一阶动态电路的三要素法
一阶动态电路的全响应及三要素法
1 2
高阶动态电路的全响应研究
本文主要研究了一阶动态电路的全响应，未来可 以将研究扩展到高阶动态电路，探讨其全响应的 特点和求解方法。
复杂电路系统的分析方法研究
针对更复杂的电路系统，需要研究更为有效的分 析方法，以提高电路分析的准确性和效率。
3
非线性电路的动态响应研究
在实际应用中，非线性电路的动态响应也是一个 重要的问题，未来可以开展相关的研究工作。
结果讨论与误差分析
结果讨论
根据求解出的全响应表达式，分析电 路在不同时间点的响应情况，讨论电 路的工作特性。
误差来源
分析在求解过程中可能出现的误差来 源，如元件参数的测量误差、计算误 差等。
误差影响
讨论误差对求解结果的影响程度，以 及如何通过改进测量方法、提高计算 精度等方式来减小误差。
实际应用中的考虑
在实际应用中，还需要考虑其他因素 对电路响应的影响，如环境温度、电 磁干扰等。
05 实验验证与仿真模拟
实验方案设计
设计思路
基于一阶动态电路的基本原理，构建实验电路并确定测量参数。
电路搭建
选用合适的电阻、电容、电感等元件，搭建一阶动态电路。
测量方法
采用示波器、电压表、电流表等仪器，测量电路中的电压、电流 等参数。
03 三要素法原理及应用
三要素法基本概念
三要素法定义
一阶动态电路的全响应由初始值、 稳态值和时间常数三个要素决定，
通过求解这三个要素可快速得到 电路的全响应。
适用范围
适用于线性、时不变、一阶动态电 路的全响应分析。
优点
简化了电路分析过程，提高了求解 效率。
初始值、稳态值和时间常数求解方法
01
02
电路分析路基础一阶电路的三要素法
y(t ) y() [ y(0 ) y()] e
t
返回
X
2.三要素法解题步骤
1. 求初值 y(0 ) － － 求出 u (0 ) 或 i (0 )。 (1)画0 等效电路， C L
注意：此时电容开路，电感短路。 ＋ (2)画0＋等效电路， 求出y(0 )。 ＋ － 此时电容用电压值为 uC (0 ) uC (0 ) 的电压源替代， ＋ － 电感用电流值为iL (0 ) iL (0 ) 的电流源替代。
2
1
5i (0＋)
iL (0＋)
1Leabharlann ＋ ＋ ＋ 2i (0 ) 1 i (0 ) 5i (0 ) iL (0 ) 16 i (0＋) 3.5 A ＋
X
解（续）
(3)画 等效电路， 求iL ()、i ()。 i ( ) i () 5i () iL () iL () 2 iL () 3i () 2i () 1 iL () 16 16 V 1
16 V
i 2
1
5i
1
S( t 0)
iL ( t ) 5H
i (0 )
16 V
2
5i (0 )
1
iL (0 )
X
解（续）
(2)画0 等效电路， 求iL (0 )、i (0 )。
＋
＋
＋
i (0＋)
iL (0 ) iL (0 ) 12A
＋
16 V
稳态分量 暂态分量
戴维南等效电阻或诺顿等效电阻 Req 。
3-7 一阶电路的三要素法
t 4
t
t 4
9.6 0.6 e V , t 0+
X
求开关闭合后： 已知uC (0 ) 6V，开关闭合前电路处于稳态， 1）电容电压的全响应、稳态响应、暂态响应、 例题3 零输入响应、零状态响应，并画其波形图。
2) 24k 电阻上的电压uR (t )。
X
解（续） 求：2）电压表读数达到最大值的时间；
di2 (t ) u(t ) R1i1 (t ) L dt
1 t R1C R 2t L
i (t )
S (t 0)
R2
C
u (t )
V
s
U s (e e ), t 0 U du(t ) 当 0 时u(t ) 达到最大值，此时有 dt 1 1 R2 R t t t 2t R 1 L e R1C 2 e L e R1C R1 R2e L R1C L C
