大鱼文库数学中考总复习：锐角三角函数综合复习--知识讲解(基础)
中考总复习：锐角三角函数综合复习--知识讲解(基础)
中考总复习：锐角三角函数综合复习—知识讲解（基础）【考纲要求】1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题. 【知识网络】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．BCabc锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角30°45° 160°要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)，②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、锐角三角函数的概念与性质1．如图，在4×4的正方形网格中，tanα=( )(A)1 (B)2 (C) 12(D)52【思路点拨】把∠α放在一个直角三角形中，根据网格的长度计算出∠α的对边和邻边的长度.【答案】B；【解析】根据网格的特点：设每一小正方形的边长为1，可以确定∠α的对边为2，邻边为1，然后利用正切的定义tan∠αα=∠α的对边的邻边，故选B.【总结升华】本题考查锐角三角函数的定义及运用，可将其转化到直角三角形中解答，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．举一反三：【变式】在Rt△ABC中，∠C=90°,若AC=2BC，则sinA的值是( )(A) 12(B)2 (C)55(D)52【答案】选C.因为∠C=90°，522AB=AC +BC =BC ，所以BC BC 5sin A AB 55BC===.类型二、特殊角的三角函数值2．已知a ＝3，且21(4tan 45)302b bc -++-=°，以a 、b 、c 为边长组成的三角形面积等于( )． A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【思路点拨】根据题意知4tan 450,130,2b bc -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩°求出b 、c 的值，再求三角形面积. 【答案】A ；【解析】根据题意知4tan 450,130,2b bc -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩° 解得 4,5.b c =⎧⎨=⎩ 所以a ＝3，b ＝4，c ＝5，即222a b c +=，其构成的三角形为直角三角形，且∠C ＝90°， 所以162S ab ==． 【总结升华】利用非负数之和等于0的性质，求出b 、c 的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，注意tan45°的值不要记错． 举一反三： 【变式】 计算：.【答案】原式.3．如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5，求sinB ·sinC 的值．【思路点拨】为求sin B ，sin C ，需将∠B ，∠C 分别置于直角三角形之中，另外已知∠A 的邻补角是60°，若要使其充分发挥作用，也需要将其置于直角三角形中，所以应分别过点B 、C 向CA 、BA 的延长线作垂线，即可顺利求解． 【答案与解析】解：过点B 作BD ⊥CA 的延长线于点D ，过点C 作CE ⊥BA 的延长线于点E ．∵∠BAC ＝120°，∴∠BAD ＝60°．∴AD ＝AB ·cos60°＝10×12＝5； BD ＝AB ·sin60°＝10×32＝53． 又∵CD ＝CA+AD ＝10， ∴2257BC BD CD =+=，∴21sin 7BD BCD BC ∠==． 同理，可求得21sin 14ABC ∠=． ∴21213sin sin 71414ABC BCD ∠∠=⨯=． 【总结升华】由于锐角的三角函数是在直角三角形中定义的，因此若要求某个角的三角函数值，一般可以通过作垂线等方法将其置于直角三角形中．举一反三：【变式】如图，机器人从A 点，沿着西南方向，行了个单位，到达B 点后观察到原点O 在它的南偏东60°的方向上，则原来A 的坐标为__________.(结果保留根号)．【答案】类型三、解直角三角形及应用4．在△ABC中，∠A＝30°，BC＝3，AB＝33，求∠BCA的度数和AC的长．【思路点拨】由于∠A是一个特殊角，且已知AB，故可以作AC边上的高BD(如图所示)，可求得332BD=．由于此题的条件是“两边一对角”，且已知角的对边小于邻边，因此需要判断此题的解是否唯一，要考虑对边BC与AC边上的高BD的大小，而33332BC<<，所以此题有两解．【答案与解析】解：作BD⊥AC于D．(1)C1点在AD的延长线上．在△ABC1中，13BC=，332 BD=，∴13sin2C=．∴∠C1＝60°．由勾股定理，可分别求得13 2DC=，92 AD=．∴AC1＝AD+DC1＝936 22+=．(2)C2点在AD上．由对称性可得，∠BC2D＝∠C1＝60°，213 2C D C D==．∴∠BC2A＝120°，2933 22AC=-=．综上所述，当∠BCA＝60°时，AC＝6；当∠BCA＝120°时，AC＝3．【总结升华】由条件“两边一对角”确定的三角形可能不是唯一的，需要考虑第三边上的高的大小判断解是否唯一．5．（2015•茂名）如图，一条输电线路从A地到B地需要经过C地，图中AC=20千米，∠CAB=30°，∠CBA=45°，因线路整改需要，将从A地到B地之间铺设一条笔直的输电线路．（1）求新铺设的输电线路AB的长度；（结果保留根号）（2）问整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了多少千米？（结果保留根号）【思路点拨】（1）过C作CD⊥AB，交AB于点D，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出CD与AD的长，在直角三角形BCD中，利用锐角三角函数定义求出BD的长，由AD+DB求出AB的长即可；（2）在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出BC的长，由AC+CB﹣AB即可求出输电线路比原来缩短的千米数．【答案与解析】解：（1）过C作CD⊥AB，交AB于点D，在Rt△ACD中，CD=AC•sin∠CAD=20×=10（千米），AD=AC•cos∠CAD=20×=10（千米），在Rt△BCD中，BD===10（千米），∴AB=AD+DB=10+10=10（+1）（千米），则新铺设的输电线路AB的长度10（+1）（千米）；（2）在Rt△BCD中，根据勾股定理得：BC==10（千米），∴AC+CB﹣AB=20+10﹣（10+10）=10（1+﹣）（千米），则整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了10（1+﹣）千米．【总结升华】解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．已知斜三角形中的SSS，SAS，ASA，AAS以及SSA条件，求三角形中的其他元素是常见问题，注意划归为常见的两个基本图形(高在三角形内或高在三角形外)(如图所示)：举一反三：【变式】坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋(公元1112年)，为砖砌八角形十三层楼阁式建筑．数学活动小组开展课外实践活动，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪、皮尺、小镜子．(1)小华利用测角仪和皮尺测量塔高．下图为小华测量塔高的示意图．她先在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测出看塔顶(M)的仰角α＝35°，在点A和塔之间选择一点B，测出看塔顶(M)的仰角β＝45°，然后用皮尺量出A ，B 两点间的距离为18.6m ，量出自身的高度为1.6m ．请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度(tan35°≈0.7，结果保留整数)．(2)如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影NP 的长为am(如图所示)，你能否利用这一数据设计一个测量方案?如果能，请回答下列问题：①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是：________________________；②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据?________________________________________________________. 【答案】解：(1)设CD 的延长线交MN 于E 点，MN 长为x m ，则ME ＝(x-1.6)m ． ∵β＝45°，∴DE ＝ME ＝x-1.6．∴CE ＝x-1.6+18.6＝x+17．∵tan tan 35MECE α==°， ∴ 1.60.717x x -=+，解得x ＝45．∴太子灵踪塔MN 的高度为45m ．(2)①测角仪、皮尺；②站在P 点看塔顶的仰角、自身的高度(注：答案不唯一)．6．如图，三沙市一艘海监船某天在黄岩岛P附近海域由南向北巡航，某一时刻航行到A处，测得该岛在北偏东30°方向，海监船以20海里/时的速度继续航行，2小时后到达B处，测得该岛在北偏东75°方向，求此时海监船与黄岩岛P的距离BP的长．（参考数据：≈1.414，结果精确到0.1）【思路点拨】过B作BD⊥AP于D，由已知条件得：AB=20×2=40，∠P=75°﹣30°=45°，在Rt△ABD中求出BD=AB=20，在R t△BDP中求出PB即可．【答案与解析】解：过B作BD⊥AP于D，由已知条件得：AB=20×2=40，∠P=75°﹣30°=45°，在Rt△ABD中，∵AB=40，∠A=30，∴BD=AB=20，在R t△BDP中，∵∠P=45°，∴PB=BD=20≈28.3（海里）．答：此时海监船与黄岩岛P的距离BP的长约为28.3海里．【总结升华】此题主要考查解直角三角形的有关知识．通过数学建模把实际问题转化为解直角三角形问题．中考总复习：锐角三角函数综合复习—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是 ( ) A ．sin A ＝32 B ．tan A ＝12C ．cosB ＝32D ．tan B ＝3第1题 第2题2．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D ．若AC=5，BC=2，则sin∠ACD 的值为（ ）A ．53B ．255 C ．52D ．233．在△ABC 中，若三边BC 、CA 、AB 满足 BC ∶CA ∶AB=5∶12∶13，则cosB=（ ）A ．125B ．512 C ．135 D ．13124．