1.6 三角函数模型简单应用练习题(解析版)
1-6三角函数模型的简单应用
1-6三角函数模型的简单应用一、选择题1．电流I (A)随时间t (s)变化的关系是I ＝3sin100πt ，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的周期是( )A.150 B ．50 C.1100 D ．100 [答案] A2．如图，是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙点的位置将处于图中的( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁[答案] D3．如图表示电流强度I 与时间t 的关系I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0)在一个周期内的图象，则该函数的解析式为( )A ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt ＋π3 B ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt －π3 C ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3 D ．I ＝300sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt －π3[答案] C[解析] 由图象得周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1150＋1300＝150，最大值为300，经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1150，0， 则ω＝2πT ＝100π，A ＝300， ∴I ＝300sin(100πt ＋φ)． ∴0＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π×1150＋φ. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，取φ＝π3.∴I ＝300sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3.4．在△ABC 中，sin A ＝32，则∠A ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.π3或2π3[答案] D5．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式是s ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于( )A.g πB.g 2πC.g π2D.g 4π2[答案] D[解析] 因为周期T ＝2πg l ，所以g l ＝2πT ＝2π， 则l ＝g 4π2.6．如图为一半径为3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮自点A 开始1 min 旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A ．ω＝2π15，A ＝3 B ．ω＝152π，A ＝3 C ．ω＝2π15，A ＝5 D ．ω＝152π，A ＝5[答案] A[解析] 由于每分钟转4圈，故T ＝14min ＝15 s ， ∴ω＝2πT ＝2π15.又半径为3，故A ＝3.7．电流强度I (安培)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)的图象如图所示，则t 为7120(秒)时的电流强度为()A ．0B ．－52C ．102D ．－10 2 [答案] A[解析] 由图知，A ＝10，函数的周期 T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4300－1300＝150， 所以ω＝2πT ＝2π150＝100π，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1300，10代入I ＝10sin(100πt ＋φ)得φ＝π6，故函数解析式为I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6，再将t ＝7120代入函数解析式得I ＝0.8．设y ＝f (x )是某港口水的深度y (m)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0到24时记录的时间t 与水深y 的关系：ωt ＋φ)＋k 的图象．下面的函数中，最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是( )A ．y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0,24]B ．y ＝12＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π，t ∈[0,24]C ．y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0,24] D ．y ＝12＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π2，t ∈[0,24] [答案] A[解析] 由已知数据，易得y ＝f (t )的周期T ＝12. ∴ω＝2πT ＝π6.由已知易得振幅A ＝3，k ＝12， 又t ＝0时，y ＝12， ∴令π6×0＋φ＝0得φ＝0，故y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0,24]．故选A. 二、填空题9．已知x ∈(0,2π)，cos x ＝－22，则x ＝________. [答案] 3π4或7π410．如图为某简谐运动的图象，这个简谐运动需要________s 往返一次．[答案] 0.8[解析] 由图象知周期T ＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8 s 往返一次．11．如图某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b .(1)这一天的最大用电量为________万度，最小用电量为________万度；(2)这段曲线的函数解析式为________． [答案] (1)50 30(2)y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14] [解析] (1)由图象得最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．(2)观察图象可知，从8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40， ∵12×2πω＝14－8，∴ω＝π6，∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40.将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6，∴所求解析式为y ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．12．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，则f (x )＝________.[答案] 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋6[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝8，－A ＋B ＝4，解得A ＝2，B ＝6.周期T ＝2(7－3)＝8，∴ω＝2πT ＝π4.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ＋6.又当x ＝3时，y ＝8，∴8＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＋6.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1，取φ＝－π4.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋6.