1.6 三角函数模型简单应用练习题(解析版)
1-6三角函数模型的简单应用
1-6三角函数模型的简单应用一、选择题1．电流I (A)随时间t (s)变化的关系是I ＝3sin100πt ，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的周期是( )A.150 B ．50 C.1100 D ．100 [答案] A2．如图，是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙点的位置将处于图中的( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁[答案] D3．如图表示电流强度I 与时间t 的关系I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0)在一个周期内的图象，则该函数的解析式为( )A ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt ＋π3 B ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt －π3 C ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3 D ．I ＝300sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt －π3[答案] C[解析] 由图象得周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1150＋1300＝150，最大值为300，经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1150，0， 则ω＝2πT ＝100π，A ＝300， ∴I ＝300sin(100πt ＋φ)． ∴0＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π×1150＋φ. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，取φ＝π3.∴I ＝300sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3.4．在△ABC 中，sin A ＝32，则∠A ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.π3或2π3[答案] D5．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式是s ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于( )A.g πB.g 2πC.g π2D.g 4π2[答案] D[解析] 因为周期T ＝2πg l ，所以g l ＝2πT ＝2π， 则l ＝g 4π2.6．如图为一半径为3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮自点A 开始1 min 旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A ．ω＝2π15，A ＝3 B ．ω＝152π，A ＝3 C ．ω＝2π15，A ＝5 D ．ω＝152π，A ＝5[答案] A[解析] 由于每分钟转4圈，故T ＝14min ＝15 s ， ∴ω＝2πT ＝2π15.又半径为3，故A ＝3.7．电流强度I (安培)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)的图象如图所示，则t 为7120(秒)时的电流强度为()A ．0B ．－52C ．102D ．－10 2 [答案] A[解析] 由图知，A ＝10，函数的周期 T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4300－1300＝150， 所以ω＝2πT ＝2π150＝100π，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1300，10代入I ＝10sin(100πt ＋φ)得φ＝π6，故函数解析式为I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6，再将t ＝7120代入函数解析式得I ＝0.8．设y ＝f (x )是某港口水的深度y (m)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0到24时记录的时间t 与水深y 的关系：ωt ＋φ)＋k 的图象．下面的函数中，最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是( )A ．y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0,24]B ．y ＝12＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π，t ∈[0,24]C ．y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0,24] D ．y ＝12＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π2，t ∈[0,24] [答案] A[解析] 由已知数据，易得y ＝f (t )的周期T ＝12. ∴ω＝2πT ＝π6.由已知易得振幅A ＝3，k ＝12， 又t ＝0时，y ＝12， ∴令π6×0＋φ＝0得φ＝0，故y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0,24]．故选A. 二、填空题9．已知x ∈(0,2π)，cos x ＝－22，则x ＝________. [答案] 3π4或7π410．如图为某简谐运动的图象，这个简谐运动需要________s 往返一次．[答案] 0.8[解析] 由图象知周期T ＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8 s 往返一次．11．如图某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b .(1)这一天的最大用电量为________万度，最小用电量为________万度；(2)这段曲线的函数解析式为________． [答案] (1)50 30(2)y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14] [解析] (1)由图象得最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．(2)观察图象可知，从8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40， ∵12×2πω＝14－8，∴ω＝π6，∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40.将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6，∴所求解析式为y ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．12．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，则f (x )＝________.[答案] 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋6[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝8，－A ＋B ＝4，解得A ＝2，B ＝6.周期T ＝2(7－3)＝8，∴ω＝2πT ＝π4.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ＋6.又当x ＝3时，y ＝8，∴8＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＋6.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1，取φ＝－π4.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋6.三、解答题13．每当你的心脏跳动时，血压就会升高，而在两次跳动之间，血压就会降低，某人的血压与时间的关系可由函数p(t)＝90＋20sin120πt来模拟．(1)求此函数的振幅、周期和频率；(2)画出此函数的图象；(3)如果一个人正在锻炼，他的心脏跳动加快了，这会怎样影响p 的周期和频率？[解析](1)振幅为20，周期T＝2π120π＝160，频率f＝1T＝60(2)(3)周期变小，而频率变大14．如图点P是半径为r cm的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s做圆周运动．求点P 的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求点P的运动周期和频率．[解析] 当质点P 从点P 0转到点P 位置时，点P 转过的角度为ωt .则∠POx ＝ωt ＋φ.由任意角的三角函数得点P 的纵坐标为y ＝r sin(ωt ＋φ)．∴所求的函数关系式为y ＝r sin(ωt ＋φ)． 点P 的运动周期为T ＝2πω，频率f ＝1T ＝ω2π.15．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg 和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p (t )的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数；(3)求出此人的血压和血压计上的读数，并与正常值比较． [解析] (1)T ＝2π|ω|＝2π160π＝180min. (2)f ＝1T ＝80次．(3)p (t )max ＝115＋25＝140 mmHg ， p (t )min ＝115－25＝90 mmHg.即收缩压为140 mmHg ，舒张压为90 mmHg ，比正常值高． 16．如图，牡丹江市某天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π2)．(1)求这一天最大的温差； (2)求这段曲线的函数解析式．[解析] (1)由图象得这一天的最高温度是－2℃，最低温度是－12℃，则这一天最大的温差是－2－(－12)＝10(℃)．(2)由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝－2，－A ＋b ＝－12，解得A ＝5，b ＝－7.由图象得函数的周期T ＝2(14－6)＝16， 则2πω＝16，解得ω＝π8.所以y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ－7. 由图象知点(10，－7)在函数的图象上，则－7＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×10＋φ－7， 整理得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋φ＝0， 又|φ|<π2，则φ＝－π4. 则这段曲线的函数解析式是y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －π4－7(6≤x ≤14)．。
高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用(2)练习(含解析)新人教A版必修4
