【2019年整理】函数的单调性与极值3理
函数的单调性与极值理
1、判别法中的开区间可换成其他各种区间. 2、判别法中如果f(x)严格增大(减小)，只能得出 f (x)≥0 (≤0)
如： 函数f(x)=x3在(, )上严格单调增加 但 f (0) =0
•函数单调性的判别法 设函数f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导.
(1)如果在(a, b)内f (x)>0, 则f(x)在[a, b]上严格单调增加 (2)如果在(a, b)内f (x)<0, 则f(x)在[a, b]上严格单调减少.
（1）两类点定义的出发点不同。
极值点是指函数在这一点处的函数值大于或小于该点 邻域内任何其它点的函数值；
驻点是指导数为零的点
因此极值点可以是可导点也可以是不可导点，而驻点 一定是可导点。
（2）极值点成为驻点的条件：若函数在区间内可导， 则函数的极值点一定是驻点，反之不成立；
（3）驻点成为极值点的条件：若f (x)在驻点左右邻域 内符号相反，则此驻点一定为极值点
y=2x39x212x3
例 例3 4. . 讨 论 函 数 y = 3 x 2 的 单 调 性 . 解 函数的定义域为(, ). y = 2 ( x 0 ) , 函 数 在 x = 0 处 不 可 导 . 3 3 x 因为x<0时, y<0, 所以函数在(, 0] 上单调减少
因为x>0时, y>0, 所以函数在[0, )上单调增加.
故函数f(x) 在x=0处取 得极小值f(0)=0.
y = 3 x2
•说明
函数的单调性与极值3理
所以,函数 f ( x)在x0 处取得极大值
例2 求出函数 f ( x) x3 3x2 24x 20 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 24 3( x 4)(x 2) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 4, x2 2. f ( x) 6x 6, f (4) 18 0, 故极大值 f (4) 60,
解
f
(
x)
2
(
x
1
2) 3
( x 2)
3
当x 2时, f ( x)不存在. 但函数f ( x)在该点连续.
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1为f ( x)的极大值.
五、小结
单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的 重要应用. 定理中的区间换成其它有限或无限区间， 结论仍然成立. 应用：利用函数的单调性可以确定某些方 程实根的个数和证明不等式.
当2 x 时， f ( x) 0, 在[2,)上单调增加；
单调区间为 (,1]， [1,2]，[2,).
例3 确定函数 f ( x) 3 x2 的单调区间.
解 D : (,).
f ( x) 2 , 33 x
( x 0)
当x 0时,导数不存在.
单减区间为_____________.
二、 确定下列函数的单调区间：
1、
y
4x3
10 9x2
；
6x
2、 y 3 (2 x a)(a x)2 (a 0)；
3、 y x sin 2x .
三、证明下列不等式： 1、当 x 0时，1 x ln( x 1 x 2 ) 2、当 x 4时，2 x x 2 ； 3、若 x 0，则sin x x 1 x 3. 64 Βιβλιοθήκη 1)02
第三节函数的单调性与极值
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调增加 .
若在(a , b)内， f x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调减少.
例1 解
判断函数 y ln x的单调性. 函数的定义域为 0,.
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) ( 1 ) 证 0, f ( x0 ) lim
x 0
x
故f ( x0 x ) f ( x0 )与x异号，
当x 0时， 有f ( x0 x ) f ( x0 ) 0, 当x 0时， 有f ( x0 x ) f ( x0 ) 0,
函数的极大值与极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.
函数 f ( x) 2 x 3 9 x 2 12x 3
有极大值 f (1) 2和 极 小 值 f ( 2) 1, 点x 1, x 2是 函 数 f ( x )的 极 值 点 。
注1：极值是函数的局部性概念，与最值不同；
M
f ( 2) 1为f ( x )的极大值.
得驻点x1 1, x2 0, x3 1. (2)令 f ( x) 0， 2 2 (3) f ( x) 6( x 1)(5 x 1)
(4) f (0) 6 0 故极小值 f (0) 0
5 f ( 1 ) f ( 1 ) 0 , 第二充分条件失效。
(4) 求出各极值点处的函数 值.
例6 求函数 f ( x) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值 . 解 (1) f ( x) 3 x 2 6 x 9 3( x 1)( x 3)
高等数学§3-3函数的单调性与极值-精品文档
y 3 x2
当 x 0 时， f ( x ) 0 , 在 ( ,0 ] 上单调减少；
当 0 x 时， f ( x ) 0 , 在 [0 , )上单调增加；
, ). 单调区间为 ( ,0] ， [0
x 0 时 , 试证 x ln( 1 x ) 成立 . 例3 当
x 则 f(x ) . f ( x ) x ln( 1 x ), 证 设 1 x
f ( x ) 在 [ 0 , ) 上连续 , 且 ( 0 , ) 可导 f ( x ) 0 ,
f ( 0 ) 0 , 在 [0 , )上单调增加；
x ln( 1 x ) 0 ,即 当 x 0 时， x ln( 1 x ).