三、解答题13．每当你的心脏跳动时，血压就会升高，而在两次跳动之间，血压就会降低，某人的血压与时间的关系可由函数p(t)＝90＋20sin120πt来模拟．(1)求此函数的振幅、周期和频率；(2)画出此函数的图象；(3)如果一个人正在锻炼，他的心脏跳动加快了，这会怎样影响p 的周期和频率？[解析](1)振幅为20，周期T＝2π120π＝160，频率f＝1T＝60(2)(3)周期变小，而频率变大14．如图点P是半径为r cm的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s做圆周运动．求点P 的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求点P的运动周期和频率．[解析] 当质点P 从点P 0转到点P 位置时，点P 转过的角度为ωt .则∠POx ＝ωt ＋φ.由任意角的三角函数得点P 的纵坐标为y ＝r sin(ωt ＋φ)．∴所求的函数关系式为y ＝r sin(ωt ＋φ)． 点P 的运动周期为T ＝2πω，频率f ＝1T ＝ω2π.15．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg 和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p (t )的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数；(3)求出此人的血压和血压计上的读数，并与正常值比较． [解析] (1)T ＝2π|ω|＝2π160π＝180min. (2)f ＝1T ＝80次．(3)p (t )max ＝115＋25＝140 mmHg ， p (t )min ＝115－25＝90 mmHg.即收缩压为140 mmHg ，舒张压为90 mmHg ，比正常值高． 16．如图，牡丹江市某天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π2)．(1)求这一天最大的温差； (2)求这段曲线的函数解析式．[解析] (1)由图象得这一天的最高温度是－2℃，最低温度是－12℃，则这一天最大的温差是－2－(－12)＝10(℃)．(2)由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝－2，－A ＋b ＝－12，解得A ＝5，b ＝－7.由图象得函数的周期T ＝2(14－6)＝16， 则2πω＝16，解得ω＝π8.所以y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ－7. 由图象知点(10，－7)在函数的图象上，则－7＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×10＋φ－7， 整理得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋φ＝0， 又|φ|<π2，则φ＝－π4. 则这段曲线的函数解析式是y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －π4－7(6≤x ≤14)．。
高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用(2)练习(含解析)新人教A版必修4
1.6 三角函数模型的简单应用 （二）一、选择题：1. 已知某人的血压满足函数解析式f (t )＝24sin 160πt ＋110.其中f (t )为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )A ．60B ．70C ．80D ．90【答案】 C【解析】 由题意可得f ＝1T ＝160π2π＝80，所以此人每分钟心跳的次数为80，故选C 项． 2．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s (cm)和时间t (s)的函数关系式为s ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6，那么单摆摆动一个周期所需的时间为( )A ．2π sB ．π sC ．0.5 sD ．1 s【解析】 依题意是求函数s ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6的周期，T ＝2π2π＝1，故选D 项． 【答案】 D3．函数f (x )的部分图象如图所示，则下列选项正确的是( )A ．f (x )＝x ＋sin xB ．f (x )＝cos x xC ．f (x )＝x cos xD ．f (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π2 【解析】 观察图象知函数为奇函数，排除D 项；又函数在x ＝0处有意义，排除B 项；取x ＝π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，A 项不合适，故选C 项．【答案】 C4．下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表：月份 1 234 5 6 7 8 9 10 11 12 平均温度 －5.9 －3.32.2 9.3 15.1 20.3 22.8 22.2 18.2 11.9 4.3－2.4 则适合这组数据的函数模型是( )A ．y ＝a cos πx 6B ．y ＝a cos （x －1）π6＋k (a ＞0，k ＞0) C ．y ＝－a cos （x －1）π6＋k (a ＞0，k ＞0) D ．y ＝a cos πx 6－3 【答案】 C【解析】 当x ＝1时图象处于最低点，且易知k ＝－5.9＋22.82＞0.故选C ． 二、填空题：5.如图，点P 是半径为r 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P 0开始，按逆时针方向以角速度ω(rad/s)做圆周运动，则点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系式为________．【答案】 y ＝r sin(ωt ＋φ)【解析】 当质点P 从P 0转到点P 位置时，点P 转过的角度为ωt ，则∠POx ＝ωt ＋φ，由任意角的三角函数定义知P 点的纵坐标y ＝r sin(ωt ＋φ)．6.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y a =+()()πcos 61,2,3,,126A x x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⋯来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为________℃.【解析】由题意可知281852A -==，2818232a +==. 从而()π5cos 6236y x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦故10月份的平均气温为π5cos 42320.56y ⎛⎫=⨯+=⎪⎝⎭℃三、解答题7.如果某地夏天从814～时用电量变化曲线近似满足函数()sin y A x b ωϕ=++，其图象如图所示．(1)求这一天的最大用电量和最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式．【答案】(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度 (2)[]ππ10sin 40,8,1466y x x ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭【解析】(1)观察题中图象知最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．(2)观察图象可知，半个周期为14862T=-=，∴12T =.2ππ6T ω==，()15030402b =⨯+=，()15030102A =⨯-=， ∴π10sin 406y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 将8x =，30y =代入上式，解得π6ϕ=. ∴所求解析式为[]ππ10sin 40,8,1466y x x ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭．。
