梁的正应力
6第六章-梁的应力详解精选全文完整版
需要注意的是，型钢规格表中所示的x轴是我们所标示 的z轴。
Ⅱ. 纯弯曲理论的推广
工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面
由于切应力的存在而发生翘曲。此外，横向力还使各纵向
线之间发生挤压。因此，对于梁在纯弯曲时所作的平面假
设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。但弹性
力学的分析结果表明，受分布荷载的矩形截面简支梁，当
A
将
E
y
r
代入上述三个静力学条件，有
FN
dA E
A
r
y d A ESz
A
r
0
(a)
M y
z d A E
A
r
yz d A EIyz
A
r
0
(b)
M z
y d A E
A
r
y2 d A EIz
A
r
M
(c)
以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相 关的几何量，统称为截面的几何性质，而
图b所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力[]=152 MPa 。试
选择工字钢的号码。
(a)
(b)
解：在不计梁的自重的情况下，弯矩图如图所示 Mmax 375kN m
强度条件 Mmax 要求：
Wz
Wz
M max
梁的正应力
点的正应力；
1m
2m
1
（2）此截面上的最大正应力； （3）全梁的最大正应力；
12 z
120 y
180 30
（4）已知 E = 200 GPa，
求1—1截面的曲率半径。
1 q=60kN/m
A
1m
2m
1
+
M
qL2
8 M1 Mmax
180 30
12 z
120 y
解：1 画 M 图求有关弯矩
B
M1
( qLx 2
( A) max (a) max (b) max (c)； (B) max (a) max (b) max (c)； (C) max (a) max (b) max (c)； (D) max (a) max (b) max (c)。
[σ] ＝160MPa ，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才能保证两台吊 车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？
200kN吊车
150kN吊车
2 x 2.667
2.确定工字钢型号
A
C 辅助梁
B Mmax A 200l 2.667 266.6kNm
FA
F
x
FB Mmax B 150 2 300kNm
A
0
M y
zdA
A
E
A
zydA
0
M z
ydA
A
E
A
y 2 dA
EIZ
1 MZ
EIZ
Mzy
Iz
M
M
中性轴
工程力学梁的正应力强度条件及其应用1
ymax
对矩形截面
Wz
bh3 12 h2
bh2 6
Wz
bh2 6
对圆形截面
Wz
d 4
d
64 2
d 3
32
Wz
d 3
32
各种型钢的截面惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz的 数值，可以在型钢表中查得。
为了保证梁能安全的工作，必须使梁横截面上的
最大正应力不超过材料的许用应力，所以梁的正应力
强度条件为
σmax
M max Wz
σ
二、三种强度问题的计算
σmax
M max Wz
σ
（1）强度校核 （2）选择截面 （3）确定许用荷载
σmax
M max Wz
σ
Wz
M max σ
M max Wz σ
例题10-2 一矩形截面简支木梁如图所示，已知l=4m， b=140mm，h=210mm，q=2kN/m，弯曲时木材的许 用正应力[σ]=10MPa，校核该梁的强度。
σc,max
MC Iz
y1
2.7 103 0.072 0.573105
33.9 106 Pa
33.9MPa [σc]
由以上分析知该梁满足强度要求。
例题10−4 如图所示的简支梁由工字钢制成，钢的 许用应力[σ ]=150MPa，试选择工字钢的型号。
解：先画出弯矩图如图b所示。 梁的最大弯矩值为
y1
1.8103 0.072 0.573105
22.5106 Pa
22.5MPa
梁正应力
8 hb2
12MPa
6
例题3：图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝
2m。T形截面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝
1.02×108mm4。求弯矩最大截面上的最大拉应力和y最大压应力。
F
150
A
B
L
L
2
2
M max
FL 4
16kNm
y max
200
