态和力学量的表象

动量本征函数：
p (x)
1 eipx /
2
组成完备系，任一 状态Ψ可按其展开
假设 Ψ(x,t) 是归一化波函数，
命题
则 C(p,t) 也是归一。
证 1 *( x, t)( x, t)dx
展开系数
( x, t) C( p, t) p ( x)dp
C( p, t) p *( x)( x, t)dx
p ( p p) p ( p p)
这类似于一个矢量可以在不同坐标系描写一样。矢量 A 在直角坐标 系由三分量Ax Ay Az 描述；在球坐标系用三分量 Ar A A 描述。 Ax Ay Az 和 Ar, A, A 形式不同，但描写同一矢量 A 。
量子力学 表象
基本矢量
坐标系
不同表象波函数
→
不同坐标系的一组分量
Fnmam (t )
m
n 1,2,
Q表象的表达方式
Q 表象
{bm(t )}
→
{an(t )}
→
bn (t) Fnmbm (t)
m
坐标表象 Φ(x,t ) Ψ (x,t )
(x,t) Fˆ(x,t)
b1(t) F11 F12 F1m a1(t)
b2 (t) F21 F22 F2m a2 (t)
(x, t) an(t)un( x)
本征函数展开：
n
证：
an(t) un *(x)(x.t)dx
1 *( x, t)( x.t)dx
a1(t), a2(t), ..., an(t), ...
[ am (t)um ( x)]* an(t)un( x)dx
m
n
am * (t )an (t ) um * ( x)un ( x)dx
0 0 Qn
Qnm un * ( x)Qˆ um ( x)dx
Qm un * ( x)um ( x)dx
Qm nm
结论： 算符在
自身表象中是一对角
矩阵，对角元素就是 算符的本征值。
四 Q有连续本征值的情况
如果 Q 有连续本征值q ，上面的讨论仍然适 用，只需将u, a, b 的角标从可数的 n, m 换成连 续变化的 q，求和换成积分，见下表。
Dirac算符 引入产生、湮灭算符重新讨论简谐振子
(r,t)
Fˆ Fˆ (r,i)
F * (r,t)Fˆ (r,t)d
Fˆn (r) Fnn (r)
坐标表象
到目前为止，体系的状态都用坐标( x , y , z )的函数表示，也就 是说描写状态的波函数是坐标的函数。力学量则用作用于坐标函数 的算符表示。但是这种描述方式在量子力学中并不是唯一的，这正 如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球 坐标系、柱坐标系等，但它们对空间的描写是完全是等价的。
mn
就是Ψ(x,t)所描写状态 在 Q 表象中的表示。
am * (t )an (t ) mn
mn
an * (t )an (t )
n
由此可知，| an| 2 表示 在Ψ(x,t)所描述的状态 中测量Q 得 Qn 的几率。
写成 矩阵形式
a1 (t)
a2 (t)
an (t)
共轭矩阵
bm (t) un * um ( x)dx
[
un
*
Fˆ
(
x,i
x
)um
(
x)dx]am
(t
)
m
m
bm (t ) nm Fnm am (t )
m
m
bn (t ) Fnm am (t )
m
Fnm
un
*
(
x
)Fˆ
(
x,
i
x
)um
(
x
)dx
Q 表象的 表达方式
bn (t )
归一化则变为：
an * (t )an (t ) aq * (t )aq (t )dq 1
n
|an(t)|2 是在 Ψ(x,t) 态中测量力学量 Q 所得结果为 Qn 的几率；
在这样的表象中，Ψ 仍可以用一个列矩阵 表示：
