线性代数 3-7 第3章7讲-向量空间
线性代数课件 第三章——向量 3 向量组的秩、向量空间简介
, m
, m 线性无关； , m 线性表示.
ii) V中任意向量都可由 1 , 2 ,
§3 向量组的秩、向量空间简介
注.向量空间V的维数实际上就是向量组的秩.
dim L(1 , 2 , , m ) R{1 , 2 , , m }.
定理5：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r+1
, m 线性
, s )是 L(1 , 2 ,
, m ) 的子空间.
பைடு நூலகம்
§3 向量组的秩、向量空间简介
2.基变换与坐标变换
定义4. 向量空间V的一个极大线性无关组称为V的一 个基，基所含向量的个数称为V的维数，记作dimV. 规定：零向量空间没有基，维数定义为0. 判别.设 1 , 2 , , m是V中m个向量,则 1 , 2 , 是V的一个基的充要条件是 i) 1 , 2 ,
向量都线性相关.
推论：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r个
线性无关的向量组都是V的一个基.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定义5. 若 1 , 2 , , m是向量空间V的一个基,则
V中任意向量 可唯一表示为
k1 k2 , m ) k m
k11 k2 2
第三章 向量
§1 n维向量的线性相关性 §2 线性相关性的结论、极大线性无关组 §3 向量组的秩、向量空间简介 §4 向量的内积
一、向量组的秩 二、向量空间简介
一、向量组的秩
定义1 向量组 1 , 2 , , m 的极大无关组所含向量
的个数，称为该向量组的秩，记作 R{1 , 2 , 规定：零向量组的秩为0.
4 (1,2, k ,6)T , 5 (1,1,2,4)T ， 求向量组1 , 2 , 3 , 4 , 5
第7讲向量空间的基
1 0 0 0 0
故
y1 y2
yn
1 0 0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0 0 0
x1
x2
xn
,
0 0 0 1 1
所求坐标关系为: y1 x1, yk xk xk1 ( k 1, 2,, n) 。
例 设1,2,3 和 1, 2, 3 是三维向量空间的两组基 , 且
11 22 mm , 故 1 2 V。
R , 令 i ki , 则 (k11 k22 kmm ) ( k1)1 ( k2 )2 ( km )m 11 22 mm ,
故 R , V。
综上所述, 由向量空间的概念可知V 是一个向量空间。
2. 不妨设1,2,,k 是向量组 1,2,,m 的一个最大
解（二）
2 1 2 3 3 2(1 2 ) (21 32 23) 3(1 32 23) 31 142 23 ,
故向量 在基 1,2 ,3 下的坐标为 (3, 14, 4) 。
解 Rn , 设 在标准基 1,2 ,,n 下的坐标为
(x1, x2,, xn ) x11 x22 xnn , 设 在基 1, 2,, n 下的坐标为
( y1, y2,, yn ) y11 y22 ynn 。
由基的定义, 得
1 11 12 1n1 1n ,
2 01 12 1n1 1n ,
该公式称为向量 由基 1, 2,, r 到基1,2,,r 下的
坐标变换公式, 其中矩阵 A为坐标变换的过渡矩阵, 而称
公式 Y A1X 为由基 1,2 ,,r 到基 1, 2 ,, r 下
的坐标变换公式。
基变换与坐标变换的关 系
线性代数向量空间与线性变换
线性代数向量空间与线性变换线性代数是数学的一个分支，研究向量空间和线性变换的性质和特征。
向量空间是线性代数的核心概念之一，而线性变换则是在向量空间内进行变换的关键操作。
本文将介绍向量空间和线性变换的定义、性质以及它们在数学和实际问题中的应用。
一、向量空间向量空间是指一个集合，其中的元素称为向量，满足一定的代数运算规律。
具体来说，一个向量空间必须满足以下条件：1. 封闭性：对于向量空间中的任意两个向量，它们的线性组合仍然属于该向量空间。
即对于任意向量u和v以及任意标量c和d，cu+dv仍然属于该向量空间。
2. 加法运算的结合性：对于向量空间中的任意三个向量u、v和w，满足(u+v)+w = u+(v+w)。
3. 加法运算的交换性：对于向量空间中的任意两个向量u和v，满足u+v = v+u。
4. 存在零向量：向量空间中存在一个零向量0，满足对于任意向量u，u+0 = u。
5. 存在负向量：对于向量空间中的任意向量u，存在一个负向量-v，满足u+(-v) = 0。
6. 标量乘法的结合性：对于标量的乘法运算，满足c(du) = (cd)u。
7. 标量乘法的分配性：对于标量的乘法运算和向量的加法运算，满足(c+d)u = cu+du，以及c(u+v) = cu+cv。
满足以上条件的集合即为向量空间。
在向量空间中，向量可以按照一定的线性关系进行运算和转换。
二、线性变换线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，该映射满足以下两个性质：1. 保持线性关系：对于向量空间V中的任意两个向量u和v以及标量c，线性变换T必须满足T(cu+dv) = cT(u)+dT(v)。