例题1:长为L的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F， 已知b＝120mm，h＝180mm、L＝2m，F＝1.6kN，试
求B截面上a、b、c各点的正应力。
A L2
F
h6
B
C
L2
h2
()
1 FL h
FL
a
M B ya IZ
2 bh3
3
1.65MPa
b 0
c
M B yc IZ
12
1 FL h
2 bh3
2
2.47MPa （-）
12
a
bh
c b
1 M B 2 FL
IZ
bh3 12
例题2：试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的 最大正应力，并加以比较。
q 2 kN m
200
100
4m qL2
200 100
8
竖放
qL2
max
M max WZ
8 bh2
6MPa
横放
6
qL2
max
M max WZ
一 基本概念与假设
1 纯弯曲与横力弯曲 纯纯弯弯曲曲：: 横截面上弯矩为常量，而切力为零。
A
横横力力弯弯曲曲：: 横截面上既有弯矩，又有切力。
梁的应力计算
Mmax WZ
§6-2 梁的正应力强度条件及其应用
q=2kN/m
A
xm
FAY
C
l = 4m
例题6-2
140
[σ]=10MPa，试校核该梁
B
的强度。
x
210
FBY
解：1. 求支反力 FAy 4kN FBy 4kN
M
ql2 / 8 4kN m
2. 求最大弯矩
Mmax
ql2 8
4kN m
物理关系 E E y
静力学关系
1 M
EI
Z
1
为曲率半径， 为梁弯曲变形后的曲
正应力公式 My (6-6)
率
IZ
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
正应力分布
My
IZ M • 正应力大小与其到
中性轴距离成正比；
• 与中性轴距离相等 的点， 正应力相等；
• 中性轴上,正应力等于零
M
max
bh3 12
Wz
bh2 6
Wz
D3
32
(1 4 )
Wz
( b0 h03 12
bh3 12
) /(h0
/
2)
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
横力弯曲
弹性力学精确分析表明， 当跨度 l 与横截面高度 h 之 比 l / h > 5 （细长梁）时， 纯弯曲正应力公式对于横力 弯曲近似成立。
§6-1 梁的正应力
2.离中性轴最远处
3.变截面梁要综合考虑 M 与 Iz
4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑
t,max t
c,max c
§6-2 梁的正应力强度条件及其应用
根据弯曲正应力强度条件
梁应力强度计算
第五章 平面弯曲梁的强度
内容： 梁的应力、强度计算
τ→FS
z
dA
FS y
σ→M
M
z
dA
dA
y
M =∫yσσd
A
§5.1 梁的正应力
一、纯弯曲梁横截面上的正应力
F
F
a
l
a
FS F
M
x
F Fa
x
FS M
纯弯曲梁
Me
l
x
Me
450×0.03 2×45×10－9
=150
MPa
（－）
习题5-13 当20号槽钢受纯弯曲变形时，测出A、B两点间长度
Δl=27×10－3mm，材料的E=200GPa。试求梁截面上的弯矩M。
解：
50
5
M
AB
M
●
●
ε=
Δl l
=
27×10－3 50
=5.4×10－4
σ=Eε=200×109×5.4×10－4=108MPa
BC段： d2 ≥ 3
32×455×103 π140×106
= 321 mm
取: d1=250mm d2=322mm
例11. 已知：[σ]=160MPa，[τ]=100MPa，
试选工字钢梁的型号。
解： Fsmax=6kN
1.σ计算：
σmax =
M max Wz
≤ [σ]
M max = 8 kN • m
=
1 2
qab+
1 8
qb2
=
0.02375q
N
•
m
梁的正应力强度计算.
§7-2 梁的正应力强度计算一、最大正应力在强度计算时，必须算出梁的最大正应力。
产生最大正应力的截面，称为危险截面。
对于等直梁，弯矩最大的截面就是危险截面。
危险截面上的最大应力处称为危险点，它发生在距中性轴最远的上、下边缘处。
对于中性轴是截面对称轴的梁，最大正应力的值为：maxmax max zM y I σ=令zz maxI W y =，则 maxmax zM W σ=式中z W 称为抗弯截面系数，是一个与截面形状和尺寸有关的几何量。
常用单位是m 3或mm 3。
z W 值越大，max σ就越小，它也反映了截面形状及尺寸对梁的强度的影响。
