离散数学sec13 匹配
离散数学中的的匹配与覆盖问题
离散数学中的的匹配与覆盖问题在离散数学中的匹配与覆盖问题，我们研究的是如何在给定的集合中，找到满足特定条件的组合或者子集。
匹配与覆盖问题在实际生活中有着广泛的应用，例如在社交网络中匹配好友，组织中分配任务，以及物流中优化路径等等。
1. 匹配问题匹配问题是指在一个给定的图中，找到一个子图，使得子图的边集中的每个顶点都只有一条边与之关联。
在离散数学中，匹配问题可以表示为一个图的问题，其中图的顶点表示对象，边表示对象之间的关系。
在旅行商问题中，我们经常使用匹配来解决路线规划问题。
在一个包含多个城市的地图中，我们可以通过匹配算法找到最短的路径，从而使得旅行商能够尽快地访问到每个城市。
2. 覆盖问题覆盖问题是指从给定的集合中选取一些元素，使得这些元素能够覆盖其他元素的集合。
在离散数学中，覆盖问题可以表示为一个集合系统，并且需要找到一个最小的子集，使得它覆盖了集合系统中的所有元素。
在电信领域，我们经常会遇到覆盖问题。
例如，在一个城市中建设无线信号基站，我们需要在有限的基站数量下，选择合适的位置，使得基站能够覆盖到尽可能多的用户。
通过覆盖问题的研究，我们可以优化基站的布局，提高网络的覆盖率。
3. 匹配与覆盖问题的解决方法在离散数学中，匹配与覆盖问题有着丰富的解决方法。
其中一种常见的方法是图论中的匈牙利算法，它可以用于解决二分图的最大匹配问题。
匈牙利算法的基本思想是通过增加路径来找到当前路径的增广路径，并最终找到最大匹配。
另外一种常见的解决方法是贪心算法，它可以用于解决覆盖问题。
贪心算法的基本思想是每次选择一个局部最优的解决方案，并逐步构建全局最优解。
通过不断地选择覆盖集合中最多未被覆盖的元素，贪心算法可以找到一种近似的最优解。
此外，还有其他一些算法和方法可以用于解决匹配与覆盖问题，如线性规划、网络流等。
根据问题的具体要求和限制条件，选择合适的算法和方法进行求解。
思考匹配与覆盖问题给我们带来的启示，我们发现离散数学在实际问题中有着广泛的应用。
离散数学在密码学中的应用例题和知识点总结
离散数学在密码学中的应用例题和知识点总结在当今数字化的时代，信息安全变得至关重要。
密码学作为保护信息安全的核心手段，其背后离不开离散数学的强大支撑。
离散数学中的众多概念和方法，为密码学提供了坚实的理论基础和有效的工具。
下面我们将通过一些具体的例题来深入理解离散数学在密码学中的应用，并对相关的知识点进行总结。
一、离散数学在密码学中的重要知识点（一）数论基础1、素数和整除性：素数在密码学中起着关键作用，例如在 RSA 加密算法中，选择两个大素数的乘积作为公钥和私钥的一部分。
2、同余和模运算：同余关系在加密和解密过程中被广泛应用，帮助确定加密后的数值与原始数值之间的关系。
（二）群论1、群的定义和性质：群的概念用于构建加密算法的数学结构，保证加密的安全性和有效性。
2、循环群和置换群：在密码算法的设计中，循环群和置换群可以提供高效的加密和解密操作。
（三）图论1、图的遍历和最短路径：图论可以用于分析密码算法的复杂性和效率。
2、网络安全中的图模型：帮助理解和防范网络攻击中的信息传播路径。
（四）布尔代数1、逻辑运算和布尔函数：在加密算法中用于数据的编码和解码。
2、布尔电路设计：实现加密和解密的硬件逻辑电路。
二、应用例题（一）RSA 加密算法中的数论应用RSA 算法是一种广泛使用的非对称加密算法。
假设选取两个素数 p ＝ 11，q ＝ 13，计算 n ＝ p q ＝ 143，φ(n) ＝（p 1) （q 1) ＝ 120。
选择一个整数 e ＝ 7（1 ＜ e ＜φ(n)，且 e 与φ(n) 互质），通过扩展欧几里得算法求出 d，使得e d ≡ 1 （mod φ(n)），得到 d ＝ 103。
加密过程：对于明文 m ＝ 8，计算密文 c ＝ m^e mod n ＝ 8^7 mod 143 ＝ 11。
解密过程：接收方收到密文 c ＝ 11，计算明文 m ＝ c^d mod n ＝11^103 mod 143 ＝ 8，成功恢复明文。
离散数学 匹配与点独立集
2012-2-3 离散数学 21
让我们去克服新的困难
• • • • • • • • • • 归纳基础 已经建立， 归纳证明也清晰可见。 啊！四分之三的路走完了， 成功的喜悦涌动在我们的心田。 可是第⑷点：能否使得ui和vi配对？ 却又拦在了我们的前面。 这个问题似乎有点麻烦？ 同学们，不要畏惧艰险。 展开那年青活跃的思维翅膀， 勇敢地翱翔在科学技术的辽阔蓝天！
都是杆(即两端点不重合)、且任意两条边均不 邻接(即无公共端点)，则称M为G的一个匹配。
v1 • G的边数最多的匹配称最大匹配。 G v2 v3 • 右图中用粗线表示的边的集合 v6 就是一个匹配，且是最大匹配。 v4 v5 • 最大匹配所含的边数称为最大 v7 v8 匹配数，记为α’(G)。 • 显然对一个图G(p，q)， α’(G) ≤p/2。 • 易知一个图G的匹配可能不唯一。
2012-2-3 离散数学 18
存在S使得O(G–S)=|S|
• 我们先证明⑶： ∃S ：S只含有v1, … ,vn。 • 引理9.1.2：若图G满足条件(9.4)，则∃S⊂V(G)， 使得O(G–S)=|S|。 • 证明：若图G满足条件(9.4)，则图G具有偶数个 G (9.4) G 顶点。任取v∈V(G)，令S={v}，则G–S是奇数 顶点。从而有O(G–S) ≥ 1 = |S|，而由条件(9.4) O(G–S) ≤ | S |可知，O(G–S) = | S |。