2. 保持零向量：线性变换T必须满足T(0) = 0，即将零向量映射为零向量。
线性变换可以通过矩阵的乘法来表示。
设向量空间V和W分别为n 维和m维的向量空间，线性变换T:V→W可以表示为一个m×n的矩阵A，其中A的第i列为T(ei)的坐标表示，ei为向量空间V的基向量。
线性代数教案-向量与向量空间
线性代数教学教案第3章 向量与向量空间授课序号01 教 学 基 本 指 标教学课题 第3章 第1节 维向量及其线性运算课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 维向量的概念、向量的线性运算的性质教学难点 向量的线性运算的性质 参考教材 同济版《线性代数》作业布置 课后习题大纲要求 理解维向量的概念 教 学 基 本 内 容一． 维向量的概念1．维向量：由个数组成的有序数组称为维向量.2．称为维行向量，称为维列向量. 二．维向量的线性运算1．定义：（1）分量全为0的向量称为零向量；（2）对于，称为的负向量； （3）对于，，当且仅当时，称与相等；（4）对于，，称为与的和；（5）对于，，称为与的差； （6）对于，为实数，称为的数乘，记为.2．向量的线性运算的性质：对任意的维向量和数，有：n n n n n n n a a a ,,,21 n ),,,(21n a a a n 12⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n a a a n n ()12T n αa ,a ,,a = ()12---Tn a ,a ,,a αT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β),,2,1(n i b a i i ==αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =βT n n b a b a b a ),,,(2211+++ αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β()1122---Tn n a b ,a b ,,a b αβT n a a a ),,,(21 =αk T n ka ka ka ),,,(21 ααk n γβα，，l k ,（1）;（2）;（3）;（4）;（5）;（6）;（7）；（8）.三．例题讲解例1． 某工厂两天的产量(单位:吨)按照产品顺序用向量表示,第一天为第二天为求两天各产品的产量和.αββα+=+)()(γβαγβα++=++αα=+00-αα=αα=⋅1αα)()(kl l k =βαβαk k k +=+)((k l )αk αl α+=+1(15,20,17,8),=T α2(16,22,18,9),=T α授课序号02 教 学 基 本 指 标教学课题 第3章 第2节 向量组的线性关系 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关的定义，向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法教学难点 有关线性相关、线性无关的证明 参考教材 同济版《线性代数》作业布置 课后习题大纲要求 1．理解向量的线性组合与线性表示。
线性代数的向量空间理论
线性代数的向量空间理论线性代数是数学中的一门重要学科，其中的向量空间理论是其核心内容之一。
向量空间理论主要研究数学对象之间的线性关系，通过定义和研究向量空间的性质和运算规则，揭示了各种数学结构和现象背后的共性和规律。
本文将通过介绍向量空间的定义、基本性质和相关定理，来阐述线性代数的向量空间理论。
一、向量空间的定义向量空间是指具有加法和数乘运算的集合，满足一定的性质。
具体而言，一个向量空间必须满足以下几个条件：1. 封闭性：对于集合中的任意两个元素，其和仍然属于该集合。
即对于向量x和y，x+y也是向量空间中的元素。
2. 结合律：向量空间中的加法满足结合律。
即对于任意的向量x、y 和z，(x+y)+z=x+(y+z)。
3. 零向量：向量空间中存在一个特殊的元素0，称为零向量，满足对于任意的向量x，x+0=x。
4. 负向量：对于向量空间中的任意元素x，存在一个负元素-x，满足x+(-x)=0。
5. 数乘运算：向量空间中的元素可以与标量相乘。
即对于向量x和标量a，存在一个元素ax，满足数乘运算的分配律和结合律。
通过这些定义和运算规则，我们可以建立起一个向量空间的抽象数学模型，便于对其进行研究和应用。
二、向量空间的基本性质在向量空间的理论中，还有一些基本性质是我们需要了解的。
1. 维度：向量空间的维度是指向量空间的基的个数。
一个向量空间的基是指一个线性无关的向量组，可以通过它们的线性组合来表示向量空间中的任意向量。
一个向量空间的维度等于其基的个数。
2. 线性无关性：如果一个向量组中的向量之间没有线性关系，即不能通过它们的线性组合来表示零向量，那么称这个向量组是线性无关的。
一个向量空间的基一定是线性无关的向量组。
3. 基变换矩阵：对于一个向量空间的两个不同的基，它们之间存在一个线性变换关系，并可以用一个矩阵来表示。
这个矩阵称为基变换矩阵。
4. 子空间：一个向量空间的子集，如果本身也是一个向量空间，则称为原向量空间的子空间。
线性代数第3章向量空间
表示, 又 m>n, 由表示不等式
r(Blm ) r( Aln ) n m 从而 B 必相关.
