§2-3 洛必达法则函数的单调性与极值

极 小 值
f ( 3 ) 22 .

极大值
f ( 1 ) 10 ,
二、 , , 0 ,1 , 型未定式解法 0
0 0

关键:通过适当的恒等变形将其它类型未定式化 为洛必达法则可解决的类型 ( 0 ), ( ) .
0

仍可使用洛必达法则来求极限
1. 0 型
步骤: 0

1


,
或 0 0
1 0
⑤可考虑进行恒等变形或引入适当的变量代换，以 简化计算.
三、小结
洛必达法则
0
0 ,1 , 型
0 0
令y f
g

型
f g 1 g 1 f 1 g 1 f
型
型
取对数
0

f g
0 型
f 1 g
第三章
中值定理和导数的应用
§1 §2
§3
中值定理 洛必达法则
函数的单调性与极值
定理(函数取得极值的第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ( x ) 0; 而 x ( x0 , x0 ) ,
'
有 f ( x ) 0 ，则 f ( x ) 在 x 处取得极大值.
'
0
(2)如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ( x ) 0; 而 x ( x0 , x0 )
f ( x ) 0
b
x
o
a
f ( x ) 0
b
x
从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量 在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升 （下降）的. 进一步若曲线在某区间内每点处的切线斜率 都为正（负），即切线的倾角全为锐（钝）角， 曲线就是上升（下降）的. 这就启示我们：能否利用导数的符号来判定单调 性 ？回答是肯定的.
单调区间为 ( ,1 ]， [1 , 2 ]， [ 2 , ).
例3
讨论函数 f ( x ) x
f ( x ) 1 x
1 3
3 2
2
x 3的单调性 .
1
解 当x 0时，

x3 1
1
0
x 1.
当x 0时, f ( x)不存在
x f ( x ) f (x)
若 出 现 x 时 , sin x , co s x 或 x 0时 , sin 1 x , co s 1 x
不宜使用洛必达法则； ②洛必达法则只能对
0 ， 0
这两种基本未定式
才可直接应用，其它类型的未定式必须先转化；
③洛必达法则与等价无穷小的代换结合使用效果 会更好；
④使用洛必达法则前宜先行约去可约因子， 特别 是极限不为0的因子，宜将确定后的极限值提到 极限号外，以简化计算（ 这相当于提前使用了 一次乘积极限的运算法则）；
4、若前三步得不出结论, 对F ( x )重复2、步. 3
5、写出结论.
(二) 、极值的定义及其求法
1、函数极值的定义
定义 设函数f ( x )在区间(a , b )内有定义 , x0是 (a , b )内的一个点, 如果存在着点 x0的一个邻域 , 对于这邻域内的 任何点 x ,除了点 x0外, f ( x ) f ( x0 )均成立, 就称
即 x ln( 1 x ).
利用单调性证明不等式的步骤：
证明 f ( x) g ( x), x (a, b)
1、 构造辅助函数 F ( x ) f ( x ) g ( x ),
2、求初始值 F ( a ) 0
3、求F ( x ), 判断 F ( x )在 (a , b )的单调性,
0 .
0 0 利用1 .
例11 求 lim x .
x x 0

(0 )
lim
x 0
0
ln x

1 x
解
原式 lim e
x 0
x ln x
e x 0
lim x ln x

e
1

(

) lim
x 0
e

x 1 x
2
e
当 x 1时， f ( x ) 0 , 在 ( ,1 ]上单调增加； 当 1 x 2时， 当 2 x 时，
f ( x ) 0 , f ( x ) 0 ,
在 [ 1 , 2 ]上单调减少； 在 [ 2 , ) 上单调增加；
注
①若在(a,b)内至多有有限个导数等0的点和至多 有限个不可导点，而在其余点处均有 f ( x ) 0 ( f ( x ) 0 ) 则由连续性，结论仍成立
x0
3 例如, y x , y
0 , 但在 ( , ) 上单调增加
.
②此判定法则对其它各种类型的区间仍适用
f ( x0 )是函数 f ( x )的一个极大值; 如果存在着点 x0的一个邻域 , 对于这邻域内的 任何点 x ,除了点 x0外, f ( x ) f ( x0 )均成立, 就称
f ( x0 )是函数 f ( x )的一个极小值 .
y
y
o
x0
x
o
x0
x
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
例1 讨论函数 y e x x 1的单调性.
解 y e x 1.
又 D : ( , ).
在 ( , 0 )内 , 在 ( 0 , )内 ,
y 0, y 0,
函数单调减少；
函数单调增加
.
注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
在 ( 0 ,1 )内 , 在 ( , 0 ), ( 1 , )内 ,
x3
( , 0 )
0
不存在
( 0 ,1 )
1
( 1 , )
+


0
+

函数单调减少；
函数单调增加
.
例4
当x 0时, 试证x ln(1 x )成立.
则 f ( x ) x 1 x .

y


o
x0
x
o
x0
x
求极值的步骤:
( 1 ) 求导数 f ( x );
(不是极值点情形)
( 2 ) 求驻点，即方程
f ( x ) 0 的根 ;
( 3 ) 检查
f ( x ) 在驻点左右的正负号
, 判断极值点
;
( 4 ) 求极值 .
例5 求出函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值. 解
'
有 f ( x ) 0 ，则 f ( x ) 在 x0 处取得极小值.
'
(3)如果当 x ( x0 , x0 ) 及 x ( x0 , x0 ) 时, f ( x )
'
符号相同,则 f ( x ) 在 x0 处无极值.
y y
o
x0

x


x0
o
x
(是极值点情形)
y
0
Hale Waihona Puke Baidu
1.

