数列基础练习题及答案讲解学习
高中数学《数列》练习题(含答案解析)
高中数学《数列》练习题（含答案解析）一、单选题1．已知等差数列{an }的前n 项和为Sn ，且48S S ＝13，则816S S ＝（ ）A ．310 B ．37C ．13D ．122．已知等比数列{an }的前n 项和为Sn ，则“Sn +1>Sn ”是“{an }单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．现有下列说法：①元素有三个以上的数集就是一个数列； ①数列1，1，1，1，…是无穷数列； ①每个数列都有通项公式；①根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式； ①数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数． 其中正确的有（ ）． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(1)(21)n n a n +=-⋅+，则2021S =（ ）A ．2020B ．2021C ．2022D ．20235．已知等差数列{}n a 中，6819,27a a ==，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E ”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”的边长的视力4.0的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为（ ）A ．4510aB ．91010aC ．4510a -D ．91010a -7．已知数列{}n a ，2141n n a n n ，则下列说法正确的是（ ）A ．此数列没有最大项B ．此数列的最大项是3aC ．此数列没有最小项D ．此数列的最小项是2a8．已知{}n a 是等差数列，公差0d >，其前n 项和为n S ，若2a 、52a+、172a +成等比数列，()12n n n a S +=，则不正确的是（ ） A ．1d= B ．1020a = C ．2n S n n =+ D ．当2n ≥时，32n n S a ≥9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+，则2021S =（ ） A ．20192020B ．20202021C ．20212022D ．1010101110．等差数列{}n a 前n 项和为n S ， 281112a a a ++=，则13S =（ ） A ．32B ．42C ．52D ．62二、填空题11．已知a 是1,2的等差中项，b 是1-，16-的等比中项，则ab 等于___________. 12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若65210,6Sa a =+=，则d =_________.13．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若891715a a =，则1517S S =______．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为nS，且1516a a +=-，936S =-，则n S 的最小值是______．三、解答题15．已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且满足11221,5a b b a ==+=(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)令n n n c a b =+求数列{}n c 的前n 项和n S ；16．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）2n nb a =-+求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 17．某公司2021年年初花费25万元引进一种新的设备，设备投入后每年的收益均为21万元.若2021年为第1年，且该公司第()n n *∈N 年需要支付的设备维修和工人工资等费用总和n a （单位：万元）的情况如图所示.（1）求n a ；（2）引进这种设备后，第几年该公司开始获利？ 18．设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列． （1）求{}n a 和{}nb 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <．参考答案与解析：1．A【分析】运用等差数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等差数列{an }的公差为d ， ①41181461582832a d a d a d S S +==⇒=+，显然0d ≠， ①8161182820283161204012010a d d d a d S d S d ++===++， 故选：A 2．D【分析】由110++>⇒>n n n S S a ，举反例102=>n na 和12nn a =-即可得出结果 【详解】110++>⇒>n n n S S a ，例如102=>n na ，但是数列{}n a 不单调递增，故不充分； 数列{}n a 单调递增，例如12n na =-，但是1n n S S +<，故不必要； 故选：D 3．B【分析】根据给定条件，利用数列的定义逐一分析各个命题，判断作答.【详解】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确； 对于①，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，①正确； 对于①0.1,0.01,0.001,0.0001,得到的不足近似值，依次排成一列得到的数列没有通项公式，①不正确；对于①，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为1,N n a n =∈，cos 2π,N n b n n *=∈等，即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，①不正确；对于①，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，①不正确， 所以说法正确的个数是1. 故选：B 4．D【分析】根据数列{}n a 的通项公式，可求得12342,2a aa a +=-+=-,依此类推，即可求解.【详解】①1(1)(21)n n a n +=-⋅+，故12343,5,7,9a a a a ==-==-故202112320202021S a a a a a =+++⋅⋅⋅++357940414043=-+-+⋅⋅⋅-+2101040432023=-⨯+=.故选：D. 5．C【分析】利用862d a a =-，直接计算公差即可. 【详解】等差数列{}n a 中，6819,27aa ==，设公差为d ，则86227198d a a =-=-=，即4d =.故选：C. 6．D【分析】由等比数列的通项公式计算．【详解】设第n 行视标边长为n a ，第n 1-行视标边长为()12n a n -≥，由题意可得()12n n a n -=≥，则()1101102nn a n a --=≥，则数列{}n a 为首项为a ，公比为11010-的等比数列， 所以101191010101010a a a ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，则视力4.9的视标边长为91010a -，故选：D. 7．B【分析】令10t n =-≥，则1n t =+，22641411ttyt t t t ，然后利用函数的知识可得答案. 【详解】令10t n =-≥，则1n t =+，22,641411tty tt t t当0=t 时，0y = 当0t >时，146y t t=++，由双勾函数的知识可得y 在()02,上单调递增，在()2,+∞上单调递减 所以当2t =即3n =时，y 取得最大值， 所以此数列的最大项是3a ，最小项为10a = 故选：B ． 8．A【分析】利用等差数列的求和公式可得出1n a na =，可得出10d a =>，根据已知条件求出1a 的值，可求得n a 、n S 的表达式，然后逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为{}n a 是等差数列，则()()1122nn n n a n a a S ++==，所以，1n a na =， 所以，110n n d a a a +=-=>，因为()()2521722a a a +=+，可得()()2111522172a a a +=+，整理可得21191640a a --=，因为10a >，故12d a ==，A 错；12n a na n ==，则1020a =，B 对；()()112nn n a S n n +==+，C 对；当2n ≥时，()233202n n S a n n n n n -=+-=-≥，即32n n S a ≥，D 对.故选：A. 9．C【解析】由1(2)n n na n a +=+，可得1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，数列{}(1)n n n a +为常数列，令1n =，可得1(1)21n n n a a +==，进而可得1(1)n a n n =+，利用裂项求和即可求解.【详解】数列{}n a 满足112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+， 则有1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，可得数列{}(1)n n n a +为常数列， 有1(1)2n n n a a +=，得(1)1n n n a +=，得1(1)n a n n =+，又由111(1)1n a n n n n ==-++，所以20211111112021112232021202220222022S =-+-+⋅⋅⋅-=-=．故选：C【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和； （4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解. 10．C【分析】将2811a a a ++化成1a 和d 的形式，得到二者关系，求得7a ，利用13713S a =求得结果. 【详解】()()28111111()71031812a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=164a d ∴+=，即74a = ()1131371313134522a a S a +∴===⨯= 故选：C.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题思路如下：（1）根据题中所给的条件，结合等差数列通项公式，将其转化为关于首项与公差的式子； （2）化简求得数列的某一项；（3）结合等差数列求和公式，得到和与项的关系，求得结果. 11．6±【分析】根据等差和等比中项的定义求出,a b 得值，即可求解. 【详解】因为a 是1,2的等差中项，所以12322a +==， 因为b 是1-，16-的等比中项，所以2(1)(16)16b =-⨯-=，4b =±，所以6ab =±.故答案为：6±. 12．1【分析】由等差中项性质可求4a ，又510S =依据等差数列的前n 项和公式及通项公式列方程即可求得公差 【详解】由266a a +=有43a =，而510S = ①结合等差数列的前n 项和公式及通项公式113322a d a d +=⎧⎨+=⎩即可得1d = 故答案为：1【点睛】本题考查了等差数列，利用等差中项求项，结合已知条件、前n 项和公式、通项公式求公差13．1【分析】利用等差数列性质及前n 项和公式计算作答.【详解】在等差数列{}n a 中，891715a a =，所以1151511588117171179915(15(152152117(17)(1717)2))2a a S a a a a a a S a a a a ++⨯====⋅=++⨯． 故答案为：1 14．42-【分析】根据给定条件求出等差数列{}n a 的首项、公差，探求数列{}n a 的单调性即可计算作答.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由1591636a a S +=-⎧⎨=-⎩得112416989362a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解得1122a d =-⎧⎨=⎩， 因此，()1212214n a n n =-+-⨯=-，令0n a =，解得7n =，于是得数列{}n a 是递增等差数列，其前6项为负，第7项为0，从第8项开始为正， 所以6S 或7S 最小，最小值为()656122422⨯⨯-+⨯=-． 故答案为：42-15．(1)21n a n =-，12n n b -=(2)221nn S n =+-【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式得到2d =，根据通项公式的求法得到结果；（2）1221n n n n c a b n -+=+=-分组求和即可.【详解】（1）设{}n a 的公差为d , 由已知,有215d ++=解得2d =，所以{}n a 的通项公式为21,n a n n *=-∈N , {}n b 的通项公式为12,n n b n -*=∈N .（2）1221n n n n c a b n -+=+=-，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到：212(121)21122n n n n n S n -+-=+=+--.16．（1）2n a n =-；（2）1n nT n =+.【解析】（1）由30S =，55S =-，可得113230254552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩求出1,a d ，从而可得{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得n b n =，从而可得11111(1)1n n b b n n n n +==-++，然后利用裂项相消求和法可求得n T 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为30S =，55S =-.所以113230254552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩，化简得11021a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解得111a d =⎧⎨=-⎩，所以1(1)1(1)(1)2n a a n d n n =+-=+--=-， （2）由（1）可知2(2)2n n b a n n =-+=--+=， 所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++， 所以111111(1)()()1223111n nT n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 【点睛】此题考查等差数列前n 项和的基本量计算，考查裂项相消求和法的应用，考查计算能力，属于基础题17．（1）2n a n =；（2）第2年该公司开始获利.【分析】（1）根据题意得出数列的首项和公差，进而求得通项公式 （2）根据题意算出总利润，进而令总利润大于0，解出不等式即可. 【详解】（1）由题意知，数列{}n a 是12a =，公差2d =的等差数列， 所以()()112122n a a n d n n =+-=+-⨯=.（2）设引进这种设备后，净利润与年数n 的关系为()F n ，则()()2121222520252n n F n n n n n -⎡⎤=-+⨯-=--⎢⎥⎣⎦. 令()0F n >得220250n n -+<，解得1010n -<+ 又因为n *∈N ，所以2n =，3，4，…，18， 即第2年该公司开始获利.18．（1）11()3n n a -=，3n nn b =；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=，解方程即可； （2）利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ，再作差比较即可.