如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是BC 边上的中线，BD=4，AD=25，则tan ∠CAD 的值是（ ）A.2B.2C.3D.5第4题 第6题5．一个物体从A 点出发，沿坡度为1：7的斜坡向上直线运动到B ，AB=30米时，物体升高（ ）米． A ．B ．3C ．D ． 以上的答案都不对6．如图，已知：45°＜A ＜90°，则下列各式成立的是（ ）A.sinA=cosAB.sinA ＞cosAC.sinA ＞tanAD.sinA ＜cosA二、填空题7．若∠α的余角是30°，则cosα的值是 .8．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_______.第8题第12题9．计算2sin30°﹣sin245°+t an30°的结果是 .10．已知α是锐角，且sin(α+15°)=32.计算1184cos( 3.14)tan3απα-⎛⎫---++ ⎪⎝⎭的值为 .11．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为海里．（结果保留根号）12．如图，正方体的棱长为3，点M，N分别在CD，HE上，CM=12DM，HN=2NE，HC与NM的延长线交于点P，则tan∠NPH的值为．三、解答题13．如图所示，我市某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5m，现要在C 点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么EB的高为多少米?(结果保留三个有效数字)14. 已知：如图所示，八年级(1)班数学兴趣小组为了测量河两岸建筑物AB和建筑物CD的水平距离AC，他们首先在A点处测得建筑物CD的顶部D点的仰角为25°，然后爬到建筑物AB的顶部B处测得建筑物CD的顶部D点的俯角为15°30′．已知建筑物AB的高度为30米，求两建筑物的水平距离AC(精确到0.1米)（可用计算器查角的三角函数值）15．如图，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C，其中AB段与BC段的运行路程均为200m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）16. 如图所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD＝2.5m，坝高4 m，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1.5，求坝底宽BC.【答案与解析】一、选择题1.【答案】D ； 【解析】sinA ＝BC AB ＝12，tan A ＝BC AC ＝33，cosB ＝BC AB ＝12．故选D.2.【答案】A ；【解析】在直角△ABC 中，根据勾股定理可得：AB=2AC BC +2=2(5)2+2=3．∵∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠B=∠ACD． ∴ sin∠ACD=sin∠B=ACAB =53， 故选A ．3.【答案】C ；【解析】根据三角函数性质 cosB==，故选C ．4.【答案】A ；【解析】∵AD 是BC 边上的中线，BD=4，∴CD=BD=4，在Rt △ACD 中，AC= 22AD -CD =-=222（25）4，∴tan ∠CAD===2．故选A ．5.【答案】B ；【解析】∵坡度为1：7，∴设坡角是α，则sinα===，∴上升的高度是：30×=3米．故选B ．6.【答案】B ；【解析】∵45°＜A ＜90°，∴根据sin45°=cos45°，sinA 随角度的增大而增大，cosA 随角度的增大而减小， 当∠A ＞45°时，sinA ＞cosA ，故选B ．二、填空题 7．【答案】21； 【解析】∠α=90°﹣30°=60°，cosα=cos60°=21．8．【答案】；【解析】过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，设小方格的长度为1，在Rt △ACD 中，AC=22CD AD +=25,∴sinA=CD 5=AC 5.9．【答案】21+33； 【解析】2sin30°﹣sin 245°+ t an30°=2×21－（22）2+（）2+33=1﹣21+33=21+33．10．【答案】3； 【解析】∵sin60°=32，∴α+15°=60°，∴α=45°，∴原式=22﹣4×22﹣1+1+3=3． 11．【答案】40 ；【解析】解：作PC ⊥AB 于C ，在Rt △PAC 中，∵PA=80，∠PAC=30°，∴PC=40海里，在Rt △PBC 中，PC=40，∠PBC=∠BPC=45°， ∴PB=40海里，故答案为：40．12．【答案】13； 【解析】∵正方体的棱长为3，点M ，N 分别在CD ，HE 上，CM=12DM ，HN=2NE ， ∴MC=1，HN=2， ∵DC ∥EH ， ∴12PC MC PH NH ==， ∵HC=3， ∴PC=3， ∴PH=6， ∴tan ∠NPH=2163NH PH ==，故答案为：13．三、解答题13.【答案与解析】解：在Rt△BCD中，∠BDC＝40°，DB＝5 m，∵tanBC BDCDB ∠=．∴BC＝DB·tan∠BDC＝5×tan40°≈4.195(米)．∴EB＝BC+CE＝4.195+2≈6.20(米)．14.【答案与解析】解：如图所示，过D作DH⊥AB，垂足为H．设AC＝x．在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝25°，所以CD＝AC·tan∠DAC＝x tan 25°．在Rt△BDH中，∠BHD＝90°，∠BDH＝15°30′，所以BH＝DH·tan 15°30′＝AC·tan 15°30′＝x·tan 15°30′．又CD＝AH，AH+HB＝AB，所以x(tan 25°+tan 15°30′)＝30．所以3040.3tan25tan1530x='+≈°°(米)．答：两建筑物的水平距离AC约为40.3米．15.【答案与解析】解：在Rt△ADB中，∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，AB=200m，∴BD=AB=100m，在Rt△CEB中，∵∠CEB=90°，∠CBE=42°，CB=200m，∴CE=BC•sin42°≈200×0.67=134m，∴BD+CE≈100+134=234m．答：缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离约为234m．16.【答案与解析】解：背水坡是指AB，而迎水坡是指CD.过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，由题意可知tanB＝1，tan C＝1 1.5，在Rt△ABE中，AE＝4，tanB＝AEBE＝1，∴BE＝AE＝4，在Rt△DFC中，DF＝AE＝4，tanC＝11.5 DFCF，∴CF＝1．5DF＝1.5×4＝6．又∵EF＝AD＝2.5，∴BC＝BE＋EF＋FC＝4＋2.5＋6＝12．5．答：坝底宽BC为12．5 m．。
专题07 锐角三角函数综合篇(解析版)-2023年中考数学必考考点总结
知识回顾专题09锐角三角函数综合---2023年中考数学必考考点总结1.锐角三角函数的定义：在Rt △ABC 中，∠C=90°．①正弦：我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ．即sin A ＝∠A 的对边除以斜边＝c a 。
②余弦：锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ．即cos A ＝∠A 的邻边除以斜边＝cb 。
③正切：锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切，记作tan A ．即tan A ＝∠A 的对边除以∠A 的邻边＝ba 。
2.特殊角的锐角三角函数值计算3.直角三角形的性质①直角三角形的两锐角互余。
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
③含30°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
④直角三角形的两直角边的成绩等于斜边乘以斜边上的高线。
⑤直角三角形的勾股定理。
4.解直角三角形：特殊角利用直角三角形角的关系，边的关系以及边角关系求解直角三角形。
5.解直角三角形的坡度文问题：坡角：坡面与水平面的夹角 。
坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比。
一般用i表示，常写成i=1：m的形式。
等于坡角的正切值。
在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题。
应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等。
6.解直角三角形的仰角俯角问题：仰角：向上看的视线与水平线的夹角。
俯角：向下看的视线与水平线的夹角。
解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决。
7.解直角三角形的方向角问题：在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角。
锐角三角函数知识点总结与复习
锐角三角函数知识点总结与复习LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020锐角三角函数知识点总结与复习1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角， 则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)B 90∠︒=∠+∠得由B A 邻边B 90∠︒=∠+∠得由B A 直角三角形解直当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。