16 V
i 2
1
5i
1
5H
b
S ( t 0)
与电感相连的等效内阻为： Req 1 0.25 1.25 电路的时间常数为： L 5 = 4s Req 1.25
2
iab
i
1
5i
uab
X
解（续）
（5）写出uab (t ) 函数表达式。
uab (t ) uab () [uab (0 ) uab ()]e
暂态分量 稳态分量
t
X
例题1
已知RL电路中的电压源电压如图所示，且iL (0 ) 0, 求t 0时的i (t ) ，并绘出变化曲线。
非直流激励下的一阶动态电路三要素法的研究
非直流激励下的一阶动态电路三要素法的研究摘要：本文在直流激励下的一阶动态电路三要素法的基础上，进行了非直流激励形式下一阶动态电路的相应分析，用举例说明的方法给出了相应的三要素法，并进一步分析了这种推广后的三要素法与直接解微分方程方法的优劣。
关键词：一阶动态电路 三要素法 非直流激励1、前言动态电路的一般规律是动态电路的全响应可以分解为自有响应与强制响应两部分。
这两部分对应着电路的齐次方程的通解和非齐次方程的特解。
而一阶电路三要素法的基础是将全响应分解为暂态响应和稳态响应两部分，用待定系数的思想求解响应。
现行电路基础教材着重介绍了三要素法在直流激励下的应用。
在此基础上进行推广，研究非直流激励下的一阶动态电路三要素法同样具有重大的意义。
2、一阶电路的三要素法三要素法是跳过建立电路微分方程，直接由给定的电路求出三个要素，并列写出响应的数学表达式。
由电路的经典方法以及初始条件，一阶电路解的一般形式为：/()[(0)(0)]t s s y t y y e y τ-++=-+①所以，只要求得(0)y +、()s y t 和τ三个量，代入①中就得到全响应()y t [1]。
3、非直流激励下的一阶电路三要素法基本原理一般地，当激励是直流形式时，换路后，响应逐渐趋向于一个稳定的状态y(∞)。
当激励是非直流的形式时，无法求得y(∞)的确定数值，此时，我们可求取非齐次微分方程的特解作为电路响应的强制响应分量。
从三要素法的角度看，这一分量与原三要素法公式的稳态响应分量有类似之处。
所以，可以把这个分量看做三要素法的一个要求，进而得到推广后的三要素法。
公式推导如下：一阶电路的微分方程的一般形式为：()1()()dy t y t Kf t dt τ+= 其中，y(t)代表一阶电路中任一支路或元件的电流或电压，τ是时间常数，f(t)是激励电源。
解的形式为()()()p h y t y t y t =+。
其中()p y t 是原非齐次微分方程的特解，对于直流激励或阶跃激励，可以直接由电路条件得到；对于非直流激励情况，由于()p y t 与激励电源有着相同的形式，所以可以先设出特解的形式，再运用待定系数法求得特解。
电路分析基础一阶动态电路的时域分析
动态电路 的过渡过程
电路的零输入、 零状态分析法
一阶电路响应 的三要素分析法
6.1
一阶电路的三要素分析法
(t=0)
1.过渡过程的的概念
US (t=t1)
R C
uc
-
+
换路：电路结构或参数发生突然变化。
稳态：在指定条件下电路中的电压、电流已 达到稳定值。 暂态：电路换路后从一种稳态到另一种稳态 的过渡过程。
6
iL
6 1H
1 F -
10 uC ( ) 5 55 5V
6 i L ( ) 6 66 3 mA
(3) 时间常数 的计算
对于一阶RC电路
R0C
L 对于一阶RL电路 R0
注意：
对于较复杂的一阶电路， R0为换路后的电路 除去电源和储能元件后，在储能元件两端所求得的 无源二端网络的等效电阻。
uC ( t 0 ) uC ( t 0 ) i L ( t 0 ) i L ( t 0 ) uC (0 ) uC (0 ) i L (0 ) i L (0 )