-26-
(6) “短的无关, 则长的也无关.等价地… ” P101推论3
无穷多种表示, 并求所有表示方法.
解 记 A [1,2 ,3 ] 只需讨论 Ax 解的情况.
具体解方程组过程略。
0 时,方程组无解, 不能由 A 表示. 0 且 3时, 方程组有唯一解, 可由 A 唯一表示.
-12-
3 时, 方程组有无穷多解, 可由 A 无穷多种表示.
1
1 2
,
2
3 4
是无关的.
1
3
n r( Amn ) r(Bln ) n
1 , 2 也是无关的.
2
4
r(Bln ) n
1
再如：1
2 0 0
,
0
2
101,
0
3
9 0 1
.
-27-
(7)含有n个向量的n元向量组线性相关（无关）
由它构成的n阶矩阵的行列式 | A | 0 (| A | 0) 例4 t 取何值时,下列向量组线性相关 ? P101推论2
(用矩阵的秩) r( A) n
把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性 无关，否则如果矩还阵是的转秩换小！于转向换量线的性个无数关就…线性相关。
-18-
例1
1
0
2
1 1,2 2,3 4,
1
5
7
问向量组 {1,2 ,3 } 和 {1,2 }的线性相关性?
线性代数--向量空间
dx4 0 d 2 x4
0
a 3 x1 b3 x2 c 3 x3 d 3 x4 0
该方程组的系数行列式
1111 abcd a2 b2 c2 d 2 (b a)(c a)(c b)(d a)(d b)(d c) a3 b3 c3 d 3
由于a，b，c，d各不相同.，所以行列式不等于零
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 am1 x1 am2 x2 amn xn bm
含n个未知量m个方程的线性非齐次方程组可写成矩阵形式
a11 a12 a1n
x1 b1
AX
b
其中
A
a21
a22
a2n
,
a a 3 = (1,c,c2 , c3 , )T , 4 = (1,d, d2 , d3 )T
（其中a，b，c，d各不相同）
解 考察 x1a1 x2a2 x3a3 x4a4 0
x1 x2 x3 x4 0
按分量写出来，即为
a
2
ax1 x1
b
bx2 2 x2
cx3 c2 x
3
线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由 其余向量线性表示。
k1a1 k2a2 ksas 0 (1) 则称向量组a1,a2, as 线性相关；
否则称之为线性无关。
即当且仅当 k1 k2 ks 0 时，(1)式才成立，
则称向量组 a1,a2 , as , 线性无关。
注意
(1) 任何含有零向量的向量组都线性相关. （2） 仅含两个向量的向量组，它线性相关的充分
X
x2
,
b
b2
am1
am2
线性代数第-章向量空间PPT课件
3
子空间在映射下的变化
线性映射可以导致子空间中的向量发生旋转、平 移或拉伸等变化。
子空间与线性映射的相互影响
子空间对线性映射的限制
子空间的性质可以影响线性映射的作用范围和结果。
线性映射对子空间的构造
通过选择特定的线性映射，可以构造出具有特定性质的子空间。
子空间与线性映射的关系
子空间和线性映射之间存在密切的关系，它们在许多数学问题中都 扮演着重要的角色。
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，这个子集中的向量之间同样可以进行加法运算和数乘运算，并且这些运算也 满足封闭性、结合性和交换性等性质。子空间的定义是为了研究向量空间的一个特定部分，以便更好地理解和应 用向量空间。
向量空间的基与维数
总结词
基是向量空间中线性无关的向量组，它能够生成整个向量空间；维数则是向量空间的基 所包含的向量个数。
向量空间的推广到矩阵空 间
将向量空间中的元素推广到矩阵，形成矩阵 空间，使得线性变换和矩阵运算的结合更加 紧密，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的推广到函数空 间
将向量空间的元素推广到函数，形成函数空 间，使得函数的线性组合、内积等运算成为 可能，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的应用前景
判定条件二
如果存在一个线性映射f：V→W，使得V和W的基底之间存在一一对应关系，并且 这种对应关系保持向量加法和标量乘法的运算关系，则称V和W同构。
同构的应用场景
线性变换
几何变换
同构映射可以应用于线性变换中，将 一个向量空间中的线性变换转移到另 一个向量空间中。
同构映射可以应用于几何变换中，如 旋转、平移等，将一个向量空间中的 几何变换转移到另一个向量空间中。
线代第三章
只讨论与起点无关的向量.