0 在 ( 0 , ) 内 , y ,
函数单调增加 .
定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间.
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点． 方法:
(x (x 用 方f 程 )0 的 根f 及 )不 存 在 的 点 数的符 . 号
来划分函 f(x ) 数 的 定 义, 区 然间 后判断区间
O x
y x3
定理2（极值存在的一阶充分条件）
在该邻域（x0可除外）可导， 设f (x)在x0的某邻域内连续，
x0为f (x)的驻点或使f (x) 不存在的点。
(i) 若当x < x0 时，f (x) > 0；当x > x0 时，f (x) < 0，
则 f (x0) 是f (x)的极大值；
f ( x ) f ( x ). 2 1
y f( x ) 在 [ a ,b ] 上单调减少 .
3.2.1+函数的单调性与最值课件+2024-2025学年高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
新知探究
角度4 求函数的最值
2
例6 已知函数f(x)＝ (x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值．
x−1
解析：∀x1，x2∈[2，6]，且x1<x2，则
2
f(x1)－f(x2)＝
4
新知探究
角度2
解不等式
例4 f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，若f(m－1)＞f(2m－1)，则实数m的取
值范围是(
)
3
A．m＞0
B．0＜m＜
C．－1＜m＜3
2
1
3
D．－ ＜m＜
2
2
答案：B
−2 < m − 1 < 2，
3
解析：由题意知 −2 < 2m − 1 < 2， 解得0<m< .故选B.
（增）函数的差是增（减）函数；
新知探究
归纳总结
（3）如果f(x)在区间D上是增（减）函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增（减）
函数；
（4）如果y = f u 和u = g x 单调性相同，那么y = f[g(x)]是增函数，
如果y = f u 和u = g x 单调性相反，那么y = f[g(x)]是减函数.
2
m − 1 < 2m − 1，
新知探究
角度3
利用函数的单调性求参数的取值范围
2m
例5 若f(x)＝－x2＋4mx与g(x)＝ 在区间[2，4]上都是减函数，则m的取值范
x+1
围是(
)
A．(－∞，0)∪ 0，1 B. −1，0 ∪ 0，1
高等数学-函数的单调性与极值
单调递增.
（2）如果在(, )内 ′ () < 0，那么函数()在[, ]上
单调递减.
3
01 函数单调性的判别法
注 （1）如果在(, )内, ′ () ≡ 0,由3.1节的推论1
可知，()在(, )内是一个常数函数；
（2）该定理中的闭区间换成开区间（包括无穷区间）
的内部取得，在区间的端点处不能取得极值.
12
02
函数的极值及其求法
极值的求法
定理3.7 （必要条件）设函数()在点0 可导，且在点
0 取得极值，那么 ′ (0 ) = 0.
注 （1）可导函数的极值点必定是驻点，但
y
驻点不一定是极值点，如3 点；
y =f ( x )
（2）连续函数的极值点还可能是使导数
不存在的点，如5 点；
（3）驻点和一阶导数不存在的点为可能
a x1
O x2 x3
x4
x5 x6 b
x
的极值点﹒
13
02
函数的极值及其求法
定理3.8 （极值存在的第一充分条件）设函数()在
∘
点0 处连续，且在0 的某去心邻域(0 , )内可导.
（1）如果当 ∈ (0 − , 0 )时 ′ () > 0，当 ∈ 0 , 0 +
01 函数单调性的判别法
02 函数的极值及其求法
9
02
函数的极值及其求法
定义3.1
设函数()在0的任意，
（1）若() < (0 )，那么(0 )是()的一个极大值，
点 = 0 是()的一个极大值点；
（2）若() > (0 )，那么(0 )是()的一个极小值，
时 ′ () < 0，那么(0 )是函数()的极大值.