1.6 三角函数模型的简单应用 （二）一、选择题：1. 已知某人的血压满足函数解析式f (t )＝24sin 160πt ＋110.其中f (t )为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )A ．60B ．70C ．80D ．90【答案】 C【解析】 由题意可得f ＝1T ＝160π2π＝80，所以此人每分钟心跳的次数为80，故选C 项． 2．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s (cm)和时间t (s)的函数关系式为s ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6，那么单摆摆动一个周期所需的时间为( )A ．2π sB ．π sC ．0.5 sD ．1 s【解析】 依题意是求函数s ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6的周期，T ＝2π2π＝1，故选D 项． 【答案】 D3．函数f (x )的部分图象如图所示，则下列选项正确的是( )A ．f (x )＝x ＋sin xB ．f (x )＝cos x xC ．f (x )＝x cos xD ．f (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π2 【解析】 观察图象知函数为奇函数，排除D 项；又函数在x ＝0处有意义，排除B 项；取x ＝π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，A 项不合适，故选C 项．【答案】 C4．下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表：月份 1 234 5 6 7 8 9 10 11 12 平均温度 －5.9 －3.32.2 9.3 15.1 20.3 22.8 22.2 18.2 11.9 4.3－2.4 则适合这组数据的函数模型是( )A ．y ＝a cos πx 6B ．y ＝a cos （x －1）π6＋k (a ＞0，k ＞0) C ．y ＝－a cos （x －1）π6＋k (a ＞0，k ＞0) D ．y ＝a cos πx 6－3 【答案】 C【解析】 当x ＝1时图象处于最低点，且易知k ＝－5.9＋22.82＞0.故选C ． 二、填空题：5.如图，点P 是半径为r 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P 0开始，按逆时针方向以角速度ω(rad/s)做圆周运动，则点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系式为________．【答案】 y ＝r sin(ωt ＋φ)【解析】 当质点P 从P 0转到点P 位置时，点P 转过的角度为ωt ，则∠POx ＝ωt ＋φ，由任意角的三角函数定义知P 点的纵坐标y ＝r sin(ωt ＋φ)．6.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y a =+()()πcos 61,2,3,,126A x x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⋯来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为________℃.【解析】由题意可知281852A -==，2818232a +==. 从而()π5cos 6236y x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦故10月份的平均气温为π5cos 42320.56y ⎛⎫=⨯+=⎪⎝⎭℃三、解答题7.如果某地夏天从814～时用电量变化曲线近似满足函数()sin y A x b ωϕ=++，其图象如图所示．(1)求这一天的最大用电量和最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式．【答案】(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度 (2)[]ππ10sin 40,8,1466y x x ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭【解析】(1)观察题中图象知最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．(2)观察图象可知，半个周期为14862T=-=，∴12T =.2ππ6T ω==，()15030402b =⨯+=，()15030102A =⨯-=， ∴π10sin 406y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 将8x =，30y =代入上式，解得π6ϕ=. ∴所求解析式为[]ππ10sin 40,8,1466y x x ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭．。
1-6 三角函数模型的简单应用
基 础 巩 固一、选择题1．电流强度I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200s 时，电流强度I 为( )A ．5 AB ．2.5 AC ．2 AD ．－5 A[答案] B[解析] 将t ＝1200代入I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3 得I ＝2.5 A.2．(安徽高考)动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t ＝0时，点A 的坐标是(12，32)，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是( )A ．[0,1]B ．[1,7]C ．[7,12]D ．[0,1]和[7,12] [答案] D[解析] 由已知可得该函数的周期为T ＝12， ω＝2πT ＝π6，又当t ＝0时，A (12，32)，∴y ＝sin(π6t ＋π3)，t ∈[0,12]，可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．3．(新课标全国卷)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )[答案] C[解析] P 从P 0出发，逆时针运动，t ＝0时，d ＝2，t 与d 满足关系式d ＝2sin(t －π4)(t ≥0)．所以选择C.4．如图所示为一简谐振动的图象，则下列判断正确的是( )A ．该质点的振动周期为0.7 sB ．该质点的振幅为5 cmC ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时振动速度最大D ．该质点在0.3 s 和0.7 s 时的加速度为零 [答案] B5．在△ABC 中，sin A ＝32，则∠A ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.π3或2π3[答案] D6．如图，是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙点的位置将处于图中的( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁[答案] D 二、填空题7．振动量y ＝2sin(ωx ＋φ)(φ<0)的初相和频率分别为－π和32，则它的相位是________．[答案] 3πx －π[解析] 由题φ＝－π，f ＝1T ＝32＝ω2π ∴ω＝3π∴y ＝3sin(3πx －π)．相位是3πx －π.8．(山东临沂12－13高一)某城市一年中12个月的平均气温与月份关系可近似用三角函数y ＝a ＋A cos[π6(x －6)](x ＝1,2,3，……12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.[答案] 20.5 三、解答题9．单摆从某点开始左右摆动，它离开平衡位置的位移s (厘米)和时间t (秒)的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫πt ＋π6.求：(1)单摆开始振动(t ＝0)时离开平衡位置的位移； (2)单摆离开平衡位置的最大位移． [解析] (1)当t ＝0秒时，s ＝6sin π6＝3 cm.(2)当t ＝13秒时，位移最大，s ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝6 cm.10．如图所示，摩天轮的半径为40 m ，O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速转动，每3 min 转一圈，摩天轮上的P 点的起始位置在最低点处．(1)试确定在时刻t 分时P 点距离地面的高度；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间P 点距离地面超过70 m?[解析] (1)以中心O 为坐标原点建立如图所示的坐标系，设t 分时P 距地面高度为y ，依题意得y ＝40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t －π2＋50.(2)令40sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t －π2＋50>70，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t －π2>12，∴2k π＋π6<2π3t －π2<2k π＋5π6， ∴2k π＋2π3<2π3t <2k π＋4π3， ∴3k ＋1<t <3k ＋2.令k ＝0得1<t <2.因此，共有1 min距地面超过70 m.。
16三角函数模型简单应用练习及参考答案
1.6 三角函数模型简单应用练习题：1．你能利用函数sin y x =的奇偶性画出图象吗？它与函数sin y x =的图象有什么联系？2．已知：1sin 2α=-，若(1),22ππα∈-⎛⎫⎪⎝⎭； (2)(0,2)απ∈；(3)α是第三象限角；(4)α∈R ．分别求角α。
3．已知[]0,2θπ∈, sin ,cos θθ分别是方程210x kx k -++=的两个根，求角θ．4．设A 、B 、C 、D 是圆内接四边形ABCD 的四个内角，求证： （1）sin A ＝sin C ；（2）cos （A ＋B ）＝cos （C ＋D ）； （3）tan （A ＋B ＋C ）＝－tan D ．5．某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元，该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设商店每月购进这种商品m 件，且当月销完，你估计哪个月份盈利最大?6．把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上几圈．用剪刀斜着．．将纸筒剪断，再把卷着的纸展开，你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线，试一试动手操作一下.它是正弦曲线吗？7．如图，铁匠师傅在打制烟筒弯脖时，为确保对接成直角，在铁板上的下剪线正好是余弦曲线：cos xy a a=的一个周期的图象，问弯脖的直径为12 cm 时，a 应是多少cm ?8．已知函数f (x )=x 2cos 12-，试作出该函数的图象，并讨论它的奇偶性、周期性以及区间[0，2π]上的单调性。
9、（14分）如图，扇形AOB 的半径为2，扇形的圆心角为4π，PQRS 是扇形的内接矩形，设∠AOP=θ， （1） 试用θ表示矩形PQRS 的面积y ；（2）利用正、余弦的和（差）与倍角公式化简矩形面积表达式y.10.某人用绳拉车沿直线方向前进100米,若绳与行进方向的夹角为30°,人的拉力为20牛,则人对车所做的功为多少焦.11．某港口水的深度y （米）是时间t ，单位：时）（24t 0≤≤，记作y=f(x),下面是某日水深的数据：经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数b t Asin y +=ϖ的图象。
1.6三角函数模型的简单应用
作业
课本65页练习
例2、画出函数 | sinx | 的图象, y 并观察周 期性和奇偶性.
G S P
变式1、画出函数 sin | x | 的图象, y 并观察 周期性和奇偶性.
G S P
例3、设地球表面某地 正午太阳高度角为 , 为此时 θ δ 太阳直射纬度, 为该地的纬度值, 则这三个量之间 的关系是θ 90 0 | δ | .当地夏半年 取正值, δ 冬半
0 年取负值.若在北京地 区(纬度约为北纬40)的一幢
高为h0的楼房北面盖一新楼, 要使新楼一层正午的 太阳全年不被前面的楼 房遮挡, 两楼的距离应不小 于多少.
h0Байду номын сангаас
230 26'
00
230 26' 400 A
B
C
小结
本 节 课 我 们 学 习 了 正、 负 角 角 和 零 角 的 概 念 ， 要 注如 果 角 的 终 意 边 在 坐 标 轴 上 ， 就 认这 个 角 不 属 为 于 任 何 象 限 ， 本 节 课重 点 是 学 习 的 终 边 相 同 的 角 的 表 示。 法 判断一个角是第几象限角的方法。 数 形 结 合 思 想 、 运 动化 观 点 的 应 用 变
§ 1.6 三角函数模型的 简单应用
引入
如果某种变化着的现象 具有周 期性, 那么它就可以借助三角 函数来 描述.
新课
例1、某地一天从 ~ 14时的温度变化曲线 6 近似满足如图函数 Asin(ωs ) b. y
(1)求这一天 ~ 14时的最大温差; 6
(2)求这段曲线的函 数解析式.