1-6 三角函数模型的简单应用
基 础 巩 固一、选择题1．电流强度I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200s 时，电流强度I 为( )A ．5 AB ．2.5 AC ．2 AD ．－5 A[答案] B[解析] 将t ＝1200代入I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3 得I ＝2.5 A.2．(安徽高考)动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t ＝0时，点A 的坐标是(12，32)，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是( )A ．[0,1]B ．[1,7]C ．[7,12]D ．[0,1]和[7,12] [答案] D[解析] 由已知可得该函数的周期为T ＝12， ω＝2πT ＝π6，又当t ＝0时，A (12，32)，∴y ＝sin(π6t ＋π3)，t ∈[0,12]，可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．3．(新课标全国卷)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )[答案] C[解析] P 从P 0出发，逆时针运动，t ＝0时，d ＝2，t 与d 满足关系式d ＝2sin(t －π4)(t ≥0)．所以选择C.4．如图所示为一简谐振动的图象，则下列判断正确的是( )A ．该质点的振动周期为0.7 sB ．该质点的振幅为5 cmC ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时振动速度最大D ．该质点在0.3 s 和0.7 s 时的加速度为零 [答案] B5．在△ABC 中，sin A ＝32，则∠A ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.π3或2π3[答案] D6．如图，是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙点的位置将处于图中的( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁[答案] D 二、填空题7．振动量y ＝2sin(ωx ＋φ)(φ<0)的初相和频率分别为－π和32，则它的相位是________．[答案] 3πx －π[解析] 由题φ＝－π，f ＝1T ＝32＝ω2π ∴ω＝3π∴y ＝3sin(3πx －π)．相位是3πx －π.8．(山东临沂12－13高一)某城市一年中12个月的平均气温与月份关系可近似用三角函数y ＝a ＋A cos[π6(x －6)](x ＝1,2,3，……12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.[答案] 20.5 三、解答题9．单摆从某点开始左右摆动，它离开平衡位置的位移s (厘米)和时间t (秒)的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫πt ＋π6.求：(1)单摆开始振动(t ＝0)时离开平衡位置的位移； (2)单摆离开平衡位置的最大位移． [解析] (1)当t ＝0秒时，s ＝6sin π6＝3 cm.(2)当t ＝13秒时，位移最大，s ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝6 cm.10．如图所示，摩天轮的半径为40 m ，O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速转动，每3 min 转一圈，摩天轮上的P 点的起始位置在最低点处．(1)试确定在时刻t 分时P 点距离地面的高度；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间P 点距离地面超过70 m?[解析] (1)以中心O 为坐标原点建立如图所示的坐标系，设t 分时P 距地面高度为y ，依题意得y ＝40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t －π2＋50.(2)令40sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t －π2＋50>70，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t －π2>12，∴2k π＋π6<2π3t －π2<2k π＋5π6， ∴2k π＋2π3<2π3t <2k π＋4π3， ∴3k ＋1<t <3k ＋2.令k ＝0得1<t <2.因此，共有1 min距地面超过70 m.。
16三角函数模型简单应用练习及参考答案
1.6 三角函数模型简单应用练习题：1．你能利用函数sin y x =的奇偶性画出图象吗？它与函数sin y x =的图象有什么联系？2．已知：1sin 2α=-，若(1),22ππα∈-⎛⎫⎪⎝⎭； (2)(0,2)απ∈；(3)α是第三象限角；(4)α∈R ．分别求角α。
3．已知[]0,2θπ∈, sin ,cos θθ分别是方程210x kx k -++=的两个根，求角θ．4．设A 、B 、C 、D 是圆内接四边形ABCD 的四个内角，求证： （1）sin A ＝sin C ；（2）cos （A ＋B ）＝cos （C ＋D ）； （3）tan （A ＋B ＋C ）＝－tan D ．5．某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元，该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设商店每月购进这种商品m 件，且当月销完，你估计哪个月份盈利最大?6．把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上几圈．用剪刀斜着．．将纸筒剪断，再把卷着的纸展开，你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线，试一试动手操作一下.它是正弦曲线吗？7．如图，铁匠师傅在打制烟筒弯脖时，为确保对接成直角，在铁板上的下剪线正好是余弦曲线：cos xy a a=的一个周期的图象，问弯脖的直径为12 cm 时，a 应是多少cm ?8．已知函数f (x )=x 2cos 12-，试作出该函数的图象，并讨论它的奇偶性、周期性以及区间[0，2π]上的单调性。
9、（14分）如图，扇形AOB 的半径为2，扇形的圆心角为4π，PQRS 是扇形的内接矩形，设∠AOP=θ， （1） 试用θ表示矩形PQRS 的面积y ；（2）利用正、余弦的和（差）与倍角公式化简矩形面积表达式y.10.某人用绳拉车沿直线方向前进100米,若绳与行进方向的夹角为30°,人的拉力为20牛,则人对车所做的功为多少焦.11．某港口水的深度y （米）是时间t ，单位：时）（24t 0≤≤，记作y=f(x),下面是某日水深的数据：经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数b t Asin y +=ϖ的图象。
1.6三角函数模型的简单应用
作业
课本65页练习
例2、画出函数 | sinx | 的图象, y 并观察周 期性和奇偶性.
G S P
变式1、画出函数 sin | x | 的图象, y 并观察 周期性和奇偶性.
G S P
例3、设地球表面某地 正午太阳高度角为 , 为此时 θ δ 太阳直射纬度, 为该地的纬度值, 则这三个量之间 的关系是θ 90 0 | δ | .当地夏半年 取正值, δ 冬半
0 年取负值.若在北京地 区(纬度约为北纬40)的一幢
高为h0的楼房北面盖一新楼, 要使新楼一层正午的 太阳全年不被前面的楼 房遮挡, 两楼的距离应不小 于多少.
h0Байду номын сангаас
230 26'
00
230 26' 400 A
B
C
小结
本 节 课 我 们 学 习 了 正、 负 角 角 和 零 角 的 概 念 ， 要 注如 果 角 的 终 意 边 在 坐 标 轴 上 ， 就 认这 个 角 不 属 为 于 任 何 象 限 ， 本 节 课重 点 是 学 习 的 终 边 相 同 的 角 的 表 示。 法 判断一个角是第几象限角的方法。 数 形 结 合 思 想 、 运 动化 观 点 的 应 用 变
§ 1.6 三角函数模型的 简单应用
引入
如果某种变化着的现象 具有周 期性, 那么它就可以借助三角 函数来 描述.
