命题的概念及四种命题
命题类型与含义
命题类型与含义
一、命题的定义
在逻辑学和数学中，命题是一个陈述句，它具有真或假两种状态。
一个命题的真假，要么是确定的，要么是未定的。
确定的命题是真或假的，例如：“2+2=4”是一个真命题，“地球是方的”是一个假命题。
二、命题的类型
根据其构造和使用的语境，命题可以有不同的分类。
下面介绍四种常见的命题类型：
1.单称命题：表示个体性质的命题，它适用于单个的对象，如“乔治是一个
工人”。
2.全称命题：表示全体性质的命题，它适用于所有的对象，如“所有的猫都
是哺乳动物”。
3.特称命题：表示特定范围的命题，它适用于某一集合的对象，如“有些猫
喜欢吃鱼”。
4.条件命题：表示一个命题的真假依赖于另一个命题的真假，如“如果下雨，
那么地面会湿”。
三、命题的含义
命题的含义指的是一个命题所表达的思想或概念。
一个命题的含义通常由其构成部分来决定，这些部分包括主语、谓语和可能的表语。
例如，在命题“所有的人都是有死的”中，“人”是主语，“有死的”是谓语，“所有”是表语。
这个命题的含义是：不存在永远不死的人。
总的来说，理解和分析命题是逻辑推理和数学证明的重要基础。
对于不同类型的命题，我们需要了解它们的结构和含义，以便更准确地评估它们的真假值。
高中数学命题的基本概念
高中数学命题的基本概念一、命题的基本概念命题：可以判断真假的陈述句叫做命题。
也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件。
真命题：判断为真的语句叫做真命题。
假命题：判断为假的语句叫做假命题。
命题的否定：就是对命题的结论加以否定。
原命题逆命题否命题逆否命题若，则若，则若，则若，则另一个命题的结论和条件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题。
一般地，对于是互逆命题的两个命题，其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题。
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的的条件和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题。
其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题。
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。
其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题。
四种命题的相互关系图三、充分条件和必要条件的概念1、若，我们就说是的充分条件，是的必要条件。
2、一般地，如果既有，又有，就记作。
此时，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。
3、一般地，若p⇒q，但q ≠＞p，则称p是q的充分但不必要条件；若p≠＞q，但q ⇒ p，则称p是q的必要但不充分条件；若p≠＞q，且q ≠＞p，则称p是q的既不充分也不必要条件。
四、重要结论1、互为逆否命题的两个命题真值相同：原命题与它的逆否命题等价；否命题与逆命题等价。
2、对于充分条件、必要条件的判定，我们需要将命题转化为集合，充分利用集合的关系进行判定，可以更加直观形象。
3、命题的否定和否命题是两个不同的概念。
典型例题知识点一：命题的基本概念以及四种命题的相互关系例1、判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数是素数，则是奇数；（3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？（5）；（6）平面内不相交的两条直线一定平行；（7）明天下雨。
四种命题及其关系
四种命题及其关系一、四种命题的概念1. 原命题- 定义：若用p表示条件，q表示结论，则原命题为“若p，则q”，例如“若x = 1，则x^2=1”。
2. 逆命题- 定义：将原命题的条件和结论互换得到的命题，即“若q，则p”。
对于上面的例子，其逆命题为“若x^2=1，则x = 1”。
3. 否命题- 定义：将原命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ p，则¬q”。
对于“若x = 1，则x^2=1”，其否命题为“若x≠1，则x^2≠1”。
4. 逆否命题- 定义：将逆命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ q，则¬p”。
对于“若x = 1，则x^2=1”，其逆否命题为“若x^2≠1，则x≠1”。
二、四种命题之间的关系1. 原命题与逆命题- 关系：原命题的条件和结论是逆命题的结论和条件，它们之间是互逆的关系。
原命题为真时，逆命题不一定为真。
例如原命题“若a = 0，则ab=0”是真命题，其逆命题“若ab = 0，则a = 0”是假命题（因为当b = 0时，a可以不为0）。
2. 原命题与否命题- 关系：原命题与否命题是互否的关系，原命题为真时，否命题不一定为真。
例如原命题“若x>2，则x>1”是真命题，其否命题“若x≤slant2，则x≤slant1”是假命题。
3. 原命题与逆否命题- 关系：原命题与逆否命题是同真同假的关系。
例如原命题“若a = b，则a^2=b^2”是真命题，其逆否命题“若a^2≠ b^2，则a≠ b”也是真命题；原命题“若x = 1且y = 2，则x + y=3”是真命题，其逆否命题“若x + y≠3，则x≠1或y≠2”也是真命题。
4. 逆命题与否命题- 关系：逆命题与否命题是互为逆否的关系，所以它们也是同真同假的关系。
例如对于原命题“若p，则q”，其逆命题“若q，则p”和否命题“若¬ p，则¬q”，若逆命题为真，则否命题也为真；若逆命题为假，则否命题也为假。
四种命题及四种命题间的相互关系
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个互逆命题的真假性相同.( ) ) )
(2)若两个命题为互否命题,则它们的真假性肯定不相同.( (3)对于一个命题的四种命题,可以一个真命题也没有.( 【解析】(1)错误.两个互逆命题的真假性没有关系.
