. 已知△ABC ∽△A'B'C' ，相似比为3 : 4，若BC 边上的高AD＝12 cm，则B'C' 边上的高A'D' ＝.思考如果△ABC ∽△A'B'C'，相似比为k，它们的周长比也等于相似比吗？为什么？【要点归纳】相似三角形周长的比等于相似比.探究点2：相似三角形面积的比思考如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为 k ，它们的面积比是多少？证明画出它们的高，由前面的结论，我们有k C B BC =''，k D A AD=''，22121k k k D A AD C B BC D A C B AD BC S S C B A ABC=⋅=''⋅''=''⋅''⋅='''△△【要点归纳】由此得出：相似三角形面积的比等于相似比的平方．【针对训练】1. 已知两个三角形相似，请完成下列表格：2. 把一个三角形变成和它相似的三角形，(1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为原来的_____倍；相似比 2k ……周长比13……面积比10000……(2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大为原来的_____倍.3. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm 、14 cm ，(1) 它们的周长差为60 cm ，这两个三角形的周长分别是___ ___； (2) 它们的面积之和是 58 cm 2，这两个三角形的面积分别是 .例2 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE ，AC = 2 DF ，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为512，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积.【针对训练】如果两个相似三角形的面积之比为 2 : 7，较大三角形一边上的高为 7，则较小三角形对应边上的高为______.例3 如图，D ，E 分别是 AC ，AB 上的点，已知△ABC 的面积为100 cm 2，且53==AB AD AC AE ，求四边形 BCDE 的面积.【针对训练】如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB. 当D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : S△ABC的值.二、课堂小结当堂检测1. 判断：(1) 一个三角形的各边长扩大为原来的5 倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5 倍( )(2) 一个四边形的各边长扩大为原来的9 倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9 倍( )2. 在△ABC 和△DEF 中，AB＝2 DE，AC＝2 DF，∠A＝∠D，AP，DQ 是中线，若AP ＝2，则DQ的值为( )1A．2 B．4 C．1 D.23. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于___________.4. 两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm 和18 cm，若较大三角形的周长是42 cm，面积是12 cm2，则较小三角形的周长是__________cm，面积为__________cm2.5. △ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE 和△EFC 的面积分别为4 和9，求△ABC 的面积.6. 如图，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交AB、AC 于点D、E，S△ADE＝2 S△DCE，求S△ADE∶S△ABC.【分析】从题干分析可以得到△ADE∽△ABC，要证明它们面积的比，直接的就是先求出相似比，观察得到△ADE与△DCE是同高，得到AE与CE的比，进而求解.参考答案自主学习一、知识链接解：（1）定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似（2）平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三角形与原三角形相似（3）三边成比例的两个三角形相似（4）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（5）两角分别相等的两个三角形相似（6）一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似解：还有高，中线，平分线等等合作探究一、要点探究探究点1：相似三角形对应线段的比证明解：如图，分别作出 △ABC 和 △A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ．则∠ADB =∠A' D' B'=90°.∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴∠B ＝∠B' . ∴△ABD ∽△A' B' D' .∴k B A ABD A AD =''=''. 【典例精析】解：∵ △ABC ∽△DEF ，∴EFBCEH BG =(相似三角形对应角平分线的比等于相似比)， ∴468.4=EH ，解得 EH = 3.2.∴ EH 的长为 3.2 cm. 【针对训练】1. 2 : 3 2 : 3 2. 16cm思考解：等于，如果 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k ，那么k AC CAC B BC B A AB =''=''=''，因此AB ＝k A'B'，BC ＝kB'C'，CA ＝kC'A'，从而k A C C B B A A C k C B k B A k A C C B B A CA BC AB =''+''+''''+''+''=''+''+''++. 探究点2：相似三角形面积的比【针对训练】1.2. (1) 5 (2) 103. (1) 100cm ，40cm (2) 50cm 2,8cm 2解：在 △ABC 和 △DEF 中，∵ AB=2DE ，AC=2DF ，∴21==AC DF AB DE . 又 ∵∠D=∠A ，∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为21. ∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为512，∴△DEF 的边 EF 上的高为21×6 = 3，面积为53512212=⨯⎪⎭⎫⎝⎛.【针对训练】14解：∵ ∠BAC = ∠DAE ，且53==AB AD AC AE ，∴ △ADE ∽△ABC. ∵ 它们的相似比为 3 : 5，∴ 面积比为 9 : 25.又∵ △ABC 的面积为 100 cm 2，∴ △ADE 的面积为 36 cm 2. ∴ 四边形 BCDE 的面积为100－36 = 64 (cm 2).【针对训练】解：∵ DE ∥BC ，D 为 AB 中点，∴ △ADE ∽ △ABC ，∴21==AB AD AC AE ，即相似比为 1 : 2，面积比为 1 : 4. 又∵ EF ∥AB ，∴ △EFC ∽ △ABC ，相似比为21=AC CE ， ∴面积比为 1 : 4.设 S △ABC = 4，则 S △ADE = 1，S △EFC = 1， S 四边形BFED = S △ABC －S △ADE －S △EFC = 4－1－1 = 2， ∴ S 四边形BFED : S △ABC = 2 : 4 =21. 当堂检测1. (1) √ (2) ×2. C3. 1:1 1:44. 14 345. 解：∵ DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴ △ADE ∽△ABC ，∠ADE =∠EFC ，∠A =∠CEF ， ∴△ADE ∽△EFC.又∵S △ADE : S △EFC = 4 : 9，∴ AE : EC=2:3，则 AE : AC =2 : 5， ∴ S △ADE : S △ABC = 4 : 25，∴ S △ABC = 25.6. 解：过点 D 作 AC 的垂线，垂足为 F ，则22121==⋅⋅=EC AE DF EC DF AE S S DCEADE △△， ∴32=AC AE . 又∵ DE ∥BC ，∴ △ADE ∽△ABC. ∴943222=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=AC AE S S ABC ADE △△，即 S △ADE : S △ABC ＝4 : 9.。

