第四节矩阵谱分解

A = PΛP −1 , AT = ( PT ) −1 ΛPT
其中
Λ = diag (λ1 , λ2 , ⋯ , λn )
这表明A 也与对角矩阵相似， 这表明 T也与对角矩阵相似，故AT也是单纯矩阵
个线性无关的特征向量 设y1,y2, …,yn是AT的n个线性无关的特征向量 则 个线性无关的特征向量.则 ( y1,y2, …,yn ) = (PT )-1 = (P-1 ) T
n× n 设单纯矩阵 A ∈ C 的谱为 λ1 , λ2 ⋯, λs ，其代数重数分为
m1 , m2 , ⋯, ms 则存在唯一的 Ei ∈ C n×n , i = 1,2, ⋯ , s 使
(1)
(2)
A = ∑ λi Ei ;
i =1
s
Ei , i = j Ei E j = o, i ≠ j
∀A ∈ R n×n , ∃P ∈ R n×n , P −1 = PT ,
λ1 * ⋯ ⋯ * λ2 ⋱ ⋮ P −1 AP = ⋱ ⋱ ⋮ ⋱ * λn
其中λ1，λ2， λn为A的特征值. ⋯
引理 证明
正规上三角矩阵是对角矩阵 设n阶矩阵A是正规上三角矩阵，则 阶矩阵A是正规上三角矩阵，
第六节
主要内容： 主要内容：
矩阵谱分解
一、单纯形矩阵的谱分解 二、正规矩阵与酉对角化 三、正规矩阵的谱分解
一、单纯形矩阵的谱分解 左特征向量 给定n阶矩阵 ， 的特征值。 给定 阶矩阵A，λ是A的特征值。由于 T与A有相同的 阶矩阵 的特征值 由于A 有相同的 特征值， 特征值，设Y是AT的属于λ的特征向量，则 是 的属于λ的特征向量，
Y 1T T Y2 = ( X 1 , X 2 , ⋯ , X s ) ⋮ Y T s
同时
I n = PP
−1
=
∑
s
i =1
X iY i T =
∑
s
i =1
Ei
1 2 2 例2：求单纯矩阵A = 2 1 2 的谱分解 ： 2 2 1
n× n
, 满足 A H A = AA H
下列类型的矩阵都是正规矩阵： 下列类型的矩阵都是正规矩阵： AT=A; 实对称矩阵 AT=-A; 反实对称矩阵 AT=A-1; 正交矩阵 AH=A-1; 酉矩阵 Hermite矩阵 AH=A; 矩阵 反Hermite矩阵 AH=-A; 矩阵 对角矩阵
2、酉相似 、
设A, B ∈ C n×n , 若存在可逆矩阵P, 使P −1 AP = B, 则称A与B是相似的。
若P是正交矩阵(实矩阵），即P −1 = PT， 则称A与B是正交相似的。
若P是酉矩阵 (复矩阵），即 P −1 = P H ， 则称 A与B是酉相似的。
3、Schur 定理 （1）任意复方阵酉相似于一个上三角矩阵。即 任意复方阵酉相似于一个上三角矩阵。
a11 a12 ⋯ a1n a22 ⋯ a2n A= , ⋱ ⋮ ann
∵ A H A = AA H ,
a11 a12 AH = ⋮ a1n ⋱ ⋯ a nn
a 22 ⋮ a 2n
∴ ∑ aij = ∑ aij a ij = ∑ a ji a ji = ∑ a ji ,
∀A ∈ C n×n , ∃U ∈ C n×n ,U −1 = U H ,
λ1 * ⋯ ⋯ * λ2 ⋱ ⋮ U H AU = ⋱ ⋱ ⋮ ⋱ * λn
其中λ1，λ2， λn为A的特征值. ⋯
Schur 定理 （2）任意实方阵正交相似于一个上三角矩阵。即 任意实方阵正交相似于一个上三角矩阵。
=
xi yiT = ∑
i =1
n
∑A
i =1
n
i
求矩阵A的谱分解 例1 求矩阵 的谱分解
1 1 A= 4 1
解
由 得
f A (λ ) =
λ −1
−4
−1
λ −1
= (λ + 1)(λ − 3)
λ1 = 3, λ2 = −1,
1 1 x1 = , x2 = 2 − 2
y 1T T y 2 P −1 = 从而 , ⋮ y T n y 1T T y2 −1 ∵ P P = x2 ⋯ (x 1 ⋮ yT n
AT = (PT )−1ΛPT
xn
)=
I
即：
T y1 x1 T y 2 x1 −1 P P == ⋯ yT x n 1
则
T y1 E1 = ( x1 , x2 ) T = y 2
