异方差性

Var(ui ) E[ui E(ui )]2 E(ui2 )
方差

xi2 E (ui2 ) 2 xi x j E (ui u j ) ( x )
i j 2 2 i
Cov(ui , u j ) E[ui E (ui )][u j E (u j )]
协方差
E (ui u j )
( xi2 )2
或
xi2 i2
( xi2 ) 2
2
其中的 i2 未知，且不再是常数，也就不能再用OLS中的方法:
ˆ (ei2 ) (n k ) 2 ˆ* ˆ* 去估计，因此事实上 Var( 2 ) 已难以确定， SE(2 ) 也将难
如 以确定。
ˆ (ei2 ) (n 2) 2
(当有K个解释变量时，可作类似的辅助回归)
检验的基本步骤：
例如，对于
Yt = β1 + β2 X 2t + β3 X 3t +ut
et2 1.估计原模型并计算
ˆ 用OLS法估计原模型，计算残差 et Yt - Yt ，并求残差 2 。生成新变量 e2 的平方 et t
2 t2 1 2 X 2t 3 X 3t 4 X 2t 5 X 32t 6 X 2t X 3t vt 3.三个解释变量的模型 Yt = 1 + 2 X 2t + 3 X 3t + 4 X 4t +ut
2 辅助回归为: et2 = α1 +α2 X 2t +α3 X 3t +α4 X 4t +α5 X 22t +α6 X 32t +α7 X 4t （注意:此时有交叉项） +α8 X 2t X 3t α9 X 2t X 4t α10 X 3t X 4t vt
同一对象不同时间的差异）
注意：在经济高速增长，经济结构发生较大变化时，时 间序列也常出现异方差
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第二节 异方差性的后果
一、对OLS估计量的影响
1. 存在异方差时，OLS估计仍然是无偏估计（无偏性证明 中，只用到 Cov( X i , ui ) E( xiui ) 0 的条件,不涉及异方差) 2. OLS估计量不再具有有效性 ●最小方差性的证明条件之一——同方差性已不成立
尽管参数的OLS估计量仍然无偏，并且基于此的预 测也是无偏的，但是
●由于
2 i
难以确定，Y的方差也难以确定，Y置信
区间的确定事实上会出现困难
● 由于异方差的存在， ˆ 的方差会增大或缩小，Y的预 k 测区间会偏大或偏小。
2 ˆ ●存在异方差性，使得用 2 ei2 n k 对 的估计
2. 如果方差随X递减 对递减型异方差，可构造统计量
F
e
2 1i
e 2i 2
nc ( k) 2 nc ( k) 2
也就是将第一段样本作为分子，将第二段样本作为分母。 然后F检验检验原假设，检验方法相同。
三、 White检验
基本思想：
i2与某解释变量有关系。可通 如果存在异方差，其方差 i2 是否与解释变量有关系去检验异方差。 过检验 i2 未知。可用原模型回归剩余平方 ei2 作 （1）一般 2 为 i 的估计值作辅助回归。
同方差性的图示
当只有一个解释变量时 Yi 1 2 X i ui
概 率 分 布 密 度
Y
· · · · · · · · · ·· · · · ·· · · ·
Xi
注意: 随 X i 的变化, Y 的条件期望 E (Yi X i ) 是变化的 随 X i 的变化, u i 或 Y 的条件方差是不变的常数
可以看出，仍然用不存在异方差性时的OLS方式估计其 ˆ 方差，即用 Var ( 2 ) 2 xi2

