误差理论与平差基础-第3章 协方差传播率及权
合集下载
误差理论与测量平差基础第三章 协方差传播律及权
X
0 1
,
X
0 2
,
,
X
0 n
也可写为：
dZ
f X1
dX1 0
f X
2
dX2 0
f X
n
0 dX n
KdX
因此只要对非线性函数求全微分，获得系数矩阵即 可应用协方差传播率
12
第三章 协方差传播率及权
6、多个观测向量非线性函数的方差—协方差矩阵
基本思想：a、利用泰勒级数展开，略去二次以上项，
为第l2ilj i组E观(li测 值E(l的i ))方(l j 差 E；(l j ))
为第i组观测值关于第j组观测值的协方差，协方差用 来描述第i个观测值与第j个观测值之间的相关程度。
3
第三章 协方差传播率及权
§3-2 协方差传播率
1、协方差传播律的作用 （图3－1示例）
计算观测向量函数的方差—协方差矩阵，从而评 定观测向量函数的精度。
20
第三章 协方差传播率及权
对上式求全微分，得
dZ1
f1 X 1
dX 1
f1 X 2
dX 2
f1 X n
dX n
dZ 2
f 2 X 1
dX 1
f 2 X 2
dX 2
f 2 X n
dX n
dZt
f t X 1
dX 1
f t X 2
dX 2
f t X n
dX n
21
第三章 协方差传播率及权
2、预备公式
E(C) C , E(CX ) CE(X ), E(X Y ) E(X ) E(Y )
E(X1 X 2 X n ) E(X1) E(X 2) E(X n )
第三章 协方差传播率及权
xy E( x y )
• 式中 x E( X ) X 和 真误差。
y E(Y ) Y
分别是 X和Y的
• 协方差则是这两种真误差所有可能取值的乘积的理 论平均值，即 lim [ x y ] lim 1 ( xy x n n
n n
ˆ xy [ x y ] n
12 0 2 0 2 Dxx 0 0 0 0 2 n
4.互协方差阵
设有观测值向量 Y。 为 和 r ,1
X n ,1
X
n ,1
和
Y
r ,1
，它们的数学期望分别
D XY DYY
令：
X Z Y
在测量工作中，直接观测得到的高差、距离、角 度、方向和三角高程测量求得的高差等，都认为 是独立观测值。 一般来说，独立观测值的各个函数之间是不独立 的，或者说是相关的，因而它们是相关观测值。 例如，当一个测站上的水平方向观测值是独立观 测值时，由这些方向值所算得的相邻角度就是相 关观测值；又如，三角网或导线网中根据观测角 度和边长求得的各点的坐标也是相关观测值。
2 r
D XY
X 1Y1 X Y 21 X nY1
XY X Y
1 2
2 2
X Y
n 2
X 1Yr X 2Yr X nYr
T DYX DXY
若有 X 的
t 个线性函数：
Z 1 k11 X 1 k12 X 2 k1n X n k10 Z 2 k 21 X 1 k 22 X 2 k 2 n X n k 20 Z t k t1 X 1 k t 2 X 2 k tn X n k t 0
测量平差 第三章
可得：
DYY F DXX F
2 Y rr rn nn
T
nr
Y关于Z的互协方差阵：
DYZ E Y EY Z EZ F DXX K
T rt rn nn
T
nt
例3：在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内 角L1、L2、L3，其中误差为，将闭合差平均分配后 各角的协方差阵。
2 2 h S km
h S km
其估值公式为
ˆ ˆ ˆ2 ˆ2 h S km h S km
例题
水准测量中若要求每公里观测高差中误差不超过 10mm，水准路线全长高差中误差不超过60mm, 则该 水准路线长度不应超过多少公里？ 解：由公式
2 2 h S km
差的关系。
一、观测值线性函数的方差
设有n维观测向量X，其数学期望μ和协方差阵分别为：
设有n维观测向量X的函数Z为：Z=KX+K0,求DZZ＝？ 式中K为系数阵，K0为常数。 根据方差的定义得：
2 DZZ Z E Z EZ Z EZ
T
2 DZZ Z KDXX K T
应用协方差传播公式得
2 L
2
n L n
例题
已知某台经纬仪一测回的测角中误差为±6'',如 果要使各测回的平均值的中误差不超过±2'',则至少 应测多少测回？ 解：由公式
2 x
2
N
可得
2 62 N 2 2 9 x 2
答：至少应测9测回
三、若干独立误差的联合影响
B
mp
mu ms
A
s
DYY F DXX F
2 Y rr rn nn
T
nr
Y关于Z的互协方差阵：
DYZ E Y EY Z EZ F DXX K
T rt rn nn
T
nt
例3：在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内 角L1、L2、L3，其中误差为，将闭合差平均分配后 各角的协方差阵。
2 2 h S km
h S km
其估值公式为
ˆ ˆ ˆ2 ˆ2 h S km h S km
例题