2012-2-3 离散数学 16
再考虑完美匹配的必要条件
• G具有完美匹配的必要条件(9.4)是：∀S⊂V(G)， 有O(G–S) ≤| S |。 它会不会也是充分条件呢？ • 再次考虑上图。 若∃S⊂V (G) ，使G–S有： 奇分支 偶分支 • ⑴每个偶分支有完美匹配； • ⑵每个Gi–{vi} G }有完美匹配。 G1 … Gn … v1 vn • ⑶S只含有u1, … ,un； • ⑷能够使得ui和vi配对。 u1… un ·…· S • 则G就具有了完美匹配。 • 条件(9.4)若能保证以上4点，也就是充分条件。
离散数学中的图的匹配和匹配理论
离散数学是数学中的一个重要分支，它研究的是离散的、离散的、不连续的数学结构与问题。
而图论是离散数学的一个重要领域，它研究的是图的性质和关系。
在离散数学中，图是一个由节点（顶点）和边组成的网络结构。
节点表示实体，边表示节点之间的关系。
图的匹配是指一种边的选择方式，使得没有两个边具有相同的起点或终点。
图的匹配问题是图论中的一个经典问题，匹配理论则是研究匹配问题的理论基础。
图的匹配在实际中有广泛的应用，比如在交通规划、人员分配等领域中都涉及到匹配问题。
在图的匹配问题中，存在两种不同的匹配，分别是最大匹配和完美匹配。
最大匹配是指在所有可能的匹配中，边数最多的匹配，而完美匹配是指图中的每个节点都被匹配。
在图的匹配问题中，一个重要的概念是增广路径。
增广路径是指一个由未匹配的顶点和匹配点依次相连所构成的路径。
通过寻找增广路径，可以使得匹配数增加，从而逐步逼近最大匹配。
图的匹配理论主要围绕匹配数的计算和匹配的寻找展开。
最简单的匹配算法是贪心算法，即每次找到一个未匹配的节点，与之相连的边进行匹配，并不断更新匹配的边。
然而，贪心算法无法保证得到最优解，因此需要其他更加高效的算法来解决匹配问题。
其中一种经典的算法是匈牙利算法，它以增广路径为基础，通过不断寻找增广路径来找到最大匹配。
匈牙利算法的核心思想是通过不断寻找增广路径来增加匹配数。
具体步骤如下：1.初始化所有节点都未匹配2.对每个未匹配的节点，进行深度优先搜索，寻找增广路径3.如果找到增广路径，则将路径上的边匹配4.重复步骤2和步骤3，直到无法找到增广路径5.返回匹配结果匈牙利算法的时间复杂度为O(V * E)，其中V为节点数，E为边数。
虽然匈牙利算法在时间复杂度上不是最优的，但它具有简单易懂、容易实现的优点。
在实际应用中，匹配问题往往需要考虑更多的因素，比如权重、容量等。
为了解决带权匹配问题，可以使用最小权重匹配算法，比如Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法。
29-匹配
离散数学 第29
上一讲内容的回顾
图的平面嵌入 平面图和非平面图 平面图的必要条件：欧拉公式 适用于简单图的欧拉公式推论 平面图的充分必要条件-Kuratowski定理 图着色 平面图着色与四色定理
匹配
支配集 点覆盖集与独立集 边覆盖集 匹配 最大匹配和完美匹配 二部图中的匹配 Hull定理
支配集与支配数
最小边覆盖与最大匹配的关系
证明W是最小边覆盖，M1是最大匹配．
W显然是边覆盖，所以 |W|≥α1。注意：|M|=β1, 又因为M是最大 ≥α 匹配，N中不可能有一条边的两个端点都是M-非饱和点，∴ |N|=n-2β1，∴|W|=|M|+|N|=n-β1。 β 而M1=W1-N1显然是匹配, |M1|≤β1。W1是最小边覆盖, 所以，构 ≤β 造 M1 时 ， 每 移 去 一 条 边 ， 恰 好 产 生 一 个 M1- 非 饱 和 点 。 而 |W1|=α1, M1-非饱和点数为n-2|M1|，∴|N1|=|W1|-|M1|=n-2|M1|, 即 α1= n-|M1|。 综 上 所 述 可 得 ： α 1= n-|M1|≥n-β1=|W|≥α1, 于 是 ： |W|=α1 且 ≥ β ≥α |M1|=β1，即W是G中的最小边覆盖，且M1是G中的最大匹配。
注意：极小支配集未必是最大独立集 (甚至未必是独立集)
极小支配集 不是 独立集
点覆盖与点覆盖数
点 覆盖 边
点覆盖数 α0=3
点覆盖数 α0=4
最小点覆盖 极小点覆盖
点覆盖与点独立集的关系
设G是无孤立点的简单无向图，VG的真子集V*是点 覆盖当且仅当V-V*是点独立集。 证明：令V’=V-V* ∈ ⇒ 假 设 V' 不 是 独 立 集 ， 则 存 在 u,v∈V', 满 足 uv∈EG, 注意：V‘=VG-V*, 即u,v∉V*, ∴uv边不可能被 V*所覆盖，矛盾。 ⇐ ∀e∈EG, 假设e=uv, 因为V‘是点独立集，u,v中 至 少 有 一 个 不 在 V' 中 ， 不 妨 设 u∉V', 则 u∈V*, ∴V* 是点覆盖。
离散数学中的图的匹配与匹配算法
图论是离散数学中的一个重要分支，其中图的匹配问题被广泛研究和应用。
图的匹配是指在一个图中找到一组边，使得每个顶点都与其中的一条边相关联。
匹配问题在实际生活中有着广泛的应用，例如婚姻问题中的稳定婚姻匹配、求解工程布线问题、计算机网络中的路由问题等等。
在图的匹配问题中，一个匹配是指一个边集，其中任意两条边的两个顶点都不相同。