原命题：若a>b，则a+c>b+c真 逆命题：若a+c>b+c，则a>b真
题的真假没有关系。
原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。 真 逆命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。假 原命题：若a>b，则ac2>bc2 假 逆命题：若ac2>bc2，则a>b 真
假 原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。 逆命题：若四边形是平行四边形，则四边形对角线相等。 假
一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论
和条件，这两个命题就叫做互逆命题。其中一个叫做
原命题，则另一个叫做原命题的逆命题。
原命题：若p，则q
它的逆命题：若q，则p.
例如： 原命题： 若a>b，则a+c>b+c . 它的逆命题：若a+c>b+c，则a>b.
什么叫互否命题？
一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的条件
“正难则反”的处理原则：在证明某一个命题的真假性有 困难时,可以证明它的逆否命题为真(假)命题,来间接地证 明原命题为真(假)命题.
【变式训练】证明:已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,若 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0. 【解题指南】由于原命题不易证明,可转化为证明其逆否命题为真命题 . 【证明】原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函 数,a,b∈R,若a+b<0, 则f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)”.
命题的定义及四种命题
q
┐p
原命题:若p,则q
┐q
为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作 “┐p” “┐q”。 互否命题
否命题:若┐p,则┐q
例如，原命题：同位角相等，两直线平行。 否命题：同位角不相等，两直线不平行。
观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间分别有什么关系？
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四种命题、四种命题间的相互关系
四种命题四种命题间的互相关系1、四种命题的概念，写出某个命题的逆命题、否命题和逆否命题。
2、四种命题之间的关系以及真假性之间的联络。
3、会用命题的等价性解决问题。
【核心扫描】：1、结合命题真假的断定，考察四种命题的构造。
(重点)2、掌握四种命题之间的互相关系。
(重点)3、等价命题的应用。
(难点)1、四种命题的概念(1)互逆命题：对于两个命题，假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题。
假设原命题为“假设p，那么q〞，那么逆命题为“假设q，那么P〞。
(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否认和结论的否认，这样的两个命题叫做互否命题。
假如把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。
也就是说，假设原命题为“假设p，那么q〞那么否命题为“假设非p，那么非q〞。
(3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否认和条件的否认，这样的两个命题叫做互为逆否命题。
假如把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．也就是说，假设原命题为“假设p，那么q〞，那么逆否命题为假设非q，那么非p。
任何一个命题的构造都包含条件和结论，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题，因此任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题。
2、四种命题的互相关系(2)四种命题的真假性之间的关系：①两个命题互为逆否命题，它们有一样的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0，2，4.一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p与q的否认，那么四种命题的形式可表示为：原命题：假设P，那么q；逆命题：假设q，那么p；否命题：假设非P，那么非q；逆否命题：假设非q，那么非p.(1)关于四种命题也可表达为：①交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的逆命题；②同时否认命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的否命题；③交换命题的条件和结论，并且同时否认，所得的新命题就是原命题的逆否命题．(2)原命题，写出它的其他三种命题：首先，将原命题写成“假设p，那么q〞的形式，然后找出条件和结论，再根据定义写出其他命题。
(完整版)命题的概念及四种命题
3．在两个命题中，如果第一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结
论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，如果把其中
一个叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否否命题。
问题6：如果我用p和q分别表示原名题的条件和结论，用┐p和┐q分
别表示p和q的否定，那么四种命题的形式该如何表示？
答案：
命题
条件：（若）
结论：（则）
1
同位角相等
两直线平行
2
两直线平行
同位角相等
3
同位角不相等
两直线不平行
4
两直线不平行
同位角不相等
讨论：请同学们讨论这四个命题之间的关系。
(如果学生没有线索，讨论混乱，则教师提示先讨论命题（1）和（2），（1）和（3），（1）和（4）之间的关系)
答案：
A：命题（2）是把命题（1）的条件和结论调换了，换句话说，命题（2）的条件是命题（1）的结论，命题（2）的结论是命题（1）的条件。
答：(2)和(5)错误，(4)和(9)正确。
2．命题的分类——真假命题。
(1)真命题：判断为真的命题；(2)假命题：判断为假的命题。
例1：下列语句中哪些是命题，那些不是命题？是真命题还是假命题，并说明理由。
1．3>2；
2．5是15的约数；
3．这是一棵大树；
4．π是无限不循环小数；
5．x+5=8；
6．x2+3x-2>0；
教学用具：PPT
教学内容
师生活动
备注
设置情境
引例1：请将下列语句分类。
(1)矩形难道不是平行四边形么？
(2)垂直于同一条直线的两条直线平行。
02简易逻辑--命题的四种形式
例1 写出由下述各命题构成的“p 或 q”形式的复合命题: (2) p: 方程 x2-1=0 的解是 x=1, q: 方程 x2-1=0 的解是 x=-1; (3) p: 实数的平方是正数, q: 实数的平方是 0. (2)方程 x2-1=0 的解都是 x=1, 或方程 x2-1=0 的解都是 x=-1; (3)实数的平方都是正数或实数的平方都是 0. 注: 由简单命题构成复合命题, 一定要检验是否 符合“真值 表”, 如果不符要作语言上的调整. 例2 写出由下述各命题构成的“p 且 q”形式的复合命题: (1) p: 四条边相等的四边形是正方形, q: 四个角相等的四边形是正方形; (2) p: 菱形的对角线互相平分, q: 菱形的对角线互相垂直; (3) p: 实数的平方是正数, q: 实数的平方是 0. (1)四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是 正方形; (2)菱形的对角线互相垂直平分; (3)实数的平方都是正数且实数的平方都是 0.