换路时刻，iC和uL为有限值，uC和iL在该处连续，不可跃变。
除过uC和iL，电路中其他的u、i可以在换路前后发生跃变。
t=0 S R1
+
R1
R3
C
-
U
R2
R2
R3 R0
R0
+
R0 ( R1 // R2 ) R3 R0C
C R0的计算类似于应用戴维 南定理解题时计算电路等效 电阻的方法。即从储能元件 两端看进去的等效电阻。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-
U0
一阶动态电路的全响应及三要素法
iL（∞）= 0
（3）求时间常数τ
R 20 (10 10) 10 k 20 10 10
L 10 3 10 7 s
R 10 103
根据三要素法，可写出电感电流的解析式为
iL（t）= 0 +（10×10-3–0）e107=t 10 e mA 107t
i
L
()
US R2
10 20
05A
1
L R2
2 20
0 1s
根据三要素公式得到
iL（t）= 0.5（1 - ）e1A0t （0.1s≥t要素法，先求t = 0.1 s时刻的初始值。根 据前一段时间范围内电感电流的表达式可以求出在t = 0.1 s时刻前一瞬间的电感电流
2 10 20
0 0667 s
根据三要素公式得到：
t 01
iL (t) iL (0 1 ) e 2 0 316 e15(t01) A （t≥0.1 s）
电感电流iL（t）的波形曲 线如右图所示。在t=0时， 它从零开始，以时间常数 τ1=0.1 s确定的指数规律增 加到最大值0.316A后，就 以时间常数τ2=0.0667s确 定的指数规律衰减到零。
【例14-3】
下图（a）所示电路原处于稳定状态。t = 0时开关 闭合，求t ≥0的电容电压uC（t）和电流i（t）。
解：（1）计算初始值uC（0+）
开关闭合前，图（a）电路已经稳定，电容相当于 开路，电流源电流全部流入4Ω电阻中，此时电容电 压与电阻电压相同，可求得
uC（0+）= uC（0 -）= 4Ω×2 A = 8V
t ln iL (0 ) iL () 0 005 ln 0 75 1 5 0 002 s
5.3.4一阶电路的动态响应 - 一阶电路的动态响应3一阶电路的三要素法1
R2 u2(t) L i1(t) -
动态电路的时域分析
解：t<0时电路已处于稳态，iL(0- ) 0。
因此，换路后所求响应为零状态响应。求得稳态时的
电感电流：
iL()
R1
US R2 R3
R2 R3
R2 R2 R3
0.5 A
换路后，从电感两端看进去的戴维宁等效电阻为
Req
R3 R1 // R2
换路后，电路中有激励。
注意：由于输入不为零，所以电路方程仍为非齐次微分
方程，分析求解过程与零状态输入一样，所不同的是电 路的初始状态不为零，即初始条件不同，因而确定的积 分常数A也不同。
动态电路的时域分析
引例： S(t=0) R
i
US
+ uR – C
解：
+
uC
RC
duC dt
uC
US
– （非齐次微分方程）
uC (0-)=U0 （不为零）
解答为：uC =uC' uC'' 特解 : uC' = US
-t
通解: uC = Ae τ
-t
全解： uC = US + Ae τ
其中 = RC
由初始值来确定A: uC (0+)=A+US=U0 A=U0 – US
动态电路的时域分析
所以:
稳态解
暂态解
-t
uC uC uC US (U0 - US )e τ t 0
励下的全响应。
一般步骤:
1. 利用换路定则以及KCL、KVL求出y(0+) ; 2. 在换路后的稳态电路中求出稳态分量y() ; 3. 利用戴维宁定理计算RC或RL串联电路的时间常数τ。
一阶动态电路的三要素法