一个最大匹配是指具有最多边数的匹配，而完美匹配是指包含图中所有顶点的匹配。
为了求解图的最大匹配和完美匹配问题，研究者们提出了多种匹配算法。
下面介绍两种常见的匹配算法：增广路径算法和匈牙利算法。
增广路径算法是一种基于搜索的匹配算法。
该算法通过递归地搜索增广路径来不断扩展当前匹配的边集。
增广路径是指一条从未匹配的顶点开始，交替经过边集中的匹配边和未匹配边的路径。
当找到一个增广路径时，可以通过将路径上的未匹配边和已匹配边进行交换来增加匹配的边数。
该算法重复执行这一步骤，直到没有增广路径可以找到为止。
最终得到的边集就是一个最大匹配。
匈牙利算法是一种贪心算法。
该算法从一个未匹配的顶点开始，尝试将其与任意还未匹配的邻接顶点进行匹配，并递归地对邻接顶点进行匹配。
如果当前的匹配可以被改进，则进行匹配的调整。
当所有的顶点都被匹配上时，得到的边集就是一个完美匹配。
图的匹配问题具有多项式时间复杂度的解法，因此可以有效地求解大规模问题。
匹配算法在现实生活中的应用非常广泛，它们被广泛应用于计算机网络、人工智能、生物信息学等领域。
例如，在计算机网络中，匹配算法可以用于求解最优路由问题，以便在网络传输过程中选择最佳的路径。
在交通运输中，匹配算法可以用于最佳路径规划、货物调度等。
在社交媒体中，匹配算法可以用于推荐好友、推荐兴趣爱好等。
总结来说，离散数学中的图的匹配问题是一个重要而有趣的领域。
它的应用涉及广泛，算法也多样。
增广路径算法和匈牙利算法是两种常见的图匹配算法，它们在实际问题中具有重要的作用。
在未来的研究中，我们可以进一步研究图匹配问题的优化算法和高效实现方式，以满足不同实际问题的需求。
湘潭大学 刘任任版 离散数学课后习题答案 习题9
习 题 九1．证明：任何树最多只有一个完美匹配分析：树是连通没有回路的图；树的完美匹配是树存在一个匹配M ，满足树的所有顶点v 都是M-饱和点。
而两个完美匹配中不同的边所关联的顶点的度至少为2，否则如果等于1的话，则该顶点关联的边只有一条，在构造完美匹配的时候为了使得这个点成饱和点，只有一种选择。
证明：设树T 有两个或两个以上的完美匹配，任取完美匹配1M 和2M ，21M M ≠。
于是Φ≠⊕21M M 。
易知边导出子图][21M M T H ⊕=中的每个顶点v 满足2)(≥v d H 。
于是H 中存在回路，从而T 中有回路。
此与T 是树矛盾，故结论成立。
2．证明：树G 有完美匹配当且仅当对任意)(G V v ∈，均有1)(=-v G O分析：一方面，由定理9.1.3 图G 存在完美匹配当且仅当对任意S ⊂V(G)，有||)(S S G O ≤-，所以如果树G 有完美匹配，则1|}{|)(=≤-v v G O ；而G 有完美匹配，说明=|)(|G V 偶数，所以1)(≥-v G O ；从而有1)(=-v G O 。
另一方面，如果对任意)(G V v ∈，均有1)(=-v G O ，则对v 而言，可利用这个这个奇分支找到v 关联的唯一边，从而构造出G 的一个完美匹配。
证明：必要性 设G 有完美匹配。
由定理9.1.3，取}{v S =，则1||)()(=≤-=-S S G O v G O又 ∵G 有完美匹配，∴=|)(|G V 偶数。
于是|)(|v G V -=奇数。
故 1)(≥-v G O . 从而 1)(=-v G O .充分性 设对任意)(G V v ∈，有1)(=-v G O .即v G -恰有一个奇分支)(0v C ，因G 是树，故v 只能与)(0v C 中的一个顶点邻接。
设v 与)(0v C 的关联边为)()(G E vu v e ∈=。
显然v 确定以后，uv 是唯一确定的，且易知uv u C =)(0。
离散数学中的图的匹配和二分图
在离散数学中，图论是一门重要的理论基础课程，它研究的是由节点和边构成的图结构。
图的匹配和二分图是图论中的两个重要概念，它们在现实生活中有着广泛的应用。
首先，我们来介绍一下图的匹配。
图的匹配指的是在一个图中选取一些边，使得这些边彼此不相交，即任意两条边不共享同一个顶点。
图的匹配问题可以用最优化问题来描述，既需要满足匹配条件，还需要满足某种优化目标。
例如，在一个社交网络图中，选择一些用户与其他用户进行配对，使得两个不认识的用户不会被配对在一起，同时目标是使得配对用户的兴趣爱好相似度最大化。
在这个问题中，边表示用户之间是否认识，而边的权值表示兴趣爱好的相似度。
其次，我们来介绍一下二分图。
二分图是一种特殊的图结构，它可以被划分为两个独立的顶点集合，使得同一个顶点集合内的顶点之间没有边相连。
换句话说，二分图中不存在奇圈。
二分图的一个典型例子是婚姻匹配问题。
假设有n个男性和n个女性，他们之间有多种可能的配对方式，但是每个人只能与另一个不同性别的人结婚。
这时，我们可以用一个二分图来表示这个问题，其中男性和女性分别作为两个顶点集合，边表示可能的配对。
然后，我们可以使用图的匹配算法来找到一个最佳匹配方案。
图的匹配和二分图在离散数学中有着重要的研究价值和应用价值。
首先，图的匹配可以用于解决资源分配问题。
例如，在一个工厂中，有m个任务需要分配给n个员工进行处理，每个员工对某些任务有一定的能力要求，而每个任务也需要一定的时间完成。
这时，我们可以将员工和任务分别作为两个顶点集合，边的权值表示员工对任务的能力是否满足要求和任务完成时间。
然后，我们可以使用图的匹配算法来找到一个最佳的任务分配方案，使得员工的工作量最小。
