2014年秋季班数学八年级讲义(8)
秋季初二数学经典讲义(根式、勾股定理、轴对称)
第一章二次根式______________________________________________________________ 2一、基础知识_____________________________________________________________ 2二、精讲精炼_____________________________________________________________ 3 第二章勾股定理_____________________________________________________________ 20一、基础知识____________________________________________________________ 20二、精讲精练____________________________________________________________ 21 第三章直角三角形___________________________________________________________ 40一、基础知识____________________________________________________________ 40二、精讲精练____________________________________________________________ 41 第四章轴对称_______________________________________________________________ 48一、基础知识____________________________________________________________ 48二、精讲精练____________________________________________________________ 49第一章二次根式一、基础知识二、精讲精炼一、基础定义1.如果x 的平方等于a ，那么x 就是a 的 ，所以的a 平方根是2.非负数a 的平方根表示为3.因为没有什么数的平方会等于 ，所以负数没有平方根，因此被开方数一定是 或者4的平方根是 5.非负的平方根叫 平方根 6． 9的算术平方根是（ ）A ．-3B ．3C ．±3D ．81 8．下列说法中正确的是（ ）A ．9的平方根是3B 22 9． 64的平方根是（ ）A ．±8B ．±4C ．±2D 10． 4的平方的倒数的算术平方根是（ ） A ．4 B ．18 C ．-14 D ．1414．一个自然数的算术平方根是x ，则它后面一个数的算术平方根是（ ）A ．x+1B ．x2+1 C15．若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m 的值是（ ）A ．-3B ．1C ．-3或1D ．-1 1、25的平方根是（ ）A 、5B 、5-C 、5±D 、5±2．36的平方根是（ ）A 、6B 、6±C 、6 D 、 6±3．当≥m 0时，m 表示（ ）A ．m 的平方根B ．一个有理数C ．m 的算术平方根D ．一个正数 5．算术平方根等于它本身的数是（ ）A 、 1和0B 、0C 、1D 、 1±和0 6．0196.0的算术平方根是（ ）A 、14.0B 、014.0C 、14.0±D 、014.0± 7．2)6(-的平方根是（ ）A 、－6B 、36C 、±6D 、±6 20．2)5(-的平方根是（ ）A 、 5±B 、 5C 、5-D 、5±24．已知一个正方形的边长为a ，面积为S ，则（ ） A .a S =B.S 的平方根是aC.a 是S 的算术平方根D.S a ±=27．22)4(+x 的算术平方根是（ ）A 、 42)4(+x B 、22)4(+x C 、42+x D 、42+x28．一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ） A ．()1+a B ．()1+±a C ．12+a D ．12+±a29．3612892=x ，那么x 的值为（ ） A ．1917±=xB ．1917=xC ．1817=xD ．1817±=x 30．2)8(-= ， 2)8(= 。
初二数学(秋季)讲义第8讲 平面直角坐标系
初二数学（秋季）讲义 第八讲 平面直角坐标系导入在电影票上，“3排6座”与“6排3座”______（填“是”或“不是”）同一个座位，所以在电影院选择座位需要____个数据．1. 如图，在数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，回答下列问题（1）点C 关于点A 的对称点表示的数是______；点D 关于点B 的对称点表示的数是______．（2）点C 向右平移3个单位后表示的数是______；点B 向左平移2个单位后表示的数是______．（3）点A 关于点B 的对称点向左平移2个单位后表示的数 是_______．2. 如图是某市的部分简图，每个小正方形的边长均为500米，我们用(2，6)表示文化宫的位置，请回答下列问题：东北（1）说出体育场与超市的位置；（2）小明家在火车站以东1 000米，再往北500米处；小聪家在超市以北500米，再往西1 500米处，在图中标出小明和小聪家的位置．（3）上周六，小华的活动路线是(1，8)→(2，6)→(7，7)→(7，2)，说一说他这一天去了哪些地方． 1. 在平面内，确定一个物体的位置一般需要____个数据．2. 在平面内，两条__________且有_________的_________组成平面直角坐标系．水平的数轴叫_______或_______，铅直的数轴叫________或_______，________和______统称坐标轴．3.如图，对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴________，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的_______、_______，__________(a，b)叫做点P的坐标．)4.坐标系把平面分成了_____个象限，第一象限内点的坐标特征是(+，+)，第二象限内点的坐标特征是__________，第三象限内点的坐标特征是__________，第四象限内点的坐标特征是_________；坐标轴上的点不属于任何象限．5.在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一对有序实数对（即点的坐标）与它对应；反过来，对于任意一对有序实数对，都有平面上唯一的一点和它对应．6.坐标特点（1）x轴上的点____坐标等于零；y轴上的点____坐标等于零．（2）平行于x轴的直线上的点____坐标相同；平行于y轴的直线上的点____坐标相同．（3）关于x轴对称的两个点，横坐标_____，纵坐标______；关于y轴对称的两个点，横坐标________，纵坐标_____．（4）横坐标加减管______平移，纵坐标加减管______平移．1.写出图中的多边形ABCDEF各个顶点的坐标，并指出它们所在的象限．解：A(___，___)，第___象限；B(___，___)，第___象限；C(___，___)，第___象限；D(___，___)，第___象限；E( )，______象限；F( )，______象限．2.在平面直角坐标系中，点(-2，-3)在第____象限；点在第____象限；点1，1在第___象限；点(-2，a2+1)在第___马帅炮兵3. 