3.1.2 函数的单调性(3)
《3.1.2函数的单调性》作业设计方案-高中数学人教B版19必修第一册
《3.1.2 函数的单调性》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过《函数的单调性》第一课时的学习，使学生能够：1. 理解函数单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法。
2. 能够通过实例分析，加深对函数单调性在实际问题中应用的理解。
3. 培养学生的数学逻辑思维和问题解决能力。
二、作业内容本课时的作业内容主要包括以下几个方面：1. 理论学习：复习函数单调性的定义，理解增函数和减函数的含义，掌握判断函数单调性的基本方法。
2. 练习题：设计一系列练习题，包括选择题、填空题和解答题，涵盖函数单调性的基本概念、判断方法和应用。
（1）选择题：挑选出几个典型的函数图像，让学生判断其单调性。
（2）填空题：提供未完成的问题，要求学生根据函数单调性的定义完成填空。
（3）解答题：设计实际问题的情境，要求学生运用函数单调性的知识解答。
3. 拓展应用：设计一些涉及函数单调性的实际问题，如经济学中的成本函数、市场营销中的价格与销售量关系等，以提高学生运用知识解决实际问题的能力。
三、作业要求1. 学生需在规定时间内独立完成作业，并保证答案的准确性。
2. 学生在完成练习题时，应注重理解题目背后的数学原理和解题思路。
3. 对于拓展应用部分，学生需结合实际情境，运用所学知识进行分析和解答。
4. 作业需字迹工整，步骤清晰，答案完整。
四、作业评价1. 教师将根据学生作业的准确性和解题思路进行评价，对正确答案进行批改和点评。
2. 对于解题思路有创新或独特见解的学生，给予鼓励和表扬。
3. 对于作业中出现的错误，教师需进行详细指导，帮助学生找出错误原因并改正。
五、作业反馈1. 教师将根据学生作业的完成情况，进行针对性的教学调整，以提高教学效果。
2. 对于普遍存在的问题，将在课堂上进行讲解和答疑。
3. 对于个别学生的问题，可通过课后辅导或线上交流的方式进行个别指导。
4. 定期收集学生对于作业设计的反馈意见，以便不断优化作业设计，提高学生的学习效果。
函数的单调性及凹凸性
x 的增大而增大，即 f (x) 是单调增加的
则
f (x) 0
当曲线弧是凸时，切线的斜率随着 x 的 增大而减小，即 f (x) 是单调减少的
则
f (x) 0
高等数学应用教程
3.1.3 函数的凹凸性
讨论函数 f (x) 凹凸性的问题时， 可先求出使 f (x) 0 的点及 f (x) 不存在的点，这些点把 f (x) 的定
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3.1 函数的单调性与凹凸性
3.1 函数的单调性与凹凸性
上面图形的形状可以通过导数的知识加以 研究解决，为此先介绍拉格朗日中值定理
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3.1.1 拉格朗日中值定理
3.1.1 拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理几何意义
曲 线 y f (x) 上 至 少 有 一 点
M (, f ( )) 的切线的斜率 f () 等 于 线 段 AB 的 斜 率
义域划分为若干个区间，确定各个 区间上二阶导数 f (x) 的符号，即 可得出函数 f (x) 的凹凸区间及拐点.
高等数学应用教程 例4 解
列表讨论如下
3.1.3 函数的凹凸性
由表 3-2 可知，曲线在区间 (,0] 和 区间 [1, ) 上是凹的，在区间[0,1] 上 是凸的，拐点为点 (0,1) 和 (1,0) .
反之,也有类似结论,从而有以下函数单调性的判定定理
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3.1.2 函数的单调性
而 即
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例2 解
3.1.2 函数的单调性
这两点把定义域分成3个小区间，列表讨论如下
高等数学应用教程 例3 解
3.1.2 函数的单调性
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3.1.2 函数的单调性
《3.1.2函数的单调性》作业设计方案-高中数学人教B版19必修第一册
《3.1.2 函数的单调性》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在帮助学生巩固和深化对“函数的单调性”的理解，通过实际操作和练习，掌握判断函数单调性的方法和技巧，为后续学习打下坚实的基础。
二、作业内容1. 基础知识巩固- 要求学生复习函数单调性的定义，理解增函数和减函数的概念，并能够正确使用数学语言描述函数的单调性。
- 布置相关练习题，如填空题和选择题，考察学生对基本概念的掌握情况。
2. 函数单调性判断- 指导学生通过图像、导数、差分等方法判断函数的单调性。
- 设计一定数量的应用题，让学生在具体情境中应用单调性的概念。
3. 函数单调性与实际生活的联系- 通过实例分析，如气温变化、商品销售量与价格的关系等，让学生理解函数单调性在实际生活中的意义。
- 要求学生分析生活中的一些现象，用数学语言表达其单调性，并给出简要的解释。
4. 综合练习- 设计一组综合题目，涵盖函数单调性的判断、计算和实际应用等内容。
- 要求学生独立完成综合练习，并在课堂上进行讨论和交流。
三、作业要求1. 学生需在规定时间内独立完成作业，并保证答案的准确性和规范性。
2. 对于每个题目，学生需写出详细的解题步骤和思路，以便于教师了解学生的掌握情况。
3. 学生在完成作业过程中，应注重理解题目的意图和解题方法，而不仅仅是追求答案的正确性。
4. 对于涉及图像的题目，学生需使用数学软件绘制准确的函数图像，并标注关键点。
5. 学生在完成作业后，需进行自我检查和修正，确保答案的准确性。
四、作业评价1. 教师将根据学生的答案，对学生的理解和应用能力进行评估。
2. 教师将对解题步骤和思路的规范性、准确性和完整性进行评价。
3. 对于有创意的解题思路和方法，教师将给予额外的加分和表扬。
4. 对于存在的问题和不足，教师将给出具体的指导和建议。
五、作业反馈1. 教师将在课堂上对作业进行讲解和点评，帮助学生纠正错误并加深理解。
2. 学生需根据教师的反馈和建议，对作业进行修正和完善。
第三章-3.1.2-函数的单调性高中数学必修第一册人教B版
（2） =
2 2 −3
.
【解析】因为 =
2 2 −3
3
= 2 − ，且函数的定义域为 −∞, 0 ∪ 0, +∞ ，
（切勿认为定义域为）
3
3
又函数 = 2和 = − 在区间 −∞, 0 上均单调递增，所以 = 2 − 在区间
−∞, 0 上单调递增.
同理可得 = 2
3
[ , 4),
2
4, +∞ .1源自又 = 在 ∈ −∞, 0 和(0,
=
25
]上单调递减，所以由复合函数的单调性可知函数
4
1
3
的单调递增区间为[ , 4)和
4+3− 2
2
4, +∞ ．
例13 设 是定义在上的函数，对, ∈ ，恒有
( + ) = ⋅ ≠ 0, ≠ 0 ，且当 > 0时，0 < < 1.
−
2 +
2 +
→2.作差.
∵ > > 0,2 > 1 > −,
∴ − > 0,2 − 1 > 0,2 + > 0,1 + > 0,
∴
− 2 −1
1 + 2 +
> 0,→4.定号.
即 1 > 2 ,∴ 函数 在 −, +∞ 上单调递减.→5.下结论.
递增
【解析】A是假命题，“无穷多个”不能代表“所有”“任意”；
以 =
1
为例，
在 −∞, 0 和 0, +∞ 上均单调递减，但在整个区间上并不是减
函数的单调性教案()
函数的单调性教案(优秀)第一章：函数单调性的基本概念1.1 函数单调性的定义教学目标：让学生理解函数单调性的概念，掌握函数单调增和单调减的定义。
教学内容：(1) 引入函数单调性的概念。
(2) 讲解函数单调增和单调减的定义。
(3) 举例说明函数单调性的应用。
教学方法：(1) 采用讲解法，讲解函数单调性的定义和例子。
(2) 采用提问法，引导学生思考函数单调性的含义和应用。
教学步骤：(1) 引入函数单调性的概念，引导学生理解函数单调性的意义。
(2) 讲解函数单调增和单调减的定义，举例说明。
(3) 让学生通过例子判断函数的单调性，加深对函数单调性的理解。
(4) 总结函数单调性的应用，如解不等式、求最值等。
1.2 函数单调性的性质教学目标：让学生掌握函数单调性的性质，包括传递性、同增异减等。
教学内容：(1) 讲解函数单调性的传递性。
(2) 讲解函数单调性的同增异减性质。
(3) 举例说明函数单调性性质的应用。
教学方法：(1) 采用讲解法，讲解函数单调性的性质。
(2) 采用提问法，引导学生思考函数单调性性质的含义和应用。
教学步骤：(1) 讲解函数单调性的传递性，举例说明。
(2) 讲解函数单调性的同增异减性质，举例说明。
(3) 让学生通过例子判断函数的单调性，加深对函数单调性性质的理解。
(4) 总结函数单调性性质的应用，如解不等式、求最值等。
第二章：函数单调性的判断方法2.1 利用导数判断函数单调性教学目标：让学生掌握利用导数判断函数单调性的方法。
教学内容：(1) 讲解导数与函数单调性的关系。
(2) 讲解利用导数判断函数单调性的方法。
(3) 举例说明利用导数判断函数单调性的应用。
教学方法：(1) 采用讲解法，讲解导数与函数单调性的关系及判断方法。
(2) 采用提问法，引导学生思考导数判断函数单调性的含义和应用。
教学步骤：(1) 讲解导数与函数单调性的关系，让学生理解导数在判断函数单调性中的作用。
(2) 讲解利用导数判断函数单调性的方法，举例说明。
函数的单调性课件(共17张PPT)
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：我们知道，“记忆”在我们的学习过程中 扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都 是人们研究的课題。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记 忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图37所示的记忆规律．
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
△x表示自变量x的增量，△y表示因变量y的增量． 这时，对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1,x2: 这个数是增函数的充要条件是yx ＞0； 这个数是增函数的充要条件是y ＜0.