水准测量中若要求每公里观测高差中误差不超过 10mm，水准路线全长高差中误差不超过60mm, 则该 水准路线长度不应超过多少公里？ 解：由公式
2 2 h S km
差的关系。
一、观测值线性函数的方差
设有n维观测向量X，其数学期望μ和协方差阵分别为：
设有n维观测向量X的函数Z为：Z=KX+K0,求DZZ＝？ 式中K为系数阵，K0为常数。 根据方差的定义得：
2 DZZ Z E Z EZ Z EZ
T
2 DZZ Z KDXX K T
应用协方差传播公式得
2 L
2
n L n
例题
已知某台经纬仪一测回的测角中误差为±6'',如 果要使各测回的平均值的中误差不超过±2'',则至少 应测多少测回？ 解：由公式
2 x
2
N
可得
2 62 N 2 2 9 x 2
答：至少应测9测回
三、若干独立误差的联合影响
B
mp
mu ms
A
s
第3章：《误差理论与测量平差基础》 - 山东科技大学泰安校区
f k0 f ( X 1 , X 2 , X ) ( )0 X i0 i 1 X i
0 0 0 n n
Z [k 1 , k 2 , kn ] X k0 KX k0
n ,1
DZZ KDXX K
T
例4、根据极坐标法测设P点的坐标，设已知 点无误差，测角中误差为m，边长中误差ms， 试推导P点的点位中误差。
2 j 2 0
Qii为Li的协因数。
Q jj为L j的协因数。
Qij为Li关于L j的协因数 或相关权倒数。
1 ji Qij 2 pi 0
变换形式为：
2 i2 0 Qii 2 2 j 0 Q jj 2 ji 0 Qij
不难得出：
DXX
12 12 1n Q11 Q12 Q1n Q 2 Q22 Q2 n 21 2 2 n 2 21 0 2 Qn1 Qn 2 Qnn n1 n 2 n
山东科技大学山东科技大学资源与土木工程系资源与土木工程系误差理论与测量平差基础第六章附有参数的条件平差第二章误差分布与精度指标第三章协方差传播律及权第五章条件平差第七章间接平差第一章绪论第八章附有限制条件的间接平差第九章概括平差函数模型第十章误差椭圆第四章平差数学模型与最小二乘原理教材内容第十二章近代平差概论第一节协方差传播律第二节协方差传播律的应用第三节权与定权的常用方法第四节第五节协因数传播律第六节由真误差计算中误差及其实际应用直接观测值间接观测值函数关系具有一定精度也应该具有一定精度根据函数关系提出问题
2 (二) 选定了 0 ，即对应一组权。
（三）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较 精度的作用，一个问题只选一个0。
0 0 0 n n
Z [k 1 , k 2 , kn ] X k0 KX k0
n ,1
DZZ KDXX K
T
例4、根据极坐标法测设P点的坐标，设已知 点无误差，测角中误差为m，边长中误差ms， 试推导P点的点位中误差。
2 j 2 0
Qii为Li的协因数。
Q jj为L j的协因数。
Qij为Li关于L j的协因数 或相关权倒数。
1 ji Qij 2 pi 0
变换形式为：
2 i2 0 Qii 2 2 j 0 Q jj 2 ji 0 Qij
不难得出：
DXX
12 12 1n Q11 Q12 Q1n Q 2 Q22 Q2 n 21 2 2 n 2 21 0 2 Qn1 Qn 2 Qnn n1 n 2 n
山东科技大学山东科技大学资源与土木工程系资源与土木工程系误差理论与测量平差基础第六章附有参数的条件平差第二章误差分布与精度指标第三章协方差传播律及权第五章条件平差第七章间接平差第一章绪论第八章附有限制条件的间接平差第九章概括平差函数模型第十章误差椭圆第四章平差数学模型与最小二乘原理教材内容第十二章近代平差概论第一节协方差传播律第二节协方差传播律的应用第三节权与定权的常用方法第四节第五节协因数传播律第六节由真误差计算中误差及其实际应用直接观测值间接观测值函数关系具有一定精度也应该具有一定精度根据函数关系提出问题
2 (二) 选定了 0 ，即对应一组权。
（三）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较 精度的作用，一个问题只选一个0。
第三章协方差传播律及权
= E K ( X − µ X )( X − µ X ) T K T
[
[
]
= KE ( X − µ X )( X − µ X ) T K T
[
]
]
]
协方差传播律
DZZ = σ = KDXX K
2 Z
T
DZZ
的纯量形式：
+ L + 2k1 k nσ 1n + L + 2k n −1 k nσ n −1, n
s = ab
先取对数然后再全微分能简化计算。 先取对数然后再全微分能简化计算。 对函数式取自然对数： 对函数式取自然对数：
σ S = 500σ d = 500 × (±0.2) = ±100mm = ±0.1m
最后写成: 最后写成
S = 11.7 ± 0.1 m
回到首页
二、多个观测值线性函数的协方差阵 推导过程： 推导过程：Z = K X + K 函数：