感谢您的观看
THANKS
应，并了解电路的性能。
03 三要素法可以帮助我们更好地理解和设计一阶动 态电路。
04 三要素法在一阶动态电路 中的应用
电容电压的计算
总结词
通过三要素法，可以计算出电容电压 的初始值、稳态值和时间常数。
详细描述
在三要素法中，电容电压的初始值可 以通过初始条件计算得出，稳态值则 根据换路定律确定，而时间常数是电 路中电容器充放电的时间。
研究不足与展望
虽然三要素法在分析一阶动态电路方面取得了显著成果，但仍存在一些局限性，例如对于高阶动态电 路的分析仍需进一步研究。
目前对于三要素法的理论研究相对成熟，但在实际应用方面仍需加强，特效率。
未来研究可以探索将三要素法与其他电路分析方法相结合，以拓展其应用范围和提高分析精度，同时也 可以研究如何将三要素法应用于其他领域，如控制系统、信号处理等。
实例二：简单RL电路的响应分析
总结词
RL电路的响应分析
详细描述
RL电路由一个电阻R和一个电感L组成，其 响应也可以通过三要素法进行计算。根据三 要素法，RL电路的响应由初始值、时间常数
和稳态值三个要素决定。初始值是电感在 t=0时的电流或电压值，时间常数是RL的乘 积，稳态值是当时间趋于无穷大时的电流或
背景
在电子工程和电路分析领域，一阶动态电路是常见的基本电路之一。了解一阶动态电路的响应特性对于电子设备 和系统的设计、分析和优化具有重要意义。三要素法作为一种有效的分析方法，广泛应用于一阶动态电路的分析 和设计中。
研究目的和意义
研究目的
通过研究一阶动态电路的三要素法，旨在深入理解一阶动态电路的响应特性，掌握三要 素法的应用技巧，提高分析和解决实际电路问题的能力。
一阶动态电路暂态分析的三要素法_电工电子技术_[共4页]
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第
4章
一阶线性电路的暂态分析 67
图4.2.5 RC 电路的零状态响应
4.2.2 一阶动态电路暂态分析的三要素法
通过前面的分析可知，零输入响应和零状态响应可看成是全响应的特例。
直流电源激励下的一阶动态电路中的电压或电流，其全响应总是由初始值开始，按指数规律变化而接近于稳态值。
则全响应f (t )可表示为
()()[(0)()]e t
f t f f f τ−+=+−∞∞ （4.2.12）
只要知道了初始值f (0+)、稳态值f (∞)和时间常数τ 这三个要素，就可以通过式（4.2.12）直接写出直流电源激励下的一阶动态电路的全响应，这种方法称为三要素法。
时间常数 L RC R ττ⎛⎞==⎜⎟⎝
⎠或，其中R 为等效电阻，是换路后从储能元件C （或L ）两端看进去的除源网络外的入端电阻，即戴维宁或诺顿等效电路的等效电阻。
三要素法具有方便、实用和物理概念清楚等特点，是求解一阶电路常用的方法。
例4.2.1 在图4.2.6（a ）所示的电路中，U S =180 V ，R 1=30Ω，R 2=60Ω，C =100μF ，电容初始电压为0，t =0时开关S 合上。
试求换路后的u C (t )
、i
1(t
)。
图4.2.6 例4.2.1题图
解：利用三要素法求解。
（1）求初始值u C (0+)、i 1(0+)
由换路定律知
u C (0+) = u C (0-) = 0
由于u C (0+ ) = 0，此时电容可视为短路，因此有换路后t = 0+时的等效电路，如图4.2.6（b ）所示。
则有。
一阶动态电路三要素法求解公式
一阶动态电路三要素法求解公式
在一阶动态电路中，三要素法是一种常用的方法，用于求解各个元件的电流和电压。
三要素法基于基尔霍夫电压和电流定律，帮助我们分析和解决电路中复杂的问题。
首先，我们需要了解三要素法中的三个要素。
这三个要素分别是电源电压、初始条件和电路响应。