新课
例1、某地一天从 ~ 14时的温度变化曲线 6 近似满足如图函数 Asin(ωs ) b. y
(1)求这一天 ~ 14时的最大温差; 6
(2)求这段曲线的函 数解析式.
T/度 30
20
10
o
6
高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用练习(含解析)新人教A版必修4
第15课时 三角函数模型的简单应用1．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin ωt ＋π6(A >0，ω≠0)的图象如图所示，则当t ＝150秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安 答案 B解析 由图象可知A ＝10，T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫4300－1300＝150，∴2πω＝150，∴ω＝100π．∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6． 当t ＝150秒时，I ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100π×150＋π6＝5(安)．2．弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间t (s)内离开平衡位置(静止时的位置)的距离h (cm)由下面的函数关系式表示：h ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π4．(1)求小球开始振动的位置；(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置； (3)经过多长时间小球往返振动一次？ (4)每秒钟内小球能往返振动多少次？解 (1)令t ＝0，得h ＝3sin π4＝322，所以小球开始振动的位置为离开平衡位置向上322cm 处．(2)由题意知，t ∈[0，2π)，当h ＝3时，t ＝π8，即最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3；当h ＝－3时，t ＝5π8，即最低点为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8，－3．(3)T ＝2π2＝π≈3．14，即每经过约3．14秒小球往返振动一次．(4)f ＝1T≈0．318，即每秒内小球往返振动约0．318次．3．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )答案 C解析 ∵P 0(2，－2)，∴∠P 0Ox ＝π4．按逆时针转时间t 后得∠POP 0＝t ，∠POx ＝t －π4，此时P 点纵坐标为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4，∴d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4．当t ＝0时，d ＝2，排除A ，D两项；当t ＝π4时，d ＝0，排除B 项，故选C ．4．如图所示的图象显示的是相对平均海平面的某海湾的水面高度y (m)在某天24小时内的变化情况，则水面高度y 关于从夜间0时开始的时间x 的函数关系式为________，x ∈[0，24]．答案 y ＝－6sin π6x解析 将其看成函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，由图象知，A ＝6，T ＝12，∴ω＝2πT＝π6．将(6，0)看成函数图象的第一个特殊点，则π6×6＋φ＝0，∴φ＝－π．∴函数关系式为y ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6x －π＝－6sin π6x ．5．以一年为一个周期，调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦型函数y 1波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月份随正弦型函数y 2波动的，并已知5月份销售价格最高为10元，9月份销售价格最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m 件，且当月售完，请分别求出y 1，y 2关于第x 月份的函数解析式．解 设y 1＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意知B ＝6．∵3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元， ∴A ＝2，T ＝2×(7－3)＝8＝2πω，∴ω＝π4． 则y 1＝2sin π4x ＋φ＋6，将点(3，8)代入得φ＝－π4，故y 1＝2sin π4x －π4＋6(1≤x ≤12)．同理可得y 2＝2sin π4x －3π4＋8(1≤x ≤12)．之间依正弦型曲线变化．(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数解析式(其中t 以年初以来经过的月份数为计量单位)；(2)估计当年3月1日动物种群数量． 解 (1)设动物种群数量y 关于t 的解析式为y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A >0，ω>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋b ＝700，A ＋b ＝900，解得A ＝100，b ＝800．又周期T ＝2×(6－0)＝12，所以ω＝2πT ＝π6，所以y ＝100sin π6t ＋φ＋800．又当t ＝6时，y ＝900，所以900＝100sin π6×6＋φ＋800，所以sin(π＋φ)＝1， 所以sin φ＝－1， 所以取φ＝－π2．所以y ＝100sin π6t －π2＋800．(2)当t ＝2时，y ＝100sin π6×2－π2＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750．7．如图所示，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，4]的图象，且图象的最高点为S (3，23)，赛道的后一部分为折线段MNP ．为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°．求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离．解 依题意，有A ＝23，T4＝3，又T ＝2πω，∴ω＝π6．∴y ＝23sin π6x ，x ∈[0，4]．∴当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3．∴M (4，3)．又P (8，0)， ∴MP ＝－2＋－2＝42＋32＝5(km)．即M ，P 两点间的距离为5 km ．一、选择题1．电流强度I (A)随时间t (s)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)A >0，ω>0，0<φ<π2的图象如图所示，则当t ＝1100s 时，电流强度是( ) A ．－5 A B ．5 A C ．5 3 A D ．10 A 答案 A解析 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴T ＝150，∴ω＝2πT＝100π，∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．又1300，10在图象上，∴100π×1300＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ．又0<φ<π2，∴φ＝π6．∴I ＝10sin100πt ＋π6，当t ＝1100s 时，I ＝－5 A ，故选A ．2．如图为甲地某天中6 h 至14 h 的温度变化曲线，其近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋bA >0，ω>0，π2<φ<π的半个周期的图象，则该天8 h 的温度大约为( )A ．16 ℃ B．15 ℃ C．14 ℃ D．