一、知识性专题专题1：锐角三角函数的定义例1 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是 ( )A ．sin A B ．tan A ＝12C ．cos BD ．tan B分析 sin A ＝BC AB ＝12，tan A ＝BC AC ，cos B ＝BC AB ＝12．故选D.例2 在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝35,则tan A 等于 ； 分析 在Rt △ABC 中，设AC ＝3k ，AB ＝5k ，则BC ＝4k ，由定义可知tan A ＝4433BC k AC k ==．分析 在Rt △ABC 中，BC =3，∴sin A ＝35BC AB =．故填35．例3（12·哈尔滨）在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=4，AB=5，则sinB 的值是 ；【解析】本题考查了锐角三角函数的意义．解题思路：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比邻边，故sinB=54.例4（2012内江）如图4所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为 ；【解析】欲求sinA ，需先寻找∠A 所在的直角三角形，而图形中∠A 所在的△ABC 并不是直角三角形，所以需要作高．观察格点图形发现连接CD （如下图所示），恰好可证得CD ⊥AB ，于是有sinA ＝CD AC ＝210＝5．例5 ( 2012宁波)，Rt △ABC,∠C=900,AB=6,cosB=23,则BC 的长为 ；【解析】cosB=BC AB =23，又∵AB=6∴BC=4例6（2012贵州铜仁）如图，定义：在直角三角形ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctan α, 即ctan α=BCAC=的对边角的邻边角αα，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）ctan30◦= ；（2）如图，已知tanA=43，其中∠A 为锐角，试求ctanA 的值．【分析】（1）可先设最小边长为一个特殊数（这样做是为了计算方便），然后在计算出其它边长，根据余切定义进而求出ctan30◦。
初中数学中考复习：25锐角三角函数综合复习(含答案)
中考总复习：锐角三角函数综合复习—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝,则tan A等于( )A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA=．则下列关系式中不成立的是（ ）A．tanA•cotA=1 B．sinA=tanA•cosA C．cosA=cotA•sinA D．tan2A+cot2A=1第2题第3题3．如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（ ）A．B．C．D．4．如图所示，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是( )A．B．C．D．5．如图所示，已知∠α的终边OP⊥AB，直线AB的方程为y＝－x＋，则cosα等于( )A．B．C．D．第5题第6题6．如图所示，在数轴上点A所表示的数x的范围是（ ）A. B.C. D.;二、填空题7．设θ为锐角，且x2＋3x＋2sinθ＝0的两根之差为．则θ＝．8．如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为.9．已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则sinB= .第8题第9题第11题10．当0°＜α＜90°时，求的值为．11．如图，点E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦．则tan∠OBE=．12．已知：正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP=1，则tan∠BPC的值是 ．三、解答题13．如图所示，某拦河坝截面的原设计方案为AH∥BC，坡角∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离AB＝6m 为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A需向右平移至点D，请你计算AD的长．(精确到0.1m)14. 为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图，如图所示．按规定，地下停车库坡道1:3上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE(精确到0.1 m)（sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，tan18°≈0.3249）15．如图所示，某中学九年级一班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动，他们要在某公园人工湖旁的小山AB上，测量湖中两个小岛C、D间的距离．从山顶A处测得湖中小岛C的俯角为60°，测得湖中小岛D的俯角为45°．已知小山AB的高为180米，求小岛C、D间的距离．(计算过程和结果均不取近似值)16. 在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA，交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图①所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．(1)在图①中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；(2)当三角尺沿AC方向平移到图②所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系；然后证明你的猜想；(3)当三角尺在②的基础上沿AC方向继续平移到图③所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C不重合)时，(2)中的猜想是否仍然成立?(不用说明理由)【答案与解析】一、选择题1.【答案】D；【解析】在Rt△ABC中，设AC＝3k，AB＝5k，则BC＝4k，由定义可知tan A＝．故选D.2.【答案】D；【解析】根据锐角三角函数的定义，得A、tanA•cotA==1，关系式成立；B、sinA=，tanA•cosA=，关系式成立；C、cosA=，cotA•sinA=，关系式成立；D、tan2A+cot2A=（）2+（）2≠1，关系式不成立．故选D．3.【答案】B；【解析】连接BD．∵E、F分別是AB、AD的中点．∴BD=2EF=4∵BC=5，CD=3∴△BCD是直角三角形．∴tanC=故选B．4.【答案】C；【解析】设CE＝x，则AE＝8-x．由折叠性质知AE＝BE＝8-x．在Rt△CBE中，由勾股定理得BE2＝CE2+BC2，即(8-x)2＝x2+62，解得，∴tan∠CBE．5.【答案】A；【解析】∵y＝－x＋，∴当x＝0时，y＝，当y＝0时，x＝1，∴A(1，0)，B，∴OB＝，OA＝1，∴AB＝＝，∴cos∠OBA＝.∴OP⊥AB，∴∠α＋∠OAB＝90°，又∵∠OBA＋∠OAB＝90°，∴∠α＝∠OBA．∴cosα＝cos∠OBA＝．故选A.6.【答案】D；【解析】由数轴上A点的位置可知，＜A＜2．A、由sin30°＜x＜sin60°可知，×＜x＜，即＜x＜，故本选项错误；B、由cos30°＜x＜cos45°可知，＜x＜×，即＜x＜，故本选项错误；C、由tan30°＜x＜tan45°可知，×＜x＜1，即＜x＜1，故本选项错误；D、由cot45°＜x＜cot30°可知，×1＜x＜，即＜x＜，故本选项正确．故选D．二、填空题7．【答案】30°；【解析】x1·x2＝2sinθ，x1＋x2＝－3，则(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝9－8sinθ＝()2，∴sinθ＝，∴θ＝30°．8．【答案】；【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，由题意得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，∴∠DCF=∠AFE，∵在Rt△DCF中，CF=5，CD=4，∴DF=3，∴tan∠AFE=tan∠DCF==．9．【答案】；【解析】连接AO并延长交圆于E，连CE．∴∠ACE=90°（直径所对的圆周角是直角）；在直角三角形ACE中，AC=4，AE=6，∴sin∠E=；又∵∠B=∠E（同弧所对的的圆周角相等），∴sinB=．10．【答案】1；【解析】由sin2α＋cos2α＝1，可得1－sin2α＝cos2α∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α．∴.∵0°＜α＜90°，∴cosα＞0．∴原式＝＝1．11．【答案】；【解析】连接EC．根据圆周角定理∠ECO=∠OBE．在Rt△EOC中，OE=4，OC=5，则tan∠ECO=．故tan∠OBE=．12．【答案】2或；【解析】此题有两种可能：（1）当点P在线段CD上时，∵BC=2，DP=1，CP=1，∠C=90°，∴tan∠BPC==2；（2）当点P在CD延长线上时，∵DP=1，DC=2，∴PC=3，又∵BC=2，∠C=90°，∴tan∠BPC=．故答案为：2或．三、解答题13.【答案与解析】解：如图所示，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F．在Rt△ABE中，，∴AE＝ABsin∠ABE＝6sin 74°≈5.77(cm)；，∴BE＝ABcos∠ABE＝6cos 74°≈1.65(m)．∵AH∥BC，∴DF＝AE≈5.77m．在Rt△BDF中，，∴(m)．∴AD＝EF＝BF-BE＝4.04-1.65≈2.4(m)．14.【答案与解析】解：在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∠BAD＝18°，∴，BD＝tan∠BAD·AB＝tan 18°×9，∴CD＝tan 18°×9-0.5．在Rt△DCE中，∠DEC＝90°，∠CDE＝72°，∴，＝sin 72°×(tan 18°×9-0.5)≈2.3(m)．即该图中CE的长约为2.3m．15.【答案与解析】解：如图所示，由已知可得∠ACB＝60°，∠ADB＝45°．∴在Rt△ABD中，BD＝AB．又在Rt△ABC中，∵，∴，即．∵BD＝BC+CD，∴．∴CD＝AB-AB＝180-180×＝（180-60)米．答：小岛C、D间的距离为(180-)米．16.【答案与解析】解：(1)BF＝CG．证明：在△ABF和△ACG中，∵∠F＝∠G＝90°，∠FAB＝∠GAC，AB＝AC，∴△ABF≌△ACG(AAS)，∴BF＝CG．(2)DE+DF＝CG．证明：过点D作DH⊥CG于点H(如图所示)．∵DE⊥BA于点E，∠G＝90°，DH⊥CG，∴四边形EDHG为矩形，∴DE＝HG．DH∥BG．∴∠GBC＝∠HDC∴AB＝AC．∴∠FCD＝∠GBC＝∠HDC．又∵∠F＝∠DHC＝90°，CD＝DC，∴△FDC≌△HCD(AAS)，∴DF＝CH．∴GH+CH＝DE+DF＝CG，即DE+DF＝CG．(3)仍然成立．(注：本题还可以利用面积来进行证明，比如(2)中连结AD)。
2024年中考数学一轮复习：锐角三角函数+课件
D.90°
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若
AC=2，BC=1，则sin∠ACD=
.