当建立了平面坐标系以后，该平面内的 向量的起点可以认为均在平面坐标原点， 于是可以用该向量的终点坐标表示该向 量，见图3.1. 在空间坐标系中有类似处 理，见图3.2.
a (x, y)
a (x, y, z)
在空间向量(x, y, z)中，它是x, y, z按一定 顺序的一个排列，分别表示该向量终点 的横坐标、纵坐标和竖坐标. 实际上， 对于含n个未知量x1, x2, …, xn的n元线性 方程组, 其一个解可以按x1, x2, …, xn的 顺序依次表示出来.
,
α3
1
11
计算3α1 2α2 5α3. Solution
2 10 4
3α1
2α2
5α3
3
5 13
21150
5
1 11
6 20 20 6
15
3 9
2 1200
5 55
12
8 24
.
由于 + = + 及 + (- ) = 0，所以
(3) + 0 = . (加法单位元)
(4) + (- ) = 0 .(加法逆元)
为了方便，将 + (-) 记为 - ，称为 向量和的差(subtraction of and )，
它是向量的减法运算. 两个向量相减就 是对应的分量分别相减.
a1 b1
a1 b1
α
a2
,
β
b2
α
β
a2
b2
am
bm
am bm
2、向量的数乘运算
向量和数的数乘是一个向量，其大小 为| |与向量的大小乘积，其方向当 > 0 时与相同，当 < 0 时与相反，当 = 0 时是零向量，这时其方向可以是
线性代数中的向量空间
线性代数中的向量空间线性代数是数学中的一个重要分支，研究的是向量和线性方程组的性质。
在线性代数中，向量空间是一个基本的概念，它在许多数学和科学领域中都有重要的应用。
本文将介绍关于向量空间的定义、性质以及应用。
一、向量空间的定义在线性代数中，向量空间是指由一组向量构成的集合，其中包含了向量加法和标量乘法两种运算，并满足以下八个性质：1. 零向量存在性：向量空间中存在一个特殊的向量，被称为零向量，记为0，它满足对于任意向量v，有v + 0 = v。
2. 向量加法封闭性：对于任意向量v和w，它们的和v + w也属于向量空间。
3. 向量加法结合律：对于任意向量u、v和w，有(u + v) + w = u + (v + w)。
4. 向量加法交换律：对于任意向量u和v，有u + v = v + u。
5. 标量乘法封闭性：对于任意标量k和向量v，k * v也属于向量空间。
6. 标量乘法结合律：对于任意标量k和l以及向量v，有(k * l) * v = k * (l * v)。
7. 向量与标量加法的分配律：对于任意标量k和向量v、w，有k * (v + w) = k * v + k * w。
8. 向量与标量乘法的分配律：对于任意标量k和l以及向量v，有(k + l) * v = k * v + l * v。
满足以上八个性质的集合即可称为向量空间。
二、向量空间的性质在向量空间中，还有一些重要的性质：1. 零向量的唯一性：向量空间中的零向量是唯一的，即任意向量空间中的零向量都相等。
2. 负向量的存在性：对于任意向量v，在向量空间中存在一个向量-u，使得v + (-u) = 0。
这里的-u被称为v的负向量。
3. 数乘的零乘性：对于任意标量k和向量v，在向量空间中，有0 * v = 0，其中0表示标量的零。