其次，二分图可以用于解决社交网络分析问题。
如今，社交网络已经成为人们日常生活中重要的一部分，人们之间通过社交网络平台进行交流和连接。
我们可以使用二分图来表示社交网络的结构，其中一个顶点集合表示用户，另一个顶点集合表示用户之间的好友关系，边的权值表示用户之间的相似性度量。
离散数学在密码学中的应用例题和知识点总结
离散数学在密码学中的应用例题和知识点总结在当今数字化的时代，信息安全变得至关重要。
密码学作为保护信息安全的重要手段，其背后蕴含着丰富的离散数学知识。
离散数学为密码学提供了坚实的理论基础，使得我们能够设计出更加安全可靠的加密算法。
接下来，让我们通过一些具体的例题来深入了解离散数学在密码学中的应用，并对相关知识点进行总结。
一、集合论在密码学中的应用集合是离散数学中的基本概念之一。
在密码学中，集合可以用来表示密钥空间。
例如，我们假设有一个简单的加密系统，其密钥是从集合{1, 2, 3, 4, 5}中选取的。
例题：已知加密算法使用的密钥是集合{1, 2, 3, 4, 5}中的元素，且明文为“HELLO”，使用密钥 3 进行加密。
加密规则是将明文中的每个字母在字母表中向后移动 3 位。
解：“H”向后移动 3 位变成“K”，“E”变成“H”，“L”变成“O”，“L”变成“O”，“O”变成“R”。
所以加密后的密文为“KHORO”。
知识点总结：集合论在密码学中的应用主要体现在定义密钥空间和可能的取值范围。
通过对集合的操作和分析，可以更好地理解和设计加密系统的密钥管理机制。
二、关系在密码学中的应用关系也是离散数学中的重要概念。
在密码学中，关系可以用于描述加密和解密过程中明文和密文之间的对应关系。
例题：设有一个加密关系 R，定义为 R ＝｛（m, c) ｜ m 是明文，c 是密文，c ＝ m ＋ 5 （mod 26) ｝，明文为“WORLD”，求密文。
解：“W”对应的数字是 22，加密后为（22 ＋ 5) mod 26 ＝ 1，对应字母为“B”。
同理，“O”变成“T”，“R”变成“W”，“L”变成“P”，“D”变成“I”。
密文为“BTWPI”。
知识点总结：关系在密码学中用于建立明文和密文之间的映射，通过定义明确的关系规则，可以实现加密和解密的操作。
对关系的性质和运算的理解有助于设计更复杂和安全的加密算法。
三、代数系统在密码学中的应用代数系统在密码学中有着广泛的应用，特别是在公钥密码体制中。
二部图中的匹配
Department of Computer Science and Technology, Nanjing University
最大匹配
若是回路, 来自M 的边数等于来自M′的边数. 因为 |M′| >|M|, 故必有一条路径包含M′的边多于M的边, 从 而是相对于M的增广路径. 得证
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Department of Computer Science and Technology, Nanjing University
二部图中的完备匹配（举例）
V1={1, 2, 3, 4, 5, 6}, 是否存在饱和V1的配对方案？
A
1 {A, C, F}
B 2
C
3 {A, C}
D
饱和{1, 3, 4, 6}？
4 {A, F}
E 5
F
6 {C, F}
G
6
Department of Computer Science and Technology, Nanjing University
对于A中尚未配对的某顶点a，若{ (a, b) | a可被b接受}非空. 按照线性序≤a找出最大元，记为(a, bj)，将这条边添加到M 中，删除M中以bj为端点的边（假如有的话）。 对于A中尚未配对的所有顶点a，{ (a, b) | a可被b接受}均为 空. （结束）
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Department of Computer Science and Technology, Nanjing University
图中的匹配
匹配（边独立集）：互不相邻的边的集合 M-饱和点：M中各边的端点
匹配数 β1=3
匹配数 β1=4
极大匹配 最大匹配
M-饱和点
离散数学中的匹配问题研究
离散数学中的匹配问题研究离散数学是一门研究离散的数学结构和离散的数学对象的学科。
而在离散数学中，匹配问题是一个重要的研究方向。
匹配问题是指在一个图论模型中，找到一组边的集合，使得每个顶点都与集合中的某条边相连。
本文将深入探讨离散数学中的匹配问题，并介绍匹配问题的应用。
一、匹配问题定义及分类1. 定义匹配问题是在一个二分图（Bipartite Graph）中寻找满足特定条件的边的集合，使得每个顶点只与集合中的某条边相连。
二分图是一种特殊的图，在二分图中，顶点可以分为两个互不相交的集合，并且边只能连接不同集合中的顶点。
2. 分类匹配问题可以根据不同的条件和要求进行分类。
常见的匹配问题有以下几种：- 完全匹配：每个顶点都与集合中的某条边相连，没有孤立顶点。
- 最大匹配：找到一个边的集合，使得集合中的边数最大。
没有其他边可以加入集合中。
- 最小匹配：找到一个边的集合，使得集合中的边数最小。
没有其他边可以从集合中移除。
二、匹配问题的算法与应用1. 匈牙利算法匈牙利算法是解决二分图最大匹配问题的经典算法之一。