tanα.tan（90°－α）＝1
sin2α＋cos2α＝1
自学自练展素养
B
c a
A
b
C
随堂练习
Hale Waihona Puke 研学随练展收获1.已知在△ABC中,∠C=90°,∠A=α,AC=3,那么AB的长为（ ）
A. 3tanα B. 3cotα C.
D.
2.△ABC中，∠B=90°，BC=2AB,则cosA的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
知识点2 特殊角的三角函数值
自学自练展素养
随堂练习
1.△ABC中，∠A、∠B是锐角，
则∠C＝
度。
2.在△ABC中，若 三角形。
3.
研学随练展收获
，
，则△ABC是
知识点3 解直角三角形
自学自练展素养
1.定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，叫做解直角三角形．
2.常用关系：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，则：
2024年中考数学一轮复习
一、素养展示
自学自练展素养
二、教学目标
1.掌握锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值。 2.会用锐角三角函数解直角三角形。
知识梳理
自学自练展素养
知识点1 锐角三角函数
1.定义：
2.重要变形： 设α是一个锐角，则
sinα＝cos(90°－α)
cosα＝sin(90°－α)
B
a2＋b2＝
c a
c2∠A＋∠B＝ 90°
初三锐角三角函数复习讲义
锐角三角函数：知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义：如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA ∠A 的余弦可表示为：cosA∠A 的正切可表示为：tanA ，它们称为∠A 的锐角三角函数①斜边)(sin =A ＝______，②斜边)(cos =A ＝______，③的邻边A A ∠=)(tan ＝______，【特别提醒：1、sinA 、cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关。
2、取值范围 <sinA< ， <cosA< ，tanA> 例1. 锐角三角函数求值：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．典型例题：类型一：利用直角三角形求值1．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC 求：AB 及OC 的长．类型二. 利用角度转化求值：1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．2． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ） A ．12 B ．32C ．35D ．455.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．436. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．45A D ECB F7. 如图6，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan 5DBA ∠= ，则AD 的长为( )A ．2B ．2C ．1D ．22D C B A Oyx第8题图类型三. 化斜三角形为直角三角形1. 如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．2．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）3. ABC 中，∠A =60°，AB =6 cm ，AC =4 cm ，则△ABC 的面积是 （ ）A.23 cm 2B.43 cm 2C.63 cm 2D.12 cm 2类型四：利用网格构造直角三角形1.如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ） A ．12B ．55 C ．1010D ．2552．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______. 3．如图，A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''B AC ∆，则'tan B 的值为 （ ）A.41 B. 31 C.21D. 14．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则tan AOB ∠的值是（ ）A ．55B.2 5 5 C.12D. 2 CB A ABO知识点二：特殊角的三角函数值当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值．1.计算：︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 22.计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°3．计算：030tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+ 4．计算： tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒例2．求适合下列条件的锐角α ． (1)21cos =α (2)33tan =α (3)222sin =α (4)33)16cos(6=- α（5）已知α 为锐角，且3)30tan(0=+α，求αtan 的值（6）在ABC ∆中，0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠的度数.例3. 三角函数的增减性 1．已知∠A 为锐角，且sin A <21，那么∠A 的取值范围是 A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 2. 已知A 为锐角，且030sin cos <A ，则 （ ）A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°锐角α30°45°60°sin αcos αtan α类型五：三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD 的值．5.（本小题5分）如图，△ABC 中，∠A=30°，3tan 2B =，43AC =．求AB 的长.DCBAACB知识点三：解直角三角形：1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边与角之间的关系：==B A cos sin ______；==B A sin cos _______；==BA tan 1tan _____；==B A tan tan 1______．④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ．CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________．例1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ； (2)已知：32sin =A ，6=c ，求a 、b ；（3）．已知：△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．类型六：解直角三角形的实际应用 仰角与俯角1．如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ） A ． 200米 B ． 200米 C ． 220米 D ． 100（）米 2． 在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图13所示，某学生在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点C ，测得C 在A 北偏西31︒的方向上，沿河岸向北前行20米到达B 处，测得C 在B 北偏西45︒的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈53，sin31°≈21）图13ABCD 45° 30°3 .如图，小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB 为1.7米，求这棵树的高度.A BCD E4．一数学兴趣小组为测量河对岸树AB 的高，在河岸边选择一点C ，从C 处测得树梢A 的仰角为45°，沿BC 方向后退10米到点D ，再次测得点A 的仰角为30°．求树高．(结果精确到0.1米．参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈)5．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒，∠BAC=75°． （1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，3≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）坡度与坡角1.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤坝高BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是（ ）A ．100mB ．1003mC ．150mD ．503m2.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB 的高度.如图，老师测得升旗台前斜坡FC 的坡比为i =1:10，学生小明站在离升旗台水平距离为35m （即CE =35m ）处的C 点，测得旗杆顶端B 的仰角为α，已知tan α=37，升旗台高AF =1m ，小明身高CD =1.6m ，请帮小明计算出旗杆AB 的高度.3.如图，有两条公路OM ，ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点80米处有一所学校A ，当重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心、50米长为半径的圆形区域内部会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大，若已知重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为18千米/时. (1)求对学校A 的噪声影响最大时,卡车P 与学校A 的距离;(2)求卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪影响的时间.30°80米OMNAP4.如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC =4米，AB =6米，中间平台宽度DE =1米，EN 、DM 、CB 为三根垂直于AB 的支柱，垂足分别为N 、M 、B ，∠EAB =31°，αABD CEF i FC =1:10DF ⊥BC 于F ，∠CDF =45°．求DM 和BC 的水平距离BM 的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）5.如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB 的长为5米，点D 、B 、C 在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。