第4讲相似三角形存在性问题处理策略

第四讲相似三角形存在性问题知识必备一、相似的判定1、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，简称为”SAS”2、两角分别相等的个三角形相似，简称为“AA二、相似与∽1、一般地，若△ABC 与△DEF相似，,则不具备对应关系,需分类求解2、若△ABC ∽△DE,，则具备对应关系三、定边与定角1、定边与定长：确定的边、其长度确定,必可求；2、定角定比：确定的角、其三角函数值确定,必可求。

方法提炼一、导边处理(“AA”法)相似三角形存在性问题、基本上都可以按部就班,如下解决：第一步：先找到一组关键的等角,有时明显,有时隐蔽；第二步：以这两个相等角的两邻边分两种情形对应成比例列方程此法为通法。

如图4-2-1、在△ABC 和△DEF 中,若已确定∠A=∠D,则要使△ABC 与△DEF 相似，需要分两种情形讨论:AB/AC=DE/DF或AB/AC=DF/DE,再依次列方程求解二、导角处理(“AA法)第一步先找到一组关键的等角第二步:另两个内角分两类对应相等。

不称此通法为”AA法举例:如图4-2-1,在△ABC 和△DEF 中,若已确定∠A=∠D,要使△ABC 与△DEF 相似，需要分两种情形讨论:∠B=∠E 或∠B=∠F,再导角分析处理。

三温馨提示1.解法一(“SAS法),通用性更强,普适性更广,往往是首选。

2.解法二(“AA法),导角分析，常转化为角的存在性问题。

举例（一）显性的相等角例1、在四边形ABCD中，AD//BC,∠B=90°，AB=8,AD=3,BC=4,点P为AB边上的一动点，若△PAD与△PBC相似，则满足条件的点P共有（）个A.1B. 2C. 3D.4（二）隐形的相等角例2、已知二次函数的图像经过A(-2,0),B(-3,3)及原点，顶点为C。

