第三章力学量的表示和表象变换
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态和力学量的表象
动量表象下的薛定谔方程(一维) 动量表象下的薛定谔方程(一维)
在动量表象中， 在动量表象中，动量算符就是动量自身 是势能算符， 是势能算符，即以坐标算符 对应于势能函数) 数(对应于势能函数) 为变量的算符函
√
动量表象(2/4) 动量表象(2/4)
谐振子势
坐标表象中的薛定谔方程
动量表象中的薛定谔方程
对于谐振子势，在动量表象中是二阶微分方程，求解类似于 对于谐振子势，在动量表象中是二阶微分方程，求解类似于 二阶微分方程 在坐标表象中的求解，不能简化求解过程 在坐标表象中的求解，不能简化求解过程
√
动量表象(3/4) 动量表象(3/4)
线性势
坐标表象、 坐标表象、动量表象中的薛定谔方程
对于线性势，在动量表象中的方程是简单的一阶微分方程 对于线性势，在动量表象中的方程是简单的一阶微分方程 与第二章“一维线性势阱”的结果一致) 求解 (与第二章“一维线性势阱”的结果一致)
算符 的表示的变换 表象中： 在 F 表象中：基矢为 表象中： 在 F' 表象中：基矢为
，算符 的矩阵元为 ，算符 的矩阵元为
√
线性谐振子与占有数表象(1/2) 线性谐振子与占有数表象(1/2)
线性谐振子的能级和波函数 湮灭算符 和产生算符
Microsoft Word 文档
为单位改变， 谐振子能量以 为单位改变，将这个 看作一个粒子 即粒子数减一， 使体系由 态变到 态，即粒子数减一，称湮灭算符 即粒子数加一， 使体系由 态变到 态，即粒子数加一，称产生算符
√
动量表象(1/4) 动量表象(1/4)
坐标表象和动量表象的对比
坐标表象的优点 容易写出边界条件，例如： 容易写出边界条件，例如：区分束缚态和散射态 容易表述常用的势，例如：方势、线性势、 容易表述常用的势，例如：方势、线性势、谐振子势 动量表象的优点 某些势场下的薛定谔方程比较简单， 某些势场下的薛定谔方程比较简单，容易求解
量子力学讲义第三章讲义
第三章 力学量用算符表达§3.1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。
ˆAuv = 表示Â把函数u 变成 v ， Â就是这种变换的算符。
为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。
但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。
二、算符的一般特性 1、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。
例如：动量算符ˆpi =-∇， 单位算符I 是线性算符。
2、算符相等若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB 相等记为ˆˆAB =。
3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ有：ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=，则ˆˆˆA B C +=称为算符之和。
ˆˆˆˆAB B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= ψ是任意波函数。
一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。
5、对易关系若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。
若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。
若算符满足ˆˆˆˆABBA =-， 则称ˆA 和ˆB 反对易。
例如：算符x , ˆx pi x∂=-∂不对易证明：(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂i i x xψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -=，ˆˆz z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。
第三章 表象理论
这是决定参数M的可能值(即本征值)的方程，通常称为久期方程。解这个 ˆ M 方程可以得到它的一系列的根： 1 , M 2 , , M n , ，它们就是算符 M 的全部 本征值。把其中一个根，例如 M ，代回原来的方程组，就可以求得相应 的解 C ni (n=1，2…)(附加一个脚标i指明它是与第i个根相对应的)即
* m
ˆ M
C
n
n
n dx
mn
C
m n
* m
C n
mn
* m
ˆ M n dx
C
m nn
* m
M
Cn
M
C
* 1
C2
*