例3 写出由下述各命题构成的“非 p” 形式的复合命题: (1) p: 有些质数是奇数; (2) p: 方程 x2-5x+6=0 有两个相等的实 根; (3) p: 四条边相等的四边形是正方形. (1)非 p: 所有的质数都是奇数或都不是奇数; ( p 即: 质数中既有奇数又有不是奇数的数)
(2)非 p: 方程 x2-5x+6=0 没有两个相等的实根;
非p 真 假 假 真
p
p
q p或q 真 真 假 真 真 真 假 假
p
q p且q 真 真 假 假 真 假 假 假
“p 且 q”形 式的复合命题 当p 与q同时为 真时为真, 其 它情形为假.
6.注意 ①由简单命题构成复合命题时, 不一定是简单地加“或、且、 非”等逻辑联结词; 另外应注意含“或、且、非”等词汇的命 题也不一定是复合命题, 在进行命题的合成或分解时一定要检 验是否符合复合命题的“真值表”, 如果不符要作语言上的调 整②命题的“否定”是学习上的重点 . , 因为这是“反证法”证 明的第一步. 必须注意, 命题的“否定”与一个命题的“否命 题”是两个不同的概念: 对命题 p 的否定(即非 p )是否定命题 p 所作的判断; 而“否命题”是对“若 p 则 q”形式的命题而言, 要同时否定它的条件与结论.
命题的概念命题的四种形式及关系命题的否定和否命题的区别
一、命题的概念1、命题：把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题；2、真命题、假命题：判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题。
注意：1、并不是所有的语句都是命题，只有能够判断真假的语句才是命题。
2、如果一个语句是命题，则它是真命题或是假命题，二者必具其一。
二、命题的否定与否命题有什么区别1.命题的否定只否定该命题的结论，而否命题则否定原命题的条件和结论。
比如:“若a>0.则a+b>0”这个命题的否定是“存在a>0,使得a+b<=0”,否命题是“存在a<=0,使得a+b<=0”；在大学阶段，“只否定命题结论”的说法不一定正确，根据真值表，在A为假命题的情况下，非(A=>B)与A=>非B并不是逻辑相等的。
参考：滑铁卢大学数学教材对于“若A则B”式命题的否定为“A且非B”。
2.一个命题与它的否定形式是完全对立的。
两者之间有且只有一个成立。
数学中常用到反证法，要证明一个命题，只需要证明它的否定形式不成立就可以了。
而对于否命题，它是否成立和原命题是否成立没有直接关系。
三、举例命题的否定与否命题的易错题1、写出“若a，b都是正数，则a+b大于等于2√ab.”的否命题。
解答：若a，b不都是正数，则a+b大于等于2√ab.。
评注：“都是正数”的否定是“不都是正数”而不是“都不是正数”．如果把“a，b都是正数”理解成“a是正数且b是正数”，则其否定也可写成“a不是正数或b不是正数”。
2、写出“两个奇数的和是偶数”的否命题与命题的否定。
解答：否命题：若两个数不全是奇数，则它们的和不是偶数。
命题的否定：两个奇数的和不是偶数。
评注：(1)“两个奇数的和是偶数”意思是“有两个数全是奇数，则它们的和是偶数”。
(2)“是偶数”的否定是“不是偶数”，而不是“是奇数”。
3、写出下列命题的否定：(1)有些常数数列不是等比数列。
(2)平行四边形是菱形。
解答：(1)任意一个常数数列都是等比数列。
高一数学四种命题的概念
4、逆否命题：一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论的否 定和条件的否定。
逆否命题的形式可表示为：若非q则非p 或 若﹃q，则﹃p
1.7.1四种命题的概念
例1、把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题 及逆否命题.