该算法基于增广路径的思想，通过多次寻找增广路径来寻找最大匹配。
2. Dinitz算法Dinitz算法是解决二分图最大流问题的算法，由于二分图最大匹配问题可以转化为最大流问题，因此Dinitz算法也可以用于解决匹配问题。
3. 应用匹配问题在现实生活中有着广泛的应用。
以下是几个典型的应用领域：- 交通规划：通过匹配问题可以优化城市中的道路网络，使得交通流畅。
- 人员安排：通过匹配问题可以高效地安排人员在不同岗位上的分配，使得每个人都得到合适的工作。
- 电子商务：通过匹配问题可以实现商品与用户之间的匹配，提供个性化的推荐服务。
三、匹配问题的案例分析1. 经典案例：婚姻匹配问题（Stable Marriage Problem）婚姻匹配问题是匹配问题的一个经典案例。
假设有n个男性和n个女性，每个人都有自己的偏好列表。
离散数学部分概念和公式总结(考试专用)
命题：称能判断真假的陈述句为命题。
命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。
命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。
给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。
若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。
真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。
将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。
命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
（2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
（3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。
主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。
主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。
命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A↔B是重言式，则称A与B是等值的，记作A<=>B。
约束变元和自由变元：在合式公式∀x A和∃x A中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。
一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A↔B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。
前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B，称A为前束范式。
集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。
笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。
二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。
离散数学等价公式表16个
离散数学等价公式表16个一、双重否定律。
1. “非非A等于A”。
就好像说“不是不喜欢那就是喜欢啦”，A和两个否定后的A是一回事儿，这就是双重否定律。
二、幂等律。
2. “A和A做合取（并且）还是A”，就像你说“苹果是水果并且苹果是水果”，这其实就等于说“苹果是水果”，这就是A合取A等价于A。
3. “A或A做析取（或者）还是A”。
好比“今天要么是晴天要么是晴天”，这和说“今天是晴天”是一样的，A析取A等价于A。
三、交换律。
4. “A和B做合取，等于B和A做合取”。
这就像说“小明是男生并且小红是女生”和“小红是女生并且小明是男生”是一样的，合取里A和B的顺序换一换不影响结果。
5. “A或B做析取，等于B或A做析取”。
比如说“要么吃苹果要么吃香蕉”和“要么吃香蕉要么吃苹果”是一样的道理，析取时A和B交换顺序结果不变。
四、结合律。
6. “A和（B和C）做合取，等于（A和B）和C做合取”。
这就好比三个人站一起，不管是先把后面两个人看成一组再和前面的组合，还是先把前面两个人看成一组再和后面的组合，最后都是这三个人站一起的关系，合取的这种组合方式结果一样。
7. “A或（B或C）做析取，等于（A或B）或C做析取”。
例如去旅游，不管是先想“去北京或者（去上海或者去广州）”，还是“（去北京或者去上海）或者去广州”，其实都是在考虑这三个地方去其中一个的选择，析取的这种组合结果相同。
五、分配律。
8. “A和（B析取C）等于（A和B）析取（A和C）”。
可以想象成你有一堆苹果（A），要分给两组人，一组是喜欢香蕉或者橙子（B析取C）的人，这就相当于把苹果分给喜欢香蕉的人（A和B）或者分给喜欢橙子的人（A和C）。