… Cn …
*
M M M
11 21
M M
12 22
M M
1n 2n
n1
M
C n C n ( Fn )
因此，我们称数列{C n }为在力学量F表象中的波函数。这样式(3.1.2) 就是波函数从“F”表象到“x”表象的变换，而(3.1.3)就是其逆变换。 坐标x的取值几率分布为
W ( x ) | |
2
(3.1.4)
2
力学量F的取值几率分布为
W ( F ) | C n |
由于左矢和右矢是一一对应的，因此体系的一个状态可以用一个右
矢表示，也可以用一个左矢表示。
2. 线性算符和自轭算符
(1) 线性算符：
线性算子（算符） 作用于右矢
P
仍为右矢空间的一个矢量 Q
并服从下列线性规则
则 是线性算符。
可用下式来定义两个线性算子的相加和相乘：
(2) 共轭线性算符(亦称伴随算符)
第三章 力学量用算符表达
ˆ ˆ ˆ BA ˆ BA ˆ B ˆA ˆ ˆ ˆC ˆ ˆC ˆC ABC
ˆ, B ˆ B ˆ,C ˆ ] ˆ ]C ˆ[ A [A
ˆ, B ˆ B ˆ,C ˆ] ˆ ]C ˆ[ A [A
任意
ˆ , BC ˆ, B ˆ B ˆ,C ˆ] ˆ ˆ] [A ˆ ]C ˆ[ A [A
ˆ x , x ] i [ p
i x x i i x x x ( 任意) x ˆ x p x
（7）逆算符
ˆ 设 A ˆ 之逆 能够唯一地解出, 则可定义算符 A 1 为: ˆ A
c1 、c2为常数
~ ˆ 的转置算符 A ˆ 定义为： A ˆ * dr * A
即
思考：常 数算符的 转置？
ˆ ) ( *, A ˆ *) ( , A
与是任意两波函数。 可以证明，
ˆ ˆ ) BA ˆˆ ( AB
(课外作业)
上面的第四式称为Jacobi 恒等式。
思考：
ˆ, A ˆ] ? ˆ C [B ˆ] ? ˆ ˆ, A [ BC
本节例题
ˆ , BC ˆ, B ˆ B ˆ,C ˆ] ˆ ˆ] [A ˆ ]C ˆ[ A 例题1：证明 [ A
证明:
ˆ , BC ˆ ˆ ˆ BCA ˆ ˆ ] ABC ˆ ˆ ˆ [A
（1）线性算符
满足如下运算规律的算符Â 称为线性算符: Â(c1ψ1+c2ψ2)= c1 Â ψ1+c2 Â ψ2
其中c1, c2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。 例如：
动量算符 单位算符
ˆ i p ˆ I
是线性算符。
ˆ, B ˆ B ˆ,C ˆ ] ˆ ]C ˆ[ A [A
ˆ, B ˆ B ˆ,C ˆ] ˆ ]C ˆ[ A [A
任意
ˆ , BC ˆ, B ˆ B ˆ,C ˆ] ˆ ˆ] [A ˆ ]C ˆ[ A [A
ˆ x , x ] i [ p
i x x i i x x x ( 任意) x ˆ x p x
（7）逆算符
ˆ 设 A ˆ 之逆 能够唯一地解出, 则可定义算符 A 1 为: ˆ A
c1 、c2为常数
~ ˆ 的转置算符 A ˆ 定义为： A ˆ * dr * A
即
思考：常 数算符的 转置？
ˆ ) ( *, A ˆ *) ( , A
与是任意两波函数。 可以证明，
ˆ ˆ ) BA ˆˆ ( AB
(课外作业)
上面的第四式称为Jacobi 恒等式。
思考：
ˆ, A ˆ] ? ˆ C [B ˆ] ? ˆ ˆ, A [ BC
本节例题
ˆ , BC ˆ, B ˆ B ˆ,C ˆ] ˆ ˆ] [A ˆ ]C ˆ[ A 例题1：证明 [ A
证明:
ˆ , BC ˆ ˆ ˆ BCA ˆ ˆ ] ABC ˆ ˆ ˆ [A
（1）线性算符
满足如下运算规律的算符Â 称为线性算符: Â(c1ψ1+c2ψ2)= c1 Â ψ1+c2 Â ψ2
其中c1, c2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。 例如：
动量算符 单位算符
ˆ i p ˆ I
是线性算符。
量子力学--力学量用算符表示与表象变换 ppt课件
ppt课件
﹟
4
2、算符的运算性质 （1）算符相等：
若 Aˆ Bˆ
★算符的运算离不开 对波函数的作用
对于任意的波函数都成立
则 Aˆ Bˆ
（特例：若I ，则I 称为单位算符）
（2）算符相加： (Aˆ Bˆ) Aˆ Bˆ
这是算符最基本的运算。
ppt课件
5
交Байду номын сангаас律和结合律：
Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ Aˆ (Bˆ Cˆ) (Aˆ Bˆ) Cˆ
用在任意波函数上，看它们是否相等。
若相等，则对易；否则，不对易。
比如将要讨论的位置算符 x 和动量算符 pˆ x 的对易关系。
ppt课件
7
因为对任意波函数ψ ：
xpˆ x
ix
d
dx
而
pˆ x x
i d dx
(x )
i( x d ) i ix d
dx
dx
那么
xpˆ x pˆ x x i
Hˆ pˆ 2 V (r) 2m
2 2 V (r) 2m
其中动量算符 pˆ i，
且
pˆ x
