湘教版直角三角形的性质和判定(2)导学案
湘教版数学八年级下册1.2《直角三角形的性质与判定》教学设计2
湘教版数学八年级下册1.2《直角三角形的性质与判定》教学设计2一. 教材分析《直角三角形的性质与判定》是湘教版数学八年级下册第二章的第一节内容。
本节主要让学生掌握直角三角形的性质，包括勾股定理、直角三角形的边角关系等，并能运用这些性质解决实际问题。
同时，让学生学会运用直角三角形的判定方法判断一个三角形是否为直角三角形。
本节课的内容是学生进一步学习几何知识的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了实数、方程、函数等基础知识，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但部分学生对于几何图形的认识和理解还不够深入，对于一些概念和性质的掌握还不够牢固。
因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，通过引导和启发，帮助他们理解和掌握本节内容。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握直角三角形的性质和判定方法，能运用这些性质和判定方法解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学学习的乐趣，增强学生对数学学科的学习兴趣。
四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质和判定方法。
2.教学难点：直角三角形的性质和判定方法的运用。
五. 教学方法1.引导法：通过提问、启发、引导等方式，激发学生的思考，帮助学生理解和掌握知识。
2.实例法：通过列举实例，让学生直观地感受和理解直角三角形的性质和判定方法。
3.小组合作学习法：让学生分组讨论和探究，培养学生的合作意识和团队精神。
六. 教学准备1.准备直角三角形的相关图片和实例，用于教学演示和讲解。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等，用于展示和播放教学课件。
3.准备练习题和测试题，用于巩固和检验学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的直角三角形实例，如三角板、楼梯拐角等，引导学生关注直角三角形，激发学生的学习兴趣。
1.2直角三角形的性质和判定(Ⅱ)-湘教版八年级数学下册教案
1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）-湘教版八年级数学下册教案直角三角形是初中数学中重要的概念，本文将从性质和判定两个方面进行介绍，帮助同学们更加深入理解直角三角形。
一、性质1. 直角三角形的定义直角三角形是指一个三角形中，有且仅有一个内角为直角的三角形。
2. 直角三角形的特点直角三角形有以下几个特点：•直角三角形的内角和为180度；•直角三角形的两条直角边相等；•直角三角形的斜边是直角边的平方和的平方根。
3. 直角三角形的勾股定理勾股定理是直角三角形中最著名的定理，它表明：在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
具体而言，设直角三角形三边分别为a、b、c（其中c为斜边），直角边为a和b，则有：a2+b2=c24. 直角三角形的中线定理在一个直角三角形中，过直角边的中点向斜边引一条垂线，则垂足与斜边分成的两条线段的长度满足：•直角边上的中线长度等于斜边长度的一半；•斜边上的中线长度等于直角边长度的一半。
二、判定1. 判定一个三角形是否为直角三角形判定一个三角形是否为直角三角形的方法有以下几种：•观察三角形的内角是否有一个为90度；•使用勾股定理，判断三条边是否满足勾股定理的条件；•如果长度已知，可以计算三条边的长度，判断是否满足勾股定理的条件。
2. 判定一个三角形中一个角是否为直角判定一个三角形中一个角是否为直角，常用的方法是使用三角函数。
三角函数即包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们在数学中有广泛的应用，在直角三角形中也有特别重要的作用。
通过使用三角函数，我们可以通过已知的两条边长和一个角度来求解诸如第三条边长、未知角度等问题。
结论直角三角形是初中数学中一个重要而基础的概念，同学们需要熟练掌握它们的性质和判定方法。
同时，在熟练掌握后，同学们可以通过它们解决许多实际问题。
湘教版数学八年级下册《1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)》教学设计
湘教版数学八年级下册《1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）》教学设计一. 教材分析湘教版数学八年级下册第1.2节《直角三角形的性质和判定（Ⅱ）》主要包括两个方面内容：一是进一步探究直角三角形的性质，二是学习直角三角形的判定方法。
本节内容是在学生已经掌握了直角三角形的性质和判定方法的基础上进行学习的，通过本节的学习，使学生能更深入地理解直角三角形的性质和判定方法，提高解题能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了直角三角形的性质和判定方法的基本知识，但还需要进一步的巩固和提高。
此外，学生对于证明题的解法还有一定的困难，需要老师在教学过程中进行针对性的指导。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生进一步理解直角三角形的性质，掌握直角三角形的判定方法，提高解题能力。
2.过程与方法：通过小组合作、讨论交流等方法，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质和判定方法。
2.教学难点：证明题的解法。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入直角三角形的性质和判定方法，让学生感受到数学与生活的联系。
2.小组合作学习：引导学生进行小组讨论交流，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
3.问题驱动法：教师提出问题，引导学生进行思考，激发学生的学习兴趣。
4.讲解法：教师针对学生的疑问进行讲解，帮助学生理解和掌握知识。
六. 教学准备1.教具准备：直角三角板、课件等。
2.教学环境：教室。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活实例引入直角三角形的性质和判定方法，引导学生思考直角三角形在实际生活中的应用。