t ,1 t , n n ,1 0 t ,1
E ( Z ) = E ( KX + K 0 ) = Kµ x + K 0
X 0 = X 10
n ,1
[
0 X2
L
X
0 T n
]
0 0 Z = f ( X 10 , X 2 , L , X n ) + (
∂f 0 +( )0 ( X 2 − X 2 ) + L ∂X 2 ∂f 0 +( ) 0 ( X n − X n ) + (二次以上项） ∂X n
∂f ) 0 ( X 1 − X 10 ) dX = ( dX 1 dX 2 L dX n ) T ∂X 1 0 0 dZ = Z − Z 0 = Z − f (X 10 , X 2 , L , X n )
[
[
]
= KE ( X − µ X )( X − µ X ) T K T
[
]
]
]
协方差传播律
DZZ = σ = KDXX K
2 Z
T
DZZ
的纯量形式：
+ L + 2k1 k nσ 1n + L + 2k n −1 k nσ n −1, n
s = ab
先取对数然后再全微分能简化计算。 先取对数然后再全微分能简化计算。 对函数式取自然对数： 对函数式取自然对数：
σ S = 500σ d = 500 × (±0.2) = ±100mm = ±0.1m
最后写成: 最后写成
S = 11.7 ± 0.1 m
回到首页
二、多个观测值线性函数的协方差阵 推导过程： 推导过程：Z = K X + K 函数：
t ,1 t , n n ,1 0 t ,1
E ( Z ) = E ( KX + K 0 ) = Kµ x + K 0
X 0 = X 10
n ,1
[
0 X2
L
X
0 T n
]
0 0 Z = f ( X 10 , X 2 , L , X n ) + (
∂f 0 +( )0 ( X 2 − X 2 ) + L ∂X 2 ∂f 0 +( ) 0 ( X n − X n ) + (二次以上项） ∂X n
∂f ) 0 ( X 1 − X 10 ) dX = ( dX 1 dX 2 L dX n ) T ∂X 1 0 0 dZ = Z − Z 0 = Z − f (X 10 , X 2 , L , X n )
3-协方差传播律及权
Xn
§3-2 协方差传播律
1. 误差的传递
（2）非线性函数误差的传递
%
f ( x1 , x2 ,L
, xn
)
f x1
x1
f x2
x2
L
f xn
xn
令
f X i
ki ,
i 1,2,L n
则非线性函数误差的传递公式为：
Y
注意：求偏 导后，代入观 测值xi
Y k1 X1 k2 X 2 ... kn Xn
f1
Z1
Z
2
M
Z
t
X 1 f2 X 1 L
ft
X1
f1 X 2 f2 X 2 L
ft X 2
L
L O L
f1
X
n
f2 X n
L
ft
X1
X
2
M
X
n
X n
Z Z X
t1
X n1
tn
Z
Z
t1
X
tn
X n1
例题：测定待定点G，需测量水平角β和边长s
1. 误差的传递
（3）函数向量误差的传递 若有t 个线性函数
Z1 k11 X1 k12 X 2 ... k1n X n k10
Z2
k21 X1
k22 X 2
...
k2n Xn
k20
... ... ... ...
Zt kt1 X1 kt 2 X 2 ... ktn X n kt0
db1
S3 a2
da2
S3 b2
db2
S3 a3
da3
S3 b3
db3
S3 cot a1da1 cot b1db1 cot a2da2 cot b2db2 cot a3da3 cot b3db3
测量平差 第三章 误差传播律与权
1 2 n
1
σX X 2 σX
1 2
2
σX X ⎤ ⎥ σX X ⎥
1 n 2 n
1
σX
nX2
2 σX
n
⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ μY1 ⎤ ⎡ E (Y1 ) ⎤ ⎡Y1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢Y ⎥ ⎢ μY2 ⎥ = ⎢ E (Y2 )⎥ Y = ⎢ 2 ⎥ μY = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ μYr ⎥ ⎣ E (Yr ) ⎦ ⎣ ⎦ ⎣Yr ⎦
误差理论与测量平差基础
北京建筑工程学院 测绘工程系
把观测值函数表示为矩阵形式
⎡L ⎤ 1 2 1 1⎤ ⎢ ⎥ ˆ ⎡ L = ⎢ − − ⎥ ⎢L2 ⎥ +60 1 ⎣3 3 3⎦ ⎢L3 ⎥ ⎣ ⎦
⎡2 ˆ ⎡L ⎤ ⎢ 3 1 ⎢ ⎥ ⎢ 1 ˆ ˆ L = ⎢L2 ⎥ = ⎢− ⎢ˆ ⎥ ⎢ 3 ⎢L3 ⎥ ⎢ 1 ⎣ ⎦ ⎢ − ⎢ 3 ⎣
β ，其中误差 β 2
B
A
β1 β2 x
α
C
误差理论与测量平差基础
北京建筑工程学院 测绘工程系
1. 把已知条件写成矩阵、向量形式
⎡ β1 ⎤ β =⎢ ⎥ ⎣ β2 ⎦
