有关在电场和磁场中的电磁介质问题

有关在电场和磁场中的电磁介质问题

摘要：本文分开阐述电场和磁场中的电介质和磁介质问题。对于电

介质，从一个例题中得到两种解法，从而更深地研究了电介质的极化本质。对于磁介质，从另一种观点——磁荷观点来解释磁介质的极化原理，并且推导出高斯定理和安培环路定理，还比较了磁荷观点和安培环路定理的异同点。

关键字：电介质，磁介质，静电场，磁场，磁荷观点，分子电流观点

（一） 静电场中的电介质

我们通过大学物理的学习，知道了电介质的极化原理，电介质分子的正负电荷中心因外加电场作用而发生漂移。对于不同的电介质，由于分子结构的不同，极化方式也不同，有位移极化和取向极化。为

了表示极化程度，引入了极化强度P=V

?∑。对于各向同性的电介质，

P=0εχe E （e χ为介质的电极化率）。

由高斯定理知，)(1

'00

∑∑?+=

?q q d s

ε（1），式中的

∑0q 和∑'

q 分别表示自由电荷和极化电荷的代数和。又因为

?∑-=?S

'

q dS P （2） 可得到0

)(εεq dS P

E S

=

?+

?，引入辅助型变量D ，定义为电

位移矢量E E P E D e 000)1(εεεχε=+=+=（ε为电介质的介电常量），从而得到电介质中的高斯定理

∑?=

?0

q

dS

D S

（3）

现在我们看一道简单的例题：平行板电容器充满了极化率为

e

χ的均匀电介质，原电场的电场强度为0E ,求电场E 的大小。

一般我们会直接用高斯定律解决就可以了，取一高斯面S ，由高斯定律知，设充电后金属极板上的

自由电荷面密度为0e σ±，由 ,

102

S S

D dS D e S

?=?=??σ得到

00E D e εσ==，

e E E D

E χεεε+=

==10

0，问题得到解决。

但是我们能不能从电介质极化的本质出发来解决这个问题。我们知道电介质发生极化时表面产生极化电荷，而表面的极化电荷的面

密

度

为

n n e P e =?=σ，n e 为介

质表面的法方向的单位矢量，n P 为

极化强度P 在外法线方向的分量。

电介质极化产生极化电荷，

极化电荷和自由电荷一样在周围空间

内（包括介质的内部和外部）产生附加的电场'E ，由电场的叠加原

理知，空间任意一点的场强E 为外电场0E 和极化电荷的电场'

E 的矢量和，由于极化电荷的电场'

E 的大小和方向都是变化的，得到的总场E 也是不均匀的，。在电介质的外部，有的地方'

E 和0E 的方向一致，有的地方相反，一般'

E 与0E 成一定的夹角，总场E 的变化规律比较复杂。然而在电介质的内部，情况比较简单，可以证明任意几何形状的均匀电介质但在均匀的外场中极化时，其体内的'

E 大体和0E 方向相反，对于球和椭圆等特殊的几何，形状，体内的'

E 是均匀的，并且严格和0E 方向相反。

在上题中也可以利用上面得到的结论，极化电荷的面密度为

P e =0σ ，极化电荷产生的电场

E E

P E e e e χεεχεεσ====0

0000'

（这里

的E 是总场），故总场

E E E E E e χ-=-=0'0，从而知

011E E e χ+=,问题同样得到了

解决。

比较以上两种解法可以看到，在有一定对称性的情况下，采用第一种解法比较简单，我们可以利用电介质中的高斯定理先把D 解出，这里就无需知道极化电荷的分布和电荷密度。但是对一些高斯面比较难取的情况时，如求均匀极化的电介质球内部的总场强，

采用第二中

解法更加合适了，第二种解法从电介质极化的本质出发，由极化电荷的面密度得到极化电荷产生的场强，从而得到总场强。总之，两种方法各有千秋，应灵活应用。

（二）磁场中的磁介质问题

电场存在电介质，无独有偶，磁场中也存在磁介质。有关磁场中的磁介质的理论在物理电磁学发展的历史，有两大理论：分子电流理论和磁荷观点。两种观点的微观模型不同，从而赋予磁感应强度B和磁场强度H不同的物理意义，但是最后得到的宏观规律的表达式却完全相同，在这种意义下两种观点是等效的。

（a）磁荷观点

虽然现在分子电流较符合磁介

质微观本质的现代认识，但是磁电

荷理论发展在先，与电介质理论完

全平行的，便于理解和计算。

从电磁学发展历史来看，磁的

理论是建立在磁的库仑定律的基础

上的，磁介质的最小单元是磁偶极

子，可以把磁偶极子看成小磁针，

如右图所示，在无外磁场时，各个

磁偶极分子的取向是杂乱无章的，所以总的来看介质不显示磁性，当

加上一个磁场强度为H 0，使每个磁偶极分子的磁偶极矩P m 分子转向磁场的方向，从图中可以看到磁偶极子沿着磁场的方向整齐排列的，由于在介质的内部N 、S 首尾相互抵消，导致在整个棒中的两个端面上有+，-磁荷，磁荷可类比于电荷，那么磁介质问题就与电介质问题相