1.7.1四种命题的概念
一、复习回顾： 逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命
题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，这两个 命题叫互逆命题。其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做 原命题的逆命题。
例如： 原命题：同位角相等，两直线平行。 条件（题设）：同位角相等。 结论：两直线平行 它的逆命题：两直线平行，同位角相等。
（1）负数的平方是正数； （2）正方形的四条边相等.
解：（1）原命题可以写成: 若一个数是负数，则它的平方是正数; 逆命题：若一个数的平方是正数,则它是负数; 否命题：若一个数不是负数,则它的平方不是正数; 逆否命题：若一个数的平方不是正数,则它不是负数;
（2）原命题可以写成：若一个四边形是正方形,则它的四条边相等; 逆命题：若一个四边形的四条边相等,则它是正方形; 否命题：若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等; 逆否命题：若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形;
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原命题：同位角不相等，两直线不平行。 它的逆命题：两直种命题的概念
3、互否命题 ：一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的条件的 否定和结论的否定。 否命题的形式可以写成：若非p则非q 其中：“非”字可以用符号“﹃”代替 即“若非p则非q”可以写成：若﹃p ，则﹃q
四种命题 四种命题间的相互关系
否命题：若 m·n≥0，则方程 mx2－x＋n＝0 没有实数 根，假命题．
逆否命题：若方程 mx2－x＋n＝0 没有实数根，则 m·n ≥0，真命题．
(2)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的 弧，则这条直线是弦的垂直平分线，真命题．
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直 线不过圆心或不平分弦所对的弧，真命题．
3．四种命题真假性之间的关系 (1)两个命题互为逆否命题时，它们有相同的真假性； (2)两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假 性没有关系．
温馨提示 在四种命题中，真命题的个数可能为 0，2，4 个，不 会出现奇数个．
1．下列判断中不正确的是( ) A．命题“若 A∩B＝B，则 A∪B＝A”的逆否命题 为真命题 B．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假命题 C．“已知 a，b，m∈R，若 am2<bm2，则 a<b”的逆 命题是真命题 D．“若 x∈N*，则(x－1)2>0”是假命题
解析：A 中，逆否命题“若 A∪B≠A，则 A∩B≠B” 是真命题，正确；B 中，否命题“不是矩形的四边形的两 条对角线不相等”是假命题，正确；C 中，逆命题“已知 a，b，m∈R，若 a<b，则 am2<bm2”是假命题．所以 C 错误，符合题意．D 中，因为 x＝1 时，(1－1)2＝0，所以 是假命题，正确．
答案：C
2．命题“若 a＞b，则 2a＞2b－1”的否命题为 ___________________________________________． 解析：否命题为“若¬ p，则¬ q”，则否命题为“若 a≤b，则 2a≤2b－1”． 答案：“若 a≤b，则 2a≤2b－1”
3．下列命题： ①“等边三角形三内角都为 60°”的逆命题； ②“若 k>0，则 x2＋2x－k＝0 有实根”的逆否命题； ③“全等三角形的面积相等”的否命题； ④“若 ab≠0，则 a≠0”的否命题； 其中真命题的序号为________． 解析：①逆命题“三内角都为 60°的三角形为等边 三角形”，真命题；②逆否命题“若 x2＋2x－k＝0 没有实 根，则 k≤0”，因为Δ＝4＋4k<0，所以 k<－1，满足 k
命题、四种命题及其关系
逆否命题：若一个三角形的角不相等，则这个三角形的边也不相等。 这是真命题。
(3)奇函数的图象关于原点对称 (3)逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数。 这是真命题。 否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称。 这是真命题。 逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数。 这是真命题。
特称命题 p :
x0 M,p(x0 )
它的否定 p :
x M,p(x)
第一章 常用逻辑用语
1.1 命题及其关系
1.1.1 命题
1.1.2 四种命题
(一)命题的特征： (1)是陈述句
(二)命题的结构： 若p，则q
(2)可判真假
题型一：命题的判断(真/假) 题型二：改写命题的结构形式(若p，则q) 题型三：真假命题的应用
p且 q ﹁p或﹁q p或 q
例题：用否定的形式填空： （1）a > 0； a≤0。 （2）a ≥0或b<0； a<0且b≥0。 （3）a、b都是正数；a、b不都是正数。 （4）A是B的子集； A不是B的子集。 结论：（1）“或”的否定为“且”，
（2）“且”的否定为“或”， （3）“都”的否定为“不都”。
(1)若a,b都是偶数，则a+b是偶数 真命题 (2)若m>0，则方程x2+x-m=0有实数根. 真命题 (1)逆命题：若a+b是偶数，则a,b都是偶数 假命题