x
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
因此，函数f(x)=3x+2在（- ,+ ）上是增函数.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
数学Biblioteka 基础模块（上册）第三章 函数
3.1.3 函数的单调性
函数的单调性教案(获奖)
函数的单调性教案(获奖)第一章：函数单调性的概念及意义1.1 函数单调性的定义引入函数单调性的概念，让学生理解函数单调性的含义。
举例说明函数单调性的两种类型：单调递增和单调递减。
1.2 函数单调性的意义解释函数单调性在数学分析中的重要性，如在求解极值、最值等问题中的应用。
通过实际例子展示函数单调性在现实生活中的应用，如经济学中的需求函数等。
第二章：函数单调性的判断方法2.1 图像法教授如何通过观察函数图像来判断函数的单调性。
引导学生学会识别函数图像中的单调区间。
2.2 导数法介绍导数与函数单调性的关系。
教授如何利用导数的正负来判断函数的单调性。
第三章：函数单调性的应用3.1 求函数的极值讲解如何利用函数单调性来求解函数的极值。
通过例题让学生掌握求解极值的方法。
3.2 求函数的最值介绍如何利用函数单调性来求解函数的最值。
通过例题让学生理解最值的求解过程。
第四章：函数单调性的进一步探讨4.1 单调区间与导数的关系讲解单调区间与导数之间的关系，让学生理解导数在单调性判断中的作用。
通过例题展示导数在单调区间判断中的应用。
4.2 单调性在实际问题中的应用介绍单调性在实际问题中的应用，如优化问题、经济问题等。
通过实际例子让学生学会如何运用单调性解决实际问题。
第五章：综合练习与拓展5.1 综合练习题提供综合练习题，让学生巩固函数单调性的概念、判断方法和应用。
引导学生学会如何运用所学知识来解决问题。
5.2 拓展与应用引导学生思考函数单调性在其他数学领域的应用，如微分方程、线性代数等。
提供一些拓展问题，激发学生的学习兴趣和思考能力。
第六章：函数单调性的高级应用6.1 函数的单调性与其他数学概念的联系探讨函数单调性与其他数学概念的联系，如微分、积分、极限等。
通过例题展示函数单调性在其他数学领域的应用。
6.2 函数单调性在优化问题中的应用介绍函数单调性在优化问题中的应用，如求解最大值、最小值等。
通过实际例子让学生学会如何运用函数单调性来解决优化问题。
19-20 第3章 3.1.2 第1课时 单调性的定义与证明
3.1 函数的概念与性质 3.1.2 函数的单调性
第1课时 单调性的定义与证明
-
2
学习目标
核心素养
1.理解函数的单调性及其几何意义，能 单调 养数学抽象、逻辑推理、直
性．(重点)
观想象素养．
2．会用函数单调性的定义判断(或证明) 2．利用求单调区间、最值、
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4．函数 f(x)＝x2－2x＋3 的单调减区间是________． (－∞，1] [因为f(x)＝x2－2x＋3是图像开口向上的二次函数， 其对称轴为x＝1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1]．]
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合作探究 提素养
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定义法证明(判断)函数的单调性
【例 1】 证明：函数 f(x)＝x＋1x在(0,1)上是减函数． [思路点拨] 设元任取x1，x2∈0，1且x1＞x2 ―→ 作差：fx1－fx2 ―变―形→ 判号：fx2>fx1 ―结―论→ 减函数
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(2)由(1)知 f(x)在[2,4]上单调递增， 所以 f(x)的最小值为 f(2)＝2×2＋2＋1 1＝53， 最大值为 f(4)＝2×4＋4＋1 1＝95.
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1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 2．函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数 f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则 f(x)在区间[a，b] 上的最小(大)值是 f(a)，最大(小)值是 f(b)．
[解] 由题意可知，
2x－3>0，
5x－6>0， 2x－3<5x－6，
解得x>32.
3.1.2 函数的单调性
3．1.2 函数的单调性课时作业24 单调性的定义与证明知识点一 函数单调性的定义1.设(a ，b )，(c ，d )都是f (x )的单调递增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1＜x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A ．f (x 1)＜f (x 2)B ．f (x 1)＞f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定答案 D解析 由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x 1，x 2不在同一单调区间内，所以f (x 1)与f (x 2)的大小关系不能确定．故选D.2．若函数f (x )的定义域为R ，且在(0，＋∞)上是减函数，则下列不等式成立的是( ) A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＞f (a 2－a ＋1)B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34≥f (a 2－a ＋1)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＜f (a 2－a ＋1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34≤f (a 2－a ＋1)答案 B解析 ∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34＞0，∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34.故选B.知识点二 函数单调性的判断 3.函数f (x )的图像如图所示，则( )A ．函数f (x )在[－1,2]上是增函数B ．函数f (x )在[－1,2]上是减函数C ．函数f (x )在[－1,4]上是减函数D ．函数f (x )在[2,4]上是增函数 答案 A解析 由图像知，f (x )在[－1,2]上是增函数，在(2,4]上是减函数，故选A. 知识点三 函数单调性的证明4.(1)证明：函数f (x )＝x 2－1x 在区间(0，＋∞)上是增函数； (2)证明：函数f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数． 证明 (1)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 21－1x 1－x 22＋1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋1x 1x 2. ∵0＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＋1x 1x 2＞0.∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )＝x 2－1x 在区间(0，＋∞)上是增函数．(2)设x 1，x 2是R 上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，而f (x 2)－f (x 1)＝(x 32＋x 2)－(x 31＋x 1) ＝(x 2－x 1)(x 22＋x 2x 1＋x 21)＋(x 2－x 1) ＝(x 2－x 1)(x 22＋x 2x 1＋x 21＋1)＝(x 2－x 1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 122＋34x 21＋1. 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 122＋34x 21＋1＞0，x 2－x 1＞0，所以f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)．因此函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数.知识点四判断复合函数的单调性5.已知函数f(x)＝8＋2x－x2，g(x)＝f(2－x2)，试求g(x)的单调区间．解令u(x)＝2－x2，则u(x)在(－∞，0]上为增函数，在[0，＋∞)上为减函数，且u(0)＝2.f(x)＝8＋2x－x2＝－(x－1)2＋9在(－∞，1]上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数．令－x2＋2＝1，则x＝±1.∴当x∈(－∞，－1]时，u(x)为增函数，值域为(－∞，1]，且f(x)在(－∞，1]上也为增函数．∴g(x)在(－∞，－1]上为增函数．同理，g(x)在[－1,0]上为减函数，在[0,1]上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数．所以函数g(x)的单调递增区间是(－∞，－1]，[0,1]，单调递减区间是[－1,0]，[1，＋∞).知识点五函数的最大值、最小值6．函数f(x)在[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A．f(－2)，0B．0,2C．f(－2)，2D．f(2)，2答案C解析由图像可知，此函数的最小值是f(－2)，最大值是2.故选C.易错点 忽视单调区间的端点值而致误7.函数y ＝xx ＋a 在(－2，＋∞)上为增函数，则a 的取值范围是________．易错分析 分离常数后，函数解析式为y ＝1－ax ＋a，根据单调性得出函数的单调递增区间为(－∞，－a )，(－a ，＋∞)，由于忽视了端点值而得出a >2的错误结论．答案 a ≥2正解 y ＝x x ＋a ＝1－ax ＋a ，依题意，得函数的单调递增区间为(－∞，－a )，(－a ，＋∞)，要使函数在(－2，＋∞)上为增函数，只要－2≥－a ，即a ≥2.一、选择题1．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝5－x B ．y ＝x 2＋2 C ．y ＝1x D ．y ＝－|x |答案 B解析 A ，C ，D 中的函数在(0,2)上都是减函数，只有函数y ＝x 2＋2在(0,2)上是增函数． 2．函数f (x )的图像如图，则f (x )在[－2,2]上的最大值、最小值分别为( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32B ．f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32C ．f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32D ．f (0)，f (－1)答案 C解析 观察图像，利用函数的单调性及最大值、最小值的几何意义可知，f (0)是最大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32是最小值．故选C. 3．当y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈(－∞，1))是单调函数时，b 的取值范围是( ) A ．[－2，＋∞) B ．(－∞，－2] C ．(－2，＋∞) D ．(－∞，－2)答案 B解析 由y ＝x 2＋bx ＋c 可知，二次函数的对称轴为 x ＝－b2，要使函数y ＝x 2＋bx ＋c 在(－∞，1)上是单调函数，则－b2≥1，所以b ≤－2.故选B.4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－1,1) C ．(0,1) D ．