T/度 30
20
10
o
6
高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用练习(含解析)新人教A版必修4
第15课时 三角函数模型的简单应用1．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin ωt ＋π6(A >0，ω≠0)的图象如图所示，则当t ＝150秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安 答案 B解析 由图象可知A ＝10，T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫4300－1300＝150，∴2πω＝150，∴ω＝100π．∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6． 当t ＝150秒时，I ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100π×150＋π6＝5(安)．2．弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间t (s)内离开平衡位置(静止时的位置)的距离h (cm)由下面的函数关系式表示：h ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π4．(1)求小球开始振动的位置；(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置； (3)经过多长时间小球往返振动一次？ (4)每秒钟内小球能往返振动多少次？解 (1)令t ＝0，得h ＝3sin π4＝322，所以小球开始振动的位置为离开平衡位置向上322cm 处．(2)由题意知，t ∈[0，2π)，当h ＝3时，t ＝π8，即最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3；当h ＝－3时，t ＝5π8，即最低点为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8，－3．(3)T ＝2π2＝π≈3．14，即每经过约3．14秒小球往返振动一次．(4)f ＝1T≈0．318，即每秒内小球往返振动约0．318次．3．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )答案 C解析 ∵P 0(2，－2)，∴∠P 0Ox ＝π4．按逆时针转时间t 后得∠POP 0＝t ，∠POx ＝t －π4，此时P 点纵坐标为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4，∴d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4．当t ＝0时，d ＝2，排除A ，D两项；当t ＝π4时，d ＝0，排除B 项，故选C ．4．如图所示的图象显示的是相对平均海平面的某海湾的水面高度y (m)在某天24小时内的变化情况，则水面高度y 关于从夜间0时开始的时间x 的函数关系式为________，x ∈[0，24]．答案 y ＝－6sin π6x解析 将其看成函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，由图象知，A ＝6，T ＝12，∴ω＝2πT＝π6．将(6，0)看成函数图象的第一个特殊点，则π6×6＋φ＝0，∴φ＝－π．∴函数关系式为y ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6x －π＝－6sin π6x ．5．以一年为一个周期，调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦型函数y 1波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月份随正弦型函数y 2波动的，并已知5月份销售价格最高为10元，9月份销售价格最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m 件，且当月售完，请分别求出y 1，y 2关于第x 月份的函数解析式．解 设y 1＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意知B ＝6．∵3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元， ∴A ＝2，T ＝2×(7－3)＝8＝2πω，∴ω＝π4． 则y 1＝2sin π4x ＋φ＋6，将点(3，8)代入得φ＝－π4，故y 1＝2sin π4x －π4＋6(1≤x ≤12)．同理可得y 2＝2sin π4x －3π4＋8(1≤x ≤12)．之间依正弦型曲线变化．(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数解析式(其中t 以年初以来经过的月份数为计量单位)；(2)估计当年3月1日动物种群数量． 解 (1)设动物种群数量y 关于t 的解析式为y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A >0，ω>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋b ＝700，A ＋b ＝900，解得A ＝100，b ＝800．又周期T ＝2×(6－0)＝12，所以ω＝2πT ＝π6，所以y ＝100sin π6t ＋φ＋800．又当t ＝6时，y ＝900，所以900＝100sin π6×6＋φ＋800，所以sin(π＋φ)＝1， 所以sin φ＝－1， 所以取φ＝－π2．所以y ＝100sin π6t －π2＋800．(2)当t ＝2时，y ＝100sin π6×2－π2＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750．7．如图所示，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，4]的图象，且图象的最高点为S (3，23)，赛道的后一部分为折线段MNP ．为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°．求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离．解 依题意，有A ＝23，T4＝3，又T ＝2πω，∴ω＝π6．∴y ＝23sin π6x ，x ∈[0，4]．∴当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3．∴M (4，3)．又P (8，0)， ∴MP ＝－2＋－2＝42＋32＝5(km)．即M ，P 两点间的距离为5 km ．一、选择题1．电流强度I (A)随时间t (s)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)A >0，ω>0，0<φ<π2的图象如图所示，则当t ＝1100s 时，电流强度是( ) A ．－5 A B ．5 A C ．5 3 A D ．10 A 答案 A解析 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴T ＝150，∴ω＝2πT＝100π，∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．又1300，10在图象上，∴100π×1300＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ．又0<φ<π2，∴φ＝π6．∴I ＝10sin100πt ＋π6，当t ＝1100s 时，I ＝－5 A ，故选A ．2．如图为甲地某天中6 h 至14 h 的温度变化曲线，其近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋bA >0，ω>0，π2<φ<π的半个周期的图象，则该天8 h 的温度大约为( )A ．16 ℃ B．15 ℃ C．14 ℃ D．13 ℃ 答案 D解析 由题意得A ＝12×(30－10)＝10，b ＝12×(30＋10)＝20，∵2×(14－6)＝16，∴2πω＝16，∴ω＝π8，∴y ＝10sin (π8x ＋φ )＋20，将x ＝6，y ＝10代入，得 10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×6＋φ＋20＝10，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝－1，由于π2<φ<π，可得φ＝3π4，∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6，14]．当x ＝8时，y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×8＋3π4＋20＝20－52≈13，即该天8 h 的温度大约为13 ℃，故选D ．3．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l ) 的图象大致是( )答案 C解析 如图，过点O 作OD ⊥AP 于D ，由题意知，∠AOD ＝l 2，OA ＝1，AD ＝d 2，∴sin l 2＝d2，即d ＝2sin l2．结合图象知选C ．4．已知x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)是函数f (x )＝cos x 与函数g (x )＝m 的图象在区间π2，3π内的三个不同交点的横坐标，且满足x 22＝x 1·x 3，则实数m 的值为( )A ．－12B ．12C ．－22D ．22答案 A解析 在同一直角坐标系中作出函数f (x )＝cos x 与函数g (x )＝m 的图象，如图所示．则由图象可知x 1＋x 2＝2π，且x 2＋x 3＝4π．结合x 22＝x 1·x 3(x 1<x 2<x 3)，可得x 1＝2π3，x 2＝4π3，x 3＝8π3，则m ＝f 2π3＝f 4π3＝f 8π3＝－12，故选A ． 5．某市某房地产中介对某楼群在今年的房价作了统计与预测，发现每个季度的平均单价y (每平方米的价格，单位：元)与第x 季度之间近似满足y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9500(ω>0)，已知第1季度和第2季度的平均单价如下表所示．则此楼群在第3季度的平均单价大约是( ) A ．10000元 B ．9500元 C ．9000元 D ．8500元 答案 C解析 因为y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9500(ω>0)，所以当x ＝1时，500sin(ω＋φ)＋9500＝10000；当x ＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9500＝9500，即⎩⎪⎨⎪⎧ω＋φ＝0，ω＋φ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2ω＋φ＝m π，m ∈Z ，ω＋φ＝π2＋2n π，n ∈Z ，易得3ω＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ．又当x ＝3时，y ＝500sin(3ω＋φ)＋9500，所以y ＝9000． 二、填空题6．一树干被台风吹断，折成60°角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度为________米．答案 20 3解析 如图所示，在Rt △ABC 中，AC ＝20米，∠B ＝60°，∴sin B ＝AC BC ，∴BC ＝ACsin B ＝20sin60°＝4033．又AB ＝12BC ＝2033，∴树干高为AB ＋BC ＝203(米)．7．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A ，B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝________，其中t ∈[0，60]．答案 10sin π60t解析 解析式可写为d ＝A sin(ωt ＋φ)形式，由题意易知A ＝10，当t ＝0时，d ＝0，得φ＝0；当t ＝30时，d ＝10，可得ω＝π60，所以d ＝10sin π60t ．8．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin π6x ＋φ＋k ．据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________m ．