（1）求此二次函数的解析式；（2）连接BC，交x轴于点F，y轴上是否存在点P,使得△POC与△BOF相似?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

相似三角形的判定、性质及应用（讲义及答案）

相似三⾓形的判定、性质及应⽤（讲义及答案）相似三⾓形的判定、性质及应⽤（讲义）课前预习⼀、回顾下列知识，再将各选项填到对应横线上：A．能够完全重合的两个图形称为全等图形B．全等图形的形状和⼤⼩都相同C.全等三⾓形的对应边相等，对应⾓相等D.三边分别相等的两个三⾓形全等，简写为“SSS”E.两⾓及其夹边分别相等的两个三⾓形全等，简写为“ASA”F．两⾓分别相等且其中⼀组等⾓的对边相等的两个三⾓形全等，简写为“AAS”G．两边及其夹⾓分别相等的两个三⾓形全等，简写为“SAS”定义：判定：全等图形全等三⾓形应⽤性质：性质：⼆、读⼀读，想⼀想太阳光线可以看成平⾏光线．早在约公元前600 年前，就有⼈利⽤平⾏光线去解决实际⽣活当中的问题了．他就是泰勒斯——古希腊第⼀位享有世界声誉，有“科学之⽗”和“希腊数学的⿐祖”美称的伟⼤学者．泰勒斯已经观察⾦字塔很久了：底部是正⽅形，四个侧⾯都是相同的等腰三⾓形．要测量出底部正⽅形的边长并不困难，但仅仅知道这⼀点还⽆法解决问题．他苦苦思索着．当他看到⾦字塔在阳光下的影⼦时，他突然想到办法了．这⼀天，阳光的⾓度很合适，把所有东西都拖出⼀条长长的影⼦．泰勒斯仔细地观察着影⼦的变化，找出⾦字塔底⾯正⽅形的⼀边的中点（这个点到边的两端的距离相等），并作了标记．然后他笔直地站⽴在沙地上，并请⼈不断测量他的影⼦的长度．当影⼦的长度和他的⾝⾼相等时，他⽴即跑过去测量⾦字塔影⼦的顶点到做标记的中点的距离．他稍做计算，就得出了这座⾦字塔的⾼度．当他算出⾦字塔⾼度时，围观的⼈⼗分惊讶，纷纷问他是怎样算出⾦字塔的⾼度的．泰勒斯⼀边在沙地上画图⽰意，⼀边解释说：“当我笔直地站⽴在沙地上时，我和我的影⼦构成了⼀个直⾓三⾓形．当我的影⼦和我的⾝⾼相等时，就构成了⼀个等腰直⾓三⾓形．⽽这时⾦字塔的⾼（⾦字塔顶点到底⾯正⽅形中⼼的连线）和⾦字塔影⼦的顶点到底⾯正⽅形中⼼的连线也构成了⼀个等腰直⾓三⾓形．所以这个巨⼤的直⾓三⾓形的两条直⾓边也相等．”他停顿了⼀下，⼜说：“刚才⾦字塔的影⼦的顶点与我做标记的中⼼的连线，恰好与这个中点所在的边垂直，这时就很容易计算出⾦字塔影⼦的顶点与底⾯正⽅形中⼼的距离了．它等于底⾯正⽅形边长的⼀半加上我刚才测量的距离，算出来的数值也就是⾦字塔的⾼度了．想⼀想：为什么⾦字塔的⾼（⾦字塔顶点到底⾯正⽅形中⼼的连线）和⾦字塔影⼦的顶点到底⾯正⽅形中⼼的连线也构成了⼀个等腰直⾓三⾓形呢？知识点睛1.相似三⾓形的判定：；；；．2.相似三⾓形的性质：①相似三⾓形，，都等于相似⽐；②相似三⾓形的周长⽐等于，⾯积⽐等于．3.测量旗杆⾼度的⽅法：①利⽤阳光下的影⼦②利⽤标杆③利⽤镜⼦的反射（太阳光是平⾏光）（同位⾓相等）（借助反射⾓、⼊射⾓相等）4.位似：①如果两个图形不仅，⽽且，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做．位似图形上等于相似⽐．②在平⾯直⾓坐标系中，将⼀个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同⼀个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中⼼是，它们的相似⽐为．34DE EF DF∴△ABC∽△DEFACBCAB③ ==BCAB②∵=，∠B=∠EDE EF∴△ABC∽△DEF①∵∠A=∠D，∠B=∠E∴△ABC∽△DEF例：精讲精练1.如图，线段AB，CD 相交于点O，连接AC，BD．给出下列条件，判断并写出对应的相似三⾓形．①若∠A =∠D ，则∽；②若∠A =∠B ，则∽；③若OA=OC，则∽；OD OB④若AC∥BD，则∽．