高考数学函数的基本性质
函数的基本性质知识点总结
函数的基本性质知识点总结函数的基本性质基础知识：1.奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。
注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。
（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴成轴对称；②设()g x的定义域分别是12,D D，那么在它们f x，()的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇2.单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)（f(x1)>f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)。
（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。
高考数学中的函数基本性质及应用
高考数学中的函数基本性质及应用在高考数学中，函数是一个非常重要的概念。
作为数学的一门基础学科，函数贯穿于整个数学教育中，乃至于其他实用科学领域中。
为了成功地应对高考数学考试，在这篇文章中，我们将重点探讨函数基本性质及其应用。
函数的定义在数学中，函数是一种特殊的关系，由两个集合A 和B 构成，其中 A 称为自变量的定义域（domain），B 称为函数值域（range）。
函数的定义可以用符号表示为：f(x):A→B。
例如，我们可以定义一个简单的函数：f(x) = x²。
在这种情况下，我们可以说定义域为实数集，函数值域也为实数集，而每个自变量 x 对应一个函数值 x²。
函数的性质在高考数学中，有一些基本的函数性质需要牢记。
这些性质不仅是理解和解决函数问题的基础，也是解决其他高等数学问题的基础。
1. 单调性函数的单调性指的是函数在定义域内是否单调递增或者单调递减。
如果函数在定义域内是单调递增的，那么就是不论 x 和 y 取何值，只要 x>y，则 f(x)>f(y)。
同样，如果函数在定义域内是单调递减的，那么就是不论 x 和 y 取何值，只要 x>y，则 f(x)<f(y)。
2. 奇偶性函数的奇偶性是指函数图像在坐标系中是否关于原点对称。
如果函数是奇函数，那么 f(-x) = -f(x)。
如果函数是偶函数，那么 f(-x) = f(x)。
如果函数既不是奇函数也不是偶函数，那么它就是一般函数。
3. 周期性函数的周期性指的是函数图像是否可以沿 x 轴平移得到相似的图像。
如果函数是周期性的，那么就存在一个正数 p，满足对于所有 x∈定义域，f(x+p)=f(x)。
4. 对称性如果函数图像在点 (a, f(a)) 和 (-a, f(-a)) 对称，那么就称函数关于 a 点对称。
如果函数图像在点 (a, f(a)) 和 (a, -f(a)) 对称，那么就称函数关于 y 轴对称。
高二数高考必刷题
高二数高考必刷题高二数学高考必刷题（一）函数的基本性质1、函数的定义。
函数的定义是指给定若干个自变量x1,x2...xn，将它们按照某种规律，即函数的关系式y=f(x1,x2......xn)，表示成一对称值对(x1,y1),(x2,y2),...(xn,yn)，记为{(x,f(x))}，这样上述对称值对叫做函数f 关于(x1,x2...xn)的值。
2、函数的域。
函数的域指的是函数f关于(x1,x2...xn)的定义域，它是定义该函数的所有可以取得的值，一般以大括号与方括号表示，例如f(x)={x|x>0}表示f(x)的定义域为x>0的集合。
3、函数的值域。
函数的值域指的是函数f关于(x1,x2...xn)的可能取得的值，一般以大括号或者方括号表示，例如f(x)={y|y=x^2}表示f(x)的值域为y=x^2的集合。
（二）函数的初等求导1、常见的初等求导公式。
函数求导的基本原理是利用微分的定义，也就是用一个极小量Δx来进行拆分，从而推导出求导公式。
常见的初等求导公式有：sqrtx求导是1/2x^(-1/2);exp(x)求导结果是exp(x);lnx求导是1/x;cosx求导是-sinx;sinx求导是cosx;tanx求导是sec^2x等等。
2、怎样利用求导公式简便的求导函数？利用求导公式简便的求导函数需要做一些简单的变换，比如常见的链式法则，即对被求导函数先进行变换，用其他变换后的函数来求导，最后再进行变换，从而容易地求出求导函数。
比如，求sqrt(x)+lnx的导数，可以先将sqrt(x)+lnx变换成1/2x^(-1/2)+1/x，然后借助求导公式，求出答案-1/2x^(-3/2)+1/x^2，再进行变换，得到答案sqrtx-1/x。
（三）函数的导数的应用1、判断函数的单调性。
当函数的导数大于0时，函数是递增函数；当函数的导数小于0时，函数是递减函数；当函数的导数等于0时，函数可能也是递增也可能是递减函数，这取决于函数的二阶导数的大小。
高三函数基本知识点总结
高三函数基本知识点总结函数是高中数学中的重要概念，也是数学建模和解决实际问题的基础。
在高三阶段，学生需要掌握函数的基本知识点，并能够灵活运用于各种数学问题中。
本文将对高三函数的基本知识点进行总结。
一、函数的定义与表示方法函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素对应到另一个集合中的唯一元素。
函数的常见表示方法有显式表达式、隐式表达式、参数方程等。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数在定义域内的所有可能取值。
2. 奇偶性：函数的奇偶性与函数的对称性有关，可以通过奇、偶或无奇偶性来确定函数在坐标系中的对称性。
3. 单调性：函数的单调性描述了函数在定义域上的增减关系，包括增函数、减函数、严格增函数、严格减函数等。
4. 周期性：周期函数是指函数在一定范围内满足 f(x + T) = f(x) 的函数，其中 T 为正常数。
三、函数的图象与变换1. 函数图象：函数的图象是函数在坐标系中的表现形式，可以通过绘制函数的图象来研究函数的性质。
2. 基本变换：函数的基本变换包括平移、伸缩和翻转等，这些变换会改变函数的图象在坐标系中的位置和形状。
四、函数的运算1. 函数的加法与减法：两个函数的加法与减法是指将两个函数在相同自变量下对应的函数值相加或相减。
2. 函数的乘法与除法：两个函数的乘法与除法是指将两个函数在相同自变量下对应的函数值相乘或相除。
五、函数的解析式、图象与实际问题将函数与实际问题相结合，可以通过函数的解析式和图象来解决与函数相关的实际问题，如求最值、求方程的解、求参数的取值范围等。
六、常见函数类型1. 一次函数：一次函数是指函数的最高次数为 1 的函数，其形式为 f(x) = kx + b，其中 k 和 b 为常数。
2. 二次函数：二次函数是指函数的最高次数为 2 的函数，其形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 为常数。
3. 幂函数：幂函数是指函数的自变量是以常数为底的幂函数。
函数的基本性质及常用结论
函数的基本性质及常用结论一、函数的单调性函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式，求最值。