9. “A或（B合取C）等于（A或B）合取（A或C）”。
比如参加比赛，你可以是数学好（A）或者（语文好并且英语好（B合取C）），这就相当于（数学好或者语文好（A或B））并且（数学好或者英语好（A或C））。
六、德摩根律。
10. “非（A和B）等于非A或非B”。
离散数学_二分图与匹配
二分图与匹配
满足如下条件的无向图G=<V，E>有非空集合X,Y:X∪Y=V,X∩Y=∅,且每个vᵢ ,vⱼ∈E,都有：vᵢ∈X∧vⱼ∈Y,或者vᵢ∈Y∧vⱼ∈X可以用G=<X,E,Y>表示二分图
完全二分图 : 如果X，Y中任意两个顶点之间都有边，则称为完全二分图
匹配 : 将E的子集M称作一个匹配
最大匹配 : 如果M中的任意两条边都没有公共端点边数最多的匹配称作最大匹配
完全匹配 : 如果X(Y)中的所有的顶点都出现在匹配M中,则称M是X(Y)-完全匹配 如果M既是X-完全匹配，又是Y-完全匹配，称M是完全匹配最大匹配匈牙利算法 : ①任意取一个匹配M (可以是空集或只有一条边) ②令S是非饱和点(尚未匹配的点)的集合 ③如果S=∅，则M已经是最大匹配 ④从S中取出一个非饱和点u₀作为起点，从此起点走交错路(交替属于M和非M的边构成的极大无重复点通路或回路)P ⑤如果P是一个增广路(P的终点也是非饱和点),则令M=M⊕P=(M-P)∪(P-M) ⑥如果P都不是增广路，则从S中去掉u₀，转到step3。
离散数学--第7章 图论-5(匹配)
MM’
其中回路包含相同数目的M边和M’边。由|M’|>|M|, 必 存在M’边开始， M‘边终止的M交互道路，即M-可增广 道路，矛盾！
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7.5 .2 最大匹配的基本定理
例] 从匹配M={(v6,v7)}开始，求下图的最大匹 配
11
(a)
(b)
系统地检查不饱和点出发有无可增 广道路，如，v1出发有可增广道路 v1,v7v6,v8(可画以v1为根的交互树)， 由此得到匹配(a), v2出发没有，v3出 发存在v3v4，可得更大匹配(b), 其他 点出发不存在可增广道路，故(b)是 最大匹配。
交错路为一条 M可增广路。
例
v1 v6 v2 v3 v4
匹配， M {v1v6 , v2v5 }是一个对集；但不是
最大对集，有路 P:v3v2v5v4，通过 匹配， ( M E ( P)) ( E ( P) M )得比M 更大的对集。 匹配，P称为M 可扩路。 增广路
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v5
7.5 .2 最大匹配的基本定理
为图G的最大匹配。
[匹配数] G中最大匹配中的边数称为匹配数，记作
(G)。设G的所有匹配为M1、M2、… 、Mk，记
' (G) max | M i |
i 1,...,k
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7.5 .1 匹配的基本概念
e2 e6 e1
5
最大匹配： {e1,e5 ,e6} e7
e4 e3 匹配数：3
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7.5 .2 最大匹配的基本定理
[M交错路] 设G和M如上所述，G的一条M交错路 指G中一条路，其中的边在M和 EM 中交错出现 。
路是由属于M的匹配边和不属于M的非匹配边交替出现组成
离散数学 匹配与点独立集
M’Mຫໍສະໝຸດ 12求最大匹配的方法v1 v2 • 定理9.1.1实际上给出了一种求 v3 最大匹配的方法： v4 v5 v6 • ①任取G的一个匹配M； v7 v8 • ②在G中找一条M–可增广路µ； M={v1v4， v5v8} 令M’为µ上的所有边的集合； µ= v2v1v4v3 • ③M:=M ⊕ M’; M={v1v2, v3v4, v5v8} • ④重复第②步和第③步，直到 µ= v6v5v8v7 在G中找不到M–可增广路。 M={v1v2, v3v4, v5v6, 7v8}
2012-2-3 离散数学 20
奇分支减一点满足条件(9.4)
• 引理9.1.4：设图G满足条件(9.4)且使O(G–S)=|S| 的S中顶点数最多的为S0， 则 G–S0 的每个奇分 因为，一方面有 支减去其任意一个顶点后满足条件(9.4)。 O(G–(S0∪{v}∪S))=O(G–S0)–1+O(Gi–v–S) • 证明：设G|1– …, GS是G–S0|的所有奇分支。 ≥| S0 , 1 + | m | + 2 = S0 | + 1 + | S | •(∵v∈Gi,G-S0有m个奇分支， Gi是其中之一，但 假设∃Gi和∃v∈V(Gi)，使得Gi–v不满足条 Gi-v已不是奇分支，故G-S0的奇分支数要少1。) 件(9.4)，则∃S∈V(Gi –v)，使得O(Gi–v–S)＞|S|。 这里，已有O(G–S0 O(G |和O(Gi–v–S)≥| S |+2。 • ∵V(Gi–v)是偶数 ∴)=| S0i–vi–S)与|S|同奇偶性。 ？ 而另一方面由G满足条件(9.4)又有 则O(Gi–vi–S) ≥ |S| + 2。于是 O(G–(S0∪{v}∪S)) ≤| S=∪{v}∪S| • O(G–(S0∪{v}∪S)) 0 |S0∪{v}∪S| = | S0 | + 1 + | S | •所以有O(G–(S ∪{v}∪S)) = |S ∪{v}∪S|。 这与S0的最大性矛盾，所以Gi–v满足(9.4)。