4. 数乘的单位元性：对于任意向量v，在向量空间中，有1 * v = v，其中1表示标量的单位元。
三、向量空间的应用向量空间的概念和性质在数学和科学中有广泛的应用。
线性代数第三章(一二节向量与线性相关性)
证明
必要性 设向量组 A: a1 , a2 , ... , am 线
性相关, 则有 m 个不全为零的实数 k1 , k2 , ... , km 使 k1a1 + k2a2 + ... + kmam = 0 . 因 k1 , k2 , ... , km 不全为 0 , 不妨设 k1 0 , 于是便 有
（9） 若a1 , a2 , ... , an是n维向量组，则 a1 , a2 , ... , an线性相关的充要条件是其 构造的行列式值为0. 若a1 , a2 , ... , an是n维向量组，则
a1 , a2 , ... , an线性无关的充要条件是其
构造的行列式值非0. （10） 若a1 , a2 , ... , am是n维向量组，且 m>n,则 a1 , a2 , ... , am线性相关。 特别地，n+1个n维向量必线性相关。
第 三 章 向量组的线性相关性与n 维向量空间
第一节
1. 向量的定义 定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , ... , an 所组成的
数组称为 n 维向量,其中第 i 个数 ai 称为第i 个分量，n称为向量的维数.
n维向量
n 维向量可写成一行, 也可写成一列. 分别
称为行向量和列向量, 也就是行矩阵和列矩阵。
引例1：非齐次线性方程组（Ⅰ）有解<=>
存在一组数x1, x2, ... , xn, 满足
x1a1 + x2a2 + ... + xnan = b。 引例2：齐次线性方程组（Ⅱ）有非零解<=> 存在一组不全为零的数x1, x2, ... , xn, 满足 x1a1 + x2a2 + ... + xnan = 0。 从这两个引例中我们可以提炼出向量组两个
线性代数专题知识讲座
············ en = (0 , 0 , 0 , ···, 1)T . 并由此可知它是 n - 1 维向量空间.
由向量组 a1 , a2 , ···, am 所生成旳向量空间
L ={ x = 1a1 + 2a2 + ···+ mam | 1, ···, m R },
a = ( 0 , a2 , ···, an )T V .
例 19 集合
V = { x = (1 , x2 , ···, xn )T | x2 , ···, xn R } 不是向量空间. 因为若 a = (1 , a2 , ···, an )T V , 则
2a = (2 , 2a2 , ···, 2an )T V.
1 2 2
4 2
验证 a1 , a2 , a3 是 R3 旳一种基, 并求 b1 , b2 在这
个基中旳坐标.
解 要证 a1 , a2 , a3 是 R3 的一个基, 只要证
a1 , a2 , a3 线性无关, 即只要证 A ~ E .
设 b1 = x11a1 + x21a2 + x31a3 ,
这个向量空间称为由向量 a , b 所生成旳向量空 间.
一般地, 由向量组 a1 , a2 , ···, am 所生成旳向 空间量为
L={x=1a1 + 2a2 + ···+ mam | 1, 2 , ···, m R }.