否命题： 若a,b不都是偶数，则a+b不是偶数 假命题 逆否命题： 若a+b不是偶数，则a,b不都是偶数 真命题 (2)逆命题：若方程x2+x-m=0有实数根，则m>0 否命题： 若m≤0，则方程x2+x-m=0无实数根 逆否命题： 若方程x2+x-m=0无实数根，则m≤0 假命题
命题及四种命题
命题及四种命题1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以________的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做________，判断为假的语句叫做________．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性________．答案1．判断真假真命题假命题2．(1)若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈p(2)①相同②没有关系1．(选修1－1P8习题1.1A组第2(1)题改编)命题“若a，b都是奇数，则a＋b是偶数”的逆否命题为________．解析：“a，b都是奇数”的否定为“a，b不都是奇数”，“a＋b是偶数”的否定为“a＋b不是偶数”，故其逆否命题为“若a＋b不是偶数，则a，b不都是奇数”．答案：若a＋b不是偶数，则a，b不都是奇数2．命题“单调函数不是周期函数”的逆否命题是________．解析：命题可改写为“若函数是单调函数，则函数不是周期函数”，故其逆否命题是“若函数是周期函数，则函数不是单调函数”，简化为“周期函数不是单调函数”．答案：周期函数不是单调函数知识点二充分条件与必要条件1．若p⇒q且q⇒p，则p是q的____________条件，q是p的__________条件；若p⇒q且q⇒p，则p是q的________条件，q也是p的________条件．2．若A、B为两个集合，满足A B，则A是B的__________条件，B是A的__________条件；若A＝B，则A是B的________条件．答案1．充分不必要必要不充分充分必要充分必要2．充分不必要必要不充分充分必要3．(2016·天津卷)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要而不充分条件．答案：C4．(选修1－1P12习题1.2A组第4题改编)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2经过原点的一个充要条件是()A．ab＝0 B．a＝0且b＝0C．a2＋b2＝r2D．r＝0解析：圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2经过原点的一个充要条件是：原点(0,0)是此方程的解，即a2＋b2＝r2，故选C.答案：C5．设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是()A．x>1 B．x<1C．x>3 D．x<3解析：x>2⇒x>1，但x>1⇒x>2.答案：A。
命题：四种命题、复合命题
2命题及其关系、充分条件与必要条件作者杜老师1．命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题，其中判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题。
2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为_______________，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有确定的关系。
3．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。
(2)若p⇒q且q p，则p是q的_________________条件。
(3)若p q且q⇒p，则p是q的________________条件。
(4)若p⇔q，则p是q的____________条件。
(5)若p q且q p，则p是q的________________________条件。
[判一判](1)“x2>1”是命题。
( )(2)“cos x＝3”是命题。
( )(3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4。
( )(5)否命题就是命题的否定。
( )(6)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件。
( )[练一练]1．下列命题是真命题的为()2．(2015·山东卷)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( ) A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤03．(2015·天津卷)设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．命题“若b2－4ac>0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中，真命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．35．若“m≤a”是“方程x2＋x＋m＝0有实数根”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________________。
四种命题四种命题间相互关系