i x
又如前面引进的能量算符
Hˆ i 等 t
ppt课件
2
§3.1 算符的运算规则
1、算符的定义
表示运算的符号叫算符，又叫作用量
如
d， dx
，
, ( )*等
线性算符：
如果算符 Â 满足下列条件
Aˆ(c11 c2 2 ) c1Aˆ 1 c2 Aˆ 2
第三章 力学量用算符表示 与表象变换
前面我们学习了两个量子力学的基本原理
1）微观粒子体系的状态可以用波函数来表示；
2）描述微观粒子运动状态的方程是薛定谔方程；
力学量的矩阵形式与表象变换
表象变换的应用
要点一
总结词
表象变换在量子力学中有着广泛的应用，它可以用于解决 各种实际问题。
要点二
详细描述
表象变换可以用于计算量子态的演化、求解薛定谔方程、 理解量子纠缠等现象。通过选择适当的表象，我们可以将 复杂的问题简化为更易于处理的形式，从而更好地理解和 应用量子力学的基本原理。此外，表象变换在量子计算和 量子信息处理等领域也有着重要的应用，它可以用于实现 量子算法和量子通信等任务。
02
表象变换
表象变换的概念
总结词
表象变换是量子力学中一个重要的概念，它涉及到对物理系统的描述方式的改变。
详细描述
在量子力学中，一个物理系统可以用不同的方式进行描述，这些描述方式被称为表象。表象变换就是从一个表象 变换到另一个表象的过程。通过表象变换，我们可以选择最适合问题解决的方式进行描述，从而简化计算和问题 解决过程。
应用于量子模拟
通过表象变换，可以更好地模拟和分析一些复杂的量子系 统，例如凝聚态物质中的强关联效应等。
感谢观看
THANKS
简化计算
通过选择合适的表象，可以简化 某些物理过程的计算过程，提高 计算效率。
表象变换在量子力学中的具体应用
角动量表象
在角动量表象中，角动量算符可以表示为矩阵形式，方便进行计 算和表示。
位置和动量表象
在位置和动量表象中，位置和动量算符可以表示为简单的算术运 算，有助于理解量子力学的非经典性质。
哈密顿表象
力学量的矩阵形式 与表象变换
目 录
• 力学量的矩阵表示 • 表象变换 • 力学量的本征值与本征态 • 力学量算符的变换规则 • 表象变换在量子力学中的应用
01
力学量的矩阵表示
力学量的矩阵形式与表象变换
量子力学导论
Introduction to Quantum mechanics
成都理工大学 2016年9月—11月
课程内容
第一章 波函数和薛定谔方程 第二章 一维势场中的粒子 第三章 力学量用算符表达 第四章 力学量随时间的演化 第五章 中心ห้องสมุดไป่ตู้场 第七章 量子力学的矩阵形式与表象变换 第九章 力学量本征值问题的代数解法 第十章 微扰论
F | cn | n n
| c | a
G a a
G F 则 ca S na cn a
S na n | a C SC , C S C S C
F G G F 1 F
4、表象变换
• C、力学量的变换
ˆ 把态 | A 变为态 | B ，即 | B H ˆ | A 设算符H
G G
2、矩阵表示
• C、本征方程
ˆ g G b1 ˆ 的本征函数在F表象中的表示为：B b 假设G 2 (G gI ) B 0 G gI 0求出多个g , 每个g给出一个列矢量， 即为本征波函数在F表象中的表示。
第七章 量子力学的矩阵形式 与表象变换
1、希尔伯特空间 2、矩阵表示 3、Dirac符号 4、表象变换
1、希尔伯特空间
• A、三维空间
R r1e1 r2e 2 r3e 3 ei e j ij i,j 1,2,3 ri ei R
三个矢量构成三维空间的完备正交基，展开系数就 是任意矢量在这组基下的表示或坐标。基不同，表 示也不一样。
n
G表象的基 | a 可用F表象的基 | n 展开： Sna n | a S12 S22 其中SS S S 1，S为幺正变换 S11 S Sna S21
Introduction to Quantum mechanics
成都理工大学 2016年9月—11月
课程内容
第一章 波函数和薛定谔方程 第二章 一维势场中的粒子 第三章 力学量用算符表达 第四章 力学量随时间的演化 第五章 中心ห้องสมุดไป่ตู้场 第七章 量子力学的矩阵形式与表象变换 第九章 力学量本征值问题的代数解法 第十章 微扰论
F | cn | n n
| c | a
G a a
G F 则 ca S na cn a
S na n | a C SC , C S C S C
F G G F 1 F
4、表象变换
• C、力学量的变换
ˆ 把态 | A 变为态 | B ，即 | B H ˆ | A 设算符H
G G
2、矩阵表示
• C、本征方程
ˆ g G b1 ˆ 的本征函数在F表象中的表示为：B b 假设G 2 (G gI ) B 0 G gI 0求出多个g , 每个g给出一个列矢量， 即为本征波函数在F表象中的表示。
第七章 量子力学的矩阵形式 与表象变换
1、希尔伯特空间 2、矩阵表示 3、Dirac符号 4、表象变换
1、希尔伯特空间
• A、三维空间