若a <b <0，则点A (a -b ，b )在第________象限．4. 在平面直角坐标系中，若点P (a ，b )在第二象限，则点Q (1-a ，-b )在第____象限．5. 在平面直角坐标系中描出下列各点，并将各组内这些点依次用线段连接起来． （1）A (-3，5)，B (-7，3)，C (1，3)，A (-3，5)； （2）D (-6，3)，E (-6，0)，F (0，0)，G (0，3)．观察所描出的图形，解答下列问题：①坐标轴上的点有_______________，且x 轴上的点___坐标等于零，y 轴上的点___坐标等于零．②线段BC 与x 轴_______，点B 和点C ____坐标相同，线段BC 上其他点的____坐标都相同．③线段DE 与y 轴________，点D 和点E ____坐标相同，线段DE 上其他点的____坐标都相同．6. 若点M (a +3，4-a )在x 轴上，则点M 的坐标为__________．7. 若过A (4，m )，B (n ，-3)两点的直线与x 轴平行，且AB =5，则m =_____，n =_______________．8. 如图，正方形ABCD 在平面直角坐标系中，其中三个顶点的坐标分别为(-2，-2)，(-2，3)，(3，-2)，则第四个顶点的坐标为________．第9题图9. 如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点(-1，-2)，“马”位于点(2，-2)，则“兵”位于点(___，___)．10. 已知点P (-3，2)，它到x 轴的距离为_____，到y 轴的距离为_____，到原点的距离为_____．11. 如图，长方形ABCD 的长与宽分别是6，4，建立适当的平面直角坐标系，并写出各个顶点的坐标．D CBA12. 如图，对于边长为4的等边三角形ABC ，建立适当的平面直角坐标系，写出各个顶点的坐标．A C13. 在平面直角坐标系中，第二象限内有一点P ，若点P 到x 轴的距离是4，到y 轴的距离是5，则点P 的坐标为________．14. 点M 在x 轴的上方，距离x 轴4个单位长度，距离y 轴3个单位长度，则点M 的坐标为（ ）A ．(4，3)B ．(-4，3)或(4，3)C ．(3，4)D ．(-3，4)或(3，4)15. 若点A (x ，4)到原点的距离为5，则x =____________．16.如图，△ABC在平面直角坐标系中，则S△ABC=________．17.已知点A(0，4)，点B在x轴上，若AB与坐标轴围成的三角形的面积为2，则点B的坐标为______________．18.（1）作图，将△ABC各顶点的横坐标保持不变，纵坐标乘以-1，顺次连接这些点，所得三角形与△ABC关于_____轴对称；（2）如图，△DEF与△ABC关于____轴对称，它们相应顶点的横坐标___________、纵坐标____________．19.如果点A(a，b)与点B关于x轴对称，点B与点C(2，3)关于y轴对称，那么a=_______，b=_______，点A和点C的位置关系是__________________．20.若点A(a，4)，点B(3，b)关于x轴对称，则(a+b)2 015的值为______．21.若点P(b-3，-2b)在y轴上，则点P关于x轴对称的点的坐标为__________．22.若点A(a，b)沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度得到点A′(1，2)，则点A的坐标为_______．23.如图，将三角形向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后三个顶点的坐标分别为（）A．(-1，-1)，(2，3)，(5，1)B．(-1，1)，(3，2)，(5，1)C．(-1，1)，(2，3)，(5，1)D．(1，-1)，(2，2)，(5，1)24.如图，把图1中的△ABC经过一定的变换得到图2中的△A′B′C′，如果图1中△ABC上点P的坐标为(a，b)，那么这个点在图2中的对应点P′的坐标为______________．图1图21.不是，两2.（1）0，-2；（2）-1，-1；（3）23.（1）体育场(1，8)；超市(7，2)（2）略（3）他这一天去的地方：体育场、文化宫、宾馆、超市1.两2.互相垂直，公共原点，数轴x轴，横轴，y轴，纵轴，x轴，y轴3.作垂线，横坐标，纵坐标，有序实数对4.四，(-，+)，(-，-)，(+，-)6.（1）纵，横（2）纵，横（3）相同，互为相反数，互为相反数，相同（4）左右，上下1.(-1，3)，二；(-2，-1)，三；(-1，-2)，三；(3，-2)，四(3，1)，第一；(2，3)，第一2.三，一，四，二3.三4.四5.图形略①E，F，G；纵；横②平行，纵，纵③平行，横，横6.(7，0)7.-3，-1或98.(3，3)9.(-3，1)10.2，311．略12．略13．(-5，4)14．D15．3或-316．917．(1，0)或(-1，0)18．（1）x；（2）y，互为相反数，相同19．-2，-3，关于原点中心对称20．-121．(0，6)22．(-2，0)23．A24．(a+3，b+2)。
2014年秋季班数学八年级讲义(5)
图1DC图22014年秋季班数学八年级讲义（5）掌握添加辅助线的基本方法 掌握证明举例中的基本思路 【基础知识】 1. 如图，△ABC 中，∠ABC=∠BAC=45°，点P 在AB 上，AD ⊥CP ，BE ⊥CP ，垂足分别为D 、E ，已知DC=2，求BE 的长。
2. （1）90303ABC BAC B AD BC BD CD ∆∠=︒∠=︒⊥=已知：在中，、、，求证：（2）90330ABC BAC AD BC BD CD B ∆∠=︒⊥=∠=︒已知：在中，、、，求证：3. 已知：如图1所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、CE 相交于点O ，求证：AC ＝AE ＋CD4. 已知：如图2，四边形ABCD 是正方形，点E 、点F 分别是边BC 和边CD上的点，且∠FAD ＝∠FAE ，求证BE ＋DF ＝AECD5. 已知：如图，在四边形ABCD 中, AB =CD ，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，DE =BF ．求证：∠A ＝∠C ．6. 求证：在两个锐角三角形中，如果有两边及其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形全等。
（画图、写出已知、求证和证明）【提高练习】1. 如图，在△ABC 中，∠BAC 、∠BCA 的平分线相交于点I ，若∠B ＝35°，BC ＝AI ＋AC ，求∠BAC 的度数2. 如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上移动，但A 到EF 的距离AH 始终保持与AB 长相等，问在E 、F 移动过程中： （1）求证：∠EAF ＝45o（2）△ECF 的周长是否有变化？请说明理由3. ,120ABC AB AC BAC ∆=∠=︒已知：在中，(1)2D BC DE AB DF AC DE DF BC D BC DE AB DF AC DE DF BC ⊥⊥⊥⊥是上的一动点，，，你能发现、、之间的数量关系吗？（）是直线上的一动点，直线，直线，试探究线段、之间的数量关系。
精品2014年八年级数学上册-三角形初步认识同步讲义+练习
精品2014年⼋年级数学上册-三⾓形初步认识同步讲义+练习三⾓形初步认识第01课与三⾓形有关的线段知识点:三⾓形定义：组成的图形叫做三⾓形。
⽤符号“△”表⽰。
