虚功原理.ppt
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N sin
QP qx cos
Q cos
坐标变换：x Rsin , y R(1 cos ) , ds Rd
*例4. 试求图示简支梁在中点C的竖向位移Δ，并比
较 弯曲变形与剪切变形对位移的影响（梁的截面为
矩形：b×h）。
q
A x
C
B
l/2 l/2
P=1
A
B
xC
l/2 l/2
实际位移状态
虚拟力状态
第九章
虚功原理
和
结构位移计算
§9.1 位移计算概述
1。位移计算的目的 • 验算结构的刚度（刚度条件、施工控制）
• 计算超静定结构（力法）
2。结构位移的分类 • 位移与变形（外因作用下）
• 刚体位移与形变位移 • 线位移：点沿直线移动；角位移：截面转动 • 广义力与广义位移
（续）
3。位移计算的原理与方法 • 积分法求挠曲线方程—— EIy M
例3. 图示为一等截面圆弧形曲杆AB，截面为矩形， 圆弧AB的圆心角为α，半径为R 。设沿水平线作用均 布荷载q，求B点的竖向位移。并比较剪切变形和轴 向变形对位移的影响。
实际 状态
虚拟 状态
（续）
忽略小曲率杆的曲率影响，仍用直杆位移公式。
实际荷载
虚拟荷载
MP
1 2
qx2
NP qxsin
M x
凸抛物线：
S n hl n 1
,
xc
n 1 2(n 2)
l
(短）
凹抛物线：
1
1
S hl n 1
,
xc n 2 l
(短）
2. 折线分段图乘与变截面分段图乘
3. 复杂图形分块图乘（面积和形心位置难确定）
五、图乘法计算位移举例
MM P EI
ds
NNP EA
ds
kQ QP GA
ds
3。荷载作用下位移计算的步骤：
⑴ 沿拟求位移的位置和方向虚设相应的单位荷载；
⑵ 由静力平衡条件，求出结构虚内力 N Q M
⑶ 由静力平衡条件，计算实际荷载下结构内力NQM
⑷ 代入如上公式，计算Δ。
4。各类结构的位移计算公式
● 梁和刚架
MM EI
B
x
P=1 A x
l
CБайду номын сангаас
C
l
实际状态（位移、变形）
虚拟状态（力）
解：
1. 逐杆建立坐标系，并分别写出实际状态
的各杆内力方程。
AB段：
MP
qx2 2
,
NP 0 ,
QP qx
BC段：
MP
ql 2 2
,
NP ql ,
QP 0
（续）
2. 在A点加一竖向单位荷载作为虚拟状态，并 写出该状态内力方程。
答案：
CV
5ql 4 384 EI
§9.5 图乘法 （维利沙金,1925）
一、图乘法的应用条件： ● 直杆 ● EI不变 ● 至少有一个直线弯矩图
（竖标 y0应取自直线图）
二、图乘法的计算公式
MM EI
P
ds
()
1 EI
Ay0
公式推导示意图
三、图乘法公式的推导
B M M P ds
A EI
B Mi ( x)Mk ( x) ds 1
A
EI
EI
B
A Mi Mkdx
1 EI
B
A ( x tan )Mkdx
1 tan
EI
B
A xMkdx
1 EI
tan ( Ax0 )
1 EI
A( x0
tan )
1 EI A y0
（ A 与 y0同侧为正、异侧为负）
四、图乘的分段和分块叠加
1. 常见图形的面积和形心
• 实功原理求位移——能量法（功能原理） • 虚功原理——单位荷载法 • 线弹性体位移计算
应用条件（亦即叠加原理的应用条件）： ⑴ 材料满足虎克定律 ⑵ 结构变形微小，不影响力的作用。
§9.2 虚功和虚功原理
● 虚功的概念（虚功不虚！）
力P与经历的位移Δ独立无关（无因果关系！） “虚功”区别于“实功”，并非不存在。
● 虚功原理（包含虚位移原理和虚力原理）
◆ 定义：外力所做的虚功等于外力产生的内力在 微段上所做的虚功之和。
◆ 虚功方程：外力虚功=内力虚功（ We Wi ）
◆ 虚位移原理 位移状态：可能的位移；力状态：真实的平衡力系。
（续）
● 虚力原理
位移状态：真实的位移（拟求）； 力状态：虚拟的平衡力系（加单位荷载）。
● 位移计算的一般公式：
Nd Qd Md Rc
§9.4 荷载作用下的位移计算
1。假设材料是线弹性的（满足虎克定律）
轴向应变：
NP
,
d ds NP ds
EA
EA
平均切应变：
0
k