R r1e1 r2e 2 r3e 3 ei e j ij i,j 1,2,3 ri ei R
三个矢量构成三维空间的完备正交基，展开系数就 是任意矢量在这组基下的表示或坐标。基不同，表 示也不一样。
n
G表象的基 | a 可用F表象的基 | n 展开： Sna n | a S12 S22 其中SS S S 1，S为幺正变换 S11 S Sna S21
力学量的表示和表象变换
4
Chapter III Representations
3.3 升 降算 符–一 维 谐 振 子 的 代 数 解
一维谐振子的本 本征 方 程 : ˆ H ˆ = Eψ Hψ = = √ √ p ˆ2 1 mω 2 1 ω 2 2 2 + mω x ˆ = [( p ˆ) + ( x ˆ) ] 2m 2 2 m ω √ √ ω 1 d 2 mω 2 [ −( ) +( x ˆ) ] 2 m ω dx √ ξ d dx = = x = αx α= √ d dξ d mω d = =α dξ dx dξ dξ mω √ mω
|a|2 + |b|2
这个结果表明，只要两个算符不对易，在任何态中都不可能同时测得它们的准确值，本质原因是两者没有 共同的本征态。它们的量子涨落(测得值的均方根偏差)应当满足上述不等式。这就是广 广义 的 测 不 准 原 理 。 具体到我们前面讲到的Heisenberg 测不准关系，则有 (∆x)(∆p) (∆E )(∆t) ≥ ≥ 1 |⟨[ˆ x, p ˆ]⟩| = 2 2 1 ˆ ˆ |⟨[E, t]⟩| = 2 2
3.2 对 易关 系
如果我们定义对易式 [A, B ] = AB − BA ˆ, p ˆ t ˆ B ˆ ] = 0，我们说算符A ˆ和B ˆ 是对易的，否则 ˆ] = i 。如果[A, 显然，上面结果表明[ˆ x, p ˆ] = i ，[T ˆ] = 0，[E, 两者就是不对易的。对易式满足下面的重要恒等式： [A, BC ] = [A, B ]C + B [A, C ] [AB, C ] = A [B, C ] + [A, C ] B 对易关系在量子力学有着非常重要的地位，是量子力学的基本假定，这个我们前面介绍过。需要指出的是 对易式的结果与表象的选择无关，但是理解的时候必须选择某个表象，否则算符无意义。 从对易关系我们可以严格证明Heisenberg 测不准关系。
表象及表象变换
证
ψ n满足本征方程
H ψ n = En ψ n ( 4) (4′)
其共轭方程为
ψ n H = En ψ n
式(1)两端取能量表象中矩阵元，即得 dA 1 ψ k AH − HAψ n ( ) kn = dt ih 1 = ( En − Ek ) ψ k Aψ n ih = iωkn Akn 此即（ 3 ）式
能量表象
关于占有数表象： 关于占有数表象：求解能量本征值方程， 求解能量本征值方程，以 及坐标和动量算符在该表象中的矩阵元。 及坐标和动量算符在该表象中的矩阵元。 关于能量表象： 关于能量表象： 求一维无限深势阱中粒子的坐标和动 量在能量表象中的矩阵元（Ｐ 量在能量表象中的矩阵元（Ｐ４０２ （Ｐ４０２） ４０２） 在Ｈ下证明求和规则（ 下证明求和规则（１０. １０.２、１０. １０. ４－１０. １０.１０） １０）
* 1 px h
a (G ) = Sa ( F )
c ( p, t ) =
ψ ( x , t )e ∫ 2π h
dx
表象变换
注意：1、表象变换的幺正性 2、表象变换下力学量的基本公式 不变，物理观测结果不变。 a、表象变换不改变算符之间的对易关系 b、表象变换不改变力学量的本征值 c、表象变换不改变矢量的内积
取能量表象矩阵元， 取能量表象矩阵元，即 得： iωknp kn = − μω x kn
2
(3) (4) (5)
而上题已得 p kn = iωknμx kn （ω −ω ）x kn = 0
2 2 kn
式（3）和式（ 和式（4）合 并，即得 其中k 其中k,n可以理解为能态编号 数。由式（ 由式（5）易见 如ωkn ≠ ±ω,则x kn = 0 如x kn ≠ 0,则ωkn = ±ω (6)
态和力学量的表象
§
由前两章讨论可知，任意波函数可按某力学量的本征函数做完全性展开
例如，动量的本征函数表示
组成完全系，任意波函数 可以按 展开为
，
展开系数 由下式给出
.
设 已归一化，则容易证明 也是归一化的， 代表体系处于 所描写的态中，发现粒子位置在 范围内的几率； 代表在该态下发现粒子动量在 范围内的几率。 和 描写同一状态。我们称 是这个状态在 -表象（坐标表象）中的波函数； 是同一状态在 -表象（动量表象）中的波函数。动量表象中的波函数 以动量为自变量，它的获得是通过动量本征函数系的完全性展开取得展开系数得来的。
，
取其复数共轭，并考虑到量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符，得
，
即 ，或 。
算符在自身表象中的矩阵表示有何形式呢？设 是算符 的本征函数，相应的本征值为 ，即
，
则在 表象中，矩阵元为
.