四种命题四种命题间的相互关系1.了解四种命题的概念,会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.重点2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.难点3.利用命题真假的等价性解决简单问题.难点、易错点教材整理1 四种命题阅读教材P4～P6,完成下列问题.1.四种命题的概念一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.如果是另一个命题条件的否定和结论的否定,那么把这样的两个命题叫做互否命题.如果是另一个命题结论的否定和条件的否定,那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题.把第一个叫做原命题时,另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题.2.四种命题的形式原命题：若p,则q.逆命题：若q,则p.否命题：若﹁p,则﹁q.逆否命题：若﹁q,则﹁p.判断正确的打“√”,错误的打“×”1有的命题没有逆命题.2四种命题中,原命题是固定的.3“对顶角相等”的否命题为“对顶角不相等”.解:1只要原命题确定了,它的逆命题就确定了,故1错.2四种命题中原命题具有相对性,故2错.3“对顶角相等”的否命题为“若两个角不是对顶角,则这两个角不相等”,故3错.答案:1×2×3×教材整理2 四种命题间的相互关系阅读教材P6～P8,完成下列问题.1.四种命题之间的相互关系2.四种命题的真假关系1四种命题的真假性,有且仅有下面四种情况2四种命题的真假性之间的关系①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.判断正确的打“√”,错误的打“×”1对于一个命题的四种命题,可以一个真命题都没有.2两个互逆命题的真假性相同.3命题“若a＞－3,则a＞－6”以及它的逆命题,否命题,逆否命题中,真命题的个数有3个.解:1若原命题为假命题,则其逆否命题为假命题,逆命题和否命题可都为假命题,故1对.2两个互逆命题的真假性无关,故2错.3原命题和逆否命题正确,否命题和逆命题错误,故3错.答案:1√2×3×小组合作探究四种命题的概念例1、写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题：1如果直线垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线垂直于平面；2如果x＞10,那么x＞0；3当x＝2时,x2＋x－6＝0.根据四种命题的结构写出所求命题.自主解答：1逆命题：如果直线垂直于平面,那么直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线,那么直线不垂直于平面；逆否命题：如果直线不垂直于平面,那么直线不垂直于平面内的两条相交直线. 2逆命题：如果x＞0,那么x＞10；否命题：如果x≤10,那么x≤0；逆否命题：如果x≤0,那么x≤10.3逆命题：如果x2＋x－6＝0,那么x＝2；否命题：如果x≠2,那么x2＋x－6≠0；逆否命题：如果x2＋x－6≠0,那么x≠2.1.写出一个命题的其他三种命题的步骤1分析命题的条件和结论；2将命题写成“若p,则q”的形式；3根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题.注意：如果原命题含有大前提,在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时,必须注意各命题中的大前提不变.2.常见词语的否定1.1命题“若m＞n,则m－1＞n－2”的逆否命题为________.2分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题：①正数的平方根不等于0；②若x2＋y2＝0x,y∈R,则x,y全为0.解：1若m－1≤n－2,则m≤n.2①逆命题：若一个数的平方根不等于0,则这个数是正数；否命题：若一个数不是正数,则这个数的平方根等于0；逆否命题：若一个数的平方根等于0,则这个数不是正数.②逆命题：若x,y全为0,则x2＋y2＝0x,y∈R；否命题：若x2＋y2≠0x,y∈R,则x,y不全为0；逆否命题：若x,y不全为0,则x2＋y2≠0x,y∈R.四种命题真假的判断例2、把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它的逆命题、否命题、逆否命题,然后判断它们的真假：1正偶数不是素数；2平行于同一条直线的两条直线平行.错误!→错误!→错误!自主解答：1原命题：若一个数是正偶数,则这个数不是素数,是假命题；逆命题：若一个数不是素数,则这个数是正偶数,是假命题；否命题：若一个数不是正偶数,则这个数是素数,是假命题；逆否命题：若一个数是素数,则这个数不是正偶数,是假命题.2原命题：若两条直线平行于同一条直线,则这两条直线平行,是真命题.逆命题：若两条直线平行,则这两条直线平行于同一条直线,是真命题.否命题：若两条直线不平行于同一条直线,则这两条直线不平行,是真命题.逆否命题：若两条直线不平行,则这两条直线不平行于同一条直线,是真命题.在判断一个命题的真假时,可以有两种方法：一是分清原命题的条件和结论,直接对原命题的真假进行判断；二是不直接写出命题,而是根据命题之间的关系进行判断,即原命题和逆否命题同真同假,逆命题和否命题同真同假.再练一题2.下列命题：①“若xy＝1,则x、y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题.其中是真命题的是________.解：①“若xy＝1,则x,y互为倒数”的逆命题是“若x,y互为倒数,则xy＝1”,是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”,是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题,所以其逆否命题也是真命题.所以真命题是①②③.