线性代数 3-7 第3章7讲-向量空间

x1 1
则
x2
1
1 0
01 2 1
1
0
1
.
x3
0 1 1 x3 0
x3 0 1 1 0 1
定义3.12 设1,2, ,m是m维向量空间的一组基，则对V 中任意向量，存在
唯一的一组实数x1, x2 , , xm，使得 x11 x22 xmm，则称
(x1, x2 , , xm )T 为向量 在基1,2 , ,m下的坐标.
4
一、向量空间的定义
维数 m称为向量空间V的维数.
定义3.6
设向量组
i1，
，
i2
，
ir
为向量组1，
，
2
，m的一个部分组，且满足：
(1)
i，1
，
i2
，ir
线性无关；(2)
向量组中任一向量均可由
i1，
，
i2
，ir
线性表示，
则称向量组
i1，
，
i2
，ir
为向量组1，
，
2
，m的一个极大线性无关组.
定义3.8
线性代数（慕课版）
第三章 向量与向量空间
第七讲 向量空间
主讲教师 |
本讲内容
01 向量空间的定义 02 过渡矩阵与坐标变换
一、向量空间的定义
定义3.9 设V 是实数域R上的n 维向量组成的非空集合，如果V 关于向量的加法
和数乘运算是封闭的，即若 V， V，则 V；若 V，k R， 则k V，则称V 是实数域R上的向量空间.
,m ).
解 (1) Rn的维数为n，基为e1, e2 , , en ；
(2) V1 (0, a2, , an ) a2, , an R 的维数为n 1，V1的基为e2, , en ；
(3) V2 (0, 0, , 0, a) a R 的维数为1，V2的基为en ；
(4) V3 L(1,2 , ,m )的维数为1,2, ,m的秩r(1,2, ,m )， 基为1,2 , ,m的极大无关组.
例1 判断是否为向量空间
(1) Rn (x1, x2, , xn ) x1, x2, , xn R ； (2) V1 (0, x2, , xn ) x2, , xn R ； (3) V3 (1, x2, , xn ) x2, , xn R ； (4) V3 | k11 k22 kmm k1, k2, , km R L(1,2, ,m ).
，
2
， n
P；
从基1，
，
2
，n
到基1，
，
2
， n
ห้องสมุดไป่ตู้的过渡矩阵Q
满足
1，
，
2
， n
1，
，
2
，n
Q
故应填
向量组1，
，
2
，m的极大无关组中所含向量的个数称为该向量组的秩，
记为r
(1，
，
2
，m ).
5
一、向量空间的定义
例2 求向量空间的维数和一组基：
(1) Rn (a1, a2, , an ) a1,a2, , an R ;
(2) V1 (0, a2, , an ) a2, , an R ; (3) V2 (0, 0, , 0, a) a R; (4) V3 k11 k22 kmm k1, k2 , , km R L(1,2 ,
注 (1) 向量在一组基下的坐标是唯一的； (2) 向量空间的基不唯一，因此向量在不同基下的坐标是不同的.
过渡矩阵 设1,2 , ,m和1, 2 , , m是Rn的两组基，且有
1, 2, , m 1,2, ,m C
称C为由基1,2 , ,m到1, 2 , , m的过渡矩阵.
注 两个基之间的过渡矩阵是可逆的.
10
二、过渡矩阵与坐标变换
例5 设向量组1 (1, 2,1)T ,2 (1,3, 2)T ,3 (1, a,3)T 为R3的一组基， (1,1,1)T
在这组基下的坐标为(b, c,1)T，求a,b, c.
解 由题意得 b1 c2 ，3
b c 1 1
bc0
a 3
即2b 3c a 1 a 2b 3c 1 b 2 .
9
二、过渡矩阵与坐标变换
例4 已知三维向量空间的一组基为1 (1,1, 0)T ,2 (1, 0,1)T ,3 (0,1,1)T，
求向量u (2, 0, 0)T 在上述基下的坐标.
解
由定义知
u
x11
x2 2
x3
，
3
x1
1
1， 2， 3
x2
u，
即
1
1 0
0 x1 2
1
x2
0，
6
一、向量空间的定义
例3 设1 (1, 2, 1, 0)T，2 (1,1, 0, 2)T，3 2,1,1, aT 生成的向量空间
的维数为2，则a ______ .
解 即向量组1，2，3的秩为2.
1 1 2 1 1 2 1 1 2
(1 , 2
,3
)
2
1
1 0
1
0
1 0
1 1
3 0 3 0
1 0
3
0
0
2
a
0 2
a
0 0 a 6
r 1，2，3 2 a 6
故应填 6
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本讲内容
010 向量空间的定义 02 过渡矩阵与坐标变换
二、过渡矩阵与坐标变换
定义3.12 设1,2, ,m是m维向量空间的一组基，则对V中任意向量，存在 唯一的一组实数x1, x2 , , xm，使得 x11 x22 xmm，则称 (x1, x2 , , xm )T 为向量 在基1,2 , ,m下的坐标.
b 2c 3 1
b 2c 2 c 2
定义3.12 设1,2, ,m是m维向量空间的一组基，则对V 中任意向量，存在
唯一的一组实数x1, x2 , , xm，使得 x11 x22 xmm，则称
(x1, x2 , , xm )T 为向量 在基1,2 , ,m下的坐标.
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二、过渡矩阵与坐标变换
例6
从R2的基1
1 0
，
2
1 1
到基1
1 1
，
2
1 2
的过渡矩阵为
______
.
解 从基1，2到基1，2的过渡矩阵P满足1，2 1，2 P
P
1，2
1
1，2
1 0
1 1 1 1 1
1 2
1 0
1 1 1 1
1 2
2 1
3 2
从基1，
，
2
， n
到基1，2，
，n
的过渡矩阵P
满足
1， 2，
，n
1，
3
一、向量空间的定义
定义3.10 设V1，V2是为向量空间，若V1 V2，称V1是V2的子空间.
定义3.11 在向量空间V中，如果存在m 个向量1,2 , ,m 满足 (1) 1,2 , ,m 线性无关； (2) V中任何一个向量 都可由1,2, ,m 线性表示， 称1,2, ,m 为向量空间V 的一组基.