【详解】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和211213333n n n n nT --=++++，012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n S ， 230121123111112333323333n n n n S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012111012222333---++++111233---+n nn n ．设0121111101212222Γ3333------=++++n n n ， ① 则1231111012112222Γ33333-----=++++n nn ． ①由①-①得1121113312111113322Γ13233332313--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭-n n n n n n n ． 所以211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n ． 因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n nS n n nT ． 故2nn S T <． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得11(1)313(1)12313n n n S ⨯-==--，211213333n n n n n T --=++++，① 231112133333n n n n n T +-=++++，① ①-①得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---， 所以31(1)4323n n n n T =--⋅， 所以2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n n n n ----=-<⋅⋅， 所以2n n S T <. [方法三]：构造裂项法由（①）知13⎛⎫= ⎪⎝⎭n n b n ，令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n n c n ，且1+=-n n n b c c ，即1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n n ，通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==，所以331243n n c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 则12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，下同方法二． [方法四]：导函数法设()231()1-=++++=-n n x x f x x x x x x ，由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n n x x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦， 则12121(1)()123(1)+-+-+=++++='-n nn nx n x f x x x nx x ． 又1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭' 13113311(1)4334423n n n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下同方法二．【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n nS T,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nnc n，使1+=-n n nb c c，求得nT的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.。
数列基础知识练习(答案)
等差等比数列基础练习[例1]解答下述问题：（Ⅰ）已知cb a 1,1,1成等差数列，求证： （1）c b a b a c a c b +++,,成等差数列； （2）2,2,2bc b b a ---成等比数列.[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，.2,2,2,)2(4)(2)2)(2)(2(;,,.)(2)()(2)()1(),(222112222222成等比数列成等差数列bc b b a bb c a b ac b c b a c b a b a c a c b bc a c a b c a ac c a c a b ac ab a c bc c b a a c b c a b ac b ac c a b c a ---∴-=++-=--+++∴+=++=+++=+++=++++=⇒=+⇒=+[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，.（Ⅱ）等比数列的项数n 为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为 2128，求项数n. [解析]设公比为2421281024,142531==-n n a a a a a a a q)1(24211=⋅⇒-n qa.7,23525,2)2()1(,2)(2)1(221281024235252352112353211235321==∴==⋅⇒=-+⋅⇒=⨯=-++n n q a n q a a a a a nn n n 得代入得将而（Ⅲ）等差数列{a n }中，公差d ≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：,17,5,1,,,,32121===k k k a a a n k k k 其中恰为等比数列求数列.}{项和的前n k n[解析],,,,171251751a a a a a a ⋅=∴成等比数列① ②①②.1313132}{,132)1(2)1(323,34}{,2,00)2()16()4(111111115111121--=---⨯=-⋅=-+=-+=⋅=⋅=∴=+==∴=∴≠=-⇒+⋅=+⇒---n n S n k k d k d d k a a d a a a d a a a q a d a d d a d d a a d a n n n n n n n n k n n k k n n n 项和的前得由而的公比数列[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功. [例3]解答下述问题：（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单， 设等差数列的三项分别为a －d , a , a +d ，则有.9338,926,9250,10,2,92610,388,06432316803232))(()4()32)((22222或原三数为或得或∴===∴=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=++-a d d d d da a d d d a d a a a d a d a（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数. [解析]设此四数为)15(15,5,5,15>++--a a a a a ,⎩⎨⎧=+=-⇒⎩⎨⎧=+=-∴+<-+-⨯=⨯==+-⇒=+⇒∈=++++-+-∴*2521251,,,2551251125,125))((45004)()2()15()5()5()15(2222222a m a m a m a m a m a m a m a m a m a m m a N m m a a a a 且均为正整数与解得∴==),(1262不合或a a 所求四数为47，57，67，77[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.数列综合题①②①，②二、 填空题 13.251+ 14. 2926 15. n )31(34- 16. ±63 三、解答题17.a 1b =a 1,a 2b =a 10=a 1+9d ,a 3b =a 46=a 1+45d由{a bn }为等比数例，得（a 1+9d ）2=a 1(a 1+45d )得a 1=3d ,即a b 1=3d ,a b 2=12d ,a b 3=48d . ∴q =4 又由{a bn }是{a n }中的第b n a 项，及a bn =a b 1·4n -1=3d ·4n -1,a 1+(b n -1)d =3d ·4n -1 ∴b n =3·4n -1-218.∴ a 3=3b 3 , ∴a 1+2d =3a 1d 2 , ∴a 1(1-3d 2)=-2d ① a 5=5b 5, ∴a 1+4d =5a 1d 4 , ∴a 1(1-5d 4)=-4d ②②① ,得243151d d --=2，∴ d 2=1或d 2=51,由题意，d =55,a 1=-5。
等差数列基础习题（附详细答案）
等差数列基础习题（附详细答案）.选择题（共 26⼩题）1 .已知等差数列｛a n ｝中，a 3=9, 39=3，则公差d 的值为（）A . 2B . 1 22 .已知数列｛a n ｝的通项公式是a n =2n+5，则此数列是（ A .以7为⾸项，公差为2的等差数列 C .以5为⾸项，公差为2的等差数列3 .在等差数列｛a n ｝中，a 仁13, a 3=12，若a n =2，贝U n 等于（）A . 23B . 24C . 254.等差数列｛a n ｝的前n 项和为 S,已知S 3=6, a 4=8,则公差d=（）A . ⼀ 1B . 2C . 35 .两个数1与5的等差中项是（）A . 1B . 36. ⼀个⾸项为23，公差为整数的等差数列, A . - 2B . - 3 如果前六项均为正数，第七项起为负数,C . - 47. （ 2012?福建）等差数列｛a n ｝中，a 1+a 5=10, a 4=7,则数列｛a n ｝的公差为（）A . 1B . 2C . 3D . 48 .数列冷廿｝的⾸项为3,｛?｝为等差数列且b ⾎⼆计［-务（n￡ N*），若b 3= - 2 ,切⼝⼆12则 o f （）A . 0B . 8C . 3D . 119.已知两个等差数列 5, 8, 11, ??和3, 7, 11, ??都有100项，则它们的公共项的个数为（）A . 25B . 24C . 20D . 1910 .设S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，若满⾜ a n =a n -1+2 （n ⽀），且S 3=9，则a 仁（）等差数列基础习题精选C. _丄 D . - 12）B .以7为⾸项，公差为5的等差数列 D. 不是等差数列D . 26则它的公差是（D . - 5A . 5B . 311. （2005?⿊龙江）如果数列｛a n｝是等差数列，则（A . a1+a8> a4+a5B . a1+a8=a4+a512 . （2004?福建）设S n是等差数列｛a n｝的前n项和,A . 1 B. - 1C. - 1 D . 1）C . a1+a8v a4+a5D . a1a8=a4a5_ a5 B m.l 9 若尹则时（）C . 2D . 1113. （2009?安徽）已知｛a n ｝为等差数列，a i +a 3+a 5=105, a 2+a 4+a 6=99，贝U a 20等于（）A . - 1B . 1C . 3D . 714. 在等差数列｛a n ｝中，a 2=4, a 6=12,,那么数列A . o _ n-?-2B .rbn15.已知S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项的和，a 2+a 5=4, S 7=21，贝U a 7的值为（）A . 6B . 7C . 8D . 916.已知数列｛a n ｝为等差数列，a 什a 3+a 5=15, a 4=7,则s 6的值为（）A . 30B . 35C . 36D . 2417. （2012?营⼝）等差数列｛a n ｝的公差d v 0，且孑⼆諒，则数列｛a n ｝的前n 项和S n 取得最⼤值时的项数n 是（）A . 518 . （2012?辽宁）在等差数列｛a n ｝中，已知a 4+a 8=16，则该数列前11项和S1=（）A . 58B . 88C . 143D . 17619 .已知数列｛a n ｝等差数列，且 a 什a 3+a 5+a 7+a 9=10, a 2+a 4+a 6+a 8+a 10=20，则 a 4=（）A . - 1B . 0C . 1D . 220 .（理）已知数列｛a n ｝的前n 项和S n =n - 8n ,第k 项满⾜4v a k v 7,则k=（）A . 6B . 7C . 8D . 921.数列a n 的前n 项和为S n ,若S n =2n 2- 17n ,则当S n 取得最⼩值时n 的值为（）A . 4 或 5B . 5 或 6C . 4D . 522 .等差数列｛a n ｝中，a n =2n - 4，则S 4等于（）A . 12B . 1023 .若｛a n ｝为等差数列，a 3=4, a 8=19，则数列｛a n ｝的前10项和为（）A . 230B . 140C . 115D . 9524 .等差数列｛a n ｝中，a 3+a 8=5，则前10项和S 10=（））D .n （n-l ）lA . 5B . 25C . 50D . 10025. 设S n是公差不为0的等差数列｛a n｝的前n项和，且S i, S2, S4成等⽐数列，则竺等于( )a lA. 1B. 2C. 3 D . 426. 设a n= - 2n+21，则数列｛a n｝从⾸项到第⼏项的和最⼤( )A .第10项B .第11项C.第10项或11项 D .第12项⼆.填空题(共4⼩题)27. 如果数列｛a n｝满⾜：呂⼆3, ______________ 丄5 (忒齡),贝怙=.28. 如果f (n+1) =f (n) +1 (n=1, 2, 3…)，且f (1) =2,贝U f (100) =____________________ .29. ____________________________________________________________________________ 等差数列｛a n｝的前n项的和?⼆￡门⼀n^,则数列｛|a n|｝的前10项之和为__________________________________ .30. 已知｛a n｝是⼀个公差⼤于0的等差数列，且满⾜a3a6=55, a2+a7=16 .(I )求数列｛a n｝的通项公式：(n )若数列｛a n｝和数列｛b n｝满⾜等式：a n== 1⼁：「…、.(n为正整数)，求数列｛b n｝的前n项和S n ..选择题（共 26⼩题）考点：等差数列.专题：计算题.分析：「5⼻（i ?-i ） 4⼆本题可由题意，构造⽅程组⼬转，解出该⽅程组即可得到答案.由等差数列的通项公式，可得解得J 知,即等差数列的公差 d= - 1.&-1故选D点评：本题为等差数列的基本运算，只需构造⽅程组即可解决，数基础题.2 .已知数列｛a n ｝的通项公式是e n =2n+5，则此数列是（）A .以7为⾸项，公差为2的等差数列B .以7为⾸项，公差为5的等差数列C .以5为⾸项，公差为2的等差数列D .不是等差数列考点：等差数列. 专题：计算题.分析：直接根据数列｛a n ｝的通项公式是a n =2n+5求出⾸项，再把相邻两项作差求出公差即可得出结论. 解答：解：因为a n =2n+5,所以 a 1=2 x|+5=7 ；a n+1 - a n =2 （n+1） +5 -（ 2n+5） =2.故此数列是以7为⾸项，公差为2的等差数列. 故选A .点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应⽤.如果已知数列的通项公式，可以求出数列中的任意⼀项.3 .在等差数列｛a n ｝中，a 1=13, a 3=12，若a n =2，贝U n 等于（）A . 23考点：等差数列. 专题：综合题.分析：根据a 1=13, a 3=12,利⽤等差数列的通项公式求得d 的值，然后根据⾸项和公差写出数列的通项公式，让其等于2得到关于n 的⽅程，求出⽅程的解即可得到n 的值.参考答案与试题解析1.已知等差数列｛a n ｝中，a 3=9,A . 2Ba 9=3，则公差d 的值为（ 1C .解答:解：等差数列｛a n ｝中，a 3=9 , a 9=3,D . 26解：由题意得 a 3=a i +2d=12，把a i =13代⼊求得 d=- 2则 a n =13 -丄（n - 1）=-丄n+ =2，解得 n=232 2 2故选A此题考查学⽣灵活运⽤等差数列的通项公式化简求值，是⼀道基础题.4 .