2.如图，在△ABC 中，点D，E 分别在边AB，AC 上．给出下列条件：①∠AED=∠B；②∠ADE=∠C；③∠ADE=∠B；④ AD=AC；⑤AD．其中能判断△ABC∽△AED 的AE AB AB AC有（填序号）．3.如图，⼩正⽅形的边长均为1，则下列图中的三⾓形（阴影部分）与△ABC 相似的是（）A.B．C．D．4.如图，AB∥CD，AD，BC 交于点E，过E 作EF∥AB 交BD于点F，则图中相似的三⾓形有对．5.如图，在正⽅形ABCD 中，E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且FC =1BC，则图中相似三⾓形共有（）4A．1 对B．2 对C．3 对D．4 对6.如图，线段AE，BD 相交于点C，连接AB，DE，其中AB:DE=1:2，AC=2，BC=3．若AB∥DE，则CE= ，CD= ；若∠A=∠D，则CE= ，CD= ．7.如图，若AB⊥BD，ED⊥BD，C 是线段BD 的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，则AB= ．第7 题图第8 题图8.如图，在△ABC 中，AD⊥BC，垂⾜为D，其中AD2 =BD ?DC ，则∠BAC= ；当AD:DC=1:2，AD=4 时，BC= ．9.如图，在△ABC 中，AB=AC，点E，F 分别是边AB，AC 上⼀点，点D 是边BC 上⼀点（不与B，C 重合）．若∠EDF= ∠B，BE=2，BD=3，BC=6，则FC 的长为．10.如图，点M，N 在线段AB 上，△PMN 是等边三⾓形．（1）若AM·BN=PN·PM，求∠APB 的度数．（2）若∠APB=120°，求证：△AMP∽△PNB．11.如图，l1，l2，…l6 是⼀组等距的平⾏线，过直线l1 上的点A作两条射线，分别与直线l3，l6相交于点B，E，C，F．若BC=2，则EF 的长是．部分的⾯积是△ABC ⾯积的⼀半．已知BC=2，求△ABC 平移的距离．13.相似三⾓形的实际应⽤①如图，在同⼀时刻，⼩明测得他的影长为 1 m，距他不远处的⼀棵槟榔树的影长为5 m，若⼩明的⾝⾼为1.5 m，则这棵槟榔树的⾼度是．②如图，若标杆⾼度CD=3 m，标杆与旗杆的⽔平距离BD=15 m，⼈的眼睛与地⾯的⾼度EF=1.6 m，⼈与标杆CD的⽔平距离DF=2 m，则旗杆的⾼度AB= ．③如图，把⼀⾯很⼩的镜⼦放在离树底（B）8.4 m 的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D，这时恰好在镜⼦⾥看到树梢顶点A，再⽤⽪尺量得DE=2.4 m，观察者⽬⾼CD=1.6 m，则树的⾼度AB= ．④如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定⼀个⽬标点P，在近岸取点Q 和S，使点P，Q，S 在⼀条直线上，且直线PS 与河垂直，在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T，PT 与过点Q且与PS 垂直的直线b 的交点为R．若QS=60 m，ST=120 m，QR=80 m，则河的宽度PQ 为．⑤如图，⼩明同学⽤⾃制的直⾓三⾓形纸板EFG 测量树的⾼度AB，他调整⾃⼰的位置，设法使斜边EG 保持⽔平，并且边EF 所在的直线经过点A，已知纸板的两条直⾓边EF=60 cm，FG=30 cm，测得⼩刚与树的⽔平距离BD=8 m，边EG 离地⾯的⾼度DE=1.6 m，则树⾼为．(6，-1)，B 点坐标为(5，3)，C 点坐标为(3，-2)，以O 为位似中⼼，将△ABC 缩⼩为原来的12，则缩⼩后的△ABC 的三个顶点坐标是多少？15.如图，已知△ABC 在平⾯直⾓坐标系中，点A 的坐标为(0，3)，若以点C 为位似中⼼，在平⾯直⾓坐标系内画出△A′B′C，使得△A′B′C与△ABC 位似，且相似⽐为2:1，则点B′的坐标为．