定义：（略）定理1：[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数. 定理2：（导数法确定单调区间） 若[]b a x ,∈，那么()[]b a x f x f ,)(0在⇔>'上是增函数； ()[]b a x f x f ,)(0在⇔<'上是减函数.1.函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法2.复合函数的单调性的判定对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当(),x a b ∈时(),u m n ∈，且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数(())y f g x =在区间(),a b 具有单调性。
3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数()f x 和()g x ，若它们的定义域分别为I 和J ，且I J ⋂≠∅：(1)当()f x 和()g x 具有相同的增减性时，①1()()()F x f x g x =+的增减性与()f x 相同，②2()()()F x f x g x =⋅、3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F xg x g x =≠的增减性不能确定； (2)当()f x 和()g x 具有相异的增减性时，我们假设()f x 为增函数，()g x 为减函数，那么：①1()()()F x f x g x =+、②2()()()F x f x g x =⋅、4()()(()0)()f x F x g x g x =≠、5()()(()0)()g x F x f x f x =≠的增减性不能确定；③3()()()F x f x g x =-为增函数。
高中数学函数知识点归纳
高中数学函数知识点归纳高中数学函数知识点归纳函数在高中数学中占据了非常重要的地位。
无论是在初中学习时，还是不同领域的工作和生活中，函数都有着重要的应用。
因此，在高中数学中，系统地学习函数知识点是很有必要的。
下面就对高中数学的函数知识点进行一个简单的归纳。
一、函数基本概念函数是将一个数集和另一个数集之间的对应关系，称作函数。
通常用f(x)表示，其中x称作自变量，f(x)称作函数值或因变量。
其中，自变量的取值有一定的范围，称作函数的定义域；函数的值域则是所有可能的函数值的集合。
二、函数的性质1.函数的单调性：单调递增和单调递减。
2.函数的奇偶性：奇函数和偶函数。
3.函数的周期性：周期函数。
4.函数的反函数。
5.函数的对称性：对称轴和中心对称。
三、函数的图像1.函数图像的表示方法：解析法和图像法。
2.函数的基本图像：常数函数、一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数和对数函数。
3.函数的平移和伸缩。
四、函数的应用1.函数模型。
2.函数的变化率。
3.函数的最值。
4.函数的极限。
5.导数。
以上就是高中数学中函数知识点的主要内容。
虽然这个知识点占据了高中数学的很大一部分，但是要想真正掌握函数知识，还需要大量的练习。
因此，在学习函数知识时，我们需要掌握以下几个技巧。
一、常常理解概念，注重基础学习函数知识时，首先需要掌握函数的基本概念，例如定义域、值域、单调性、图像等等。
这些基本概念很重要，是后续学习和应用的关键。
因此，我们需要常常理解这些概念，注重基础。
二、多观察函数图像，探讨函数性质函数的图像是我们理解函数性质的重要途径。
因此，在学习函数知识时，需要多观察函数图像，探讨函数的性质，例如函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等等。
通过对函数图像的观察和分析，我们可以更好地理解函数性质。
三、勤于练习，熟练掌握应用函数知识不仅仅是理论性的知识，还有很多实际应用。
因此，在学习函数知识时，我们需要勤于练习，熟练掌握函数的应用，例如函数模型、函数的变化率、函数的最值、函数的极限和导数等等。
高三数学常用函数及其性质总结
高三数学常用函数及其性质总结数学在高三阶段是一门非常重要的科目，而函数则是数学中的基础概念之一。
理解和掌握常用函数及其性质对于高三学生来说至关重要。
本文将对常用函数及其性质进行总结，以便帮助高三学生更好地理解和应用数学知识。
一、线性函数线性函数是最基本的函数之一，也是最容易理解的函数类型。
线性函数的一般形式为f(x) = kx + b，其中k和b为常数。
线性函数的性质包括：1. 函数图像为一条直线；2. 斜率k表示直线的倾斜程度，k>0时表示直线上升，k<0时表示直线下降；3. 平移性质：改变常数b的值可以使直线向上或向下平移。
二、二次函数二次函数是高中数学中较为复杂的一个函数类型。
二次函数的一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的性质包括：1. 函数图像为抛物线；2. 开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；3. 零点与顶点：求解f(x) = 0可得到二次函数的零点，顶点则位于抛物线的对称轴上。
三、指数函数指数函数是一种常见的非线性函数，其一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数且a>0且a≠1。
指数函数的性质包括：1. 函数图像为曲线，随着x的增大，函数值呈现指数级增长或衰减；2. 底数a决定了函数的增长或衰减速度，当0<a<1时，函数值随着x增大而逐渐减小；当a>1时，函数值随着x增大而逐渐增大。
四、对数函数对数函数是指数函数的逆运算，其一般形式为f(x) = logₐ(x)，其中a 为底数且a>0且a≠1。
对数函数的性质包括：1. 函数图像为曲线，和指数函数的图像呈镜像关系；2. 底数a决定了函数的性质，当0<a<1时，对数函数递增且函数值随着x的增大而逐渐减小；当a>1时，对数函数递增且函数值随着x的增大而逐渐增大。
五、三角函数三角函数是高中数学中重要的函数类型，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
高考数学函数的定义和性质
高考数学函数的定义和性质函数是高中数学中的重要概念之一。
它在高考数学中占有重要的地位，理解和掌握函数的定义和性质对于解题至关重要。
本文将从函数的定义、基本性质以及一些常见函数的性质等方面来进行阐述。
1. 函数的定义函数是一种特殊的关系，可以将一个集合中的每个元素与另一个集合中的唯一一个元素相关联。
用数学语言描述就是，对于集合A和B，如果存在一种规律，使得对于A中的每个元素a，都能找到B中唯一一个元素b与之对应，那么我们就可以说集合A和B之间存在一个函数f。
2. 函数的基本性质函数有一些基本的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性以及周期性等。
2.1 定义域和值域定义域是指函数能够取值的所有实数的集合，常用符号表示为D；值域是指函数所有可能取得的值的集合，常用符号表示为R。
2.2 单调性单调性指函数在定义域上的增减性质。
如果在定义域内任取两个实数a和b，并且a小于b，那么函数f(x)在a处的函数值f(a)和在b处的函数值f(b)之间的大小关系可以判断函数的单调性。
2.3 奇偶性函数的奇偶性是指函数关于原点(0,0)的对称性。
如果对于定义域上的任何实数x，有f(-x) = -f(x)成立，则称函数是奇函数；如果对于定义域上的任何实数x，有f(-x) = f(x)成立，则称函数是偶函数。