⎡ σ 12 σ 12 ⎤ ⎡1.96 −1 ⎤ =⎢ = 2⎥ σ 21 σ 2 ⎦ ⎢ −1 1.96 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣
观测量
方差
DXX
⎡1 = σ = KDLL K = ⎢ ⎣7
2 X T
2 7
σ X = 0.84 = 0.9mm
误差理论与测量平差基础
北京建筑工程学院 测绘工程系
协方差计算步骤：
D X X
希望同学们把它记下来
1
σX X 2 σX
1 2
2
σX X ⎤ ⎥ σX X ⎥
1 n 2 n
1
σX
nX2
2 σX
n
⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ μY1 ⎤ ⎡ E (Y1 ) ⎤ ⎡Y1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢Y ⎥ ⎢ μY2 ⎥ = ⎢ E (Y2 )⎥ Y = ⎢ 2 ⎥ μY = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ μYr ⎥ ⎣ E (Yr ) ⎦ ⎣ ⎦ ⎣Yr ⎦
误差理论与测量平差基础
北京建筑工程学院 测绘工程系
把观测值函数表示为矩阵形式
⎡L ⎤ 1 2 1 1⎤ ⎢ ⎥ ˆ ⎡ L = ⎢ − − ⎥ ⎢L2 ⎥ +60 1 ⎣3 3 3⎦ ⎢L3 ⎥ ⎣ ⎦
⎡2 ˆ ⎡L ⎤ ⎢ 3 1 ⎢ ⎥ ⎢ 1 ˆ ˆ L = ⎢L2 ⎥ = ⎢− ⎢ˆ ⎥ ⎢ 3 ⎢L3 ⎥ ⎢ 1 ⎣ ⎦ ⎢ − ⎢ 3 ⎣
β ，其中误差 β 2
B
A
β1 β2 x
α
C
误差理论与测量平差基础
北京建筑工程学院 测绘工程系
1. 把已知条件写成矩阵、向量形式
⎡ β1 ⎤ β =⎢ ⎥ ⎣ β2 ⎦
⎡ σ 12 σ 12 ⎤ ⎡1.96 −1 ⎤ =⎢ = 2⎥ σ 21 σ 2 ⎦ ⎢ −1 1.96 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣
观测量
方差
DXX
⎡1 = σ = KDLL K = ⎢ ⎣7
2 X T
2 7
σ X = 0.84 = 0.9mm
误差理论与测量平差基础
北京建筑工程学院 测绘工程系
协方差计算步骤：
D X X
希望同学们把它记下来
第三章_协方差传播律及权
(3-2-6)
通常将（ ）、（3-2-5）和（3-2-6）诸式称为协方差传播律。 协方差传播律。 通常将（3-2-4）、（ ）、（ ） ）诸式称为协方差传播律 其中（ 其中（3-2-6）式是（3-2-5）式的特例。 ）式是（ ）式的特例。
的地图上， 【例题1】在1:500的地图上，量得某两点间的距离是d = 23.4 mm，d的量距 例题 】 的地图上 的量距 求两点间的实地距离S和其精度 和其精度σ 误差是 σ d = ±0.2 mm 。求两点间的实地距离 和其精度 S。 解：
第三章
协方差传播律及权
本章学习要点： 本章学习要点： 1、数学期望的传播 、 2、协方差传播定律 、 3、协因数和协因数传播律 、 4、由真误差计算中误差的方法 、 5、系统误差的传播 、
在实际测量工作中，往往有些未知量不是直接测定， 在实际测量工作中，往往有些未知量不是直接测定，而是由观测值 按一定函数关系计算出来的，即某些未知量是直接观测值的函数。 按一定函数关系计算出来的，即某些未知量是直接观测值的函数。
1.96 − 1 − 1 = 1.92( ′′)2 σ = KDββ K = (− 1 − 1) − 1 1.96 − 1
2 x T
σ x = ±1.4 ′′
图3-2
二、多个观测值线性函数的协方差阵 1、 设有观测值 X，它的数学期望 µX与协方差阵DXX ， n1
D XX
σ 12 σ 12 2 σ 21 σ 2 = L L σ n1 σ n 2
L σ 1n L σ 2n L L 2 L σn
(3-2-7)
L k1n k10 L k2n k , K0 = 20 , L L t 1 M L ktn kt 0
《误差理论与测量平差基础》第三章
1n 2n 2 n
§3.1 协方差传播律
设有t个 X 的线性函数： n ,1 Z1 k11 X 1 k12 X 2 k1n X n k10 Z 2 k 21 X 1 k 22 X 2 k 2 n X n k 20 Z t k t1 X 1 k t 2 X 2 k tn X n k t 0
E ( Z ) E ( KX k0 ) KE( X ) k0 K X k0
Z的方差为： DZZ E Z E ( Z )Z E ( Z )
E ( KX k 0 K X k 0 )( KX k 0 K X k 0 )
E K ( X X )( X X )T K T
Z K X K0
t ,1 t , n n ,1 t ,1
E ( Z ) E ( KX K 0 ) K x K 0
D ZZ E[( Z E ( Z ))( Z E ( Z )) T ]