2.呈现（10分钟）教师利用课件展示直角三角形的性质和判定方法，引导学生进行观察和思考。
3.操练（10分钟）教师提出问题，引导学生进行小组讨论交流，共同解决问题。
教师巡回指导，对学生的疑问进行讲解。
八年级数学下册 1.2 直角三角形的性质和判定(II)(第1课时)导学案(新版)湘教版
1.2直角三角形的性质与判定II（1）一、新课引入〈一〉复习旧知1.直角三角形的性质有哪些？2.如何判断一个三角形是直角三角形？〈二〉导读目标学习目标：1.并掌握直角三角形的判判定定理勾股定理；2．学会用勾股定理解决简单的几何问题．重点：探索并掌握直角三角形的判定定理勾股定理难点：运用直角三角形判定定理解题二、预习导学预习课本P9到P11内容，解答下列问题：1.量一量第9页的做一做，你的结果是多少？2.算一算第9页的议一议，三个正方形的面积是多少，他们之间有什么关系？由此你得出什么结论？猜想：三、合作探究（一）勾股定理的探究如图，任作一个Rt△ABC，∠C=900，若BC=a，AC=b，AB=c，那么a2+b2=c2是否成立呢？归纳定理：（二）勾股定理的应用例1.在Rt△ABC中，∠C=900 (1) 已知a=25，b=15，求c；(2)已知a=5，c=9求b； (3)已知b=5，c=15，求a.例2．如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13cm，BC=10c m，AD⊥BC与点D,你能算出AD的长吗？四、解法指导五、堂上练习1.在Rt△ABC 中，∠C=900（1）若a=8，c=17，那么b= ;（2）若a=10，b=24，那么c= .2.在Rt△ABC中,∠ACB=90°，AC=4,BC=3.求Rt△ABC斜边上的高．六、课堂小结说说你在这堂课上的收获和疑惑？七、课后作业1.在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=3，c=5，则b=___________；②若a=5，b=12，则c=___________；③若c=25，b=7，则a=________；④a=8，b=15，则c= .2.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长是 .3．如图，∠B=∠ACD=900，BC=3，AD=13，CD=12，求AB的长.。
湘教版八年级下册数学1.2直角三角形性质和判定(Ⅱ)导学案设计(无答案)
课题：1.2直角三角形的性质和判断（Ⅱ）（1）【学习目标】1．认识勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．会简单的应用勾股定理。
【学习要点】勾股定理的内容及证明。
【学习难点】勾股定理的证明【学习过程】一、知识链接（用学过的知识达成以下填空）①含有一个的三角形叫做直角三角形.②已知Rt△ABC中的两条直角边长分别为a、b,则S△ABC＝.③已知梯形上下两底分别为a和b，高为（a＋b），则该梯形的面积为④完整平方公式：（a±b）2＝.⑤在Rt△ABC中，已知∠A＝30°，∠C＝90°，直角边BC＝1，则斜边AB＝..二、自主学习1.在我国古代，人们将直角三角形中_____________叫做勾，______________叫做股，_______叫做弦.（1）能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？结论1：（2）察看右侧两幅图，填表。
A的面积B的面积C的面积C左图A CAB右图 B （3）你是如何获得正方形C的面积的？与伙伴沟通．3.猜想命题：假如直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么。
三、合作研究1.已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2 b2 c2证明：4S+S小正= S大正=△依据的等量关系：D C 由此我们得出：abAcB概括定理：直角三角形两条______假如直角三角形的两条直角边分别为的平方和等于a、b，斜边为__ ___的平方.c，那么_________________2.在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13cm,BC=10cm,AD⊥BC于点D，你能算出BC边上的高AD的长吗？四、当堂检测1、在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则S Rt△ABC=________。
湘教版八下数学1.2直角三角形的性质和判定(II)(第2课时)教学设计
湘教版八下数学1.2直角三角形的性质和判定（II）（第2课时）教学设计一. 教材分析湘教版八下数学1.2直角三角形的性质和判定（II）（第2课时）的内容包括：进一步探究直角三角形的性质，了解直角三角形的判定方法，以及运用这些性质和判定方法解决实际问题。
本节课的内容是学生在学习了勾股定理和直角三角形的性质和判定（I）的基础上进行的，是对前面知识的深化和拓展。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了勾股定理和直角三角形的性质和判定（I），具备了一定的几何知识基础。
但学生在解决实际问题时，往往不能灵活运用所学知识。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的解题能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握直角三角形的性质和判定方法，能够运用这些性质和判定方法解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的几何思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生合作交流、积极探究的精神。
四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质和判定方法。
2.教学难点：如何引导学生将理论知识与实际问题相结合。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、操作、猜想、验证，发现直角三角形的性质和判定方法。
2.案例分析法：教师通过列举实例，让学生运用所学知识解决实际问题。
3.合作交流法：学生分组讨论，分享解题心得，互相学习，提高解题能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示直角三角形的性质和判定方法。