2.4 周期性周期性指函数在一定区间上具有重复性质。
如果存在一个正数T，使得对于定义域上的任何实数x，有f(x+T) = f(x)成立，则称函数具有周期性。
3. 常见函数的性质在高考数学中，有许多常见的函数，其中包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
每个函数都有其独特的性质，掌握这些性质对于解题非常有帮助。
3.1 一次函数一次函数的一般形式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。
一次函数的图像是一条直线，其特点是斜率恒定。
3.2 二次函数二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不为零。
高三 函数知识点
高三函数知识点函数是数学中的重要概念之一，在高中数学学习中占据着重要地位。
掌握函数的相关知识点对于高三学生来说至关重要。
本文将介绍函数的定义、性质、图像以及函数的类型等知识点。
一、函数的定义和性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的元素（称为自变量）映射到另一个集合中的元素（称为因变量）。
函数通常表示为y = f(x)，其中x为自变量，y为因变量。
函数具有以下基本性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量可能取值的集合，值域是函数映射到的因变量的集合；2. 单调性：函数可以是递增的或递减的；3. 奇偶性：函数可以是奇函数（满足f(-x) = -f(x)）或偶函数（满足f(-x) = f(x)）；4. 周期性：函数可以是周期函数，即存在正数T，使得对于任意x，有f(x+T) = f(x)。
二、函数的图像函数的图像是函数在平面直角坐标系上的几何表示。
通过观察函数的图像，可以获得关于函数性质的直观认识。
函数图像的特征包括：1. 增减性和极值：函数的图像在增减区间上表现为上升或下降的趋势，并在极值点上取得最大值或最小值；2. 过零点：函数的零点是函数图像与x轴的交点，对应于函数的解；3. 对称性：函数的图像可能具有对称性，如关于y轴的对称、关于原点的对称等；4. 渐进线：函数图像可能存在水平渐近线和垂直渐近线；5. 断点和间断点：函数图像上的断点表示函数在该点不连续，而间断点表示函数在该点不存在。
三、常见函数类型高中数学教学中常见的函数类型包括：1. 一次函数：y = kx + b，其中k和b为常数，表示直线函数；2. 二次函数：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，表示抛物线函数；3. 指数函数：y = a^x，其中a为底数大于0且不等于1，表示幂函数；4. 对数函数：y = loga(x)，其中a为底数大于0且不等于1，表示逆幂函数；5. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等；6. 绝对值函数：y = |x|，表示以原点为顶点的V型函数；7. 反比例函数：y = k/x，其中k为常数，表示反比例关系。
2023年高考数学客观题专题六 函数与导数
2.函数的奇偶性:
(1)奇函数、偶函数的定义:
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称
函数y=f(x)是偶函数;
如果对于函数则
称函数y=f(x)是奇函数.
(2)奇、偶函数的性质:
①偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
A∩B= (
)
A.(1,2)
B.[1,2]
C.[1,2)
D.(1,2]
【答案】D
【解析】由题意得x-1>0,解得x>1,则集合B={x|x>1}.
而集合A={x|-1≤x≤2},
于是A∩B={x|1<x≤2}.故选D.
6.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是( )
1
D.-4
)
3.若奇函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(3)=3,则f(-1)=
【答案】-3
【解析】y=f(x)的图象关于直线x=2对称,则f(3)=f(1)=3.
y=f(x)为奇函数,则f(-1)=-f(1)=-3.
.
1
4.函数f(x)=ln(+1)+
4 − 2 的定义域为
(
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数
y=f(x)有零点.
2.定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一
条曲线,并且有:f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即
存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
指数、对数的运算性质:
(1)幂的运算性质:aman=am+n;
高考数学-函数的基本性质
函数的基本性质知识梳理1) 函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数y f[g(x)]，令u g(x)，若y f(u)为增，u g(x)为增，则y f [ g(x)]为增；若y f(u)为减，u g(x)为减，则y f[g(x)]为增；若y f(u)为增，u g(x)为减，则y f[g(x)]为减；若 y f （u ）为减， u g （x ）为增，则 y f [ g （x ）]为减．f （x ） （2）打“√”函数 ax (a 0)x的图象与性质yf(x) 分别在( , a]、[ a,）上为增函数，分别在[ a,0) 、(0, a]上为减函数．（3）最大（小）值定义ox①一般地，设函数 yf （x ）的定义域为 I ，如果存在实数M满足：（1 ）对于任意的 x I ，都有 f（x ）M；（2）存在 x 0 I ，使得 f（x0） M．那么，我们称M 是函数f （x ）的最大值，记作 f max（x ） M②一般地，设函数 y f （x ）的定义域为 I ，如果存在实数 m 满足：（1）对于任意的 x I ，都有 f（x ） m（2）存在 x 0 I ，使得 f （x 0）m ．那么，我们称 m是函数f（x ）的最小值，记作fmax （x ） m．2）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数 f （x ）为奇函数，且在x 0处有定义，则f （0） 0．③奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．④ 在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数） ，两个偶函数（或奇函数） 的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．3) 函数的周期性定义】若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使 f (x T) f ( x)恒成立则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
高中数学基本函数性质汇总