注意：三条线段必须①；②组成三⾓形的线段叫做三⾓形的，相邻两边所组成的⾓叫做三⾓形的，简称⾓，相邻两边的公共端点是三⾓形的。
注意：三⾓形ABC 的顶点C 所对的边AB 可⽤c 表⽰,顶点B 所对的边AC 可⽤b 表⽰,顶点A 所对的边BC 可⽤a 表⽰.三⾓形三要素：、、。
三⾓形三边的不等关系：。
附加：公式：三⾓形的分类：(1)按⾓分类: 三⾓形、三⾓形、三⾓形。
(2)按边分类:三⾓形的⾼线：从三⾓形的⼀个向它的对边所在直线作，顶点和垂⾜之间的叫做三⾓形的⾼线，简称三⾓形的⾼.注意：⾼与垂线不同，⾼是线段，垂线是直线。
三⾓形的三条⾼，简称三⾓形的⼼。
三⾓形的中线:如图，我们把连结△ABC 的顶点A 和它的对边BC 的中点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的钝⾓三⾓形直⾓三⾓形锐⾓三⾓形位置边BC 上的中线，表⽰为BD=DC 或BD=DC=21BC 或2BD=2DC=BC. 三⾓的三条中线，简称三⾓形的⼼。
注意：三⾓形的中线是线段。
三⾓形的⾓平分线:如图，画∠A 的平分线AD ，交∠A 所对的边BC 于点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的⾓平分线,表⽰为∠BAD=∠CAD 或∠BAD=∠CAD ＝1/2∠BAC 或2∠BAD=2∠CAD ＝∠BAC 。
三⾓形三个⾓的平分线，简称三⾓形的⼼。
注意：三⾓形的⾓平分线是线段，⽽⾓的平分线是射线，是不⼀样的。
三⾓形稳定性(1)把三根⽊条⽤钉⼦钉成⼀个三⾓形⽊架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ (2)把四根⽊条⽤钉⼦钉成⼀个四边形⽊架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ (3)在四边形的⽊架上再钉⼀根⽊条，将它的⼀对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？例1.⽤⼀条长为18cm 的细绳围成⼀个等腰三⾓形. (1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有⼀边长为4㎝的等腰三⾓形吗？为什么？例2.已知△ABC 的周长是24cm ，三边a 、b 、c 满⾜c+a=2b ，c-a=4cm ，求a 、b 、c 的长.三⾓形中线的性质：例3.⼀个等腰三⾓形的周长为32 cm，腰长的3倍⽐底边长的2倍多6 cm.求各边长.例4.如图，在直⾓三⾓形ABC中，∠ACB=900，CD是AB边上的⾼，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，求:(1)△ABC的⾯积；(2)CD的长；(3)作出△ABC的边AC上的中线BE，并求出△ABE的⾯积；(4)作出△BCD的边BC边上的⾼DF，当BD=11cm 时，试求出DF的长。
2014年秋季班数学八年级讲义(9)
2014年秋季班数学八年级讲义（9）直角三角形中两锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°【基础知识】1. 如果三角形中有一条边是另一条边是2倍,并且有一个角是30°,那么这个三角形是（ ）（A ）直角三角形 （B ）锐角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）图形不能确定2. 在直角三角形中,两锐角的平分线相交成钝角的度数是_______°3. 已知，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝8cm ，D 为AB 中点，DE ⊥AC 于E ，∠A ＝30°，求BC ，CD 和DE 的长。
4. 已知：△ABC 中，AB ＝AC ＝BC ，D 为BC 边上的中点，DE ⊥AC 于E.求证：14CE AB【提高练习】1. 如图所示，BD 、CE 是三角形ABC 的两条高，M 、N 分别是BC 、DE 的中点求证：MN ⊥DE 。
2. 已知：如图AD ∥BC ，且BD ⊥CD ，BD ＝CD ，AC ＝BC ，求证：AB ＝BO.3. 如图，在ΔABC 中，∠B ＝40°，∠C ＝20°，AD ⊥CA 于A ，交BC 于D ，求证：CD ＝2AB4. 如图，AB ∥CD ，E 是AD 中点，CF ⊥AB 于F 。
求证：CE ＝EF5. 如图，在ΔABC 中，∠ABC ＝2∠C ，AD ⊥BC 于D ，E 是AC 中点，ED 的延长线与AB 的延长线交于点F ，求证：BF ＝BD6. 在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，AD=CE ，CD 与BE 交与F,DG ⊥BE 。
求证：（1）BE=CD;（2）DF=2GF7. 在等边ΔABC 中，AE=CD ，BG ⊥AD ，求证：BP=2PG8. 在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，AB 的中垂线交AB 于D ，交CA 延长线于E ，求证：BC 21DE 。
2014年秋季班数学八年级讲义(10)
2014年秋季班数学八年级讲义（10）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么222a b c +=。
公式的变形：222a c b =-或222b c a =-。
勾股定理的逆定理：如果三角形ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且满足222a b c +=，那么△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形。
勾股数：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数。
一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
常见勾股数有：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（8，15，17） 【基础知识】1. 已知直角三角形中30°角所对的直角边长是32cm ，则另一条直角边的长是（ ） A .4cm B .34cm C .6cm D .36cm2. △ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42或32 D ．37或333. 一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( )A . 9分米B .15分米C .5分米D .8分米 4. 一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？（3）当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时，这时梯子的顶端距地面有多高？【提高练习】 1. 小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m 2，其对角线长为10m ，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？2. 如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？A A ′ A ′ O A D EB C第22题图B A6cm 3cm 1cm3. 已知，△ABC 中，AB=17cm ，BC=16cm ，BC 边上的中线AD=15cm ，试说明△ABC 是等腰三角形。