答案：①②③探究共同研讨等价命题的应用探究1 我们学习了四种命题的关系,那么在直接证明某一个命题为真命题有困难时,该怎么办提示可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接地证明原命题为真命题.探究2 根据互为逆否命题的真假性相同来判断命题的真假,是哪种证明方法的理论基础提示是反证法的理论基础.例3判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2＋2a＋1x＋a2＋2≤0的解集不是空集,则a≥1”的逆否命题的真假.法一：错误!→错误!→错误!→错误!法二：错误!→错误!自主解答法一：原命题的逆否命题：已知a,x为实数,若a<1,则关于x的不等式x2＋2a＋1x＋a2＋2≤0的解集为空集.真假判断如下：∵抛物线y＝x2＋2a＋1x＋a2＋2开口向上,判别式Δ＝2a＋12－4a2＋2＝4a－7,若a<1,则4a－7<0.即抛物线y＝x2＋2a＋1x＋a2＋2与x轴无交点.所以关于x的不等式x2＋2a＋1x＋a2＋2≤0的解集为空集.故原命题的逆否命题为真.法二：先判断原命题的真假.因为a,x为实数,且关于x的不等式x2＋2a＋1x＋a2＋2≤0的解集不是空集,所以Δ＝2a＋12－4a2＋2≥0,即4a－7≥0,解得a≥错误!.因为a≥错误!,所以a≥1,所以原命题为真.又因为原命题与其逆否命题等价,所以逆否命题为真.这种问题的解决通常有两种方法：一是直接法,先写出逆否命题,后判断,如法一；二是间接法,不写逆否命题,从判断原命题的真假证明逆否命题的真假,如法二.再练一题3.证明：已知函数fx是－∞,＋∞上的增函数,a、b∈R,若fa＋fb≥f－a＋f－b,则a＋b≥0.解：原命题的逆否命题为“已知函数fx是－∞,＋∞上的增函数,a,b∈R,若a＋b＜0,则fa＋fb＜f－a＋f－b.”∵当a＋b＜0时,a＜－b,b＜－a,又∵fx在－∞,＋∞上是增函数,∴fa＜f－b,fb＜f－a.∴fa＋fb＜f－a＋f－b,即逆否命题为真命题.∴原命题为真命题.1.命题“若一个数是负数,则它的相反数是正数”的逆命题是A.“若一个数是负数,则它的相反数不是正数”B.“若一个数的相反数是正数,则它是负数”C.“若一个数不是负数,则它的相反数不是正数”D.“若一个数的相反数不是正数,则它不是负数”解：若原命题记作“若p,则q”,则A为“若p,则﹁q”；B为“若q,则p”；C 为“若﹁p,则﹁q”；D为“若﹁q,则﹁p”.故B正确.答案：B2.命题“如果x2＜1,则－1＜x＜1”的逆否命题是A.如果x2≥1,则x≥1,或x≤－1B.如果－1＜x＜1,则x2＜1C.如果x＞1或x＜－1,则x2＞1D.如果x≥1或x≤－1,则x2≥1解：“－1＜x＜1”的含义是“x＞－1且x＜1”,故“－1＜x＜1”的否定是“x≥1或x≤－1”,故选D.答案：D3.已知命题：“若x≥0,y≥0,则xy≥0”,则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是A.1B.2C.3D.4解：由题意可判断原命题为真命题,故逆否命题也为真命题,其逆命题为“若xy≥0,则x≥0,y≥0”,为假命题,所以否命题也为假命题,故四个命题中,真命题的个数为2.答案：B4.有下列四个命题：①命题“若x＋y＝0,则x,y互为相反数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m≤1,则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B＝B,则AB”的逆否命题.其中是真命题的是________填上你认为正确的命题的序号.解：④中由A∩B＝B,应该得出BA,原命题为假命题,所以逆否命题为假命题. 答案：①②③5.判断命题：“若b≤－1,则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假.解：利用原命题因为原命题与逆否命题真假性一致,所以只需判断原命题真假即可.方程判别式为Δ＝4b2－4b2＋b＝－4b,因为b≤－1,所以Δ≥4＞0,故此方程有两个不相等的实根,即原命题为真,故它的逆否命题也为真.。
四种命题
四种命题1．命题及其概念(1)判断一个语句是不是命题，首先应明确它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”两个条件，只有能判断真假的陈述句才是命题．一个命题要么是真的，要么是假的，不能既是真命题又是假命题，也不能模棱两可，无法判断其真假．(2)数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题．2．命题的结构形式(1)数学中的命题大多是：“若p，则q”的形式，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．而数学中的有些命题从形式上看，不是“若p，则q”的形式，但是将它的表述作适当改变，也可以写成“若p，则q”的形式，因此，在研究命题时，不要受其形式的影响．(2)“若p，则q”形式的命题中，p和q本身也可为一个简单命题．(3)并非所有的命题都可写成“若p，则q”型，如“13是有理数”，“5>3”．3．命题真假的判断(1)一个命题的真假与命题所在环境有关．对其进行判断时，要注意命题的前提条件，如“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”在平面几何中是真命题，而在立体几何中却是假命题．(2)关于“若p，则q”型的命题许多命题都可写成“若p，则q”的形式．其中p为条件，q为结论，p和q 本身也可为一个简单命题，这种命题形式明确、简洁，是我们研究命题的主要形式之一．很多命题表面上不是“若p，则q”型的，但是，可以改写成“若p，则q”型，当一个命题改写成“若p则q”的形式之后，判断这种命题的真假的办法：①若由“p”经过逻辑推理得出“q”，则可确定“若p，则q”是真；确定“若p，则q”为假，则只需举一个反例说明即可．