2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—锐角三角形及其应用
【详解】解：∵ tan − 3 + 2cos − 3 ＝0，
∴ tan − 3 = 0， 2cos − 3
2
= 0，
∴ tan = 3，2cos − 3 = 0，
∴ ∠ = 60°，cos =
3
，∠
2
= 30°，
在△ 中，∠ = 180° − 60° − 30° = 90°，且∠ ≠ ∠，
−2
．
考点一 锐角三角函数
题型09 求特殊角的三角函数值
3
【例9】（2023·山东淄博·统考一模）在实数 2，x0（x≠0），cos30°， 8中，有理数的个数是（
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【变式9-1】（2023·广东潮州·二模）计算|1 − tan60°|的值为（
A．1 − 3
B．0
C． 3 − 1
3
∴tan∠ABE＝tan30°＝ 3 ，
3
故答案为： 3 ．
．
考点一 锐角三角函数
题型05 已知正弦值求边长
3
【例5】（2022·云南昆明·官渡六中校考一模）在△ 中，∠ = 90°，若 = 100, sin = 5，则的长是
（
）
500
3
A．
503
5
B．
C．60
D．80
【变式5-1】（2023·广东佛山·校联考模拟预测）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，
∠A的邻边
斜边
cos A =
b
c
正切
tanA =
∠A的对边
∠A的邻边
tan A =
a
b
3. 锐角三角函数的关系：
初中数学新人教版《锐角三角函数》中考总复习(大全)
注意
▪ sinA、cosA、tanA、是一个完整的符号， 它表示∠A的余弦、正切，记号里习惯省去 角的符号“∠”；
▪ sinA、cosA，tanA没有单位，它表示一 个比值，即直角三角形中∠A的对边与斜边 的比、邻边与斜边的比，对边与邻边的比；
▪ sinA不表示“sin”乘以“A”，cosA不表 示“cos”乘以“A”， tanA不表示“tan” 乘以“A”
rldmm8989889
练习1
如右图所示的Rt⊿
A
ABC中∠C=90°，
a=5，b=12，5
c b
那么sinA= _1_3___，
cosA=__11_23___
B
,
aC
cosB=___15_3__，
5
tanA = ___1_2__
思考
(1)互余两角的 正弦与余弦有 相 等 何关系？
(2)同角的正弦 与余弦的平方 和等于？
sinA=cos（90°- A ）=cosB cosA=sin（90°- A）=sinB
互余两个角的三角函数关系
练习2
⑴ 已知:Rt△ABC中，∠C=90°∠A
为锐角，且tanA=0.6，tanB3=/(5 ).
⑵ sin2A+tanAtanB -2+cos2A=( 0 )
⑶ tan44°tan46°=1( ).
确定角的范围
1. 当∠A为锐角，且tgA的值
大于 3 时，∠A（ B ）
3
(A)小于30° (B)大于30° (C) 小于60° (D)大于60°
2. 当∠A为锐角，且tanA的
值小于 3 时，∠A（ C ）
(A)小于30° (B)大于30° (C) 小于60° (D)大于60°
锐角三角函数总复习ppt课件.pptx
基础自主导学
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=1,AB=2,则下列结论正确的 是( )
A.sin
A=
3 2
C.cos
B=
3 2
答案:D
B.tan A=12 D.tan B= 3
2.在正方形网格中,△ABC的位置如图,则cos B的值为( )
A.
1 2
C.
3 2
答案:B
B.
2 2
D.
┃ 知识归类
解直角三角形
1.三边关系：a2＋b2＝c2
2.三角关系：∠A＝90°－∠B
a
3.边角关系：sinA＝cosB＝ c
；
；
b
，cosA＝sinB＝c ，tanA
sinA
sinB
＝ cosA ，tanB＝ cosB
.
4.面积关系：sABC
1 2
ab
1 2
ch
(2)直角三角形可解的条件和解法
条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是边)， 就可以求出其余的3个未知元素．
[思路分析]设每层楼高为x m，由MC－CC′求出MC′的 长，进而表示出DC′与EC′的长，在直角三角形DC′A′中， 利用锐角三角函数定义表示出C′A′，同理表示出C′B′， 由 C′B′－C′A′求出 AB 的长即可.
解：设每层楼高为 x m， 由题意，得 MC′＝MC－CC′＝2.5－1.5＝1(m). ∴DC′＝5x＋1，EC′＝4x＋1. 在Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°， ∴C′A′＝tDanC6′0°＝ 33(5x＋1).
1 2
，sin45°＝
2 2
，sin60°＝
3 2
九年级数学《锐角三角函数》知识点总结归纳
《锐角三角函数》是九年级数学中的一个重要的章节，它在高中数学中也有重要的应用。
下面是对《锐角三角函数》的知识点进行总结归纳。
一、角度的度和弧度制1.角度的度制：一个圆周分为360等份，每一份称为一度，用符号°表示。
2.角度的弧度制：弧度制通过角对应的弧长与半径的比值来表示。
弧度制度数=角度的度数×π/180二、正弦、余弦、正切关系1. 正弦函数：对于任意锐角A，正弦函数表示为sinA=对边/斜边。
2. 余弦函数：对于任意锐角A，余弦函数表示为cosA=邻边/斜边。
3. 正切函数：对于任意锐角A，正切函数表示为tanA=对边/邻边。
三、特殊角的值1. 30°特殊角的正弦、余弦、正切值：sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=1/√32. 45°特殊角的正弦、余弦、正切值：sin45°=√2/2，cos45°=√2/2，tan45°=13. 60°特殊角的正弦、余弦、正切值：sin60°=√3/2，cos60°=1/2，tan60°=√3四、三角函数的基本性质1. 同角三角函数值的关系：sinA/cosA=tanA，cosA/sinA=1/tanA，sin^2A+cos^2A=12. 三角函数的周期性：sin(A+2π)=sinA，cos(A+2π)=cosA，tan(A+π)=tanA。
3. 正负关系：在第一象限，sinA>0，cosA>0，tanA>0，在第二象限，sinA>0，cosA<0，tanA<0，在第三象限，sinA<0，cosA<0，tanA>0，在第四象限，sinA<0，cosA>0，tanA<0。
五、三角函数的应用1.解三角形：根据已知两边和夹角，用余弦定理和正弦定理求解。
锐角三角函数知识点总结
锐角三角函数知识点总结一、引言锐角三角函数是数学中的基础知识点，它在解决与直角三角形相关的问题中扮演着重要角色。
本文将总结锐角三角函数的基本概念、性质和公式，以及它们在实际问题中的应用。
二、基本概念1. 锐角：角度小于90度的角。
2. 直角三角形：一个角为90度的三角形。
3. 边的命名：- 对边（Opposite side）：锐角所对的边。
- 邻边（Adjacent side）：锐角旁边的边，但不包括斜边。
- 斜边（Hypotenuse）：直角三角形中最长的边，对直角的两边进行闭合。
4. 锐角三角函数：- 正弦（Sine, sin）：锐角的对边与斜边的比值。
- 余弦（Cosine, cos）：锐角的邻边与斜边的比值。
- 正切（Tangent, tan）：锐角的对边与邻边的比值。
三、基本公式1. 定义公式：- sin(θ) = 对边 / 斜边- cos(θ) = 邻边 / 斜边- tan(θ) = 对边 / 邻边2. 互余关系：- sin(90° - θ) = cos(θ)- cos(90° - θ) = sin(θ)- tan(90° - θ) = cot(θ)3. 基本恒等式：- sin²(θ) + cos²(θ) = 1- 1 + tan²(θ) = sec²(θ)- 1 + cot²(θ) = csc²(θ)4. 特殊角的三角函数值：- sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2, tan(30°) = √3/3 - sin(45°) = √2/2, cos(45°) = √2/2, tan(45°) = 1- sin(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2, tan(60°) = √3四、应用1. 解直角三角形问题：- 利用三角函数求解边长。
初三锐角三角函数知识点总结、典型例题、练习(精选)
例 2．已知：如图，⊙O 的半径 OA＝16cm，OC⊥AB 于 C 点， sin AOC 3 4
求：AB 及 OC 的长．
2
例 3.已知 A 是锐角， sin A 8 ，求 cos A ， tan A 的值 17
对应训练：
1．在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，若 BC＝1，AB= 5 ，则 tanA 的值为
B．
3
3
C．
4
4
D．
3
8． 如图，在△ABC 中，∠ACB=∠ADC= 90°，若 sinA= 3 ，则 cos∠BCD 的值为 ． 5
C
9.计算： 2 cos 30 2 sin 45 tan 60
A
D
B
10．计算 2sin 60 2 cos 45 3 tan 30 tan 45 .
