解析几何答案-廖华奎-王宝富-第一章

解析几何答案-廖华奎-王宝富-第一章

第一章 向量代数

习题1.1

1. 试证向量加法的结合律，即对任意向量

,,a b c

成立

()().

a b c a b c ++=++

证明：作向量,,AB a BC b CD c ===（如下图），

则

()(),

a b c AB BC CD AC CD AD ++=++=+= ()(),

a b c AB BC CD AB BD AD ++=++=+=

故()().a b c a b c ++=++

2. 设,,a b c 两两不共线，试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是0.a b c ++=

证明：必要性，设,,a b c 的终点与始点相连而成

一个三角形ABC ?，

A

B

C

a

b

c

A

B

C

D

a

b

c

a b

+

b c +

则0.a b c AB BC CA AC CA AA ++=++=+== 充分性，作向量,,AB a BC b CD c ===，由于

0,

a b c AB BC CD AC CD AD =++=++=+=所以点A 与D 重合，

即三向量,,a b c 的终点与始点相连构成一个三角形。

3. 试证三角形的三中线可以构成一个三角形。

证明：设三角形ABC ?三边,,AB BC CA 的中点分别是

,,D E F

（如下图），并且记 ,,a AB b BC c CA ===，则根据书中例1.1.1，三条中线

表示的向量分别是111(),(),(),222CD c b AE a c BF b a =-=-=- 所以，111()()()0,222

CD AE BF c b a c b a ++=-+-+-=故由上题结论得三角形的三中线,,CD AE BF 可以构成一个三角形。

4. 用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。 证明：如下图，梯形ABCD 两腰,BC AD 中点分别为

,E F

，记向量,AB a FA b ==，

A

B

a

b c

E

F

D

C

则,DF b =而向量DC 与AB 共线且同向，所以存在实数0,λ>使得.DC AB λ=现在,FB b a =+,FC b a λ=-+由于

E

是BC 的中点，所以

1111

()()(1)(1).2222FE FB FC b a a b a AB λλλ=

+=++-=+=+且

111

(1)()().222

FE AB AB AB AB DC λλ=

+=+=+

故梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。 5. 试证命题1.1.2。

证明：必要性，设,,a b c 共面，如果其中有两个是共线的，比如是,a b ，则,a b 线性相关，从而,,a b c 线性相关。现在设,,a b c 两两不共线，则向量c 可以在两个向量,a b 上的进行分解，即作以c 为对角线，邻边平行于,a b 的平行四边形，则存在实数,λμ使得c a b λμ=+，因而,,a b c 线性相关。

充分性，设,,a b c 线性相关，则存在不全为零的数1

2

3

,,k k k ，使得1

2

3

0k a k b k c ++=。不妨设3

k

≠，则向

量c 可以表示为向量,a b 的线性组合，因此由向量

加法的平行四边形法则知道向量c 平行于由向量

,a b

决定的平面，故,,a b c 共面。

6. 设,,A B C 是不共线的三点，它们决定一平面

∏

，则点P 在∏上的充要条件是存在唯一的数

组(,,)λμν使得

,(*)

1,

OP OA OB OC λμνλμν?=++?

?++=??

其中，O 是任意一点。P 在ABC ?内的充要条件是(*)与0,0,0λμν≥≥≥同时成立。

证明：必要性，作如下示意图，连接AP 并延长交直线BC 于R 。

则由三点,,B R C 共线，存在唯一的数组1

2

,k k 使得

12OR k OB k OC

=+，并且1

21

k

k +=。由三点,,A P R 共线，存

在唯一的数组1

2

,l l 使得1

2

OP l OA l OR =+，并且1

21

l

l +=。于

是1

2

1

21

22

OP l OA l OR l OA l k OB l k OC =+=++，设1

21

22

,,,l l k l k λμν===由

12

,k k ，1

2

,l l 的唯一性知道(,,)λμν的唯一性，则

,

OP OA OB OC λμν=++且1

21221

l

l k l k λμν++=++=。

充分性，由

已知条件有(1)OP OA OB OC OA OB OC λμνλμλμ=++=++--

A

B

C

O

R P

()()OA OC OB OC OC λμ=-+-+CA CB OC

λμ=++,得到

CP CA CB

λμ=+，因而向量,,CP CA CB 共面，即P 在,,A B C 决

定的平面上。

如果P 在ABC ?内，则P 在线段AR 内，R 在线段BC 内，于是1

2

1

2

0,,,1

k k l l

≤≤，则0,,1λμν≤≤。

如果（*）成立且0,,1λμν≤≤，则有CP CA CB λμ=+，这说明点P 在角ACB ∠内。同样可得到AP AB AC μν=+，这说明点P 在角BAC ∠内。故P 在ABC ?内。