13 ℃ 答案 D解析 由题意得A ＝12×(30－10)＝10，b ＝12×(30＋10)＝20，∵2×(14－6)＝16，∴2πω＝16，∴ω＝π8，∴y ＝10sin (π8x ＋φ )＋20，将x ＝6，y ＝10代入，得 10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×6＋φ＋20＝10，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝－1，由于π2<φ<π，可得φ＝3π4，∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6，14]．当x ＝8时，y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×8＋3π4＋20＝20－52≈13，即该天8 h 的温度大约为13 ℃，故选D ．3．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l ) 的图象大致是( )答案 C解析 如图，过点O 作OD ⊥AP 于D ，由题意知，∠AOD ＝l 2，OA ＝1，AD ＝d 2，∴sin l 2＝d2，即d ＝2sin l2．结合图象知选C ．4．已知x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)是函数f (x )＝cos x 与函数g (x )＝m 的图象在区间π2，3π内的三个不同交点的横坐标，且满足x 22＝x 1·x 3，则实数m 的值为( )A ．－12B ．12C ．－22D ．22答案 A解析 在同一直角坐标系中作出函数f (x )＝cos x 与函数g (x )＝m 的图象，如图所示．则由图象可知x 1＋x 2＝2π，且x 2＋x 3＝4π．结合x 22＝x 1·x 3(x 1<x 2<x 3)，可得x 1＝2π3，x 2＝4π3，x 3＝8π3，则m ＝f 2π3＝f 4π3＝f 8π3＝－12，故选A ． 5．某市某房地产中介对某楼群在今年的房价作了统计与预测，发现每个季度的平均单价y (每平方米的价格，单位：元)与第x 季度之间近似满足y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9500(ω>0)，已知第1季度和第2季度的平均单价如下表所示．则此楼群在第3季度的平均单价大约是( ) A ．10000元 B ．9500元 C ．9000元 D ．8500元 答案 C解析 因为y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9500(ω>0)，所以当x ＝1时，500sin(ω＋φ)＋9500＝10000；当x ＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9500＝9500，即⎩⎪⎨⎪⎧ω＋φ＝0，ω＋φ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2ω＋φ＝m π，m ∈Z ，ω＋φ＝π2＋2n π，n ∈Z ，易得3ω＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ．又当x ＝3时，y ＝500sin(3ω＋φ)＋9500，所以y ＝9000． 二、填空题6．一树干被台风吹断，折成60°角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度为________米．答案 20 3解析 如图所示，在Rt △ABC 中，AC ＝20米，∠B ＝60°，∴sin B ＝AC BC ，∴BC ＝ACsin B ＝20sin60°＝4033．又AB ＝12BC ＝2033，∴树干高为AB ＋BC ＝203(米)．7．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A ，B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝________，其中t ∈[0，60]．答案 10sin π60t解析 解析式可写为d ＝A sin(ωt ＋φ)形式，由题意易知A ＝10，当t ＝0时，d ＝0，得φ＝0；当t ＝30时，d ＝10，可得ω＝π60，所以d ＝10sin π60t ．8．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin π6x ＋φ＋k ．据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________m ．答案 8解析 由题图可知－3＋k ＝2，得k ＝5， ∴y ＝3sin π6x ＋φ＋5，∴y max ＝3＋5＝8．三、解答题9．下表是某地某年月平均气温(单位：．以月份为x 轴，x ＝月份－1，以平均气温为y 轴． (1)描出散点图；(2)用正弦曲线去拟合这些数据； (3)这个函数的周期是多少？ (4)估计这个正弦曲线的振幅A ；(5)下面四个函数模型中，最适合这些数据的是________．①y A ＝cos π6x ；②y －46A ＝cos π6x ；③y －46－A ＝cos π6x ；④y －26A ＝sin π6x ． 解 (1)(2)如图所示：(3)1月份的气温最低，为21．4 7月份气温最高，为73．0据图知，T2＝7－1＝6，∴T ＝12．(4)2A ＝最高气温－最低气温＝73．0－21．4＝51．6，∴A ＝25．8． (5)∵x ＝月份－1，∴不妨取x ＝2－1＝1，y ＝26．0，代入①，得y A ＝26.025.8>1≠cos π6，∴①错误；代入②，得y －46A ＝26.0－4625.8<0≠cos π6，∴②错误；同理④错误．∴本题应选③．10．如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40．5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)求出你与地面的距离y (米)与时间t (分钟)的函数关系； (2)当你第4次距离地面60．5米时，用了多长时间？ 解 (1)由已知可设y ＝40．5－40cos ωt (t ≥0)，由周期为12分钟可知，当t ＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值， 所以6ω＝π，即ω＝π6．所以y ＝40．5－40cos π6t (t ≥0)．(2)设转第1圈时，第t 0分钟时距地面60．5米． 由60．5＝40．5－40cos π6t 0，得cos π6t 0＝－12，所以π6t 0＝2π3或π6t 0＝4π3，解得t 0＝4或t 0＝8．所以t ＝8(分钟)时，第2次距地面60．5米，故第4次距离地面60．5米时，用了12＋8＝20(分钟)．。
人教A数必修4能力提升：1.6 三角函数模型的简单应用(含答案解析)[ 高考]
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1．有一冲击波，其波形为函数y ＝－sin(π2x )的图象，若其区间[0，t ]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C.由y ＝－sin(π2x )的图象知，要想在区间[0，t ]上至少有2个波峰，必须使区间[0，t ]的长度不小于2T －T 4＝7T 4，即t ≥74·2πω＝74·2ππ2＝7，故选C. 2．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，则f (x )＝________.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝8，－A ＋B ＝4，解得A ＝2， B ＝6. 周期T ＝2(7－3)＝8，∴ω＝2πT ＝π4. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ＋6. 又当x ＝3时，y ＝8，∴8＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＋6.∴sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝1，取φ＝－π4. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋6.答案：2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋63．已知方程sin(x ＋π3)＝m 2在[0，π]上有两个解，求实数m 的取值范围． 