11．计算： 2 sin 60o 4 cos2 30o+ sin 45o tan 60o．
8
12．已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a= 4 6 ，b=12 2 .解这个直角三角形
13. 已知：在⊙O 中,AB 是直径，CB 是⊙O 的切线，连接 AC 与⊙O 交于点 D,
C
(3) 求证：∠AOD=2∠C
则 sin B 的值是（
）
3
2
A．
3
3
B．
2
3
C．
4
4
D．
3
4. 如图 4，沿 AE 折叠矩形纸片 ABCD ，使点 D 落在 BC 边的点 F 处．已知 AB 8 ，
BC 10 ，AB=8,则 tan∠EFC 的值为 ( )
A
D
3
Ａ．
中考总复习锐角三角函数综合复习--知识讲解
中考总复习锐角三角函数综合复习--知识讲解锐角三角函数是初中数学中的一个重要内容，也是中考数学考试中常考的内容之一、掌握了锐角三角函数的定义、性质和相关的计算方法，可以帮助我们解决与角度有关的各种问题，如计算角度的大小、求角的三角函数值等。
下面是锐角三角函数的综合复习知识讲解。
1.弧度制和角度制在介绍锐角三角函数之前，我们首先要了解弧度制和角度制。
在角度制中，一个圆的周长被定义为360度，而在弧度制中，一个圆的周长被定义为2π弧度。
所以可以得到以下关系：360度=2π弧度180度=π弧度90度=π/2弧度2.定义对于任意一个锐角A，我们可以在一个单位圆上面取点P，使得∠POA 的顶点为O，点O为圆心，点P在单位圆上。
这样，我们可以定义以下几个锐角三角函数：正弦函数sinA、余弦函数cosA、正切函数tanA、余切函数cotA。
3.性质(1) 正弦函数sinA：在单位圆上，点P的纵坐标就是正弦值sinA。
(2) 余弦函数cosA：在单位圆上，点P的横坐标就是余弦值cosA。
(3) 正切函数tanA：tanA的值等于sinA/cosA。
(4) 余切函数cotA：cotA的值等于cosA/sinA。
(5) 错位现象：sinA等于cos(90度-A)，cosA等于sin(90度-A)。
4.基本关系式(1) sin²A + cos²A = 1，即sin²A = 1 - cos²A，cos²A = 1 -sin²A。
(2) tanA = sinA/cosA，cotA = 1/tanA = cosA/sinA。
(3) sin(180度 - A) = sinA，cos(180度 - A) = -cosA。
(4) cos(360度 - A) = cosA，sin(360度 - A) = -sinA。
5.锐角三角函数的值(1)0度、30度、45度、60度、90度的正弦、余弦、正切值是特殊的，需要进行熟记。
华东师大初中数学中考总复习：锐角三角函数综合复习--知识讲解(基础)
中考总复习：锐角三角函数综合复习—知识讲解（基础）【考纲要求】1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．Cab锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)，②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法求∠，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA ，OB ，OC ，OD 的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、锐角三角函数的概念与性质1．如图，在4×4的正方形网格中，tan α=( )(A)1 (B)2 (C)12【思路点拨】把∠α放在一个直角三角形中，根据网格的长度计算出∠α的对边和邻边的长度. 【答案】B ；【解析】根据网格的特点：设每一小正方形的边长为1，可以确定∠α的对边为2，邻边为1，然后利用正切的定义tan ∠αα=∠α的对边的邻边， 故选B.【总结升华】本题考查锐角三角函数的定义及运用，可将其转化到直角三角形中解答，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 举一反三：【变式】在Rt △ABC 中，∠C=90°,若AC=2BC ，则sinA 的值是( ) (A)12(B)2 (C) 52【答案】选C.因为∠C=90°，，所以BC sin A AB ===.类型二、特殊角的三角函数值2．已知a ＝3，且2(4tan 45)0b -+=°，以a 、b 、c 为边长组成的三角形面积等于( )．A ．6B ．7C ．8D ．9【思路点拨】根据题意知4tan 450,130,2b bc -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩°求出b 、c 的值，再求三角形面积. 【答案】A ；【解析】根据题意知4tan 450,130,2b bc -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩° 解得 4,5.b c =⎧⎨=⎩ 所以a ＝3，b ＝4，c ＝5，即222a b c +=，其构成的三角形为直角三角形，且∠C ＝90°， 所以162S ab ==． 【总结升华】利用非负数之和等于0的性质，求出b 、c 的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，注意tan45°的值不要记错．【变式】 计算：.【答案】原式.3．如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5，求sinB ·sinC 的值．【思路点拨】为求sin B ，sin C ，需将∠B ，∠C 分别置于直角三角形之中，另外已知∠A 的邻补角是60°，若要使其充分发挥作用，也需要将其置于直角三角形中，所以应分别过点B 、C 向CA 、BA 的延长线作垂线，即可顺利求解． 【答案与解析】解：过点B 作BD ⊥CA 的延长线于点D ，过点C 作CE ⊥BA 的延长线于点E ．∵∠BAC ＝120°，∴∠BAD ＝60°．∴AD ＝AB ·cos60°＝10×12＝5；BD ＝AB ·sin60°＝10×2＝． 又∵CD ＝CA+AD ＝10，∴BC =，∴sin 7BD BCD BC ∠==．同理，可求得sin 14ABC ∠=．∴3sin sin 71414ABCBCD ∠∠=⨯=． 【总结升华】由于锐角的三角函数是在直角三角形中定义的，因此若要求某个角的三角函数值，一般可以通过作垂线等方法将其置于直角三角形中．【变式】如图，机器人从A 点，沿着西南方向，行了个单位，到达B 点后观察到原点O 在它的南偏东60°的方向上，则原来A 的坐标为__________.(结果保留根号)．【答案】类型三、解直角三角形及应用【高清课堂：锐角三角函数综合复习 ID ：408468 播放点：例3】4．在△ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝3，AB ＝BCA 的度数和AC 的长．【思路点拨】由于∠A 是一个特殊角，且已知AB ，故可以作AC 边上的高BD(如图所示)，可求得2BD =．由于此题的条件是“两边一对角”，且已知角的对边小于邻边，因此需要判断此题的解是否唯一，要考虑对边BC 与AC 边上的高BD BC << 【答案与解析】 解：作BD ⊥AC 于D ．(1)C 1点在AD 的延长线上．在△ABC 1中，13BC =，2BD =，∴1sin 2C =． ∴∠C 1＝60°．由勾股定理，可分别求得132DC =，92AD =． ∴AC 1＝AD+DC 1＝93622+=． (2)C 2点在AD 上．由对称性可得，∠BC2D＝∠C1＝60°，213 2C D C D==．∴∠BC2A＝120°，2933 22AC=-=．综上所述，当∠BCA＝60°时，AC＝6；当∠BCA＝120°时，AC＝3．【总结升华】由条件“两边一对角”确定的三角形可能不是唯一的，需要考虑第三边上的高的大小判断解是否唯一．【高清课堂：锐角三角函数综合复习 ID：408468 播放点：例4】5．（2015•茂名）如图，一条输电线路从A地到B地需要经过C地，图中AC=20千米，∠CAB=30°，∠CBA=45°，因线路整改需要，将从A地到B地之间铺设一条笔直的输电线路．（1）求新铺设的输电线路AB的长度；（结果保留根号）（2）问整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了多少千米？（结果保留根号）【思路点拨】（1）过C作CD⊥AB，交AB于点D，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出CD与AD的长，在直角三角形BCD中，利用锐角三角函数定义求出BD的长，由AD+DB求出AB的长即可；（2）在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出BC的长，由AC+CB﹣AB即可求出输电线路比原来缩短的千米数．