等差数列｛a n ｝的前n 项和为 S,已知S 3=6, a 4=8,则公差d=（ )A . ⼀ 1B . 2C . 3D . ⼀2考点：等差数列. 专题：计算题.分析：根据等差数列的前三项之和是6，得到这个数列的第⼆项是 2,这样已知等差数列的；两项，根据等差数列的通项公式，得到数列的公差.解答：解：?等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,S 3=6, a 2=2a 4=8, 8=2+2d d =3, 故选C .点评：本题考查等差数列的通项，这是⼀个基础题，解题时注意应⽤数列的性质，即前三项的和等于第⼆项的三倍，这样可以简化题⽬的运算.5 .两个数1与5的等差中项是（）A . 1B . 3C . 2D - |±Vs考点：等差数列.专题：计算题.分析：由于a , b 的等差中项为釁由此可求出1与5的等差中项.解答：解：1与5的等差中项为:2=3,故选B .点评：本题考查两个数的等差中项，牢记公式 a , b 的等差中项为：障是解题的关键，属基础题6 .⼀个⾸项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A . - 2D . - 5考点：等差数列. 专题：计算题. 分析：设等差数列｛a n ｝的公差为d ,因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以—■⼘’⼀，结合公□O解答:点评:差为整数进⽽求出数列的公差. 解答：解：设等差数列｛a n｝的公差为d,所以a6=23+5d, a7=23+6d ,⼜因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以⼀-亞,5 6因为数列是公差为整数的等差数列，所以d= - 4.故选C.点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式，并且结合正确的运算.7. （2012?福建）等差数列｛a n｝中，a i+a5=10, a4=7,则数列｛a n｝的公差为（）A. 1B. 2C. 3 D . 4考点：等差数列的通项公式.专题：计算题.分析：设数列｛a n｝的公差为d,则由题意可得2a1+4d=10 , a1+3d=7，由此解得d的值.解答：解：设数列｛a n｝的公差为d,则由a1+a5=10, a4=7，可得2a1+4d=10 , a1+3d=7,解得d=2, 故选B .点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应⽤，属于基础题.8?数列｛韦｝的⾸项为3, ｛bj为等差数列且b n=a rr|_j - （n￡ N* ），若切⼆-2,切⼝⼆12则a E=（）A. 0B. 8C. 3D. 11考点：等差数列的通项公式.专题：计算题.分析：先确定等差数列｛?｝的通项，再利⽤?⼆厘计1⼀⽚（⼝€泸），我们可以求得丸的值. 解答：解：｛?｝为等差数列，b^ —2, bl［，⼆12，b n=b3+ （n- 3）>2=2n - 8V b n=a^l -弘（展声）.b8=a8- a1T数列｛aj的⾸项为3.? 2 XJ- 8=a8 —3,a8=11.。
《数列》测试卷及答案解析(基础卷)
2019-2020学年高中数学必修五《数列》考试卷姓名： 成绩：一、本卷共12个小题，每题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请把正确答案填涂在答题卡上．1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 020，则序号n 等于( )．A ．672B ．673C ．674D ．675【答案】C解析：由题设，代入通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，即2 020＝1＋3(n －1)，∴n ＝674． 2. 已知数列{a n }的通项公式a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]，则该数列的前4项依次是( )A ．1,0,1,0B ．0,1,0,1 C.12，0，12，0 D ．2,0,2,0【答案】A3. 若{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＋a 7=45，a 2＋a 5＋a 8=39，则a 3＋a 6＋a 9的值是 （ ）A ．39B ．20C ．19.5D ．33 【答案】D4．数列23，45，67，89，…的第10项是( )A.1617B.1819C.2021D.2223【答案】 C.由题意知数列的通项公式是an ＝2n 2n ＋1，∴a10＝2×102×10＋1＝2021.故选C.5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ).A ．81B ．120C ．168D ．192 【答案】B解析：∵a 2＝9，a 5＝243，25a a ＝q 3＝9243＝27， ∴q ＝3，a 1q ＝9，a 1＝3，∴S 4＝3－13－35＝2240＝120．6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2019＋a 2020＞0，a 2019·a 2020＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )．A ．4 005B ．4038C ．4039D ．4 008【答案】B解析：由a 2019＋a 2020＞0，a 2019·a 2020＜0，知a 2019和a 2020两项中有一正数一负数，又a 1＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a 2019＞a 2020，即a 2019＞0，a 2020＜0.∴S 4038＝2＋006400641)(a a ＞0，∴S 4039＝20074·(a 1＋a 4039)＝20074·2a 2020＜0， 故4038为S n ＞0的最大自然数. 选B ．7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )．A ．－4B ．－6C ．－8D ． －10【答案】B解析：∵{a n }是等差数列，∴a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6， 又由a 1，a 3，a 4成等比数列， ∴(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝－8， ∴a 2＝－8＋2＝－6．8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．21。
数列测试题及答案解析
数列测试题及答案解析一、选择题1. 已知数列{an}满足a1=2，an+1 = 2an，判断数列{an}是否为等比数列。
A. 是B. 不是C. 无法判断答案：A2. 若数列{bn}是等差数列，且b3=5，b5=9，求b7。
A. 11B. 13C. 无法确定答案：B二、填空题1. 给定数列{cn}，其中c1=1，cn+1 = cn + n，求c5的值。
答案：152. 已知等差数列{dn}的首项d1=3，公差d=2，求d20的值。
答案：43三、解答题1. 求等比数列{en}的前n项和Sn，若e1=1，公比q=3。
解：根据等比数列前n项和公式Sn = e1 * (1 - q^n) / (1 - q)，代入e1=1和q=3，得到Sn = (1 - 3^n) / (1 - 3)。
2. 已知等差数列{fn}的前n项和为Tn，若f1=2，d=3，求T10。
解：根据等差数列前n项和公式Tn = n/2 * (2a1 + (n - 1)d)，代入f1=2和d=3，得到T10 = 10/2 * (2*2 + (10 - 1)*3) = 5 * (4 + 27) = 5 * 31 = 155。
四、证明题1. 证明数列{gn}，其中gn = n^2，是一个单调递增数列。
证明：设n≥2，我们需要证明对于任意的n，有gn ≥ gn-1。
即证明n^2 ≥ (n-1)^2。
展开得n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1 > 0，所以数列{gn}是单调递增的。
2. 证明等差数列{hn}的任意两项hn和hm（m > n）之和等于它们中间项的两倍。
证明：设等差数列{hn}的首项为h1，公差为d。
根据等差数列的定义，hn = h1 + (n - 1)d，hm = h1 + (m - 1)d。
将两项相加得hn + hm = 2h1 + (m + n - 2)d。
由于m > n，所以m + n - 2 = m - 1 + n - 1，即hn + hm = h1 + (m - 1)d + h1 + (n - 1)d = 2h1 + (m + n - 2)d = 2h((m + n - 1)/2)，这正是它们中间项的两倍。
数列基础题(附答案)
数列综合题一、填空题1．各项都是正数的等比数列{an }，公比q≠1,a5,a7,a8成等差数列，则公比q=2．已知等差数列{an }，公差d≠0,a1,a5,a17成等比数列，则18621751aaaaaa++++=3．已知数列{an }满足Sn=1+na41,则an=4．已知二次函数f(x)=n(n+1)x2-(2n+1)x+1,当n=1,2,…，12时，这些函数的图像在x轴上截得的线段长度之和为5.已知数列{an }的通项公式为an=log(n+1)(n+2),则它的前n项之积为6.数列{(-1)n-1n2}的前n项之和为7．一种堆垛方式，最高一层2个物品，第二层6个物品，第三层12个物品，第四层20个物品，第五层30个物品，…，当堆到第n层时的物品的个数为8．已知数列1，1，2，…，它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对应项相加而得到，则该数列前10项之和为9．在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为10．已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），……，则第60个数对为11．设等差数列｛a n｝的前n项和是S n，若a5=20－a16，则S20=___________．12．若｛a n｝是等比数列，a4·a7= －512，a3+ a8=124，且公比q为整数，则a10等于___________．13．在数列｛a n｝中，a1=1，当n≥2时，a1 a2…a n=n2恒成立，则a3+ a5=___________．14．设｛a n｝是首项为1的正项数列，且（n＋1）21+na－na2n＋a n+1 a n=0（n=1，2，3，…），则它的通项公式是a n=___________．二.解答题1.已知数列{an }的通项公式为an=3n+2n+(2n-1),求前n项和。
数列练习题经典例题及详细解答
数列练习题4．正项等比数列{a n }中a 1，a 49是2x 2－7x +6=0的两个根，则a 1·a 2·a 25·a 48·a 49的值为（ ）A ．221B ．93C ．±93D ．357、数列{}n a 满足首项*1114,323(),n n a a a n N +=+=∈那么使20n n a a +⋅<成立的n 值是（ ）A21 B20 C2和21 D21和225．已知数{}n a 的前n 项和142+-=n n S n ，则|||||||1021a a a ++++ 的值为（ ）A ．67B ．65C ．61D ．565．已知无穷等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，所有项的和为S ，且1)2(lim =-∞→S S n n ，则其首项a 1的取值范围（ ）A ．(－1，0)B ．（－2,－1）C ．（－2,－1）∪（－1,0）D ．（－2,0） 9．若数列{}n a 成等差数列， a m ＝n ，a n ＝m(m ≠n)，则a m ＋n ＝ （ ）A ．0 B. 1 C. m ＋n D. －m －n10.若数列{}n a 成等差数列， ,()m n S n S m m n ==≠，则m n S +＝ （ ）A ．0 B. 1 C. m ＋n D. －m －n(1) 解法一： 1m n a a d m n-==--，∴0m n m a a nd n n +=+=-= 解法二：设n a an b =+，则a n b m a m b n +=⎧⎨+=⎩解之1a b m n=-⎧⎨=+⎩，∴()0m n a m n m n +=-+++= 解法三：设首项和公差列方程组（略）(2) 解法一：1m n n s s a +-=+…＋1111()()()()22m n m m n a m n a a m n a a n m ++=-+=-+=- ∴1112,()()2m n m n m n a a s m n a a m n ++++=-=++=-- 解法二： 设2n s an bn =+，则22an bn m am bm n⎧+=⎨+=⎩相减得()1a m n b ++=- ∴s m+n ＝a(m ＋n)2＋b(m ＋n)＝(m+n)[a(m ＋n)＋b]＝－m －n 解法三：由已知点(,),(,),(,)m n m n s s s m n m n m n m n+++共线， ∴m n m n s m n m m n n m n s m n m m n++--+=⇒=---4．若数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，则=+++22221n a a a （ ）A ．2)12(+nB ．1(41)3n - C ．)264(311+-n D ．)234(31+n例10．设｛a n ｝（n ∈N *）是公差为d 的等差数列，前n 项和为S n ，且S 5＜S 6，S 6=S 7＞S 8，则下列结论错误的是 （ ）A ．d ＜0B ．a 7=0C ．S 9＞S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值14．已知等比数列}{n a 公比为q ，且q>1，其前n 项和为S n ，则nn n S a 1lim +∞→= q －1 . 9．以()f n 表示下图中第（n ）个图形的相应点数,根拒其规律()f n = ()2n n + ．……15.在数列}{n a 中)(22+∈++-=N n kn n a n ,已知此数列是递减数列且恰从第三项起开始小于3,则实数k 的取值范围是_15 .,25[3)_________.例19．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n －1)2n ＋1，是否存在等差数列{b n }，使 a n ＝b 1C n 1＋b 2C n 2＋…＋b n C n n 对一切正整数n 均成立？解：n ≥2时，a n ＝S n －S n-1＝n2n-1，n ＝1时也成立，假设存在等差数列b n ＝an ＋b 满足条件 解法一： 则n2n-1＝(a ＋b)C n 1＋(2a ＋b)C n 2＋…＋(na ＋b)C n n＝a(C n 1＋2C n 2＋…＋nC n n )＋b(C n 1＋C n 2＋…＋C n n )＝an2n-1＋b(2n －1)＝(an ＋2b)2n-1－b比较两边对应项系数可得b ＝0，a ＝1，所以存在等差数列b n ＝n 满足条件 解法二：a n ＝ (a ＋b)C n 1＋(2a ＋b)C n 2＋…＋(na ＋b)C n n倒序 a n ＝(na ＋b)C n n ＋(na-a+b)C n n-1＋…＋(a ＋b)C n 1相加2a n ＝(na ＋b)( C n 0＋C n 1＋C n 2＋…＋C n n )即 n ×2n ＝b n ×2n 所以b n ＝n 故存在等差数列b n ＝n 满足条件。
(完整版)数列例题(含答案)