t ,t
E[( KX K x )( KX K x ) T ]
KE[( X x )( X x ) T ]K T
T
§3.1 协方差传播律
例3-4 在一个三角形中，同精度独立观测得到
三个内角L1、L2、L3，其中误差均为，将
闭合差平均分配后各角的协方差阵。 例3-5 设有函数： 已知:
Z F1 X F1 Y
t ,1 t , n n ,1
t , r r ,1
DXX、DYY 和DXY DZZ、DZX 和DZY
DYZ E[(Y E (Y ))( Z E (Z )) ]
T r ,t
第3章 协方差传播律及权
协方差传播律及权
误差理论与测量平差
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
介绍协方差传播律公式及 其应用，权的定义，定权的常用 方法 ，协因数(阵)、权阵的计算 ，协因数传播律公式的应用 ， 利用真误差计算中误差的方法， 需重点掌握。
1 /63
主页
协方差传播律及权
误差理论与测量平差
本章主要内容
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2) X、Y表达为同一向量的函数
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
X IX 0Y I
Y 0 X IY 0
X 0 Y
X I Y
由协方差传播律得：
DZX A1 DZY A1 DX A2 DYX DX A2 DYX D XY I A1 D X A2 DYX DY 0 D XY 0 A1 D XY A2 DY DY I
10
解: 1) 将函数式改写为:
Z A 1X A 2Y A 0 A 1 X A2 A0 KU A0 Y
式中
K A 1
X A2 , U Y
由方差阵的定义，即可写出U的方差阵为: 由协方差传播律得：
DX DU DYX DXY DY
10
例 1 设有函数Y=4x1-3x2-60, 已知X(= x1 的方差阵为： 7 2 2
x2
T
)
D
X
2 3
cm
试求Y的方差 。
2 Y
解: 将函数写成矩阵形式，即
Y 4x1 3x2 60 4 3x1 x2 60
T
误差理论与测量平差
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
介绍协方差传播律公式及 其应用，权的定义，定权的常用 方法 ，协因数(阵)、权阵的计算 ，协因数传播律公式的应用 ， 利用真误差计算中误差的方法， 需重点掌握。
1 /63
主页
协方差传播律及权
误差理论与测量平差
本章主要内容
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2) X、Y表达为同一向量的函数
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
X IX 0Y I
Y 0 X IY 0
X 0 Y
X I Y
由协方差传播律得：
DZX A1 DZY A1 DX A2 DYX DX A2 DYX D XY I A1 D X A2 DYX DY 0 D XY 0 A1 D XY A2 DY DY I
10
解: 1) 将函数式改写为:
Z A 1X A 2Y A 0 A 1 X A2 A0 KU A0 Y
式中
K A 1
X A2 , U Y
由方差阵的定义，即可写出U的方差阵为: 由协方差传播律得：
DX DU DYX DXY DY
10
例 1 设有函数Y=4x1-3x2-60, 已知X(= x1 的方差阵为： 7 2 2
x2
T
)
D
X
2 3
cm
试求Y的方差 。
2 Y
解: 将函数写成矩阵形式，即
Y 4x1 3x2 60 4 3x1 x2 60
T
误差理论与测量平差基础第三章协方差传播律及权
参数估计
参数估计可采用最小二乘法或加权最小二乘法。在选择方 法时，需根据实际问题的特点和需求进行权衡。
算法性能评估指标选取
精度指标
精度指标是衡量算法性能的重要指标之一。常用的精度指标包括均方误差、均方根误差、 中误差等，可用于评估算法的估计精度和稳定性。
可靠性指标
可靠性指标用于评估算法在复杂环境和噪声干扰下的性能表现。常用的可靠性指标包括失 败率、误警率、漏警率等。
误差传递规律探讨
误差传递概念
在测量过程中，由于各种因素的影响，观测值会存在一定 的误差。这些误差在传播过程中会遵循一定的规律，即误 差传递规律。
线性函数误差传递
对于线性函数Z=aX+bY（其中a、b为常数），其误差传 递公式为D(Z)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2abcov(X,Y)。可以 看出，误差传递与观测值的方差和协方差有关。
的线性相关程度。
对称性
Cov(X,Y) = Cov(Y,X)
加法性
Cov(aX+b, cY+d) = acCov(X,Y)
独立性
若X与Y独立，则Cov(X,Y) = 0
传播律意义与作用