(0,1] 答案 D解析 由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数，得a ≤1.由函数g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数，得a >0，故a 的取值范围为(0,1]．5．已知f (x )＝⎩⎨⎧(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，－x ＋1，x ≥1是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫17，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－17∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 答案 C解析 要使f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，必须同时满足3个条件： ①g (x )＝(3a －1)x ＋4a 在(－∞，1)上为减函数； ②h (x )＝－x ＋1在[1，＋∞)上为减函数； ③g (1)≥h (1)．所以⎩⎨⎧3a －1＜0，(3a －1)×1＋4a ≥－1＋1，所以17≤a ＜13. 二、填空题6．若函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是单调________函数．答案 减解析 y ＝ax 和y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数， ∴a <0，b <0，y ＝ax 2＋bx ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2－b 24a ，对称轴x ＝－b2a <0，二次函数图像开口向下， ∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是单调减函数．7．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________. 答案 －6解析 作出函数f (x )＝|2x ＋a |的图像，大致如图所示，根据图像可得函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，＋∞，即－a 2＝3，a ＝－6.8．二次函数f (x )＝12x 2－2x ＋3在[0，m ]上有最大值3，最小值1，则实数m 的取值范围是________．答案 [2,4]解析 因为f (x )＝12x 2－2x ＋3在[0,2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增．则当0<m <2时，⎩⎨⎧f (0)＝3，f (m )＝1，此时无解；当2≤m ≤4时，x ＝2时有最小值1，x ＝0时有最大值3，此时条件成立；当m >4时，最大值必大于f (4)＝3，此时条件不成立．综上可知，实数m 的取值范围是[2,4]．三、解答题9．已知函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (x )<0(x >0)，试判断F (x )＝1f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明．解 F (x )＝1f (x )在(0，＋∞)上为减函数．证明如下：任取x 1，x 2，使0<x 1<x 2，则 F (x 2)－F (x 1)＝1f (x 2)－1f (x 1)＝f (x 1)－f (x 2)f (x 1)f (x 2).∵x >0时，f (x )<0，∴f (x 1)·f (x 2)>0. 又∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0. ∴F (x 2)－F (x 1)<0，即F (x 2)<F (x 1)． ∴函数F (x )＝1f (x )在(0，＋∞)上为减函数． 10．若函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2ax ＋3，x ≤1，ax ＋1，x ＞1是减函数，求实数a 的取值范围．解由题意可得⎩⎨⎧－a ≥1，a ＜0，12＋2a ×1＋3≥a ×1＋1，解得－3≤a ≤－1，则实数a 的取值范围是[－3，－1]．课时作业25 函数的平均变化率知识点一 函数平均变化率的定义1.已知函数f (x )的定义域为A ，如果对于属于定义域内某个区间I 上的任意两个不同的自变量x 1，x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，则( )A ．f (x )在这个区间上为增函数B ．f (x )在这个区间上为减函数C ．f (x )在这个区间上的增减性不确定D ．f (x )在这个区间上为常函数 答案 A解析 解法一(利用定义)：①当x 1＞x 2时，x 1－x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)， ∴f (x )在区间I 上是增函数．②当x 1＜x 2时，x 1－x 2＜0，则f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在区间I 上是增函数．综合①②可知，f (x )在区间I 上是增函数．故选A. 解法二(利用函数的平均变化率)：由题意知，Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，又I ⊆A 且f (x )在I 上是增函数的充要条件是Δy Δx ＞0在I 上恒成立，故选A.知识点二 函数单调性的证明及判定2.证明：函数f (x )＝x 在区间[0，＋∞)上是增函数． 证明 任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2，则 Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 ＝x 2－x 1x 2－x 1＝x 2－x 1(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＝1x 2＋x 1＞0.故函数f (x )＝x 在区间[0，＋∞)上是增函数． 3．求函数f (x )＝x ＋ax ＋b(a ＞b ＞0)的单调区间． 解 由题意知函数f (x )的定义域是(－∞，－b )∪(－b ，＋∞)．设x1，x2是区间(－b，＋∞)上的任意两个实数，且x1＜x2，则ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1＝x2＋ax2＋b－x1＋ax1＋bx2－x1＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋a－bx2＋b－⎝⎛⎭⎪⎫1＋a－bx1＋bx2－x1＝a－bx2＋b－a－bx1＋bx2－x1＝(a－b)(x1－x2)(x2＋b)(x1＋b)x2－x1＝b－a(x1＋b)(x2＋b).∵a＞b＞0，x2＞x1＞－b，∴b－a＜0，x1＋b＞0，x2＋b＞0，∴ΔyΔx＜0，∴函数f(x)在(－b，＋∞)上为减函数，即函数f(x)＝x＋ax＋b(a＞b＞0)的单调递减区间为(－b，＋∞)．同理，可得函数f(x)＝x＋ax＋b(a＞b＞0)的单调递减区间还有(－∞，－b)．综上可得，函数f(x)＝x＋ax＋b(a＞b＞0)的单调递减区间为(－∞，－b)和(－b，＋∞).知识点三函数平均变化率的应用4．向高为H的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图像如图所示，那么水瓶的形状是()答案B解析因为高度不是均匀上升的，应排除D；图像中没有出现对称情况，应排除C；随着V的不断增加，h的变化越来越快，水瓶的形状应为下粗上细，故选B.5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事物吻合得最好的图像是()答案C解析先分析小明的运动规律，再结合图像作出判断．距学校的距离应逐渐减小，由于小明开始时是匀速运动，故前段是直线段，距学校的距离均匀减小，途中堵塞停留时距离不变，后段加速，后段比前段下降的快，故选C.易错点对函数的平均变化率理解不到位致误6.若函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则()A．k＞12B．k≥12C．k≤－12D．k＜－12易错分析 对“ΔyΔx ＜0是函数f (x )在定义域上单调递减的充要条件”理解不到位，误认为ΔyΔx ≤0，而误选C.答案 D正解 设x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1＜x 2，则有ΔyΔx ＜0，即f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝(2k ＋1)x 2－(2k ＋1)x 1x 2－x 1＝2k ＋1＜0，故k ＜－12.一、选择题1．下列说法中，正确的有( )①若任意x 1，x 2∈I ，当x 1＜x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0，则y ＝f (x )在I 上是减函数；②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1x 在定义域上是增函数；④函数y ＝1x 的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 答案 B解析 ①若任意x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0，则y ＝f (x )在I 上是减函数，故①正确；②函数y ＝x 2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故②错误；③函数y ＝－1x 在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上也是增函数，但在整个定义域内不是增函数，故③错误；④y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，不能写成并集的形式，故④错误．故选B.2．以固定的速度向如下图所示的瓶子中注水，则水深h 与时间t 的函数关系是( )答案 B解析 因为图中瓶子下粗上细，则以固定的速度向瓶子中注水时，随着时间t 的增加，水深h 增高得越来越快，易知B 符合题意．3．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝(x －1)2 B ．y ＝x 3 C ．y ＝1x D ．y ＝|x |答案 B解析 对于函数y ＝(x －1)2，显然定义域为R ，但在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；对于y ＝x 3，显然定义域为R ，令y ＝f (x )＝x 3，任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则ΔyΔx＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝x 32－x 31x 2－x 1＝(x 2－x 1)(x 22＋x 1x 2＋x 21)x 2－x 1＝x 21＋x 1x 2＋x 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12x 22＋34x 22＞0，故函数y ＝x 3在R 上单调递增；函数y ＝1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减；对于函数y ＝|x |，显然定义域为R ，但在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．故选B.4．函数y ＝x ＋2x －1( ) A ．有最小值12，无最大值 B ．有最大值12，无最小值 C ．有最小值12，有最大值2 D ．无最大值，也无最小值 答案 A解析 设y 1＝x ，y 2＝2x －1，则y ＝y 1＋y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥12，∵y 1＝x 在R 上为增函数，y 2＝2x －1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，∴y ＝x ＋2x －1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，∴y 有最小值12，无最大值．