1高中阶段常见函数性质汇总函 数 名 称：常数函数解析式 形 式：f (x )=b (b ∈R)图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线 定 义 域：R值 域：{b}单 调 性：没有单调性奇 偶 性：均为偶函数[当b =0时，函数既是奇函数又是偶函数]函 数 名 称：一次函数解析式 形 式：f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R)图象及其性质：直线型图象。
|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓；当b =0时，函数f (x )的图象过原点； 定 义 域：R 值 域：R单 调 性：当k>0时，函数f (x )为R 上的增函数； 当k<0时，函数f (x )为R 上的减函数；奇 偶 性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性；函 数 名 称：反比例函数解析式 形 式：f (x )=xk(k ≠0)图象及其性质：当k>0时，函数f (x )的图象分别在第一、第三象限； 当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限；双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线； 图象成中心对称图形，对称中心为原点；图象成轴对称图形，对称轴有两条，分别为y =x 、y =-x ； 定 义 域：),0()0,(+∞-∞ 值 域：),0()0,(+∞-∞单 调 性：当k>0时，函数f (x )为)0,(-∞和),0(+∞上的减函数；当k<0时，函数f (x )为)0,(-∞和),0(+∞上的增函数；奇 偶 性：奇函数函 数 名 称：二次函数解析式 形 式：一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f顶点式：)0()()(2≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为abx 2-=，顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --或),(h k ，与y 轴的交点为),0(c ；②当0>a 时，抛物线的开口向上，此时函数图象有最低点)44,2(2a b ac a b --；当0<a 时，抛物线的开口向下，此时函数图象有最高点)44,2(2ab ac a b --； ③当042>-=∆ac b 时，函数图象与x 轴有两个交点，当042=-=∆ac b 时，函数图象与x 轴有一个交点，当042<-=∆ac b 时，函数图象与x 轴没有交点； ④横坐标关于对称轴对称时，纵坐标相等；当0>a 时，横坐标距对称轴近则函数值小，当0<a 时，横坐标距对称轴近则函数值大；⑤函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 均可由函数)0()(2≠=a ax x f 平移得到；定 义 域：R值 域：当0>a 时，值域为),44(2+∞-a b ac ；当0<a 时，值域为)44,(2ab ac --∞ 单 调 性：当0>a 时，]2,(a b --∞上为减函数，),2[+∞-a b上为增函数； 当0<a 时，),2[+∞-a b 上为减函数，]2,(ab--∞上为增函数； 奇 偶 性：当0=b 时，函数为偶函数；当0≠b 时，函数为非奇非偶函数函 数 名 称：指数函数解析式 形 式：)1,0()(≠>=a a a x f x图象及其性质：①函数图象恒过点)1,0(，与x轴不相交，只是无限靠近；bc bx ++)1f (x )=a x2②函数xa x f =)(与xx a ax f -==)1()(的图象关于y 轴对称；③当1>a 时，y 轴以左的图象夹在在直线1=y 与x 轴之间，y 轴以右的图象在直线1=y 以上；当10<<a 时，y 轴以左的图象在直线1=y 以上，y 轴以右的图象夹在在直线1=y 与x 轴之间；④第一象限内，底数大，图象在上方；定 义 域：R 值 域：),0(+∞单 调 性：当0>a 时，函数为增函数；当0<a 时，函数为减函数； 奇 偶 性：无反 函 数：对数函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a函 数 名 称：对数函数解析式 形 式：)1,0(log )(≠>=a a x x f a图象及其性质：①函数图象恒过点)0,1(，与y 轴不相交，只是无限靠近； ②函数x x f a log )(=与x x x f a alog log )(1-==的图象关于x 轴对称；③当1>a 时，x 轴以下的图象夹在在直线1=x 与y 轴之间，x 轴以上的图象在直线1=x 以右；当10<<a 时，x 轴以下的图象在直线1=x 以右，x 轴以上的图象夹在在直线1=x 与y 轴之间；④第一象限内，底数大，图象在右方；定 义 域：R 值 域：),0(+∞单 调 性：当0>a 时，函数为增函数；当0<a 时，函数为减函数；[与系数函数的单调性类似，因为两函数互为反函数]奇 偶 性：无反 函 数：指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x函 数 名 称：对钩函数解析式 形 式：xx x f 1)(+= 图象及其性质：①函数图象与y 轴及直线x y =不相交，只是无限靠近；②当0>x 时，函数)(x f y =有最低点)2,1(，即当1=x 时函数取得最小值2)1(=f ；③当0<x 时，函数)(x f y =有最高点)2,1(--，即当1-=x 时函数取得最大值2)1(-=-f ；定 义 域：),0()0,(+∞-∞ 值 域： ),2[]2,(+∞--∞单 调 性：在]1,(--∞和),1[+∞上函数为增函数；在)0,1[-和]1,0(上函数为减函数； 奇 偶 性：奇函数反 函 数：定义域内无反函数 周 期 性：无xyOf (x )=)1(log >a x af (x )=)10(log <<a x a。
第05节+函数的基本性质(课件帮)2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)
条件 A．充分不必要 C．充分必要 【答案】A
B．必要不充分 D．既不充分也不必要
【解析】若函数 f x 在 R 上严格递增，对任意的 x1 、 x2 R 且 x1 x2 ， f x1 f x2 ，
由不等式的性质可得 f x1 x1 f x2 x2 ，即 g x1 g x2 ，
所以 a 0 ，即实数 a 的取值范围是 ,0 .故选：D
2．已知 y f x 在定义域 1,1 上是减函数，且 f 1 a f a2 1 ，则 a 的取值范围为（ ）
A．（0，1） 【答案】A
B．（-2，1）
C．（0， 2 ）
【解析】因为 y f x 在定义域 1,1 上是减函数，所以由
2
2
所以，“ f x 在 R 上严格递增” “ g x f x x在 R 上严格递增”.
因此，“ f x 在 R 上严格递增”是“ g x f x x在 R 上严格递增”的充分不必要条件.
故选：A.
方法技巧
定义法 一般步骤为设元—作差—变形—判断符号—得出结论 若f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调
f
x在
,
1 2
上单调递减，D
正确.故选：D.