传播律意义
协方差传播律描述了随机变量经过线 性变换后，其协方差矩阵如何变化。 这对于理解和分析复杂系统的误差传 递机制具有重要意义。
权重因子的选择应根据实际情况和测量任务的要求进行，要综合考虑观测值的 精度、稳定性、可靠性等因素。
使用方法
在平差计算中，应根据所选权重因子对观测值进行加权处理，以充分利用观测 值的信息并提高平差结果的精度和可靠性。同时，要注意避免过度加权或欠加 权的情况，以免对结果产生不良影响。
04
基于协方差传播律和权的平差算法设
参数估计可采用最小二乘法或加权最小二乘法。在选择方 法时，需根据实际问题的特点和需求进行权衡。
算法性能评估指标选取
精度指标
精度指标是衡量算法性能的重要指标之一。常用的精度指标包括均方误差、均方根误差、 中误差等，可用于评估算法的估计精度和稳定性。
可靠性指标
可靠性指标用于评估算法在复杂环境和噪声干扰下的性能表现。常用的可靠性指标包括失 败率、误警率、漏警率等。
误差传递规律探讨
误差传递概念
在测量过程中，由于各种因素的影响，观测值会存在一定 的误差。这些误差在传播过程中会遵循一定的规律，即误 差传递规律。
线性函数误差传递
对于线性函数Z=aX+bY（其中a、b为常数），其误差传 递公式为D(Z)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2abcov(X,Y)。可以 看出，误差传递与观测值的方差和协方差有关。
的线性相关程度。
对称性
Cov(X,Y) = Cov(Y,X)
加法性
Cov(aX+b, cY+d) = acCov(X,Y)
独立性
若X与Y独立，则Cov(X,Y) = 0
传播律意义与作用
传播律意义
协方差传播律描述了随机变量经过线 性变换后，其协方差矩阵如何变化。 这对于理解和分析复杂系统的误差传 递机制具有重要意义。
权重因子的选择应根据实际情况和测量任务的要求进行，要综合考虑观测值的 精度、稳定性、可靠性等因素。
使用方法
在平差计算中，应根据所选权重因子对观测值进行加权处理，以充分利用观测 值的信息并提高平差结果的精度和可靠性。同时，要注意避免过度加权或欠加 权的情况，以免对结果产生不良影响。
04
基于协方差传播律和权的平差算法设
误差平差：协方差传播定律及权
非线性函数的线性化
如果函数 f ( x) 在 x 0的某一邻域内具有直到n+1阶的导数，则 在该邻域内 f ( x) 的泰勒公式为
f ′′(x0 ) f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) + (x − x0 )2 +L 2! f (n) (x0 ) + (x − x0 )n +L +L n!
故：
D = [ F 0] DXX [ 0 K] YZ = FD KT 12
T
协方差传播律小节 求函数（也可是向量）的方差（方差阵）； 求函数（也可是向量）的方差（方差阵）； 适用于各观测为相关观测情况； 适用于各观测为相关观测情况； 定律的通式为： 定律的通式为：
若 则
F = KX + K 0 DFF = KDXX K
L
1
ˆ
L2
ˆ
L3
1 8 00 3（ L1 + L2 + L3 − = L− ） 1 1 8 00 3 ） = L2 − （ L1 + L2 + L3 − 1 1 8 00 3 − （ L + L2 + L3 − 1 3 = L ）
1
试求各函数的方差
ˆ σ L，σ Lˆ ，σ
1 2
ˆ
L 3
DLˆ Lˆ
误差理论与测量平差基础
—协方差传播定律及权
第三章 协方差传播律及权
本章内容包括： 本章内容包括：
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5 §3-6 数学期望的传播 协方差传播律 协方差传播律的应用 权与定权的常用方法 协因数和协因数传播律 由真误差计算中误差及其实际应用
误差理论与测量平差基础CH03
误差理论与测量平差基础 第三章 协防差传播律及权 3-1 协防差传播律
2、多个观测值线性函数的方差阵
t×1
Z 和 Y 为多个观测值线性函数：
r×1 t ×1
Z = K X + K0
t×nn×1
t×1
r ×1
Y = F X + F0
r×nn×1
r×1
数学期望分别为： E (Z ) = K µ X + K 0
1×1
Z = f ( X ) = f ([X1 , X2 , · · · , Xn ]T )
n×1
在近似值X 0 按泰勒(台劳)级数展开(乎略二次以上项)
1×1
Z = k1 X1 + k2 X2 + · · · + kn Xn + k0 = K X + k0
1×nn×1
1×1
∂f ki = ( ∂ Xi )0
20
0 1 0.8 0.6 C 0.4 0.2 0
误差理论与测量平差基础 第三章 协防差传播律及权 3-2 协防差传播律的应用
三、若干独立误差的联合影响
一个观测结果同时受到许多独立误差的联合影响，如测角受 到照准、读数、目标偏心仪器偏心等误差的影响，观测结果真误 差是各独立误差的代数和 ∆Z = ∆1 + ∆2 + · · · + ∆n 它们的方差之间的关系为