由此可见，算符 在自身表象中的表示是一个对角矩阵:
，
对角元为基本征值：
.
因此，可以通过把算符的矩阵表示对角化求得该算符的本征值，这是一种非常重要的方法，以后还会看到。
，
即
.
上式即为 在 表象中的表示，其中 是 在 表象中的表示， 是算符 在 表象中的表示。（3）式可写成矩阵形式：
，
或简记为
2.薛定谔方程
在坐标表象中，薛定谔方程形式为
，
将(2)式代入（5）式，得
，
以 左乘上式两边，并对 积分得
.
式中
是哈密顿算符 在 表象中的矩阵元，（6）式即为薛定谔方程在 表象中的表示，写成矩阵形式：
.
方程（11）称为久期方程。求解久期方程可以得到一组 值（一般的上述行列式是几维的， 就有几个解）： ，它们就是 的本征值。就其中一个本征值 代入方程（10）中，可解出一组本征矢（ ），或表成列矢：
由前两章讨论可知，任意波函数可按某力学量的本征函数做完全性展开
例如，动量的本征函数表示
组成完全系，任意波函数 可以按 展开为
，
展开系数 由下式给出
.
设 已归一化，则容易证明 也是归一化的， 代表体系处于 所描写的态中，发现粒子位置在 范围内的几率； 代表在该态下发现粒子动量在 范围内的几率。 和 描写同一状态。我们称 是这个状态在 -表象（坐标表象）中的波函数； 是同一状态在 -表象（动量表象）中的波函数。动量表象中的波函数 以动量为自变量，它的获得是通过动量本征函数系的完全性展开取得展开系数得来的。
，
取其复数共轭，并考虑到量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符，得
，
即 ，或 。
算符在自身表象中的矩阵表示有何形式呢？设 是算符 的本征函数，相应的本征值为 ，即
，
则在 表象中，矩阵元为
.
由此可见，算符 在自身表象中的表示是一个对角矩阵:
，
对角元为基本征值：
.
因此，可以通过把算符的矩阵表示对角化求得该算符的本征值，这是一种非常重要的方法，以后还会看到。
，
即
.
上式即为 在 表象中的表示，其中 是 在 表象中的表示， 是算符 在 表象中的表示。（3）式可写成矩阵形式：
，
或简记为
2.薛定谔方程
在坐标表象中，薛定谔方程形式为
，
将(2)式代入（5）式，得
，
以 左乘上式两边，并对 积分得
.
式中
是哈密顿算符 在 表象中的矩阵元，（6）式即为薛定谔方程在 表象中的表示，写成矩阵形式：
.
方程（11）称为久期方程。求解久期方程可以得到一组 值（一般的上述行列式是几维的， 就有几个解）： ，它们就是 的本征值。就其中一个本征值 代入方程（10）中，可解出一组本征矢（ ），或表成列矢：
量子力学-第三章量子力学中的力学量
dpe
*
x
-i
d
dx
x dx
dx
1
dx
2π
e
i
p( xx)
dp
*
x
-i
d
dx
x
dx
dxδ(x
x)
*
x
i
d
dx
x
dx
*
x
i
d
dx
x
dx
*
x
pˆ x
x 7
同 理：
py dy * y pˆ x y
pz dz * z pˆ z z
推广至三维情况
P
* x pˆ xd * xi
1
d2 d 2
(常数）
由
d 2 d 2
0
33
Cei
由周期性条件 2 得 ei2π 1
2π 2mπ m 0, 1, 2,
Ceim
由归一化条：
* d 1 得 C
1 2π
所以
1 eim
2π
m*md δmm
34
sin d (sin d ) sin2 m2
17
[例题] 求动量的转置算符。
[解]
d* pˆx
dx pˆ x*
dx
i
x
*
i *
dx
*
i
x
*
i
x
dx
所以
pˆ x i
x
pˆ x
②算符的复共轭算符
把算符中的所有复量换成共轭复量。
如：动量的复共轭算符
pˆ *x i
x
pˆ x
18
③厄米共轭算符
, Fˆ † Fˆ, 或 d*Fˆ d*Fˆ * d Fˆ ** d Fˆ *
4.态和力学量的表象
例1：矢量 的性质(大小和方向)与所选的坐标系无关 直角坐标系： ，极坐标系： 例2：态Y描述的体系性质(能量、动量等)与所选的表象无关 A表象(un(x))：
B表象(vn(x)) ：
当描写态和力学量的时候，不用具体的表象，而用狄拉克引用的 一套与表象无关的符号，称为狄拉克符号(Dirac notation) 狄拉克符号中的态 普通情况：右矢(bra) 代表 ，左矢(ket) 代表 在坐标表象中： 在Q表象(un(x))中： 特殊情况：加入波函数符号或本征值或相应量子数，区别不 同的态，如
占有数表象