1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为T n且（λ为常数）．令c n=b2n（n∈N*）求数列{c n}的前n项和R n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a2n=2a n+1，取n=1，得a2=2a1+1，即a1﹣d+1=0①再由S4=4S2，得，即d=2a1②联立①、②得a1=1，d=2．所以a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）把a n=2n﹣1代入，得，则．所以b1=T1=λ﹣1，当n≥2时，=．所以，．R n=c1+c2+…+c n=③④③﹣④得：=所以；所以数列{c n}的前n项和．2．等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，则，解得，所以a n=3+（n﹣1）=n+2；（Ⅱ）b n=2+n=2n+n，所以b1+b2+b3+…+b10=（2+1）+（22+2）+…+（210+10）=（2+22+...+210）+（1+2+ (10)=+=2101．3．已知数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明++…+＜1．【解答】（I）解：设等差数列{log2（a n﹣1）}的公差为d．由a1=3，a3=9得2（log22+d）=log22+log28，即d=1．所以log2（a n﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，即a n=2n+1．（II）证明：因为==，所以++…+=+++…+==1﹣＜1，即得证．4．已知{a n}是正数组成的数列，a1=1，且点（，a n+1）（n∈N*）在函数y=x2+1的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若列数{b n}满足b1=1，b n+1=b n+2an，求证：b n•b n+2＜b n+12．【解答】解：解法一：（Ⅰ）由已知得a n+1=a n+1、即a n+1﹣a n=1，又a1=1，所以数列{a n}是以1为首项，公差为1的等差数列．故a n=1+（n﹣1）×1=n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：a n=n从而b n+1﹣b n=2n．b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+1=∵b n•b n+2﹣b n+12=（2n﹣1）（2n+2﹣1）﹣（2n+1﹣1）2=（22n+2﹣2n﹣2n+2+1）﹣（22n+2﹣2•2n+1+1）=﹣2n＜0∴b n•b n+2＜b n+12解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）∵b2=1b n•b n+2﹣b n+12=（b n+1﹣2n）（b n+1+2n+1）﹣b n+12=2n+1•bn+1﹣2n•bn+1﹣2n•2n+1=2n（b n+1﹣2n+1）=2n（b n+2n﹣2n+1）=2n（b n﹣2n）=…=2n（b1﹣2）=﹣2n＜0∴b n•b n+2＜b n+125．已知等差数列{a n}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等？【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d．∵a4﹣a3=2，所以d=2∵a1+a2=10，所以2a1+d=10∴a1=4，∴a n=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…）（II）设等比数列{b n}的公比为q，∵b2=a3=8，b3=a7=16，∴∴q=2，b1=4∴=128，而128=2n+2∴n=63∴b6与数列{a n}中的第63项相等6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5+a13=34，S3=9．（1）求数列{a n}的通项公式及前n项和公式；（2）设数列{b n}的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，b m（m≥3，m∈N）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d．由已知得即解得．故a n=2n﹣1，S n=n2（2）由（1）知．要使b1，b2，b m成等差数列，必须2b2=b1+b m，即，（8分）．移项得：=﹣=，整理得，因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5．当t=2时，m=7；当t=3时，m=5；当t=5时，m=4．故存在正整数t，使得b1，b2，b m成等差数列．7．设{a n}是等差数列，b n=（）an．已知b1+b2+b3=，b1b2b3=．求等差数列的通项a n．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d．∴b1b3=•==b22．由b1b2b3=，得b23=，解得b2=．代入已知条件整理得解这个方程组得b1=2，b3=或b1=，b3=2∴a1=﹣1，d=2或a1=3，d=﹣2．所以，当a1=﹣1，d=2时a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣3．当a1=3，d=﹣2时a n=a1+（n﹣1）d=5﹣2n．8．已知等差数列{a n}的公差大于0，且a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，数列{b n}的前n项的和为S n，且S n=1﹣（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n=a n b n，求证c n+1≤c n．【解答】解：（1）∵a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，且数列{a n}的公差d＞0，∴a3=5，a5=9，公差∴a n=a5+（n﹣5）d=2n﹣1．又当n=1时，有b1=S1=1﹣当∴数列{b n}是等比数列，∴（2）由（Ⅰ）知，∴∴c n+1≤c n．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5=35，a5和a7的等差中项为13．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令（n∈N﹡），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，因为S5=5a3=35，a5+a7=26，所以，…（2分）解得a1=3，d=2，…（4分）所以a n=3+2（n﹣1）=2n+1；S n=3n+×2=n2+2n．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=2n+1，所以b n==…（8分）=，…（10分）所以T n=．…（12分）10．已知等差数列{a n}是递增数列，且满足a4•a7=15，a3+a8=8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（n≥2），b1=，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）根据题意：a3+a8=8=a4+a7，a4•a7=15，知：a4，a7是方程x2﹣8x+15=0的两根，且a4＜a7解得a4=3，a7=5，设数列{a n}的公差为d由．故等差数列{a n}的通项公式为：（2）=又∴=11．设f（x）=x3，等差数列{a n}中a3=7，a1+a2+a3=12，记S n=，令b n=a n S n，数列的前n项和为T n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式和S n；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由a3=a1+2d=7，a1+a2+a3=3a1+3d=12．解得a1=1，d=3∴a n=3n﹣2∵f（x）=x3∴S n==a n+1=3n+1．（Ⅱ）b n=a n S n=（3n﹣2）（3n+1）∴∴（Ⅲ）由（2）知，∴，∵T1，T m，T n成等比数列．∴即当m=1时，7=，n=1，不合题意；当m=2时，=，n=16，符合题意；当m=3时，=，n无正整数解；当m=4时，=，n无正整数解；当m=5时，=，n无正整数解；当m=6时，=，n无正整数解；当m≥7时，m2﹣6m﹣1=（m﹣3）2﹣10＞0，则，而，所以，此时不存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，T m，T n成等比数列．综上，存在正整数m=2，n=16，且1＜m＜n，使得T1，T m，T n成等比数列．12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n=pn2﹣2n+q（p，q∈R），n∈N+．（Ⅰ）求的q值；（Ⅱ）若a1与a5的等差中项为18，b n满足a n=2log2b n，求数列{b n}的前n和T n．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=p﹣2+q当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=pn2﹣2n+q﹣p（n﹣1）2+2（n﹣1）﹣q=2pn﹣p﹣2∵{a n}是等差数列，a1符合n≥2时，a n的形式，∴p﹣2+q=2p﹣p﹣2，∴q=0（Ⅱ）∵，由题意得a3=18又a3=6p﹣p﹣2，∴6p﹣p﹣2=18，解得p=4∴a n=8n﹣6由a n=2log2b n，得b n=24n﹣3．∴，即{b n}是首项为2，公比为16的等比数列∴数列{b n}的前n项和．13．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a2+a4=14，S7=70．（Ⅰ）求数列a n的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列b n的最小项是第几项，并求出该项的值．【解答】解：（I）设公差为d，则有…（2分）解得以a n=3n﹣2．…（4分）（II）…（6分）所以=﹣1…（10分）当且仅当，即n=4时取等号，故数列{b n}的最小项是第4项，该项的值为23．…（12分）14．己知各项均为正数的数列{a n}满足a n+12﹣a n+1a n﹣2a n2=0（n∈N*），且a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若b n=a n a n，S n=b1+b2+…+b n，求S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵a n+12﹣a n+1a n﹣2a n2=0，∴（a n+1+a n）（a n+1﹣2a n）=0，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n+1+a n＞0，∴a n+1﹣2a n=0，即a n+1=2a n，所以数列{a n}是以2为公比的等比数列．∵a3+2是a2，a4的等差中项，∴a2+a4=2a3+4，∴2a1+8a1=8a1+4，∴a1=2，∴数列{a n}的通项公式a n=2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）及b n=得，b n=﹣n•2n，∵S n=b1+b2++b n，∴S n=﹣2﹣2•22﹣3•23﹣4•24﹣﹣n•2n①∴2S n=﹣22﹣2•23﹣3•24﹣4•25﹣﹣（n﹣1）•2n﹣n•2n+1②①﹣②得，S n=2+22+23+24+25++2n﹣n•2n+1=，要使S n+n•2n+1＞50成立，只需2n+1﹣2＞50成立，即2n+1＞52，∴使S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．15．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=2S n+1，数列{b n}满足a1=b1，点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由a n+1=2S n+1可得a n=2S n﹣1+1（n≥2），两式相减得a n+1﹣a n=2a n，a n+1=3a n（n≥2）．又a2=2S1+1=3，所以a2=3a1．故{a n}是首项为1，公比为3的等比数列．所以a n=3n﹣1．由点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上，所以b n+1﹣b n=2．则数列{b n}是首项为1，公差为2的等差数列．则b n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1（Ⅱ）因为，所以．则，两式相减得：．所以=．。
高中数列基础练习题及答案解析
高中数列基础练习题及答案解析一、选择题1.已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9=2a5，a2=1，则a1= A.1B. C.22D. ，则等于2.已知为等差数列，A. -1B. 1C.D.73.公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项, S8?32,则S10等于 A. 18B. C. 0 D. 0 .4设Sn是等差数列?an?的前n项和，已知a2?3，a6?11，则S7等于A．13B．35C．4D．35.已知?an?为等差数列，且a7－2a4＝－1, a3＝0,则公差d＝－－11226.等差数列｛an｝的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是A.0B. 100 C. 145D. 190.设x?R,记不超过x的最大整数为[x],令{x}=x-[x]，则{?1?15?1}，[],22A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：. 他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。
下列数中及时三角形数又是正方形数的是A.28B.102C.1225D.1378129.等差数列?an?的前n项和为Sn，已知am?1?am?1?am?0，S2m?1?38,则m?3010 . 10.设?an?是公差不为0的等差数列，a1?2且a1,a3,a6成等比数列，则?an?的前n项和Sn=n27nn25nn23nA．? B．? C．?332444D．n2?n11.等差数列｛an｝的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是A.0B. 100C. 1D. 190 . 二、填空题1设等比数列{an}的公比q?1S，前n项和为Sn，则4?a42.设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8?S4，S12?S8，S16?S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，，3.在等差数列{an}中,a3?7,a5?a2?6,则a6?____________.4.等比数列{an}的公比q?0, 已知a2=1，an?2?an?1?6an，则{an}的前4项和T16成等比数列． T12S4= .三．解答题11.已知点是函数f?ax?c,数列{bn}的首项为c，且前n 项和Sn满足Sn－Sn?1=Sn+Sn?1.求数列{an}和{bn}的通项公式；若数列{正整数n是多少? .210001前n项和为Tn，问Tn>的最小2009bnbn?12设Sn为数列{an}的前n项和，Sn?kn2?n，n?N*，其中k是常数．求a1及an；若对于任意的m?N*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值．3.设数列{an}的通项公式为an?pn?q. 数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是11使得不等式an?m成立的所有n中的最小值.若p?,q??，求b3；23若p?2,q??1，求数列{bm}的前2m项和公式；是否存在p和q，使得bm?3m?2？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.基础练习参考答案一、选择题1.B设公比为q,由已知得a1q?a1q?2a1q正数，所以q?28?42?,即q2?2,又因为等比数列{an}的公比为故a1?a2,选B ??q232.∵a1?a3?a5?105即3a3?105∴a3?35同理可得a4?33∴公差d?a4?a3??2∴a20?a4??d?1.选B。
小学数列题库及答案详解
小学数列题库及答案详解1. 题目：找出下列数列的规律，并求出第10项。
数列：2, 4, 6, 8, ...答案：这是一个等差数列，公差为2。
第10项可以通过公式 a_n = a_1 + (n-1)d 计算得出，其中a_1是首项，d是公差，n是项数。
所以第10项 a_10 = 2 + (10-1)*2 = 2 + 18 = 20。
2. 题目：下列数列中，哪一个数是第20项？数列：1, 3, 5, 7, ...答案：这是一个等差数列，首项为1，公差为2。
使用公式 a_n = a_1 + (n-1)d 计算第20项，a_20 = 1 + (20-1)*2 = 1 + 38 = 39。