2.练习题：准备一些有关直角三角形的性质和判定问题的练习题，用于巩固所学知识。
3.实物模型：准备一些直角三角形的实物模型，便于学生观察和操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾勾股定理和直角三角形的性质和判定（I），为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师利用课件展示直角三角形的性质和判定方法，引导学生观察、操作、猜想、验证。
直角三角形性质和判定2教案第1课时勾股定理证明(新湘教版)
第一课时（勾股定理）
1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会 用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 导学重点：勾股定理的内容及证明。 导学难点：勾股定理的内容及证明。 一、引 直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示） （1）两锐角之间的关系： （2）若 D 为斜边中点，则斜边中线 （3）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： 二．探 自学内容：1、阅读教材 P9 至 P11 页；2、完成自主学习；3、并找 出你存在的疑难，并用红笔标记。 (一)、1、 （1） 、同学们画一个直角边为 3cm 和 4cm 的直角△ABC， 用刻度尺量出 AB 的长。 （2） 、再画一个两直角边为 5 和 12 的直角△ABC，用刻度尺量 AB 的长 导学 目标
2 2
S1 S2
S3
第 4 题图
2
A.若 a 、 b 、 c 是△ABC 的三边，则 a b c
B.若 a 、 b 、 c 是 Rt△ABC 的三边，则 a 2 b2 c 2 C.若 a 、 b 、 c 是 Rt△ABC 的三边， A 90 ， 则 a 2 b2 c 2 D.若 a 、 b 、 c 是 Rt△ABC 的三边， C 90 ，则 a 2 b2 c 2 3、一个直角三角形中，两直角边长分别为 3 和 4，下列说法正确的 是（ ） A．斜边长为 25 B．三角形周长为 25 C．斜边长为 5 D．三角形面积为 20 4、如图,三个正方形中的两个的面积 S1＝25，S2＝144，则另一个的 面积 S3 为________． 5 、一个直角三角形的两边长分别为 5cm 和 12cm, 则第三边的长 为 。 6、在等腰三角形 ABC 中，已知 AB=AC=13cm,BC=10cm,,AD⊥BC 于点 D，你能算出 BC 边上的高 AD 的长吗？
湘教版八下数学1.1.2《直角三角形的性质与判定(二)说课稿
湘教版八下数学1.1.2《直角三角形的性质与判定（二）说课稿一. 教材分析湘教版八下数学1.1.2《直角三角形的性质与判定（二）》这一节，是在学生已经掌握了直角三角形的性质与判定（一）的基础上进行进一步学习的。
本节课的主要内容是让学生进一步探究直角三角形的性质，并能运用这些性质解决实际问题。
教材通过引入生活中的实例，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究直角三角形的性质，从而提高他们的数学素养。
二. 学情分析在进入本节课的学习之前，学生已经掌握了直角三角形的性质与判定（一），对直角三角形有了初步的认识。
但学生在运用直角三角形的性质解决实际问题方面还有一定的困难，特别是对于一些复杂图形的处理能力有待提高。
因此，在教学过程中，我将以引导学生主动探究直角三角形的性质为主，通过具体实例，让学生体会数学与生活的联系，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生进一步探究直角三角形的性质，并能运用这些性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过学生自主探究、合作交流，培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学与生活的联系，增强学生对数学的兴趣，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质及其运用。
2.教学难点：如何引导学生运用直角三角形的性质解决实际问题。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用引导探究法、合作交流法和实例教学法。
引导探究法是指教师通过提出问题，引导学生主动探究直角三角形的性质；合作交流法是指学生在小组内进行讨论，共同解决问题；实例教学法是指通过具体的生活实例，让学生体会数学与生活的联系。
六. 说教学过程1.导入：以一个实际问题引入，让学生思考如何解决这个问题，从而引出直角三角形的性质。
2.探究：让学生自主探究直角三角形的性质，教师引导学生进行观察、分析，引导学生发现规律。
湘教版数学八年级下册(新) 教案：1.2《直角三角形的性质和判定(II)》(第5课时)
3．在下列说法中是错误的（）
A．在△ABC中，∠C＝∠A一∠B，则△ABC为直角三角形.
B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝5：2：3，则△ABC为直角三角形.
C．在△ABC中，若a＝ c，b＝ c，则△ABC为直角三角形.
D．在△ABC中，若a：b：c＝2：2：4，则△ABC为直角三角形.
课后反思
课题
直角三角形的性质和判定（2）
共5课时
第5课时
课型
新课
教学目标
1．知识与技能：准确运用勾股定理及逆定理
2.过程与方法：经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，应用“数形结合”的思想来解决
3.情感态度与价值观：培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用
重点难点
1、重点：掌握勾股定理及其逆定理
分析：
⑴移项，配成三个完全平方；
⑵三个非负数的和为0，则都为0；
⑶已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。
例3已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD。
求证：△ABC是直角三角形。
作业P17习题B组7、8、9题
培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用
4．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为.