7．（2020
年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））设函数
f
(x)
x3
1 x3
,则
f
(x)
（
）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增
B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增
D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
03
高中数学函数的性质知识点整理
一、函数（一）、函数的单调性1、定义：一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1 ,x 2，当x 1<x 2时,都有f(x 1)<f(x 2),那么就说函数f(x)在区间D 上是增函数； 当x 1<x 2时,都有f(x 1)>f(x 2),那么就说函数f(x)在区间D 上是减函数。
单调性定义的等价形式:设x 1，x 2∈[a,b],x 1≠x 2.(1)若有(x 1-x 2)[f(x 1)-f(x 2)]>0或>0，则f(x)在闭区间[a,b]上是增函数;(2)若有(x 1-x 2)[f(x 1)-f(x 2)]<0或<0，则f(x)在闭区间[a,b]上是减函数.2、常用结论(1)若f(x)，g(x)均为区间A 上的增(减)函数，则f(x)+g(x)也是区间A 上的增(减)函数. (2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反.(3)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x)，y=的单调性相反.(4)函数y=f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y=的单调性相同.(5)复合函数单调性的确定方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”. （二）、函数的奇偶性1．函数奇偶性的定义：函数()f x 的定义域必须关于原点对称，对定义域内的任意一个x 都满足 ①()()f x f x -=⇔函数()f x 为偶函数；②()()()()0f x f x f x f x -=-⇔-+=⇔函数()f x 为奇函数.2．奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；反过来如果一个函数的图像关于原点对称，则该函数为奇函数，若该函数的图像关于y 轴对称，该函数为偶函数. 3．函数奇偶性的性质①既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即()0f x =，x D ∈，其中定义域D 是关于原点对称的非空数集.②奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.即奇函数()f x 在区间[,](0)a b a b ≤<上单调递增（减），则()f x 在区间[,]b a --上也是单调递增（减）； ③偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.即偶函数()f x 在区间[,](0)a b a b ≤<上单调递增（减），则()f x 在区间[,]b a --上也是单调递减（增）； ④任意定义在R 上的函数()f x 都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和.即()()()()()22f x f x f x f x f x +---=+（三）、函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）特别的（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a bx +=轴对称; （3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称.本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称. 3、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 中心对称（当0a =时，恰好就是奇函数）; （2）()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称;（3）()f x a +是奇函数，则()()f x a f x a +=--+，进而可得到：()f x 关于(),0a 中心对称。
高考数学函数必考知识点总结
高考数学函数必考知识点总结高考数学中，函数是一个非常重要的部分。
对于学生来说，理解函数的概念，掌握函数的基本性质和重要公式是必须要掌握的，因为这些内容是高考数学考试的重点。
本文将为大家总结高考数学函数必考知识点，希望能够对大家复习和备考有所帮助。
一、函数的概念函数是一种数学关系，它将每一个自变量与唯一的因变量对应起来。
函数的形式可以用符号表示：y=f(x)，其中，x为自变量，y为因变量，f(x)为函数。
二、函数的性质1、奇偶性若对于任意x，f(-x)=f(x)，则函数为偶函数；若对于任意x，f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数。
2、单调性若对于任意的x1<x2，有f(x1)<f(x2)，则函数为增函数；若对于任意的x1<x2，有f(x1)>f(x2)，则函数为减函数。
3、周期性若存在正数T，对于任意的x，有f(x+T)=f(x)，则函数为周期函数。
其中，T为函数的最小正周期。
4、有界性若存在正数M，使得对于所有的x，有|f(x)|≤M，那么函数f(x)是有界函数。
三、常见函数1、幂函数幂函数是函数类型的一种，y=x^n。
2、指数函数指数函数是增长最快的一种函数，y=a^x。
3、对数函数对数函数是指数函数的逆运算，y=loga(x)，其中a>0且a≠1。
4、三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数。
它们的图像都是周期性的。
四、函数的图像1、函数图像的基本类型平移、伸缩、反转、异或等图像变化。
2、将函数图像与坐标轴联系起来比较优秀的方法是将函数图像和坐标轴的交点相互联系并分析它们的位置关系。
五、函数的基本运算1、函数的加减、积、商、合成运算函数与函数的加法、减法、乘法、除法和复合运算是函数的基本运算。
2、函数的反函数对于函数y=f(x)，若它在定义域上是单调增加的，则它存在唯一的反函数x=f^(-1)(y)，且它是单调增加的。
3、函数的复合函数的复合是指将一个函数作为另一个函数的自变量。
高中数学必修一——函数基本性质
高中数学必修一——函数基本性质引言：函数是高中数学中的重要知识点之一，它不仅在高考中占有一定比重，而且在大学数学、物理等学科中也应用广泛。
因此，学好函数是中学数学的重要任务之一。
本文将介绍函数的基本性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，同时提供20道以上的练习题，供读者参考。
一、函数的定义函数是一种特殊的映射关系，它把一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。
函数通常用符号f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数可以表示为f:A\rightarrow B，其中A是定义域，B是值域。
二、函数的基本性质1.定义域：函数的定义域是指所有可以输入函数的自变量的值的集合。
函数的定义域可以是实数集、有理数集、整数集等。
在定义函数时，需要指定函数的定义域。
2.值域：函数的值域是指所有函数可能的输出值的集合。
它是由定义域和函数的性质决定的。
3.单调性：函数的单调性指函数在定义域上的单调变化性质，包括单调递增和单调递减。
如果函数的自变量增大，函数值也增大，则称函数在这个区间内是单调递增的；如果函数的自变量增大，函数值减小，则称函数在这个区间内是单调递减的。
4.奇偶性：函数的奇偶性指函数的性质，可以分为偶函数和奇函数。
如果函数在定义域内满足f(-x)=f(x)，则称函数为偶函数；如果函数在定义域内满足f(-x)=-f(x)，则称函数为奇函数。