7. 在ABC ?中，点,D E 分别在边BC 与CA 上，

且11

,,33

BD BC CE CA AD ==与BE 交于R ，试证 14

,.77

RD AD RE BE =

=

证明：作如下示意图，

由三点,,B R E 共线，存在k 使得(1)CR kCB k CE =+-，由三点,,A R D 共线，存在l 使得(1)CR lCA l CD =+-，由于

11

,,33

BD BC CE CA =

=有

21

,,33

CD CB CE CA =

=因而

1(1)3CR kCB k CA =+-2

(1)3

lCA l CB

=+-。由于向量,CA CB 不共

A

C

R

E

线，所以21(1),(1)33k l l k =-=-，解此方程组得41

,77k l ==。由此得4377CR CB CE =+， 4344

()7777

ER CR CE CB CE CE CB CE EB =-=

+-=-=。

同理得到17DR DA =。故得14

,.77

RD AD RE BE == 8. 用向量法证明ABC ?的三条中线交于一点P ，并且对任意一点O 有

1

().3

OP OA OB OC =

++

证明：设,,D E F 分别是边,,AB BC CA 的中点，则

,AE BF

交于一点P ，连接

,CP CD

。由

,,A P E

三点共线，存在k

使

1

(1)(1)2

CP kCF k CB kCA k CB =+-=

+-，由,,B P F 三点共线，存

在

l

使

1

(1)(1)2

CP lCE l CA lCB l CA =+-=

+-，于是得

11

1,122k l l k =-=-，解得23

k l ==。从而有11

33CP CB CA =+，然而1122CD CB CA =+，故2

3

CP CD =，即,,C P D 三点共线，A

C

D

E

F P

ABC

?的三条中线交于一点P 。 任取一点

O

，由

1133

CP CB CA

=+，得到

11

()()

33OP OC OB OC OA OC -=-+-，于是1().3

OP OA OB OC =++ 9. 用向量法证明四面体ABCD 的对棱中点连线交于一点P ，且对任意一点O 有

1

().4

OP OA OB OC OD =

+++

证明：设四面体ABCD 的棱,,AB AC AD 的中点分别是,,B C D '''，棱,,BC CD DB 的中点分别是,,E F G ，如下图。则对棱中点连线为,,B F C G D E '''。

则容易知道12C E AB D G ''==，1

2

C D CD EG ''==，因此四边形C D GE ''是平行四边形，,C G D E ''相交且交点是各线段的中点。同理,B F C G ''也相交于各线段的中点，故,,B F C G D E '''交于一点P 。

由以上结论知道，对任意一点O ，由P 是D E '的中点，有

111111

()()222222

OP OD OE OA OD OC OB '=

+=+++，

A

B

C G

E

F D

B '

C '

D '

即1().4OP OA OB OC OD =+++ 10. 设(1,2,

,)

i

A i n =是正n 边形的顶点，O 是它的

中心，试证1

0.n

i

i OA ==∑

证明：设1

n

i

i a OA ==∑，将正n 边形绕着中心旋转2n π。

一方面向量a 绕点O 旋转了角度2n π而得到一个新的向量a '；另一方面，正n 边形绕着中心旋转2n π后与原正n 边形重合，因而向量a 没有变化。方向不同的向量要相等只能是零向量，故10.n

i

i OA ==∑

证法2：由于(1,2,

,)

i

A i n =是正n 边形的顶点，O 是

它的中心，所以2

1(1,2,

,)

i

i i OA OA

kOA i n +++==，其中

1122

,n n A A A A ++==。由三角不等式得到

21

2

1

2(1,2,,)i i i i

i i OA OA k OA OA OA OA i n +++++=<+==，故有2k <。

所以2

1

1

1

()2n

n n

i

i i i

i i i OA OA

OA k OA +===+==∑∑∑，由于

2

k <，所以

1

0.

n

i

i OA

==∑

11. 试证：三点,,A B C 共线的充要条件是存在不全为零的实数,,λμν使得

OA OB OC λμν++=且0λμν++=

其中，O 是任意取定的一点。

证明：必要性，如果三点,,A B C 中至少有两点重合，比如,A B 重合，则0OA OB -=，所以结论成立。如果,,A B C 互不重合，由例1.1.1知道三点,,A B C 共线的充要条件是存在数k 使得(1)0kOA k OB OC +--=，令