三
师生小结
四.用
例1、如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？
湘教版八年级数学下册 直角三角形的性质和判定(第2课时)教学设计
练习引申：
（1）若连接DE，能得 出什么结论？
（2）若O是DE的中点，则MO与DE存在什么结论吗？
上题两个直角三角形共用一条斜边，两个直角三角形位于斜边的同侧。如果共用一条斜边，两个直角三角形位于斜边的两侧我们又会有哪些结论？
2、已知：∠ABC=∠AD C=90º，E是AC中点。你能得到什么结论？
E、F分别AB、AC的中点。
求证：DE=DF
分析：可证两条线段分别是两直角三角形的斜边上的中线，再证两斜边相等即可证得。
（上一题我们是两个直角三角形的一条较长直角边重合，现 在我们将图形变化使斜边重合，我们可以得到哪些结论？）
练习变式：
已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，F是BC的中点。
（通过动手操作找到那个点，通过测量的结果让学生猜测斜边的中线与斜边的关系。）
（二）新授：
提出命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
证明命题：（教师引导，学生讨论，共同完成证明过程）
推理证明思路：①作点D1②证明所作点D1具有的性质③证明点D1与点D重合
应用定理：
例1、已知：如图，在 △ABC中，∠B=∠C，AD是∠BAC的平分线，
直角三角形的性质和判定
教学目标
1．知识与技能：掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用
2.过程与方法：通过图形的变换，引导学生发现并提出新问题，进行类比联想，促进学生的思维向多层次多方位发散。培养学生的创新精神和创造能力
3.情感态度与价值观：从生活的实际问题出发，引发学生学习数学的兴趣。从而培养学生发现问题和解决问题能力
（通过实际问题引出直角三角形斜边上的中点和三个顶点之间的长度关系，引发学生的学习兴趣。）
湘教版数学八年级下册(新) 教案：1.2《直角三角形的性质和判定(II)》(第3课时)
∵
∴
∴∠ACD＝900
以上习题，分别由学生先思考，然后回答．师生共同补充完善．（教师做总结）
4、课堂小结：
（1）逆定理应用时易出现的错误分不清哪一条边作斜边（最大边）
（2）判定是否为直角三角形的一种方法：结合勾股定理和代数式、方程综合运用．
5、布置作业：
补充：
如图，已知：CD⊥AB于D，且有
则这三角形是直角三角形
证明：∵a2+b2=( m2-n2)2 +(2mn)2
=m4+2m2n2+n4
= (m2+n2)2
∴a2+b2=c2,∠C＝900
2、已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝ ，AB＝3，BC＝4， CD＝12，AD＝13求四边形ABCD的面积
解：连结AC
∵∠B＝ ，AB＝3，BC＝4
课题
直角三角形的性质和判定（2）
共5课时
第3课时
课型
新课
教学目标
1．知识与技能：理解并会证明勾股定理的逆定理；会应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；知道什么叫勾股数，记住一些觉见的勾股数
2.过程与方法：通过勾股定理与其逆定理的比较，提高学生的辨析能力； 通过勾股定理及以前的知识联合起来综合运用，提高综合运用知识能力
（1）让学生用文字语言将上述定理的逆命题表述出来
（2）学生自己证明
逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：a2+b2=c2 ,那么这个三角形是直角三角形
强调说明：
（1）勾股定理及其逆定理的区别
勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理．
（2）判定直角三角形的方法：①角为900②垂直③勾股定理的逆定理
湘教版数学八年级下册1.1《直角三角形的性质与判定》教学设计2
湘教版数学八年级下册1.1《直角三角形的性质与判定》教学设计2一. 教材分析《直角三角形的性质与判定》是湘教版数学八年级下册第一章第一节的内容。
本节课的主要内容有：了解直角三角形的性质，掌握勾股定理，了解直角三角形的判定方法。
通过本节课的学习，学生能够进一步理解直角三角形的特点，为今后的几何学习打下基础。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了三角形的性质，对三角形的基本概念有一定的了解。
但是，对于直角三角形的特殊性质和判定方法，还需要进一步的引导和讲解。
此外，学生对于勾股定理的证明和应用也有一定的困难。
三. 教学目标1.知识与技能：理解直角三角形的性质，掌握勾股定理，了解直角三角形的判定方法。
2.过程与方法：通过观察、操作、探究等活动，培养学生的空间观念和几何思维。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和问题解决能力。
四. 教学重难点1.重点：直角三角形的性质和判定方法。
2.难点：勾股定理的理解和应用。
五. 教学方法1.引导发现法：通过问题引导，让学生发现直角三角形的性质和判定方法。
2.实践操作法：让学生通过实际操作，加深对直角三角形性质的理解。
3.合作学习法：引导学生分组讨论，培养学生的合作意识和问题解决能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示直角三角形的性质和判定方法。
2.教学素材：准备一些直角三角形的实际例子，用于讲解和练习。
3.教学用具：准备一些直角三角形的模型，方便学生观察和操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的直角三角形实例，如电梯按钮、电视遥控器等，引导学生关注直角三角形的存在。
提问：“你们对这些直角三角形有什么认识？”让学生回顾三角形的基本概念，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）介绍直角三角形的性质，如直角三角形的两个锐角互余，直角三角形的斜边最长等。
通过PPT展示相关知识点，并进行讲解。
同时，让学生积极参与，提问：“你们认为直角三角形还有什么性质？”引导学生发现直角三角形的特殊性质。