3. 题目：如果一个数列的前三项为5, 7, 9，求第5项的值。
答案：这是一个等差数列，首项为5，公差为2。
第5项可以通过公式 a_n = a_1 + (n-1)d 计算得出，a_5 = 5 + (5-1)*2 = 5 + 8 = 13。
4. 题目：数列1, 4, 9, 16, ... 的第10项是多少？答案：这是一个平方数列，每一项都是其项数的平方。
第10项是10的平方，即 a_10 = 10^2 = 100。
5. 题目：如果一个数列的前四项为2, 5, 10, 17，求第5项的值。
答案：这是一个等差数列，首项为2，公差逐渐增加。
第二项与首项的差为3，第三项与第二项的差为5，第四项与第三项的差为7。
可以推断出公差是递增的，每次增加2。
因此，第五项与第四项的差应该是9，所以 a_5 = 17 + 9 = 26。
6. 题目：数列2, 6, 18, 54, ... 的第8项是多少？答案：这是一个等比数列，首项为2，公比为3。
第8项可以通过公式 a_n = a_1 * r^(n-1) 计算得出，其中a_1是首项，r是公比，n 是项数。
所以第8项 a_8 = 2 * 3^(8-1) = 2 * 3^7 = 4374。
7. 题目：找出下列数列的规律，并求出第15项。
(完整版)数列基础测试题及参考答案
数列1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2005，则序号n 等于()．A ．667B ．668C ．669D ．6702．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝()．A ．33B ．72C ．84D ．1893．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则()．4m －n ｜6.0成立9．已知数列－1，1，2，－4成等差数列，－1，1，2，3，－4成等比数列，则212b a 的值是()．A ．21B ．－21C ．－21或21D ．4110．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝()．A ．38B ．20C ．10D ．9二、填空题11．设f (x )＝221+x ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为. 12．已知等比数列{a n }中，(1)若a 3·a 4·a 5＝8，则a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝． (2)若a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝． (3)若S 4＝2，S 8＝6，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝.13.16(2)设S n 与b n20．已知数列{a n }是首项为a 且公比不等于1的等比数列，S n 为其前n 项和，a 1，2a 7，3a 4成等差数列，求证：12S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列.一、选择题1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2005，则序号n 等于()．A ．667B ．668C ．669D ．6702．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝()．A ．33B ．72C ．84D ．1893．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则()． A ．a 1a 8＞a 4a 5B ．a 1a 8＜a 4a 5C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 54．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为41的等差数列，则｜m －n ｜等于()．A ．1B ．43C ．21D ．835．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为().6.成立9的值二、填空题11．设f (x )＝221+x，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为. 12．已知等比数列{a n }中，(1)若a 3·a 4·a 5＝8，则a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝． (2)若a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝．(3)若S 4＝2，S 8＝6，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝.13．在38和227之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为． 14．在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则此数列前13项之和为.15．在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝.16．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n条直线交点的个数，则f (4)＝；当n ＞4时，f (n )＝．(2)设S n 与b n203a 4成等。
高中数学数列基础练习及参考答案
基础练习一、选择题1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a = A.21B. 22C.2 D.22.已知为等差数列，，则等于A. -1B. 1C. 3D.73.公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项, 832S =,则10S 等于A. 18B. 24C. 60D.90 .4设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于A ．13B ．35C ．49D ． 63 5.已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝（A ）－2 （B ）－12 （C ）12（D ）26.等差数列｛n a ｝的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 1907.设,R x ∈记不超过x 的最大整数为[x ],令{x }=x -[x ]，则{215+}，[215+],215+ A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 8.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：. 他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。
下列数中及时三角形数又是正方形数的是A.289B.1024C.1225D.13789.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m ma a a -++-=，2138m S -=,则m = （A ）38 （B ）20 （C ）10 （D ）9 .10.设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =A ．2744n n +B ．2533n n +C ．2324n n+D ．2n n +11.等差数列｛n a ｝的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和是A. 90B. 100C. 145D. 190 . 二、填空题1设等比数列{}n a 的公比12q =，前n 项和为n S ，则44S a = ．2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4S ，84S S -，128S S -，1612S S -成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则4T ， ， ，1612T T 成等比数列． 3.在等差数列}{n a 中,6,7253+==a a a ,则____________6=a .4.等比数列{n a }的公比0q >, 已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{n a }的前4项和4S = .三．解答题设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数．（I ） 求1a 及n a ； （II ）若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值．基础练习参考答案一、选择题1.【答案】B 【解析】设公比为q ,由已知得()22841112a q a q a q ⋅=,即22q =,又因为等比数列}{n a的公比为正数，所以q =故212a a q ===,选B 2.【解析】∵135105a a a ++=即33105a =∴335a =同理可得433a =∴公差432d a a =-=-∴204(204)1a a d =+-⨯=.选B 。
数列考试题型及答案详解
数列考试题型及答案详解一、选择题1. 已知数列\( a_n \)的通项公式为\( a_n = 2n - 1 \)，该数列是：A. 等差数列B. 等比数列C. 既不是等差数列也不是等比数列D. 常数数列答案：A2. 若数列\( b_n \)满足\( b_n = b_{n-1} + 3 \)，且\( b_1 = 1 \)，则\( b_5 \)的值为：A. 10B. 13C. 16D. 19答案：B二、填空题3. 给定数列\( c_n \)的前几项为\( c_1 = 1, c_2 = 3, c_3 = 6 \)，若数列\( c_n \)是等差数列，则\( c_4 \)的值为______。
答案：104. 若数列\( d_n \)的前\( n \)项和为\( S_n = 2n^2 - n \)，求\( d_4 \)的值。
答案：15三、解答题5. 已知数列\( e_n \)的前\( n \)项和为\( S_n = 3n^2 + n \)，求证数列\( e_n \)是等差数列，并求出其首项和公差。
证明：由题意知，\( S_1 = e_1 = 3 \times 1^2 + 1 = 4 \)。
当\( n \geq 2 \)时，\( e_n = S_n - S_{n-1} = (3n^2 + n) - [3(n-1)^2 + (n-1)] = 6n - 2 \)。
又\( e_1 = 4 \)，满足上述等式，故\( e_n = 6n - 2 \)。
由\( e_n \)的表达式可知，\( e_n - e_{n-1} = 6 \)，即数列\( e_n \)的公差为6，首项为4，因此\( e_n \)是等差数列。
6. 已知数列\( f_n \)的通项公式为\( f_n = 3^n - 2^n \)，求\( f_{10} \)的值。
解答：根据题意，\( f_{10} = 3^{10} - 2^{10} \)。
计算得\( f_{10} = 59049 - 1024 = 58025 \)。
数列试题及答案
数列试题及答案数列是数学中的一种重要概念，通过研究和分析数列可以揭示出其中的规律和特点。
下面将介绍几道常见的数列试题，并给出详细的解答。
1. 试题一已知数列{an}满足an = 3n - 1，求前10项的和Sn。
解答：首先我们可以算出数列的前10项：a1 = 3(1) - 1 = 2a2 = 3(2) - 1 = 5a3 = 3(3) - 1 = 8...a10 = 3(10) - 1 = 29然后求和：Sn = a1 + a2 + a3 + ... + a10= 2 + 5 + 8 + ... + 29观察可知，每一项等于前一项加上3，因此可以利用等差数列的求和公式求解：Sn = (a1 + a10) * 10 / 2= (2 + 29) * 10 / 2= 31 * 5= 155所以，前10项的和Sn = 155。
2. 试题二给定数列{bn}的前4项为1，3，9，27，请写出该数列的通项公式。
解答：观察可知，每一项等于前一项乘以3，因此可以得出该数列的通项公式为：bn = 3^(n-1)其中，n为项数。
根据该公式可求得后续项。
3. 试题三已知数列{cn}满足c1 = 1，c2 = 2，c3 = 4，且每一项等于前两项之和。
求该数列的第10项。
解答：根据题意，数列的第4项开始每一项等于前两项之和：c4 = c3 + c2 = 4 + 2 = 6c5 = c4 + c3 = 6 + 4 = 10c6 = c5 + c4 = 10 + 6 = 16...通过计算可以得出数列的前10项如下：c1 = 1c2 = 2c3 = 4c4 = 6c5 = 10c6 = 16c7 = 26c8 = 42c9 = 68c10 = 110所以，该数列的第10项为c10 = 110。
4. 试题四已知等差数列{dn}的前4项为2，5，8，11，请写出该数列的通项公式，并求第n项。
解答：观察可知，公差为3，首项为2，因此该等差数列的通项公式为：dn = 2 + 3(n-1)其中，n为项数。
数列练习题及答案说课讲解
数列练习题及答案数列练习题一、选择题1、在数列{}n a 中，122,211=-=+n n a a a ，则101a 的值为( ) A ．49B ．50C ．51D ．52 2、已知,231,231-=+=b a 则b a ,的等差中项为( ) A ．3B ．2C ．31 D ．213、等差数列{}n a 中，12010=S ，那么101a a +的值是( ) A ．12B ．24C ．36D ．48 4、2b ac =是c b a 、、成等比数列的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5、设4321,,,a a a a 成等比数列，其公比为2，则432122a a a a ++的值为( )A ．41B ．21C ．81D ．1 6、数列3，5，9，17，33，…的通项公式n a 等于( ) A ．n 2B ．12+nC ．12-nD ．12+n7、数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，其中251=a ，751=b ，100100100=+b a ，那么{}n n b a +前100项的和为( )A ．0B ．100C ．10000D ．102400 8、若数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，则( )A ．12-=n a nB ．12+=n a nC ．12--=n a nD ．12+-=n a n9、等比数列{}n a 中，632=+a a ，832=a a ，则=q( ) A ．2B ．21C ．2或21D ．－2或21- 10、等差数列—3，1，5，…的第15项的值是( ) A ．40B ．53C ．63D ．76 11、在等比数列中，32,31,891===q a a n ，则项数n 为( ) A ．3B ．4C ．5D ．612、已知实数c b a 、、满足122,62,32===c b a ，那么实数c b a 、、是( )A ．等差非等比数列B ．等比非等差数列C ．既是等比又是等差数列D ．既非等差又非等比数列13、已知等差数列{}n a 满足011321=+++a a a a Λ，则有( ) A ．0111>+a a B ．0102<+a aC ．093=+a aD ．66=a二、填空题1、在等差数列{}n a 中，已知2054321=++++a a a a a ，那么3a 等于 ．2、已知等差数列{}n a 的公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，则1042931a a a a a a ++++的值是 ．3、数列{}n a 中，11,111+==-n n a a a ，则=4a ．4、已知在等比数列{}n a 中，各项均为正数，且,7,13211=++=a a a a 则数列{}n a 的通项公式是_________=n a ．5、在等比数列{}n a 中, 记n n a a a S +++=Λ21, 已知1223+=S a , 1234+=S a , 则公比q ＝ ．6、在数{}n a 中，其前n 项和842--=n n S n 则4a = ．三、计算题1、等差数列{}n a 中，已知33,4,31521==+=n a a a a ，试求n 的值．