5．客车从甲地以60 km/h 的速度匀速行驶1 h 到达乙地，在乙地停留了0.5 h ，然后以80 km/h 的速度匀速行驶1 h 到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图像中，正确的是( )答案 C解析 解法一：根据已知条件，结合图像知，在第1个小时内四个图像都正确；之后的半小时，图像B 不正确，因为图中此段时间内路程为0，与事实不符；最后1个小时，图像A 的错误在时间和路程上，图像D 的错误在时间上，因此图像C 正确．解法二：由题意可知，客车在整个过程中的路程函数s (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤1，60，1＜t ≤32，80t －60，32＜t ≤52，对比图像可知C 正确．二、填空题6．函数f (x )＝xx －1在区间[2,5]上的最小值是________．答案 54解析 任取2≤x 1＜x 2≤5，则Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝x 2x 2－1－x 1x 1－1x 2－x 1＝x 1－x 2(x 2－1)(x 1－1)x 2－x 1＝－1(x 2－1)(x 1－1)＜0.所以f (x )＝x x －1在区间[2,5]上单调递减，所以f (x )min ＝55－1＝54. 7．若函数f (x )＝－x 3＋ax 在(0,1)上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 答案 [3，＋∞)解析 任取x 1，x 2∈(0,1)，且x 1＜x 2， 则Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝(－x 32＋ax 2)－(－x 31＋ax 1)x 2－x 1＝(x 31－x 32)＋a (x 2－x 1)x 2－x 1＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22－a )x 2－x 1＝a －(x 21＋x 1x 2＋x 22)．因为f (x )＝－x 3＋ax 在(0,1)上是增函数，所以Δy Δx ＞0，即a ＞x 21＋x 1x 2＋x 22.又x 1，x 2∈(0,1)，所以x 21＋x 1x 2＋x 22＜3，所以a ≥3.即a 的取值范围是[3，＋∞)．8．一水池有2个进水口，1个出水口，每个口进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定能确定正确的论断序号是________．答案 ①解析 设进水量为y 1，出水量为y 2，时间为t ，由图像知y 1＝t ，y 2＝2t .由图丙知，从0～3时蓄水量由0变为6，说明0～3时两个进水口均打开进水但不出水，故①正确；3～4时蓄水量随时间增加而减少且每小时减少一个单位，若3～4时不进水只出水，应每小时减少两个单位，故②不正确；4～6时为水平线说明水量不发生变化，因为至少打开一个水口，所以是所有水口都打开，进出均衡，故③不正确．三、解答题9．判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (1＜a ＜3)在x ∈[1,2]上的单调性． 解 设1≤x 1＜x 2≤2，则Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x1x 2－x 1＝(x 2－x 1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a (x 1＋x 2)－1x 1x 2x 2－x 1＝a (x 1＋x 2)－1x 1x 2，由1≤x 1＜x 2≤2，得2＜x 1＋x 2＜4,1＜x 1x 2＜4，－1＜－1x 1x 2＜－14.又因为1＜a ＜3，所以2＜a (x 1＋x 2)＜12， 得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2＞0，即ΔyΔx ＞0.故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增．10．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－ax ＋5a ，x ≥2，ax ＋5，x ＜2，其中a 为常数．(1)对任意x 1，x 2∈R ，当x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，求实数a 的取值范围；(2)在(1)的条件下，求g (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[1,3]上的最小值h (a )． 解 (1)由题意，函数在定义域上为增函数，则实数a 应满足 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，a ＞0，22－2a ＋5a ≥2a ＋5，解得1≤a ≤4.(2)g (x )＝x 2－4ax ＋3＝(x －2a )2＋3－4a 2，其图像的对称轴为x ＝2a ， 由(1)得2≤2a ≤8.①当2≤2a ≤3，即1≤a ≤32时，h (a )＝g (2a )＝3－4a 2； ②当3＜2a ≤8，即32＜a ≤4时，h (a )＝g (3)＝12－12a . 综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－4a 2，1≤a ≤32，12－12a ，32＜a ≤4.课时作业26 单调性的应用知识点一 函数单调区间的划分 1.函数f (x )＝|x |和g (x )＝x (2－x )的递增区间依次是( ) A ．(－∞，0]，(－∞，1] B ．(－∞，0]，[1，＋∞) C ．[0，＋∞)，(－∞，1] D ．[0，＋∞)，[1，＋∞)答案 C解析 函数f (x )＝|x |的递增区间是[0，＋∞)，g (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1的递增区间为(－∞，1]．2．求函数y ＝－12 x 2＋2x －3 的单调递减区间．解 y ＝－12x 2＋2x －3的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．设y ＝－12u ，u ＝x 2＋2x －3.当x ≥1时，u 是x 的增函数，y 是u 的减函数，故y 是x 的减函数． ∴[1，＋∞)是y ＝－12x 2＋2x －3的单调递减区间．当x ≤－3时，u 是x 的减函数，y 是u的减函数，故y 是x 的增函数．∴(－∞，－3]是y ＝－12 x 2＋2x －3的单调递增区间．故所求函数的单调递减区间为[1，＋∞).知识点二 比较大小3.若函数f (x )在R 上是减函数，则下列关系式一定成立的是( ) A ．f (a )＞f (2a ) B ．f (a 2)＜f (a ) C ．f (a 2＋a )＜f (a ) D ．f (a 2＋1)＜f (a 2)答案 D解析 因为f (x )是R 上的减函数，且a 2＋1＞a 2，所以f (a 2＋1)＜f (a 2)．故选D. 4．已知函数f (x )＝x 2＋4x ＋c ，则( ) A ．f (1)＜c ＜f (－2) B ．c ＜f (－2)＜f (1) C ．c ＞f (1)＞f (－2) D ．f (1)＞c ＞f (－2) 答案 D解析 二次函数f (x )＝x 2＋4x ＋c 图像的对称轴为x ＝－2，且开口向上，所以函数f (x )在[－2，＋∞)上为增函数，所以f (－2)<f (0)<f (1)，又f (0)＝c ，所以f (1)＞c >f (－2)．故选D.知识点三 利用函数单调性解决范围问题5.已知函数f (x )是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23解析 由题意知0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23.6．已知函数y ＝x 2＋2ax ＋3在区间(－∞，1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1]解析 函数y ＝x 2＋2ax ＋3的图像开口向上，对称轴为x ＝－a ，要使其在区间(－∞，1]上是减函数，则－a ≥1，即a ≤－1.知识点四 利用函数单调性求最值7.已知函数f (x )＝x 2－2x －1，x ∈A ，当A 为下列区间时，分别求f (x )的最大值和最小值． (1)A ＝[－2,0]； (2)A ＝[－1,2]； (3)A ＝[2,3]．解 (1)当A ＝[－2,0]时，函数f (x )在[－2,0]上为减函数，∴f (x )max ＝f (－2)＝7，f (x )min ＝f (0)＝－1.(2)当A ＝[－1,2]时，函数f (x )在[－1,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数． ∴f (x )min ＝f (1)＝－2，f (x )max ＝f (－1)＝2. (3)当A ＝[2,3]时，f (x )在[2,3]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (3)＝2，f (x )min ＝f (2)＝－1. 易错点 漏掉定义域致误8.已知函数f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围． 易错分析 解不等式f (1－a )<f (2a －1)时，考虑到函数的单调性，将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关系，即1－a >2a －1来解，容易忽视定义域(－1,1)导致错误．正解由题意可知，⎩⎨⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1，解得0<a <23，即a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.一、选择题1．若函数f (x )在区间(a ，b )上是增函数，在区间(b ，c )上也是增函数，则函数f (x )在区间(a ，b )∪(b ，c )上( )A ．必是增函数B ．必是减函数C ．是增函数或减函数D ．无法确定单调性 答案 D解析 例如y ＝－1x 在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性．故选D.2．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝3－x D ．y ＝x 2＋2x ＋1答案 C解析 函数y ＝3－x 在区间(0，＋∞)上是减函数．故选C. 3．函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的单调递减区间是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)答案 B解析 易知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3是图像开口向下的二次函数，其对称轴为x ＝1，所以其单调递减区间是(1，＋∞)．4．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 C解析 因为f (x )＝－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2＋4＋a ，所以函数f (x )图像的对称轴为x ＝2.又因为函数图像开口向下，所以f (x )在[0,1]上单调递增．又因为f (x )min ＝－2，所以f (0)＝－2，即a ＝－2.所以f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.5．若函数y ＝f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，则函数F (x )＝f (x )＋1f (x )的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，103 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，103 答案 B解析 令t ＝f (x )，由于函数y ＝f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，即12≤t ≤3，从而y ＝f (x )＋1f (x )＝t ＋1t .