例 23 设向量组 a1 , ···, am与向量组 b1, ···,
等价b, s记
若向量组 a1 , a2 , ···, ar 是向量空间 V 旳 一种基, 则 V 可表达为
线性代数-向量空间
同理可证 L(β1 β2 …，βr) L(α1, α2 , …,αs)
故
L(α1, α2 , …,αs)=L(β1 β2 …，βr)
k (ka1, ka2 ,, kan ) R n
故Rn,是一个向量空间。 例3.4.2 证明 （1）集合
V1 (0, a2 ,, an ) | ai R, i 2,3,, n
是一个向量空间；
（2）集合
V2 (1, a2 ,, an ) | ai R, i 2,3,, n
不是一个向量空间。 证 （1）显然集合V1非空，对任意
过渡矩阵P是可逆的。若不然，齐次 线性方程组PX=O有非零解，设其一个解为 α=(k1,k2, …,km)T，于是
k11 k2 2 km m
(1 ,2 ,,m)
(1 ,2 ,,m)P 0
这意味着β1 β2 …,βm线性相关。 前面我们已经指出，同一向量在不同
基底下的坐标一般是不同的，那么坐标之 间的关系如何呢？
设
x11 x2 2 x3 3
把α1,α2, α3代入，比较等式两端向量 的对应分量，可得线性方程组
x1 x2 x3 2
2x3 3
2x1 x2 5
解之，得
x1
9 2
,
x2 4,
x3
3 2
于是向量在α基α1,α2, α3下的坐标为
( 9 , 4, 3 )
2
2
3.4.3 基变换与坐标变换 我们知道，向量空间V的基不是唯一
线性代数简明教程(方小娟编 科学出版社)第三章、向量空间
1 2 1 0 1 = 2 − 1 − 0 1 3 1 1
定义3 向量组 α1,α2 ,⋯αm，如果该向量组对零向量 定义 只有平凡表示，也即对零向量的线性表示方法唯一， 只有平凡表示，也即对零向量的线性表示方法唯一， α1,α2 ,⋯αm 线性无关，否则，称其线性 则称向量组 线性无关，否则，称其线性 相关。 相关。 定义3 称为线性相关 线性相关的 定义 / 向量组 α1,α2 ,⋯αm 称为线性相关的，如果 存在一组不全为零的数k 存在一组不全为零的数 1,k2,…,km，使
是线性相关的， 是线性相关的，因为
α3 = 3α1 −α2
定理2 定理
线性无关， 设向量组 β1 , β2 ,⋯βt 线性无关，而向量组
线性相关， β1, β2 ,⋯, βt ,α 线性相关，则 α 能由向量组 β1 , β2 ,⋯, βt 线性表示，且表示式是唯一的。 线性表示，且表示式是唯一的。 线性相关， 证 由于β1 , β2 ,⋯, βt ,α 线性相关，就有不全为零的 数k1,k2,…, kt,k，使 ，
向量 称为 的数量乘积， 数乘， 的数量乘积 简称数乘 α 与k的数量乘积，简称数乘，记为 kα 。 称为零向量， 称为零向量，记为
(ka1,ka2,…,kan)T
(0,0 ⋯ 0)T 定义4 定义 分量全为零的向量
ϑ
= (0,0⋯ 0)T ϑ
α 与-1的数乘 (−1)α = (−a1 ,−a2 ,⋯,−an )T 定义5 定义 的数乘 的负向量， 称为 α 的负向量，记为 −α
即 =2ε1 − 5ε2 + 3ε3 + 0ε4 β
所以， 的线性组合， 所以，称 β 是ε1,ε2 ,ε3 ,ε4 的线性组合， 线性表示。 或 β 可以由 ε1,ε2 ,ε3 ,ε4 线性表示。
线性代数第三章 线性空间
组，通常称为矩阵 A 的列向量组；若对 A 按行进行
分块，即
A
1T
T 2
T m
其全体行向量构成一个含有 m 个 n 维行向量的向量
组，称为矩阵的行向量组．
并且，矩阵和含有有限个向量的有序向量组是一 一对应的．
定义5 设 ,1,2, ,s Rn， s 1． 如果存在数
k R，则
1）称向量 与 相等，记作 ，如果 与
对应的分量均相等，即 ai bi , i 1, 2, , n;
2）称向量
(a1 b1, a2 b2 , , an bn )T 为向量 与 的和，并记 ；
3）称向量
k (ka1, ka2 , , kan )T
a11 a2 2 an n ;
另外，零向量 0 是任何向量组的线性组合．
定义7 设 I :1,2 , ,s 和 II : 1, 2, , t 是两个向 量组． 如果向量组 I 中的每一个向量 i ( i 1, 2, , s )
均可以由向量组 II : 1, 2, , t 线性表出，则称向量 组 I 可以由向量组 II 线性表出．
k1, k2 , , ks R ，使得 k11 k22 kss ,
则称向量 是向量组 I :1,2, ,s 的一个线性组合， 或者说，向量 可以由向量组 I :1,2, ,s 线性表 出（或线性表示）．此时，k1, k2 , , ks 相应地被称 为组合系数或者表出系数．
在本书中，如果没有特别说明，我们涉及的向量 均指分量为实数的列向量，即列形式的实向量．
将所有 n 维实向量的全体记为 Rn，即
线性代数3a
线性代数
第3章 向量空间
3.2 向量的线性相关性
定理3.2.2 设
s 个 n 维向量
a1s a2 s , s , ans
a11 a12 a a22 21 1 , 2 , a n1 an 2
(1) 得
( 2)
特别注意( 2 )中未知量个数 s ，方程式个数 n , 向量方程式( 1 )有解和 线性方程组（ 2 ）有解是一回事，
因而有定理 3.2.1。
线性代数
第3章 向量空间
3.2 向量的线性相关性
例1 判断下列向量 能否由向量组 1 , 2 , 3 线性表示,若能,试 写出它的一种表达式,其中
行向量 列向量
n 维向量的第 i
个分量.