2、数列{}n a 中，*11,3,2N n n a a a n n ∈=-=+，求数列{}n a 的通项公式n a ．3、在等比数列{}n a 的前n 项和中，1a 最小，且128,66121==+-n n a a a a ，前n 项和126=n S ，求n 和公比q ．4、已知等比数列{}n b 与数列{}n a 满足*,3N n b n a n ∈= （1） 判断{}n a 是何种数列，并给出证明； （2） 若2021138,b b b m a a Λ求=+．【提高突破】一、选择题1、已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于 ( )A ．165-B ．33-C ．30-D ．21- 2、{}n a 是首项11=a ，公差为3=d 的等差数列，如果2005=n a ，则序号n 等于( ) A ．667B ．668C ．669D ．670 3、在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则543a a a ++( )A ．33B ．72C ．84D ．189 4、如果821a ,,a ,a Λ为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则( ) A ．5481a a a a >B ．5481a a a a <C ．5481a a a a +<+D ．5481a a a a = 5、等比数列{}n a 中，92=a ，2435=a ，则{}n a 的前4项和为( )A ．81B ．120C ．168D ．1926、若数列{}n a 是等差数列，首项01>a ，020042003>+a a ，020042003<⋅a a ，则使前n 项和0>n S 成立的最大自然数n 是( )A ．4 005B ．4 006C ．4 007D ．4 008 7、已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列, 则=2a( ) A ．－4B ．－6C ．－8D ． －10 8、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若35a a ＝95，则=59S S( )A ．1B ．－1C ．2D ．219、已知数列1-，1a ，2a ，4-成等差数列，1-，1b ，2b ，3b ， 4-成等比数列，则212b a a -的 值是 ( )A ．21B ．－21C ．－21或21D ．4110、在等差数列{}n a 中，0≠n a ，0121=+-+-n nn a a a ，2≥n ，若3812=-n S ，则=n ( ) A ．38 B ．20C ．10D ．9 11、在等比数列{}n a 中，若2=2a ，51=4a ，则公比=q( )A ．12- B ．2- C ．2 D ．1212、在等差数列{}n a 中，25a =，47a =，则6a =( )A ．9B ．10C ．11D ．1213、在等比数列{}n a 中，12100a a +=，3420a a +=，那么56a a +=( )A ．2B ．4C ．10D ．5二、填空题1、已知数列{}n a 中，14a =，132n n a a +=-()n *∈N ，则4a = ．2、在数列{}n a 中，已知118a =，且14n n a a -=(2)n ≥，则5a = ．3、在等差数列{}n a 中，若123989910050a a a a a a ++++++=L ，则299a a += ．4、如果数列{}n a 中，11=a ，112-=n n a a ()1,>∈n n N ，则123456+++++=a a a a a a ． 5、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若,24,363==S S 则9a = ． 6、已知等比数列{}n a 中，若8543=⋅⋅a a a ，则65432a a a a a ⋅⋅⋅⋅＝ ．三、计算题1、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11=a ，241+=+n n a S ．设n n n a a b 21-=+，求证数列{}n b 是等比数列，并写出其通项公式．2、求数列221111,3,3,,3333+++L n n 的前1+n 项的和．3、设二次方程2*110()n n a x a x n N +-+=∈有两个实根αβ和，且满足43ααββ-+=，17a =．（1）试用n a 表示1n a +； （2）求证：{2}n a +是等比数列； （3）求数列{}n a 的通项公式．第三章 数列答案详解【基础突破】 一、选择题 1、D【解析】由1221=-+n n a a 得211=-+nn a a ，故数列{n a }是首项为2，公差为21的等差数列．即()()52211101211101=⨯-+=-+=d n a a 2、A【解析】b a ,的等差中项为32=+ba ． 3、B【解析】因为数列{}n a 为等差数列，则有()1205101102110=+=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=a a a a a s ，即24101=+a a ．4、B【解析】因为等比数列每一项不能为零，所以当0===c b a 时，由2b ac =不能推出c b a 、、成等比数列． 5、A【解析】因为数列为等比数列，公比为2，所以13121143212222222a a a a a a a a +⋅⋅+=++=4116411=a a ．6、B7、C【解析】因为数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，所以有=+++++++1002110021b b b a a a ΛΛ()()()()[]10000200505050501001001110011001=⨯=+++=+++b a b a b b a a ．8、A 【解析】()121221-=--=-=-n n n S S a n n n ．9、C【解析】由632=+a a ， 832=a a 知2a 和3a 是一元二次方程0862=+-x x 的两根，故22=a ，43=a 或42=a ，23=a ；所以相应的q 为2或21．10、B【解析】()()5341153115115=⨯-+-=-+=d a a ． 11、B 【解析】由11-=n n qa a 得 89×132-⎪⎭⎫ ⎝⎛n =31，解得n =4． 12、A【解析】由32=a，62=b，122=c 得()2222b c a=⨯，等式两边取2的对数得()()2222lg 22lg b c a =⨯，即b c a 2lg 22lg 2lg 222=+，所以b c a 2=+，实数c b a 、、是等差非等比数列．13、C【解析】()()()()()67584931021111121a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=()021193=+a a ，故093=+a a ． 二、填空题 1、4【解析】等差数列{}n a 中3512a a a =+ 3422a a a =+，205354321==++++a a a a a a ，故43=a ．2、1613【解析】等差数列{}n a 中d a a 213+=， d a a 819+=，又因为1a 、3a 、9a 成等比数列，所以有9123a a a =，即()212d a +=21a +d a 14+42d ，故 d a =1，原式=16131613104293==++++d d d d d d d d ．3、35 4、12-n【解析】由7321=++a a a 得72111=++q a q a a ， ()7121=++qq a ，因为11=a，所以712=++q q ，解得 31-=q （舍去）或22=q ， 故1112--==n n n q a a ．5、3【解析】()12122123++=+=a a s a ⇒()12321-=+a a a ，()121232134+++=+=a a a s a ⇒()1223421--=+a a a a ，所以121343--=-a a a ⇒334=a a ． 6、27【解析】()()278334844422344=--⨯---⨯=-=s s a ． 三、计算题 1、50=n【解析】452411152=+=+++=+d a d a d a a a ，又32 311=∴=d a ， 则313232131-=⋅-+=n n a n )(，333132 33=-∴=n a n ,Θ得50=n ． 2、()2132-+=n n a n【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=-⇒=--+)1(3633123121n a a a a a a n a a n nn n Λ将上面各等式相加，得2)1(32)1(3631-+=⇒-+++=-n n a n a a n n Λ． 3、6=n【解析】因为{}n a 为等比数列，所以121-=n n a a a a ，又⎩⎨⎧==+1286611n n a a a a ，n a a ≤1且，解得64,21==n a a ，依题意知1≠q 21261,1261=⇒=--∴=q qqa a S n n Θ又6,6421=∴=-n qn Θ．4、（1）{}n a 是以q 3log 为公差的等差数列；（2）mb b b 1020213=Λ【解析】（1）设{}n b 的公比为q ， q n a a q b n a n a a nn n 31113331log )(,-+=⇒=⋅∴=-Θ，所以{}n a 是以q 3log 为公差的等差数列．（2）m a a =+138Θ，所以由等差数列性质得m a a a a =+=+138201m a a a b b b m a a a a a 10202120120213310220)(2021==⇒=⨯+=+++∴+++ΛΛΛ．【提高突破】 一、选择题 1、C【解析】由题意得12224-=+=a a a ，18426-=+=a a a ，306410-=+=a a a ．2、C【解析】()()200531111=⨯-+=-+=n d n a a n ，669=n ． 3、C【解析】因为数列{}n a 为各项都为正数的等比数列，则有212111=++q a q a a ，所以2=q ，则84482412543=++=++a a a ．4、B【解析】数列是等差数列，则5481a a a a +=+，又()d a a d a a a a 121118177+=+=⋅，()()2121115412743d d a a d a d a a a ++=++=⋅，又公差0≠d ，所以5481a a a a <．5、B【解析】因为数列为等比数列，24393325===q q a a ，所以3=q ，1204=S ．6、B【解析】由题意可知01>a ，0<d ，02003>a ，02004<a ，且20042003a a >，所以使前n 项和0>n S 成立的最大自然数n 是400622003=⨯． 7、B【解析】 由题意有2341a a a =，即()()()22222d a d a d a +=+-，()()()2222242+=+-a a a ，62-=a ．8、A【解析】 ()()195595922522925293535519159=⋅==⋅⋅=++=a a a a a a a a S S ．9、A 【解析】 131412-=+-==-d a a ，43122=⋅=b b b ，22-=b （舍正），21212=-b a a ．注意：等比数列中相隔项同正负． 10、C【解析】022121=-=+-+-n n n n n a a a a a ，因为0≠n a ，所以2=n a ，()3812212=-=-n S n ，10=n ．11、D 【解析】4123325===q q a a ，21=q ．12、A【解析】95142246=-=-=a a a ． 13、B【解析】46242,,S S S S S -- 仍成等比数列，即21a a +，43a a +，65a a +成等比数列，所以465=+a a ．二、填空题 1、82【解析】 由132n n a a +=-，有()133311-=-=-+n n n a a a ，所以{}1-n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，4431=-a ，824=a ．2、32 【解析】324814415=⨯==q a a ．3、1【解析】()50509921009998321=+=++++++a a a a a a a a Λ ，1992=+a a ．4、3263【解析】 ()3263211211116616=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=qq a S ． 5、15【解析】33313=+=d a S ，2415616=+=d a S ，所以11-=a ，2=d ，159=a ．6、32【解析】834543==⋅⋅a a a a ，24=a ，则325465432==⋅⋅⋅⋅a a a a a a ． 三、计算题 1、 数列{}n b 是首项是3，公比是2的等比数列，123-⋅=n n b ．【解析】 241+=+n n a S ，241+=-n n a S ，11144+-+=-=-n n n n n a a a S S ，()11122422--+-=-=-n n n n n n a a a a a a ，即12-=n n b b ，11=a ，52=a ，则31=b ，数列{}n b 是首项是3，公比是2的等比数列，123-⋅=n n b ．2、 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++nn n S 3132111 【解析】所求数列是两个等比数列的和，可以分开求和其中()()132131********12-=--=++++++n n nΛ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++n n311213113113131313132Λ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++n n n S 3132111． 3、（1）431+=+n n a a ；（2）数列{2}n a +是首项为9，公比是3的等比数列；（3）231-=+n n a【解析】（1）αβ和是二次方程2*110()n n a x a x n N +-+=∈的两个实根，nn a a 1+=+βα，n a 1=⋅βα，所以3141=-+nn n a a a ，431+=+n n a a ． （2）431+=+n n a a ，()236321+=+=++n n n a a a ，921=+a ，数列{2}n a +是首项为9，公比是3的等比数列．（3）1392-⋅=+n n a ，2323911-=-⋅=+-n n n a ．4、（1）12-=n a n ；（2）①数列{}n b 是首项为2，公比是4的等比数列；②()3142-=n n T【解析】（1）1S ，2S ，4S 成等比数列，()()2111264d a d a a +=+ ，又11a =，0d>，所以2=d，()12121-=-+=n n a n ．（2）①1222-==n a n nb ，q b b n n n n ===---42232121，2211==a b ， 所以数列{}n b 是首项为2，公比是4的等比数列．②()()()314241412111-=--=--=n n n n q q b T ．。
等差数列基础习题选(附详细答案解析)