2 2 2 2 σZ = σ1 + σ2 + · · · + σn
2 DZZ = σZ = KDXX K = K 2 DXX
变成上一章中所讲的方差的运算规则。
误差理论与测量平差基础 第三章 协防差传播律及权 3-1 协防差传播律
第三章 协方差传播率及权
离散型：
E( X ) =
E( X ) =
∑x
i =1
∞
i
pi
连续型：
∫
+∞
−∞
xf ( x ) dx
误差理论与测量平差基础
§3-1 数学期望的传播
2.数学期望的传播规律
1
设C为一常数，则
E (C ) = C
2
设C为一常数，X为一随机变量，则
E (CX ) = CE ( X )
3
设有随机变量X和Y，则
⎣ ⎦
（1）. 令W=(Y Z)T，求W的协方差阵。 （2）. F的方差
σ
2 F
D ZW = E [( Z − E ( Z ))( W − E (W )) T ]
= E [( KX + K 0 − Kμ x − K 0 )( FY + F0 − FμY − F0 ) T ]
= KE [( X − μ x )(Y − μY ) T ]F T
:
1
σ n2
误差理论与测量平差基础
§3-4 权与常用定权的方法
课堂练习
pi
σ = σ
2 0 2 i
§3-4 权与常用定权的方法
1.权的定义（续）
2 (一) 权的大小随σ 0 而变化，但权比不会发生变化。
2 (二) 选定了σ 0 ，即对应一组权。
（三）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较 精度的作用，一个问题只选一个σ0。 （四）只要事先给定一定的条件，就可以定权。
第三章 协方差传播率及权
第一节 数学期望的传播 第二节 协方差传播率 第三节 权与定权的常用方法 第四节 协因数与协因数传播率 第五节 由真误差计算中误差及其应用 第六节 系统误差的传播
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 0 0 2 DLL 0 0 2 0 0
2 0 0 2 / 3 1 / 3 1 / 3 2 / 3 1 / 3 1 / 3 1 / 3 2 / 3 1 / 3 0 2 0 1 / 3 2 / 3 1 / 3 DL ˆL ˆ 2 1 / 3 1 / 3 2 / 3 0 0 1 / 3 1 / 3 2 / 3
106.1 7.8 121 2.6 6.8 244.3
二、协方差传播律
2、线性函数的方差——协方差
[例7] 求等精度观测的三角形三个内角按照闭合差分配后角 度的协方差阵。 三角形闭合差: w 180 L1 L2 L3
1 2 1 1 ˆ L1 L1 W L1 L2 L3 60 3 3 3 3 1 1 2 1 ˆ L2 L2 W L1 L2 L3 60 3 3 3 3 ˆ L 1 W 1 L 1 L 2 L 60 L 3 3 1 2 3 3 3 3 3
a1( X A X s ) b1 (YA YS ) c1 ( Z A Z S ) a3 ( X A X S ) b3 (YA YS ) c3 ( Z A Z S )
a 2 ( X A X s ) b2 (YA YS ) c2 ( Z A Z S ) a3 ( X A X S ) b3 (YA YS ) c3 ( Z A Z S )
XY
XY XY
表示X、Y 间互不相关，对于 正态分布而言，相互独立。
YX XY 0
YX XY 0
表示X、Y 间相关。
二、协方差传播律
1、协方差
12 12 2 2 Dxx 21 n1 n 2 1n 2n 2 n
2 / 3 1 / 3 1 / 3 2 1 / 3 2 / 3 1 / 3 1 / 3 1 / 3 2 / 3
2 0 0 2 DLL 0 0 2 0 0
闭合差平均分配后 角度平差值的中误差 小于原始观测值
z x1 x2 xn
2 2 mz m12 m2 mn
（4）Biblioteka 二、协方差传播律2、线性函数的方差——协方差
[例1] 量得圆的半径为R = 50.03m,观测中误差 mR 2.7m m
求圆周长的中误差和相对误差？
C = 2p R
z kx
形式
二、协方差传播律
ij 0
时，为等精度观测。
表示观测量相互独立。
各观测量互不相关时，为对角矩阵。当对角元素相等
二、协方差传播律
2、观测值线性函数的方差——协方差
观测值 X ( X1 方差阵 DXX
X 2 X n )T,数学期望 E( X ) (E( X1 ) E( X 2 ) E( X n ))T
二、协方差传播律
2、线性函数的方差——协方差
[例6] 用三角形闭合差求测角中误差
次序 1 2 3 4 5 sum 观测值 l 180 179 179 180 180 00 59 59 00 00 10.3 57.2 49.0 01.5 02.6
-10.3 +2.8 +11.0 -1.5 -2.6 -1.6
第三章 协方差传播率及权