电源电压指的是电路中的电源电压源。
它可以是直流电压源或交流电压源，根据具体情况决定。
电源电压对电路元件和电路响应产生重要影响。
初始条件是指在电路初始时刻的电压和电流数值。
对于电容器和电感器，初始电压和电流应该已知，而对于电阻器则不需要初始条件。
电路响应是指在电路中元件电压和电流的变化情况。
我们可以通过求解电路响应来了解电路中各个元件的具体情况。
为了使用三要素法求解电路，我们可以按照以下步骤进行：
1. 根据实际情况，确定电源的类型和数值。
如果是直流电压源，则电压大小为常数；如果是交流电压源，则根据频率和幅值确定相应的电压函数。
2. 根据电路中的初始条件，确定各个元件的初始电压和电流数值。
对于电容器和电感器，需要初始电压和电流；对于电阻器则不需要。
3. 根据基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫电压定律（KVL），建立电路方程。
根据电路中的元件和电源关系，写出各个元件的电压和电流表达式。
4. 解析电路方程，得到元件的电流和电压表达式。
这些表达式将告诉我们在不同时间点，电路中各个元件的具体数值。
通过使用以上步骤，我们可以使用三要素法求解一阶动态电路中各个元件的电流和电压。
这个方法有效地帮助我们理解和解决电路中的问题。
动态电路“三要素”分析法
在电路中，由于电感L 、电容C 两元件的电压、电流关系均为微分或积分关系，因此称其为动态元件，含有动态元件的电路就是动态电路。
用三要素法分析一阶线性动态电路时，需要确定待求响应f （t ）的初始值f （0+）、稳态值f 1（t ）和时间常数τ三个要素。
以下就一阶动态电路三要素分析法中的初始值、稳态值；动态电路中电感L 、电容C 的等效电路问题谈自己的教学体会。
1初始值f （0+）图1初始值就是换路后0+时待求响应的值。
求初始值的理论依据是换路定律：u C （0+）=u C （0-），i L （0+）=i L （0-）。
u C （0-），i L （0-）可根据0-时的等效电路求取。
需要注意的是，换路时除电容电压和电感电流外，电路中其它电压、电流都可以跃变，换路定律只适于求电容电压和电感电流的初始值。
图1是一RC 零状态响应电路，t=（0-）时，电容电压u C （0-）=0、电阻电压u R （0-）=0。
换路后，t=（0+）时，由换路定律得u C （0+）=0，若u R （0+）=u R （0-）=0，则u C （0+）+u R （0+）=0，显然不符合KVL 。
正确答案的是R （+）=U S ，（+）+R （+）=U S ，。
求初始值时，首先求u C （0+）、i L （0+），然后根据0+时的等效电路，求其它初始值。
2非齐次特解f 1（t）f 1（t）是一阶微分方程的非齐次特解，也是一阶线性动态电路的稳态解，稳态解就是t →∞时待求响应的值，因此f 1（t ）也可表示为f （∞），其函数形式取决于激励源的函数形式，故非齐次特解又称为强迫分量。
可根据t →∞时的电路求f 1（t ）。
2.1零激励时的情况零激励时，f 1（t ）等于0，如零输入响应电路中的u C （∞）=0，i L （∞）=0。
2.2直流激励时的情况激励源为直流电源时，f 1（t ）是一个常数，如由直流激励的零状态响应、全响应及阶跃响应电路中的稳态解。
一阶动态电路的分析
4τ
2. 定量分析 R i (t) C +
US
+ _
uC(t)
US R
iC τ＝RC
_
O
− t
d duC 解一： iC = C = C US (1− e τ ) dt dt
US τ = e , R
− t
t
t ≥0
t US − uC 1 − 解二： iC = = [US −US (1− e τ )] R R t − US τ = e , t ≥0 R
