高考数学函数的基本性质

第二节 函数的基本性质

高考试题

考点一 函数的单调性

1.(2012年山东卷,理3)设a>0且a ≠1,则“函数f(x)=a x

在R 上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x 3

在R 上是增函数”的( )

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

解析:若函数f(x)=a x

在R 上为减函数,则有0

在R 上是增函数,则有2-a>0,所以a<2,

所以“函数f(x)=a x 在R 上为减函数”是“函数g(x)=(2-a)x 3

在R 上是增函数”的充分不必要条件.故选A. 答案:A

2.(2012年广东卷,理4)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( )

(A)y=ln(x+2) (C)y=(

12

)x

(D)y=x+

1x

解析:函数y=ln(x+2)在区间(0,+∞)上为增函数;函数(0,+∞)上为减函数;函数y=(12

)x

在区间(0,+∞)上为减函数;函数y=x+1

x

在区间(0,+∞)上为先减后增函数.故选A. 答案:A

3.(2011年重庆卷,理5)下列区间中,函数f(x)=|ln(2-x)|,在其上为增函数的是( ) (A)(-∞,1] (B)[-1,

43

] (C)[0,

32

) (D)[1,2)

解析:法一 由题知,f(x)=()()ln 2,12,

ln 2, 1.

x x x x ⎧--≤<⎪⎨-<⎪⎩

由复合函数的单调性可知,函数f(x)在[1,2)递增,在(-∞,1)递减.故选D.

法二 用图象法解决,将y=ln x 的图象关于y 轴对称得到y=ln(-x)的图象,再向右平移两个单位,得到y=ln(-(x-2))的图象,将得到的图象在x 轴下方的部分翻折上来,即得到f(x)=|ln(2-x)|的图象.由图象,选

项中f(x)是增函数的显然只有D. 答案:D

4.(2010年安徽卷,理9)动点A(x,y)在圆x 2

+y 2

=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.已知

时间t=0时,点A 的坐标是(12),则当0≤t ≤12时,动点A 的纵坐标y 关于t(单位:秒)的函数的单调递增区间是( ) (A)[0,1] (B)[1,7] (C)[7,12] (D)[0,1]和[7,12]

解析:如图所示,数形结合.由题意知T=12秒,则动点A 转过30°圆心角用时1秒,

又t=0时A(

12),∴∠AOD=60°, 由图形看出,由A 到B 与由C 到A 时,y 为t 的增函数, ∴所求单调增区间为[0,1]和[7,12].故选D.

答案:D

5.(2011年上海卷,理20)已知函数f(x)=a·2x+b·3x,其中常数a,b满足ab≠0.

(1)若ab>0,判断函数f(x)的单调性;

(2)若ab<0,求f(x+1)>f(x)时x的取值范围.

解:(1)当a>0,b>0时,任意x1,x2∈R,

令x1

f(x1)-f(x2)=a(12x-22x)+b(13x-23x),

∵12x<22x,a>0⇒a(12x-22x)<0,

1

3x<23x,b>0⇒b(13x-23x)<0,

∴f(x1)-f(x2)<0,函数f(x)在R上是增函数.

当a<0,b<0时,同理,函数f(x)在R上是减函数.

(2)f(x+1)-f(x)=a·2x+2b·3x>0,

当a<0,b>0时,(3

2

)x>-

2

a

b

,则x>log1.5(-

2

a

b

);

当a>0,b<0时,(3

2

)x <-

2

a

b

,则x

2

a

b

).

考点二函数的奇偶性

1.(2013年广东卷,理2)定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x中,奇函数的个数是( )

(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

解析:因f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),所以y=x3是奇函数,f(-x)=2sin (-x)=-2sin x=-f(x),

所以y=2sin x是奇函数,

由函数性质知y=2x是非奇非偶函数,y=x2+1是偶函数,所以奇函数的个数是2,故选C.

答案:C

2.(2011年广东卷,理4)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( )

(A)f(x)+|g(x)|是偶函数(B)f(x)-|g(x)|是奇函数

(C)|f(x)|+g(x)是偶函数(D)|f(x)|-g(x)是奇函数

解析:设h(x)=f(x)+|g(x)|,

∴h(-x)=f(-x)+|g(-x)|=f(x)+|g(x)|=h(x).

所以h(x)是偶函数.故选A.

答案:A

3.(2013年山东卷,理3)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+1

x

,则f(-1)等于( )

(A)-2 (B)0 (C)1 (D)2

解析:因为x>0时,f(x)=x2+1 x ,

所以f(1)=1+1=2.

又f(x)为奇函数,

所以f(-1)=-f(1)=-2.故选A.

答案:A

4.(2011年安徽卷,理3)设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)等于( )

(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3

解析:f(1)=-f(-1)=-[2(-1)2-(-1)]=-3.故选A.