一元二次方程知识点与其应用

一、相关知识点

1．理解并掌握一元二次方程的意义

未知数个数为 1，未知数的最高次数为 2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数 （ 1）明确只有当二次项系数 a

0时，整式方程 ax 2

bx c 0 才是一元二次方程。

（ 2）各项的确定 (包括各项的系数及各项的未知数 ). （ 3）熟练整理方程的过程

3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程 二．解法

1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；

2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题：

2

或 ( ax b 2 n a 0) 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未 (1) 开平方法：对于

形如

xn ) ( 知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求

解

. 形如 x 2

n 的方程的解法： 当 n 0

时， x n ; 当 n 0 时， x 1

x 2 0 ;

当 n 0 时，方程无实数根。

（ 2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为 ( x m )2

n 的方程，再运用开平方法求解。

配方法的一般步骤：

①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化 1”：根据等式的性质把二次项的系数化为 1；

③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为 2

( x mn 的形式； ) ④求解：若 n 0 时，方程的解为

x m n ，若 n 0 时，方程无实数解。

（ 3）公式法：一元二次方程 ax

2

bx c 0( a 0) 的根 x b b 2 4ac

2a

当 b 2

4ac

0 时，方程有两个实数根 ,且这两个实数根不相等； 当 b 2

4ac

0 时，方程有两个实数根 ,且这两个实数根相等，写为

x 1

x 2

b ；

2a 第1页共7页

当 b24ac 0 时，方程无实数根.

公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定a, b, c 的值；③代入b24ac 中计算其值，判

断方程是否有实数根；④若b24ac 0 代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。

（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完

全的一元二次方程。）

（ 4）因式分解法：

①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：

若ab 0，则 a 0或 b 0 ；

②因式分解法的一般步骤：

若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为

零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。

（ 5）选用适当方法解一元二次方程

①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次

根式的化简问题。

②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。

（6）解含有字母系数的方程

（1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；

（2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此

时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。

三、根的判别式

1．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程

中符合题意的参数取值范围。

（ 1）= b24ac

（ 2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程ax2bx c 0（ a 0 ）

a 0

①当

0时

方程有实数根；

（当a 0 a 0

方程有两个不相等的实数根；当方程有两个相等的实数根；）0时0时

a 0

②当

0时

方程无实数根；

从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。

2．常见的问题类型

（1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况

（2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围（3）应用判别式，证明一元二次方程根的

情况①先计算出判别式（关键步骤）；

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②用配方法将判别式恒等变形；

③判断判别式的符号；

④总结出结论.

（ 4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方

程进行分类讨论，如果二次系数为 0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为 0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。

（5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要

在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧

（6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合

（7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题

四、一元二次方程的应用

1.数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。

2.几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。

3.增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（a ），增长率（ x ），变化的次

数（n ），

变化后的基数（ b ） ,这四者之间的关系可以用公式a x

n

b 表示。

(1 )

4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。五．实际应用

（ 1）有 100 米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于600 平方米，在场地的北面有一

堵50

米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40 米、宽 10 米的仓库，但面积只

有400 平方米，不合要求，问应

如何设计矩形的长与宽才能符合要求

呢？

（ 2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄）：

大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿

符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？（36 岁）

(3) 已知：a,b, c 分别是 A B C的三边长，当 m 0 时，关于x 的一元二次方程

c( x 2m) b(x 2m) 2 max 0 有两个相等的实数根，求证：ABC 是直角三角形。