,1,1k k λμν==-=-，则,,λμν不全为零，有0OA OB OC λμν++=，

(1)10

k k λμν++=+--=。

充分性，设0OA OB OC λμν++=且0λμν++=，则

()0

OA OB OC λμλμ+-+=，

()()0

OA OC OB OC CA CB λμλμ-+-=+=，由于,,λμν不全为零，

以及点O 的任意性，可知,λμ不全为零，否则ν也为零。所以不妨设0λ≠，则1

CA CB

λ

μ-=-，因而三点

,,A B C

共线。

习题1.2

1. 给定直角坐标系，设(,,)P x y z ，求P 分别关于xOy 平面，x 轴与原点的对称点的坐标。

解：在直角坐标系下，点(

,,)

P x y z 关于x O y

平面，x

轴与原点的对称点的坐标分别是(,,)

x y z -，(,,)x y z --，

(,,)

x y z ---。

2. 设平行四边形ABCD 的对角线交于点P ，

设11

,.56

DM DB CN CA ==在仿射标架{};,A AB AD 下，求点,,P M N 的坐标以及向量MN 的坐标。

解：作如下示意图，

因为P 是DB 中点，所以11

.22AP AB AD =+ 1

5

AM DM AD DB AD =+=

+=114

().555

AB AD AD AB AD -+=+ 55

().66

AN AC AB AD =

=+故在仿射标架{};,A AB AD 下，点

,,P M N

的坐标分别为111455(,),(,),(,).225566

11

56

MN MD DC CN BD AB AC =++=

+-

11191

()(),563030

AD AB AB AB AD AB AD =

-+-+=+

所以向量MN 在仿射标架{};,A AB AD 下的坐标为

191(,).3030

3. 设(1,5,2),(0,3,4),(2,3,1),a b c ==-=--，求下列向量的坐标：

（1）2a b c -+；（2）324a b c -++。

解：（1）22(1,5,2)(0,3,4)(2,3,1)(0,16,1).a b c -+=--+--=- （2）3243(1,5,2)2(0,3,4)4(2,3,1)(11,9,2).a b c -++=-+-+--=---

B

C

D

P

M

N

4. 判断下列各组的三个向量,,a b c 是否共面？能否将c 表示成,a b 的线性组合？若能表示，则写出表示式。

（1）(5,2,1),(1,4,2),(1,1,5);a b c ==-=-- （2）(6,4,2),(9,6,3),(3,6,3);a b c ==-=- （3）(1,2,3),(2,4,6),(1,0,5).a b c =-=--= 解

：（

1

）

设

1230,

k a k b k c ++=即

123(5,2,1)(1,4,2)(1,1,5)0,

k k k +-+--=则有

1231231

2350,240,250.

k k k k k k k k k --=??

+-=??++=?该方程

组只有零解1

230,

k

k k ===所以三向量不共面。

（2）设1

2

3

0,k a k b k c ++=即1

2

3

(6,4,2)(9,6,3)(3,6,3)0,

k k k +-+-=则有

1231231

236930,

4660,2330.

k k k k k k k k k --=??

++=??++=?该方程组等价于1231

23

230,2330.

k

k k k

k k --=??

++=?

由此得到1

32312

,,

23

k

k k k =-=-只要3

k 不为零，1

2

,k k 就不为

零，所以三向量共面。取3

1

k

=，则1

212

,,

23

k

k =-=-所

以12

,23

c a b =+即c 可表示成,a b 的线性组合。 （3）设1

2

3

0,k a k b k c ++=即1

2

3

(1,2,3)(2,4,6)(1,0,5)0,

k k k -+--+=则有

1231212320,

240,

3650.

k k k k k k k k -+=??

-=??-++=?

该方程组等价于

12320,

0.

k k k -=??

=?方程

组有非零解（2，1，0），所以三向量共面。由于

3

k 只能为零，故c 不能表示成,a b 的线性组合。 5.在ABC ?中，设,D E 是边BC 的三等分点，试用AB

和AC 表出AD 与AE 。

6.设在一平面∏上取一个仿射标架{}1

2

;,O e e ，∏

上三点(,),1,2,3,i

i

i

P x y i =共线当且仅当1

12

23

3

110.1

x y x

y x y =

证明：三点(,),1,2,3,i

i

i

P x y i =共线当且仅当12

13

P P P P ，

即2

121

31

31.x

x y y x

x y y --=--展开得1

2

23311332210.

x y

x y x y x y x y x y ++---= 11223

3

1101

x y x y x y =展开行列式

得

1223311332210.

x y x y x y x y x y x y ++---=故命题成立。

7.在ABC ?中，设,,P Q R 分别是直线,,AB BC CA 上的点，并且

,,.