的本征值是n，对应的本征态是 ，该态表示n个能量为 的粒子，称 为粒子数算符 以 为基矢的表象称为占有数表象 占有数表象中的算符
占2/2
作业
4.1，4.2，4.3
作1/1
例：d势阱
普通的性方程
最适当的表象依赖于具体的问题
动2/2
算符的矩阵表示
Q的表象(只有分立本征值Qn，本征函数是un(x))下的算符
厄密算符在Q表象中的表示是厄密矩阵
算符Q在自身的表象中是对角矩阵——求解薛定谔方程
算1/2
Q的表象(只有连续本征值q，本征函数是uq(x))下的算符
态的表象
动量表象中，具有确定动量p'的波函数是以p为变量的d函数 例4：坐标表象中，位置固定的粒子(坐标x')波函数
坐标表象中，具有确定坐标x'的波函数是以x为变量的d函数 例5：动量表象中的坐标算符 动量表象中，动量算符就是自身 对易关系在不同的表象中都一样
第三章力学量用算符表达
性质 II: 两个厄密算符之积一般不是 厄密 算符, 除非二算符对易。
但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。
ˆ ˆ x p p x i ˆ ˆ ˆ ˆ p p p p 0
, x, y, z
量子力学中最基本的 对易关系。
ˆ ˆ ˆ ˆ xp y p y x 0 yp x p x y 0 ˆ ˆ ˆ z pz x 0 ypz pz y 0 ˆ xp ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ p x p y p y p x 0 p y pz pz p y 0
Ô(c1ψ1+c2ψ2)= c1Ôψ1+c2Ôψ2
其中c1, c2是任意复常数， ψ1, ψ1是任意两个波函数。 例如：
动量算符 单位算符
ˆ p i ˆ I
是线性算符。
开方算符、取复共轭就不是线性算符。 注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。
（2）算符相等
例如：体系Hamilton 算符
显然，算符求和满足交换率和结合率。
注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 Ô - Û = Ô + （-Û）。 很易证明线性算符之和仍为线性算符。
（4）算符之积
一般来说算符之积不满足 交换律，即 ÔÛ ≠ ÛÔ 这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。
若Ô (Û ψ ) = (ÔÛ) ψ =Êψ 则ÔÛ = Ê 其中ψ是任意波函数。
ˆ iLz
同理 ˆ ˆ ˆ [ L , L ] iL
y z
x
ˆ ˆ ˆ [ Lz , Lx ] iLy
合记之： ˆ ˆ [ L , L ] i
但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。
ˆ ˆ x p p x i ˆ ˆ ˆ ˆ p p p p 0
, x, y, z
量子力学中最基本的 对易关系。
ˆ ˆ ˆ ˆ xp y p y x 0 yp x p x y 0 ˆ ˆ ˆ z pz x 0 ypz pz y 0 ˆ xp ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ p x p y p y p x 0 p y pz pz p y 0
Ô(c1ψ1+c2ψ2)= c1Ôψ1+c2Ôψ2
其中c1, c2是任意复常数， ψ1, ψ1是任意两个波函数。 例如：
动量算符 单位算符
ˆ p i ˆ I
是线性算符。
开方算符、取复共轭就不是线性算符。 注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。
（2）算符相等
例如：体系Hamilton 算符
显然，算符求和满足交换率和结合率。
注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 Ô - Û = Ô + （-Û）。 很易证明线性算符之和仍为线性算符。
（4）算符之积
一般来说算符之积不满足 交换律，即 ÔÛ ≠ ÛÔ 这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。
若Ô (Û ψ ) = (ÔÛ) ψ =Êψ 则ÔÛ = Ê 其中ψ是任意波函数。
ˆ iLz
同理 ˆ ˆ ˆ [ L , L ] iL
y z
x
ˆ ˆ ˆ [ Lz , Lx ] iLy
合记之： ˆ ˆ [ L , L ] i
第三章 力学量的算符.