WORD文档下载可编辑等差数列基础习题选（附有详细解答）一．选择题（共26小题）1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（）A．B．1C．D．﹣12．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（）A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（）A．23 B．24 C．25 D．264．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（）A．一1 B．2C．3D．一25．两个数1与5的等差中项是（）A．1B．3C．2D．6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣57．（2012•福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．48．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）A．0B．8C．3D．119．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（）A．25 B．24 C．20 D．1910．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（）A．5B．3C．﹣1 D．111．（2005•黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（）A．a+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5112．（2004•福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1B．﹣1 C．2D．13．（2009•安徽）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）A．﹣1 B．1C．3D．714．在等差数列{a n}中，a2=4，a6=12，，那么数列{}的前n项和等于（）A．B．C．D．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）A．6B．7C．8D．916．已知数列{a n}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则s6的值为（）A．30 B．35 C．36 D．2417．（2012•营口）等差数列{a n}的公差d＜0，且，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（）A．5B．6C．5或6 D．6或718．（2012•辽宁）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．17619．已知数列{a n}等差数列，且a1+a3+a5+a7+a9=10，a2+a4+a6+a8+a10=20，则a4=（）A．﹣1 B．0C．1D．220．（理）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣8n，第k项满足4＜a k＜7，则k=（）A．6B．7C．8D．921．数列a n的前n项和为S n，若S n=2n2﹣17n，则当S n取得最小值时n的值为（）A．4或5 B．5或6 C．4D．522．等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，则S4等于（）A．12 B．10 C．8D．423．若{a n}为等差数列，a3=4，a8=19，则数列{a n}的前10项和为（）A．230 B．140 C．115 D．9524．等差数列{a n}中，a3+a8=5，则前10项和S10=（）A．5B．25 C．50 D．10025．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于（）A．1B．2C．3D．426．设a n=﹣2n+21，则数列{a n}从首项到第几项的和最大（）A．第10项B．第11项C．第10项或11项D．第12项二．填空题（共4小题）27．如果数列{a n}满足：= _________ ．28．如果f（n+1）=f（n）+1（n=1，2，3…），且f（1）=2，则f（100）= _________ ．29．等差数列{a n}的前n项的和，则数列{|a n|}的前10项之和为_________ ．30．已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式：（Ⅱ）若数列{a n}和数列{b n}满足等式：a n==（n为正整数），求数列{b n}的前n项和S n．参考答案与试题解析一．选择题（共26小题）1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（）A．B．1C．D．﹣1考点：等差数列．专题：计算题．分析：本题可由题意，构造方程组，解出该方程组即可得到答案．解答：解：等差数列{a}中，a3=9，a9=3，n由等差数列的通项公式，可得解得，即等差数列的公差d=﹣1．故选D点评：本题为等差数列的基本运算，只需构造方程组即可解决，数基础题．2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（）A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列考点：等差数列．专题：计算题．分析：直接根据数列{a}的通项公式是a n=2n+5求出首项，再把相邻两项作差求出公差即可得出结论．n解答：解：因为a=2n+5，n所以 a1=2×1+5=7；a n+1﹣a n=2（n+1）+5﹣（2n+5）=2．故此数列是以7为首项，公差为2的等差数列．故选A．点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用．如果已知数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项．3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（）A．23 B．24 C．25 D．26考点：等差数列．专题：综合题．分析：根据a=13，a3=12，利用等差数列的通项公式求得d的值，然后根据首项和公差写出数列的通项公式，让其1等于2得到关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值．解答：解：由题意得a3=a1+2d=12，把a1=13代入求得d=﹣，则a n=13﹣（n﹣1）=﹣n+=2，解得n=23故选A点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题．4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（）A．一1 B．2C．3D．一2考点：等差数列．专题：计算题．分析：根据等差数列的前三项之和是6，得到这个数列的第二项是2，这样已知等差数列的；两项，根据等差数列的通项公式，得到数列的公差．解答：解：∵等差数列{a}的前n项和为S n，nS3=6，∴a2=2∵a4=8，∴8=2+2d∴d=3，故选C．点评：本题考查等差数列的通项，这是一个基础题，解题时注意应用数列的性质，即前三项的和等于第二项的三倍，这样可以简化题目的运算．5．两个数1与5的等差中项是（）A．1B．3C．2D．考点：等差数列．专题：计算题．分析：由于a，b的等差中项为，由此可求出1与5的等差中项．解答：解：1与5的等差中项为：=3，故选B．点评：本题考查两个数的等差中项，牢记公式a，b的等差中项为：是解题的关键，属基础题．6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5考点：等差数列．专题：计算题．分析：设等差数列{a n}的公差为d，因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以，结合公差为整数进而求出数列的公差．解答：解：设等差数列{a}的公差为d，n所以a6=23+5d，a7=23+6d，又因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以，因为数列是公差为整数的等差数列，所以d=﹣4．故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式，并且结合正确的运算．7．（2012•福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．4考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：设数列{a}的公差为d，则由题意可得 2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．n解答：解：设数列{a}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得 2a1+4d=10，a1+3d=7，解得 d=2，n故选B．点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）A．0B．8C．3D．11考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：先确定等差数列的通项，再利用，我们可以求得的值．解答：解：∵为等差数列，，，∴∴b n=b3+（n﹣3）×2=2n﹣8∵∴b8=a8﹣a1∵数列的首项为3∴2×8﹣8=a8﹣3，∴a8=11．故选D点评：本题考查等差数列的通项公式的应用，由等差数列的任意两项，我们可以求出数列的通项，是基础题．9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（）A．25 B．24 C．20 D．19考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（法一）：根据两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数求解，（法二）由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解．解答：解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{a}，则a1=11n∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，∴{a n}的公差d=3×4=12，∴a n=11+12（n﹣1）=12n﹣1．又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，∴a n=12n﹣1≤302，即n≤25.5．又∵n∈N*，∴两个数列有25个相同的项．故选A解法二：设5，8，11，与3，7，11，分别为{a n}与{b n}，则a n=3n+2，b n=4n﹣1．设{a n}中的第n项与{b n}中的第m项相同，即3n+2=4m﹣1，∴n= m﹣1．又m、n∈N*，可设m=3r（r∈N*），得n=4r﹣1．根据题意得1≤3r≤100 1≤4r﹣1≤100 解得≤r≤∵r∈N*从而有25个相同的项故选A点评：解法一利用了等差数列的性质，解法二利用了不定方程的求解方法，对学生的运算能力及逻辑思维能力的要求较高．10．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（）A．5B．3C．﹣1 D．1考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：根据递推公式求出公差为2，再由S=9以及前n项和公式求出a1的值．3解答：解：∵a=a n﹣1+2（n≥2），∴a n﹣a n﹣1=2（n≥2），n∴等差数列{a n}的公差是2，由S3=3a1+=9解得，a1=1．故选D．点评：本题考查了等差数列的定义，以及前n项和公式的应用，即根据代入公式进行求解．11．（2005•黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（）A．a+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a51考点：等差数列的性质．分析：用通项公式来寻求a+a8与a4+a5的关系．1解答：解：∵a+a8﹣（a4+a5）=2a1+7d﹣（2a1+7d）=01∴a1+a8=a4+a5∴故选B点评：本题主要考查等差数列通项公式，来证明等差数列的性质．12．（2004•福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1B．﹣1 C．2D．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．解答：解：设等差数列{a}的首项为a1，由等差数列的性质可得na1+a9=2a5，a1+a5=2a3，∴====1，故选A．点评：本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，已知等差数列{a n}的前n项和为S n，则有如下关系S2n﹣1=（2n﹣1）a n．13．（2009•安徽）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）A．﹣1 B．1C．3D．7考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a和a4的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通项3公式求得答案．解答：解：由已知得a+a3+a5=3a3=105，1a2+a4+a6=3a4=99，∴a3=35，a4=33，∴d=a4﹣a3=﹣2．∴a20=a3+17d=35+（﹣2）×17=1．故选B点评：本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用．解题的关键是利用等差数列中等差中项的性质求得a3和a4．14．在等差数列{a n}中，a2=4，a6=12，，那么数列{}的前n项和等于（）A．B．C．D．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：求出等差数列的通项，要求的和是一个等差数列与一个等比数列的积构成的数列，利用错位相减法求出数列的前n项的和．解答：解：∵等差数列{a}中，a2=4，a6=12；n∴公差d=；∴a n=a2+（n﹣2）×2=2n；∴；∴的前n项和，=两式相减得=∴故选B点评：求数列的前n项的和，先判断通项的特点，据通项的特点选择合适的求和方法．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）A．6B．7C．8D．9考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由a+a5=4，S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①，根据等差数列的前n项和公式可得，2，联立可求d，a1，代入等差数列的通项公式可求解答：解：等差数列{a}中，a2+a5=4，S7=21n根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①根据等差数列的前n项和公式可得，所以 a1+a7=6②②﹣①可得d=2，a1=﹣3所以a7=9故选D点评：本题主要考查了等差数列的前n项和公式及等差数列的性质的综合应用，属于基础试题．16．已知数列{a n}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则s6的值为（）A．30 B．35 C．36 D．24考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差中项的性质求得a的值，进而利用a1+a6=a3+a4求得a1+a6的值，代入等差数列的求和公式中求得答3案．解答：解：a+a3+a5=3a3=15，1∴a3=5∴a1+a6=a3+a4=12∴s6=×6=36故选C点评：本题主要考查了等差数列的性质．特别是等差中项的性质．17．（2012•营口）等差数列{a n}的公差d＜0，且，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（）A．5B．6C．5或6 D．6或7考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由，知a1+a11=0．由此能求出数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n．解答：解：由，知a1+a11=0．∴a6=0，故选C．点评：本题主要考查等差数列的性质，求和公式．要求学生能够运用性质简化计算．18．（2012•辽宁）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．176考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：根据等差数列的定义和性质得 a1+a11=a4+a8=16，再由S11=运算求得结果．解答：解：∵在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，∴a1+a11=a4+a8=16，∴S11==88，故选B．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．19．已知数列{a n}等差数列，且a1+a3+a5+a7+a9=10，a2+a4+a6+a8+a10=20，则a4=（）A．﹣1 B．0C．1D．2考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：由等差数列得性质可得：5a=10，即a5=2．