R =
i (t ) = iL (t ) = i L (0 + )e − t/ τ = 2 e −2 t A u (t ) = u R = − 8iL (t ) = − 16 e − 2 tV
(t ≥ 0 ) (t > 0 )
7−2 一阶电路的零状态响应 零状态响应:电路中动态元件的初始状态为零， 零状态响应 电路中动态元件的初始状态为零， 电路中动态元件的初始状态为零 外加激励作用下产生的响应 电路只在外加激励作用下产生的响应。 电路只在外加激励作用下产生的响应。 一、RC电路的零状态响应 t=0 + U
在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变， 解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，得到 将连接电容两端的单口网络等效于一个电阻， 将连接电容两端的单口网络等效于一个电阻，为
u C (0 + ) = u C (0 − ) = 6V
6×3 Ro = (8 + )kΩ = 10kΩ 6+3
uC ( t ) = U 0e
3 1 iR (t ) = − iC (t ) = × 0.6e −20t mA = 0.2e −20t mA 3+6 3
一阶电路的三要素分析法
后如果使用智慧盒供电连线如图6-2-17所示，使用NEWLab底座供电连接如图6-2-18所示，将st-link仿
真器的20PIN的头与M3主控模块的J1脚相连。
图6-2- 16 ST-LINK仿真器
图6-2- 17 智慧盒供电
图6-2- 18 底座供电
步骤2 打开仿真器下载软件STM32 ST-LINK Utility如右图所示。 步骤3 打开软件后，点击界面中Program verify，如下图所示。
《电路分析与实践项目化教程》
简单低通滤波电路的设计
直流激励下的一阶动态电路分析
一阶电路的三要素分析法
《电路分析与实践项目化教程》
目录
CONTENTS
1 什么是一阶电路的三要素 2 一阶电路三要素法的解题步骤 3 一阶电路三要素法的实例
一、什么是一阶电路的三要素
电路变量由初始值向新的稳态值过渡，并且按照指数规律逐渐趋向 新的稳态值，而过渡的快慢取决于时间常数。因此我们把初始值、稳 态值、时间常数称为一阶动态电路的三要素。一阶电路的全响应为：
f (t) = f (∞) + [f (0+)－f (∞) ] e -t/τ 式中f (t) -----电路中任意处的电压或电流
f (∞) -----电压或电流的稳态值 f (0+) ----换路后一瞬间电压或电流的初始值
τ-------电路的时间常数
一 二、一过阶渡电过路程三要素法的解题步骤
三要素法解题步骤如下： （1）确定电压或电流初始值f (0+)
步骤6 点击下一步
步骤7 选择STM32F1_High-density_512K，点击下一步
步 骤 8 选择download to device选项，选择需要下载的固件地址，并选择Erase necessary
电路分析基础 课题四 一阶动态电路的分析
输入响应。
2.
−
一阶动态电路的零输入响应的一般表达式为：() = (0+) ，其中，为时间常数（单位：s），
(0+)为初始值。
3.
“零输出响应”特点：
➢ 换路后电源信号为0（零输入/激励）
➢ 储能元件的初始值≠0
➢ 储能元件的稳态值=0
问题四：
闪光灯在实际使用中，会频繁充电；同时实
iL I 0 e
R
t
L
I0e
t
稳态值= iL (∞) = 0
1
最大储能：wL = 2 LI02
（5）其它响应：
（c）响应曲线
uL uR RI 0 e
t
t
L
...RL电路时间常数
R
知识链接3.一阶零输入响应的表达式
1.