答案 8解析 由题图可知－3＋k ＝2，得k ＝5， ∴y ＝3sin π6x ＋φ＋5，∴y max ＝3＋5＝8．三、解答题9．下表是某地某年月平均气温(单位：．以月份为x 轴，x ＝月份－1，以平均气温为y 轴． (1)描出散点图；(2)用正弦曲线去拟合这些数据； (3)这个函数的周期是多少？ (4)估计这个正弦曲线的振幅A ；(5)下面四个函数模型中，最适合这些数据的是________．①y A ＝cos π6x ；②y －46A ＝cos π6x ；③y －46－A ＝cos π6x ；④y －26A ＝sin π6x ． 解 (1)(2)如图所示：(3)1月份的气温最低，为21．4 7月份气温最高，为73．0据图知，T2＝7－1＝6，∴T ＝12．(4)2A ＝最高气温－最低气温＝73．0－21．4＝51．6，∴A ＝25．8． (5)∵x ＝月份－1，∴不妨取x ＝2－1＝1，y ＝26．0，代入①，得y A ＝26.025.8>1≠cos π6，∴①错误；代入②，得y －46A ＝26.0－4625.8<0≠cos π6，∴②错误；同理④错误．∴本题应选③．10．如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40．5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)求出你与地面的距离y (米)与时间t (分钟)的函数关系； (2)当你第4次距离地面60．5米时，用了多长时间？ 解 (1)由已知可设y ＝40．5－40cos ωt (t ≥0)，由周期为12分钟可知，当t ＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值， 所以6ω＝π，即ω＝π6．所以y ＝40．5－40cos π6t (t ≥0)．(2)设转第1圈时，第t 0分钟时距地面60．5米． 由60．5＝40．5－40cos π6t 0，得cos π6t 0＝－12，所以π6t 0＝2π3或π6t 0＝4π3，解得t 0＝4或t 0＝8．所以t ＝8(分钟)时，第2次距地面60．5米，故第4次距离地面60．5米时，用了12＋8＝20(分钟)．。
人教A数必修4能力提升：1.6 三角函数模型的简单应用(含答案解析)[ 高考]
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1．有一冲击波，其波形为函数y ＝－sin(π2x )的图象，若其区间[0，t ]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C.由y ＝－sin(π2x )的图象知，要想在区间[0，t ]上至少有2个波峰，必须使区间[0，t ]的长度不小于2T －T 4＝7T 4，即t ≥74·2πω＝74·2ππ2＝7，故选C. 2．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，则f (x )＝________.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝8，－A ＋B ＝4，解得A ＝2， B ＝6. 周期T ＝2(7－3)＝8，∴ω＝2πT ＝π4. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ＋6. 又当x ＝3时，y ＝8，∴8＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＋6.∴sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝1，取φ＝－π4. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋6.答案：2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋63．已知方程sin(x ＋π3)＝m 2在[0，π]上有两个解，求实数m 的取值范围． 解：函数y ＝sin(x ＋π3)，x ∈[0，π]的图象如图所示，方程sin(x ＋π3)＝m 2在[0，π]上有两个解等价于函数y 1＝sin(x ＋π3)，y 2＝m 2在同一平面直角坐标系中的图象在[0，π]上有两个不同的交点， ∴32≤m 2<1，即实数的取值范围为3≤m <2. 4．已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作：y ＝f (t )(1)根据以上数据，求出函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；(2)根据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？解：(1)由表中数据，知周期T ＝12，∴ω＝2πT ＝π6. 由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5.又由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0，∴A ＝0.5，b ＝1.0，即振幅为12. ∴y ＝12cos π6t ＋1. (2)由题意知，当y >1时才对冲浪者开放，∴12cos π6t ＋1>1，∴cos π6t >0， ∴2k π－π2<π6t <2k π＋π2，即12k －3<t <12k ＋3. ∵0≤t ≤24，∴令k 分别为0,1,2，得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24，∴在规定时间上午8∶00时至晚上20∶00时之间有6个小时可供冲浪者进行活动，即上午9∶00至下午15∶00.。
人教a版必修4学案：1.6三角函数模型的简单应用(含答案)
1.6三角函数模型的简单应用自主学习知识梳理1．三角函数的周期性y＝A sin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________；y＝A cos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________；y＝A tan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________.2．函数y＝A sin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)的性质(1)y max＝________，y min＝________.(2)A＝__________，k＝__________.(3)ω可由__________确定，其中周期T可观察图象获得．(4)由ωx1＋φ＝______，ωx2＋φ＝__________，ωx3＋φ＝__________，ωx4＋φ＝__________，ωx5＋φ＝________中的一个确定φ的值．3．三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．自主探究结合三角函数图象的特点，思考后写出下列函数的周期．(1)y＝|sin x|的周期是________；(2)y＝|cos x|的周期是________；(3)y＝|tan x|的周期是________；(4)y＝|A sin(ωx＋φ)| (Aω≠0)的周期是________；(5)y＝|A sin(ωx＋φ)＋k| (Aωk≠0)的周期是____________________________________________________________________；(6)y＝|A tan(ωx＋φ)| (Aω≠0)的周期是__________．对点讲练知识点一从实际问题中提炼三角函数模型例1如图(1)所示为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h.(1)(1)求h与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式．回顾归纳如果实际问题中，某种变化着的现象具有一定的周期性，那么它就可以借助三角函数来描述，从而构建三角函数模型．变式训练1 如图所示，一个摩天轮半径为10 m ，轮子的底部在地面上2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时．(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.知识点二 三角函数模型在物理学科中的应用例2 交流电的电压E (单位：伏)与时间t (单位：秒)的关系可用E ＝2203sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6来表示，求：(1)开始时的电压；(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间．回顾归纳 三角函数模型在物理学科中有着广泛的应用．在应用三角函数知识解决物理问题时，应当注意从复杂的物理背景中提炼基本的数学关系，还要调动相关物理知识来帮助理解问题．变式训练2 如图表示电流I 与时间t 的函数关系式：I ＝A sin(ωt ＋φ)在同一周期内的图象．(1)据图象写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)为使I ＝A sin(ωt ＋φ)中t 在任意一段1100的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？知识点三 三角函数模型在实际问题中的应用t 小时＋B 的图象．(1)试根据数据表和曲线，求出y ＝A sin ωt ＋B 的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)回顾归纳 确定函数关系式y ＝A sin ωt ＋B ，就是确定其中的参数A ，ω，B 等，可从所给的数据中寻找答案．由于函数的最大值与最小值不是互为相反数，若设最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m2.变式训练3 设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A ．y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0,24]B ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋π，t ∈[0,24]C ．y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0,24]D ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π2，t ∈[0,24]1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．2．三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象． (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合． (3)利用三角函数模型解决实际问题．(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.课时作业一、选择题1. 如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )A.150 sB.1100s C ．50 s D ．100 s 2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)B ．f (x )＝9sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4(1≤x ≤12，x ∈N *) C ．f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *) 3．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于( ) A ．3或0 B ．－3或0 C ．0 D ．－3或34. 如图所示，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )二、填空题5．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫m 3x ＋π3的最小正周期在⎝⎛⎭⎫23，34内，则正整数m 的值是________． 6．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．7．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式时s ＝3cos ⎝⎛⎭⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于________．