《直角三角形的性质和判定》导学案 湘教版
第1章 直角三角形1.1 直角三角形的性质和判定第1课时 直角三角形的性质和判定学习目标1、熟练掌握直角三角形的性质、判定和运用.2、在实际的操作中去发现直角三角形的特性，并能自主探究证明方法. 一、自主学习认真阅读教材P1-4页内容，掌握以下基础知识： 1、三角形的内角和是 .2、在直角三角形中，两个锐角的和是 .3、直角三角形的判定定理： .4、动手操作：如图，画出直角三角形ABC 斜边的中线；猜一猜，量一量；这条中线与斜边在长度上有什么关系？AB= CD=探究得出：在直角三角形中，斜边上的中线等于 . 写出证明过程：BDCA二．合作探究1、如图，在三角形ABC 中，∠A+∠B=90°,求证：三角形ABC 是一个直角三角形.2、如图，在直角三角形ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线. （1）若AB=6cm,求CD 的长；（2）若CD=6cm,求AB 的长.BDCAAC B3、如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形.BDCA4、如图，AB//CD ,∠BAC 和∠ACD 的平分线相交于点H,E 为AC 的中点. 求证：（1）△ACH 是Rt △;（2）AC=2EH.HE DBCA四、巩固小结通过本节课的学习，你有哪些收获？五、当堂测评1、直角三角形中，到三个顶点的距离相等的点是 .2、如图，在直角三角形ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线.（1）若DB=5cm,则CD= ； （2）若CD=12cm,则AB= ;（3）若∠A=40°，则∠BDC= ;(4)若AB+CD=15cm,则AB= ,CD= .BDC A。
湘教版八年级数学下册《直角三角形的性质和判定(Ⅱ)》教案
第1章直角三角形1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）第1课时勾股定理【知识与技能】1.让学生体验勾股定理的探索过程.2.掌握勾股定理.3.学会用勾股定理解决简单的几何问题.【过程与方法】经历操作、归纳和猜想，用面积法推导作出肯定结论的过程，来了解勾股定理.【情感态度】了解我国古代数学家发现、推导和应用勾股定理中的贡献与成就，增进爱国主义情感，体验探索发现的过程和知识运用，增强学习数学的自信.【教学重点】勾股定理【教学难点】勾股定理的应用一、创设情境，导入新课问题向学生展示国际数学大会（ICM——2002）的会标图徽，并简要介绍其设计思路.可以首次提出勾股定理.【教学说明】激发学生爱好数学的情感和学习勾股定理的兴趣，调动他们的积极性.教师讲课前，先让学生完成预习.二、思考探究，获取新知勾股定理的验证做一做：教材第9页“做一做”【教学说明】通过测量，学生自主探究，对于直角三角形这一性质有个初步了解.议一议：教材第9页“议一议”【教学说明】引导学生计算，让学生进一步体会探索勾股定理的过程，并对勾股定理拓展应用，进一步体会数形结合的思想.想一想：教材第10页“探究”【教学说明】通过拼图活动，充分调动学生的思维，进一步激发学生的求知欲望，同时加深了学生对新知识的理解.例：教材第11页例1【教学说明】学生初步运用勾股定理解决问题，能够学以致用.三、运用新知，深化理解1.若Rt△ABC中，∠C=90°，且c=37，a=12，则b的值为（）A.50B.35C.34D.262.一直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（）A.4B.8C.10D.123.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB 于D，求CD的长.4.已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2.求证：AB=BC.【教学说明】由学生独立完成，加深对所学知识的理解和运用，对于有困难的学生教师给予点拨，及时调整教学中的缺漏并加以强化，在完成上述题目后，学生自主完成练习册中本课时的对应训练部分.答案：1.B 2.C3.解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∴由勾股定理有AC2=AB2-BC2=52-32=16，∴AC=4.又∵S△ABC=1/2AB·CD=1/2AC·BC,∴CD=AC·BC/AB=12/5(cm)4.证明：连接AC，∵∠ABC=90°，∴AB2+BC2=AC2.∵CD⊥AD，∴AD2+CD2=AC2.∵AD2+CD2=2AB2，∴AB2+BC2=2AB2，∴AB=BC.四、师生互动，课堂小结本节课你学到了什么知识？同学们还存在哪些困惑？【教学说明】让学生畅所欲言，使学生概括能力、语言表达能力进一步得到提高，完善了学生对知识的梳理.1.布置作业：习题1.2中的第1、4题.2.完成练习册中本课时练习的作业部分.1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）第2课时勾股定理的实际应用【知识与技能】1.勾股定理从边的方面进一步刻画直角三角形的特征，学生将在原有的基础上对直角三角形有更深刻的认识和理解.2.掌握直角三角形三边关系——勾股定理及直角三角形的判别条件——勾股定理的逆定理.【过程与方法】1.放手学生从多角度地了解勾股定理.2.提高学生亲自动手的能力.【情感态度】1.学会运用勾股定理来解决一些实际问题，体会数学的应用价值.2.尽可能的给学生提供有关勾股定理的材料，给予交流的机会，并在与他人交流的过程中，敢于发表不同的见解，在交流活动中获得成功的体验.【教学重点】应用勾股定理有关知识解决有关问题.【教学难点】灵活应用勾股定理有关知识解决有关问题.一、创设情境，导入新课问题勾股定理的内容是什么？它揭示了直角三角形三边之间的关系，今后我们来看看这个定理的应用.【教学说明】教师创设问题，有针对性地复习了勾股定理，对本节课的应用勾股定理解决实际的问题打下了坚实的基础.教师讲课前，先让学生完成预习.二、思考探究，获取新知问题勾股定理的应用思考教材第12页“动脑筋”【教学说明】提出问题，提供学生参与数学活动的时间与空间，调动学生的观察能动性，引导学生建立数学模型，提高学生分析问题、解决问题的能力.例：教材第12页例2【教学说明】以古代的数学问题为背景，一方面及时巩固勾股定理的运用，另一方面让学生感受到数学文化.