【初二数学上册(秋季班)讲义】第08讲_平面直角坐标系的应用(学生版)A4
高斯初二数学八年级上册秋季班（学生版）最新讲义初二数学八年级上册秋季班辅导讲义学员姓名：刘小米年级：辅导科目：小学思维学科教师：五块石1 上课时间2020-06-25 14:00-16:00授课主题第02讲_平面直角坐标系的应用平面直角坐标系的应用一．坐标系内图形的变换图形的平移1．在平面直角坐标系中，图形上各点的纵坐标不变，横坐标分别加上（或减去）一个正数a，则图形沿水平方向向右（或向左）平移a个单位长度，图形形状、大小不变．2．在平面直角坐标系中，图形上各点的横坐标不变，纵坐标分别加上（或减去）一个正数b，则图形向上（或向下）平移b个单位长度，图形形状、大小不变．二．计算坐标系内图形面积常用“割补法”．割：分割，把图形分割成几部分容易求解的图形，分别求解，然后相加即可．补：补齐，把图形补成一个容易求解的图形，然后再减去补上的那些部分．知识图谱错题回顾知识精讲一．考点：用坐标表示地理位置，坐标系内图形的变换，计算坐标系内图形的面积，坐标找规律．二．重难点：坐标系内图形的变换，计算坐标系内图形的面积，坐标找规律．三．易错点：1．平行移动最关键的是掌握平移的方向与坐标变化之间的关系，可以用口诀形式表示： 横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减；2．求面积时，优先考虑补的方法，通常补成一个长方形或者梯形，之后再相减求解即可；3．计算坐标系内图形的面积时，平行或垂直于坐标轴直线上的两个点之间的距离，用横坐标之差的绝对值或者纵坐标之差的绝对值表示．题模一：用坐标表示地理位置例1.1.1如图是我市几个旅游景点的大致位置示意图，如果用（0，0）表示新宁莨山的位置，用（1，5）表示隆回花瑶的位置，那么城市南山的位置可以表示为（ ）A ．（2，1）B ．（0，1）C ．（-2，-1）D ．（-2，1）题模二：坐标系内图形的变换例1.2.1已知点P 1（a-1，4）和P 2（2，b ）关于x 轴对称，则（a+b ）2013的值为（ ） A ．-1 B ．0C ．1D ．（-3）2013例1.2.2点A 在平面直角坐标系xOy 中的坐标为()2,5，将坐标系xOy 中的x 轴向上平移2个单位，y 轴向左平移3单位，得到平面直角坐标系xOy ，在新坐标系xOy 中，点A 的坐标为________例1.2.3已知A B C ∆'''是由ABC ∆经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如下表所示：（1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空： a =_____，b =_____，c =_____；三点剖析题模精讲（2）在平面直角坐标系中画出ABC ∆及平移后的A B C ∆'''； （3）直接写出A B C ∆'''的面积是_____。
精品 2014年八年级数学上册暑期讲义+同步练习
整式的乘除与因式分解第一课 积的乘方 幂的乘方知识点：1.同底数幂的乘法： 公式：2.幂的乘方：公式：3.积的乘方：公式：同底数幂基础练习：(1)()())(222222222243=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯ (2)35 ⨯45= )(5=(3)7)3(-⨯6)3(-= ())(3-= (4))(⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛1011011013(5)3a ⨯4a = =()a 幂的乘方基础练习：(1)23)2(= = =）（2; (2)54)(x = = =）（x;(3)3100)3(= = =）（3 ;(4)23])2[(-= = =）（)2(-=）（2;积的乘方基础练习：(1)3)2(x = = × = （2）4)3-(x = = × = （3）5)(ab = = × =例1.计算：(1)310⨯410= ;(2)53a a a ⋅⋅= ;(3);(4)x x x x ⋅+⋅22=(5)11010+⋅m n = ; (6);97)(m m m ⋅-⋅= ;(7)()3922-⨯= ; (8)y y y y ⋅-⋅⋅-425)(=(9)103=)(233⋅=)(533⋅=)(733⋅例2.把下列各式化成()ny x +或()ny x -的形式.(1) ()()43y x y x ++ = ; (2)()()()x y y x y x ---23= ;(3)()()12+++m my x y x = ; (4)342)()()(y x x y y x --- = ;(5)23)()(y x y x +-- = ;例3.计算:(1)32)2(= (2)34)3(= (3)65)(x = (4)3)(n x = (5)8x =)(2)(x =）（xx ⋅2=）（xx ⋅3 (6)12x =)(2)(x =）（xx ⋅2=）（xx ⋅7=)(3)(x例4.计算：(1)()332⨯； (2)()253⨯； (3)()22ab ; (4)()432a ;(5)10001001)21()2(-⨯- (6)()23351021104⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯ (7)20019911323235.0⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯例5.已知：2,3==n m x x ，求n m x 23+。
免费版 2014年八年级数学下册同步讲义--勾股定理
4.三边 BC=3,AC=4,AB=5 的三角形沿最长边 AB 翻折后得到△ABC/，则 CC/的长等于（ 12 A. 5 B. 13 5 C. 5 6 D. 24 5
5.直角三角形的两条直角边长为 a,b,斜边上的高为 h,则下列各式中总能成立的是 ( A.ab=h
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八年级数学
课堂练习：
1.已知直角三角形两边的长为 3 和 4，则此三角形的周长为（ A.12 B. 7 7 C．12 或 7 7 ） D.以上都不对 ）
2.如图,AB⊥CD 于 B,△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形,如果 CD=17,BE=5,那么 AC 的长为（ A.12 B.7 C.5 D.13
3.如图,在△ABC 中,∠C=900，BC=6,D、E 分别在 AB,AC 上,将△ABC 沿 DE 折叠,使点 A 落在点 A′处，若 A′为 CE 的中点,则折痕 DE 的长为（ A. ） C.3 D.4
1 2
)
B.2
4.一架 25 分米长的梯子,斜立在一竖直的墙上,这时梯足距离墙底端 7 分米,如果梯子的顶端沿墙下滑 4 分米,那么梯足将滑动( A.9 分米
16.如图所示,等腰三角形 ABC 的底边长为 8，腰长为 5,一动点 P 在底边上从 B 向 C 以 0.25 个单位每秒 的速度移动,当 P 运动几秒时,P,A,C 三点构成的三角形为直角三角形？
3
八年级数学 0 17.如图，等腰直角三角形 ABC,∠ACB=90 ，AC=BC=4，以 BC 为边作等腰 Rt△BCD，求线段 AD 的长度。
2
八年级数学 12.如图， 所有的四边形都是正方形， 所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形的边和长为 11cm, 则正方形 A，B，C，D 的面积之和为________cm2。