又因为当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，y ＝t ＋1t 为关于t 的减函数；当t ∈[1,3]时，y ＝t ＋1t 为关于t 的增函数，所以当t ＝1时，y 有最小值为2.又因为当t ＝3时，y 有最大值为103，所以F (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.所以选B.二、填空题6．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ＜12，解得－1≤x ＜12.7．函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b ](a ＜b ＜3)上有最大值9，最小值－7，则a ＝________，b ＝________.答案 －2 0解析 ∵y ＝－(x －3)2＋18，a <b <3，∴函数y 在区间[a ，b ]上单调递增，即－b 2＋6b ＋9＝9， 解得b ＝0(b ＝6不符合题意，舍去)． －a 2＋6a ＋9＝－7，解得a ＝－2(a ＝8不符合题意，舍去)．8．若函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≥1，ax －1，x <1在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案 (0,3]解析 当x ≥1时，函数f (x )＝x 2＋1单调递增．要使f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≥1，ax －1，x ＜1在R 上单调递增．需满足⎩⎨⎧ a ＞0，a －1≤12＋1，即⎩⎨⎧a ＞0，a ≤3.0＜a ≤3， 故实数a 的取值范围是(0,3]． 三、解答题 9．已知函数f (x )＝1x 2－1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义加以证明． 解 (1)由x 2－1≠0，得x ≠±1， 所以函数f (x )＝1x 2－1的定义域为{x ∈R |x ≠±1}． (2)函数f (x )＝1x 2－1在(1，＋∞)上是减函数． 证明：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝1x 21－1－1x 22－1＝(x 2－x 1)(x 1＋x 2)(x 21－1)(x 22－1).因为x 2>x 1>1，所以x 21－1>0，x 22－1>0，x 2－x 1>0，x 2＋x 1>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )＝1x 2－1在(1，＋∞)上是减函数．10．函数f (x )对任意的a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )＞1. (1)求证：f (x )在R 上是增函数； (2)若f (4)＝5，解不等式f (3m －2)<3. 解 (1)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则x 2－x 1>0，f (x 2－x 1)＞1. ∴f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)－1>0.∴f (x 2)>f (x 1)．故f (x )在R 上是增函数． (2)∵f (4)＝f (2＋2)＝f (2)＋f (2)－1＝5，∴f (2)＝3.∴原不等式可化为f (3m －2)<f (2)．∵f (x )在R 上是增函数，∴3m －2<2，解得m ＜43.故不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43.。
函数的单调性教案(获奖)
函数的单调性教案（获奖）第一章：引言1.1 现实生活中的单调性1.引入概念：单调性是指函数在定义域内的变化趋势。
2.举例说明：（1）商品价格随时间的变化；（2）物体的高度随时间的变化。
1.2 函数单调性的意义1.函数单调性在实际生活中的应用：（1）优化问题；（2）经济决策。
2.函数单调性在数学领域的应用：（1）导数的定义；（2）最值问题的求解。
第二章：函数单调性的定义与性质2.1 函数单调性的定义1.单调递增函数：若对于定义域内的任意x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则函数f（x）为单调递增函数。
2.单调递减函数：若对于定义域内的任意x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则函数f（x）为单调递减函数。
2.2 函数单调性的性质1.若函数f（x）在定义域内单调递增，则在任意子区间内也单调递增；2.若函数f（x）在定义域内单调递减，则在任意子区间内也单调递减；3.单调递增函数的导数大于等于0；4.单调递减函数的导数小于等于0。
第三章：函数单调性的判断与证明3.1 函数单调性的判断1.利用导数判断：若函数f（x）在定义域内可导，且导数f'（x）≥0（或≤0），则函数f（x）在定义域内单调递增（或单调递减）。
2.利用图像判断：观察函数图像，若图像随着x的增大而上升，则为单调递增函数；若图像随着x的增大而下降，则为单调递减函数。
3.2 函数单调性的证明1.利用导数证明：假设函数f（x）在定义域内可导，且导数f'（x）≥0（或≤0），则对于定义域内的任意x1＜x2，有f（x1）＜f（x2）（或f（x1）＞f（x2）），从而证明函数f（x）单调递增（或单调递减）。
2.利用数学归纳法证明：对于定义域内的任意x1＜x2，证明f（x1）＜f（x2）（或f（x1）＞f（x2）），从而得出函数f（x）单调递增（或单调递减）。
第四章：函数单调性与最值问题4.1 函数单调性与最值的关系1.若函数f（x）在定义域内单调递增，则函数在定义域内的最小值出现在定义域的左端点；2.若函数f（x）在定义域内单调递减，则函数在定义域内的最大值出现在定义域的左端点。
3.1.2函数的单调性(2课时)高一数学同步精讲课件(人教B版2019必修第一册)
故a>-3.
探究提高
要注意函数思想在求函数值域中的运
用,(1)中用函数单调性求函数的最小值;(2)中用函
数的最值解决恒成立问题.在(2)中，还可以使用分
离参数法，要使x2+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立,
只要a>-x2-2x=-(x+1)2+1恒成立，由二次函数
判断1：函数 () = 2 在
是单调增函数；(×)
判断2：定义在上的函数()满足(2) > (1) ，则函数() 在R
上是增函数； (×)
判断3：函数 =
在(−∞, )和(0, +∞)上单调递减
1
在定义域(−∞, 0)
∪ (0, +∞)上单调递减. (×)
即时训练:
如下图所示的函数，在[-6，-4]上是增函数，在[-4，-2]上是减函数，
在[-2，1]上是 增 函数，在[1，3]上是 减
函数，在[3，6]
上是 增
函数.单调增区间是 [−6, −4]和[−2,1]和 [3,6] ，单调
[−4, −2]和[1,3].
减区间是
.
在多个区间上单调性相同，
一般用“和”“，”连接
例1 求证：函数() = −2在上是减函数.
取值
【解析】
∴f(x)在区间[1,+∞)上为增函数，
7
∴f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为f(1)=• .
2
(2)在区间[1,+∞)上f(x)>0恒成立
x2+2x+a>0恒成立.
3.1.2 高中必修一数学教案《函数的单调性》
高中必修一数学教案《函数的单调性》教材分析函数的单调性与最值指的是在初中基础上对函数的单调性的再认识，是利用集合与对应的思想理解函数的定理，从而加深对抽象函数单调性的定义理解，根据定义，证明函数的单调性，理解单调区间以及理解函数最大（小）值的定义并掌握其求法。
因为函数的单调性是初等数学与高等代数学衔接的枢纽，是函数的第一个也是最基本的性质，为研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数以及导函数的内容，对函数定性分析、求极值最值、比较大小、解不等式、判定零点都有重要的作用，所以具有重要的地位。
学情分析本节课的教学对象是高一理科的学生，他们的参与意识强，思维活跃，对于真实情境以及现实生活中的数学问题具有极大的学习兴趣，不过由于年龄和思维原因，看问题容易片面。
在之前的学习中，学生已经掌握了函数的三要素，并且学生初中学过y随x的增大而增大（或减小），这些都有利于学生的理解。
但是本节课的单调性的定义更抽象，对学生而言是一个较大的考验。
教学目标1、理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念；2、掌握增（减）函数的证明和判别，学会运用函数图象理解和研究函数的性质，能利用函数图象划分函数的单调区间。
教学重点形成增减函数的定义。
教学难点在形成增减函数概念的过程中，从函数升降的直观认识，过渡到增减函数的数学符号语言表述；用定义证明函数的单调性。
教学方法讲授法，演示法，讨论法，练习法教学过程一、情境导学我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题。
德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图3-1-7所示的记忆规律。
如果我们以x表示时间间隔（单位：h），y表示记忆保持量，则不难看出，图3-1-7中，y是x的函数，记这个函数为y = f（x）这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？二、教学过程1、单调性的定义与证明情境中的函数y = f（x）反映出记忆的如下规律：随着时间间隔x的增大，记忆保持量y将减小。
《函数的单调性》函数 PPT教学课件
所以在证明时,不能用特殊值来代替它们);
2.作差变形:作差Δy=f(x2)-f(x1),并将差向有利于判断差值的符号
的方向变形(作差后,尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完
全平方式的和的形式,这是值得学习的解题技巧,在判断因式的正
则 f(x2)-f(x1)= 2+1 − 1+1 =
2
1
3(2 -1 )
.
(2 +1)(1 +1)
(22 -1)(1 +1)-(21 -1)(2+1)
(2 +1)(1 +1)
因为 x1<x2,所以 x2-x1>0.
又因为 x1,x2∈[1,+∞),所以 x2+1>0,x1+1>0,
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
方法点睛1.讨论一个含参数的函数的单调性与证明一个函数的
单调性的方法类似,都是利用定义,通过运算,判断f(x1)-f(x2)的正负,
从而得出结论,若所含参数符号不确定,必须分类讨论.
2.本题的规范解答中每一个环节都不能省略,既有开头和结尾形
式上的要求,也有对f(x1)-f(x2)的正负判定进行实质性说明.
-Δ·(1 +2 )
=
=
,
21 ·22
21 ·22
∵12 ·22 >0,x1+x2<0,-Δx<0,∴Δy>0.
∴函数
1
f(x)=2 在(-∞,0)内是增函数.
课堂篇
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人教B版高中数学必修第一册精品课件 第3章 函数 3.1.2 第1课时 单调性的定义与证明
【典例】 已知函数f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f(x-2)<f(1-x),则x
的取值范围为
.
错解:因为f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f(x-2)<f(1-x),
3
所以x-2<1-x,解得x< 2
3
答案:x< 2
.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防
由图象确定函数单调性的方法及注意事项
(1)若图象从左向右上升,则函数单调递增;若图象从左向右下降,则函数单
调递减.
(2)单调区间必须是函数定义域的子集,单调区间之间不能用“∪”,而应用“,”
将它们隔开或用“和”字连接.
