解析几何第四版课后答案

第一章 矢量与坐标
§1.1 矢量的概念
1.下列情形中矢量终点各构成什么图形？
（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；
（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；
（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面； （2）单位圆
（3）直线； （4）相距为2的两点
2. 设点O 是正六边形ABCDEF 的中心，
在矢量OA 、OB 、 OC 、OD 、OE 、 OF 、AB 、BC 、CD 、 DE 、EF 和FA 中，哪些矢量是相等的？
[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF 中，
相等的矢量对是： 图1-1
.DE OF CD OE AB OC FA OB EF OA 和；和；和；和；和
3. 设在平面上给了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、
ＤＡ的中点，求证：KL ＝NM . 当ABCD 是空间四边形时，这等式是否也成立？
[证明]：如图1-2，连结AC , 则在∆BAC 中，
2
1
AC. KL 与AC 方向相同；在∆DAC 中，
2
1
AC . NM 与AC 方向相同，从而KL ＝NM 且KL 与NM 方向相同，所以KL ＝
NM .
4. 如图1-3，设ABCD -EFGH 是一个平行六面
体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互
为相反矢量的矢量：
(1) AB 、CD ; (2) AE 、CG ; (3) AC 、EG ;
(4) AD 、GF ; (5) BE 、CH . [解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）； 互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。

§1.2 矢量的加法
1.要使下列各式成立，矢量b a ,应满足什么条件？ （1=+ （2+=+ （3-=+ （4+=- （5=
[解]：（1）b a ,
-=+；
（2）b a ,
+=+
（3
≥且b a ,
-=+ （4）b a ,
+=-
（5）b a ,
≥
-=-
§1.3 数量乘矢量
1 试解下列各题．
⑴ 化简)()()()(→
→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ．
⑵ 已知→
→
→
→
-+=3212e e e a ，→
→
→
→
+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→
→+b a 23．
⑶ 从矢量方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+→→→→
→→b
y x a
y x 3243，解出矢量→x ，→y ．
解 ⑴
→
→→→→→→→→→→→→→-=+-+---+=-⋅+--⋅-a
y b x b y a y b x a x b y a y b x a x b a y x b a y x 22)()()()(⑵ →
→→→→→→→→→+=+-+-+=+3132132142232e e e e e e e e b a ，
→
→→→→→→→→→→-+-=+---+=-321321321342)223(2e e e e e e e e e b a ， →
→→→→→→→→→→-+-=+---+=-3213213217103)223(2)2(323e e e e e e e e e b a ． 2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→
BD 的中点分别为E 、F ，求→
EF ．
解 →→→→
→→→→→→→
-+=-+-+=+=c b a c a c b a AB CD EF 533)2(2
1)865(212121．
3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→
→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382
∴→AB 与→
BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线．
4 在四边形ABCD 中，→→→+=b a AB 2，→→→--=b a BC 4，→
→→--=b a CD 35，证明ABCD 为梯形．
证明∵→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
=--=-+--++=++=BC b a b a b a b a CD BC AB AD 2)4(2)35()4()2(
∴→AD ∥→
BC ，∴ABCD 为梯形．
6. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量AL , BM ,
CN 可 以构成一个三角形.
[证明]： )(21
AC AB AL +=
)(21
BC BA BM +=
)(2
1
CB CA CN +=
0)(2
1
=+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL
从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。

7. 设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明 OB OA ++OC =OL +OM +ON .
[证明] LA OL OA += MB OM OB += NC ON OC +=
)(NC MB LA ON OM OL OC OB OA +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++ 由上题结论知：0=++CN BM AL
ON OM OL OC OB OA ++=++∴
8. 如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明
OA +OB +OC +OD ＝4OM .
[证明]：因为OM ＝
21
(OA +OC ), OM ＝2
1
(OB +OD ), 所以 2OM ＝2
1
(OA +OB +OC +OD ) 所以
OA +OB +OC +OD ＝4OM .
9 在平行六面体ABCDEFGH （参看第一节第4题图）中，证明
→
→→→=++AG AH AF AC 2．
证明 →
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
=+++=+++=++AG CG FG AF AC DH AD AF AC AH AF AC 2． 10. 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半． 证明 已知梯形ABCD ，两腰中点分别为
M 、N ，连接AN 、BN ．
图1-5
→
→→→→→++=+=DN AD MA AN MA MN ，
→→→→→→++=+=CN BC MB BN MB MN ，∴ →
→→+=BC AD MN ，即
)(21→→→
+=BC AD MN ，故→MN 平行且等于)(21→→
+BC AD ．
11. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分.
[证明]：如图1-4，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD
但 OB
OD OC OA
OB OC OA OD BC
AD OB
OC BC OA OD AD +=+-=-∴=-=-=
由于)(OC OA +∥,AC )(OD OB +∥,BD 而AC 不平行于BD ，
∴0=+=+OB OD OC OA ，
从而OA=OC ，OB=OD 。