2014年秋季班数学八年级讲义(3)
2014年秋季班数学八年级讲义（3）掌握解有关一元一二次方程问题的技巧掌握一元二次方程根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：x x ==所以：12b x x a+=+=-，12244ac c x x a a⋅==== 定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为“韦达定理”．上述定理成立的前提是0∆≥．【基础知识】1. 解方程（1）2430x x --= （2） 2(3)2(3)0x x x -+-=（3）42)2)(1(+=++x x x （6）24810x x -+=2. 关于x 的方程04)2(2=+++k x k kx 有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围。
(2)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由3. 2(12)10k x k ---=已知有两个不相等的实数根，求的值4.22(1)2(1)10k k x k x +-+-=无论为何实数，方程一定有两个不相等的实数根【提高练习】1. 解方程：（1）4326240x x x x +--+= （2）24935120x x +-=2. 已知下列三个方程：24430,x a x a +-+=()22241210x a x a -++-=，()2210,x a x a +-+=其中至少有一个方程有实数根，求实数a 的取值范围。
3. 已知关于x 的方程322210x ax ax a --+-=有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是___________4. 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．5. 已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．6. 已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．7. 已知关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x 的方程22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．8. 若12,x x 是关于x 的方程22(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1．(1) 求实数k 的取值范围；(2) 若1212x x =，求k 的值．9. 已知：222,220,220x y x x k y y k -=-+=-+=，求k 的值。
2014年秋季八年级数学教材
第一讲三角形的三线【知识体系】一、三角形相关概念1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个角．二、三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．〔1〕三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法一样，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．〔2〕三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形部一点．②画三角形中线时只需连结顶点与对边的中点即可．〔3〕三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．三、三角形三边关系定理①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a．注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可四、三角形的稳定性2题图D C B AC C C C三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理． 【例题解析】 【例1】填空1、按角分类 ：可分为三角形、三角形、三角形；按边分类：等腰三角形和不等边三角形；等腰三角形又可分为：三角形和不相等的等腰三角形； 2、〔1〕如图，假设，那么AD 是△ABC 的中线；三角形有条中线；三角形的中线将三角形分成相等的两个三角形；〔2〕如图，假设，那么CE 是△ABC 的角平分线；三角形有条角平分线； 〔3〕如图，那么BF 是△ABC 的BC 边上的高；三角形有条高；锐角三角形条高在三角形部；直角三角形条高在三角形部；钝角三角形条高在三角形部；3、以下图形中有稳定性的是 A. 正方形 B. 长方形 C. 三角形 D. 平行四边形【例2】对下面每个三角形，过顶点A 画出中线，角平分线和高.【练】以下四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的图形是( )【例3】如图，在ΔABC 中，AE 是中线，AD 是角平分线，AF 是高。
2014年秋季班数学八年级讲义(12)
2014年秋季班数学八年级讲义（12）掌握函数的基本概念掌握正比例函数和反比例函数的概念、图像、性质 【基础知识】1. 求下列各式的定义域（1）y =（2）()01y x =-+2. 下例函数中哪个与函数y x =相等（ ）A.2y =B.yC.y =D.2x y x=3. 判断12y x =-下列函数)(x f 与)(x g 是否表示同一个函数，说明理由（ ）A ．()0()1f x x =-，()1g x =； B. ()f x x =，()g x =C ．2()f x x =，()2()1g x x =+； D 、()f x x =，()g x =4. 一个游泳池内有水3003m ，现打开排水管以每时253m 的排出量排水。
（1）写出游泳池内剩余水量Q 3m 与排水时间t 小时的函数关系式： （2）写出自变量的取值范围；（3）开始排水后5h ，游泳池中还有多少水？ （4）当游泳池中还剩1503m 时，已经排水多少小时？5. 已知正比例函数2y x =，当3x =时，函数值________y =。
6. 已知正比例函数12y x =-，当3y =-时，自变量________x =。
7. 已知正比例函数y kx =，当自变量x 的值为4-时，函数值20y =，则比例系数__k = 8. 已知()11y k x k =++-是正比例函数，则k 的值___________． 9. 下列说法正确的是（ ）A. 圆面积公式2S r π=中，S 与r 成正比例关系 B .11y x=+中，y 与x 成反比例关系C. 三角形面积公式2ahS =中，当S 是常量时，a 与h 成反比例关系 D. 12x y -=中，y 与x 成正比例关系 10. 下列说法中不成立的是（ ）A ．在31y x =-中1y +与x 成正比例；B ．在2xy =-中y 与x 成正比例 C ．在()21y x =+中y 与1x +成正比例； D ．在3y x =+中y 与x 成正比例11. 已知（x 1，y 1）和（x 2，y 2）是直线3y x =-上的两点，且x 1>x 2，则y 1与y 2的关系是（ ） A ．y 1>y 2 B ．y 1<y 2 C ．y 1=y 2 D ．以上都有可能12. 函数13+=m x y 当______m =时是正比例函数；当______m =时是反比例函数。