同理可得5a6=20，a6=4，再由等差中项可知：a4=2a5﹣a6=05解答：解：由等差数列得性质可得：a+a9=a3+a7=2a5，又a1+a3+a5+a7+a9=10，1故5a5=10，即a5=2．同理可得5a6=20，a6=4．再由等差中项可知：a4=2a5﹣a6=0故选B点评：本题考查等差数列的性质及等差中项，熟练利用性质是解决问题的关键，属基础题．20．（理）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣8n，第k项满足4＜a k＜7，则k=（）A．6B．7C．8D．9考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：先利用公式a n=求出a n，再由第k项满足4＜a k＜7，建立不等式，求出k的值．解答：解：a n==∵n=1时适合a n=2n﹣9，∴a n=2n﹣9．∵4＜a k＜7，∴4＜2k﹣9＜7，∴＜k＜8，又∵k∈N+，∴k=7，故选B．点评：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式a n=的合理运用，属于基础题．21．数列a n的前n项和为S n，若S n=2n2﹣17n，则当S n取得最小值时n的值为（）A．4或5 B．5或6 C．4D．5考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：把数列的前n项的和S看作是关于n的二次函数，把关系式配方后，又根据n为正整数，即可得到S n取得n最小值时n的值．解答：解：因为S n=2n2﹣17n=2﹣，又n为正整数，所以当n=4时，S n取得最小值．故选C点评：此题考查学生利用函数思想解决实际问题的能力，是一道基础题．22．等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，则S4等于（）A．12 B．10 C．8D．4考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：利用等差数列{a}中，a n=2n﹣4，先求出a1，d，再由等差数列的前n项和公式求S4．n解答：解：∵等差数列{a}中，a n=2n﹣4，n∴a1=2﹣4=﹣2，a2=4﹣4=0，d=0﹣（﹣2）=2，∴S4=4a1+=4×（﹣2）+4×3=4．故选D．点评：本题考查等差数列的前n项和公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意先由通项公式求出首项和公差，再求前四项和．23．若{a n}为等差数列，a3=4，a8=19，则数列{a n}的前10项和为（）A．230 B．140 C．115 D．95考点：等差数列的前n项和．专题：综合题．分析：分别利用等差数列的通项公式化简已知的两个等式，得到①和②，联立即可求出首项和公差，然后利用求出的首项和公差，根据公差数列的前n项和的公式即可求出数列前10项的和．解答：解：a=a1+2d=4①，a8=a1+7d=19②，3②﹣①得5d=15，解得d=3，把d=3代入①求得a1=﹣2，所以S10=10×（﹣2）+×3=115故选C．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题．24．等差数列{a n}中，a3+a8=5，则前10项和S10=（）A．5B．25 C．50 D．100考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据条件并利用等差数列的定义和性质可得 a1+a10=5，代入前10项和S10 =运算求得结果．解答：解：等差数列{a}中，a3+a8=5，∴a1+a10=5，n∴前10项和S10 ==25，故选B．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，以及前n项和公式的应用，求得a+a10=5，是解题的关键，属于基础1题．25．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于（）A．1B．2C．3D．4考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：由S，S2，S4成等比数列，根据等比数列的性质得到S22=S1S4，然后利用等差数列的前n项和的公式分别表1示出各项后，代入即可得到首项和公差的关系式，根据公差不为0，即可求出公差与首项的关系并解出公差d，然后把所求的式子利用等差数列的通项公式化简后，把公差d的关系式代入即可求出比值．解答：解：由S，S2，S4成等比数列，1∴（2a1+d）2=a1（4a1+6d）．∵d≠0，∴d=2a1．∴===3．故选C点评：此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道综合题．26．设a n=﹣2n+21，则数列{a n}从首项到第几项的和最大（）A．第10项B．第11项C．第10项或11项D．第12项考点：等差数列的前n项和；二次函数的性质．专题：转化思想．分析：方法一：由a，令n=1求出数列的首项，利用a n﹣a n﹣1等于一个常数，得到此数列为等差数列，然后根据n求出的首项和公差写出等差数列的前n项和的公式，得到前n项的和与n成二次函数关系，其图象为开口向下的抛物线，当n=﹣时，前n项的和有最大值，即可得到正确答案；方法二：令a n大于等于0，列出关于n的不等式，求出不等式的解集即可得到n的范围，在n的范围中找出最大的正整数解，从这项以后的各项都为负数，即可得到正确答案．解答：解：方法一：由a=﹣2n+21，得到首项a1=﹣2+21=19，a n﹣1=﹣2（n﹣1）+21=﹣2n+23，n则a n﹣a n﹣1=（﹣2n+21）﹣（﹣2n+23）=﹣2，（n＞1，n∈N+），所以此数列是首项为19，公差为﹣2的等差数列，则S n=19n+•（﹣2）=﹣n2+20n，为开口向下的抛物线，当n=﹣=10时，S n最大．所以数列{a n}从首项到第10项和最大．方法二：令a n=﹣2n+21≥0，解得n≤，因为n取正整数，所以n的最大值为10，所以此数列从首项到第10项的和都为正数，从第11项开始为负数，则数列{a n}从首项到第10项的和最大．故选A点评：此题的思路可以先确定此数列为等差数列，根据等差数列的前n项和的公式及二次函数求最值的方法得到n 的值；也可以直接令a n≥0，求出解集中的最大正整数解，要求学生一题多解．二．填空题（共4小题）27．如果数列{a n}满足：= ．考点：数列递推式；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：根据所给的数列的递推式，看出数列是一个等差数列，根据所给的原来数列的首项看出等差数列的首项，根据等差数列的通项公式写出数列，进一步得到结果．解答：解：∵根据所给的数列的递推式∴数列{}是一个公差是5的等差数列，∵a1=3，∴=，∴数列的通项是∴故答案为：点评：本题看出数列的递推式和数列的通项公式，本题解题的关键是确定数列是一个等差数列，利用等差数列的通项公式写出通项，本题是一个中档题目．28．如果f（n+1）=f（n）+1（n=1，2，3…），且f（1）=2，则f（100）= 101 ．考点：数列递推式；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由f（n+1）=f（n）+1，x∈N+，f（1）=2，依次令n=1，2，3，…，总结规律得到f（n）=n+1，由此能够求出f（100）．解答：解：∵f（n+1）=f（n）+1，x∈N+，f（1）=2，∴f（2）=f（1）+1=2+1=3，f（3）=f（2）+1=3+1=4，f（4）=f（3）+1=4+1=5，…∴f（n）=n+1，∴f（100）=100+1=101．故答案为：101．点评：本题考查数列的递推公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．29．等差数列{a n}的前n项的和，则数列{|a n|}的前10项之和为58 ．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：先求出等差数列的前两项，可得通项公式为a=7﹣2n，从而得到n≤3时，|a n|=7﹣2n，当n＞3时，|a n|=n2n﹣7．分别求出前3项的和、第4项到第10项的和，相加即得所求．解答：解：由于等差数列{a n}的前n项的和，故a1=s1=5，∴a2=s2﹣s1=8﹣5=3，故公差d=﹣2，故a n=5+（n﹣1）（﹣2）=7﹣2n．当n≤3时，|a n|=7﹣2n，当n＞3时，|a n|=2n﹣7．故前10项之和为 a1+a2+a3﹣a4﹣a5﹣…﹣a10=+=9+49=58，故答案为 58．点评：本题主要考查等差数列的通项公式，前n项和公式及其应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．30．已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式：（Ⅱ）若数列{a n}和数列{b n}满足等式：a n==（n为正整数），求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（1）将已知条件aa6=55，a2+a7=16，利用等差数列的通项公式用首项与公差表示，列出方程组，求出首项3与公差，进一步求出数列{a n}的通项公式（2）将已知等式仿写出一个新等式，两个式子相减求出数列{b n}的通项，利用等比数列的前n项和公式求出数列{b n}的前n项和S n．解答：解（1）解：设等差数列{a} 的公差为d，则依题设d＞0n由a2+a7=16．得2a1+7d=16①由a3•a6=55，得（a1+2d）（a1+5d）=55 ②由①得2a1=16﹣7d 将其代入②得（16﹣3d）（16+3d）=220．即256﹣9d2=220∴d2=4，又d＞0，∴d=2，代入①得a1=1∴a n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1所以a n=2n﹣1（2）令c n=，则有a n=c1+c2+…+c n，a n+1=c1+c2+…+c n﹣1两式相减得a n+1﹣a n=c n+1，由（1）得a1=1，a n+1﹣a n=2∴c n+1=2，c n=2（n≥2），即当n≥2时，b n=2n+1又当n=1时，b1=2a1=2∴b n=＜BR＞于是S n=b1+b2+b3…+b n=2+23+24+…+2n+1=2+22+23+24+…+2n+1﹣4=﹣6，即S n=2n+2﹣6点评：求一个数列的前n项和应该先求出数列的通项，利用通项的特点，然后选择合适的求和的方法．。
高中数学数列基础练习及参考答案
高中数学数列基础练习及参考答案一、填空题1. 已知等差数列的首项为5，公差为3，求第10项。
解：首项 a1 = 5，公差 d = 3，要求第10项 an，可以使用等差数列通项公式 an = a1 + (n-1)d。
将已知的数值代入：an = 5 + (10-1)3 = 5 + 9 × 3 = 5 + 27 = 32。
2. 某等差数列的前四项依次是4, 7, 10, 13，求公差。
解：已知数列的前四项分别为4, 7, 10, 13，设公差为d。
根据等差数列的性质，第2项减去第1项等于公差，第3项减去第2项仍然等于公差，以此类推。
则可得到以下方程组：7 - 4 = d10 - 7 = d13 - 10 = d解以上方程组可得公差 d = 3。
3. 某等差数列的前四项和为30，公差为2，求首项。
解：已知数列的前四项和为30，公差为2，设首项为a1。
根据等差数列的性质，可得到以下方程：(1/2)[2a1 + 3(2a1+2)] = 30化简得：[2an + 3an + 6] = 60整理得：5an = 54则 an = 10.8因为 a1 = 10.8 - 3(2) = 4.8，所以首项为4.8。
二、选择题1. 若等差数列的首项为3，公差为2，求第6项的值。
A. 8B. 11C. 13D. 15解：根据等差数列通项公式，第6项 an = a1 + (n-1)d = 3 + (6-1)2 =3 + 5 × 2 = 3 + 10 = 13。
所以选项 C. 13 正确。
2. 若等差数列的公差为-4，前五项的和为10，求该等差数列的首项。
A. -5B. -4C. -2D. 1解：设等差数列的首项为 a1，则根据等差数列和的公式，前五项和为：S5 = (5/2)[2a1 + 4d] = 10化简得：a1 + 2d = 2代入公差d为-4，得到 a1 - 8 = 2整理得：a1 = 10所以选项 D. 1 正确。
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数列基础练习题及答
案
数列专题
1．数列1,3,7,15, 的通项公式n a 等于（ ） A ．n 2 B ．12+n C ．12-n D ．12-n
2．各项不为零的等差数列{n a }中，2a 3－2
7a ＋2a 11＝0，数列{n b }是等比数
列，且b 7＝a 7， 则b 6b 8＝（ ）.
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16 3．已知等差数列{n a }，62a =，则此数列的前11项的和11S = A ．44 B ．33 C ．22 D ．11 4．等差数列{}n a 的公差0d ≠，120a =，且3a ，7a ，9a 成等比数列．n S 为
{}n a 的前n 项和，则10S 的值为（ ）
A ．110-
B ．90-
C ．90
D ．110
5．已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ） A ．64 B ．81 C ．128 D ．243
6．已知{}n a 是等比数列，2
1
,441==a a ，则公比q =（ ）
A 、2
1- B 、2- C 、2 D 、21
7．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =，且2a ，3a ，41a +成等比数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()
2
2n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
8．设数列{}n a 是首项为1，公差为d 的等差数列，且123,1,1a a a --是等比数列{}n b 的前三项. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T .
9．已知等差数列{a n }满足a 3=5，a 5﹣2a 2=3，又等比数列{b n }中，b 1=3且公比q=3．
（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；
（2）若c n =a n +b n ，求数列{c n }的前n 项和S n ．
10．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知306,6312=+=a a a ，求n a 和
n S 。
11．已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列. （Ⅰ）求数列{a n }的通项; （Ⅱ）求数列{2n a }的前n 项和S n .
12．已知等差数列的前项和为，且. (I)求数列的通项公式；
(II)设等比数列，若，求数列的前项和.
13．已知{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和。
（Ⅰ）求通项n a 及n S ；
（Ⅱ）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T
{}()n a n *∈N n n S 335,9a S =={}n a {}()n b n *∈N 2235,b a b a =={}n b n n T
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参考答案
1．C 2．D 3．C 4．D 5．A 6．D
7．（1）2n a n =; （2）1
n n S n =
+. 8．（1）21n a n =-;（2）21n n T =-.
9．（1）12-=n a n ，n
n b 3=；（2）2
3
312
-++n n ．
10．123-⨯=n n a 或132-⨯=n n a ，)12(3-=n n S 或13-=n n S 11．（1）n a n = （2）122n n s +=-。
12．（I ）21n a n =-；（II ）31
2
n n T -=.
13．（1）a n =-2n+21 S n =-n 2+20n （2）b n =31n --2n+21 T n =-n 2
+20n+31
2
n -。