12. 设点O 是平面上正多边形A 1A 2…A n 的中心，证明: 1OA +2OA +…+n OA ＝0
.
[证明]：因为
1OA ＋3OA ＝λ2OA , 2OA ＋4OA ＝λ3OA , ……
1-n OA +1OA ＝λn OA , n OA ＋2OA ＝λ1OA ,
所以 2(1OA +2OA +…+n OA )
＝λ(1OA +2OA +…+n OA ),
所以 (λ－2)(1OA +2OA +…+n OA )＝0
. 显然 λ≠2, 即 λ－2≠0.
所以 1OA +2OA +…+n OA ＝0
.
13．在12题的条件下，设P 是任意点，证明：PO n PA PA PA n =+++ 21 证明：021=+++n OA OA OA
()()()
021=-++-+-∴PO PA PO PA PO PA n 即 PO n PA PA PA n =+++ 21
§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解
1．在平行四边形ABCD 中，
（1）设对角线,,b BD a AZ ==求.,,,DA CD BC AB 解：()()()()
a b DA a b CD a b BC a b AB +-=-=+=--
=2
1
,21,21,21．设边BC 和CD 的（2）中点M 和N ，且q AN P AM ==,求CD BC ,。

解：()
(
)
P q P P q MC BC P q AC 32122,21-=⎪⎭
⎫
⎝⎛--==-=
()
p q q q p AC AN CN CD +=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-
=-==212
1
222
2．在平行六面体ABCD-EFGH 中，设,,,321e AE e AD e AB ===三个
面上对角线矢量设为,,,r AF q AH p AC ===试把矢量r q p a γμλ++=写成321,,e e e 的线性组合。

证明：2312,e e q AH e e p AC -==-==， 13e e r AF -==，
AF AH AC a γμλ++=
()()()321e e e γμμλγλ++-++-=
3. 设一直线上三点A , B , P 满足AP ＝λPB (λ≠－1),O 是空间任意一点，求证：
OP ＝λ
λ++1OB
OA
[证明]：如图1-7，因为
AP ＝OP －OA ,
PB ＝OB －OP ,
所以 OP －OA ＝λ (OB －OP ),
(1+λ)OP ＝OA +λOB ,
从而 OP ＝
λ
λ++1OB
OA .
4. 在ABC ∆中,设,1e AB =2e AC =.
(1) 设E D 、是边BC 三等分点,将矢量AE AD ,分解为21,e e 的线性组合; （2）设AT 是角A 的平分线(它与BC 交于T 点),将AT 分解为21,e e 的线性组合
解：（1）()
12123
1
31,e e BC BD e e AB AC BC -==-=-= ， 2111231323131e e e e e BD AB AD +=-+=+=，同理123
1
32e e AE +=
（2）因为
||||TC BT ＝|
|11e e , 且 BT 与TC 方向相同，
所以 BT |
|21e e TC . 由上题结论有
AT |
|||1|
|212
211e e e e e e +
||||212112e e e e e e +. 5．在四面体OABC 中，设点G 是ABC ∆的重心（三中线之交点），求矢量OG 对于矢量
OC OB OA ,,,的分解式。

解：G 是ABC ∆的重心。

∴连接AG 并延长与BC 交于P
()
(
)()
AC AB AC AB AP AG AC AB AP +=+•==+=
31
213232,21 同理()(
)
CB CA CG BC BA BG +=+=3
1
,31 C O
()BC AB OA AG OA OG ++=+=∴31
（1） G P
()BC BA OB BG OB OG ++=+=3
1
（2） A B
()
CB CA OC CG OC OG ++=+=31
（3） （图1）
由（1）（2）（3）得
()()
CB CA BC BA AC AB OC OB OA OG ++++++
++=3
131
3 OC OB OA ++= 即()
OC OB OA OG ++=
3
1
6．用矢量法证明以下各题 （1）三角形三中线共点
证明：设BC ，CA ，AB 中，点分别为L ，M ，N 。

AL 与BM 交于1P ，AL 于CN 交于2P
BM 于CN 交于3P ，取空间任一点O ，则 A
()
BC BA OB BM OB BP OB OP ++=+
=+=3
1
3211 (
)()
OC OB OA OB OC OB OA OB ++=-+-+=31
31 A
同理()OC OB OA OP ++=31
2 N M
(
)
OC OB OA OP ++=31
3 B L C
321,,P P P ∴三点重合 O ∴三角形三中线共点 （图2） （第3页）
7．已知矢量b a ,不共线，问b a c -=2与b a d 23-=是否线性相关？ 证明：设存在不全为0的μλ,，使得0=+d c μλ 即
()
()()()0232022=--+-⇒=--+-μλμλμλλb a b b a
故由已知b a ,不共线得
{
{000320
2===-=--⇒μλμλμλ与假设矛盾， 故不存在不全为0的μλ,，使得
0=+d c μλ成立。

所以d c ,线性无关。

8. 证明三个矢量a ＝－1e +32e +23e , b ＝41e －62e +23e ，c
＝－31e +122e ＋113e 共面，其中a 能否用b
,c 线性表示？如能表示，写出线性表示关系式.
[证明]：由于矢量1e , 2e , 3e 不共面，即它们线性无关.
考虑表达式 λa +μb +v c ＝0
，即
λ (－1e +32e +23e )+μ (41e －62e +23e )+v (－31e +122e ＋113e )＝0
,
或 (－λ+4μ－3v ) 1e +(3λ－6μ＋12v ) 2e +(2λ+2μ＋11v ) 3e ＝0
.
由于1e , 2e , 3e 线性无关，故有
⎪⎩
⎪
⎨⎧=++==-+-.01122,01263,034v v v μλμλμλ＋
－ 解得 λ＝－10，μ＝－1，v ＝2.
由于 λ＝－10≠0，所以a 能用b ,c 线性表示
a ＝－10
1b ＋5
1c
.
9．证明三个矢量a c c b b a λννμμλ---,,共面。