三、解答题8. 如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间．(1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数； (2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？§1.6 三角函数模型的简单应用答案知识梳理 1.2π|ω| 2π|ω| π|ω|2．(1)A ＋k －A ＋k (2)y max －y min 2 y max ＋y min 2 (3)ω＝2πT (4)0 π2 π 32π 2π3．周期 自主探究(1)π (2)π (3)π (4)π|ω| (5)2π|ω| (6)π|ω|对点讲练 例1 解(2)(1)由题意可作图如图(2)所示．过点O 作地面平行线ON ，过点B 作ON 的垂线BM 交ON 于M 点．当θ>π2时，∠BOM ＝θ－π2.h ＝|OA |＋0.8＋|BM |＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2； 当0≤θ≤π2时，上述解析式也适合．综上所述，h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2. (2)点A 在⊙O 上逆时针运动的角速度是π30，∴t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝4.8sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2＋5.6，t ∈[0，＋∞)． 变式训练1 解 (1)设在t s 时，摩天轮上某人在高h m 处．这时此人所转过的角为2π30t＝π15 t ，故在t s 时，此人相对于地面的高度为h ＝10 sin π15t ＋12(t ≥0)． (2)由10sin π15t ＋12≥17，得sin π15t ≥12，则52≤t ≤252. 故此人有10 s 相对于地面的高度不小于17 m. 例2 解 (1)当t ＝0时，E ＝1103(伏)， 即开始时的电压为1103伏．(2)T ＝2π100π＝150(秒)，即时间间隔为0.02秒．(3)电压的最大值为2203伏．当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300秒时第一次取得最大值．变式训练2 解 (1)由题图知，A ＝300，t 1＝－1300，t 2＝1150，∵T ＝2(t 2－t 1)＝2(1150＋1300)＝150，∴ω＝2πT＝100π.由ωt 1＋φ＝0知φ＝－ωt 1＝π3，∴I ＝300sin(100πt ＋π3)．(2)问题等价于T ≤1100，即2πω≤1100，也即ω≥200π，故最小正整数为ω＝629.例3 解 (1)从拟合的曲线可知，函数y ＝A sin ωt ＋B 的一个周期为12小时，因此ω＝2πT ＝π6. 又y min ＝7，y max ＝13，∴A ＝12(y max －y min )＝3，B ＝12(y max ＋y min )＝10.∴函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10 (0≤t ≤24)．(2)由题意，水深y ≥4.5＋7，即y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，t ∈[0,24]，∴sin π6t ≥12，π6t ∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6，k ＝0,1， ∴t ∈[1,5]或t ∈[13,17]，所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港． 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．变式训练3 A [在给定的四个选项A 、B 、C 、D 中我们不妨代入t ＝0及t ＝3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.]课时作业 1．A 2.A3．D [因为f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以直线x ＝π6是函数f (x )图象的对称轴． 所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6ω＋φ＝3sin ⎝⎛⎭⎫k π＋π2 ＝±3.因此选D.]4．C [d ＝f (l )＝2sin l2.]5．26,27,28解析 ∵T ＝6πm ，又∵23<6πm <34∴8π<m <9π，且m ∈Z ，∴m ＝26,27,28. 6．80解析 T ＝2π160π＝180(分)．f ＝1T＝80(次/分)．7.g 4π2 解析 T ＝2πgl＝1.∴ g l ＝2π.∴l ＝g4π2.8．解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角φ⎝⎛⎭⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π6. 由OP 在时间t (s)内所转过的角为⎝⎛⎭⎫5×2π60t ＝π6t .由题意可知水轮逆时针转动，得z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋2. 当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数关系式为z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2.(2)令z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2＝6，得sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＝1， 令π6t －π6＝π2，得t ＝4， 故点P 第一次到达最高点大约需要4 s.。
高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用分层训练含解析新人教A版必修40410215.doc
三角函数模型的简单应用分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时20分钟)1.电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I=3sin 100πt,t∈[0,+∞),则电流I变化的周期是( A )A. B.50 C. D.1002.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,劳动节某商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin(t≥0),则在下列哪个时间段内人流量是增加的( C )A.[0,5]B.[5,10]C.[10,15]D.[15,20]3.一种波的波形为函数y=-sin x的图象,若其在区间[0,t]上至少有2个波峰(图象的最高点),则正整数t的最小值是( C )A.5B.6C.7D.84.函数y=x+sin|x|,x∈[-π,π]的大致图象是( C )5.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+b的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为( A )A.f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N+)B.f(x)=9sin(1≤x≤12,x∈N+)C.f(x)=2sin x+7(1≤x≤12,x∈N+)D.f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N+)6.如图所示,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致是 ( C )7.如图所示的图象显示的是相对平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况,则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为y=-6sin x.8.某摩天轮建筑,其旋转半径50米,最高点距地面110米,运行一周大约21分钟.某人在最低点的位置坐上摩天轮,则第7分钟时他距地面大约为85米.9.一根长a cm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时,离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式是s=3cos,t∈[0,+∞),则小球摆动的周期为.10. (2018·福州高一检测)如图,在平面直角坐标系xOy中,质点M,N间隔3分钟先后从点P出发,绕原点按逆时针方向作角速度为弧度/分钟的匀速圈周运动,则M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时,N运动的时间为37.5分钟.11.已知电流I与时间t的关系式为I=Asin(ωt+φ).(1)如图是I=Asin(ωt+φ)(ω>0,|φ|<)在一个周期内的图象,根据图中数据求解析式.(2)如果t在任意一段秒的时间内,电流I=Asin(ωT+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少?【解析】(1)由图知,A=300,=-=,所以T=,所以ω=,由·+φ=0,得φ=.所以I=300sin;(2)因为t在任意一段秒内I都能取到最大值和最小值,所以T≤,ω≥300π>942,所以ω最小取值为943.12.已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y=10sin+20,x∈[4,16].(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差.(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存,那么在这段时间内,该细菌最多能生存多长时间?【解析】(1)由函数易知,当x=14时函数取最大值,此时最高温度为30 ℃,当x=6时函数取最小值,此时最低温度为10 ℃,所以最大温差为30 ℃-10 ℃=20 ℃.(2)令10sin+20=15,得sin=-,而x∈[4,16],所以x=.令10sin+20=25,得sin=,而x∈[4,16],所以x=.故该细菌能存活的最长时间为-=(小时).B组提升练(建议用时20分钟)13.稳定房价是我国实施宏观调控的重点,国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响,某市房地产中介对本市一楼盘的房价作了统计与预测:发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位:元)与第x季度之间近似满足:y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),已知第一、二季度平均单价如表所示:x 1 2 3y 10 000 9 500 ?则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( C )A.10 000元B.9 500元C.9 000元D.8 500元14.(2018·沈阳高一检测)有一块半径为R(R是正常数)的半圆形空地,开发商计划征地建一个矩形的游泳池ABCD和其附属设施,附属设施占地形状是等腰△CDE,其中O为圆心,A,B在圆的直径上,C,D,E在半圆周上,如图.设∠BOC=θ,征地面积为f(θ),当θ满足g(θ)=f(θ)+R2sin θ取得最大值时,开发效果最佳,开发效果最佳的角θ和g(θ)的最大值分别为( B )A.,R2B.,R2C.,R2(1+)D.,R2(1+)15.如图所示是一弹簧振子作简谐振动的图象,横轴表示振动的时间,纵轴表示振子的位移,则这个振子振动的函数解析式是y=2sin.16.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,若将A,B两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数,则d=10sin ,其中t∈[0,60].17.如图所示,某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asin ωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为S(3,2);赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP=120°.