【参考答案】 ? 课前预习⼀、ADEFGBC⼆、由于太阳光是平⾏光线，因此同⼀时刻，太阳光与地⾯所成夹⾓相等，结合直⾓，构成了⼀组相似三⾓形知识点睛1. ①两⾓对应相等的两个三⾓形相似②两边对应成⽐例且夹⾓相等的两个三⾓形相似③三边对应成⽐例的两个三⾓形相似④平⾏于三⾓形⼀边的直线和其他两边（的延长线）相交，所构成的三⾓形与原三⾓形相似．2. ①对应⾼的⽐，对应⾓平分线的⽐，对应中线的⽐；②相似⽐，相似⽐的平⽅．4. ①相似，每组对应顶点所在的直线都经过同⼀个点，位似中1. △AOC △DOB ；②△AOC △BOD ；③△AOC △DOB ；④△AOC △BOD ． 2. ①②④ 3. C 4. 3 5. C6. 4，6；6，47. 48.90°；10 9. 9210. （1）∠APB =120°；（2）证明略 11. 512. 2 - 213. ①7.5 m ；②13.5 m ；③5.6 m ；④120 m ；⑤5.6 m ．14. A (3，- 1 ) ，B ( 5 3 ) ，C ( 3 ，-1) 或 A (-3 1 ) ，B (- 5 ，- 3 ) ，， 1 2 1 2 2 12 2 ， 2 2 2 2C (-3，1)2 215. (4 ，6)或(0 ，- 2)。

相似三角形的存在性(三)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：相似三角形存在性的处理思路①分析特征：分析背景图形中的_________、_________及_________，结合图形形成因素（判定等）考虑分类．注：相似三角形存在性问题主要结合_________及不变特征考虑分类．②画图求解：往往先从____________入手，再结合背景中的不变特征分析，综合考虑对应关系和不变特征后列方程求解．注：相似三角形列方程往往借助_____________；③结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．问题2：相似三角形的判定有哪些？相似三角形的存在性（三）一、单选题(共4道，每道25分)1.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，C，经过A，C两点的抛物线与x轴负半轴的另一交点为B，tan∠CBO=3，D为抛物线的顶点．若P为射线BD上一点，且以P，A，B为顶点的三角形与△ABC相似，则点P的坐标为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数背景下的存在性问题2.如图，直线与x轴、y轴分别交于点B，C，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P．若Q为x轴上一点，且以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，则点Q的坐标为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数背景下的存在性问题3.如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线经过点A和x 轴正半轴上的点B，且OA=OB=2，∠AOB=120°．（1）连接OM，则∠AOM的度数为( )A.160°B.120°C.135°D.150°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形4.（上接第3题）（2）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，则点C的坐标为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数背景下的存在性问题。