2014年秋季班数学八年级讲义(13)
2014年秋季班数学八年级讲义（13）掌握正比例函数、反比例函数图像及其性质 理解函数图像和实际生活的联系 【基础知识】1. 某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过203m 时，按2元3/m 计费；月用水量超过203m 时，其中的203m 仍按2元/3m 收费，超过部分按2.6元/3m 计费．设每户家庭用用水量为x 3m 时，应交水费y 元． （1）分别求出020x ≤≤和20x 时y 与x 的函数解析式； （2）小明家第二季度交纳水费的情况如下：小明家这个季度共用水多少立方米？2. 2007年5月，第五届中国宜昌长江三峡国际龙舟拉力赛在黄陵庙揭开比赛帷幕．20日上午9时，参赛龙舟从黄陵庙同时出发．其中甲、乙两队在比赛时，路程y （千米）与时间x （小时）的函数关系如图所示．甲队在上午11时30分到达终点黄柏河港． （1）哪个队先到达终点？乙队何时追上甲队？ （2）在比赛过程中，甲、乙两队何时相距最远？3. 某人沿一条直路行走，此人离出发地的距离S （千米）与行走时间t （分钟）的函数关系如图所示，请根据图像提供的信息回答下列问题：（1）此人离开出发地最远距离是____________千米；（2）此人在这次行走过程中，停留所用的时间为____________分钟；（3）由图中线段OA 可知，此人在这段时间内行走的速度是每小时____________千米；（4）此人在120分钟内共走了____________千米．时间/时4. 已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；（2）若双曲线(0)ky k x=>上一点C 的纵坐标为8，求△AOC 的面积； （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于P Q ，两点（P 点在第一象限），若由点A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标【提高练习】1. 设32)2(+=+x x g ，则)(x g 等于（ ）A.12+xB.12-xC.32-xD.72+x2. 已知()()221(1)x x f x x x ⎧+≤-⎪=⎨>-⎪⎩，若，则的值是（ ） A B. 或C. ，或D3. 小王于上午8时从甲地出发去相距50千米的乙地．上图中，折线OABC 是表示小王离开甲地的时间t （时）与路程S （千米）之间的函数关系的图象．根据图象给出的信息，下列判断中，错误的是（ ）A ．小王11时到达乙地B ．与8：00－9：30相比，小王在10：00－11：00前进的速度较慢C ．小王在途中停了半小时D ．出发后1小时，小王走的路程少于25千米4. 向高为H 的水瓶中注水，注满为止。
2014年秋八年级数学
考号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
考号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
考号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场
考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场
2014年秋季班数学八年级讲义(1)
2014年秋季班数学八年级讲义（1）掌握二次根式的相关概念掌握二次根式的运算，及常用技巧【基础知识】1. 求下列各式有意义的所有x 的取值范围。
（）；（）；（）；（）；（）；（）13221312411521645332-++-++-----x x x x x xx x x x2. 把下列各根式化为最简二次根式：()()（），（）（），19600224750325121003234a b a b a b ca b ≥≥≥≥3. 判断下列各组根式是否是同类根式：（）；；（）当时，，，117531516238534202--<<+-m n n m m n n m mn4. 把下列各式的分母有理化：()（）；（）；（）11232252323111101-++-+--≤≤a aa aa5. 计算：（）（）（）11841213233215121333352253121262-++⎛⎝ ⎫⎭⎪÷÷+⎛⎝ ⎫⎭⎪--+--6. 化简：()（）（）1424422242242222a ba ba ab ba a a a a a--÷++++++++-7. 化简：()()()()()（）（）（）（）（）·10262633323464411025125522223222222->------>--+++-+-<<⎛⎝ ⎫⎭⎪------st s m m m x x x x x x a b a b a b b a()||8.已知：a ba b b a==+【提高练习】1. 设正整数n m a ,,满足n m a -=-242，则这样的n m a ,,的取值（ ）（A ）有一组； （B ）有两组； （C ）多于二组； （D ）不存在2. 已知实数a满足：|2014|,a a -=那么22014a -=( )（A ） 2013 （B ） 2014 （C ） 2015 （D ） 20163. 满足等式20032003x x y =的正整数对()x y ，的个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44.( )5.6. 化简：((12【巩固练习】1. 已知实数a 满足a a a =-+-19931992，则=-21992a __________________；2. 使等式99=+y x 成立的整数对()y x ，的个数为__________________；3. ,,a b c为有理数，且等式a +29991001a b c ++的值是（ ）（A ）1999（B ）2000（C ）2001（D ）不能确定 4.等于（ ）（A）5- （B）1 （C ）5 （D ）1 5.________2013++=.6.的结果是______________。
2014年秋季班数学八年级讲义(11)
2014年秋季班数学八年级讲义（11）【基础知识】1. 已知两点)2,1(-A ，)7,2(B ，（1）求||AB ；（2）在x 轴上求一点P ，使得||||PB PA =，并求||PA2. 如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm ）计算两圆孔中心A 和B 的距离为___________3. 如图，在长方形ABCD 中，将 ABC 沿AC 对折至 AEC 位置，CE 与AD 交于点F 。
（1）试说明：AF=FC ；（2）如果AB=3，BC=4，求AF 的长4. 如图，将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G 。