【答案与解析】解：（1）过C作CD⊥AB，交AB于点D，在Rt△ACD中，CD=AC•sin∠CAD=20×=10（千米），AD=AC•cos∠CAD=20×=10（千米），在Rt△BCD中，BD===10（千米），∴AB=AD+DB=10+10=10（+1）（千米），则新铺设的输电线路AB的长度10（+1）（千米）；（2）在Rt△BCD中，根据勾股定理得：BC==10（千米），∴AC+CB﹣AB=20+10﹣（10+10）=10（1+﹣）（千米），则整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了10（1+﹣）千米．【总结升华】解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．已知斜三角形中的SSS ，SAS ，ASA ，AAS 以及SSA 条件，求三角形中的其他元素是常见问题，注意划归为常见的两个基本图形(高在三角形内或高在三角形外)(如图所示)：举一反三：【变式】坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋(公元1112年)，为砖砌八角形十三层楼阁式建筑．数学活动小组开展课外实践活动，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪、皮尺、小镜子．(1)小华利用测角仪和皮尺测量塔高．下图为小华测量塔高的示意图．她先在塔前的平地上选择一点A ，用测角仪测出看塔顶(M)的仰角α＝35°，在点A 和塔之间选择一点B ，测出看塔顶(M)的仰角β＝45°，然后用皮尺量出A ，B 两点间的距离为18.6m ，量出自身的高度为1.6m ．请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度(tan35°≈0.7，结果保留整数)．(2)如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影NP 的长为am(如图所示)，你能否利用这一数据设计一个测量方案?如果能，请回答下列问题：①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是：________________________；②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据?________________________________________________________. 【答案】解：(1)设CD 的延长线交MN 于E 点，MN 长为x m ，则ME ＝(x-1.6)m ． ∵β＝45°， ∴DE ＝ME ＝x-1.6． ∴CE ＝x-1.6+18.6＝x+17． ∵tan tan 35MECEα==°，∴1.60.717xx-=+，解得x＝45．∴太子灵踪塔MN的高度为45m．(2)①测角仪、皮尺；②站在P点看塔顶的仰角、自身的高度(注：答案不唯一)．6．（2015•锦州）如图，三沙市一艘海监船某天在黄岩岛P附近海域由南向北巡航，某一时刻航行到A处，测得该岛在北偏东30°方向，海监船以20海里/时的速度继续航行，2小时后到达B处，测得该岛在北偏东75°方向，求此时海监船与黄岩岛P的距离BP的长．（参考数据：≈1.414，结果精确到0.1）【思路点拨】过B作BD⊥AP于D，由已知条件得：AB=20×2=40，∠P=75°﹣30°=45°，在Rt△ABD中求出BD=AB=20，在R t△BDP中求出PB即可．【答案与解析】解：过B作BD⊥AP于D，由已知条件得：AB=20×2=40，∠P=75°﹣30°=45°，在Rt△ABD中，∵AB=40，∠A=30，∴BD=AB=20，在R t△BDP中，∵∠P=45°，∴PB=BD=20≈28.3（海里）．答：此时海监船与黄岩岛P的距离BP的长约为28.3海里．【总结升华】此题主要考查解直角三角形的有关知识．通过数学建模把实际问题转化为解直角三角形问题．。
初中九年级数学中考锐角三角函数知识点总结
九年级数学中，锐角三角函数是一个重要的知识点。
锐角三角函数是指对于锐角的正弦、余弦和正切函数。
下面我将对锐角三角函数的基本概念、性质和应用进行总结。
一、基本概念1.弧度和角度：角度是常用的角度度量单位，弧度是角度的另一种度量单位。
1个弧度对应360°/2π≈57.3°。
角度和弧度之间的关系式：弧度=角度×π/180°。
2.锐角：指角度小于90°的角。
3. 三角函数：对于一个锐角A，定义其正弦(sin A)为对边与斜边的比值，余弦(cos A)为邻边与斜边的比值，正切(tan A)为对边与邻边的比值。
二、性质1.正弦函数的性质：（1）对于锐角A，0 < A < 90°，sin A > 0；（2）sin A = sin (180° - A) = sin (A + 360°)；（3）sin (90° - A) = cos A；（4）sin A ≠ 0，当且仅当A是锐角。
2.余弦函数的性质：（1）对于锐角A，0 < A < 90°，cos A > 0；（2）cos A = cos (180° - A) = cos (360° + A)；（3）cos (90° - A) = sin A；（4）cos A ≠ 0，当且仅当A是锐角。
3.正切函数的性质：（1）对于锐角A，0 < A < 90°，tan A > 0；（2）tan A = tan (180° + A)；（3）tan (90° - A) = 1/tan A；（4）tan A ≠ 0，当且仅当A是锐角。
4.三角函数的关系：（1）sin^2 A + cos^2 A = 1；（2）tan A = sin A / cos A。
三、应用1.解三角形：利用已知角的正弦、余弦和正切的值，可以求解未知边长或角度的三角形问题。
初三锐角三角函数知识点总结、典型例题、练习(精选)
三角函数专项复习锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
222c b a =+2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：定 义表达式取值范围关 系正弦 斜边的对边A A ∠=sin c aA =sin 1sin 0<<A (∠A 为锐角)B A cos sin =B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦 斜边的邻边A A ∠=cos c bA =cos 1cos 0<<A (∠A 为锐角) 正切 的邻边的对边A tan ∠∠=A A b aA =tan 0tan >A (∠A 为锐角)3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 三角函数 0° 30°45°60°90° αsin 0 21 22 23 1 αcos1 23 2221 0 αtan33 1 3-5、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
6、正切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。
(注意：尽量避免使用中间数据和除法))90cos(sin A A -︒=)90sin(cos A A -︒=BA cos sin =BA sin cos =A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A对边邻边斜边 ACBba c8、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
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中考总复习：锐角三角函数综合复习—知识讲解（基础）撰稿：张晓新审稿：杜少波【考纲要求】1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．Cabc锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA aAc∠==的对边斜边；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA bAc∠==的邻边斜边；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA aAA b∠==∠的对边的邻边.同理sinB bBc∠==的对边斜边；cosB aBc∠==的邻边斜边；tanB bBB a∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．考点二、特殊角的三角函数值要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)，②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、锐角三角函数的概念与性质1．