若两个算符 Ô、Û 对体系的任何波函数ψ 有： ( Ô + Û) ψ= Ôψ+ Ûψ= Êψ 则Ô + Û = Ê 称为算符之和。
例如：体系Hamilton 算符 算符求和满足交换率和结合率。 注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 Ô - Û = Ô + （-Û）。 很易证明线性算符之和仍为线性算符。
f
f
j , j 1,2,, f
ˆ F ˆ F A ji ni nj
f
ˆ A ji F ni
i 1
f
i 1
Fn A ji ni
i 1
f
Fn nj
算符 F 本征值 Fn简并 的本质是当 Fn 确定后 还不能唯一的确定状态， 要想唯一的确定状态还 得寻找另外一个或几个 力学量算符，F 算符与 这些算符对易，其本征 值与 Fn 共同确定状态。
在势场中 V ( r ) 的粒子 H T V
2 ˆ T ˆ V (r ) 2 V (r ) H 2m
问题：算符、动量算符、 Hamilton算符
§3-2
算符的本征值和本征函数
ˆ F F n n n
其中Fn, ψn 分别称为算符 F的本征值和相应的本征态， 上式即是算符 F 的本征方程。求解时，ψ 作为力学量 的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求 即波函数的标准条件。
定理I：体系任何状态ψ下，其厄密算符的平
均值必为实数。
证：
F
ˆ d * F
ˆ ) * d ( F
ˆ ]* [ d * F
F*
逆定理：在任何状态下，平均值均为 实数的算符必为厄密算符。
定理II：厄密算符的本征值必为实。
Chapter 4-3 力学量的算符表示和表象(下)
*
波函数 ψ ( x , t ) 的复共轭 ψ * ( x , t ) 坐标表象 ;
ψ 的厄密共轭 ψ + = ( a1* (t ), a2* (t ), )F表象 ; 列矢量
左矢 ψ 未涉及具体表象
它们均表示 ψ 的共轭矢量。
2. 标积
矢量 ψ 1 与 ψ 2 的标积用 ψ 2 ψ 1 表示，以下 三种标记是等价的：
坐标表示
* (ψ 2 ,ψ 1 ) = ∫ ψ 2 ( x , t )ψ 1* ( x , t ) dx
F表示
* ψ 2+ψ 1 = ( a1* , a2 ,
ψ 2 ψ1
⎛ b1 ⎞ ) ⎜ b2 ⎟ = a1*b1 + a2*b2 + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
未涉及具体表象
显然标积 ψ 2 ψ 1 是一个数，且
平均值 在态 ψ = ∑akψk 下，力学量平均值表为
k
* * ˆ ˆ L = (ψ , Lψ ) = ∑ a j (ψ j , Lψ k ) a k = ∑ a j L jk a k jk jk
⎡ L11 * * = (a1 , a2 , ) ⎢ L21 ⎢ ⎢ ⎣
L12 L22
⎤ ⎛ a1 ⎞ ⎥⎜a ⎟ ⎥⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎥⎝ ⎠ ⎦
即 其中
L ′ = SLS = SLS
+
−1
(5)
′ L ′ = ( Lα β ), L = ( L kj )
(6)
ˆ 分别是 L在表象F和 F ′中的矩阵表示，而
S = ( Sαβ ) 是从F表象到 F′ 表象的幺正变换。
小结
F表象（基矢ψ k）
′ k F ′ 表象（基矢 ψ ）
量 子 态 ψ 力 学 量
波函数 ψ ( x , t ) 的复共轭 ψ * ( x , t ) 坐标表象 ;
ψ 的厄密共轭 ψ + = ( a1* (t ), a2* (t ), )F表象 ; 列矢量
左矢 ψ 未涉及具体表象
它们均表示 ψ 的共轭矢量。
2. 标积
矢量 ψ 1 与 ψ 2 的标积用 ψ 2 ψ 1 表示，以下 三种标记是等价的：
坐标表示
* (ψ 2 ,ψ 1 ) = ∫ ψ 2 ( x , t )ψ 1* ( x , t ) dx
F表示
* ψ 2+ψ 1 = ( a1* , a2 ,
ψ 2 ψ1
⎛ b1 ⎞ ) ⎜ b2 ⎟ = a1*b1 + a2*b2 + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
未涉及具体表象
显然标积 ψ 2 ψ 1 是一个数，且
平均值 在态 ψ = ∑akψk 下，力学量平均值表为
k
* * ˆ ˆ L = (ψ , Lψ ) = ∑ a j (ψ j , Lψ k ) a k = ∑ a j L jk a k jk jk
⎡ L11 * * = (a1 , a2 , ) ⎢ L21 ⎢ ⎢ ⎣
L12 L22
⎤ ⎛ a1 ⎞ ⎥⎜a ⎟ ⎥⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎥⎝ ⎠ ⎦
即 其中
L ′ = SLS = SLS
+
−1
(5)
′ L ′ = ( Lα β ), L = ( L kj )
(6)
ˆ 分别是 L在表象F和 F ′中的矩阵表示，而
S = ( Sαβ ) 是从F表象到 F′ 表象的幺正变换。
小结
F表象（基矢ψ k）
′ k F ′ 表象（基矢 ψ ）
量 子 态 ψ 力 学 量
7.2 力学量(算符)的矩阵表示
量子力学教程(第二版)
三、力学量的表象变换
ˆ L kj (y k , Ly j ) F表象（基矢yk）中，力学量L表示为矩阵（Lkj）,矩阵 元 ˆ F′表象（基矢y）中，力学量L表示为矩阵（L'b）,矩阵元 L b (y , Ly b )
y
y k (y k , y )
a
k
k
ˆ Ly
k
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
量子力学教程(第二版)
两边左乘 y
bj
j
,取标积，得
ˆ (y j , Ly k )a k
k
L
k
jk
ak
(6 )
其中
ˆ L jk (y j , Ly k )
(7 )
式(6)表示成矩阵形式则为
b1 b2 L1 1 L21 L1 2 L22 ... a 1 ... a 2
sin q A1 co s q A 2
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
量子力学教程(第二版)
把矢量逆时针方向旋转q角的操作可用R(q )刻画
co s q R (q ) sin q
sin q
co s q
(4)
它的矩阵元是描述基矢在旋转下如何变化的. 例如第一列元素
xy
n
1
n 2
y
n 1
n 1
y n 1 2
(9 )
d dx
y
n
n 2
y
n 1
n 1
y n 1 2
第3章 力学量用算符表达
证明如下:
设
Aˆn Ann,
Aˆ m Amm,
并设 m,n 存在, 对 Aˆm Amm, 取复共轭, 得到
* 定义一个量子体系的任意两个波函数(态) 与
的标积
, d *
d 是指对体系的全部空间坐标进行积分,
d 是坐标空间体积元.