QP GA
,
d
0ds
k
QP GA
ds
弯曲应变：
M P , d ds M P ds
EI
EI
（续）
2。直杆在荷载作用下计算弹性位移一般公式：
AB段： M x , N 0 , Q 1 BC段： M l , N 1 , Q 0 3. 代入位移计算公式：
AV
MM P EI
ds
NNP EA
ds
kQ QP GA
ds
（续）
l 0
(x)
qx2 2
dx EI
l 0
(l)
ql 2 2
dx EI
l (1)(ql) dx
结论：
⑴ 对于浅梁，轴力和剪力影响所占比重不大。
⑵ 轴力项和剪力项通常可略去，仅取弯矩项。
例2. 计算图示桁架下弦中点C的挠度。已知各杆弹
性模量 E 2.1108 kPa，截面面积 A 12cm2 。
思考：虚拟状态（单位荷载）的选取
求桁架如下位移： D点水平位移 DB间距改变 CD高差改变 CE杆转角 CD杆与CE杆相对转角（夹角DCE改变量）
● 微元分析（计算变形体内力虚功）
广义力：N、Q 、M ；广义位移：dλ、dη、dθ
广义虚力：N 、Q 、M
微元内力虚功： dWi Nd Q d Md
§9.3 单位荷载法及其位移计算公式
● 虚拟力——单位荷载（最简） P=1 或 M=1 或 广义单位力（成对）
● 总外力虚功： P Rc 总内力虚功：
l
k (1)(qx)
dx
0
EI 0
GA
5 8
ql 4 EI
ql2 EA
kql2 2GA
5 8
ql 4 EI
1
8 5
I Al2
4 5
kEI GAl2
5
ql 4
1
2
h
2
2
E
h
2
8 EI 15 l 25 G l
（续）
5 8
ql 4 EI
1
1 750
1 500
其中，设 h/l =1/10，取G = 0.4E，k = 1.2
P
ds
（仅取一项）
● 桁架
NNP EA
ds
NNP EA
l
●
组合结构
MM EI
P
ds（梁式杆）
NNP EA
l（链杆）
●拱
MM EI
P
ds
NNP EA
ds
● 微弯曲杆（同梁）
5。荷载作用下位移计算举例（积分法）
例1. 求刚架（折杆）自由端A点的竖向位移（挠度）
ΔAY（E、I、A=常数）。
q
B x
A x A
QP qx cos
Q cos
坐标变换：x Rsin , y R(1 cos ) , ds Rd
*例4. 试求图示简支梁在中点C的竖向位移Δ，并比
较 弯曲变形与剪切变形对位移的影响（梁的截面为
矩形：b×h）。
q
A x
C
B
l/2 l/2
P=1
A
B
xC
l/2 l/2
实际位移状态
虚拟力状态
第九章
虚功原理
和
结构位移计算
§9.1 位移计算概述
1。位移计算的目的 • 验算结构的刚度（刚度条件、施工控制）
• 计算超静定结构（力法）
2。结构位移的分类 • 位移与变形（外因作用下）
• 刚体位移与形变位移 • 线位移：点沿直线移动；角位移：截面转动 • 广义力与广义位移
（续）
3。位移计算的原理与方法 • 积分法求挠曲线方程—— EIy M
例3. 图示为一等截面圆弧形曲杆AB，截面为矩形， 圆弧AB的圆心角为α，半径为R 。设沿水平线作用均 布荷载q，求B点的竖向位移。并比较剪切变形和轴 向变形对位移的影响。
实际 状态
虚拟 状态
（续）
忽略小曲率杆的曲率影响，仍用直杆位移公式。
实际荷载
虚拟荷载
MP
1 2
qx2
NP qxsin
M x
凸抛物线：
S n hl n 1
,
xc
n 1 2(n 2)
l
(短）
凹抛物线：
1
1
S hl n 1
,
xc n 2 l
(短）
2. 折线分段图乘与变截面分段图乘
3. 复杂图形分块图乘（面积和形心位置难确定）
五、图乘法计算位移举例
MM P EI
ds
NNP EA
ds
kQ QP GA
ds
3。荷载作用下位移计算的步骤：
⑴ 沿拟求位移的位置和方向虚设相应的单位荷载；
⑵ 由静力平衡条件，求出结构虚内力 N Q M
⑶ 由静力平衡条件，计算实际荷载下结构内力NQM
⑷ 代入如上公式，计算Δ。
4。各类结构的位移计算公式
● 梁和刚架
MM EI
B
x
P=1 A x
l
CБайду номын сангаас
C
l
实际状态（位移、变形）
虚拟状态（力）
解：
1. 逐杆建立坐标系，并分别写出实际状态