3.2 函数的单调性及其极值
函数值比较而言，并不意味着它在函数的整个定义区间内最大或最小，所以，
极大值不一定是最大值，极小值不一定是最小值，上图中,极大值可能比极小
值还要小；
(2)由极值的定义知，函数的极值只能在区间内部取得，不能在区
间的端点处取得。
极值存在的必要条件与充分条件：
问题:哪些点处有可能取得极值呢？ 由图可见：在极值点处如果有切线的话，切线是
y y = f (x)
a x1 O x2
x3 x4
x5 b x
定理 (极值存在的第一充分条件)
设函数 y = f (x) 在 x0 的某个邻域内可导(在 x0 处可以不可导，但必须连续)，则有
(1) 当 x x0 时 ， f ( x) 0 ， 当 x x0 时 ， f ( x) 0 ，
(, 1), 1, 7 , 7 , 2, (2, ). 5 5
(3)列单调极值表如下：
x (-, 1) 1
f (x) +
0
极大
f (x)
值点
1, 7 5
7 5
7 , 2 5
2
-0
+0
极小 值点
非极 值点
(2, + ) +
例 5 求函数 f (x) = (x - 1)2 (x - 2)3 的极值. 解 (1) 定义域为 (- ,+ )
(2) f (x) = (x - 1) (x - 2)2 (5x - 7) 令f (x) = 0 得 f (x) 的驻点：x 1, x 7 , x 2,
5
该函数在定义区间内无不可导的点， 上述驻点将定义区间分为四个子区间
例 1 试求函数 f (x) = 3x4 -16x3 + 30x2 – 24x + 4 在区间[0,3]上的最大值和最小值.
函数的单调性与极值79749
所以 f (x) 的单调增加区间是 (,1和) (1,；) 单
调递减区间是 (1,1)
例3
确定函数
f
(x)
3
5
x3
3
3
x 2的单调区间。
52
解 f (x)的定义域是 (, )
2019/5/18
f
( x)
2
x3
1
x3
x 1
3x
令 f (x) 0，得 x 1，又 x 0 处导数不存在，
数值相比较，其中最大的就是函数 f (x在) a,b上 的 最大值，最小的就是函数 f (x)在 a,b上的最小值。
注意下述三种情况：
（1）如果 f (x)在 a,b上是单调函数；
2019/5/18
（2）如果连续函数 f (x)在某区间内只有一个极大 （小）值，而无极小（大）值；
（3）在实际问题中，由问题的实际意义可知，确 实存在最大值或最小值，又若函数在所讨论的区间内
（1）如果在 (x0 , x0 )内 f (x) 0，在 (x0 , x0 ) 内 f (x) 0，则函数 f (x)在点 x0处取极大值 f (x0；)
（2）如果在 (x0 , x0 )内 f (x) 0，在 (x0 , x0 ) 内 f (x) 0，则函数 f (x)在点 x处0 取极小值 f (x0 ；)
f (x) 在 x 1 处取得极小值 f (x) 1。
2
函数
f
(x)
x
3
2
x3
1的图形如图
2
f (0) ，1
2019/5/18
y 1
1 2
0
【课件】函数单调性与最值(第1课时) 课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
______．
2、 在区间 (0,+∞)
_____ 上，f(x)的值随着x的增大而
增大
_____．
引入
知识点一、增函数、减函数的定义
前提条件
复习引入
条件
设函数 f(x)的定义域为 I，区间 D⊆I
∀x
________________，x
1＜x2
1，x2∈D
都有 f(x1)＜f(x2)
都有 f(x1)＞f(x2)
x
满足f ( ) f ( x) f ( y ),
y
（1）求f (1)的值；
（2）若f (6) 1求不等式f ( x 3) f (2) 1的解集；
x
解：（1）由条件对一切x, y 0, 满足f ( ) f ( x) f ( y),
y
所以令x y 1, 则f (1) 0.
调性的一般步骤：
1 取值.任取x1，x2∈D，且x1<x2；
2 作差.f(x1)－f(x2)；
3 变形.（通常是因式分解和配方）；
4 定号.（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
5 下结论.（即指出函数f(x)在给定的区间D上的
单调性）．
题型三、利用单调性求解不等式
例1.已知函数 f ( x)是定义在 R上的增函数，且 f (3a 7) f (8a 11)
求实数 a的取值范围 .
[解析] ∵函数 f(x)是定义在 R 上的增函数，且 f(3a－7)＞f(11＋8a)，
∴3a－7＞11＋8a，
18
∴a＜－ 5 ，
18
∴实数 a 的取值范围是(－∞，－ 5 )．
题型三、利用单调性求解不等式
函数的单调性极值与最值
2、分段单调函数： Def 1：若函数在某些子区间上单调递增，而在另一些子
区间上单调递减，则称该函数为分段单调函数.
结论同样成立.
3、驻点： Def 2： 导数f ' ( x )在区间内部的零点称为 f ( x )驻点.
即：f ' ( x0 ) 0，则x0为驻点.