三、运用新知，深化理解1.直角三角形中已知其中的两条边长是4和5，则第三条边等于（）A.3B.41C.3或41D.无法确定2.在Rt△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b，∠B=90°.①已知a=5,b=12，求c;②已知a=20,c=29,求b.3.如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所能走的最短路线的长度.【教学说明】由学生独立完成，以加深对知识的理解和运用，便于了解学生掌握情况，给有困难的学生给予指导，及时纠正他们出现的错误，并改正强化，在完成上述题目后，教师引导学生完成练习册中本课时的对应训练部分.答案：1.C3.解：将曲面沿AB展开，如图，过C作CE⊥AB于E，在Rt△ECF 中，∠E=90°，EF=18-1-1=16（cm），CE=1/2×60=30（cm），由勾股定理，得CF=223016+=34（cm）+=22CE EF四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，给同学们谈谈你的收获是什么？你认为自己还在哪些问题上存在疑问?与大家共同交流.【教学说明】学生自已总结归纳加深印象.引导学生进一步掌握解决实际问题的关键是抽象出相应的数学模型.1.布置作业：习题1.2中的第5、9题.2.完成练习册中本课时练习的作业部分.1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）第3课时勾股定理的逆定理【知识与技能】1.探索并掌握直角三角形判别的方法——勾股定理逆定理.2.会应用勾股逆定理判别一个三角形是否是直角三角形.3.通过三角形三边的数量关系来判断它是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想.【过程与方法】通过“创设情境——实验验证——理论释意——应用”的探索过程，让学生感受知识的乐趣.【情感态度】1.通过合作交流学习的发展体验获取数学知识的感受.2.通过对勾股定理逆定理的探究，激发学生学习数学的兴趣和创新精神.【教学重点】理解和应用直角三角形的判定方法.【教学难点】理解勾股定理的逆定理.一、创设情境，导入新课问题据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：他们用13个等距离的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处.【教学说明】利用古埃及人画直角的方法，让学生体验从实际问题中发现数学，同时明确了本节课所研究的问题，既进行了数学史的教育，又锻炼了学生观察探究的能力，激发了他们渴求知识的欲望，教师讲课前，先让学生完成预习.二、思考探究，获取新知问题勾股定理的逆定理的证明探究教材第14页“探究”【教学说明】让学生有充分的探究、讨论的空间，体会逆定理的发生、发展、形成的过程，让学生亲身体验成功的喜悦，再次感受到数形结合的思想方法的应用.勾股定理的应用例：教材第15页例3、例4 【教学说明】加深对勾股定理逆定理的理解，并能初步的应用逆定理.三、运用新知，深化理解1.下列命题中是假命题的是（）A.△ABC中，若∠B=∠C-∠A，则△ABC是直角三角形B.△ABC中，若a2=(b+c)(b-c)，则△ABC是直角三角形C.△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则△ABC是直角三角形D.△ABC中，若a∶b∶c=5∶4∶3，则△ABC是直角三角形2.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为__________，此三角形的形状为________.3.若a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判定这个三角形的形状.4.探险队里的A组由驻地出发，以12km/h的速度前进，同时，B 组也由驻地出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2小时后同时停下来，这时A、B两组相距30km，那么A、B两组行驶的方向成直角吗？说明理由.【教学说明】由学生自主完成，考验学生学习过程中存在的问题，适时给予引导、点拨，并有针对性地加强训练.在完成上述题目后，让学生完成练习册中本课时的对应训练部分.答案：1. C 2. 6，8，10；直角三角形3.∵a2c2-b2c2=a4-b4,∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),当a2-b2=0时，即（a+b）(a-b)=0，因为a>0,b>0，所以a+b≠0,a-b=0,即a=b，此时为等腰三角形，当a2-b2≠0时，则有c2=a2+b2,根据勾股定理的逆定理此时为直角三角形.综上可得这个三角形的形状为等腰三角形或直角三角形.4.∵（12×2）2+（9×2）2=30∴A，B两组行驶方向成直角.四、师生互动，课堂小结通过学习，你能判断一个三角形是否为直角三角形吗？还有哪些困惑？请与同学们共同操作.1.布置作业：习题1.2中的第2、8题.2.完成练习册中本课时练习的作业部分.。
八年级数学下册 1.2 直角三角形的性质和判定(二)导学案(新版)湘教版
直角三角形的性质和判定(二）导学案第2课时主备人：朱菊球 审核人：朱清华 参与人：全体八年级数学老师一、课前反馈直角三角形有哪些性质？(1)两锐角______；（（2）斜边上的中线等于斜边的________二、导入目标1 进一步掌握直角三角形的性质----直角三角形中，30度的角所对的边等于斜边的一半；2 能利用直角三角形的性质解决一些实际问题。
重难点：重点：直角三角形的性质，难点：直角三角形性质的应用三、自主学习1阅读课本4—6页2 按要求画图：（1）画∠MON ，使∠MON=30°，(2)在OM 上任意取点P ，过P 作ON 的垂线PK ，垂足为K ，量一量PO,PK 的长度，PO,PK 有什么关系？ (3) 在OM 上再取点Q,R ，分别过Q,R 作ON 的垂线QD,RE,垂足分别为D,E ，量一量QD ，OQ ，它们有什么关系？量一量RE,OR ，它们有什么关系？ 由此你发现了什么规律？ 直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