则可以证明:
, 0
,* ,
,c11 c22 c1 ,1 c2 ,2
c11 c22, c1* 1, c2* 2,
式中 c1 与 c2 为任意常数.
第3章
力学量用算符表达
3.1 算符的运算规则
量子力学中的算符, 表示对波函数(量子态)的一 种运算.例如
d ,V (r) , ,2
dx
讨论 量子力学中算符的一般性质:
(a)线性算符
凡满足下列规则的算符 Aˆ , 称为线性算符，
Aˆ c11 c22 c1Aˆ1 c2 Aˆ2
其中 1 和 2是任意两个波函数，c1 与 c2 是
F x eax, 可定义
F
d dx
a
e
d dx
n0
an n!
dn dxn
.
ad
e dx
x
x
a
算符
a
e
d dx
的物理意义,
是与体系沿 x方向平移a
有关的算符.
两个(或多个)算符的函数也可类似定义.
令
F n,m
x,
y
n xn
m y m
F
x,
y,
则
F ˆ, Bˆ Fn,m 0, 0 ˆ nBˆ m. n,m0 n!m!
r
将（3）式两 边分别对 x y z 求偏导数得：
表象与变换
第四章 表象与变换内容简介：本章讨论各种不同的表象以及它们之间的变换关系。
这就如同，在数学中给定坐标系后，应该讨论坐标系之间的坐标变换一样。
另外，我们还曾指出，一个量子态，相当于一个态“矢量”。
在数学中，一个矢量，在选定坐标系后，可以用它在该坐标系中的一组分量来表示。
但是，一个矢量，也可以用一个矢量符号表示。
这种表示并不依赖于坐标系的选取，但同样可以进行各种矢量运算。
同样，在量子力学中，一个态矢量也可用类似的方法表示，这就是狄拉克符号。
在本章将介绍这种表示法以及运算规则。
除表象外，本章还要介绍一些有关绘景的知识。
§ 4.1 矢量空间§ 4.2 态和算符的表象表示§ 4.3 量子力学公式的矩阵表示§ 4.4 幺正变换§ 4.5 狄拉克符号§ 4.6 线性谐振子粒子数表象§ 4.7 绘景的分类1.线性矢量空间定义：无穷多个抽象的数学元素的集合，规定了下列两种运算，则称这个集合为一个线性矢量空间。
运算一：集合内任意两个矢量 和 ，总有一个确定的 与 之对应，记作 这种对应法称为加法。
加法运算满足下列条件：① 交换律 ② 结合律存在唯一零矢量 ，对任意矢量 都有 ④ 对集合中的任意矢量 ，都有唯一的逆矢量 存 在，满足运算二：规定一种确定的对应方法，使得 中的任意矢量 和数域中任意数 ，在集合中总有一个矢量 与之对应，这种对应法则叫数乘，记作 数乘满足下列条件： ② ③2.线性相关与线性无关线性无关：对于线性矢量空间 个矢量集合 ，若线性组合 ，只有当所有系数 时才成立，则称 个矢量线性无关，否则 个矢量称线性相关。
一个线性矢量空间中可以找到的线性无关矢量个数的最大值 ，称为该线性矢量空间的维数。
3.内积运算 规定一种确定的对应方法，对于线性矢量空间中的任意两个矢量 和 ，总有一个复数 与之对应，且满足下列条件，则称为矢量的内积： 4.标准正交基作为标准正交基，必须满足下列条件：① 是线性无关的; ②③ 具有完备性：内积空间的任意矢量 可以表示为4.2 态和算符的表象表示 在量子力学中，态和力学量的具体表达方式称为表象。