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结束
铃
4、利用导数性质来判断函数的性质，它包含三个典 型的问题
结束
铃
3、极值的充分条件
定理3（第一充分条件） 设函数 f(x)在点 x0的去心邻 域内可导，在点 x0处连续，则有如下结果： （1）当 x < x0 时，有 f (x) 0 ；当 x x0 时，有 f (x) < 0；则函数在点 x0处取得极大值。 （2）当 x < x0 时，有 f (x) < 0 ；当 x x0 时，有 f (x) 0；则函数在点 x0处取得极小值。 （3）如果在 x0 的两侧，导数 f (x) 不变号，则函 数在点 x0处不能取得极值。
（1）求函数单调区间 求 f (x)单调区间的步骤： 1°求 f(x)在其定义域内的全部驻点和不可导点； 2°用这些驻点及不可导点将定义域分为若干个子区间； 3°列表，在每个子区间上用Th1判断 f(x) 的单调性.
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铃
例1：讨论 f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调性.
铃
4、求函数f (x)的极值的步骤：
（1）确定函数f(x)的考察范围，即定义域；
（2）求出函数f(x)的导数 f (x)；
（3）求出函数 f(x)的所有驻点及不可导点，即求 出f (x)=0的根和 f (x)不存在的点；
函数单调性和极值
当e x 时有，lnx 1， 因此f (x) 1xl2nx 0. 从而f知 (x)lnx为严格单调减. 少函数
x
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6
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例2 讨论 y函 2x3数 3x21x2 的单 . 调性 解 所给函数的定义 (域 ,为 ).
y 6 ( x 2 x 2 ) 6 ( x 1 )x (2 ).
y －
0 + 不存在 －
y
1 (1,) 0+
可知所给函数严格单调增加区间为 (1,0)(,1, ). 严格单调减少区间为 (, 1)(,0,1).
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9
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往往可以利用单调性证明不等式.其基本方法是： F(x)=f(x)－g(x)
如果F(x)满足下面的条件： (1)F(x0)0, ( 2 ) 当 x x 0 时 ,有 F ( x ) 0 . 则F 由 (x)为单调增， 加 当 x函 x0时 ,数 有 F(x可 )0， 知 即
由拉格朗日中值定理可知，至少存在一点
(x,x)， 使得 1 2
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3
f ( x 2 ) f ( x 1 ) f () x 2 ( x 1 ).
由 ( a , b ) 内 于 x 2 x 1 , 因 有 在 ( x 2 x 1 ) 此 0 . 如(a 果 ,b )内 f(在 x ) 0 ， 则必 f(x 2 ) 定 f(x 1 ) 0 有 , 即 f(x 1 )f(x 2 ) 0 . 由x1 于 ,x2为 a[ ] ,b上任因 意而 两 f(x表 )在 点 a明 [ ] ,,b
函数的单调性与最值课件-高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
1 < 4， 1 > (4)
类似地：
(1, (1))
(4, (4))
2 < 3， 2 > (3)
3.5 < 5， 3.5 > (5)
活动探究
追问1
由y随x增大而减小，任取两个
不同的x值，就能根据他们的大
小关系，写出函数值的大小关
系．那么，这个描述反过来是
否成立呢？
都考察一遍呢？如果不能，那又该怎样定量描述这种变化．
“所有”=“全部”=“任意”=“每个”
任取两个
在(0, +∞)内，任取两个自变量的值，记为1 和2 ，
y随x的增大而减小
对整体的直观描述
当1 < 2 时，都有 1 > (2 )
对具体值的量化描述
活动探究
在(0, +∞)内，任取两个自变量的值，记为1 和2 ，
活动探究
追问2
在之前的数学学习中，你还见过哪些类似这样的变化特征呢？
函数值随自变量的增大而增大或减小
增减性
(初中)
y=2x 在R内，y随x的增大而增大．
1
y=
在(−∞, 0)和(0, +∞) 内，
都是y随着x的增大而减小．
活动探究
追问3
你觉得这种对函数变化趋势的描述有什么不足之处吗？
y=2x 在R内，y随x的增大而增大．
并指定大小关系，比如1 < 2 ；
第二步，作差变形
计算 1 与 2 的差，对表达式进行变形整理，改写
成一些因式乘积的形式；
第三步，判断符号
结合1 ，2 的大小关系，判断出上一步中得到的式子的
正负，从而确定 1 与 2 的大小关系；
函数的单调性与最值(理课件)
在工程学中，凹凸性用于描述机械零件的受力变形情况。通过分析零件在不同受力情况下 的凹凸性，可以预测零件的变形程度和承载能力。