AP PB BQ QC CR RA λμν===

证明,,P Q R 共线当且仅当 1.λμν=- 证明：作如下示意图，

由于,,P Q R 分别是直线,,AB BC CA 上的定比分点，所以

A

C

R P

Q

1,1,1

λμν≠-≠-≠-。建仿射标架{};,A AB AC ，由于

(),

AP PB AB AP λλ==-1AP PB AB

λ

λλ

==+；

,AR AC RC AC AR ν=-=-1

1AR AC ν

=

+；

1

,,1BQ QC BC CQ QC BC μμ

==+=

+111()1111AQ AC CQ AC CB AC AB AC AB AC μμμμμ

=+=+

=+-=+++++。

所以,,P Q R 在仿射标架{};,A AB AC 下的坐标分别为

11(

,0),(

,),(0,)1111P Q R λ

μλ

μμν

++++。根据上题的结论，,,P Q R 共

线当且仅当

11110.1110

1

1λ

λ

μ

μμν

+=+++展开行列式即得到

1.

λμν=-

9. 试证命题1.2.1。

证明：取定标架{}1

2

3

;,,O e e e ，设向量1

2

3

1

2

3

(,,),(,,).a a a a b b b b ==

（1）11

22

33

11

22

33

()()a b a e a e a e b e b e b e +=+++++ 1

1

1

2

2

2

3

3

3

1

1

2

233()()()(,,).

a b e a b e a b e a b a

b a b =+++++=+++ （2）11

2233112233()()

a b a e a e a e b e b e b e -=++-++

111222333112233()()()(,,).

a b e a b e a b e a b a b a b =-+-+-=---

（3）11

2233112233123()(,,)

a a e

a e a e a e a e a e a a a λλλλλλλλ=++=++=。

习题1.3

1.设0,3,1,4a b c a b c ++====，求a b b c c a ++。 解：由0,3,1,4a b c a b c ++====，得

2

2

2

0()()2()a b c a b c a b c a b b c c a =++++=+++++

91162()

a b b c c a =+++++，

所以13.a b b c c a ++=-

2.已知3,2,(,)6a b a b π==∠=，求(32)(25)a b a b +-。 解：2

2

(32)(25)61011a b a b a

b a b +-=--

54401123cos

1433 3.

6

π

=--=-

3.已知3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求

(,)

a b ∠。

解：因为3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，所以

2222(3)(75)715160,(4)(72)78300a b a b a b a b a b a b a b a b ?+-=-+=??--=+-=??

得到2

2

2,

a

b a b ==于是1

cos (,),2

a b a b a b ∠==故(,).3a b π∠= 4.证明：对任意向量,a b 都有

2

2

2

2

22.

a b a b a b ++-=+ 当a 与b 不共线时，说明此等式的几何意义。 证明：2

2

()()()()

a b

a b a b a b a b a b ++-=+++--

2

2

2

2

2

2

2222.

a b a b a b a b a b =++++-=+

当a与b不共线时，此等式的几何意义是以a与b 为邻边的平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和。

5.下列等式是否正确？说明理由（习惯上把a a 记为2a）。

(1) 2;

=(2) 2

a a a

a b b ab

=

();

(3) 2

a b a b

();

=

();

a a

b a b

=(4) 222

(5) ()();

c a c b c a b

=≠?=

=(6) ,0.

a b c a b c

解：（1）错误，因为左边表示向量，右边是数。

（2）正确，因为2

=。

b b b

（3）错误，因为左边向量()

a a b与a共线，而右

边向量2a b与b共线。

（4）错误，因为22222

a b a b a b a b

=∠≠。

()cos(,)

（5）错误，因为左边向量()

a b c与c共线，而右

边向量()

a b c与a共线。

（6）错误，因为,0()0

=≠?-=?c与a b-垂

c a c b c c a b

直。

6.证明：三角形的垂直平分线交于一点，且交点到三顶点的距离相等。

证明：设三角形ABC

?的两条边,AB BC的垂直平分

线交于一点O，,,

AB BC CA边的中点，以O为

D E F为,,

始点，为,,,,,

a b c d e f。则

A B C D E F终点的向量记为,,,,,

111

(),(),()222

d a b

e b c

f c a =

+=+=+，,,.AB b a BC c b CA a c =-=-=-

由于,OD OE 是,AB BC 的垂直平分线， 所以2

21()0,2AB d b

a =-=2

21()0,2

BC e c b =

-=222,a c b ==由此

得到2

21()0,2

CA

f a c =

-=说明OF 是CA 的垂直平分线，即

三角形的垂直平分线交于一点，且交点到三顶点的距离相等。

7.证明：设,,a b c 不共面，如果向量r 满足 0,,0,r a r b r c === 则0r =。

证明：因为,,a b c 不共面，所以可设r xa yb zc =++。则

()0,

r r r xa yb zc xr a yr b zr c =++=++=故0r =。

8.用几何方法证明：若1

21212,,

,;,,

,;,,

,n n n

a a a

b b b

c c c 都

是实数，则有

222222222

1112222

2

2

121212()()().