如果M 为CD 的中点，求证：DE ：DM ：EM=3：4：55. 如图，有一块塑料矩形模板ABCD ，长为10cm ，宽为4cm ，将你手中足够大的直角三角板PHF 的直角顶点P 落在AD 边上（不与A 、D 重合），在AD 上适当移动三角板顶点P ： ①能否使你的三角板两直角边分别通过点B 与点C ？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请说明理由.②再次移动三角板位置，使三角板顶点P 在AD 上移动，直角边PH 始终通过点B ，另一直角边PF 与DC 的延长线交于点Q ，与BC 交于点E ，能否使CE=2cm ？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请你说明理由.6. 国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A 、B 、C 、D ，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线7. 如图，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C 在北偏东60°的方向上。
2014年秋季班数学八年级讲义(7)
图2图4图12014年秋季班数学八年级讲义（7）【基础知识】1、线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC .2、线段垂直平分线性质定理的逆定理到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.如图3，若直线i ，j ，k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线i ，j ，k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.4、角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.如图4，已知OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，若CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D ，则CF ＝DF.角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 5、角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.如图5，已知点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，若PC ＝PD ，则点P 在∠AOB 的平分线上.6、关于三角形三条角平分线的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 的平分线，那么：①AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；②若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA【提高练习】CBC FN1. 已知：在△ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线，OA=OC ，求证：点O 在BC 的垂直平分线2. 已知如图，在△ABC 中，AB=AC ，O 是△ABC 内一点，且OB=OC ，求证：AO ⊥BC.3. 已知：如图，点B 、C 在∠A 的两边上，且AB=AC ，P 为∠A PF ⊥AB ，垂足分别是E 、F 。
2014年秋季班数学八年级讲义(6)
CM2014年秋季班数学八年级讲义（6）探究三角形中的不等关系（大边对大角，大角对大边） 利用等腰三角形、全等三角形的性质解题的方法和技巧 【提高练习】1. 如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠ABC ＝2∠C ，求证：AB ＋BD ＝CD2. 如图，已知BD 是∠ABC 的角平分线，AD ⊥BD ，垂足为D ，求证：∠BAD ＝∠DAC+∠ACB3. 如图，N 为正方形ABCD 的边CD 上一点，且AN ＝NC ＋BC ，M 为DC 的中点，求证：12BAN DAM ∠=∠4. 如图，BD 、CE 分别是△ABC 的边AC 和AB 上的高，点P 再BD 的延长线上，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB ，求证：（1）AP ＝AQ ；（2）AP ⊥AQQP F ED CBAB5. 如图，在△ABC 中，已知∠FBC=∠ECB ＝12∠A ，求证：BE ＝6. 设D 为等腰△ABC 底边BC 的中点，E 为△ABD 内任意一点，求证：∠AEB ＞∠AEC7. 设△ABC 中，∠A ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D ，求证：AD ＋BC ＞AB ＋AC8. 草原上四口油井，位于四边形ABCD 的四个顶点（如图），现在要建立一个维修站H ，试问H 建立在何处，才能使它到四口油井的距离之和HA ＋HB ＋HC ＋HD 为最小，说明理由【巩固练习】1. 平行四边形的对角线互相平分，是________命题（填“真”或“假”）.2. 如图所示AB//CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分 ∠BCD ，则∠CBE+∠BCE=_________度.3. 设一个等腰三角形的两边分别为4及9，则这个等腰三角形的周长为_______________.A C D BE3题图C A B D 5题图C A B F ED 1题图4. 如图所示BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，若∠A=70°，则∠BDC=______度5. 已知：△ABC ，DE ∥BC ，∠DBF=∠CBF ，∠ECF=∠BCF ，AB=8，AC=7，则△ADE 的周长为____________________6. 命题：“等腰三角形的两个底角相等”改写为“如果----那么-------”：________________________________________________________________________ 7. 如图，∠1＝82°，∠2＝98°，∠3＝80°，则∠4＝____________．8. 如图，下列推理正确的是…………………………………………………………（ ）（A ）∵∠1＝∠2，∴AD ∥BC （B ）∵∠3＝∠4，∴AB ∥CD （C ）∵∠3＝∠5，∴AB ∥DC （D ）∵∠3＝∠5，∴AD ∥BC 9. 下列命题中是真命题的是………………………………………………………（ ） A 、同位角相等 B 、对顶角相等 C 、相等的角是对顶角 D 、同旁内角互补 10. 如图，下列判断：①∠A 与∠1是同位角；②∠A 与∠B 是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角．其中正确的是…………………………………（ ） （A ）①、②、③ （B ）①、②、④ （C ）②、③、④ （D ）①、②、③、④11. 在下列条件中，不能判定两个三角形全等的是………………………………（ ） A 两边及其夹角对应相等 B 两角及其夹边对应相等 C 两边及其中一边的对角对应相等 D 三边对应相等12. 如图，已知等腰直角三角形ACB 中，∠A 是直角，∠B 的平分线交AC 于D ，过C 引BD的垂线交BD 的延长线于E ，求证：AB ＋AD ＝BCM 13. 如图，已知△ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE ＝BD ，连接CE 、DE ，求证：CE ＝DE14. 如图，已知AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，EC ＝BD ，M 是ED 的中点，求证：AM ⊥ED15. 在四边形ABCD 中，已知AB ＝a ，AD ＝b ，且BC ＝DC ，对角线AC 平分∠BAD ，问a 和b的大小符合什么条件时，有∠D+∠B ＝180°，请画图证明你的结论。
