第三章 几种常见的概率分布律

1. 在什么情形下应用泊松分布
泊松分布是一种用来描述一定的空间或时间里稀有事件发生次 数的概率分布。 服从泊松分布的变量的一些例子： • 一定畜群中某中患病率很低的非传染性疾病患病数或死亡数。 • 畜群中遗传的畸形怪胎数 • 单位空间内某些野生动物或昆虫数 • 每升饮水中的大肠杆菌数
2. 泊松分布的概率函数与特征数
二项分布 泊松分布
正态分布
离散变量
连续变量
超几何分布 负二项分布 指数分布
第一节 二项分布
（Binomial Distribution）
1.贝努利试验和在什么情形下应用二项分布
•贝努利试验（Bernoulli trial）：试验只有两种可能的结果， 并且发生每种结果的概率是一定的。 例如：抛一枚硬币，看得到正面还是反面； 掷一次骰子，看得到6还是没有得到6； 随机抽查一名婴儿的性别，看是男是女 在贝努利试验里，两种结果可分别称为“成功”和“失败”， 或者“事件A发生”和“事件A没有发生”。
2. 二项分布的常用记号
n:
x:
贝努利试验的次数 ;
二项分布变量 X的取值，即总共获得“ 成功”的次数；
:
1 － :
一次贝努利试Байду номын сангаас中获得 “成功”的概率；
显然是一次试验中获得 “失败”的概率；
P( x) :
总共获得x次“成功”的概率。
3. 二项分布的概率函数P(x)
• 怎样得到P(x)?
以n＝4，x＝2为例，欲求P（x＝2）＝？。
另外一种方法： P (至少有1粒出苗)＝1－P(没有出苗)＝1 P( x 0)
0 1 C6 0.670 0.336 1 0.0013 0.9987
这说明每穴种6粒种子，几乎肯定出苗。
4 二项分布的概率分布表和概率分布图
除以P(x)表示，二项分布也可通过表或图来直观显示。 例如，抛硬币4次，获得的正面数记为X，则X服从二项 分布。X的概率分布表为

x
x!
e , 证明见40页。
• 泊松分布的平均数

＝E ( X )

证明：E ( X ) P( x) x
x 0 x 0
xe
x!
x

e
x 1

x
( x 1)!

e
x 1
x1
( x 1)!
t x 1
n! x (1 ) n x x x 1 x!( n x)!
n
n
n! x (1 ) n x x 1 ( x 1)!( n x)!
t x 1
n

n! t 1 n 1t ( 1 ) t 0 t!( n 1 t )!
x 0 x 0
n
n
例一，纯种白猪与纯种黑猪杂交，根据孟德尔遗传 理论，子二代中白猪与黑猪的比率为3：1。求窝产 仔10头，有7头白猪的概率。
解：根据题意，这是一 个二项分布的问题， 3 视白猪为成功，有 n 10, ＝ 0.75，x 7。 4
P( x 7) P(7) C 0.75 (1 0.75)
因此，在统计学里，正态分布无论在理论研究上还是在实际 应用中均占有重要的地位。
1 正态分布的定义与主要特征
• 定义：若变量X的概率分布的密度函数为
泊松分布变量X只取零和正整数：0,1,2…，其概率 函数为 x
P( x)

x!
e

其中 0, e 2.7182 是自然对数底数。
注意：P( x)怎么得到的呢？泊松分 布可以用二项分布在 n , 0, n 的情形来近似。在这种 情形下C (1 )
x n x n x
x n
每种方式发生的概率为：
P(ssff)
乘法法则
P(s)P(s)P( f)P(f) (1 ) (1 ) 2 (1 ) 2
其它5种方式发生的概率也是如此。
因此，在n 4次试验中取得 x 2次成功的概率为
2 2 P(2) C4 (1 ) 42
n
n
n(n 1) 2 n n 2 2 n 2 n
2 Var( X ) n 2 2 n 2 n (n ) 2 n n 2 n (1 )
例三，某树种幼苗成材率为70％，现种植 2000株，问成材幼苗数的平均值和标准差是 多少？
第三章 几种常见的概率分布律
回顾一下，在上一章里讲了变量及其概率分布的一 般概念。
• 离散变量用概率函数来研究，概率函数定义了这个变量取
每个值的概率；
• 连续变量用密度函数（一条曲线）来研究，通过这条曲线我们
可以求得变量在某个特定区间取值的概率。
在这一章里，我们将介绍一些在实际研究中应用最 广的变量类型及其概率分布。
0 0 1 1 n n [ (1 )]n Cn (1 )n Cn (1 )n1 Cnx x (1 )n x Cn (1 )0
（2） P( x) Cnx x (1 ) n x [ (1 )]n 1n 1
定义 n
E( X )
2
2 P ( x ) x x 0
n! x (1 ) n x x 2 x 0 x!(n x)!
n
n! x (1 ) n x [(x 2 x) x] x 0 x!(n x)!
n n! n! x (1 ) n x [(x 2 x)] x (1 ) n x x x 0 x!(n x)! x 0 x!(n x)!
2 在4次贝努利试验里，获得 2次成功的方式有 C4 种：
ssff
sfsf
sffs
fssf
fsfs
ffss
2 注意 ：C 4 是从四个位置选取两个 位置的组合方式。
n! 4! 4 3 2 1 2 依据计算公式C , C4 ＝6 x!(n x)! 2!2! 2 1 2 1
e
t 0
t
t!
泰勒级数

e e

• 泊松分布的方差和标准差 2＝Var( X )