5.周期性：函数的周期性指函数在定义域上存在一个最小正周期T，即f(x+T)=f(x)，其中T是正实数。
三、练习题1.设函数f(x)=ax+b，其中a,b是实数，且f(2)=3,f(3)=4，求a,b。
2.求函数f(x)=2x^2-3x+1的定义域和值域。
3.若函数f(x)在区间[a,b]上是单调递增的，且f(a)=f(b)=0，证明f(x)=0在区间[a,b]上有且只有一个实根。
4.设函数f(x)=\sin(x+\alpha)，其中0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}，证明f(x)是奇函数。
高中数学中的函数性质知识点总结
高中数学中的函数性质知识点总结函数是数学中的重要概念，它是将一个或多个输入值映射到唯一的输出值。
在高中数学中，函数性质是一个重要的研究方向。
本文将对高中数学中的函数性质知识点进行总结，包括定义域、值域、奇偶性、单调性、反函数以及复合函数等内容。
1. 函数的定义域与值域函数的定义域表示输入变量的可能取值范围，是一个集合。
函数的值域表示函数的所有可能输出值构成的集合。
在确定函数的定义域和值域时，需要考虑函数的定义条件以及数学上的限制。
2. 奇偶函数性质奇函数和偶函数是函数的一种特殊性质。
若函数f(-x) = -f(x)，则称函数f(x)为奇函数；若函数f(-x) = f(x)，则称函数f(x)为偶函数。
奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称。
判断函数的奇偶性可以通过函数图像的对称性来进行。
3. 单调性函数的单调性描述了函数在定义域上的递增或递减规律。
若函数在定义域上满足f(x1) < f(x2)当且仅当x1 < x2，则称函数为递增函数；若函数在定义域上满足f(x1) > f(x2)当且仅当x1 < x2，则称函数为递减函数。
根据函数的导数可以判断函数的单调性。
4. 反函数若函数f的定义域和值域分别为A和B，则存在另一个函数g，使得g的定义域为B，值域为A，并且满足f(g(x)) = x和g(f(x)) = x，称函数g为函数f的反函数。
反函数关系可以通过互换自变量和因变量来得到。
5. 复合函数复合函数是将一个函数作为另一个函数的输入的一种特殊表示。
设有函数f和g，当g(x)的值属于f(x)的定义域时，可以构成复合函数(f∘g)(x) = f(g(x))。
复合函数的运算顺序要注意，即先执行g再执行f。
通过对高中数学中的函数性质进行总结，我们可以更好地理解函数的概念和特性。
函数的定义域与值域、奇偶性、单调性、反函数以及复合函数等知识点在解决数学问题时起着重要的作用。
深入掌握这些知识，可以提高我们的数学分析和解决问题的能力。
高中数学重点、难点突破(3)函数的基本性质
高中数学重点、难点突破（3）函数的基本性质1．增函数、减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2，则都有：(1) ⇔f (x )在区间D 上是增函数; (2) ⇔f (x )在区间D 上是减函数.2．单调性、单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是 或 ，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的 .3．函数的最值前提设函数f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件①对于任意的x ∈I ，都有 ； ②存在x 0∈I ，使得 .①对于任意的x ∈I ，都有 ； ②存在x 0∈I ，使得 . 结论 M 是y ＝f (x )的最大值 M 是y ＝f (x )的最小值4．奇函数、偶函数的定义对于函数f (x )的定义域内的任意一个x . (1) ⇔f (x )为偶函数;(2) ⇔f (x )为奇函数.5．奇、偶函数的性质(1)图象特征：奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称．(2)对称区间上的单调性：奇函数在关于原点对称的两个区间上有 的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有 的单调性．(3)奇函数图象与原点的关系：如果奇函数f (x )在原点有意义，则f (0)＝ .1.如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，则( )A ．a ＝－2B ．a ＝2C ．a ≤－2D ．a ≥22.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )A ．y ＝3－xB ．y ＝1xC ．y ＝－x 2＋4D ．y ＝|x | 3.函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在x ∈R 上是减函数，则k 的取值范围是( )A ．k ＞12B ．k ＜12C ．k ＞－12D ．k ＜－124.已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13 B.13 C.12 D ．－125.已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．26.已知y ＝f (x )是偶函数，则函数y ＝f (x ＋1)的图象的对称轴是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝12D ．x ＝－127.设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数8.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |9.函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(－5，－3)上( )A ．先减后增B ．先增后减C ．单调递减D ．单调递增10. 函数f(x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,3]的单调增区间为________，f (x )max ＝________.11.函数f (x )＝11－x (1－x )的值域是________． 12.函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 3为奇函数，则a ＝________. 13.已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.14.设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若f (x )＜0的解集为R ，则实数m 的取值范围是___。
高中数学 函数概念及其性质知识总结
高中数学函数概念及其性质知识总结
函数是一种数学概念，它使用单个变量来描述关系，表现为X变量的取值范围对应Y
变量的取值范围，使得每一个X变量的取值都有一个固定的Y变量的取值，而且这个X与
Y之间的关系是普遍存在的，可以用一般性表达，即Y与X之间的函数关系被称为函数。
函数包含四种基本性质：
1、单调性：函数关系单调，即当X增加时，Y自动增大，当X减小时，Y自动减小；
2、对称性：函数关系对称，根据定义域的对称位置，Y的取值也保持相同，即当X的值发生对称的变化时，Y的取值也发生同样的变化；
4、连续性：函数关系连续，即不存在无穷多个点，恒定X这样说Y正在不断变化、
不断变大或不断变小，而且在没有间断的情况下。
函数可以是简单的，也可以是复杂的。
常见函数有简单直线函数、二次曲线函数、圆
函数、指数函数和对数函数等多种。
它们对应的图形也不一样，分别有简单的直线、二次
曲线、圆形、指数函数和对数函数的图形。
另外，函数还可以进行组合、幂函数以及图在
三维空间中进行表示等。
总之，函数是一种数学思维模型，包括一个定义域中的所有自变量X，和随这个自变
量改变而改变的因变量Y——二者之间形成对应关系，该关系不能随便而定，必须有一般
性表达，在这个定义域内都存在。
概括起来，函数的性质主要有单调性、对称性、周期性、连续性等。