如图，在4×4的正方形网格中，tanα=( )(A)1 (B)2 (C) 12(D)52【思路点拨】把∠α放在一个直角三角形中，根据网格的长度计算出∠α的对边和邻边的长度.【答案】B；【解析】根据网格的特点：设每一小正方形的边长为1，可以确定∠α的对边为2，邻边为1，然后利用正切的定义tan∠αα=∠α的对边的邻边，故选B.【总结升华】本题考查锐角三角函数的定义及运用，可将其转化到直角三角形中解答，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．举一反三：【变式】在Rt △ABC 中，∠C=90°,若AC=2BC ，则sinA 的值是( ) (A)12(B)2 (C) 55 (D) 52【答案】选C.因为∠C=90°，522AB=AC +BC =BC ，所以BC BC 5sin A AB 55BC===.类型二、特殊角的三角函数值2．已知a ＝3，且21(4tan 45)302b bc -++-=°，以a 、b 、c 为边长组成的三角形面积等于( )． A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【思路点拨】根据题意知4tan 450,130,2b bc -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩°求出b 、c 的值，再求三角形面积. 【答案】A ；【解析】根据题意知4tan 450,130,2b bc -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩° 解得 4,5.b c =⎧⎨=⎩ 所以a ＝3，b ＝4，c ＝5，即222a b c +=，其构成的三角形为直角三角形，且∠C ＝90°， 所以162S ab ==． 【总结升华】利用非负数之和等于0的性质，求出b 、c 的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，注意tan45°的值不要记错． 举一反三： 【变式】 计算：.【答案】原式.3．如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5，求sinB ·sinC 的值．【思路点拨】为求sin B ，sin C ，需将∠B ，∠C 分别置于直角三角形之中，另外已知∠A 的邻补角是60°，若要使其充分发挥作用，也需要将其置于直角三角形中，所以应分别过点B 、C 向CA 、BA 的延长线作垂线，即可顺利求解．【答案与解析】解：过点B 作BD ⊥CA 的延长线于点D ，过点C 作CE ⊥BA 的延长线于点E ．∵∠BAC ＝120°，∴∠BAD ＝60°．∴AD ＝AB ·cos60°＝10×12＝5； BD ＝AB ·sin60°＝10×32＝53． 又∵CD ＝CA+AD ＝10， ∴2257BC BD CD =+=，∴21sin 7BD BCD BC ∠==． 同理，可求得21sin ABC ∠=． ∴21213sin sin 71414ABC BCD ∠∠=⨯=． 【总结升华】由于锐角的三角函数是在直角三角形中定义的，因此若要求某个角的三角函数值，一般可以通过作垂线等方法将其置于直角三角形中．举一反三：【变式】如图，机器人从A 点，沿着西南方向，行了个单位，到达B 点后观察到原点O 在它的南偏东60°的方向上，则原来A 的坐标为__________.(结果保留根号)．【答案】类型三、解直角三角形及应用【高清课堂：锐角三角函数综合复习 ID：408468 播放点：例3】4．在△ABC中，∠A＝30°，BC＝3，AB＝33，求∠BCA的度数和AC的长．【思路点拨】由于∠A是一个特殊角，且已知AB，故可以作AC边上的高BD(如图所示)，可求得33BD=．由于此题的条件是“两边一对角”，且已知角的对边小于邻边，因此需要判断此题的解是否唯一，要考虑对边BC与AC边上的高BD的大小，而33332BC<<，所以此题有两解．【答案与解析】解：作BD⊥AC于D．(1)C1点在AD的延长线上．在△ABC1中，13BC=，332 BD=，∴13sin2C=．∴∠C1＝60°．由勾股定理，可分别求得13 2DC=，92 AD=．∴AC1＝AD+DC1＝936 22+=．(2)C2点在AD上．由对称性可得，∠BC2D＝∠C1＝60°，213 2C D C D==．∴∠BC2A＝120°，2933 22AC=-=．综上所述，当∠BCA＝60°时，AC＝6；当∠BCA＝120°时，AC＝3．【总结升华】由条件“两边一对角”确定的三角形可能不是唯一的，需要考虑第三边上的高的大小判断解是否唯一．【高清课堂：锐角三角函数综合复习 ID ：408468 播放点：例4】5．如图所示，某船向正东航行．在A 处望见灯塔C 在东北方向，前进到B 处望见灯塔C 在北偏西30°方向，又航行了半小时到D 处，望见灯塔C 恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A ，D 两点间的距离(结果保留根号)．【思路点拨】作CE ⊥AD ，用CE 可以表示出AE 、DE ，根据AD 的长，可以得到关于CE 的方程，就可以求得CE 的长． 【答案与解析】解：作CE ⊥AD 于E ，设CE ＝x(海里)， ∵∠CAD ＝∠CDA ＝45°， ∴CE ＝AE ＝DE ＝x ．在Rt △CEB 中，∠CBE ＝60°，BE ＝DE-BD ＝x-10． ∴tan 60310x CEx BE===-°． 解得 155333x ==+-．∴AD ＝2x ＝(30+103)(海里)．答：A ，D 两点间的距离为(30103)+海里．【总结升华】解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．已知斜三角形中的SSS ，SAS ，ASA ，AAS 以及SSA 条件，求三角形中的其他元素是常见问题，注意划归为常见的两个基本图形(高在三角形内或高在三角形外)(如图所示)：举一反三：【变式】坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋(公元1112年)，为砖砌八角形十三层楼阁式建筑．数学活动小组开展课外实践活动，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪、皮尺、小镜子．(1)小华利用测角仪和皮尺测量塔高．下图为小华测量塔高的示意图．她先在塔前的平地上选择一点A ，用测角仪测出看塔顶(M)的仰角α＝35°，在点A 和塔之间选择一点B ，测出看塔顶(M)的仰角β＝45°，然后用皮尺量出A ，B 两点间的距离为18.6m ，量出自身的高度为1.6m ．请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度(tan35°≈0.7，结果保留整数)．(2)如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影NP 的长为am(如图所示)，你能否利用这一数据设计一个测量方案?如果能，请回答下列问题：①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是：________________________；②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据?________________________________________________________. 【答案】解：(1)设CD 的延长线交MN 于E 点，MN 长为x m ，则ME ＝(x-1.6)m ． ∵β＝45°，∴DE ＝ME ＝x-1.6．∴CE ＝x-1.6+18.6＝x+17．∵tan tan 35MECE α==°， ∴1.60.717x x -=+，解得x ＝45． ∴太子灵踪塔MN 的高度为45m ．(2)①测角仪、皮尺；②站在P 点看塔顶的仰角、自身的高度(注：答案不唯一)．6．如图所示，海上有一灯塔P ，在它周围3海里处有暗礁，一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行，行至A 点处测得P 在它的北偏东60°方向，继续行驶20分钟后，到达B 处又测得灯塔P 在它的北偏东45°方向，问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?【思路点拨】要得出有无触礁的危险，需求出轮船在航行过程中离点P 的最近距离，然后与暗礁区的半径进行比较，若大于则无触礁的危险，若小于则有触礁的危险. 【答案与解析】解：过P 作PC ⊥AB 于C 点，根据题意知： AB ＝9×26＝3，∠PAB ＝90°-60°＝30°， ∠PBC ＝90°-45°＝45°，∠PCB ＝90°． ∴PC ＝BC 在Rt △APC 中， tan 303PC PC PCAC AB BC PC===++°， 即333PC PC=+． ∴3332PC =＞3． 答：客轮不改变方向继续前进无触礁危险．【总结升华】此题主要考查解直角三角形的有关知识．通过数学建模把实际问题转化为解直角三角形问题．。