1
例12 解
求 lim x
x 1
1 x
.
ln x
(1 )
e x 11 x e
lim ln x
( 0 0
1
)
1
原式 lim e 1 x
x1
lim x x 11
e
1
.
1
例13 求 lim (cot x )
x 0

ln x
.
( )
0
1
1
解 取对数得 (cot x )
例2
确定函数 f ( x ) 2 x 9 x
3
2
12 x 3的单调区间.
解
D : ( , ).
2 f ( x ) 6 x 18 x 12 6 ( x 1 )( x 2 )
解方程 f ( x ) 0 得， x 1 1 , x 2 2 .
2、函数极值的求法
定理 (必要条件)
设 f ( x ) 在点 x0 处具有导数,且
'
在 x0 处取得极值,那末必有 f ( x0 ) 0 .
定义 使导数为零的点 (即方程 f ( x ) 0 的实根 )叫 做函数 f ( x ) 的驻点. 注意: 可导函数 f ( x ) 的极值点必定是它的驻 点, 但函数的驻点却不一定 是极值点. 例如,

0 0
.
即将其中之一个因子下放至分母就可转化为
0 0 或 型
2. 型
步骤: 例10 求 lim (
x 0
1 0

1 0

00 00
. (通分或有理化)
1 sin x

1
).
解
原式 lim
( 0 0 0 0 )
x x sin x
x sin x 1 cos x
lim
x 0
ln x
e
ln(cot x )
ln x
,
1 ln x
ln(cot x ) lim
0
(
0
)

1

1
2
x 0
cot x sin 1 x
x
lim
x 0
x cos x sin x
1,
原式 e
1
.
几点说明
①洛必达法则只是求未定式极限的一种有效方法， 是充分条件，当定理的条件满足时，所求的极限存 在或为∞，当定理的条件不满足时，主要是指（3） 不成立，即导数之比的极限不易求出，或不存在但 不∞，函数之比的极限未必不存在，此时洛必达法 则：“失效”；
()
x 0
lim
)
x 0
sin x x cos x
sin x sin x co s x x sin x 0.
(
lim
x 0
3. 0 ,1 , 型
0 0

步骤: 00
1 0

0 ln 0 取对数 ln 1 0 ln
§3
函数的单调性与极值
(一) 、函数的单调性
(二) 、极限的定义 (三) 、函数的最值
(一) 、函数的单调性及其判定
拉格朗日中值定理 y f ( x 0 x ) x 给出了 函数在某区间上的增量与函数在区间内某点处的 导数之间的关系，为利用导数反过来研究函数的 性质或曲线的形态提供了一座桥梁.
本节我们就来讨论这方面的问题，主要介绍： 单调性、极值最值.
1、单调性的判别法
函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究 函数的性态时，首先关注的问题.第一章中已经给出 了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判定 函数的单调性却是很不方便的.
y
y f ( x)
A
B
y
A
y f ( x)
B
o
a
定 理 （ 函 数 单 调 性 的 充 分 条 件 ） 设 函 数 y f ( x ) 在 [ a , b ]上 连 续 ， 在 ( a , b )内 可 导 ， 且 导 函 数 f ( x ) 不 变 号 . （1） 若 f ( x ) 0， 则 ( 2 ) 若 f ( x ) 0， 则 y f ( x )在 区 间 ( a , b ) 上 是 单 调 递 增 的 ； y f ( x )在 区 间 ( a , b ) 上 是 单 调 递 减 的 .
2 f ( x ) 3 x 6 x 9 3 ( x 1 )( x 3 )
令 f ( x ) 0， 得驻点
x
x1 1, x 2 3 .
( 1,3 )

列表讨论
( 3 , )

( , 1 )

1
3
0
f ( x )
f (x)
0

极 大 值
2、单调区间求法
引入:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的， 则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点． 方法:用方程 f ( x ) 0 的根及 f ( x ) 不存在的点
来划分函数 数的符号 . f ( x ) 的定义区间 , 然后判断区间内导
3 y x , y x0
0,
但 x 0不是极值点
.
注
①这个结论又称为费马定理 ②如果一个可导函数在所讨论区间上没有驻点 则此函数没有极值，此时导数不改变符号 ③不可导点也可能是极值点
可疑极值点：驻点、不可导点 可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步 判明.由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、 右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题 即可得到解决.
证 设 f ( x ) x ln( 1 x ),
f ( x ) 在 [ 0 , ) 上连续 , 且 ( 0 , ) 可导， f ( x ) 0 ,
在 [ 0 , ) 上单调增加；
f (0) 0,
当 x 0时， x ln( 1 x ) 0 ,