05
综合实例
利用单调性解决实际问题
预测股票价格
确定最优方案
利用股票价格的过去数据，通过分析 股票价格的增减趋势，利用单调性预 测未来的股票价格。
在多个方案中，通过比较方案函数值 的单调性，确定最优方案，实现目标 的最优化。
最优资源配置问题
在资源有限的情况下，如何合理分 配资源使得效益最大。这可以通过 求解相关效益函数的最值来实现。
03
函数的极值
函数极值的定义
极值点
函数取得极值的点称为极值点。
极大值与极小值
在极值点左侧函数பைடு நூலகம்递增，右侧递减的为极大值；左侧递减，右侧递增的为极 小值。
极值的判定条件
01
02
03
一阶导数判定法
复合函数法
对于复合函数，可以根据复合函数的单调性 法则来判断原函数的单调性。
单调函数的应用
单调性在求解函数的极值和最值问题中有着 重要的应用。通过判断函数的单调性，可以 确定函数的极值点和最值点，进而求出函数 的极值和最值。
单调性在不等式证明中也有着广泛的应用。 通过判断函数的单调性，可以证明不等式或 比较大小关系。
03
极值
如果函数在某点的左侧是减小的，右侧是增加的，则该点为极小值点，
对应的函数值为极小值；反之，则为极大值点，对应的函数值为极大值。
求函数最值的方法
不等式法
利用不等式性质，结合函数的增 减性求最值。
换元法
通过换元将复杂函数转化为简单 函数，再利用已知函数的性质求 最值。
01
函数的单调性及极值
由定理条件知f (x0)存在，故有
f ( x0 )
f(
x0
)
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
0
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下一页返回13 Nhomakorabea f ( x0 )
f(
x0
)
lim
x0
f ( x0 x) x
f (x0 )
0
综上所述, 必有f ( x0 ) 0.
取得极值，且
(1)若 f (x0) < 0 ,则 f(x0) 为函数f (x)的极大值， x0为极大值点；
(2)若 f (x0) > 0，则 f(x0) 为函数f (x)的极小值， x0为极小值点.(证明从略)
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22
运用定理4求函数f(x)的极值点和极值的
一般步骤是：
(1)确定定义域.
驻点和一阶不可导点统称为函数的极值 嫌疑点.那么极值嫌疑点是不是极值点，如 果是极值点，它是极大值点还是极小值点， 如何判断？为了解决这些问题有下面的定 理：
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15
定理 3 (极值的第一充分条件)
设函数 f (x) 在点x0 的左右近旁可导(在点x0 处可
以不可导，但必须连续)， 若当 x 在x0 的左右近旁由
轴正向夹角是锐角，则曲线在该区间内上升； 若这个夹角是钝角，则曲线在该区间内下降． 说明：
（1）闭区间 [a, b]若为开区间、半开区间或无
穷区间，结论同样成立． （2）定理1表明，可以根据导数的正负判定可 导函数的单调性．如果函数的导数仅在个别点 处为零，而在其余点处均满足定理1的条件， 那么定理1的结论仍然成立．
函数的单调性与极值
函数的单调性与极值函数)(x f y =单调性的考察，可用当21x x <时，比较)(1x f 与)(2x f 的大小来进行判定的.但判定)(1x f 与)(2x f 的大小并非是一件容易的事情.所以希望找到一种简单的判定方法.我们知道，如果函数)(x f y =在某区间上单调增加，其图形是一条沿x 轴正向上升的曲线，曲线上各点处的切线斜率为非负，即0)(≥'='x f y ；若单调减少，其图形是一条沿x 轴正向下降的曲线，曲线上各点处的切线斜率为非正，即0)(≤'='x f y ，如图3-2.可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的联系.那么反之成立吗？定理1 设函数)(x f 在区间),(b a （1）如果在),(b a 内0)(>'x f ，那么)(x f 在),(b a 内单调增加； （2）如果在),(b a 内0)(<'x f ，那么)(x f 在),(b a 内单调减少.证明 （1）在),(b a 内任取两点21,x x ，且21x x <，根据拉格郎日中值定理，存在一点ξ（21x x <<ξ），使))(()()(1212x x f x f x f -'=-ξ （1）因为在区间),(b a 内有0)(>'x f ，则（1）式中的0)(>'ξf ，而012>-x x ，因此由（1）式知)()(12x f x f >，这就是说)(x f 在),(b a 内单调增加. 同理可证明结论（2）成立.有些可导函数在某区间内的个别点处导数等于零，但函数在该区间内仍是单调增加（或单调减少）.如函数3x y =的导数23x y ='，在0=x 时，0='y ，但它在区间),(+∞-∞内是单调增加.例1 判定函数13--=-x ey x的单调性.解 因为函数的定义域为),(+∞-∞，其导数为3--='-xe y ，所以在整个定义域内都有0<'y ，故函数13--=-x e y x 在定义域内单调减少.