825匹配离散数学
匹配Matchinge 1 e 2e 3 e4e6e5e7 e8 e9v 1v3v5v 4 v2v6设G=(V, E) 是简单图，M⊆E。
如果M中任何两条边都不邻接，则称M 为G中的一个匹配（matching）或边独立集设顶点v∈V，若存在e∈M，使得v是e的一个端点，则称v是M-饱和的（matched or saturated），否则称v 是M-非饱和的（unmatched）{v2, v4, v5, v6}是M-饱和顶点{v1, v3}是M-非饱和顶点e 1 e 2e 3 e4 e6e5e7 e8 e9v 1v3v5v 4 v2v6若匹配M满足对任意e∈E-M，M∪{e}不再构成匹配，则称M 作G的一个极大匹配（maximal matching）如果图G的匹配M满足对于G的任何匹配M’都有|M| ≥|M’|，则称M是G的一个最大基数匹配（maximum-cardinality matching）或最大匹配（maximum matching）最大匹配M的元素数称作图G的匹配数（matching number），记作ν(G)饱和图G中每个顶点的匹配称作完全匹配（complete matching）或完美匹配（perfect matching）是G 的匹配，但不是极大匹配e 1 e 2e 3 e4 e6e5e7e8e9v 1v3v5v 4 v2v6是G 的极大匹配，但不是最大匹配e 1 e 2e 3 e4 e6e5e7e8e9v 1v3v5v 4 v2v6是G的完美匹配，图的匹配数是3e 1 e 2e 3 e4 e6e5e7e8e9v 1v3v5v 4 v2v6是G的完美匹配e 1 e 2e 3 e4 e6e5e7e8e9v 1v3v5v 4 v2v6下图不存在完美匹配v 1v3v5v 4 v2v6(a) 极大匹配不是任何其他匹配的子集(b) 若匹配M是G的一个极大匹配，则对于任意e∈E-M，都存在e1∈M，使得e与e1 相邻(c) 一个图中的极大匹配可能不唯一(d) 一个图中的最大匹配可能不唯一(e) 每个最大匹配都是极大匹配，但不是每个极大匹配都是最大匹配(f) 显然图G的匹配数不超过G的阶数的一半(a) 在完美匹配中，每个顶点都关联匹配中的一条边(b) 如果图G存在完美匹配，则图G 的匹配数为G的阶数的一半，此时的阶数为偶数(c) 每个完美匹配都是最大匹配，但不是每个最大匹配都是完美匹配例完全图K（n≥3）中匹配数为⎣n/2⎦n的匹配数为min(m, n)完全二部图Km, n（n≥3）的匹配数为⎣n/2⎦圈图Cn下一讲——伯奇引理。
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Hall定理
定理13.11 （Hall定理）设二部图G=<V1,V2,E>中， |V1||V2|. G中存在从V1到V2的完备匹配当且仅当V1中任 意k(k=1,2,…,|V1|)个顶点至少与V2中的k个顶点相邻. 本定理中的条件常称为“相异性条件”. 由Hall定理立刻可 知，上图中(2)为什么没有完备匹配. m个男孩的结婚问题有解 iff 对每个正整数k(1≤k≤m), 任意k个男孩所认识的女孩的总数至少是k个。
证明线索：必要性. 若含可增广交错路径，可生成比M更 大的匹配. 充匹可论分配增为性，广真只 交.. 设 否要 错M则证 路和H明 径M.1|M设分，|=H别此|M=为时1G|不，即[M含H可1中可. M的由增]交必，广错要若路圈性H径=(知的若，匹，存M配M在1=和也)M，最不1其，大含上结 M数与也M相1等的边 （数 因相 为等M与，M且1所均有无交可错增路广径路上径，）M. 与M1中的边
证明见教材.
15
最大匹配与最小边覆盖之间关系(续)
(1)
(2)
图中，红边为匹配M中的边. (1)中匹配是最大匹配. (2)中红 边与绿边组成最小边覆盖W. 反之，由(2)的最小边覆盖W产生(1)中的最大匹配M.
推论 设G是n阶无孤立顶点的图. M为G中的匹配， W是G中的边覆盖，则 |M| |W|，等号成立时，M为 G中完美匹配，W为G中最小边覆盖.
4
点独立集与点独立数
(1)
(2)
在图中，点独立数依次为2, 2
Hale Waihona Puke 5极大独立集与极小支配集
定理13.2 设G=<V,E>中无孤立点，则G的极大顶点 独立集都是极小支配集. 证明线索： (1) 设V*为G的极大顶点独立集，证明它也是支配集.
vVV*，必vV*，使(v,v)E，否则v0 VV*不与V*中任何顶点相邻，则V*{v0}仍为点 独立集，这与V*是极大点独立集矛盾. (2) 证V*是极小支配集. 只需证V*的真子集不是支配 集.
G满足相异性条件，因而可 派遣，共有9种派遣方案(请 给出这9种方案).
23
作业
• 第十三章 1，3，8
18
二部图中的匹配
定义13.7 设G=<V1,V2,E>为二部图，|V1||V2|，M是 G中最大匹配，若V1中顶点全是M饱和点，则称M为 G中完备匹配. |V1|=|V2| 时完备匹配变成完美匹配.
(1)
(2)
(3)
图中，红边组成各图的一个匹配，(1)中为完备匹配，(2)中匹 配不是完备的，(2)中无完备匹配，(3中匹配是完备的，也是完 美的.