a1 (t )
a2 (t )
an (t )
aq (t )
x (x x) x (x x) x (x) (x x)
二 Q 表象中的波函数
推广上述讨论： x, p 都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象，
问题
因此可以对任何力学量 Q 都建立一种表象，称为力学量 Q 表象。
那末，在任一力学量 Q 表象中， Ψ(x,t) 所描写的态又如何表示呢？
xˆ i p x
1
(2)1/ 2
* i px
C( p, t) e dx x (x, t)dp
1
(2)1/ 2
*
C( p, t) (i
i px
)e
(x, t)dxdp
p
C
(
p,
t
)*
(i
p
)C
(
p,
t
)dp
二 Q 表象中力学量算符的矩阵表示
坐标表象：
Q 表象：
假设只有分立本征值，将 Φ, Ψ 按{ un(x)}展开：
|aq(t)|2dq 是在Ψ(x,t) 态中 测量力学量 Q 所得结果在 q → q + d q之间的几率。
a1(t)* a2(t)* an(t)* aq(t)*
归一化仍可表为：Ψ+Ψ= 1
三 讨论
同一状态可以在不同表象用波函数描写，表象不同， 波函数的形式也不同，但是它们描写同一状态。
动量本 征函数
不含时 动量本 征函数
本征 方程
坐标表象
p (x,t) 1 (2)1 2 expi( px Et) / p (x) 1 (2)1 2 expipx /
pˆ p (x) p p (x)
动量表象
C( p,t) ( p p) expiEt / C( p) ( p p)
波函数也可以选用其它力学量作为变量,力学量则相 应的表示为作用于这种函数上的算符。
表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。
一个力学量
一个表象
§4.1 态的表象
已知: 坐标表象的波函数 (x,t) , 如何获得其他表象中波函数?
一 动量表象中波函数
问
二 Q 表象中的波函数
一 动量表象的波函数 C( p,t)
设力学量 Q 的本征值和本征函数分别为：
Q1, Q2, ..., Qn, ... , q u1(x), u2(x), ..., un(x), ... , uq(x)
an (t ) un * ( x )( x, t )dx
aq (t ) uq * ( x )( x, t )dx
则 (x,t) an (t)un (x) aq (t)uq (x)dq n
a1 (t)
a2 (t)
an (t)
是态矢量Ψ 在 Q 表象中沿各基矢 方向上的“分量”。Q表象的基矢 有无限多个，所以态矢量所在的空 间是一个无限维的抽象的函数空间， 称为Hilbert空间。
§２ 算符的矩阵表示
已知: 坐标表象的波函数 Fˆ Fˆ (r,i) 求 Fˆ 在其他表象中的形式?
x
)dx
例1：求坐标表象中 F的矩阵元
Fxx
(
x
x)Fˆ
(
x,i
x
)
(
x
x)dx
Fˆ
(
x,i
x
)
(
x
x)
例2： 求动量表象中 F的矩阵元
Fpp
p
*
一 动量表象中的算符表示 二 Q 表象中力学量算符的矩阵表示 三 Q 表象中力学量算符F的性质 四 Q 有连续本征值的情况
一 动量表象中力学量的算符表示
坐标表象：
动量表象：
(x,t)
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Fˆ
Fˆ (xˆ,
pˆ x )
Fˆ
(
x,i
x
)
C( px,t) Fˆ Fˆ (xˆ, pˆ x ) ?