有时，函数在其整个定义域上不具有单调性，但在其各个部分区间上却具有单调性，如图3-3所示. 函数)(x f 在区间],[],,[21b x x a 上单调增加，而 在区间],[21x x 上单调减少，且从图3-3上容易看到，可导函数)(x f 在单调增加、减少的分界点处的导数为零，即0)()(21='='x f x f使导数等于零的点（即方程0)(='x f 的实根），叫做函数)(x f 的驻点.因此要确定可导函数)(x f 的单调区间，首先要求出驻点，然后用这些驻点将其定义域分成若干个区间，再在每个区间上判定函数的单调性.例2讨论函数)(x f x x x 2213123-+=的单调性 解 因为)1)(2(2)(2-+=-+='x x x x x f ，令0)(='x f ，得驻点1,221=-=x x .这两点将)(x f 的定义域),(+∞-∞分成三个部分：),1(),1,2(),2,(+∞---∞，下面用列表的形式来进行讨论，（表中“ ”表示单调增加，“ ”表示单调减少）根据上面的讨论可得：函数)(x f 在区间)2,(--∞和),1(+∞内单调增加，在区间（)1,2-内单调减少. 另外，还需注意函数的不定义点，或是连续而不可导点也可能是单调区间的分界点. 例3 确定函数32x y =的单调区间. 解 函数的定义域为),(+∞-∞，而332x y ='，显然当0=x 又函数没有驻点.但当0>x 时，有0>'y ，函数在区间),0(+∞内单调增加； 当0<x 时，有0<'y ，函数在区间)0,(-∞内单调减少. 二、函数的极值定义3.1 设函数)(x f 在),(0δx N 有定义，且对此邻域内任一点x )(0x x ≠均有)(x f )(0x f <，则称)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值；如果对此邻域内任一点x )(0x x ≠均有)(x f )(0x f >，则称)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值. 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点0x 称为极值点.从图3-5可知，关于函数的极值，应注意以下几点：（1） 函数的极大值和极小值是局部概念， 即如果)(0x f 是)(x f 的极值，只是对极值点0x 的左右近旁一个小范围来讲的.（2）函数在一个区间上可能会有几个极大值和几个 极小值，且其中的极大值未必比极小值要大. 如图3-5， 极大值)(1x f 就比极小值)(5x f 还要小.（3）函数的极值只能在区间内部取到.求极值的关键是找出极值点，从图3-5中看到，对可导函数来讲，在取得极值处，曲线的切线是水平的，即在极值点处函数的导数为零.但反之不成立.如0)(3='x f .定理2（极值存在的必要条件） 设函数)(x f 在点0x 处导数存在，且在0x 处取得极值，则函数)(x f 在0x 处的导数0)(0='x f ，即0x 是函数)(x f 的驻点.注意，定理3.5仅是极值存在的必要条件，而非充分条件.如函数3x y =，在0=x 处有00='=x y ，但00==x y不是极值.该定理说明可导函数的极值点必是驻点，而驻点却未必是极值点.对于一个连续函数，它的极值点还可能是使导数不存在的点.如)(x f ||x =，显然，)0(f '不存在. 但0=x 且是它的一个极小值点，在||)(x x f =图形上，)0,0(称为曲线的尖点.因此，连续函数有可能取得极值的点是驻点与尖点. 但问题是这些点满足什么条件才能为极值点，观察图3-5，得下面判定函数极值的一个充分条件.定理 3 （极值存在第一充分条件） 设函数)(x f 在点0x 连续，在),ˆ(0δx N 内可导（0x 可除外），当x 由小增大经过0x 时，如果：（1）)(x f '的符号由正变负，则)(x f 在点0x 处取得极大值； （2）)(x f '的符号由负变正，则)(x f 在点0x 处取得极小值； （3）)(x f '的符号不变，则)(x f 在点0x 处取不到极值.证明 （1）由条件，)(x f 在点0x 左近旁单调增加，在点0x 右近旁单调减少，即当0x x <时，有)()(0x f x f <，当0x x >时，有)()(0x f x f <，因此)(x f 在点0x 处取到极大值.同理可证明结论（2）、（3）.此外还可利用二阶导数来判定极值.定理4（极值存在的第二充分条件）设函数)(x f 在),(0δx N 内有二阶导数)(x f ''存在且连续，又0)(0='x f ，如果（1）0)(0<''x f ，则)(x f 在0x 处取得极大值；（2）0)(0>''x f ，则)(x f 在0x 处取得极小值.（证明从略） 例4 求函数322)4()(-=x x f 的极值.解 因为)2(434)(32±≠-='x x x x f ， 令 0)(0='x f ，得驻点 0=x ，所以函数有驻点0=x ，尖点2±=x列表考察)(x f '的符号故当=x 0时，函数)(x f 有极大值316， 当=x 2±时，函数)(x f 有极小值0. 