求A,ω的值和M,P两点间的距离.【解析】依题意,有A=2,=3,即T=12.又T=,所以ω=.所以y=2sin x,x∈[0,4].所以当x=4时,y=2sin=3.所以M(4,3).又P(8,0),所以MP===5(km).即M,P两点间的距离为5 km.18.如图,一个水轮的半径为4 m,水轮圆心O距离水面2 m,已知水轮每分钟转动5圈,如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数.(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间?【解析】(1)如图所示建立直角坐标系,设角φ是以Ox为始边,OP0为终边的角.OP每秒钟内所转过的角为=.OP在时间t(s)内所转过的角为t=t.由题意可知水轮逆时针转动,得z=4sin+2.当t=0时,z=0,得sin φ=-,即φ=-.故所求的函数关系式为z=4sin+2.(2)令z=4sin+2=6,得sin=1,令t-=,得t=4,故点P第一次到达最高点大约需要4 s.C组培优练(建议用时15分钟)19.一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如表,则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间的关系的一个三角函数式为20.为迎接夏季旅游旺季的到来,少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈,寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少,浪费很严重,为了控制经营成本,减少浪费,就想适时调整投入,为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律:①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多.(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系.(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物?【解析】(1)设该函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<|φ|<π),根据条件①,可知这个函数的周期是12;由②可知,f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅为200;由③可知,f(x)在[2,8]上单调递增,且f(2)=100,所以f(8)=500.根据上述分析可得,=12,故ω=,且解得根据分析可知,当x=2时,f(x)最小,当x=8时,f(x)最大,故sin=-1,且sin=1.又因为0<|φ|<π,故φ=-.所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x)=200sin+300.(2)由条件可知,200sin+300≥400,化简,得sin≥⇒2kπ+≤x-≤2kπ+,k∈Z,解得12k+6≤x≤12k+10,k∈Z.因为x∈N*,且1≤x≤12,故x=6,7,8,9,10.即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
1.6三角函数模型的简单应用
小结
实际问题
数据
“散点图”
解决
函数拟合
函数模型
课堂练习
课本65页练习1, 2，3
φ-δ
θ φ δ
太阳光
课件演示
分析：太阳高度角θ、楼高h0与此时楼房在地面的投影 θ 长h之间的有如下关系：h0=htan θ 根据地理知识，在北京地区，太阳直身北回归线时物 体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最长. 考虑 太阳 直射 南回 归线
h
o
−23 26′
0
o
′ M 40o A 23 26
即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于 楼高两倍的间距
例4 海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的 现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况 下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮 时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与 水深关系表: 时刻 0:00 3:00 6:00 水深/米 5.0 7.5 5.0 时刻 9:00 12:00 15:00 水深/米 2.5 5.0 7.5 时刻 18:00 21:00 24:00 水深/米 5.0 2.5 5.0
y = 2 .5 s in
π
6
x + 5
P
y = 5.5 − 0.3 ( x − 2 )
2 4 6 8 10 x
提示 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模 型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预 测其未来等方面都发挥十分重要的作用。 具体的，我们可以利用搜集到的数据，作出相应的 “散点图”，通过观察散点图并进行函数拟合而获 得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决 相应的实际问题。
例2 画出函数y=|siny |的图象并观察其周期. x 解
【高中数学】《1.6 三角函数模型的简单应用(1)》测试题
【高中数学】《1.6 三角函数模型的简单应用（1）》测试题【高中数学】《1.6三角函数模型的简单应用（1）》测试题一、多项选择题一.一束光线与玻璃成角，穿过折射率为1.5(折射率=，其中为入射角，为折射角)厚度为的一块玻璃，则光线在玻璃内的行程是().a、不列颠哥伦比亚省。
考查目的：考查三角函数模型的物理应用及计算.回答：B解析：∵，∴在玻璃中行程为.2.2002年在北京举行的国际数学家大会的会徽是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的。
弦图是一个由四个全等直角三角形和一个小正方形组成的大正方形（如图所示）。
如果小正方形的面积是1，大正方形的面积是25，直角三角形的较小锐角是，那么（）a.1b.c.d.目的：检验勾股定理、三角函数的定义，以及将实际问题转化为三角函数评估问题的能力答案：c.分析：根据问题的意思，大正方形和小正方形的边长分别为5和1。
让直角三角形中较长的直角边为3.已知函数，其中.若的最小正周期为，且当时，取得最大值，则().a、它是区间的递增函数。
B.它是区间的递增函数c.在区间上是减函数d.在区间上是减函数目的：研究三角函数的周期性和单调性答案：a.分析：增长幅度∵, ∵ 是二、填空题4.现在是北京时间10点。
将时针和分针之间的角度设置为考查目的：考查三角函数的求值，以及将实际问题转化为数学问题的能力.答复:解析：∵，∴.5.如果函数图像和直线之间只有两个不同的交点，则函数的值范围为考查目的：考查正弦函数的图象和数形结合思想.答复:解析：，画图，由数形结合思想可知，.6.设其中为非零常数，如果是，则考查目的：考查三角函数的诱导公式、正弦函数的周期性和函数性质的综合应用能力.答案：1解析：.三、回答问题7.如图某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似地满足函数.（1）找出这段时间内的最大温差⑵写出这段曲线的函数解析式.目的：研究函数的图像和性质，以及将实际问题转化为数学问题的能力答案：⑴20(℃)；⑵分析：⑴ 从图中可以看出，这一时期的最大温差为30-10=20℃；⑵在图中，从6时到14时的图象是函数的半个周期的图象，∴，解得.由图知，，这时.建议用上述公式代入综上所述，所求解析式为.8.已知函数（）的部分图像如下图所示⑴求函数的解析式；⑵ 此时，找到函数的最大值和最小值以及相应的值考查目的：考查函数的图象和性质，以及分析推理能力.答复:⑴; （2）当时的最大值；当时，最小值为解析：⑴由图像知，.∵，∴.又∵图象经过点，∴，且，∴，∴.(2) ∵ 当，也就是，在那个时候，的最大值是；当，也就是，在那个时候，最小值是。
1.6三角函数模型的简单应用
太阳光 － 北回归线
¦ Ä Õ-¦
B
－
C
太阳光
南回归线
解：如图，A、B、C分别为太阳直射北回归
线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影 点。要使新楼一层正午的太阳全年不被前面 的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况 考虑，此时的太阳直射纬度为-23026’.依题意 两楼的间距应不小于MC.根据太阳高度角的定 义，有 0 0 0 ' 0 ' C 90 40 ( 23 26 ) 26 34 ,
(1) 选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间 的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值(精确 到0.001).
讲授新课
例4. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的 现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情 况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后， 在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时 间与水深的关系表：
讲授新课
例1. 如图，某地一天从6~14时的温度变化 曲线近似满足函数
y＝Asin(x＋)＋b
(1) 求这一天6~14时的最大温差； o T/ C (2) 写出这段曲线 30 的函数解析式.
20 10
O
6
8 10 12 14
t /h
解: (1)由图可知,这段时间的最大温差是200C.
(2)从图中可以看出,从6~14时的图象是函数y= Asin( ωx+ )+b的半个周期的图象，所以 1 A= 2 (30-10)=10， b= 1 (30+10)=20， 2 1 2 14 6, .o ∵ 2 8T /3 C 将x=6，y=10代入上式，解的 4 30 综上，所求解析式为 20
数学人教A版4成长训练：1.6三角函数模型的简单应用含解析
主动成长夯基达标1。
如图1—6-6所示是函数y=Asin(ωx+φ）+k 在一个周期内的图象，那么这个函数的解析式应为( )图1-6—6A.y=2sin （2x +6π）—1 B 。
y=2sin （2x+6π）-1C 。
y=3sin(2x+3π）—1D 。
y=3sin(2x+6π）-1解析：A=242+=3，k=242-=-1， T=65π+6π=π.∴ω=Tπ2=2. ∴y=3sin（2x+φ）-1.当x=3π时，2x+φ=π，∴φ=3π. ∴y=3sin（2x+3π）-1. 答案：C2.若f(x)=sin （ωx+φ）的图象(部分)如图1-6-7所示,则ω和φ的取值是…( )图1—6—7A.ω=1，φ=3π B 。
ω=1,φ=—3π C 。
ω=21，φ=6πD.ω=21,φ=—6π 解析:4T =32π-(-3π）=π,∴T=4π,A=1。
又T=ωπ2,∴ω=21。
∴y=sin（21x+φ)。
∴0=sin(—6π+φ）=0. ∴-6π+φ=kπ。
由图知k=0， ∴φ=6π。
故选C 。
答案:C3.设y=f （t ）是某港口水的深度y （米）关于时间t(时）的函数,其中0≤t≤24,下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数y=f （t ）的图象可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ）的图象，下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ )A 。
y=12+3sin 6πt,t∈［0，24］ B.y=12+3sin （6πt+π），t∈［0,24］C 。
y=12+3sin 12πt,t∈［0,24］D 。
y=12+3sin （12πt+6π)，t∈［0，24］解析：根据时间t 与水深的关系，画出y=f(x ）的图象.A=2915-=3,k=2915+=12，T=12,ω=122π=6π. ∴y=3sin 6πt+12,t∈[0，24]。
高中数学：1.6三角函数模型的简单应用 (24)