定义：在没有输入激励的情况下，仅由电路的初始状态（初始时刻的储能）所引起的响应，称为零
闪光灯的功能就是通过瞬间放电补光的过程。
知识链接 1.RC零输入响应电路分析
（a）换路前
（b）换路后
（1）换路前（0-时刻如图a）
（5）其它响应
Uc（0-）=U0≠0
uR uC U 0 e
（2）换路瞬间（0+时刻）
由换路定理：初始值Uc（0+）=Uc（0-）=U0≠0
1
最大储能：(0+) = 2 02
3.初始值的计算
【初始值求解步骤】
① 换路前的电路（t =0－）直流稳态下，电容相当于开路、电感相当于短路。
② 换路前的电路（t =0－）只求电感中电流iL(0－)或者电容中电压uC(0－)。
三点要素法的表达式
三点要素法的表达式
三要素法公式为：uC(0+)=uC(0-)和iL(0+)=iL(0-)。
三要素法的定义：通常称时间常数，响应的初始值和稳态值为直流一阶动态电路的三要素，确定出三要素并求得响应的方法称为三要素法。
其中提到的电路是指：由金属导线和电气、电子部件组成的导电回路，称为电路。
在电路输入端加上电源使输入端产生电势差，电路连通时即可工作。
电流的存在可以通过一些仪器测试出来，如电压表或电流表偏转、灯泡发光等。
电压（voltage），也称作电势差或电位差，是衡量单位电荷在静电场中由于电势不同所产生的能量差的物理量。
其大小等于单位正电荷因受电场力作用从A点移动到B点所做的功，电压的方向规定为从高电位指向低电位的方向。
电压的国际单位制为伏特（V，简称伏），常用的单位还有毫伏（mV）、微伏（μV）、千伏（kV）等。
3.5 一阶电路的三要素公式
2、三要素公式
y(t ) = y(∞) + [ y(0+ ) − y(∞)]e
τ > 0 时：
−
t
τ
t ≥0
上式称为一阶电路在直流电源作用下求解电路 全响应的三要素公式。
换路时刻为 t0 时的三要素公式为：
y(t) = y(∞) + [ y(t0+ ) − y(∞)] e
XIDIAN UNIVERSITY
Gao Jianning
第27-5页 第27-5页
■
©西安电子科技大学电路信号与系统实验中心
如何画出 t =0-时刻等效电路？
由于t = 0-时电路已处于稳态，则： 情况一、若t = 0- 时等效电路中有独立源：
电容: 用开路线替代； 电感: 用短路线替代； 在t = 0- 时等效电路中计算：uc ( 0− ) , iL ( 0− )
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Gao Jianning
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©西安电子科技大学电路信号与系统实验中心
二、三要素法求解步骤如下
1、 确定初始值 y (0+) 初始值y(0+)是指任一响应在换路后瞬间t=0+ 时的 数值，与本章前面所讲的初始值的确定方法是一样的。 (1)、独立初始值的计算 换路后瞬间 (t0=0+) 电容电压、电感电流的初始值， 受换路定律的约束，即
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Gao Jianning
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4、应用举例
例1 图 (a)所示电路中，t=0时将S合上，求t≥0时的 i1、 iL、uL。
电路原理5.4.1一阶电路的三要素法 - 一阶电路的三要素法2
i
L
t
动态电路的时域分析
t
iL (t ) iL () [iL (0+ ) iL ()]e τ = 3 5e0.5t A (t 0)
（3）由原电路图求出i。
i
S(t=0)
R
Us
IS
a·
iL L
· b
i = IS iL = 5 5e0.5t A （t≥0）
动态电路的时域分析
例3. 已知US=10V， R1=R2=4， R3=2， C=1F，电容原未
动态电路的时域分析
t
y(t ) y() [ y(0 ) y()]e
三要素
y(0+)
y()
τ
初始解 稳态值 时间常数
三要素法——根据三要素，直接写出一阶电路在直流激
励下的全响应。
一般步骤:
1. 利用换路定则以及KCL、KVL求出y(0+) ; 2. 在换路后的稳态电路中求出稳态分量y() ; 3. 利用戴维宁定理计算RC或RL串联电路的时间常数τ。