解：函数y ＝sin(x ＋π3)，x ∈[0，π]的图象如图所示，方程sin(x ＋π3)＝m 2在[0，π]上有两个解等价于函数y 1＝sin(x ＋π3)，y 2＝m 2在同一平面直角坐标系中的图象在[0，π]上有两个不同的交点， ∴32≤m 2<1，即实数的取值范围为3≤m <2. 4．已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作：y ＝f (t )(1)根据以上数据，求出函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；(2)根据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？解：(1)由表中数据，知周期T ＝12，∴ω＝2πT ＝π6. 由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5.又由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0，∴A ＝0.5，b ＝1.0，即振幅为12. ∴y ＝12cos π6t ＋1. (2)由题意知，当y >1时才对冲浪者开放，∴12cos π6t ＋1>1，∴cos π6t >0， ∴2k π－π2<π6t <2k π＋π2，即12k －3<t <12k ＋3. ∵0≤t ≤24，∴令k 分别为0,1,2，得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24，∴在规定时间上午8∶00时至晚上20∶00时之间有6个小时可供冲浪者进行活动，即上午9∶00至下午15∶00.。
人教a版必修4学案：1.6三角函数模型的简单应用(含答案)
1.6三角函数模型的简单应用自主学习知识梳理1．三角函数的周期性y＝A sin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________；y＝A cos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________；y＝A tan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________.2．函数y＝A sin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)的性质(1)y max＝________，y min＝________.(2)A＝__________，k＝__________.(3)ω可由__________确定，其中周期T可观察图象获得．(4)由ωx1＋φ＝______，ωx2＋φ＝__________，ωx3＋φ＝__________，ωx4＋φ＝__________，ωx5＋φ＝________中的一个确定φ的值．3．三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．自主探究结合三角函数图象的特点，思考后写出下列函数的周期．(1)y＝|sin x|的周期是________；(2)y＝|cos x|的周期是________；(3)y＝|tan x|的周期是________；(4)y＝|A sin(ωx＋φ)| (Aω≠0)的周期是________；(5)y＝|A sin(ωx＋φ)＋k| (Aωk≠0)的周期是____________________________________________________________________；(6)y＝|A tan(ωx＋φ)| (Aω≠0)的周期是__________．对点讲练知识点一从实际问题中提炼三角函数模型例1如图(1)所示为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h.(1)(1)求h与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式．回顾归纳如果实际问题中，某种变化着的现象具有一定的周期性，那么它就可以借助三角函数来描述，从而构建三角函数模型．变式训练1 如图所示，一个摩天轮半径为10 m ，轮子的底部在地面上2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时．(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.知识点二 三角函数模型在物理学科中的应用例2 交流电的电压E (单位：伏)与时间t (单位：秒)的关系可用E ＝2203sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6来表示，求：(1)开始时的电压；(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间．回顾归纳 三角函数模型在物理学科中有着广泛的应用．在应用三角函数知识解决物理问题时，应当注意从复杂的物理背景中提炼基本的数学关系，还要调动相关物理知识来帮助理解问题．变式训练2 如图表示电流I 与时间t 的函数关系式：I ＝A sin(ωt ＋φ)在同一周期内的图象．(1)据图象写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)为使I ＝A sin(ωt ＋φ)中t 在任意一段1100的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？知识点三 三角函数模型在实际问题中的应用t 小时＋B 的图象．(1)试根据数据表和曲线，求出y ＝A sin ωt ＋B 的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)回顾归纳 确定函数关系式y ＝A sin ωt ＋B ，就是确定其中的参数A ，ω，B 等，可从所给的数据中寻找答案．由于函数的最大值与最小值不是互为相反数，若设最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m2.变式训练3 设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A ．y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0,24]B ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋π，t ∈[0,24]C ．y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0,24]D ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π2，t ∈[0,24]1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．2．三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象． (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合． (3)利用三角函数模型解决实际问题．(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.课时作业一、选择题1. 如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )A.150 sB.1100s C ．50 s D ．100 s 2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)B ．f (x )＝9sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4(1≤x ≤12，x ∈N *) C ．f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *) 3．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于( ) A ．3或0 B ．－3或0 C ．0 D ．－3或34. 如图所示，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )二、填空题5．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫m 3x ＋π3的最小正周期在⎝⎛⎭⎫23，34内，则正整数m 的值是________． 6．