的各杆内力方程。
AB段：
MP
qx2 2
,
NP 0 ,
QP qx
BC段：
MP
ql 2 2
,
NP ql ,
QP 0
（续）
2. 在A点加一竖向单位荷载作为虚拟状态，并 写出该状态内力方程。
答案：
CV
5ql 4 384 EI
§9.5 图乘法 （维利沙金,1925）
一、图乘法的应用条件： ● 直杆 ● EI不变 ● 至少有一个直线弯矩图
（竖标 y0应取自直线图）
二、图乘法的计算公式
MM EI
P
ds
()
1 EI
Ay0
公式推导示意图
三、图乘法公式的推导
B M M P ds
A EI
B Mi ( x)Mk ( x) ds 1
A
EI
EI
B
A Mi Mkdx
1 EI
B
A ( x tan )Mkdx
1 tan
EI
B
A xMkdx
1 EI
tan ( Ax0 )
1 EI
A( x0
tan )
1 EI A y0
（ A 与 y0同侧为正、异侧为负）
四、图乘的分段和分块叠加
1. 常见图形的面积和形心
• 实功原理求位移——能量法（功能原理） • 虚功原理——单位荷载法 • 线弹性体位移计算
应用条件（亦即叠加原理的应用条件）： ⑴ 材料满足虎克定律 ⑵ 结构变形微小，不影响力的作用。
§9.2 虚功和虚功原理
● 虚功的概念（虚功不虚！）
力P与经历的位移Δ独立无关（无因果关系！） “虚功”区别于“实功”，并非不存在。
● 虚功原理（包含虚位移原理和虚力原理）
◆ 定义：外力所做的虚功等于外力产生的内力在 微段上所做的虚功之和。
◆ 虚功方程：外力虚功=内力虚功（ We Wi ）
◆ 虚位移原理 位移状态：可能的位移；力状态：真实的平衡力系。
（续）
● 虚力原理
位移状态：真实的位移（拟求）； 力状态：虚拟的平衡力系（加单位荷载）。
● 位移计算的一般公式：
Nd Qd Md Rc
§9.4 荷载作用下的位移计算
1。假设材料是线弹性的（满足虎克定律）
轴向应变：
NP
,
d ds NP ds
EA
EA
平均切应变：
0
k
QP GA
,
d
0ds
k
QP GA
ds
弯曲应变：
M P , d ds M P ds
EI
EI
（续）
2。直杆在荷载作用下计算弹性位移一般公式：
AB段： M x , N 0 , Q 1 BC段： M l , N 1 , Q 0 3. 代入位移计算公式：
AV
MM P EI
ds
NNP EA
ds
kQ QP GA
ds
（续）
l 0
(x)
qx2 2
dx EI
l 0
(l)
ql 2 2
dx EI
l (1)(ql) dx
结论：
⑴ 对于浅梁，轴力和剪力影响所占比重不大。
⑵ 轴力项和剪力项通常可略去，仅取弯矩项。
例2. 计算图示桁架下弦中点C的挠度。已知各杆弹
性模量 E 2.1108 kPa，截面面积 A 12cm2 。
思考：虚拟状态（单位荷载）的选取
求桁架如下位移： D点水平位移 DB间距改变 CD高差改变 CE杆转角 CD杆与CE杆相对转角（夹角DCE改变量）
● 微元分析（计算变形体内力虚功）
广义力：N、Q 、M ；广义位移：dλ、dη、dθ
广义虚力：N 、Q 、M
微元内力虚功： dWi Nd Q d Md
§9.3 单位荷载法及其位移计算公式
● 虚拟力——单位荷载（最简） P=1 或 M=1 或 广义单位力（成对）
● 总外力虚功： P Rc 总内力虚功：
l
k (1)(qx)
dx
0
EI 0
GA
5 8
ql 4 EI
ql2 EA
kql2 2GA
5 8
ql 4 EI
1
8 5
I Al2
4 5
kEI GAl2
5
ql 4
1
2
h
2
2
E
h
2
8 EI 15 l 25 G l
（续）
5 8
ql 4 EI
1
1 750
1 500
其中，设 h/l =1/10，取G = 0.4E，k = 1.2
P
ds
（仅取一项）
● 桁架
NNP EA
ds
NNP EA
l
●
组合结构
MM EI
P
ds（梁式杆）
NNP EA
l（链杆）
●拱
MM EI
P
ds
NNP EA
ds
● 微弯曲杆（同梁）
5。荷载作用下位移计算举例（积分法）
例1. 求刚架（折杆）自由端A点的竖向位移（挠度）
ΔAY（E、I、A=常数）。
q
B x
A x A