刚体习题课

mg
60°
7. 如图所示，两个同心圆盘结合在一起可绕中心轴转 动，大圆盘质量为 m1、半径为 R，小圆盘质量为 m2、 半径为 r，两圆盘都用力 F 作用，求角加速度。
解：以 m1、 m2 为研究对象，它们有共同 的角加速度，只有 F、F 产生力矩。 m1 FR Fr ( J 1 J 2 ) (1) r
12rad/s
三、综合题
1. 如图所示，一匀质细杆可绕通过上端与杆 垂直的水平光滑固定轴旋转，初始状态为 静止悬挂。现有一个小球自左方水平打击 细杆.设小球与细杆之间为非弹性碰撞，则 在碰撞过程中对细杆与小球这一系统 角动量守恒 ____________ 守恒． O
·
○
2. 如图所示, 一匀质细杆可绕通过其一端的 水平光滑轴在竖直平面内自由转动. 杆长 l = (5/3)m,今使杆从与竖直方向成60°角 的位置由静止释放(g取10m/s2), 则杆的最 大角速度为____________
俯视图
3mv/(2ML)
·
O
v
3．人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动， 卫星轨道近地点和远地点分别为A和B．用L 和EK分别表示卫星对地心的角动量及其动能 的瞬时值，则应有LA LB，EKA EkB （填>,<,=）
LA=LB，EKA>EKB
4.质量为0.05 kg的小块物体，置于一光滑水 平桌面上．有一绳一端连接此物，另一端 穿过桌面中心的小孔（如图所示）．该物 体原以3 rad/s的角速度在距孔0.2 m的圆周 上转动．今将绳从小孔缓慢往下拉，使该 物体之转动半径减为0.1 m．则物体的角速 度＝____________．
h=R =02(2m+M)R 2/(4mg)
6 . 一长为1 m的均匀直棒可绕过其一端且与棒 垂直的水平光滑固定轴转动．抬起另一端使 棒向上与水平面成60°，然后无初转速地将 1 棒释放．已知棒对轴的转动惯量为 ml 2 ，
其中m和l分别为棒的质量和长度．求： (1) 放手时棒的角加速度； (2) 棒转到水平位置时的角加速度．
刚体转动 习题课
小 结
一、刚体的定轴转动
1. 刚体模型 2. 刚体定轴转动特点: , , 相同。 3. 刚体绕定轴作匀变速转动
0 t 2 1 0 0t 2 t
2 ( 0 )
2 2 0
二、刚体转动定律
M Z J
A B A B
A


解:（1）以飞轮A、B和啮合器作为一系统, 系统没有受到其他外力矩，所以系统的角动 量守恒。
按角动量守恒定律可得
J A A＝J A J B
B轮的转动惯量为
A n1 n 2 JB JA J A 20 kg m n
（2）在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机 械能不守恒，部分机械能将转化为热量，损失 的机械能为
为
A、 B ，不计滑轮轴的摩擦，则有
A B
(A) A B (B) A B (C) A B
M
F
(D) 开始时 A B，以后 A＜ B
[ C ]
4.一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴 o 以角速 度 按图示方向转动,若如图所示的情况那样, 将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的 力 F 沿盘面同时作用到盘上,则盘的角速度
1.一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定 滑轮，绳的两端分别悬有质量m1 和 m2 的物体 (m1< m2)，如图所示.绳与轮之间无相对滑动， 某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳的张力
(A) 处处相等. (B) 左边大于右边. (C) 右边大于左边. (D) 无法判断.

o
m2
m1
[ C ]
2.均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的 水平固定光滑轴转动，如图所示，今使棒从水 平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖立 位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？
(A)角速度从小到大，角加速度从大到小. (B)角速度从小到大，角加速度从小到大.
O A
(C)角速度从大到小，角加速度从大到小.
(D)角速度从大到小，角加速度从小到大.
[ A]
3. 如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑 轮．A滑轮挂一质量为M的物体，B滑轮受拉力F， 而且F＝Mg．设A、B两滑轮的角加速度分别

o
m2
m1
源自文库
解：两重物加速度大小a 相同，方向如图。
m1g－T1＝m1a T2－m2g＝m2a (T1－T2)r＝J a ＝r
m1 m2 gr 2 m1 m2 r J
α T1 T1 a rT 2 T2 a m1g m2g
开始时系统静止，故t 时刻 滑轮的角速度：
m1 m2 grt t 2 m1 m2 r J
·
m
5. 解：(1) 对定滑轮和重物分别列方程,有 TR = (MR2/2) ① T mg = ma ②
R
·
0
a = R
得 = 2mg/(2m+M)R
③
m
M
负号表示方向与初角速度0的方向相反
(2) 2 _02 = 2
=0
= -02/(2) =02(2m+M)R /(4mg)
2r m 2m m
r
m
8. 解：受力分析如图． mg－T2 = ma2 ① T1－mg = ma1 ② T2 (2r)－T1r = 9mr2 / 2 2r = a2 ④ r = a 1 ⑤
③