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．7．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式时s ＝3cos ⎝⎛⎭⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于________．三、解答题8. 如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间．(1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数； (2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？§1.6 三角函数模型的简单应用答案知识梳理 1.2π|ω| 2π|ω| π|ω|2．(1)A ＋k －A ＋k (2)y max －y min 2 y max ＋y min 2 (3)ω＝2πT (4)0 π2 π 32π 2π3．周期 自主探究(1)π (2)π (3)π (4)π|ω| (5)2π|ω| (6)π|ω|对点讲练 例1 解(2)(1)由题意可作图如图(2)所示．过点O 作地面平行线ON ，过点B 作ON 的垂线BM 交ON 于M 点．当θ>π2时，∠BOM ＝θ－π2.h ＝|OA |＋0.8＋|BM |＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2； 当0≤θ≤π2时，上述解析式也适合．综上所述，h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2. (2)点A 在⊙O 上逆时针运动的角速度是π30，∴t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝4.8sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2＋5.6，t ∈[0，＋∞)． 变式训练1 解 (1)设在t s 时，摩天轮上某人在高h m 处．这时此人所转过的角为2π30t＝π15 t ，故在t s 时，此人相对于地面的高度为h ＝10 sin π15t ＋12(t ≥0)． (2)由10sin π15t ＋12≥17，得sin π15t ≥12，则52≤t ≤252. 故此人有10 s 相对于地面的高度不小于17 m. 例2 解 (1)当t ＝0时，E ＝1103(伏)， 即开始时的电压为1103伏．(2)T ＝2π100π＝150(秒)，即时间间隔为0.02秒．(3)电压的最大值为2203伏．当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300秒时第一次取得最大值．变式训练2 解 (1)由题图知，A ＝300，t 1＝－1300，t 2＝1150，∵T ＝2(t 2－t 1)＝2(1150＋1300)＝150，∴ω＝2πT＝100π.由ωt 1＋φ＝0知φ＝－ωt 1＝π3，∴I ＝300sin(100πt ＋π3)．(2)问题等价于T ≤1100，即2πω≤1100，也即ω≥200π，故最小正整数为ω＝629.例3 解 (1)从拟合的曲线可知，函数y ＝A sin ωt ＋B 的一个周期为12小时，因此ω＝2πT ＝π6. 又y min ＝7，y max ＝13，∴A ＝12(y max －y min )＝3，B ＝12(y max ＋y min )＝10.∴函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10 (0≤t ≤24)．(2)由题意，水深y ≥4.5＋7，即y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，t ∈[0,24]，∴sin π6t ≥12，π6t ∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6，k ＝0,1， ∴t ∈[1,5]或t ∈[13,17]，所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港． 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．变式训练3 A [在给定的四个选项A 、B 、C 、D 中我们不妨代入t ＝0及t ＝3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.]课时作业 1．A 2.A3．D [因为f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以直线x ＝π6是函数f (x )图象的对称轴． 所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6ω＋φ＝3sin ⎝⎛⎭⎫k π＋π2 ＝±3.因此选D.]4．C [d ＝f (l )＝2sin l2.]5．26,27,28解析 ∵T ＝6πm ，又∵23<6πm <34∴8π<m <9π，且m ∈Z ，∴m ＝26,27,28. 6．80解析 T ＝2π160π＝180(分)．f ＝1T＝80(次/分)．7.g 4π2 解析 T ＝2πgl＝1.∴ g l ＝2π.∴l ＝g4π2.8．解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角φ⎝⎛⎭⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π6. 由OP 在时间t (s)内所转过的角为⎝⎛⎭⎫5×2π60t ＝π6t .由题意可知水轮逆时针转动，得z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋2. 当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数关系式为z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2.(2)令z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2＝6，得sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＝1， 令π6t －π6＝π2，得t ＝4， 故点P 第一次到达最高点大约需要4 s.。
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1.6 三角函数模型简单应用
1．函数的2cos 3cos 2y x x =-+最小值为（ ） A ．2 B ．0 C ．4
1
- D ．6
2．2sin 5cos )(+-⋅=x x x x f ，若a f =)2(，则)2(-f 的值为（ ）． A ．－a B ．2＋a C ．2－a D ．4－a
3．设A 、B 都是锐角，且cosA ＞sinB 则A+B 的取值是 （ ） A ．⎪⎭
⎫
⎝⎛ππ,2 B ．()π,0 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π
D ．⎪⎭
⎫
⎝⎛2,4ππ
4．若函数)(x f 是奇函数，且当0<x 时，有x x x f 2sin 3cos )(+=，则当0>x 时，
)(x f 的表达式为（ ）
A ．x x 2sin 3cos +
B ．x x 2sin 3cos +-
C ．x x 2sin 3cos -
D ．x x 2sin 3cos --
5．下列函数中是奇函数的为( )
A ．y=x
x x x cos cos 22-+
B ．y=
x
x x x cos sin cos sin -+ C ．
y=2cosx
D ．y=lg(sinx+x 2sin 1+)
6．在满足
x
x
4
πtan 1πsin +＝0的x 中，在数轴上求离点6最近的那个整数值是 ． 7．已知()3s i n 4
f
x a x b x =
++（其中a 、b 为常数），若()52=f ，则()2f -=__________．
8．若︒>30cos cos θ，则锐角θ的取值范围是_________． 9．由函数⎪⎭
⎫ ⎝⎛≤≤=6563sin 2ππ
x x y 与函数y ＝2的图象围成一个封闭图形，
这个封闭图形的面积是_________．
10．函数1sin(2)2
y x θ=
+的图象关于y 轴对称的充要条件是
11．如图，表示电流强度I 与时间t 的关系式),0,0)(sin(>>+=ωϕωA t A I 在一个周期内的图象.