[A 基础达标]1.如图，从某点给单摆一个作用力后，单摆开始来回摆动，它离开平衡位置O 的距离s (单位：cm)和时间t (单位：s)的函数解析式为s ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2πt ＋π3，则单摆摆动时，从最右边到最左边的时间为( )A ．2 sB ．1 s C.12s D.14s 解析：选C.由题意，知周期T ＝2π2π＝1(s)．单摆从最右边到最左边的时间是半个周期，为12s. 2．函数y ＝x ＋sin|x |，x ∈[－π，π]的大致图象是( )解析：选C.由奇偶性的定义可知函数y ＝x ＋sin|x |，x ∈[－π，π]既不是奇函数也不是偶函数．选项A ，D 中图象表示的函数为奇函数，B 中图象表示的函数为偶函数，C 中图象表示的函数既不是奇函数也不是偶函数．3．(2019·河南灵宝实验高中月考)在一个港口，相邻两次高潮发生的时间间隔为12 h ，低潮时水深9 m ，高潮时水深15 m ．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y (m)关于时间t (h)的函数图象可以近似地看成函数y ＝A sin(ωt ＋φ)＋k 的图象，其中0≤t ≤24，且t ＝3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是( )A ．y ＝3sin π6t ＋12B ．y ＝－3sinπ6t ＋12 C ．y ＝3sin π12t ＋12D ．y ＝3cos π12t ＋12解析：选A.根据题意，由ω＝2πT ＝2π12＝π6，排除选项C ，D.当t ＝3时，3sin π6t ＋12＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×3＋12＝15，符合题意，－3sin π6t ＋12＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×3＋12＝9.不符合题意，故选项B错误．4．(2019·山东聊城期末考试)已知点P 是单位圆上的一个质点，它从初始位置P 0⎝⎛⎭⎫12，－32开始，按逆时针方向以角速度1 rad/s 做圆周运动，则点P 的纵坐标y 关于运动时间t (单位：s)的函数关系式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π3，t ≥0B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π6，t ≥0C ．y ＝－cos ⎝⎛⎭⎫t －π3，t ≥0D ．y ＝－cos ⎝⎛⎭⎫t －π6，t ≥0解析：选A.由题意，知圆心角∠POP 0的弧度数为t ·1＝t ，则∠POx 的弧度数为t －π3，则由任意角的三角函数的定义，知点P 的纵坐标y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π3，t ≥0，故选A.5．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f (t )＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π12t －π6，其中f (t )的单位为m ，t 的单位是h ，则12点时潮水的高度是____________m.解析：当t ＝12时，f (12)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π－π6＝2sin 5π6＝1.答案：16．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，若将A ，B 两点的距离d (cm)表示成时间t (s)的函数，则d ＝________，其中t ∈[0，60]．解析：秒针1 s 转π30弧度，t s 后秒针转了π30t 弧度，如图所示，sin πt 60＝d25，所以d ＝10sin πt60.答案：10sinπt 607．如图，某游乐园内摩天轮的中心O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速运动．摩天轮上的一点P 自最低点A 点起，经过t min 后，点P 的高度h ＝40sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π2＋50(m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P 的高度在距地面70 m 以上的时间将持续____________min.解析：40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋50>70，即cos π6t <－12，从而2π3<πt 6<4π3，4<t <8，即持续时间为4 min.答案：48．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg 和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值．记某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p (t )的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数；(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较． 解：(1)T ＝2π|ω|＝2π160π＝180(min)．(2)f ＝1T＝80.(3)p (t )max ＝115＋25＝140(mmHg)， p (t )min ＝115－25＝90(mmHg)．即收缩压为140 mmHg ，舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg ，在正常值范围内．9.如图，弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s (cm)随时间t (s)的变化曲线是一个三角函数的图象．(1)经过多长时间，小球往复振动一次？(2)求这条曲线的函数解析式；(3)小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？ 解：(1)由题图可知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π，所以小球往复振动一次所需要的时间为π≈3.14 s.(2)可设该曲线的函数解析式为s ＝A sin(ωt ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)，t ∈[0，＋∞)， 从题图中可以看出A ＝4，T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π.即2πω＝π，即ω＝2，将t ＝π12，s ＝4代入解析式，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1，解得φ＝π3.所以这条曲线的函数解析式为s ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)．(3)当t ＝0时，s ＝4sin π3＝23(cm)，故小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是2 3 cm.[B 能力提升]10．如图所示，一个大风车的半径为8 m ，每12 min 旋转一周，最低点离地面2 m ．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P 离地面的距离h (m)与时间t (min)之间的函数关系是( )A ．h ＝8cos π6t ＋10B ．h ＝－8cos π3t ＋10C ．h ＝－8sinπ6t ＋10 D ．h ＝－8cos π6t ＋10解析：选D.依题意可设h ＝A sin(ωt ＋φ)＋B (A >0，ω>0)，易知T ＝12，A ＝8，B ＝10，所以ω＝2π12＝π6，则h ＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πt 6＋φ＋10，当t ＝0时，8sin φ＋10＝2，得sin φ＝－1，可取φ＝－π2，所以h ＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋10＝－8cos π6t ＋10.11．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6（x －6）(A ＞0，x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的月平均气温值为________℃.解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6），当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4＝20.5.答案：20.512.如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC ，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD 是函数y ＝k x (k >0)的图象的一部分，后一段DBC 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈[4，8])的图象，图象的最高点为B ⎝⎛⎭⎫5，833，且DF ⊥OC ，垂足为点F .(1)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式；(2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE ，点P 在曲线OD 上，其横坐标为43，点E 在OC 上，求儿童乐园的面积．解：(1)由图象，可知A ＝833，ω＝2πT ＝2π4×（8－5）＝π6，将B ⎝⎛⎭⎫5，833代入y ＝833sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ中，得5π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝2k π－π3(k ∈Z )． 因为|φ|<π2，所以φ＝－π3，故y ＝833sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3.(2)在y ＝833sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3中，令x ＝4，得D (4，4)，从而得曲线OD 的方程为y ＝2x (0≤x ≤4)，则P ⎝⎛⎭⎫43，433，所以矩形PMFE 的面积为S ＝⎝⎛⎭⎫4－43×433＝3239，即儿童乐园的面积为3239. 13．(选做题)为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入，为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？解：(1)设该函数为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f (2)最小，f (8)最大，且f (8)－f (2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f (x )在[2，8]上单调递增，且f (2)＝100，所以f (8)＝500.根据上述分析可得，2πω＝12，故ω＝π6，且⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋B ＝100，A ＋B ＝500，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝200，B ＝300.根据分析可知，当x ＝2时，f (x )最小， 当x ＝8时，f (x )最大，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝－1，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8×π6＋φ＝1.又因为0＜|φ|＜π，故φ＝－5π6.所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f (x )＝200sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －5π6＋300.(2)由条件可知，200sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －5π6＋300≥400，化简，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －5π6≥12⇒2k π＋π6≤π6x －5π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，解得12k ＋6≤x ≤12k ＋10，k ∈Z . 因为x ∈N *，且1≤x ≤12， 故x ＝6，7，8，9，10.即只有6，7，8，9，10五个月份要准备400份以上的食物．。