证明： 2 Var( X ) E( X 2 ) [ E( X )]2
E[ X ( X 1) X ] [ E( X )]2 E[ X ( X 1)] E( X ) [ E( X )]2
大约有 100 P( X 3) 100 0.4232 42.32(张)
第三节 正态分布
（Normal Distribution）
正态分布是一种最重要的连续型变量的概率分布。
• 在生物科学研究里，有许多变量是服从或近似 服从正态分布的，如水稻产量、小麦株高、玉 米百粒重等； • 许多统计分析方法是以正态分布为基础的。 • 不少随机变量的概率分布在样本容量增大时趋于 正态分布。
n n! n! x n x 2 (1 ) [(x x)] x (1 ) n x x x 2 x!( n x )! x 1 x!( n x )! n (n 2)! (n 1)! x2 n x n(n 1) (1 ) n x 1 (1 ) n x x 2 ( x 2)!( n x )! x 1 ( x 1)!( n x )! 2 n n
7 10 7
107
10! 0.757 0.253 7!3! 0.2503
所以，窝产仔10头，有7头白猪的概率是0.2503。
例二，有一批玉米种子，出苗率为0.67。现任取6粒 种子种1穴中，问这穴至少有1粒种子出苗的概率是 多少？
解：根据题意，这是一 个二项分布的问题。 视出苗为成功，有 n 6, ＝0.67。 设出苗的种子数为 x, 则x服从二项分布。
* * 由此类推到一般情形， 在n此贝努利试验中， 共获得x次成功的概率是 P( x) C (1 )
x n x n x
关于P( x) C (1 )
x n x
n x
的讨论：
（ 1 ）从形式上来说， Cnx x (1 ) n x 是二项式 [ (1 )]n 展开 的第x 1项，所以有“二项分布 ”这个名称。
解：一张片子里看到的 微粒数X，可以看成是一定空间 里的稀有 事件数，所以它服从泊 松分布，且有 3。
P( X 3)
xe
x!
33 e 3 0.2240 3!
P ( X 3) P( X 0) P ( X 1) P ( X 2) 30 e 3 31 e 3 32 e 3 0! 1! 2! 0.4232
注意：
0.5时，分布对称； 0.5时，分布偏斜：
概率
0.5时，正偏 0.5时，负偏
5 二项分布变量的平均数和标准差
• 平均数
E ( X ) n
定义 n
证明： E ( X )
P( x) x
x 0
n! x (1 ) n x x x 0 x!( n x)!
n 1
n 1
(n 1)! n t (1 ) n1t t 0 t!(n 1 t )!
n[ (1 )]n1
n
• 方差和标准差
Var( X ) n (1 )
2
n (1 )
证明： 2 Var( X ) E( X 2 ) [ E( X )]2
P( x) x( x 1) 2
x

x 0

xe
x!
x 2
x( x 1) 2
x 2
2
2e
( x 2)!
2e e 2

例一，显微镜下观察一种悬浮液中的某种颗粒，据前人报告， 平均每张样片可以观察到3个微粒，问在一次观察中看到3个 微粒的概率是多大？少于3个微粒的概率是多少？若观察100 张片子，大约有多少张片子看到的微粒数少于3个？
解：设2000 株幼苗的成材数为 X , 则X服从二项分布。
根据题意， n 2000 , 0.70 。
平均数 n 2000 0.70 1400
标准差 n(1 ) 2000 0.7 0.3 20.49
第二节 泊松分布
（Poisson Distribution）
x 0 1 2
P(x) 0.062 0.250 0.375
n 4, 0.5,
0 P(0) C4 0.500.54 0.062
3 4
0.250 0.062
X的概率分布图为
二项分布 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 1 2 获得正面的次数x 3 4
P(至少有 1粒出苗)＝P( x 1) P( x 1) P( x 2) P( x 6)
1 2 6 C6 0.6710.335 C6 0.6720.334 C6 0.6760.330
0.0157 0.0799 0.0905 0.9987
• 什么情形时应用二项分布：实验中进行了n次独立的贝努利 试验，统计在这n次试验中总共获得了多少次“成功”。“成 功”的次数，记为变量X；X称为二项分布变量，X的概率分布 称为二项分布。 X的可能取值为0，1，2，…，n。所以X是个离散型变量。
二项分布变量的一些例子：
（1）连续抛硬币100次，统计总共出现正面的次数。次数X服从二项分布。 （2）调查250名新生婴儿的性别，记男婴的总数为X，则X服从二项分布。 （3）调查n枚种蛋的出雏数，出雏数X服从二项分布。 （4）n头病畜治疗后的治愈数X，X服从二项分布。 （5）n尾鱼苗的成活数X，X服从二项分布。