14
最大匹配与最小边覆盖之间关系
定理13.5 设n阶图G中无孤立顶点. (1) 设M为G中一个最大匹配，对于G中每个M非饱 和点均取一条与其关联的边，组成边集N，则 W=MN为G中最小边覆盖. (2) 设W1为G中一个最小边覆盖；若W1中存在相邻的 边就移去其中的一条，设移去的边集为N1，则 M1=W1N1为G中一个最大匹配. (3) G中边覆盖数1与匹配数1满足1+1=n.
图中各图的边覆盖数依次为3, 4, 5. 请各找出一个最小边覆盖.
10
匹配(边独立集)与匹配数(边独立数)
定义13.6 设G=<V,E>, E*E， (1) 匹配(边独立集)E*——E*中各边均不相邻 (2) 极大匹配E*——E*中不能再加其他边了 (3) 最大匹配——边数最多的匹配 (4) 匹配数——最大匹配中的边数，记为1
12
上图中，只有第一个图存在完美匹配
13
可增广路径及交错圈
(1)
(2)
(3)
设红色边在匹配M中，绿色边不在M中，则图(1)中 的两条路径均为可增广的交错路径；(2)中的全不是 可增广的交错路径；(3)中是一个交错圈.
不难看出，可增广交错路径中，不在M中的边比在 M中的边多一条. 交错圈一定为偶圈.
定理13.12 设二部图G=<V1,V2,E>中，V1中每个顶点至少 关联t (t1)条边，而V2中每个顶点至多关联 t 条边，则G 中存在V1到V2的完备匹配. 定理13.12中的条件称为 t（t1）条件.
20
Hall定理的应用
定理13.12 k正则二部图存在k个边不重的完美匹 配。
例：有n男n女参加舞会,每人恰好认识2个异性， 则2n个人可同时配对跳舞。
16
匹配
• 定理13.7 设M1和M2是G中匹配，则G[M1M2]的每个连通分支 或为由M1和M2中的边组成的交错圈，或为交错路径。
• 定理13.8 设M是G中匹配，Γ是M增广路径，则M’＝MΓ仍是 G的匹配且|M’|=|M|+1 （ Γ 上非M的边比M边多一条）
最大匹配判别定理
定理13.9 M为G中最大匹配当且仅当G中不含M的可 增广交错路径.
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一个应用实例
某课题组要从a, b, c, d, e 5人中派3人分别到上海、 广州、香港去开会. 已知a只想去上海，b只想去广州， c, d, e都表示想去广州或香港. 问该课题组在满足个 人要求的条件下，共有几种派遣方案？
解 用二部图中的匹配理论解本题. 令G=<V1,V2,E>，其中V1={s, g, x}，s, g, x分别表示上海、广 州和香港. V2={a, b, c, d, e}, E={(u,v) | uV1, vV2, v想去u}. G如图所示.
第十三章 覆盖集，独立集 等
支配集与支配数
定义13.1 设G=<V,E>，V*V. (1) V*为支配集——viVV*,vjV*，使得(vi,vj)E (2) V*为极小支配集——V*的真子集不是支配集 (3) 最小支配集——顶点最少的支配集 (4) 支配数0(G)——最小支配集中的顶点个数
2
极小与最小支配集之间的关系
7
点覆盖集与点覆盖数
图中，点覆盖数依次为3，4.
8
边覆盖集与匹配
▪边覆盖集与边覆盖数 ▪匹配(边独立集)与匹配数(边独立数) ▪最大匹配与最小边覆盖之间关系 ▪最大匹配判别定理
9
边覆盖集与边覆盖数
定义13.5 设G=<V,E>，E* E， (1) E* 为边覆盖集—vV，eE* ，使得v与e关联 (2) E* 为极小边覆盖—E* 的真子集不是边覆盖 (3) 最小边覆盖—边数最少的边覆盖 (4) 边覆盖数1—最小边覆盖中元素个数
• 最小支配集为极小支配集，但反之不真. • 另外，极小支配集与最小支配集都可能不惟一.
(1)
(2)
图中，(1),(2) 的支配数分别为1，2。请各找出一个最小 支配集.
3
点独立集与点独立数
定义13.2 设G=<V,E>，V*V. (1) 点独立集V*——V*中顶点彼此不相邻 (2) V*为极大点独立集——V*中再加入任何顶点就不是点 独立集 (3) 最大点独立集——顶点最多的点独立集 (4) 点独立数——最大点独立集中的顶点个数，记为0
上图中各图的匹配数依次为3, 3, 4.
11
关于匹配中的其他概念
设M为G中一个匹配. (1) vi 与vj 被M匹配——(vi,vj)M (2) v为M饱和点——有M中边与v关联 (3) v为M非饱和点——无M中边与v关联 (4) M为完美匹配——G中无M非饱和点 (5) M的交错路径——从M与EM中交替取边构成的 G中路径 (6) M的可增广交错路径——起、终点都是M非饱和 点的交错路径 (7) M的交错圈——由M与EM中的边交替出现构成 的G中圈
特别注意，定理13.2其逆不真.
6
点覆盖集与点覆盖数
定义13.3 设G=<V,E>, V*V. (1) V*是点覆盖集——eE，vV*，使e与v关联 (2) V*是极小点覆盖集——V*的任何真子集都不是 点覆盖集 (3) 最小点覆盖集(或最小点覆盖)——顶点数最少的 点覆盖集 (4) 点覆盖数——0(G)——最小点覆盖的元素个数