为什么会有这个规律呢？这节课我们来研究这个问题.四、 合作探究1 探究直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边为什么等于斜边的一半。
如图，Rr △ABC 中，∠A=30°，BC 为什么会等于12AB 分析：要判断BC=12AB,可以考虑取AB 的中点，如果如果BD=BC ，那么BC=12AB ，由于∠A=30°,所以∠B=60°, 如果BD=B C,则△BDC 一定是等边三角形，所以考虑判断△BDC 是等边三角形，你会判断吗？由学生完成 K P M D C B A归纳：直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
这个定理的得出除了上面的方法外，你还有没有别的方法呢？先让学生交流，得出把△ABC 沿着AC 翻折，利用等边三角形的性质证明。
八年级数学下册 1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)教案2 (新版)湘教版
1.2直角三角形的性质和判定（Ⅱ）教学目的知识与技能：掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用；教学思考：进一步发展数感，增加对勾股数的直观体验，培养从实际问题抽象出数学问题的能力，建立数学模型．解决问题：会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论．情感态度与价值观：敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识．重点、难点重点：探索并掌握直角三角形的判别条件。
难点：运用直角三角形判别条件解题教学过程一、创设情境，激发学生兴趣、导入课题展示一根用 13 个等距的结把它分成等长的12 段的绳子，请三个同学上台，按老师的要求操作。
甲：同时握住绳子的第一个结和第十三个结。
乙：握住第四个结。
丙：握住第八个结。
拉紧绳子，让一个同学用量角器，测出这三角形其中的最大角。
问：发现这个角是多少？（直角）二、做一做下面的三组数分别是一个三角形的三边a、b、c。
5、12、13 7、24、25 8、15、171、这三组数都满足吗？同学们在运算、交流形成共识后，教师要学生完成。
2、分别用每组数为三边作三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？同学们在在形成共识后板书：如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形。
满足的三个正整数，称为勾股数。
大家可以想这样的勾股数是很多的。
今后我们可以利用“三角形三边a、b、c满足时，三角形为直角形”来判断三角形的形状，同时也可以用来判定两条直线是否垂直的方法。
三、讲解例题例1 一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A 与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD = 4，AB = 3, DC = 12 , BC=13，这个零件符合要求吗？分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ADB和△DBC 是否为直角三角形，这样勾股定理的逆定理即可派上用场了。
八年级数学下册 1.2 直角三角形的性质和判定(II)(第2课时)导学案(新版)湘教版
八年级数学下册 1.2 直角三角形的性质和判定（II）（第2课时）导学案（新版）湘教版1、2直角三角形的性质和判定（Ⅱ）（2）一、新课引入〈一〉复习旧知1、什么是勾股定理？2、在△ABC中，∠C=90、⑴已知AC=6，BC=8，求AB的长; ⑵已知AB=17，AC=15，求BC的长、〈二〉导读目标学习目标：1、会用勾股定理解决简单的实际问题；2、经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法、重点：勾股定理的应用难点：实际问题向数学问题的转化二、预习导学预习课本P12—P13内容，解答下列问题：A，C，CBA一个2、5m长的梯子AC斜靠在一竖直的墙AB上，这时AB的距离为2、4m、(1)求梯子的底端C距墙角B多少米？(2)如果梯子顶端A沿墙下滑0、4m，那么梯子底端C也外移0、4m吗？(保留2位小数)三、合作探究勾股定理的实际应用例1、“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐。
问水深，葭长各几何？”意思是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一根芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺。
如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面。
问水深与芦苇长各为多少？例2、如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C处用侧角仪测得树顶端A的仰角为30，已知侧角仪高DC＝1、4m，BC＝30米，请帮助小明计算出树高AB、（取1、732，结果保留三个有效数字）四、解法指导五、堂上练习1、（1）等边三角形的边长为，求它的中线长，并求出其面积；（2）等边三角形的一条角平分线长为，求这个三角形的边长、C2、如图，一艘渔船以30海里∕h速度由洗向东追赶鱼群。
在A处测得小岛C在船的北偏东600方向；40min后，渔船行至B 处，此时测得小岛C在船的北偏东300方向。
已知以小岛C为中心，周围10海里以内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？600300北东BA六、课堂小结1、本节课学习了直角三角形的哪些知识？2、通过这节课的学习，你在解题思路和方法上有什么收获？七、课后作业如图，AE是位于公路边的电线杆，高为12m，为了使电线CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根为6m的水泥撑杆BD,用于撑起电线，已知两根杆子之间的距离为8m，电线CD与水平线AC的夹角为600。