对高为h 、宽为b 的矩形截面，其抗弯截面系数为：32z z max /12/26I bh bh W y h ===对直径为d 的圆形截面，其抗弯截面系数为：43z z max /64/232I d d W y d ππ===对于中性轴不是截面对称轴的梁，例如图7-9所示的T 形截面梁，在正弯矩M 作用下梁下边缘处产生最大拉应力，上边缘处产生最大压应力，其值分别为：+1max z My I σ=2maxzMy I σ-=令z 11I W y =、z 22IW y =，则有： +max 1M W σ=max2M W σ-=maxσ-图7-9二、正应力强度条件为了保证梁能安全地工作，必须使梁截面上的最大正应力max σ不超过材料的许用应力，这就是梁的正应力强度条件。
现分两种情况表达如下：1、材料的抗拉和抗压能力相同，其正应力强度条件为：maxmax z[]M W σσ=≤ 2、材料的抗拉和抗压能力不同，应分别对拉应力和压应力建立强度条件：+maxmax 1[]M W σσ+=≤ max max2[]MW σσ--=≤ 根据强度条件可解决有关强度方面的三类问题：1）强度校核：在已知梁的材料和横截面的形状、尺寸（即已知[]σ、z W ）以及所受荷载（即已知max M ）的情况下，可以检查梁是否满足正应力强度条件。
纯弯曲梁的正应力实验报告
姓名：班级：学号：实验报告纯弯曲梁的正应力实验一、实验目的：1.测定梁在纯弯曲时横截面上正应力大小和分布规律2.验证纯弯曲梁的正应力公式二、实验设备及工具：1.材料力学多功能试验台中的纯弯曲梁实验装置2.数字测力仪、电阻应变仪三、实验原理及方法：在纯弯曲条件下，根据平面假设和纵向纤维间无挤压的假设，可得到梁横截面上任意一点的正应力，计算公式：σ=My/I z为测量梁横截面上的正应力分布规律，在梁的弯曲段沿梁侧面不同高度，平行于轴线贴有应变片。
贴法：中性层一片，中性层上下1/4梁高处各一片，梁上下两侧各一片，共计五片。
采用增量法加载，每增加等量荷载△P（500N）测出各点的应变增量△ε，求的各点应变增量的平均值△ε实i，从而求出应力增量：σ实i=E△ε实i将实验应力值与理论应力值进行比较，已验证弯曲正应力公式。
四、原始数据：五、实验步骤：1.打开应变仪、测力仪电源开关2.连接应变仪上电桥的连线，确定第一测点到第五测点在电桥通道上的序号。
3. 检查测力仪，选择力值加载单位N或kg，按动按键直至显示N上的红灯亮起。
按清零键，使测力计显示零。
4.应变仪调零。
按下“自动平衡”键，使应变仪显示为零。
5.转动手轮，按铭牌指示加载，加力的学生要缓慢匀速加载，到测力计上显示500N，读数的学生读下5个测点的应变值，（注意记录下正、负号）。
用应变仪右下角的通道切换键来显示第5测点的读数。
以后，加力每次500N，到3000N 为止。
6.读完3000N应变读数后，卸下载荷，关闭电源。
六、实验结果及处理：1.各点实验应力值计算根据上表数据求得应变增量平均值△εPi，带入胡克定律计算各点实验值：σ实i=E△εPi×10-62.各点理论应力值计算载荷增量△P=500N弯矩增量△M=△P/2×a应力理论值计算σ理i=∆M∙YiI z（验证的就是它）3.绘出实验应力值和理论应力值的分布图以横坐标表示各测点的应力σ实和σ理，以纵坐标表示各测点距梁中性层的位置。
材料力学04梁截面正应力
y
M
这表明，直梁的横截面上的 正应力沿垂直于中性轴的方向按 直线规律变化(如图)。 11
三、静力学方面
横截面上的应力合成内力，则
FN d A
A
(d)
M y z d A
A
M z y d A
A
12
EI yz E M y z d A yz d A 0 A A
所以梁的强度由最大拉应力控制:
33
C截面：
F 3 2 m 13410 m M C 134103 m 4 t,max 30106 Pa Iz Iz
F 24.6kN
B截面：
F 3 2 m 8610 m M B 86103 m 2 t,max 30106 Pa Iz Iz
F 19.2kN
所以，该梁的许可荷载为[F]=19.2 kN。
34
§4-5 梁横截面上的切应力· 梁的切 应力强度条件
Ⅰ. 梁横截面上的切应力
• • • • 矩形截面梁 工字形截面梁 薄壁圆环形截面梁 圆截面梁
研究表明：截面上各点的切应力不相等
求解的理论根据：切应力互等定理
35
一、矩形截面梁
29
根据强度条件要求：
Wz M max
375 kN m 2460106 m3 152106 Pa
由型钢规格表查得56b号工字钢的Wz为
Wz 2447cm3 2447106 m3
此值虽略小于要求的Wz但相差不到1%，故 可以选用56b工字钢。
工程实践中，如果最大工作应力超过许用应力 不到5%，则通常还是允许的。
建筑力学第12章梁的应力
b1b2 yd bb2 dx
d 1 dx
m
o1 b m1
o2
y dx
y
b2
b1 n1
——纯弯曲时应变分布规律
y
z M
Hooke定律： E
E E
y
dA
——纯弯曲时应力分布规律
沿梁高线性分布，中性轴上为零，外边缘上最大