a1, a2 , , an
a1 a2 a1 , a2 , an
, an
T
线性代数
第3章
向量空间
3.1
n维向量
定义3.1.2
向量的分量都是零的向量称为零向量,记为
0 0,0,
1 3 5 5 ,1 1 1 3 1 ,
2 2 3 7 4 ,3 0 1 1 2 .
例2 设
1 1 5 2 1 1 , 3 , 3 , 2 3 4 0 1 t 1
,s s 2 线性相关的充分必要条件
为其中有一个向量可由其余向量线性表示. 推论1 向量组 1,
,s s 2 线性无关的充分必要条件
是其中每一个向量都不能由其余向量线性表示.
线性代数课件：向量空间法(下)
解：方程组的系数矩阵 =
=
则原方程组与ቊ
1
1
1
1 1
，利用矩阵的初等行变换化为最简，即
−1 −1 1
1 1
1 1
1 −1 −1 1
1
(r +r )
2 1 2
−(r2 −r1 )
1 0
0 1
1 + 4 = 0
同解. 即
2 + 3 = 0
= 03 + (−4 )
ቊ 1
2 = −3 + 04
⋮
= −1 +1 − ⋯ − ,−
第二步，把+1 ，+2 ， ⋯ ， 作为自由数，并令它们依次等于1 ，2 ， ⋯ ，− ，
即可得原方程组的通解为
1
−11
−12
⋮
⋮
⋮
−1
−2
+1 =
+ 2
1
0
1
+2
0
1
⋮
⋮
⋮
0
0
把上式记作 = 1 + 2 + ⋯ + − − ，
ቐ−0.31 + 0.92 − 0.43 = 0 ，
−0.51 − 0.12 + 0.83 = 0
0.8 −0.8 −0.4
设A = −0.3 0.9 −0.4 ，利用矩阵的初等行变换化为行最简形
−0.5 0.9 −0.2
0.8 −0.8 −0.4
−0.3 0.9 −0.4
−0.5 −0.1 0.8
3 +2
5
4 1
22
1
1
0
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一、向量空间的定义
例3 设1 (1, 2, 1, 0)T，2 (1,1, 0, 2)T，3 2,1,1, aT 生成的向量空间
的维数为2，则a ______ .
解 即向量组1，2，3的秩为2.
1 1 2 1 1 2 1 1 2
(1 , 2
,3
)
2
1
1 0
1
0
1 0
1 1
3 0 3 0
,m ).
解 (1) Rn的维数为n，基为e1, e2 , , en ；
(2) V1 (0, a2, , an ) a2, , an R 的维数为n 1，V1的基为e2, , en ；
(3) V2 (0, 0, , 0, a) a R 的维数为1，V2的基为en ；
(4) V3 L(1,2 , ,m )的维数为1,2, ,m的秩r(1,2, ,m )， 基为1,2 , ,m的极大无关组.
例6
从R2的基1
1 0
，
2
1 1
到基1
1 1
，
2
1 2
的过渡矩阵为
______
.
解 从基1，2到基1，2的过渡矩阵P满足1，2 1，2 P
P
1，2
1
1，2
1 0
1 1 1 1 1
1 2
1 0
1 1 1 1
1 2
2 1
3 2
从基1，
，
2
， n
到基1，2，
，n
的过渡矩阵P
满足
1， 2，
，n
1，
10
二、过渡矩阵与坐标变换
例5 设向量组1 (1, 2,1)T ,2 (1,3, 2)T ,3 (1, a,3)T 为R3的一组基， (1,1,1)T
在这组基下的坐标为(b, c,1)T，求a,b, c.
解 由题意得 b1 c2 ，3
b c 1 1
bc0
a 3
即2b 3c a 1 a 2b 3c 1 b 2 .