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2014年秋季班数学八年级讲义（8）
掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（H.L.）
【基础知识】
1.判断下列条件能否判断两直角三角形全等，并说明理由
（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等。
（2）一个锐角和这个锐角相邻的一条直角边对应相等。
（3）一锐角与斜边对应相等。
（4）两直角边对应相等。
（5）两边对应相等。
（6）两锐角对应相等。
（7）一锐角和一边对应相等
2.下面说法不正确的是（）
A、有一角和一边对应相等的两个直角三角形全
B、有两边对应相等的两个直角三角形全等
C、有两角对应相等的两个直角三角形全等
D、有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等
3.如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AM平分∠CAB，CM＝20cm，那么M到AB的距离是
__________cm
4.如图2，已知：AD是△ABC中BC边上的高，E为AC上的一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD，求证：BE⊥AC
5.如图3，已知：AD＝BC，BE⊥AC，DF⊥AC，且BE＝DF。
求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）AB∥CD
6.如图4，已知：∠A＝90°，AB=BD，ED⊥BC于D。
求证：AE＝ED
【提高练习】
1.如图所示的网格中（4×4的正方形），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝____________
2.已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于点E，求证：CD⊥BE
3.已知△ABC中，CD⊥AB于D，过D作DE⊥AC，F为BC中点，过F作FG⊥DC，求证：DG=EG。
4.如图，A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝
CD，试证明BD平分EF
5.如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在点P（4，4）处，两直角边与坐标轴交于点A和点B．
（1）求OA+OB的值；
（2）将直角三角形绕点P逆时针旋转，两直角边与坐标轴交于点A和点B，求OA+OB的值．
6. 已知：如图，在△ABC 中，D 是边BC 的中点，AD 是∠BAC 的角平分线，求证：△ABC 是
等腰三角形
7. 已知：如图，在两个同心圆中，O 是圆心，直线l 与大圆相交于A 、B 两点，与小圆相交于C 、D 两点，求证：AC ＝BD
8. 已知：如图，AD ⊥CD ，CD ∥AB ，CD ＝CE ，又AE ⊥BC ，垂足为E ，求证：AB ＝BC
9. 如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米，此时，梯子的倾斜角为75°。
如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上N 处，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为b 米，梯子的倾斜角45°，求这间房子的宽AB
10. CD 经过∠BCA 顶点C 的一条直线，CA=CB ．E ，F 分别是直线CD 上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．
（1）若直线CD 经过∠BCA 的内部，且E ，F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE_________CF ；EF_________|BE ﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；
②如图2，若0°＜∠BCA ＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA 关系的条件____________，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
（2）如图3，若直线CD 经过∠BCA 的外部，∠α=∠BCA ，请提出EF ，BE ，AF 三条线段数量关系的合理猜想．
【巩固练习】
1. 两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个数
是（ ）个
①这两个三角形全等; ②相等的角为锐角时全等 ③相等的角为钝角对全等; ④相等的角为直角时全等
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2. 在下列定理中假命题是（ ）
A ．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形
B ．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形
C ．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形
D ．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形
3. 如图，Rt △ABC 中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC 到D ，使CD=AC 则AC ：BD=（ ）
A ．1：1
B ．3：1
C ．4：1
D ．2：3
4. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 、CE ，分别是斜边AB 上的高与中线，CF 是∠ACB
的平分线。
则∠1与∠2的关系是（ ）
A ．∠1<∠2
B ．∠1=∠2;
C ．∠1>∠2
D ．不能确定
5. 如图，BE 和CF 是△ABC 的高，它们相交于点O ，且BE=CD ，则图中有_______对全等三
角形，其中能根据“HL ”来判定三角形全等的有_______对．
6. 如图，有两个长度相同的滑梯（即BC ＝EF ），左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的
长度DF 相等，则∠ABC ＋∠DFE ＝___________度．
7. 已知：如图∠B=∠E=90°，AC=DF ，FB=EC ，求证：AB=DE.
8. 已知：如图AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB=DC 求证：AD//BC.
【中考链接】
如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，且BD=CD ，DE ，DF 分别垂直于AB ，AC ，垂足为E ，F ．请你结合条件认真研究，然后写出三个正确的结论．
结论（1）：
结论（2）：
结论（3）：
A B
C E
D O。