E 中性轴必然通过截面的形心
强度条件： 1－ 2＋ 3
适用于脆性材料
最大剪应力理论（第三强度理论） 破坏条件： max 达到危险值
max 1 3
2
强度条件： 1 3
适用于塑性材料
形状改变比能理论（第四强度理论）
引起单元体形状改变的能量超过危险值 破坏条件：
强度条件： ＋ － 1 3
2 1 2 3
适用于塑性材料
l
+
100kN 100kN 2m 2m 2m
-
q
* z *
*
I z：横截面对中性轴的惯性矩
b：横截面的宽度
QS Izb
b h2 2 * * * Sz A y y 2 4 h 1 h b y 2 2 2 1 3 I z bh 12
* z
* z
y
m2
3.6 kN
m
3.6 kN
m
max
5m
M max Wz
M max
1 2 1 ql 3.6 25 11.25 kN m 8 8
W z 2 39.7 103 79.4 106 m 3
工程力学 第九章 梁的应力及强度计算
1、矩形截面梁纯弯曲时的变形观察
现象：
（1）变形后各横向线仍为直线，只是相对旋转了一个角度，且与变形后的梁轴曲线保持垂直，即小矩形格仍为直角；
（2）梁表面的纵向直线均弯曲成弧线，而且，靠顶面的纵线缩短，靠底面的纵线拉长，而位于中间位置的纵线长度不变。
对剪应力的分布作如下假设：
(1)横截面上各点处剪应力均与剪力Q同向且平行；
(2)横截面上距中性轴等距离各点处剪应力大小相。
根据以上假设，可推导出剪应力计算公式：
式中:τ—横截面上距中性轴z距离为y处各点的剪应力；
Q—该截面上的剪力；
b—需求剪应力作用点处的截面宽度；
Iz—横截面对其中性轴的惯性矩；
Sz*—所求剪应力作用点处的横线以下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。
应力σ的正负号直接由弯矩M的正负来判断。M为正时，中性轴上部截面为压应力，下部为拉应力；M为负时，中性轴上部截面为拉应力，下部为压应力。
第二节 梁的正应力强度条件
一、弯曲正应力的强度条件
等直梁的最大弯曲正应力，发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的各点处，即
对于工程上的细长梁，强度的主要控制因素是弯曲正应力。为了保证梁能安全、正常地工作，必须使梁内最大正应力σmax不超过材料的许用应力[σ]，故梁的正应力强度条件为：
圆形截面横梁截面上的最大竖向剪应力也都发生在中性轴上，沿中性轴均匀分布。
其它形状的截面上，一般地说，最大剪应力也出现在中性轴上各点。
结合书P161-162 例8-3进行详细讲解。
五、梁的剪应力强度校核
梁的剪应力强度条件为：
在梁的强度计算时，必须同时满足弯曲正应力强度条件和剪应力强度条件。但在一般情况下，满足了正应力强度条件后，剪应力强度都能满足，故通常只需按正应力条件进行计算。
梁的纯弯曲正应力实验报告
梁的纯弯曲正应力实验报告梁的纯弯曲正应力实验报告引言：梁是一种常见的结构元件，广泛应用于建筑、桥梁和机械等领域。
在实际使用中，梁常常会承受弯曲载荷。
了解梁在弯曲载荷下的力学性能对于设计和优化结构非常重要。
本实验旨在通过纯弯曲实验，研究梁在弯曲过程中的正应力分布规律。
实验原理：在纯弯曲实验中，梁在两端受到相等大小的力矩作用，使梁产生弯曲变形。
根据梁的几何形状和力学性质，可以推导出梁在弯曲过程中的正应力分布规律。
根据梁的截面形状和材料性质，可以计算出梁在不同位置的正应力值。
实验装置：本实验使用了一台弯曲试验机和一根标准梁。
弯曲试验机通过施加力矩，使梁产生弯曲变形。
标准梁的截面形状和材料性质已知，可以用于测量和计算梁在不同位置的正应力。
实验步骤：1. 将标准梁放置在弯曲试验机上，并固定好。
2. 调整弯曲试验机的参数，使两端施加相等大小的力矩。
3. 在梁上选择几个不同位置，使用应变计测量该位置的应变值。
4. 根据应变值和标准梁的材料性质，计算出该位置的正应力值。
5. 重复步骤3和步骤4，测量和计算其他位置的正应力值。
6. 绘制出梁在不同位置的正应力分布曲线。
实验结果：通过实验测量和计算，得到了梁在不同位置的正应力值。
根据实验数据，可以绘制出梁在弯曲过程中的正应力分布曲线。
实验结果显示，梁在上表面受压，下表面受拉，且最大正应力出现在梁的截面中心位置。
正应力随着距离截面中心的距离增加而逐渐减小。
讨论和分析：通过实验结果的分析，可以得出以下结论：1. 梁在弯曲过程中受到的正应力分布规律符合理论推导的结果。
2. 梁的截面形状和材料性质对正应力分布有重要影响。
不同形状和材料的梁，在相同弯曲载荷下，其正应力分布可能存在差异。
3. 梁的弯曲变形会导致正应力集中。
在梁的截面中心位置，正应力达到最大值。
因此，在设计和优化梁结构时，需要考虑正应力集中问题。
结论：本实验通过纯弯曲实验，研究了梁在弯曲过程中的正应力分布规律。