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第二节 函数的基本性质高考试题考点一 函数的单调性1.(2012年山东卷,理3)设a>0且a ≠1,则“函数f(x)=a x在R 上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x 3在R 上是增函数”的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:若函数f(x)=a x在R 上为减函数,则有0<a<1.函数g(x)=(2-a)x 3在R 上是增函数,则有2-a>0,所以a<2,所以“函数f(x)=a x 在R 上为减函数”是“函数g(x)=(2-a)x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件.故选A. 答案:A2.(2012年广东卷,理4)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( )(A)y=ln(x+2) (C)y=(12)x(D)y=x+1x解析:函数y=ln(x+2)在区间(0,+∞)上为增函数;函数(0,+∞)上为减函数;函数y=(12)x在区间(0,+∞)上为减函数;函数y=x+1x在区间(0,+∞)上为先减后增函数.故选A. 答案:A3.(2011年重庆卷,理5)下列区间中,函数f(x)=|ln(2-x)|,在其上为增函数的是( ) (A)(-∞,1] (B)[-1,43] (C)[0,32) (D)[1,2)解析:法一 由题知,f(x)=()()ln 2,12,ln 2, 1.x x x x ⎧--≤<⎪⎨-<⎪⎩由复合函数的单调性可知,函数f(x)在[1,2)递增,在(-∞,1)递减.故选D.法二 用图象法解决,将y=ln x 的图象关于y 轴对称得到y=ln(-x)的图象,再向右平移两个单位,得到y=ln(-(x-2))的图象,将得到的图象在x 轴下方的部分翻折上来,即得到f(x)=|ln(2-x)|的图象.由图象,选项中f(x)是增函数的显然只有D. 答案:D4.(2010年安徽卷,理9)动点A(x,y)在圆x 2+y 2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.已知时间t=0时,点A 的坐标是(12),则当0≤t ≤12时,动点A 的纵坐标y 关于t(单位:秒)的函数的单调递增区间是( ) (A)[0,1] (B)[1,7] (C)[7,12] (D)[0,1]和[7,12]解析:如图所示,数形结合.由题意知T=12秒,则动点A 转过30°圆心角用时1秒,又t=0时A(12),∴∠AOD=60°, 由图形看出,由A 到B 与由C 到A 时,y 为t 的增函数, ∴所求单调增区间为[0,1]和[7,12].故选D.答案:D5.(2011年上海卷,理20)已知函数f(x)=a·2x+b·3x,其中常数a,b满足ab≠0.(1)若ab>0,判断函数f(x)的单调性;(2)若ab<0,求f(x+1)>f(x)时x的取值范围.解:(1)当a>0,b>0时,任意x1,x2∈R,令x1<x2,则f(x1)-f(x2)=a(12x-22x)+b(13x-23x),∵12x<22x,a>0⇒a(12x-22x)<0,13x<23x,b>0⇒b(13x-23x)<0,∴f(x1)-f(x2)<0,函数f(x)在R上是增函数.当a<0,b<0时,同理,函数f(x)在R上是减函数.(2)f(x+1)-f(x)=a·2x+2b·3x>0,当a<0,b>0时,(32)x>-2ab,则x>log1.5(-2ab);当a>0,b<0时,(32)x <-2ab,则x<log1.5(-2ab).考点二函数的奇偶性1.(2013年广东卷,理2)定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x中,奇函数的个数是( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:因f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),所以y=x3是奇函数,f(-x)=2sin (-x)=-2sin x=-f(x),所以y=2sin x是奇函数,由函数性质知y=2x是非奇非偶函数,y=x2+1是偶函数,所以奇函数的个数是2,故选C.答案:C2.(2011年广东卷,理4)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( )(A)f(x)+|g(x)|是偶函数(B)f(x)-|g(x)|是奇函数(C)|f(x)|+g(x)是偶函数(D)|f(x)|-g(x)是奇函数解析:设h(x)=f(x)+|g(x)|,∴h(-x)=f(-x)+|g(-x)|=f(x)+|g(x)|=h(x).所以h(x)是偶函数.故选A.答案:A3.(2013年山东卷,理3)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+1x,则f(-1)等于( )(A)-2 (B)0 (C)1 (D)2解析:因为x>0时,f(x)=x2+1 x ,所以f(1)=1+1=2.又f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-2.故选A.答案:A4.(2011年安徽卷,理3)设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)等于( )(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3解析:f(1)=-f(-1)=-[2(-1)2-(-1)]=-3.故选A.答案:A5.(2011年福建卷,理9)对于函数f(x)=asin x+bx+c(其中,a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是( )(A)4和6 (B)3和1(C)2和4 (D)1和2解析:令g(x)=asin x+bx,则g(x)是奇函数,它有对称中心(0,0),所以f(x)以(0,c)为对称中心,即()()112f f+-=c∈Z,即f(1)+f(-1)=2c是偶数.故选D.答案:D6.(2010年新课标全国卷,理8)设偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}等于( )(A){x|x<-2或x>4} (B){x|x<0或x>4}(C){x|x<0或x>6} (D){x|x<-2或x>2}解析:根据f(x)=x3-8(x≥0)可以画出如图(1)的图象,又因为f(x)为偶函数可得图(2),y=f(x)向右平移2个单位可得y=f(x-2)的图象,如图(3),由图(3)易知f(x-2)>0时,可得x<0或x>4,故选B.答案:B7.(2009年全国卷Ⅰ,理11)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则( )(A)f(x)是偶函数(B)f(x)是奇函数(C)f(x)=f(x+2) (D)f(x+3)是奇函数解析:∵f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,∴f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=-f(x-1),∴函数f(x)关于点(1,0),及点(-1,0)对称,函数f(x)是周期T=2[1-(-1)]=4的周期函数.∴f(-x-1+4)=-f(x-1+4),即f(-x+3)=-f(x+3),故f(x+3)是奇函数.故选D.答案:D8.(2012年上海卷,理9)已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,则g(-1)= .解析:设h(x)=f(x)+x2,据题意知,h(-x)+h(x)=0,即f(-x)+f(x)=-2x2,所以f(-1)+f(1)=-2,又f(1)=1,所以f(-1)=-3,因此g(-1)=f(-1)+2=-1.答案:-19.(2011年浙江卷,理11)若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a= .解析:法一∵f(x)=x2-|x+a|为偶函数,∴f(-x)=f(x).∴(-x)2-|-x+a|=x2-|x+a|对x∈R恒成立,∴|a-x|=|a+x|对x∈R恒成立,∴a=0.法二由于f(x)是偶函数,所以必有f(-1)=f(1),即1-|a-1|=1-|a+1|,所以|a-1|=|a+1|,两边平方可求得a=0,即实数a=0.答案:0考点三函数的周期性1.