【变式训练1】 画出函数y=-x2+2|x|+1的图象,并写出该函数的单调区间.
函数(也称在区间I上单调递增);
(2)如果对任意x1,x2∈I,当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2),则称y=f(x)在区间I上是减
函数(也称在区间I上单调递减).
两种情况下,都称函数在区间I上具有单调性(区间I为函数的单调区间,也可
分别称为单调递增区间或单调递减区间).
3.(1)若函数y=f(x)在区间[1,+∞)内是减函数,则f(3)和f(5)的大小关系
-a≥2(其中当-a≤1时,函数f(x)在区间[1,2]上单调递减;
当-a≥2时,函数f(x)在区间[1,2]上单调递增),从而a∈
(-∞,-2]∪[-1,+∞).
已知函数的单调性或单调区间求参数的取值范围,要将参数视为已知数,依
据函数的图象或函数单调性的定义,确定函数的单调区间,与已知的单调区
2024年高二数学函数基本性质知识总结（2篇）
2024年高二数学函数基本性质知识总结____年高二数学函数基本性质知识总结（____字）一、函数的定义和基本性质函数是一种特殊的关系，每一个自变量只对应一个因变量。
函数的定义包括定义域、值域、对应关系和表达式。
函数的基本性质包括单调性、奇偶性、周期性和界值性。
1.1 定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
定义域可以通过解不等式或考察定义域的连续性来确定。
值域可以通过求导或考察函数的图像来确定。
1.2 对应关系函数的对应关系决定了自变量和因变量之间的对应关系。
函数可以用图像、显式表达式、隐式表达式或递推关系来表示。
对应关系可以用一一对应、多对一或一对多来描述。
1.3 单调性一个函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。
函数可以是上下单调递增、上下单调递减、左右单调递增或左右单调递减。
单调性可以通过求导数或摸底函数的上下凸性来判断。
1.4 奇偶性一个函数的奇偶性是指函数在定义域上的对称性。
一个函数是奇函数，当且仅当对于任意x，f(-x)=-f(x)。
一个函数是偶函数，当且仅当对于任意x，f(-x)=f(x)。
奇偶性可以通过观察函数的对称性或通过代入-x来判断。
1.5 周期性一个函数的周期性是指函数具有重复出现的规律。
周期函数满足f(x+T)=f(x)，其中T为函数的周期。
周期性可以通过观察函数的周期性或通过解函数的方程来判断。
1.6 界值性一个函数的界值性是指函数在定义域或值域上的极大值或极小值。
界值性可以通过求导数或考察函数的图像来判断。
二、高中数学中常见的函数高中数学中常见的函数包括常函数、一次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
2.1 常函数常函数是一个常数，其函数图像是一条平行于x轴的直线。
常函数的定义域是整个实数集，值域是只有一个值的数集。
2.2 一次函数一次函数是一个一次多项式，函数表达式为f(x)=ax+b，其中a 和b为常数，a称为斜率，b称为截距。
第三章 3.1 3.1.2 第一课时 单调性的定义与证明、函数的最值
3.1.2函数的单调性第一课时单调性的定义与证明、函数的最值课标要求素养要求1.借助函数图像，会用不等式符号表达函数的单调性.2.理解函数单调性的作用和实际意义，了解函数最值的定义.3.在理解函数单调性定义的基础上，会用单调性的定义证明简单函数的单调性，能利用单调性求简单函数的最值、值域. 1.结合实例，经历从具体的直观描述到形式的符号表达的抽象过程.2.加深对函数定义的理解，体会用符号形式表达单调性定义的必要性.3.在函数单调性的应用过程中，提升逻辑推理和数学运算素养.教材知识探究德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：时间间隔t 刚记忆完毕20分钟后60分钟后8～9小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1 以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图.艾滨浩斯问题(1)当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？提示(1)随着时间间隔t逐渐增大，函数值y逐渐变小.通过这个试验，在以后的学习中，我们应及时复习刚学习过的知识.(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”是减函数曲线.1.函数单调性的定义定义中x1，x2的三个特征：①任意性：定义中“任意”二字不能去掉，应用时不能以特殊代替一般；②有大小；③同区间一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D：(1)如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称y＝f(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增)，如图(1)所示；(2)如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称y＝f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减)，如图(2)所示.两种情况下，都称函数在I上具有单调性(当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间).2.单调性的性质在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数.3.函数的最大值与最小值最值点与最值是两个不同的概念一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点；如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点.最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点.教材拓展补遗[微判断]1.函数f(x)的定义域为I，如果定义域内某个区间D上存在两个自变量x1，x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则f(x)在区间D上是增函数.(×)提示应该为∀x1，x2∈D，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，则f(x)在区间D上为增函数.2.若f(x)在区间D上为减函数，则在此区间上函数值随自变量的增大而减小.(√)3.函数f(x)＝1x在(1，2]上无最大值，最小值为12，值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.(√)4.若f(x)是R上的减函数，则f(－3)>f(2).(√)[微训练]1.下列函数中，在区间(－∞，0)上为减函数的是()A.f(x)＝－1x B.f(x)＝xC.f(x)＝－x2D.f(x)＝1－x解析由函数的图像知f(x)＝1－x在(－∞，0)上为减函数，故选D. 答案 D2.若函数f(x)＝ax－3在R上单调递增，则a的取值范围为()A.(－∞，0)B.(0，＋∞)C.[1，＋∞)D.(－∞，1]解析因为f(x)＝ax－3在R上递增，所以a>0，故选B.答案 B3.已知函数y＝f(x)(x∈[－2，6])的图像如图.根据图像可知y＝f(x)的单调递增区间为________，单调递减区间为________，最大值为________，最小值点为________.解析由图像可知f(x)在[－2，6]上的单调递增区间为[－2，－1]和[2，6]，单调递减区间为[－1，2]，f(x)的最大值为2，最小值点为2.答案[－2，－1]和[2，6][－1，2]2 2[微思考]1.f(x)在区间D上为增函数，且x1，x2∈D，若f(x1)＜f(x2)，则x1，x2有什么大小关系？提示x1＜x2.2.f(x)的定义域为[a，c]，a＜b＜c，且f(x)在[a，b]上递减，在[b，c]上单调递增，则f(x)的最小值点能确定吗？f(x)一定有最大值吗？提示f(x)的最小值点为x＝b；f(x)一定有最大值.题型一判断或证明函数的单调性变形是关键，通常化为因式乘积形式【例1】已知函数f(x)＝1x2－1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义加以证明. 解(1)由x2－1≠0，得x≠±1，所以函数f(x)＝1x2－1的定义域为{x|x∈R且x≠±1}.(2)函数f(x)＝1x2－1在(1，＋∞)上单调递减.证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，那么f(x2)－f(x1)＝1x22－1－1x21－1＝（x1－x2）（x1＋x2）（x21－1）（x22－1）.由x1，x2∈(1，＋∞)，得x1>1，x2>1，所以x21－1>0，x22－1>0，x1＋x2>0.又x1<x2，所以x1－x2<0，于是（x1－x2）（x1＋x2）（x21－1）（x22－1）<0，即f(x1)>f(x2)，因此，函数f(x)＝1x2－1在(1，＋∞)上单调递减.规律方法利用定义证明函数单调性的步骤：(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2；(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的关系式；(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号(4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号与定义确定单调性.【训练1】证明函数f(x)＝x＋4x在区间(2，＋∞)上是增函数.证明任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1<x2，那么f(x1)－f(x2)＝x1＋4x1－x2－4x2＝(x1－x2)＋4（x2－x1）x1x2＝（x1－x2）（x1x2－4）x1x2.由x 1，x 2∈(2，＋∞)，得x 1>2，x 2>2.所以x 1x 2>4，x 1x 2－4>0，又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0. 于是（x 1－x 2）（x 1x 2－4）x 1x 2<0，即f (x 1)<f (x 2). 所以函数f (x )＝x ＋4x 在(2，＋∞)上是增函数.题型二 求函数的单调区间在书写单调区间时，对区间端点的开闭不作要求，但若函数在区间某些点处无意义，单调区间一定不能含有这些点【例2】 已知函数f (x )＝x 2－4|x |＋3，x ∈R .(1)将函数写成分段函数的形式；(2)画出函数的图像；(3)根据图像写出它的单调区间.解 (1)f (x )＝x 2－4|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≥0，x 2＋4x ＋3，x <0.(2)函数的图像如图.(3)由图像可知单调递增区间为[－2，0)，[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞， －2]，[0，2].规律方法 1.求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图像容易作出，可作出其图像，根据图像写出其单调区间.2.一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，一般不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接.【训练2】 (1)如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数y ＝f (x )的图像，则函数的单调递减区间是________，单调递增区间是________.(2)画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的图像并写出函数的单调区间.(1)解析 观察图像可知单调递增区间为[－5，－2]，[1，3]，单调递减区间为[－2，1]，[3，5].答案 [－2，1]和[3，5] [－5，－2]和[1，3](2)解 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2＋2，x ≥0，－（x ＋1）2＋2，x <0.函数的大致图像如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调递减区间为[－1，0]，[1，＋∞).