数学人教A版4课后训练：1.6 三角函数模型的简单应用含解析
课后训练1．某人的血压满足函数式f （t )＝24sin 160πt ＋110，其中f （t ）为血压,t 为时间,则此人每分钟心跳的次数为( ）A ．60B ．70C ．80D ．902．设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l ）的图象大致是( )3．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过12周期后,乙点的位置将移至( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．函数f (x )的部分图象如图所示,则下列选项正确的是( )A ．f (x ）＝x ＋sin xB ．f （x )＝cos x xC ．f (x ）＝x cos xD ．f (x )＝π3π22x x x ⎛⎫⎛⎫⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 5．函数s ＝A sin(ωt ＋φ)(A ＞0,ω＞0）表示一个振动量,振幅是2,频率是32π,初相是π12,则这个函数为( ） A ．s ＝π2sin 36t ⎛⎫- ⎪⎝⎭(t ≥0) B ．s ＝1πsin 236t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（t ≥0）C ．s ＝π2sin 312t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（t ≥0）D ．s ＝1πsin 326t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（t ≥0） 6．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f (x )＝A sin （ωx ＋φ)＋B π00||2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭，，的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f （x ）的解析式为______________．7．如图,电流强度I (单位：安）随时间t (单位：秒)变化的函数I ＝πsin 6A t ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭（A ＞0，ω≠0)的图象，则当150t =秒时，电流强度是__________安．8．交流电的电压E （单位：伏）与时间t （单位:秒）的关系可用π100π6E t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭来表示，求： （1)开始时的电压；(2）电压值重复出现一次的时间间隔;(3）电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间．9．已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数,记作y ＝f (t ），下表是某日各时的浪高数据．A cos ωt ＋B 的图象．(1)根据上表数据，求函数y ＝A cos ωt ＋B 的最小正周期T 、振幅A及函数解析式；(2)依据规定，当海浪高度等于或高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内上午8：00至晚上20:00之间，有多长时间可供冲浪爱好者进行运动？。
1.6三角函数模型的简单应用(第二课时)-2017-2018学年高一数学必修四同步精选练习
1.6三角函数模型的简单应用 课后练习题(时间：15分钟，满分：35分)一、选择题（每小题5分,共15分）1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I=2sin 100πt,t ∈(0,+∞),则电流I 变化的周期是 ( )A. B.100 C. D.50【答案】C【解析】选C.由题意知,T===.2.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,五一某商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin (t≥0),则在下列哪个时间段内人流量是增加的?( )A[0，5] B[5，10] C[10， 15] D[15，20]【答案】C3．函数y=sin(ωx+φ)(x ∈R ，ω>0，0≤φ<π)的部分图象如图，则 ( )A.ω=，φ=B.ω=，φ=C.ω=，φ=D.ω=，φ= 【答案】C【解析】由3-1=2=⇒T=8=⇒ω=，特殊点函数值f(1)=1，可得φ=.二、填空题（每小题5分，共10分）4．一根长a cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s (cm)和时间t (s)的函数关系式是s ＝3cos 3π⎫+⎪⎪⎭，t ∈[0，＋∞)，则小球摆动的周期为________s.【解析】小球的位移s 与时间t的函数关系为[)3cos ,0,3s t π⎫=+∈+∞⎪⎪⎭， ∴小球摆动的周期为2T πω===5．点P 是半径为r 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P 0开始，按逆时针方向以角速度ω(rad/s)做圆周运动，则点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系式为 .【答案】y=rsin(ωt+φ)三、解答题（每小题10分）6．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常的情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋。
下面是某港口某季节一天的时间与水深的关系表： ）（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并分别求出10：00时和13：00时的水深近似数值。
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1.6 三角函数模型简单应用
1．函数的2cos 3cos 2y x x =-+最小值为（ ） A ．2 B ．0 C ．4
1
- D ．6
2．2sin 5cos )(+-⋅=x x x x f ，若a f =)2(，则)2(-f 的值为（ ）． A ．－a B ．2＋a C ．2－a D ．4－a
3．设A 、B 都是锐角，且cosA ＞sinB 则A+B 的取值是 （ ） A ．⎪⎭
⎫
⎝⎛ππ,2 B ．()π,0 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π
D ．⎪⎭
⎫
⎝⎛2,4ππ
4．若函数)(x f 是奇函数，且当0<x 时，有x x x f 2sin 3cos )(+=，则当0>x 时，
)(x f 的表达式为（ ）
A ．x x 2sin 3cos +
B ．x x 2sin 3cos +-
C ．x x 2sin 3cos -
D ．x x 2sin 3cos --
5．下列函数中是奇函数的为( )
A ．y=x
x x x cos cos 22-+
B ．y=
x
x x x cos sin cos sin -+ C ．
y=2cosx
D ．y=lg(sinx+x 2sin 1+)
6．在满足
x
x
4
πtan 1πsin +＝0的x 中，在数轴上求离点6最近的那个整数值是 ． 7．已知()3s i n 4
f
x a x b x =
++（其中a 、b 为常数），若()52=f ，则()2f -=__________．
8．若︒>30cos cos θ，则锐角θ的取值范围是_________． 9．由函数⎪⎭
⎫ ⎝⎛≤≤=6563sin 2ππ
x x y 与函数y ＝2的图象围成一个封闭图形，
这个封闭图形的面积是_________．
10．函数1sin(2)2
y x θ=
+的图象关于y 轴对称的充要条件是
11．如图，表示电流强度I 与时间t 的关系式),0,0)(sin(>>+=ωϕωA t A I 在一个周期内的图象.
①试根据图象写出)sin(ϕω+=t A I 的解析式 ②为了使)sin(ϕω+=t A I 中t 在任意一段
1100
秒的时间内I 能同时取最大值|A|和最小值－|A|， 那么正整数ω的最小值为多少？
12．讨论函数y=lgcos2x 的的定义域、值域、奇偶性、周期性和单调性等函数的基本性质
13．函数2
()122cos 2sin f x a a x x =---的最小值为()()g a a R ∈，
（1）求g a ()的表达式；（2）若1
()2
g a =
，求a 及此时()f x 的最大值
14．已知f(x)是定义在R 上的函数，且1()(2)1()
f x f x f x ++=
-
(1)试证f(x)是周期函数. (2)若f(3)=3-，求f(2005)的值.
15．已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是R 上的偶函数，其图象关于点
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛2π0，对称，且在,043πM 上是单调函数，求ϕω和的值．
1.6 三角函数模型简单应用
1．Ｂ 2．D 3．C 4．B 5．Ｄ 6．1 7．3 8．︒<<︒300θ 9．
π34 10．,2
k k Z π
θπ=+∈
11．（1）)3
100sin(300π
π+=t I （2）629=ω
12．定义域：(kπ-
4π,kπ+4π
),k ∈Z;值域]0,(-∞；奇偶性：偶函数；周期性：周期函数，且T=π;单调性：在(kπ-4π,kπ] (k ∈Z)上递增，在［kπ,kπ+4
π
)上递减
13．2()122cos 2sin f x a a x x =--- 2122cos 2(1cos )a a x x =----
2
2cos 2cos 12x a x a =---2
2
2(cos )12()22
a
a x a a R =----
∈ (1)函数()f x 的最小值为()g a
1.122a a <-<-当时即时，cos 1x =-由得 2
2()2(1)12122a a g a a =-----=
2.11222a a -≤≤-≤≤当时即时，cos 2a x =由得 2
()122
a g a a =---
3.122a a >>当时即时，cos 1x =由，2
2()2(1)1222
a a g a a =----得＝14a -
综上所述得 21
(2)()12(22)214(2)
a a g a a a a a <-⎧⎪
⎪
=---≤≤⎨⎪
->⎪⎩－ (2) g a a ()=∴-≤≤1222有 221
1243022
a a a a -=++=－
－得 13()a a ∴=-=-或舍
2
21()2(cos )1222
a a a f x x a =-=----将代入 211()2(cos )22f x x =++得
cos 1x =当 2()x k k Z π=∈即时得 max ()5f x =
14．(1)由1()(2)1()
f x f x f x ++=
-，故f(x+4)=
)
2(1)
2(1+-++x f x f =1()f x -
f(x+8)=f(x+4+4)=1
(4)
f x -
+=f(x)，即8为函数()f x 的周期
(2)由 f(x+4) =1()f x -
，得f(5) =13(1)3
f -= ∴f(2005)=f(5+250×8)=f(5)=33 15． 由f （x ）为偶函数，知|f （0）|=1,结合πϕ≤≤0，可求出2
π
ϕ=
．
又由图象关于⎪⎭⎫
⎝⎛0,43πM 对称，知043=⎪⎭
⎫
⎝⎛πf ，即043cos =ωπ 又0>ω及
()()()2,1,0123
2
,,2,1,0243=+=∴=+=k k k k ωππωπ ． 当k=0,1即32=
ω，2时，易验证f （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上单减；k≥2时，f （x ）在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,0π上不是单调的函数．综上所述22,32
π
ωϕ==或。