湘教版八下数学1.2直角三角形的性质和判定(II)(第3课时)教学设计
湘教版八下数学1.2直角三角形的性质和判定（II）（第3课时）教学设计一. 教材分析湘教版八下数学1.2直角三角形的性质和判定（II）是初中数学的重要内容，本节课主要让学生掌握直角三角形的性质和判定方法，进一步理解和运用勾股定理。
教材通过丰富的例题和练习，引导学生探究直角三角形的性质，提高学生解决问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了直角三角形的定义和性质，具备一定的观察、分析和推理能力。
但部分学生对概念的理解不够深入，对于复杂的数学问题，解决方法单一，需要老师在教学中加以引导和培养。
三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握勾股定理及其应用。
2.培养学生的观察、分析和推理能力，提高解决问题的能力。
3.激发学生的学习兴趣，培养合作、探究的精神。
四. 教学重难点1.重点：直角三角形的性质和判定方法。
2.难点：勾股定理的灵活运用和复杂问题的解决。
五. 教学方法1.讲授法：讲解直角三角形的性质和判定方法，引导学生理解概念。
2.案例分析法：分析典型例题，让学生掌握解题思路。
3.小组讨论法：鼓励学生合作探究，培养团队精神。
4.练习法：布置适量作业，巩固所学知识。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示直角三角形的性质和判定方法。
2.例题和练习题：挑选具有代表性的例题和练习题，巩固所学知识。
3.教学工具：直角三角板、尺子、黑板等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用复习提问的方式，引导学生回顾已学的直角三角形的性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）通过课件展示直角三角形的性质和判定方法，让学生初步了解本节课的内容。
3.操练（10分钟）让学生用直角三角板和尺子自己动手操作，验证直角三角形的性质。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）学生独立完成教材中的练习题，教师批改并及时给予反馈，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）出示一些运用勾股定理解决实际问题的题目，让学生分组讨论，探讨解题思路。
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C
D
A
3.如图，∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AB=2BC, 如果，CD=2,求AC的长
解： ∠ACB=90°, AB=2BC ∵ ∴∠A=30° 又∵ CD⊥AB ∴在Rt△CDA中
1 CD= AC 2
B D
A
C
即AC=2CD=2×2=4
4.小美在B点轮船上，看见前面岛上有个灯塔A， 仰角为15°，当轮船向岛的方向行驶5米时，此 时小美看灯塔的.仰角为30°，求灯塔离海平面 的高度。
梅田中学 陈剑峰
学习目标
了解直角三角形的两条性质定 理，并能用定理解决简单的实际 问题。
知识链接
1.如何判定一个三角形是直角三角形？ 2. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 ________
自主探究
阅读课本第87至89页内容，并自主探究下列几个问题： 1.如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°, ∠A=30°，CD 是斜边AB上的中线。 则有: ∠B=________ 60° BD CD=____AB=______, 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （________________________ ） 所以△BCD是等边三角形（有一个角______度的 等于60 三角形 ________是等边三角形） B
1 于是有BC=BD= ____AB 2
D 30 C
A
2.由上可得： 在直角三角形中，如有一个锐角等于 30 ____度，那么，它所对的直角边等于 一半 斜边的__________ 3.在直角三角形中，如果一条直角边等 于斜边的一半，那么这条直角边所对 30 的角等于_______度
合作交流
根据以上探究过程，请你与小组成员一起交 流，解决下列问题： 1.如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°, 1 CD⊥AB, ∠BCD=30°,BC=2,则BD=____, 4 AB=_____
解：过点A作AD垂直BC的延长线于D ∵∠ACD=30° ∴∠CAB=30°- ∠B=15° 即∠B=∠CAB B ∴AC=BC=5m
A
30°
15°
C 5 在Rt△ADC中,AC=5m, ∠ACD=30° 1 1 ∴AD= AC= ×5=2.5m 2 2
D
小结
今天我们学了什么？你还有什么疑 惑吗？
解： 过A作AD⊥OB，垂足为D。
北
A
30 3 60°
在Rt△AOD中，AO= 30 3 海里， ∠AOD=30° 1 1 ∴AD= AO= × 30 3 2 2 ≈25.98(海里）﹥20（海里） 所以轮船不△ABC中，∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,最短的边 10 长为5，则最长的边长为______ 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°, ∠CBA=60°,BD是△ABC的角平分线，如果 9 CD=3 ,则AC的长为________
C
A
D
B
2.如图，在△ABC中 ∠C=45°,∠BAC=105°, AD⊥CB,DC=6,则AB=_________ 12
A
B
D
C
实践应用
在A岛周围20海里水域内有暗礁，一轮船由西向 东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°的方 向，且与轮船相距30 3 海里，如图所示，该船 如果保持航向不变，有触暗礁的危险吗？