(2011年大纲全国卷,理9)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f(-52)等于( )(A)-12(B)-14(C)14(D)12解析:∵f(-52)=f(-52+2)=f(-12)=-f(12) =-2×12×(1-12)=-12.故选A.答案:A2.(2011年山东卷,理10)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )(A)6 (B)7 (C)8 (D)9解析:当x∈[0,2)时,令f(x)=x3-x=0,即x(x2-1)=0,∴x1=0,x2=1.∵T=2,∴f(0)=f(0+2)=f(0+4)=f(0+6)=0.f(1)=f(1+2)=f(1+4)=0,即在区间[0,6]上函数图象与x轴的交点共7个.故选B.答案:B3.(2012年重庆卷,理7)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( )(A)既不充分也不必要的条件(B)充分而不必要的条件(C)必要而不充分的条件(D)充要条件解析:法一根据函数的性质,当f(x)在[0,1]上递增时,可得f(x)的图象如下:由图象知f(x)在[0,1]上递增时,f(x)在[3,4]上递减,反之当f(x)在[3,4]上递减时,f(x)在[0,1]上递增.法二因f(x)在[0,1]递增,f(x) 是偶函数,故f(x)在[-1,0]上递减,任取x1、x2∈[-1,0]且x1<x2,则f(x1)>f(x2),又f(x)的周期是2,故f(x1+4)>f(x2+4)且x1+4,x2+4∈[3,4],所以f(x)在[3,4]上递减,同理可得,f(x)在[3,4]上递减时,f(x)在[-1,0]上递减,故f(x)在[0,1]上递增.答案:D4.(2013年江苏卷,1)函数y=3sin(2x+π4)的最小正周期为.解析:T=2π2=π.答案:π5.(2012年江苏卷,10)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=1,10,2,01,1ax xbxxx+-≤<⎧⎪+⎨≤≤⎪+⎩其中a,b∈R.若f(12)=f（32）,则a+3b的值为.解析:由题意f(12)=f(32)=f(-12),所以2232b+=-12a+1,∴32a+b=-1①又f(-1)=f(1),∴b=-2a,②解①②得a=2,b=-4,∴a+3b=-10.答案:-106.(2010年重庆卷,理15)已知函数f(x)满足:f(1)=14,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则f(2010)= .解析:取x=1,y=0得f(0)=1 2 .取x=n,y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n),联立得f(n+2)= -f(n-1) ,所以T=6 ,故f(2010)=f(0)=1 2 .答案:12模拟试题考点一函数的单调性1.(2012辽宁协作体模拟)已知f(x)是定义在实数集R上的增函数,且f(1)=0,函数g(x)在(-∞,1]上为增函数,在[1,+∞)上为减函数,且g(4)=g(0)=0,则集合{x|f(x)g(x)≥0}等于( )(A){x|x≤0或1≤x≤4} (B){x|0≤x≤4}(C){x|x≤4} (D){x|0≤x≤1或x≥4}解析:画出函数f(x)和g(x)的草图如图所示,由图可知当f(x)g(x)≥0时,x的取值范围是x≤0或1≤x≤4,即{x|f(x)g(x)≥0}={x|x ≤0或1≤x ≤4}.故选A. 答案:A2.(2013重庆高三(上)期末测试)“函数(0,+∞)上是增函数”的充分不必要条件是 a ∈ .解析:(0,+∞)上是增函数,故需要2-a>0,即a<2,而要求充分不必要条件,则填集合(-∞,2)的一个子集即可. 答案:(-∞,t)(t<2)考点二 函数的奇偶性1.(2012广东佛山模拟)已知函数f(x)=()()120,210,x x x x -⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩则该函数是( )(A)偶函数,且单调递增 (B)偶函数,且单调递减 (C)奇函数,且单调递增(D)奇函数,且单调递减解析:当x>0时,f(x)=1-2-x,这时-x<0,所以f(-x)=2-x-1,于是f(-x)=-f(x);当x<0时,f(x)=2x-1,这时-x>0,所以f(-x)=1-2x ,于是也有f(-x)=-f(x).又f(0)=0,故函数f(x)是一个奇函数;又因为当x>0时,f(x)=1-2-x单调递增,当x<0时,f(x)=2x-1也单调递增,所以f(x)单调递增.故选C. 答案:C2.(2011浙江省“百校联盟”交流联考卷)定义在R 上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=2010x+log 2010x,则在R 上方程f(x)=0的实根个数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:因为f(x)是R 上的奇函数,所以f(0)=0.当x>0时,函数y=2010x与函数y=-log 2010x 有一个交点,知2010x+log 2010x=0有唯一的实根.由奇函数性质知,当x<0时,也有唯一一个根使f(x)=0,所以f(x)=0在R 上有3个实数根. 答案:C考点三 函数基本性质的综合应用1.(2013浙江宁波高三第一学期期末)函数f(x)=15,0,51,0,x x x x -⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩则该函数为( )(A)单调递增函数,奇函数 (B)单调递增函数,偶函数(C)单调递减函数,奇函数 (D)单调递减函数,偶函数解析:当x>0时,-x<0,则f(-x)=5-x -1=-f(x);当x<0时,-x>0,则f(-x)=1-5x=-f(x),又f(0)=0,所以函数f(x)为奇函数,易知函数在(0,+∞)递增,故函数在定义域内递增.故选A. 答案:A2.(2012浙江台州模拟)函数y=f(x-1)为奇函数,y=f(x+1)为偶函数(定义域均为R).若0≤x<1时,f(x)=2x,则f(10)= .解析:依题意得f(-x-1)=-f(x-1), f(-x+1)=f(x+1),所以f(x+4)=-f(x),f(x+8)=f(x), 故函数周期为8.f(10)=f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=1. 答案:1综合检测1.(2013重庆一中第一次摸底)已知定义在R 上的函数f(x)满足f(1)=1,f(x+2)=()1f x 对任意x ∈R 恒成立,则f(2011)等于( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:由f(x+2)=()1f x ,得f(-1+2)=()11f -,即f(1)f(-1)=1, 而f(1)=1,故f(-1)=1, 且f(x+4)=()12f x +=f(x), ∴f(2011)=f(503×4-1)=f(-1)=1.故选A.答案:A2.(2012茂名二模)已知减函数f(x)的定义域是R,m,n ∈R,如果不等式f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)成立,那么在下列给出的四个不等式中,正确的是( ) (A)m+n<0 (B)m+n>0(C)m-n<0 (D)m-n>0解析:将f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)变形为f(m)+f(-n)>f(-m)+f(n),当m<n 时,-n<-m,则有f(m)>f(n)且f(-n)>f(-m),反之亦成立.故选C. 答案:C3.(2012琼海一模)已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a x-a -x+2(a>0且a ≠1),若g(2)=a,则f(2)等于( ) (A)2 (B)174 (C)154(D)a 2解析:由题意得f(-x)+g(-x)=g(x)-f(x)=a -x-a x+2,联立f(x)+g(x)=a x -a -x+2,求解得g(x)=2,f(x)=a x-a -x.故a=2,f(2)=22-2-2=4-14=154.故选C. 答案:C。