通了，同样引入磁极化强度J ，且V

?=

∑分子

m P J ，J 与外加磁场

的磁场强度H 0方向相同，同理也可以得到

∑?-=?内

S S

dS J m q （4）

θσcos J n J n J m ==?= （5）

m σ是磁介质的表面上磁荷的面密度，J n 是J 在表面外法向方向的

投影，同样磁荷也会产生附加电场

'

H

,总磁场强度

H

为'

H 和H 0的矢

量和，'

H 和H 0的方向相反。

再讨论一下影响'

H 的因素，在

右图的几根棒中，l/R 不同，让它们的J 相同，细而长的磁棒总磁荷较少（S q m m σ±=±），又离终中点较远，磁荷产生的磁场强度'

H 较弱。对于

那些短而粗的磁棒，结论正好相反。我们可以通过实验得到

0/

/u J N H D = (6) N D 的大小由l/R 决定，也可以通过

定量计算，它们可以看作一对彼此相距为l ，半径为R 的带均匀磁荷的圆面，我们将此模型改成个相距为l ，半径为R 的均匀带相反电荷的圆面，从而由磁场问题转化常见的电场问题，先研究一个半径为R 的均匀带电圆面在其轴线的场强分布，建立如右图的坐标系，设离圆心距离为

x

的位置的坐标为

x ，我们证明过

i x

R

x x E )1(2)(2

2

+-

=εσ

，现在是两个带相反电

荷的圆面在它们的中心处的场强即为2E （x ）,即

)1(220x

R x E +-=εσ。再考虑磁场问题，将σ改成m σ，0ε改成

0u ，E 改成'H ，即可得到

}])/(1)[/(1{2/120

/

-+-=d l d l H m

μσ (7)

即得到}])/(1)[/(1{2

/12-+-=d l d l N D

对于无限长的磁棒，∞→∞→d l l /,，D N ≈0, 'H ≈0;

对于很薄的磁介质片，0/→d l ，D N ≈1,0

/u J

H ≈.

在一般情况下，l/d 介于∞和0之间，D N 介于0和1之间。

按磁荷观点，像静电场同样的推理，它满足的环路定理和高斯定理分别为：

0/

?

=?dl H ?∑=

?内

S u dS H m

/q

1

则 ?∑∑?=+=?+=?内

内

L dl H H dl H L 00/

0I 0I )( （8）

??∑∑=+=?+=?内

内

）（S S u u H m

0m 0

/0q

1

q 1

0dS H dS H （9）

（4）+（9）0u ?得到

?=?+0

)(0

dS J H u

（10）

同样引入辅助型变量B=J H u +0，B 为磁感应强度，在真空中J=0,则

0?=?dS

B （11）

（8）和（11）是安培环路定理和高斯定理。其中

H

uu H u B m 00)1(=+=χ

（b ）两种观点的对比

磁荷观点推导出的安培环路定理是

∑??=?-=?内L 00I )(dl M u B

dl H L

L （12） 将（12）和（8）作比较，因为M u J 0=（这里不作证明）， （12）和（8）是相同的。所以分子电流和磁荷观点虽然假设的微观模型不同，B 和H 的物理意义也不同，但是它们服从的基本定理相同，计算的具体结果也相同。 物理规律 分子电流观点 磁荷观点 电介质 微观模型 磁化强度矢量M 磁极化强度矢量J

极化强度矢量P

极化的宏观效果

与M 平行的界面上出现磁化电流

与J 垂直的界面上出现磁荷

与P 垂直的界面上出现极化电

从上表中可以看到两种观点的异同点了。两种观点出发点不同，但殊途同归，下面作个比较：

1. 从原子结构的认识来看，分子电荷理论更加符合实际，磁荷理论不太符合磁介质的微观本质。

2.从计算方法来看，磁荷观点简便多，作为一种有效的工具，仍有

其应用价值。

3.在磁荷观点中，H的物理意义比较清楚，B是作为辅助矢量引入的，

物理意义不那么直观。而在分子电流中B的物理意义比较清楚，而H是一个辅助矢量，其物理意义不直观。

总之，在处理实际问题时，应根据实际情况具体分析，但是要始

终采用一种观点。

结语

通过对电介质和磁介质的更深的探索和研究，我对电磁介质的极化本质有更深的体会，并且领会到了电磁之间的联系区别，学会到类比等重要的物理方法。

参考文献

《电磁场与电磁波》，邹澎，周晓萍编著，清华大学出版社，2008年6月版

《电磁场与电磁波》，张昕、杨晓冬、李文兴，哈尔滨工程大学出版社，2008年1月版

《应用电磁学基础》，Fawwaz T.Ulaby著、尹华杰译，人民邮电出版社，2007年1月版

《电磁场基础》，钟顺时著，清华大学出版社，2007年2月版