题型三 利用单调性比较大小、解不等式、求函数的最值(值域)注意函数的定义域；求函数最值常用方法：①单调性法；②图像法；③二次函数法等【例3】 (1)已知f (x )在(－∞，＋∞)内是减函数，a ，b ∈R ，且a ＋b ≤0，则有( )A.f (a )＋f (b )≤－f (a )－f (b )B.f (a )＋f (b )≥－f (a )－f (b )C.f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )D.f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )(2)已知函数y ＝f (x )在定义域(－1，1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，则实数a 的取值范围为________.(3)函数y ＝1x －1在[2，3]上的最小值为________. 解析 (1)由题意知a ＋b ≤0，得到a ≤－b ，b ≤－a .∵f (x )在(－∞，＋∞)内是减函数，∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ).故选D.(2)由题知⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1，解得0<a <23，即所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23. (3)易知y ＝1x －1在[2，3]上递减，∴y min ＝f (3)＝12. 答案 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 (3)12 规律方法 1.利用单调性比较大小的方法(1)利用函数单调性可以比较函数自变量(函数值)的大小，例如：已知f (x )在区间D 上为增函数，则对x 1，x 2∈D ，x 1<x 2⇔f (x 1)<f (x 2).(2)利用单调性比较函数值的大小，务必将自变量x 的值转化到同一单调区间上才能进行比较，最后写结果时再还原回去.2.利用函数的单调性解不等式的方法当函数f (x )的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f ”脱掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域.【训练3】 (1)如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的x 都有f (2＋x )＝f (2－x )，则f (1)，f (2)，f (4)的大小关系为________________(用“>”号连接).(2)已知函数f (x )为定义在区间[－1，1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围是________.解析 (1)由题意知f (x )的对称轴为x ＝2，故f (1)＝f (3)，∵f (x )＝x 2＋bx ＋c 在[2，＋∞)上为增函数，∴f (2)<f (3)<f (4)，即f (2)<f (1)<f (4).(2)由题意得⎩⎨⎧－1≤x ≤1，x <12，解得－1≤x <12. 答案 (1)f (4)>f (1)>f (2) (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 题型四 利用单调性求参数的取值范围【例4】 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b .若函数f (x )在区间[1，2]上不单调，求实数a 的取值范围.解 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的对称轴为x ＝－a 2，又f (x )在区间[1，2]上不单调，∴1<－a 2<2，即－4<a <－2， 即a 的取值范围为(－4，－2).【迁移1】 函数不变，若f (x )在[1，2]上单调，求实数a 的取值范围.解 若f (x )在[1，2]上单调，则－a 2≤1或－a 2≥2，即a ≥－2或a ≤－4，即a 的取值范围为(－∞，－4]∪[－2，＋∞).【迁移2】 函数不变，若函数f (x )在区间(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且f (m ＋2)<f (2)，求实数m 的取值范围.解 ∵f (x )在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，∴－a 2＝1，∴a ＝－2.如图.∵f (m ＋2)<f (2)，且f (0)＝f (2)，∴0<m ＋2<2，∴－2<m <0，则实数m 的取值范围为(－2，0).【迁移3】 函数不变，若f (x )的单调递增区间为[2，＋∞)，求a 的值.解 ∵f (x )的对称轴为x ＝－a 2，且递增区间为[2，＋∞)，∴－a 2＝2，∴a ＝－4.规律方法 由函数单调性求参数范围的处理方法是：(1)由函数解析式求参数若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件， 若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性.若为复合函数y ＝|f (x )|或y ＝f (|x |)——数形结合，探求参数满足的条件.(2)抽象函数求参数：依据单调增(减)函数中函数值与自变量的关系f (a )>f (b )⇔a >b (a <b )；方法：依据函数单调性的特点去掉“f ”，转化为不等式求解. 【训练4】 已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0).(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数.(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值.(1)证明 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1 ＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0， 所以f (x 2)>f (x 1)，所以f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数.(2)解 因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2， 又由(1)知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2. 所以a ＝25一、素养落地1.通过本节课的学习，能够养成规范化思考问题的习惯，重点提升学生的逻辑推理、数学运算素养.2.函数的单调性是函数在定义域的某个子集上的性质，这个子集可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集.3.若函数f (x )在其定义域的两个区间A ，B 上都是增(减)函数，一般不能简单认为f (x )在A ∪B 上是增(减)函数.4.利用函数单调性可以比较函数自变量(函数值)的大小.二、素养训练1.下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )A.y ＝2x ＋1B.y ＝x 2＋1C.y ＝3－xD.y ＝x 2＋2x ＋1解析 函数y ＝3－x 在区间(0，＋∞)上是减函数.答案 C2.函数y ＝f (x )(－2≤x ≤2)的图像如图所示，则函数的最大值、最小值分别为()A.f (2)，f (－2)B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (－1) C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 D.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (0) 解析 由图像可知f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，故选C. 答案 C3.若函数y ＝ax ＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是________.解析 由题意a ≠0，当a >0时，有(2a ＋1)－(a ＋1)＝2，解得a ＝2；当a <0时，有(a ＋1)－(2a ＋1)＝2，解得a ＝－2.综上知a ＝±2.答案 ±24.定义在(－2，2)上的函数f (x )是增函数，且满足f (1－a )<f (a )，则实数a 的取值范围是________.解析由题设知实数a 应满足：⎩⎪⎨⎪⎧－2<1－a <2，－2<a <2，1－a <a ，解得12<a <2.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 5.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋5，x ≤1，－2x ＋a ，x >1是减函数，求实数a 的取值范围. 解 由题意得，要使f (x )是减函数，需－2×1＋5≥－2×1＋a ，即a ≤5.故实数a 的取值范围为(－∞，5].基础达标一、选择题1.函数y＝f(x)，x∈[－4，4]的图像如图所示，则f(x)的增区间是()A.[－4，4]B.[－4，－3]∪[1，4]C.[－3，1]D.[－3，4]解析由图像知增区间为[－3，1]，故选C.答案 C2.下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是()A.y＝5－xB.y＝x2＋2C.y＝1x D.y＝－|x|解析选项A，C，D中的函数在(0，2)上是减函数，只有函数y＝x2＋2在(0，2)上是增函数.答案 B3.函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是()A.(－∞，－3)B.(0，＋∞)C.(3，＋∞)D.(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析∵f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，∴2m>－m＋9，即m>3，故选C.答案 C4.函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])的最小、最大值分别为()A.3，5B.－3，5C.1，5D.5，－3解析因为f(x)＝－2x＋1在[－2，2]是减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5.答案 B5.已知定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x)的对称轴为x ＝4，则( )A.f (2)>f (3)B.f (2)>f (5)C.f (3)>f (5)D.f (3)>f (6)解析 ∵f (x )关于x ＝4对称且在(4，＋∞)上为减函数，∴f (x )在(－∞，4)上为增函数，且f (5)＝f (3)，f (6)＝f (2)，∴f (5)＝f (3)>f (2)＝f (6)，故选D.答案 D二、填空题6.函数f (x )＝1x ＋1在(a ，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是________. 解析 函数f (x )＝1x ＋1的单调减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)，又f (x )在(a ，＋∞)上单调递减，所以a ≥－1.答案 [－1，＋∞)7.函数f (x )＝6－x －3x 在区间[2，4]上的最大值为________.解析 ∵函数f (x )＝6－x －3x 在区间[2，4]上是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝6－2－3×2＝－4.答案 －48.函数y ＝f (x )在(－2，2)上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋1)，则实数m 的取值范围是________.解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2<2m <2，－2<－m ＋1<2，2m >－m ＋1，解得13<m <1.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 三、解答题9.已知函数f (x )＝mx ＋1nx ＋12(m ，n 是常数)，且f (1)＝2，f (2)＝114.(1)求m ，n 的值；(2)当x ∈[1，＋∞)时，判断f (x )的单调性并用定义证明.