1 1 2 − − 3 1 1 1 − 2 1 31 23 1 3 3 3 = − − − 1 0 1 1 3 2 3 3 0 − 1 − 1 1 2 3 3 3 − − 3 3 3
⋯ ⋯ ⋯
Y 1T X Y 2T X ⋮ Y sT X
s s
1
2
s

可得
I mi Yi X j = 0
T
i= j i≠ j
则
E i E j = ( X i Yi T )( X j Y jT ) = X i (Yi T X j )Y jT
Ei = 0 i= j i≠ j
从而
Y1T T Y2 −1 P = ( X 1 , X 2 , ⋯, X s ), P = ⋮ Y T s
λ2 I m2
Y1T T Y2 ⋮ λs I ms YsT
= ∑ λi X iYi
= ( x1 x2
T λ1 y1 T λ2 y2 ⋯ xn ) ⋮ ⋱ T λn yn
T T = λ 1 x1 y 1T + λ 2 x 2 y 2 + ⋯ + λ n x n y n
= ∑ λi xi y = ∑ λi Ai ---矩阵A的谱分解 矩阵A
T i
T i T j T i T j
则 Ai A j = ( xi y )( x j y ) = xi ( y x j ) y
xi y = o
Ai = o
T i
i= j i≠ j
i= j i≠ j
（2 ）
I = P P −1 = ( x1
x2
T y1 T y2 ⋯ xn ) ⋮ yT n
i =1
(3)
∑ Ei = I
s
谱分解定理的证明
对于特征值λ 对于特征值λi ， x1i,x2i, …,xmii是A的相应的 , i (yii )T , (y2i )T ,⋯, (ym )T 是A mi个线性无关的右特征向量， 个线性无关的右特征向量 特征向量， 个线性无关的左特征向量 的相应的mi个线性无关的左特征向量
设A的左特征向量为 的
y ,y
T 1
T 2
因为 y , y
T 1
T 2
满足
y x = 1, y x2 = 0
T 1 1 T 1
y x = 0, y x2 = 1
T 2 1 T 2
可解得
1 y = 2
T 1
1 T 1 , y2 = 4 2
1 4 1 2
1 − 4
从而
1 T E1 = x1 y1 = 2 1
j =i j =i j =1 j =1
n
2
n
i
i
2
依次取i = 1,2,⋯, n得
a11 + a12 + ⋯ + a1n = a11 ,
2 2 2 2
a22 + ⋯ + a2 n = a12 + a22
2 2 2
2
ห้องสมุดไป่ตู้
⋯⋯⋯ ann = a1n + a2 n + ⋯ + ann
2 2 2 2
比较等式两边， 比较等式两边，可得
T y1 x2 ⋯ T y 2 x2 ⋯ ⋯ ⋯ T y n x2 ⋯
T y1 xn T y 2 xn = I, ⋯ T y n xn
1, i = j ∴ y xj = 0, i ≠ j
T i
对于单纯矩阵A 矩阵特征值的代数重复度都为 ） 对于单纯矩阵A（矩阵特征值的代数重复度都为1）， 由 A = P Λ P −1
由矩阵A 由矩阵A的特征多项式 λE − A = (λ − 1) 2 (λ − 5) 得A的特征值 λ1 = −1, λ2 = 5 及相应的线性无关的特征向量 为
x1 = (1,−1,0 ) , x2 = (1,0,−1) , x3 = (1,1,1)
T T T
T T T y1 , y 2 , y 3 则由 设 λi 对应的左特征向量为
i =1
s
T
= ∑ λi Ei
i =1
s
再由
In
Y 1T T Y2 −1 = P P = ⋮ Y T s
Y 1T X T Y2 X = ⋮ Y T X s
1 1
(X 1 , X 2 , ⋯ , X
2 2
s
)
Y 1T X Y 2T X ⋮ Y sT X
aij = 0, j ≠ i, i = 1,2,⋯, n
定理 设A ∈ C n×n 则A酉相似于一个对角矩阵的充 ， 分必要条件是A为正规矩阵， 分必要条件是A为正规矩阵，即
i =1 T i i =1
n