所估计的方差是可能会低估或高估存在异方差时的的真 实方差。
ˆ 后果： 低估或高估 Var ( 2 ) ，也就会高估或低估 t 统计 量，用t检验对参数统计显著性的检验失去意义。
三、对预测和区间预测的影响
（有效性证明用到 Var (ui ) Var (Yi ) 2 的条件）
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异方差对参数估计量方差的影响
(以一元回归为例)
第二章证明过对于 有 xi ui ˆ
2 2
Yi 1 2 X i ui
(见教材P38)
ˆ ) E ( )2 E[( xi ui ) ]2 ˆ Var ( 2 2 2 2 2 xi2 E[
异方差性
异方差性
●异方差的实质和产生的原因 ●异方差产生的后果 ●异方差的检测方法 ●异方差的补救
第一节 异方差性的概念
一、 异方差的实质
对于
Yi 1 2 X 2i 3 X 3i k X ki ui
同方差的含义
同方差性：对所有的 i (i 1,2,..., n) 有：
X
异方差性含义
随机扰动的方差可能随 X i 的变化而变化，这种情
况称为存在异方差性，以 Yi 1 2 X i ui 为例,
表现为
Var (ui X i )
2 i
(i 1,2, n)
Var (ui X i ) 2 对比同方差时为
异方差可看成是由于某个解释变量的变化而引起的，
(c)
X
(d )
X
Y与X之间图形举例:
用1998年四川省各地市州农村居民家庭消费支出与家 庭纯收入的数据，绘制出消费支出对纯收入的散点图， Y1 其中用 表示农村家庭消费支出， 表示家庭纯收 X1 入。
二、 Goldfeld-Quandt 检验（GQ检验）
作用：检验递增性(或递减性)异方差。 基本思想：
则可写为
Var(ui X i ) f ( X i )
2 i 2
异方差性的图示
当只有一个解释变量时 Yi 1 2 X i ui
概 率 分 布 密 度
储蓄Y
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Xi
收入X
的变化
随着
Xi
ui
或 Y 的条件方差也随着变化
ui
服从正态分布，并除异方差外满足其他基本假定
具体步骤：
●排序: 将观测值按解释变量X的大小顺序排列 ●数据分组:去掉中间的C个观测值，分别进行前后 ( 两部分n c) 2 个观测值的回归
●提出假设:分别进行前后两部分回归的基础上，提 出检验假设：
H o : ui 是同方差 H0 : i2 2 即
x
]2
2 i
xiui x
2 i
用到: ( a b) 2 a 2 2ab b 2 ( ai ) 2 ai2 2 ai a j
i j
E[
( xi ui ) 2 2 xi ui x j u j ( x )
i j 2 2 i
]
注意: 因为 E(ui ) 0
H1 : ui 是异方差（方差随X递增或递减）
如为递增 如为递减
2 2 2 H1 : 1 2 n 2 2 2 H1 : 1 2 n
●构造F统计量：
1. 若方差随X递增
nc e ( 2 k) F 统计量 nc 2 e 1i ( 2 k ) F服从第一、二自由度均为 [(n c) 2] k 的F 分布。
2、 仍用OLS法去估计参数的方差，会高估或低估参
数估计量的方差。
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如果异方差为
* 2
i2 2 f ( X i )
2
2 i i 2 i i 2 i 2 i 2 2 i
x f ( X ) Var( ˆ ) x f ( X ) ˆ ) Var ( x x x
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Y
●把非线性模型设定为线性，可





能导致异方差(如图)
2. 统计测量误差导致的异方差
X
因为测量误差有可能随解释变量X的增大而增大
3. 截面数据中总体各单位的差异通常较明显
一般说异方差性在截面数据中可能比在时间序列数据 中更常出现（原因：同一时点不同对象的差异一般会大于
(本章讨论)
ˆ Var ( 2 )
xi2 E (ui2 ) ( x )
2 2 i

( xi2 )2
二、解释变量的显著性检验的影响
1. 参数估计量方差的确定会面临困难 例如一元回归中，可证明异方差时
对比:无异方差时
ˆ Var ( 2 ) xi2
2 xi2
ˆ* Var ( 2 )
●将观测值按
X i 的大小顺序排列
Yi

C个
●去掉中间位置的一部分观测
值，从而把观测值分为前后两
部分 （目的是提高分辨性）
Xi
●将前后两部分观测值分别作回归，分别计算出各部分
的剩余
ei
，
● 比较前后两个回归的扰动项方差
前提条件： ●样本容量较大 ●
是有偏的，在此基础上的区间估计和假设检验都将 不可靠。
ˆ (在 2 ei2 n k 是 2 无偏估计的证明中用到了同方差性假定)
第三节 异方差性的检验
一. 图形分析法
基本思想：
异方差性的表现是 u i 的方差随某个解释变量的变 化而变化，或Y的分散程度随X的变化而变化。 具体方法： （两种图形） ●假定不存在异方差，进行回归，并计算剩余平方e 2 ,描绘
Var(ui X i ) Var(Yi X i ) 2
因为方差是度量被解释变量 Y 的观测值围绕条件期望 E(Yi X 2 , X 3, X k ) 1 2 X 2i 3 X 3i ... k X ki 的分散程度，因此同方差性指的是所有观测值围绕回