1 0
3
0
0
2
a
0 2
a
0 0 a 6
r 1，2，3 2 a 6
故应填 6
7
本讲内容
010 向量空间的定义 02 过渡矩阵与坐标变换
二、过渡矩阵与坐标变换
定义3.12 设1,2, ,m是m维向量空间的一组基，则对V中任意向量，存在 唯一的一组实数x1, x2 , , xm，使得 x11 x22 xmm，则称 (x1, x2 , , xm )T 为向量 在基1,2 , ,m下的坐标.
b 2c 3 1
b 2c 2 c 2
定义3.12 设1,2, ,m是m维向量空间的一组基，则对V 中任意向量，存在
唯一的一组实数x1, x2 , , xm，使得 x11 x22 xmm，则称
(x1, x2 , , xm )T 为向量 在基1,2 , ,m下的坐标.
11
二、过渡矩阵与坐标变换
注 (1) 向量在一组基下的坐标是唯一的； (2) 向量空间的基不唯一，因此向量在不同基下的坐标是不同的.
过渡矩阵 设1,2 , ,m和1, 2 , , m是Rn的两组基，且有
1, 2, , m 1,2, ,m C
称C为由基1,2 , ,m到1, 2 , , m的过渡矩阵.
注 两个基之间的过渡矩阵是可逆的.
4
一、向量空间的定义
维数 m称为向量空间V的维数.
定义3.6
设向量组
i1，
，
i2
，
ir
为向量组1，
，
2
，m的一个部分组，且满足：
(1)
i，1
，
i2
，ir
线性无关；(2)
向量组中任一向量均可由
i1，
，
i2
，ir
线性表示，
则称向量组
i1，
，
i2
，ir
为向量组1，
，
2
，m的一个极大线性无关组.
定义3.8
线性代数（慕课版）
第三章 向量与向量空间
第七讲 向量空间
主讲教师 |
本讲内容
01 向量空间的定义 02 过渡矩阵与坐标变换
一、向量空间的定义
定义3.9 设V 是实数域R上的n 维向量组成的非空集合，如果V 关于向量的加法
和数乘运算是封闭的，即若 V， V，则 V；若 V，k R， 则k V，则称V 是实数域R上的向量空间.
例1 判断是否为向量空间
(1) Rn (x1, x2, , xn ) x1, x2, , xn R ； (2) V1 (0, x2, , xn ) x2, , xn R ； (3) V3 (1, x2, , xn ) x2, , xn R ； (4) V3 | k11 k22 kmm k1, k2, , km R L(1,2, ,m ).
x1 1
则
x2
1
1 0
01 2 1
1
0
1
.
x3
0 1 1 x3 0
x3 0 1 1 0 1
定义3.12 设1,2, ,m是m维向量空间的一组基，则对V 中任意向量，存在
唯一的一组实数x1, x2 , , xm，使得 x11 x22 xmm，则称
(x1, x2 , , xm )T 为向量 在基1,2 , ,m下的坐标.
，
2
， n
P；
从基1，
，
2
，n
到基1，
，
2
， n
的过渡矩阵Q
满足
1，
，
2
， n
1，
，
2
，n
Q
故应填
3
一、向量空间的定义
定义3.10 设V1，V2是为向量空间，若V1 V2，称V1是V2的子空间.
定义3.11 在向量空间V中，如果存在m 个向量1,2 , ,m 满足 (1) 1,2 , ,m 线性无关； (2) V中任何一个向量 都可由1,2, ,m 线性表示， 称1,2, ,m 为向量空间V 的一组基.
向量组1，
，
2
，m的极大无关组中所含向量的个数称为该向量组的秩，
记为r
(1，
，
2
，m ).
5
一、向量空间的定义
例2 求向量空间的维数和一组基：
(1) Rn (a1, a2, , an ) a1,a2, , an R ;
(2) V1 (0, a2, , an ) a2, , an R ; (3) V2 (0, 0, , 0, a) a R; (4) V3 k11 k22 kmm k1, k2 , , km R L(1,2 ,
9
二、过渡矩阵与坐标变换
例4 已知三维向量空间的一组基为1 (1,1, 0)T ,2 (1, 0,1)T ,3 (0,1,1)T，
求向量u (2, 0, 0)T 在上述基下的坐标.
解
由定义知
u
x11
x2 2
பைடு நூலகம்
x3
，
3
x1
1
1， 2， 3
x2
u，
即
1
1 0
0 x1 2
1
x2
0，