实验结果表明，梁在上表面受压，下表面受拉，且最大正应力出现在梁的截面中心位置。
第七章梁的应力和强度计算
M
qL2/8
x
+
2 2 q L3 6 0 3 0 M 40 N 5 max 8 8
29
q=3.6kN/m
求最大应力并校核强度
M M 6 4050 max 6 max s 2 max 2 W b h 0 . 1 2 0 . 1 8 z
qL 2
Q
6 .2 5 MP 7 MP a [ s a ]
+
–
qL 2
x
F .5 5400 Smax 1 tmax 1 .5 A 0 .1 2 0 .1 8 0.375MP 0.9MP a [ t] a
应力之比
M
qL2/8 +
x
s 2 A L max M max 1. 6 7 t Q h 30 max W z 3
• • • •
梁的应力种类 正应力计算 应力强度条件及应用 切应力计算
31
s 30 MP , s a 60 MP t c T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。
试校核梁的强度。
综合题
分析： 非对称截面，要寻找中性轴位置 作弯矩图，寻找需要校核的截面 要同时满足
s s ,s
t , m0 30 1 2
例7.2.1 受均布载荷作用的简支
梁如图所示，试求： （1）1—1截面上1、2两点的 正应力； （2）此截面上的最大正应力；
（3）全梁的最大正应力；
（4）已知E=200GPa，求1—1 截面的曲率半径。
qL 8
2
120 y +
z
M M1 Mmax
x
解：画M图求截面弯矩
b
d
3 bh 2 Iz bh 12 矩形 W z h y 6 max 2
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查表
N0 12.6工字钢
15 3.75
WZ=77.5cm3
kN
28.1
kNm
13.16
例题 4.25
铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F＝20kN。梁 的截面为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应 力和压缩许用应力分别为[σ]+＝40MPa， [σ]－＝100MPa。试 校核梁的强度是否安全。 y
o
IZ:截面对中性轴的惯性矩
z
m
dx
n
y
Mzy Iz
max
Mz Wz
M
M
max
M x Wz
中性轴
正应力计算公式适用范围
M Iz
y
横力弯曲时，截面上有切应力，平面假设不严格成立 但当梁跨度 l 与高度 h 之比大于5（即为细长梁）时 弹性力学指出：上述公式近似成立 截面惯性积 Iyz = 0 推导时用到郑玄-胡克定律，但可用于已屈服的梁截面
WZ
M max B
1.875 1.86 1.875
1.875 10 cm
3
3
100
％
0.8％
例题 4.27
图示结构承受均布载荷，AC为10号工字钢梁，B处用直 径d=20mm的钢杆BD悬吊，梁和杆的许用应力[σ] ＝ 160MPa 。不考虑切应力，试计算结构的许可载荷[q]。
FL
h
IZ
bh
3
12
2 3 3 bh 12
1.65MPa
1
b 0
c
M B yc IZ
FL
h
2 3 2 bh 12
2.47MPa
（压）
例题 4.21
试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大 正应力，并加以比较。
q 2 kN m
200
100
200
4m
100
竖放
max
F
150
A
B
50
96 . 4
l 2
l 2
200
C
z
M max
FL 4
50
16kNm
ymax 200 50 96.4 153.6mm ymax 96.4mm
max
My max IZ My max IZ
24.09MPa
max
15.12MPa
qL 8
2
qL
2
M max WZ
8 6MPa 2 bh 6
横放
qL
2
max
M max WZ
8 12MPa 2 hb 6
例题 4.22
图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝2m。T形 截面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。求 弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。 y
150 kN 吊车
200 kN 吊车
1.确定F加在辅助梁的位置
A
B
C
F
l
辅助梁
x
M
A
0
FP l x FB l F l x 0 FB l
FA
FB
MB 0
F Fx FAx FAl 0 l
令: FA
Fx l
200kN
FB
F l x l
1 2