Fˆ (i p x
bn (t) Fn1 Fn2 Fnm am (t)
F11 F12 F1m
F21 F22 F2m
F
Fn1 Fn2 Fnm
Φ=FΨ
三 Q表象中力学量算符 F 的性质
1 力学量算符用厄密矩阵表示
Fn m u*n (x)Fˆum (x)dx Fn*m [ u*n (x)Fˆum (x)dx] *
(x,t) 2 dx 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子 的位置所得结果在 x → x + d x 范围内的几率。
|C(p,t)| 2 d p
是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的动量所 得结果在p → p + d p 范围内的几率。
Ψ(x,t) 与 C(p,t) 一 一 对应，描述同一状态。 Ψ(x,t) 是该状态在坐标表象中的波函数；
1 具有分立本征值的情况 2 含有连续本征值情况
1 具有分立本征值的情况
设 算符 Q 的本征值为： Q1, Q2, ... , Qn, ...，
相应本征函数为：u1(x),
u2(x), ... , un(x),
...。
若Ψ , un 都是归一化的，
则 an(t) 也是归一化的。
将Ψ(x, t ) 按 Q 的
第四章 态和力学量的表象
§1 态的表象 §2 算符的矩阵表示 §3 量子力学公式的矩阵表述 §4 么正变换 §5 Dirac 符号 §6 线性谐振子与占有数表象
本章目的
给出用各种方式平行描述体系状态、力
学量等方案→表象
找出不同表象之间的相互关系和变换规
则 → 么正变换
→ 建立一套用态矢量描述量子态的方案
,
px )
xˆ x0 (x) x0 x0 (x) x (x x0 ) x0 (x x0 )
2
x x (x,t) dx
pˆ x ( px px0 ) px0 ( px px0 )
2
px px C( px ,t) dpx
pˆ x px pˆ p
*(x,t)xˆ (x,t)dx
a1(t)* a2(t)*
an(t)*
归一化可写为
a1 (t) * a2 (t) *
an (t) * an (t) 1
n
an (t) *
a1 (t)
a2 (t)
an (t)
2 含有连续本征值情况
例如氢原子能量就是这样一种力学量，
即有分立也有连续本征值。
u1(x), u2(x),..., un(x), ...
i, j, k,
a1(t), a2(t),..., an(t), ...
Ax, Ay, Az
量子状态Ψ(x,t)
态矢量
矢量 A
所以我们可以把状态Ψ看成是一个矢量——态矢量。选 取一个特定力学量 Q 表象，相当于选取特定的坐标系，
波函数
u1(x) , u2(x) , ... , un(x) , ... 是 Q 表象 的基本矢量简称基矢。
C(p,t) 就是该状态在动量表象中的波函数。
若Ψ(x,t) 描写的态是具有确 定动量 p 的自由粒子态.即：
则相应动量表象中的波函数：
( x, t ) p ( x)e iE pt /
p 2
E p 2
C( p, t) p * ( x)( x, t )dx p * ( x) p ( x)eiE pt /dx
分立谱
un * ( x)，um ( x)
an (t )，bm (t )
n
连续谱
uq * (x)，uq (x) aq (t), bq (t)
dq
只是该矩 阵的行列 不是可数 的，而是 用连续下 标表示
算符 F 在 Q 表象仍是 一个矩阵，矩阵元由 右式确定：
Fqq
uq
*
(
x
)Fˆ
(
x,i
x
)uq
(
( x, t) Fˆ ( x, pˆ )( x, t) 代入
Fˆ
(
x,i
x
)(
x,
t
)
( x, t )
m
am (t )um ( x)
( x, t)
bm (t )um ( x)
m
bm
(t
)um
(
x)
Fˆ
(
x,i
x
)
am (t)um ( x)
m
m
两边左乘 u *n(x) 并对 x 积分
[ C( p, t) p ( x)dp]*[ C( p, t) p( x)dp]dx C( p, t)*C( p, t)dpdp p *( x) p( x)dx C( p, t)*C( p, t)dpdp ( p p)
C( p, t)*C( p, t)dp
C(p,t) 物理意义
eiE pt / p * ( x) p ( x)dx e iE pt / ( p p)
同样
x 在自身表象即坐标表象中对应有
确定值 x’本征函数是δ(x’ - x)。
这可由本征 值方程看出：
所以，在动量表象中， 具有确定动量p’的粒 子的波函数是以动量
p为变量的δ- 函数。
换言之，动量本征函 数在自身表象中是一 个δ函数。
un (x)(Fˆum (x))* dx
(Fˆum (x))* un (x)dx um * (x)Fˆun (x)dx
Fmn
F F
所以厄密算符的矩阵 表示是一厄密矩阵。
2 力学量算符在自身表象中的形式
Qˆ un (x) Qnun (x)
Q 的矩阵形式
Q1 0
0 Q2
Q