解上述5个联立方程，得：
a2
T2
P2
T1 a1
P1
2g 19 r
9.如图所示，设两重物的质量分别为m1和m2， 且m1＞m2，定滑轮的半径为r，对转轴的转动 惯量为J，轻绳与滑轮间无滑动，滑轮轴上摩 擦不计．设开始时系统静止，试求 t 时刻滑轮 的角速度 。
3
m,l
mg
60°
6. 解：根据转动定律 M = J 1 其中 M mgl sin 30 mgl / 4 2
M 3g 7.35 rad/s 2 于是 J 4l l 当棒转动到水平位置时，M mg 2
m,l
M 3g 那么 14 .7 rad/s 2 J 2l
1 1 2 2 E J A A J A J B 2 2 4 1.32 10 J
强调： 瞬时关系； 合外力矩； 力矩方向在转轴上。 一个力的力矩只有在转轴上，才对定轴 转动有贡献！
转动惯量：
J m r
i 1 n 2 i i
J —描述刚体转动惯性大小的物理量。 对质量连续分布的刚体：
J 对一个质点： m r
对一个系统： J 杆：
i
2
J
i
圆盘：
三、角动量定理和角动量守恒定律
二、角动量守恒定律
1.刚体角动量守恒的充分而必要的条件是——.
2.如图所示,一静止的均匀细棒,长为L、质量为M, 可 绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O在水平 面内转动, 转动惯量为ML2/3.一质量为m、速率为v的 子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射入并穿出棒的自 由端,设穿过棒后子弹的速率为v/2,则此时棒的角速度 应为 . v/2
角动量
1. 质点
角动量定理 角动量守恒定律 刚体角动量

t2
t1
M dt L2 L1
2.刚体定 刚体角动量定理 轴转动
刚体角动量 守恒定律
四、刚体定轴转动的动能定理 物体系的机械能守恒定律
刚体转动动能：
刚体转动动能定理：
物体系的机械能守恒定律： 系统中只有保守力作功
一、转动定律的应用
（A）必然增大;（B）必然减少; （C）不会改变;（D）如何变化,不能确定。
F
F
O
[ A ]
5. 一轴承光滑的定滑轮,质量为M,半径为R, 一根不能伸长的轻绳,一端缠绕在定滑轮上,另 一端系有一质量为m的物体,如图所示.已知定 滑轮的转动惯量为J=MR2/2.其初角速度0 ,方 0 向垂直纸面向里.求: R (1) 定滑轮的角加速度; M (2) 定滑轮的角速度变化到 =0时,物体上升的高度。
3g 3rad/s 2l
60°
3. 一人站在旋转平台的中央,两臂侧平举,整个
系统以2 rad/s的角速度旋转，转动惯量为 6.0kgm2.如果将双臂收回则系统的转动惯量变 为2.0kgm2.此时系统的转动动能与原来的转动
J0 动能之比Ek/ Ek0为____________ 3 J
4. 如图所示，A和B两飞轮的轴杆可由摩擦啮合器使 之连接，A轮的转动惯量为JA=10kgm2，开始时B轮静 止，A轮以n1=600r/min转速转动，然后使A与B连接 ，因而B轮得到加速而A轮减速。直到两轮转速都等 于n=200r/min为止。求（1）B轮的转动惯量 ；（2） 两轮在啮合过程中，损失的机械能。
m2 1 2 J1 m1 R (2) R 2 1 2 J 2 m2r (3) 2 F FR Fr 2 F ( R r ) F 2 2 m1R m2 r J1 J 2
8. 质量分别为m和2m、半径分别为r和2r的两个均匀圆 盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水 平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为9mr2 / 2，大 小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m的重 物，如图所示．求盘的角加速度的大小．