①试根据图象写出)sin(ϕω+=t A I 的解析式 ②为了使)sin(ϕω+=t A I 中t 在任意一段
1100
秒的时间内I 能同时取最大值|A|和最小值－|A|， 那么正整数ω的最小值为多少？
12．讨论函数y=lgcos2x 的的定义域、值域、奇偶性、周期性和单调性等函数的基本性质
13．函数2
()122cos 2sin f x a a x x =---的最小值为()()g a a R ∈，
（1）求g a ()的表达式；（2）若1
()2
g a =
，求a 及此时()f x 的最大值
14．已知f(x)是定义在R 上的函数，且1()(2)1()
f x f x f x ++=
-
(1)试证f(x)是周期函数. (2)若f(3)=3-，求f(2005)的值.
15．已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是R 上的偶函数，其图象关于点
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛2π0，对称，且在,043πM 上是单调函数，求ϕω和的值．
1.6 三角函数模型简单应用
1．Ｂ 2．D 3．C 4．B 5．Ｄ 6．1 7．3 8．︒<<︒300θ 9．
π34 10．,2
k k Z π
θπ=+∈
11．（1）)3
100sin(300π
π+=t I （2）629=ω
12．定义域：(kπ-
4π,kπ+4π
),k ∈Z;值域]0,(-∞；奇偶性：偶函数；周期性：周期函数，且T=π;单调性：在(kπ-4π,kπ] (k ∈Z)上递增，在［kπ,kπ+4
π
)上递减
13．2()122cos 2sin f x a a x x =--- 2122cos 2(1cos )a a x x =----
2
2cos 2cos 12x a x a =---2
2
2(cos )12()22
a
a x a a R =----
∈ (1)函数()f x 的最小值为()g a
1.122a a <-<-当时即时，cos 1x =-由得 2
2()2(1)12122a a g a a =-----=
2.11222a a -≤≤-≤≤当时即时，cos 2a x =由得 2
()122
a g a a =---
3.122a a >>当时即时，cos 1x =由，2
2()2(1)1222
a a g a a =----得＝14a -
综上所述得 21
(2)()12(22)214(2)
a a g a a a a a <-⎧⎪
⎪
=---≤≤⎨⎪
->⎪⎩－ (2) g a a ()=∴-≤≤1222有 221
1243022
a a a a -=++=－
－得 13()a a ∴=-=-或舍
2
21()2(cos )1222
a a a f x x a =-=----将代入 211()2(cos )22f x x =++得
cos 1x =当 2()x k k Z π=∈即时得 max ()5f x =
14．(1)由1()(2)1()
f x f x f x ++=
-，故f(x+4)=
)
2(1)
2(1+-++x f x f =1()f x -
f(x+8)=f(x+4+4)=1
(4)
f x -
+=f(x)，即8为函数()f x 的周期
(2)由 f(x+4) =1()f x -
，得f(5) =13(1)3
f -= ∴f(2005)=f(5+250×8)=f(5)=33 15． 由f （x ）为偶函数，知|f （0）|=1,结合πϕ≤≤0，可求出2
π
ϕ=
．
又由图象关于⎪⎭⎫
⎝⎛0,43πM 对称，知043=⎪⎭
⎫
⎝⎛πf ，即043cos =ωπ 又0>ω及
()()()2,1,0123
2
,,2,1,0243=+=∴=+=k k k k ωππωπ ． 当k=0,1即32=
ω，2时，易验证f （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上单减；k≥2时，f （x ）在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,0π上不是单调的函数．综上所述22,32
π
ωϕ==或。