例5 求函数x x x f sin 23)(+=在区间]2,0[π内的及值 解 因为x x f cos 23)(+='，x x f sin 2)(-=''.令 0)(0='x f ，得驻点 67,6521ππ==x x 而01)65(<-=''πf ，所以=)65(πf 1635+π为极大值； 01)67(>=''πf ，所以1637)67(-=ππf 为极小值. 例6 求函数)(x f =1)1(32+-x 的极值.解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞ 32)1(6)(-='x x x f 由0)(0='x f ，得驻点1,0,1321==-=x x x . 列表：故函数)(x f 在0=x 处有极小值0)0(=f ，而1,131=-=x x 不是极值点.三、函数的最值问题在实际生活中，常会遇到：在一定条件下，怎样使“产量最高”、“用料最省”、“成本最低”、“耗时最少”等问题.这一类问题在数学上可归结为函数的最大值、最小值.因为在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 一定存在最大值和最小值. 由于函数的最值可在区间内部取到，也可在区间的端点上取到，如果是在区间内部取到，那么这个最值一定是函数的极值，因此求)(x f 在区间],[b a 上的最值，可求出一切可能的极值点（驻点及尖点）和端点处的函数值，进行比较，其中最大者就是函数的最大值，最小者就是函数的最小值.例7 求函数6424+-=x x y 在区间]3,3[-上的最大值和最小值. 解 因为x x y 843-='令,0='y 得驻点 2,0,2321==-=x x x因此 51,6,232===±==±=x x x yyy而.经比较，得函数的最大值为51=y如果函数)(x f 在一个开区间内连续且有惟一的极值点0x ，则当)(0x f 为极大值时，)(0x f 就是)(x f 在该区间上的最大值；当)(0x f 为极小值时，)(0x f 就是)(x f 在开区间上的最小值（见图3-7）.例8 求函数1)1()(32+-=x x f.解 由例6可知，0=x 是函数)(x f 极小值点，且在整个定义域中极值点是惟一的，故 函数的极小值就是函数的最小值，为0)0(=f ，不存在最大值.下面讨论求最值的应用题.在实际问题中，往往可以根据实际情况断定函数)(x f 在其定义区间内确有最值存在，而当可导函数)(x f 在这定义区间内又只有惟一的驻点0x ，则可断定)(x f 在点0x 处取到了相应的最值.例9 有一块长为a ，宽为a 83的长方形铁片，将它的四角各剪去一个 大小相同的小正方形，四边折起，做成一个无盖的长方盒，问截去的小正方形的边长为多少时，其容积最大.解 如图3-8，设小正方形的边长为x ，则其容积为x a ax x x a x a x x V 223834114)283)(2()(+-=--=， （a x 1630<<） )83)(121(128321112)(22a x a x a ax x x V --=+-='得驻点 a x 1211=，a x 832=（舍），所以a x 1211=是惟一的驻点，又该实际问题的最值一定存在，故当小正方形的边长为a x 1211=时，长方体的容积最大. 例10 设铁路边上离工厂C 最近的点A 距工厂20km ，铁路边上B 城距A 点200km ，现要在铁路线AB 上选定一点D 修筑一条公路，已知铁路与公路每吨千米的货运费之比为3：5，问D 选在何处时，才能使产品从工厂C 运到B 城的每吨货物的总运费最省？（图3-9）解 设D 点选在距离A 处x 千米，又设铁路与公路的每吨千米货运费分别为k k 5,3（k 为常数）则产品从C 处运到B 城的每吨总运费为BD k CD k y ⋅+⋅=35)200(340052x k x k -+= )2000(≤≤x因为，222400)40035(34005xx x k k xx ky ++-=-+='令0='y ，即240035x x +=，得15=x .将 k yx 68015==，与闭区间]200,0[端点处的函数值比较，由于k yx 7000==，k k yx 1000404005200>==，因此，当D 点选在距离A 点km 15处，这时每吨货物的总运费最省.习题1、 求下列函数的单调区间：（1）x xe y =； （2）7186223---=x x x y ； （3）)1ln(+-=x x y ； （4）322)1()12(x x y --=. 2、 求下列函数的极值：（1）1156)(23+-+=x x x x f ； （2）4334)(x x x f -=；（3）32)1()(x x x f -=； （4）)20(,cos sin )(π≤≤+=x x x x f . 3、 已知函数bx ax x x f ++=23)(在1=x 处有极值12-，试确定系数b a ,的值. 4、 求下列函数在给定区间上的最值： （1）,62)(24+-=x x x f ]3,2[-； （2）4)1()(+=x x f ， ),(+∞-∞.。
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例2 确定函数 f ( x) 2x 3 9x 2
12x 3的单调区间.