充电，求开关S闭合后uC(t)。
· S(t=0) R1
R3
US U1 R2 2U1
解: 电容原未充电
·a
C uC(t)
·
b
uC (0 ) = uC (0 ) = 0V
动态电路的时域分析
移去电容，求一端口a、b的戴维宁等效电路：
· R1
R3
·a
C
C
US U1 R2
2U1
·b
·a
Req uoc
·b
动态电路的时域分析
并画波形图。
补充：
当换路时间发生在t=0时刻， 则根据三要素法可得:
t
5-4、5一阶电路的零状态响应和三要素法1(new)(乙)
−
t
τ
u
C (0 )=U0
uC (= t ) U S + Ae
τ
τ =RC
− t
由起始值定A
uC (0+)=A+US=U0
uC = U S + (U 0 − U S )e
∴ A=U0 - US
t≥0
τ
(1). 全响应 = 强制分量(特解、稳态解)+自由分量(齐次解、暂态解)
uC (t ) =U S + (U 0 − U S )e
(0 < t ≤ 0.2)
i (A) 5 2 0.2 1.26 t(s)
i (t )= 5 − 3.74e −2(t −0.2) A ( t ≥ 0.2)
)A 例：某一阶电路在阶跃函数US 1(t) 激励下响应 i (t ) = (4 − 3 e 若将其初始状态量增加为二倍，此响应变为？ 若将激励增加为三倍，此响应变为？ 若将其初始状态量增加为二倍，同时将激励增加为三倍， 此响应变为？ i (t ) = 2 × i (t ) + i (t )
零状态响应
−
τ
(t ≥ 0)
零输入响应
uC
US U0 0
全响应
零状态响应
t
零输入响应
二.
df (t ) + bf (t ) = u (t ) 一阶电路的数学模型是一阶微分方程：a dt
其解答一般形式为： 令 t = 0+
三要素法分析一阶电路
= f (t )
f (0+ = )
f P (t ) + A e
t ≥ t1
§5-5
一阶电路的全响应和三要素法
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一阶动态电路的三要素法
一阶动态电路是指电路中只有一个电感或一个电容元件的电路，在分析这种电路时可以使用三要素法。
三要素法是一种基本的电路分析方法，它利用电路中三个基本元件（电源、电感、电容）的电压或电流关系来描述电路中的动态行为。
在使用三要素法时，需要使用线性微分方程来描述电路中的电压和电流关系。
在使用三要素法时，需要按照以下步骤进行分析：
1.画出电路图，并确定电路中的电压和电流的参考方向。
2.根据电路图和电压和电流的参考方向，写出电路中的基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律等式。
3.根据电路元件的特性方程，写出电感或电容元件的电流和电压之间的关系。
4.将基尔霍夫定律和元件特性方程联立，并进行求解，得到电路中的电流和电压随时间变化的函数关系。
5.根据所求得的电流和电压随时间变化的函数关系，来分析电路的动态行为。
在使用三要素法进行电路分析时，首先需要根据电路图和电压、电流的参考方向写出基尔霍夫定律方程，例如，在一个带有电感元件和电源的串联电路中，可以根据基尔霍夫电压定律写出方程：
\[V_L-V_s=0\]
其中\(V_L\)是电感元件的电压，\(V_s\)是电源的电压。
接下来，根据电感元件的特性方程写出电感元件的电流和电压之间的关系，例如：
\[V_L = L \frac{di_L}{dt}\]
其中\(L\)是电感元件的感值，\(di_L\)是电感元件的电流微分，
\(dt\)是时间微分。
将基尔霍夫定律方程和元件特性方程联立，并进行求解，可以得到电路中的电流和电压随时间变化的函数关系。
例如，可以得到电感元件的电流随时间变化的函数关系：
\[i_L(t) = \frac{V_s}{L} \cdot t + i_L(0)\]
其中，\(i_L(0)\)是初始时刻电感元件的电流。
最后，根据所求得的电流和电压随时间变化的函数关系，来分析电路的动态行为。
例如，在一个带有电感元件和电源的串联电路中，可以根据电压随时间变化的函数关系来分析电路中电压的变化情况。
通过上述步骤，可以使用三要素法对一阶动态电路进行分析。
这种方法直观、简单易懂，适用于分析电路中的基本动态行为。