M1 y Iz 10 61.7 MPa
5
120 y
60 60 5.832
1max
max
M1 Wz
60 6.48
10 92.6MPa
4
M max Wz
67.5 6.48
10 104.2MPa
4
3 求曲率半径
1
EI z M1
A
(-) B
D
(+) 10kN*m
y2
C
拉应力
a
e
压应力
y1
压应力 B截面
b
d
拉应力 D截面
危险点：
a, b, d
（3）计算危险点应力 拉应力
a
e
压应力
校核强度
a
M B y2 Iz
M B y1 Iz
30 MPa （拉）
压应力 B截面
b
d
拉应力
D截面
b
最大压应力：
70 MPa （压）
3
B
M By y IZ
12 10 250 96.4 18.07MPa 1.02
3
例题 4.26
为了起吊重量为F＝300kN的大型设备，采用一台150kN和一台 200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的 附加悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度l=4m，型钢材料的 许用应力[σ] ＝160MPa ，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才 能保证两台吊车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？
c max b 70 MPa [ c ]
最大拉应力：
d
M d y1 Iz
t max d 35 MPa [ t ]
梁的强度符合要求
35 MPa （拉）
150kN
2 x 2.667
x 2.667m
x 2m
为了起吊重量为F＝300kN的大型设备，采用一台150kN和一台 200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的附加 悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度l=4m，型钢材料的许用应力 [σ] ＝160MPa ，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才能保证两台吊 车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？
F
B
C
A
B
A
50
150
2F
1400 600
96 . 4
z
200
12kNm
50
A
16kNm
M Ayl IZ
16 10 250 96.4 24.09MPa 8 1.02 10
3
A
M Ay y IZ
16 10 96.4 15.12MPa 8 1.02 10
FN dA
A
m
n o
dA
z
y
E E
ydA
A
0
o
z
M y zdA
A A
E
zydA 0 y dA
2
A
m
dx
n
d
y
M z ydA
1 MZ EI Z
EI Z
A
dx
y
Mzy Iz
M
M
中性轴
MZ:横截面上的弯矩
m
n o
dA
z
y
y:到中性轴的距离
200 5.832 60
10 194.4m
例2
外伸梁
P＝20kN q=10kN/m y2
A
B
2m 2m
D
2m
E
C
y1
T形梁截面，用铸铁制成，
I z 4.0 10 mm , y1 140mm,
7 4
y2 60mm
[ t ] 35 MPa, [ c ] 100 MPa
m
n
线,变形后仍为直线，且仍与弯曲 了的纵向线正交，但两条横向线 间相对转动了一个角度。
平面假设：
变形前杆件的横截面变形后仍 为平面。
中性层
中性轴：
m
n
中性层与横截面的交线称 为中性轴。
o1 o2
m
中性轴
n
F
F
m
n
y d d
d
y
m
n
M
M
中性轴
E y E
B M ( qLx qx ) 1 2 2 2m + M
qL 8
2
2
x 1
60kNm
M max qL / 8 67.5kNm
2
x
2 求应力
Iz
bh
3
5.832 10 m
5
4
12
4
M1 Mmax 180 30
Wz I z / ymax 6.48 10
m
3
1
2 z
梁横截面上的正应力.梁的正应力条件
纯弯曲时梁横截面上的正应力
a
A
C
F
F
a
D B
F
F
纯弯曲：梁 受力弯曲后，如 其横截面上只有 弯矩而无剪力， 这种弯曲称为纯 弯曲。
Fa
实验现象：
F F
1、变形前互相平行的纵向直线、
m
n
变形后变成弧线，且凹边纤维缩 短、凸边纤维伸长。
2、变形前垂直于纵向线的横向
D
d
FA
3q 4
kN
FB
9q 4
kN
q
A B
FB
C
梁的强度
M max WZ 0.5q WZ
FA
2m
1m
1 2
q
q
WZ 0.5
15.68kN / m
9q 4 1 4