一．间接观测值的精度评定
二．协方差传播律
三．协方差传播律的应用
四. 权及定权的方法
五. 协因数和协因数传播率 六. 非等精度观测精度评定
一、间接观测精度评定问题
问题的提出
在实际工作中，一些未知量的求得，常常不是依靠直接测定 或不可能直接测定，而是要通过由观测值所组成的函数计算解 出。 如何评定间接观测值的精度？
二、协方差传播律
1、协方差
独立 & 相关
协方差：用来描述两个随机变量 X 、Y 之间的相关程度
三角形三个内角观测值
经闭合差改正后的内角 三角形闭合差: w 180 L1 L2 L3
ˆ L 1 W 2 L 1 L 1 L 60 L 1 1 1 2 3 3 3 3 3 1 1 2 1 ˆ L2 L2 W L1 L2 L3 60 3 3 3 3 1 1 1 2 ˆ L3 L3 W L1 L2 L3 60 3 3 3 3
n
n
n
m1 m2 1.4
2 协方差 m12 1 ,若 BAC 无误差，求角 3 的中误差。
A
1 2
1 3 1 2 [ 1 1] 2
3
C
mb3 = KDb1b2 K T
é 1.96 -1 ùé -1 ù = [ -1 -1 ]ê = 1.92 ú ê ú ë -1 1.96 ûë -1 û
二、协方差传播律
2、线性函数的方差——协方差
[例7] 求等精度观测的三角形三个内角按照闭合差分配后角 度的协方差阵。
ˆ L 1 2 / 3 1 / 3 1 / 3 L1 ˆ L ˆ 1 / 3 2 / 3 1 / 3 L L 2 2 ˆ 1 / 3 1 / 3 2 / 3 L 3 L3
DXX
12 12 2 2 E ( X E ( X ))(X E ( X ))T 12 1n 2 n
1n 2n T D XX 2 n
二、协方差传播律
1、协方差
相关系数
n
二、协方差传播律
2、线性函数的方差——协方差
m ki m 2 ki k j mij
2 z 2 i 1 2 i i 1 j 1
n
n
n
z 线性函数：
k1 x1 k2 x2 kn xn k0
如 x1 , x2 , xn 相互独立，则：
mz
2 2 k1 m1
二、协方差传播律
2、线性函数的方差——协方差
[例7] 求等精度观测的三角形三个内角按照闭合差分配后角 度的协方差阵。
ˆ L 1 2 / 3 1 / 3 1 / 3 L1 ˆ L ˆ 1 / 3 2 / 3 1 / 3 L L 2 2 ˆ 1 / 3 1 / 3 2 / 3 L 3 L3
2、线性函数的方差——协方差
[例2] 在1:1000地图上，量得两点间的距离d=23.4mm,图上
量距量测中误差为0.2mm，求两点实地距离及其中误差
S 1000 d z kx
形式
二、协方差传播律
2、线性函数的方差——协方差
[例3] 水准测量从A到B到C的高差和相应中误差分别为：
hAB 15.476m 0.012m hBC 5.747m 0.009m
DL ˆL ˆ
二、协方差传播律
线性函数的方差总结
函数名称 函数式
z kx
z x1 x2 xn
mz
函数的中误差
倍数函数
和差函数
mz kmx
2 2 2 m1 m2 mn
线性函数 z k1x1 k2 x2 kn xn
2 2 2 2 2 mz k12 m1 k2 m2 k n mn
12 12 2 12 2 1n 2 n
1n 2n 2 n
，其线性函数如下：
Z k1 X1 k2 X 2 kn X n k0 KX k0
函数Z 的方差为： D ( Z ) E ( Z E ( Z )(Z E ( Z ))T ) KD XX K T
二、协方差传播律
4、非线性函数的方差——协方差 设非线性函数为：z f ( x1 , x2 ,, xn )
f f 0 0 z f ( x1 ,, xn ) f ( x ,, x ) ( x1 x1 ) ( xn xn ) x1 xn
0 1 0 n
二、协方差传播律
1、协方差
误差传播律：在间接观测中，待观测量由一个或多个其它直 接观测值通过一定的函数关系间接计算出来，阐述观测值函 数的中误差和观测值中误差的关系的公式称为误差传播律。
协方差：用来描述两个随机变量 X 、Y 之间的相关程度，定 义为：
XY E[( X E( X ))(Y E(Y ))]
求AC两点的高差及中误差
hAC hAB hBC
ki 1, i 1,2,n
z x1 x2 xn 形式
二、协方差传播律
2、线性函数的方差——协方差
[例4] 用30m的钢尺往返丈量一段距离，得 D往 269.95m, D 返 269.99m
1.0cm , 如果一整尺段丈量的中误差为：
D ( Z ) ki 2 ki k j ij
2 z 2 i 1 2 i i 1 j 1 n n n
m ki m 2 ki k j mij
2 z 2 i 1 2 i i 1 j 1
n
n
n
向量各分量相互独立，则： ki 2 i2
2 z i 1
等价于
f f f z x1 x2 xn ) x1 x2 xn
f z Kx x 1
2 z
f x2
T
x1 x f 2 xn xn
DZZ KDxx K