解 D : (,).
f ( x) 6x2 18x 12 6( x 1)(x 2) 解方程f ( x) 0 得， x1 1, x2 2. 当 x 1时， f ( x) 0, 在(,1]上单调增加； 当1 x 2时， f ( x) 0, 在[1,2]上单调减少；
如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极大值;
如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
当0 x 时， f ( x) 0, 在[0,)上单调增加；
单调区间为 (,0]， [0,).
注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, y x3, y x0 0, 但在(,)上单调增加. 例4 当x 0时,试证x ln(1 x)成立. 证 设f ( x) x ln(1 x), 则 f ( x) x .
oa
bx
f ( x) 0
定理 设函数 y f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可
导（. 1）如果在(a, b)内f ( x) 0，那末函数 y f ( x)
在[a, b]上单调增加；(2) 如果在(a, b)内 f ( x) 0，
那末函数 y f ( x)在[a, b]上单调减少.
有 f '( x) 0，则 f ( x)在x0 处取得极小值.
(3)如果当 x ( x0 , x0 )及 x ( x0 , x0 )时, f '( x)
符号相同,则 f ( x) 在x0 处无极值.
y
y
o
x0
xo
x0
x (是极值点情形)
y
y
o
x0
xo
求极值的步骤:
x0
x
(不是极值点情形)
二、单调区间求法
问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点． 方法:用方程 f ( x) 0的根及 f ( x)不存在的点 来划分函数 f ( x)的定义区间,然后判断区间内导 数的符号.
当2 x 时， f ( x) 0, 在[2,)上单调增加；
单调区间为 (,1]， [1,2]，[2,).
例3 确定函数 f ( x) 3 x2 的单调区间.
解 D : (,).
f ( x) 2 , 33 x
( x 0)
当x 0时,导，f ( x) 0, 在(,0]上单调减少；
第三节 函数的单调性及极值
Function monotony and extreme value
• 一、单调性的判别法 • 二、单调区间求法 • 三、函数极值的定义 • 四、函数极值的求法 • 五、小结 思考题
一、单调性的判别法
y
y f (x) B
A
yA y f (x) B
oa
bx
f ( x) 0
但函数的驻点却不一定是极值点. 例如, y x3, y x0 0, 但x 0不是极值点.
定理2(第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 ),
有 f '( x) 0，则 f ( x)在x0 处取得极大值.
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
证 x1, x2 (a,b), 且 x1 x2 , 应用拉氏定理,得
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) ( x1 x2 )
x2 x1 0,
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调增加.
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调减少.
例1 讨论函数y ex x 1的单调性.
解 y e x 1.又 D : (,).
在(,0)内, y 0,
函数单调减少； 在(0,)内, y 0, 函数单调增加. 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
(1) 求导数 f ( x);
(2) 求驻点，即方程 f ( x) 0的根; (3) 检查 f ( x) 在驻点左右的正负号,判断极值点;
(4) 求极值.
例1 求出函数 f ( x) x3 3x2 9x 5 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 9 3( x 1)(x 3) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
x (,1) 1 (1,3) 3 (3,)
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
四、函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x)在点x0 处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0. 定义 使导数为零的点(即方程 f ( x) 0 的实根)叫 做函数 f ( x) 的驻点. 注意: 可导函数 f ( x) 的极值点必定是它的驻点,
1 x f ( x)在[0,)上连续,且(0,)可导，f ( x) 0,
在[0,)上单调增加； f (0) 0,
当x 0时，x ln(1 x) 0, 即 x ln(1 x).
三、函数极值的定义
y
y f (x)
a o x1
x2 x3
x4
b x5 x6
x
y
y
o
x0
x
o
x0
x
定义 设函数f ( x)在区间(a,b)内有定义, x0是 (a , b)内 的 一 个 点,