n n n

n n n a b c a b c a b c a a a b b b c c c +++++++≥++++++

++++

+

等号成立的充分必要条件是

111222::::::n n n

a b c a b c a b c ==

=且1

2

1212,,

,;,,,;,,,n n n

a a a

b b b

c c c 分

别同号。

证明：设在直角坐标系下，向量

(,,),1,2,

,.

i i i i a a b c i n ==则由三角不等式得

1212n n

a a a a a a +++≤++

+，并且等号成立的条件

是向量(,,),1,2,

,i

i i i a

a b c i n

==同向，将坐标代入就有

222222222

1112222

2

2

121212()()().

n n n

n n n a b c a b c a b c a a a b b b c c c +++++++≥++++++

++++

+

等号成立的充分必要条件是

111222::::::n n n

a b c a b c a b c ==

=且1

2

1212,,

,;,,,;,,,n n n

a a a

b b b

c c c 分

别同号。 习题1.4

1.设a '表示向量a 在与向量0b ≠垂直的平面上的投影，则有a b a b '?=?。

证明：由于a '表示向量a 在与向量0b ≠垂直的平面上的投影（如下图），则由,a b 构

成的平行四边形的面积与,a b '构成的矩形的面积相等，,a b a b '??的方向相同，因而，a b a b '?=?。 2.证明：2

222

()()a b a b a b ?=-。 证明：2

222()sin (,),

a b a b a b ?=∠

22222222222()cos (,)sin (,)

a b a b a b a b a b a b a b -=-∠=∠，

故2

222

()

()a b a b a b ?=-。

b

a

a '

3.证明：若a b c d ?=?，a c b d ?=?,则a d -与b c -共线。 证

明：()()a d b c a b a c d b d c -?-=?-?-?+?0

a b c d a c b d =?-?-?+?=，故

a d

-与b c -共线。

4. 证明：()()2()a b a b a b -?+=?,并说明其几何意义。 证

明

：

()()002().

a b a b a a a b b a b b a b a b a b -?+=?+?-?-?=+?+?-=?

以,a b 为邻边的平行四边形的对角线构成的平

行四边形的面积等于,a b 为邻边的平行四边形的面积的2倍。

5. 在直角坐标系中，已知(2,3,1),(1,2,3)a b =-=-，求与,a b 都垂直，且满足如下条件之一的向量c ： （1）c 为单位向量； （2）10c d =，其中(2,17)d =-。

解：因为向量c 与,a b 都垂直，所以可设c a b λ=?，而

1

2

3

2

31(7,7,7),1

23

e e e a b ?=-=---73a b ?=

（1）因为c 为单位向量，所以

1

c =，即

1,a b λ?=173

a b λ=

=?故1,1)

3

c =±

--。

（2）由(2,17)d =-，10c d =，得5

(14749)10,,28λλ-+==于

是5(1,1,1)4

c =--。 6.用向量法证明：

（1）三角形的正弦定理sin sin sin a b c

A B C

==

； （2）三角形面积的海伦(Heron)公式，式中

2

a b c p ++=

，?为三角形的面积，其中,,a b c 为三角形

三边的长。

证明：（1）设角,,A B C 对应边表示的向量为,,a b c ，由向量外积的模的几何意义知道

111

222

a b b c c a ?=?=?，于是sin sin sin a b C b c A c a B ==，

故sin sin sin a b c

A B C

==

。 （2）2

2

22222222111(())(cos (,))444

a b a b a b a b a b a b ?

=

?=-=-∠

222

22222222222111(())(())4244

a b c a b a b a b a b c ab +-=-=-+-

22222222222211

(4())(2)(2)1616a b a b c ab a b c ab a b c =

-+-=++---+ 222211

(())(())()()()()1616a b c c a b a b c a b c c a b c a b =+---=+++-+--+

()()()

p p a p b p c =---。

7.证明Jacobi 恒等式()()()0a b c b c a c a b ??+??+??=。 证明：由双重外积公式 ()()()a b c b c a c a b ??+??+??

()()()()()()0

a c

b a b

c b a c b c a c b a c a b =-+-+-=。