中职数学-三角函数教案

三角函数

一、任意角

1. 角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角

⑵“正角”与“负角”“0角”

我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负

2. “象限角”

角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 3. 终边相同的角

所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合。{

}

Z k k S ∈⋅+==,360|ο

αββ

二、弧度制

1. 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad ，读做弧度，

这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．

说明：（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0

（2）角α 的弧度数的绝对值公式：l

r

α= （l 为弧长， r 为半径） 2. 角度制与弧度制的换算：

∵ 360︒＝2π rad ∴180︒＝π rad

∴ 1︒＝

rad rad 01745.0180

≈π

'185730.571801ο

οο

=≈⎪⎭

⎫ ⎝⎛=πrad

3. 两个公式

1）弧长公式：α⋅=r l 由公式：⇒=

r l α α⋅=r l 比公式180

r

n l π=

简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 2）扇形面积公式 lR S 2

1

=

其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径

4. 一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0

π/6

π/4

π/3

π/2

2π/3 3π/4 5π/6

π 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

弧度

7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4

11π

/6

2π

5. 应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系

正角 零角 负角

正实数 零 负实数

任意角的集合 实数集R

三、任意角三角函数的定义

1. 设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x ，y ）

则P 与原点的距离0222

2>+=

+=y x y

x r

r

y)(x,α

（1）把比值r y

叫做α的正弦 记作： r

y =αsin （2）把比值r x

叫做α的余弦 记作： r

x =αcos

（3）把比值x y

叫做α的正切 记作： x

y =αtan

上述三个比值都不会随P 点在α的终边上的位置的改变而改变.当角α的终边在纵轴上

时，即Z)(2

∈+

=k k π

πα时，终边上任意一点P 的横坐标x 都为0，所以tan α无意义；

它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.以上三种函数，统称为三角函数。

三角函数值的定义域：

r y

=

αsin R r

x

=αcos R

x y =

αtan ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧∈+≠Z k k ,2|ππαα

2. 三角函数的符号

sin α

为正 全正

tan α

为正 cos α

为正

3. 终边相同的角的同一三角函数值相等

例如390°和－330°都与30°终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即

sin390°＝sin30° cos390°＝cos30°

sin （－330°）＝sin30° cos （－330°）＝cos30° 诱导公式一（其中Z ∈k ）: 用弧度制可写成

ααsin )360sin(=︒⋅+k απαsin )2sin(=+k ααcos )360cos(=︒⋅+k απαcos )2cos(=+k ααtan )360tan(=︒⋅+k απαtan )2tan(=+k

这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题。

4. 三角函数的集合表示：

sin 1y y

y MP

r α====cos 1

x x

x OM r α=

===tan y MP AT

AT x OM OA

α=

===

例1. 在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角

(1)120(2)640(3)95012'-︒

︒

-︒

例2. 写出终边在y 轴上的角的集合（用0到360度的角表示）

例3. 用集合的形式表示象限角

第一象限的角表示为{α|k⋅360︒<α

第二象限的角表示为

第三象限的角表示为

第四象限的角表示为

巩固练习

1. 下列命题中正确的是（）

A. 终边在y轴非负半轴上的角是直角

B. 第二象限角一定是钝角

C. 第四象限角一定是负角

D. 若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同

2. 与120°角终边相同的角是（）

A. －600°＋k·360°，ｋ∈Ｚ

B.－120°＋k·360°，ｋ∈Ｚ

C. 120°＋（2k＋1）·180°，ｋ∈Ｚ

D. 660°＋k·360°，ｋ∈Ｚ

3. 角α的终边落在一、三象限角平分线上，则角α的集合是

4. 角α是第二象限角，则180°＋α是第象限角；－α是第象限角；180°－α是第________象限角．

5. 一个扇形OAB的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，求∠AOB和弦AB的长.

6. 确定下列各式的符号

（1）sin100°·cos240°（2）sin5+tan5