解 (1)因为f (1)＝m ＋1n ＋12＝2，f (2)＝2m ＋12n ＋12＝114.所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x ＋12x ＋12.f (x )在x ∈[1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，那么f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋12x 1＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12x 2＋12 ＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x 1x 2 ＝（x 1－x 2）（2x 1x 2－1）2x 1x 2. 因为1≤x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>1，所以2x 1x 2>2>1，所以（x 1－x 2）（2x 1x 2－1）2x 1x 2<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在[1，＋∞)上单调递增.10.求函数f (x )＝x ＋9x (x >0)的单调区间，并指出函数的最小值.解 设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋9x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋9x 2 ＝(x 1－x 2)－9（x 1－x 2）x 1x 2＝（x 1－x 2）（x 1x 2－9）x 1x 2.∵0<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>0.由于x 1x 2－9的符号不能确定，因此需要对x 1，x 2的取值进行讨论.当x 1，x 2∈(0，3]时，有x 1x 2－9<0，所以（x 1－x 2）（x 1x 2－9）x 1x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在区间(0，3]上是减函数；当x 1，x 2∈[3，＋∞)时，有x 1x 2－9>0，所以（x 1－x 2）（x 1x 2－9）x 1x 2<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在区间[3，＋∞)上是增函数.综上可知，函数f (x )＝x ＋9x (x >0)的单调递减区间是(0，3]，单调递增区间是[3，＋∞).故f (x )的最小值为f (3)＝6.能力提升11.判断函数f (x )＝ax x 2－1(a ≠0)在区间(－1，1)上的单调性. 解 任取x 1，x 2∈(－1，1)且x 1<x 2.则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1（x 22－1）－ax 2（x 21－1）（x 21－1）（x 22－1） ＝ax 1x 2（x 2－x 1）＋a （x 2－x 1）（x 21－1）（x 22－1）＝a （x 2－x 1）（x 1x 2＋1）（x 21－1）（x 22－1）. ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 21－1<0，x 22－1<0，x 1x 2＋1>0，x 2－x 1>0.∴当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(－1，1)上为减函数.当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－1，1)上为增函数.综上，当a >0时，f (x )在(－1，1)上为减函数，当a <0时，f (x )在(－1，1)上为增函数.12.若f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x ，y >0，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y ). (1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<2. 解 (1)在f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )中， 令x ＝y ＝1，则有f (1)＝f (1)－f (1)，∴f (1)＝0.(2)∵f (6)＝1，∴f (x ＋3)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<2＝f (6)＋f (6)， ∴f (3x ＋9)－f (6)<f (6)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32<f (6). ∵f (x )是(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎨⎧x ＋32>0，x ＋32<6， 解得－3<x <9.即不等式的解集为(－3，9).。
《3.1.2函数的单调性》作业设计方案-高中数学人教B版19必修第一册
《3.1.2 函数的单调性》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计的目标是巩固学生对函数单调性概念的理解，并掌握通过图像和数值判断函数单调性的基本方法。
通过实际操作和问题解决，提升学生的数学思维能力和自主学习能力。
二、作业内容本节课的作业内容主要包括以下几个方面：1. 理论知识回顾：学生需复习函数单调性的定义和判断方法，理解增函数和减函数的区别与联系。
2. 图像分析：选取不同类型函数的图像，让学生根据图像判断函数的单调性，并解释理由。
3. 数值计算：根据给定的函数解析式，通过计算函数的值来分析函数的单调性。
例如，对函数的不同区间进行采样，比较结果以判断其单调性。
4. 实际应用：通过解决一些实际问题的案例，如经济模型中的单调关系、气象数据中的温度变化等，应用函数单调性的知识。
5. 课堂小测验：完成一份关于函数单调性的小测验，包括选择题和简答题，旨在检验学生对知识的掌握情况。
三、作业要求作业要求如下：1. 学生需独立完成作业，并确保答案的准确性。
2. 在进行图像分析和数值计算时，应记录过程和结果，以备检查。
3. 对于实际应用部分，学生需收集或制作相关数据，并按照所学知识进行分析。
4. 课堂小测验需在规定时间内完成，并按时提交。
5. 作业完成后需进行自我检查和修正，确保答案的准确性。
四、作业评价作业评价将根据以下标准进行：1. 理论知识的理解和应用程度。
2. 图像分析和数值计算的准确性及过程记录的完整性。
3. 实际应用的合理性和分析的深度。
4. 课堂小测验的完成情况和正确率。
五、作业反馈作业反馈将采取以下方式：1. 教师将对每位学生的作业进行批改，指出错误并给出修改意见。
2. 课堂讲解部分优秀作业和常见错误案例，帮助学生加深理解。
3. 通过小组讨论或课堂互动，让学生分享解题思路和方法，促进相互学习。
4. 对于未按时完成或未提交作业的学生，将及时提醒并给予指导。
六、附言希望同学们能认真对待此次作业，通过巩固所学知识并解决实际问题，不断提升自己的数学能力。
2019-2020学年高中人教B版数学新教材必修第一册课件：第三章 3.1 3.1.2 函数的单调性 第1课时
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平测试
课后课时精练
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有函数在定义域上都具有单调性．( ) (2)定义在(a，b)上的函数 f(x)，若存在 x1，x2∈(a，b)，使得 x1<x2 时，有 f(x1)<f(x2)，那么函数 f(x)在(a，b)上为增函数．( ) (3)若函数 f(x)在区间 A 上为减函数，在区间 B 上也为减函数，则函数 f(x) 在区间 A∪B 上也为减函数．( )
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平测试
课后课时精练
答案
作出函数的图像如下图所示：
所以函数在(－∞，－1)和[0,1)上是增函数， 在[－1,0)和[1，＋∞)上是减函数．
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平测试
课后课时精练
答案
金版点睛 求函数的单调区间
(1)求函数单调区间的常用方法有： ①转化为已学的函数(如一次函数，二次函数等)利用其单调性来判断；② 图像法；③定义法． (2)求函数的单调区间时应首先明确函数的定义域，必须在函数的定义域 内进行．
由 x1，x2∈－∞，34，得 x1<34，x2≤34， 则 x1＋x2<32，所以 2(x1＋x2)<3， 则 2(x1＋x2)－3<0，所以 f(x2)>f(x1)，
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平测试
课后课时精练
答案
所以函数 f(x)＝－2x2＋3x＋3 在－∞，34上是增函数． (2)设 x1，x2 是(－3，＋∞)上的任意两个实数，且 x1<x2，则 x2－x1>0， f(x2)－f(x1)＝xx22＋ ＋43－xx11＋ ＋43＝x2－＋3x2－ x1x＋13. 因为 x2－x1>0，所以－(x2－x1)<0， 由 x1，x2∈(－3，＋∞)，得 x1>－3，x2>－3， 即 x1＋3>0，x2＋3>0，所以 f(x2)<f(x1)， 所以 f(x)＝xx＋ ＋43在(－3，＋∞)上是减函数．
3.1.2 函数的单调性(4)
复习： 1、平均变化率 2、利用平均变化率证明（判断）函数的单调性
例1： 证明函数 f x x2 2x在 ，1上是减函数；
在1,上是增函数，并出这个 函数的最值。
一般地，二次函数f x ax2 bx ca 0的
单调性为：
(1)a 0__为__减__函__数__;
在 (2但 )但_在 a_[有 有___02_b最最 a时 _[__,_小， 小2_b_a__值 )f值_上 ,__fx_f_为((__)在 上 增___2_2b_函 b_为aa____)数 )减 __(____函_________,数 ;____44__a2__ab_函c;a4__c4_a__]函 _a上_数 _b_b_2__为 数 2.._没_增没_有_函_有数 _最;最大小值值，，
求实数a的取值范围
练习5、函数f (x) x2 - 2x 3
（1）x 2,0时，求f (x)的最值 （2）x 2,3时，求f (x)的最值
三、课堂小结 四、作业
练习1、已知函数f (x) x2 4ax 5在2， 上是增函数，
求实数a的取值范围
练习2、证明函数f (x) x2 2x在- ，1上是增函数， 在1， 上是减函数，并求这个函数的最值
练习3、已知函数f (x) 2x2 6x，x 5,3，求f(x)的单调区间，
并求这个函数的最值
练习4、若函数f (x) x2 （2 a 1）x 3在- ，4上为减函数，
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(2) y f x在I上是减函数 f 0在I上恒成立.
x
定义：
当x1 x2时，fx
f x2 f x1叫做函数
x2 x1
y f x在区间[x1, x2 ]x1 x2 或
[x2 , x1]x2 x1 上的平均变化率。
例1、证明y 2x在 ， 上是减函数。
解：对任意的 x1, x2 ,，且 x1 x2
与x轴关系是__垂__直___.直线AB的斜率反映了
_A__B_相__对__于_x_轴__的__倾__斜__程_度___.
记x x2 x1,相应的y y2 y1,当x 0时， 斜率k y x
若I是函数f x定义域的子集，对任意 x1, x2 I 且x1 x2,记y1 f x1, y2 f x2 ,则： (1) y f x在I上是增函数 f 0在I上恒成立；
3.1.2 函数的单调性（3）
复习提问： 1. 增函数，减函数 2. 单调函数
3. 函数的最值
函数的平均变化率
设 Ax1, y1, Bx2, y2 任意两点，当 x1 x2时，
称 y2 y1 为直线AB的斜率，即：k y2 y1
x2 x1
x2 x1
当 x1 x2 时，称直线AB的斜率不存在。此时AB
由此可得：A,B,C三点共线 AB、AC斜率相等
练习1、教材P102，A,5 练习2、教材P103，B,7 练习3、教材P110，习题3 -1A，6
三、课堂小结 四、作业
f x2 f x1 2x2 x1 2 0
x2 x1
x2 x1
f x 2x在 ,上是减函数。
练习：求证y 1 在 ，0和0， 上都是减函数。
x
例2：
判断一次函数 y kx b（k 0）的单调性。 (1)k 0时，函数在 R上单调递增； (2)k 0时，函数在 R上单调递减。