②从集合的观点看，我们建立集合A、B与命题中的p、q之间的一种联系：设集合A＝{x|p(x)成立}，B＝{x|q(x)成立}，就是说，A是能使条件p成立的全体对象x所构成的集合，B是能使条件q成立的全体对象x所构成的集合，此时，命题“若p，则q”为真，当且仅当A⊆B时满足．1．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假________的陈述句叫做命题．2．判断为真的语句叫真命题_______，判断为假的语句叫假命题______．3．命题常写成“若p，则q__________”的形式，其中命题中的p叫做命题的条件______，q叫做命题的结论________．考点一命题概念的理解例1判断下列语句是否是命题，并说明理由．(1)求证：3是无理数；(2)x2＋4x＋4≥0；(3)你是高一的学生吗？(4)并非所有的人都喜欢苹果．[分析]由题目可获取以下主要信息：①给定一个语句，②判定其是否为命题并说明理由．解答本题要严格验证该语句是否符合命题的概念．[解析](1)祈使句，不是命题．(2)x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，它包括x2＋4x＋4>0，或x2＋4x＋4＝0，对于x ∈R，可以判断真假，它是命题．(3)是疑问句，不涉及真假，不是命题．(4)是命题，人群中有的人喜欢苹果，也存在着不喜欢苹果的人．[点评] 判定一个语句是否为命题，主要把握以下两点：(1)必须是陈述语句．祈使句、疑问句、感叹句都不是命题．(2)其结论可以判定真或假．含义模糊不清，不能辨其真假的语句，不是命题．另外，并非所有的陈述语句都是命题，凡是在陈述语句中含有比喻、形容等词的词义模糊不清的，都不是命题．跟踪练习：判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)若x <2，则x <1；(2)x 2＋2x －1＝0；(3)存在实数x ，使得不等式x 2－3x ＋1<0成立．[解析] (1)是命题．因为由x <2不能推出x <1，可以作出判断．(2)不是命题．因为字母的性质不明确，所以不是命题．(3)是命题．因为根据不等式的解法我们可以求得不等式x 2－3x ＋1<0的解，所以是命题．考点二 命题真假的判断例2 判断下列命题的真假：①AB →＋BC →＝AC →；②log 2x 2＝2log 2x ；③若m >1，则方程x 2－2x ＋m ＝0无实根；④直线x＋y＝0的倾斜角是π4；⑤若α＝3π4，则sinα＝22；⑥若x∈A，则x∈(A∩B)．[分析]运用数学中的定义、定理、公理、公式等知识进行判断．[解析]①是真命题；②是假命题．如x＝－1时，log2x2＝0，而2log2x＝2log2(－1)无意义；③是真命题．若m>1，则Δ＝4－4m<0；④是假命题．直线x＋y＝0的倾斜角是3π4；⑤是真命题；⑥是假命题．如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}时，1∈A，但1∉A∩B.[点评](1)真命题的判定方法真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．(2)假命题的判定方法通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．另外，一些命题的真假也可以依据客观事实作出判断．跟踪练习：给出下列几个命题：(1)若x，y互为相反数，则x＋y＝0；(2)若a>b，则a2>b2；(3)若x>－3，则x2＋x－6≤0；(4)若a，b是无理数，则a b也是无理数．其中的真命题有________个．[答案] 1[解析](1)是真命题．(2)设a＝1>b＝－2，a>b，但a2<b2，假命题．(3)设x ＝4，显然x>－3，但x2＋x－6＝14>0，假命题．(4)设a＝(2)2，b＝2，则a b＝(2)2＝2是有理数，假命题.考点三命题结构分析例3指出下列命题的条件与结论．(1)负数的平方是正数；(2)正方形的四条边相等．[分析]由题目可获取以下主要信息：①给出了命题的一般简略形式．②找出命题的条件和结论．解答本题的关键是正确改变命题的表述形式．[解析](1)可表述为“若一个数是负数，则这个数的平方是正数”条件为：“一个数是负数”；结论为：“这个数的平方是正数”．(2)可表述为：“若一个四边形是正方形，则这个四边形的四条边相等”．条件为：“一个四边形是正方形”；结论为：“这个四边形的四条边相等”．[点评]一个命题总存在条件和结论两个部分，但是，有的时候条件和结论不是很明显，这时可以把它的表述作适当的改变，写成“若p，则q”的形式，其中p为条件，q为结论．跟踪练习：写出下列命题的条件与结论．(1)质数是奇数；(2)矩形是两条对角线相等的四边形．[解析](1)可表述为：“若一个自然数是质数，则它是奇数”．条件为：“一个自然数是质数”；结论为：“这个自然数是奇数”．(2)可表述为：“若一个四边形是矩形，则它的两条对角线相等．”条件为：“若一个四边形是矩形”；结论为：“这个四边形的两条对角线相等”.例4将下面的命题写成“若p，则q”的形式．当a>0时，函数y＝ax＋b的值随x的增加而增加．[错解]“若p，则q”的形式为：如果a>0，则函数y＝ax＋b的值随x的增加而增加．[辨析]原命题有两个条件：a>0和x增加，其中a>0是大前提，x增加是条件．[正解]“若p，则q”的形式为：当a>0时，若x的值增加，则函数y＝ax ＋b的值也增加．第2课时四种命题及其相互关系1．四种命题的概念关于原命题的逆命题、否命题和逆否命题的写法：首先：把原命题整理成“若p，则q”的形式．其次：(1)“换位”(即交换命题的条件与结论)得到“若q，则p”，即为逆命题；(2)“换质”(即将原命题的条件与结论分别否定后作为条件和结论)得到“若非p，则非q”即为否命题；(3)既“换位”又“换质”(即把原命题的结论否定后作为新命题的条件，条件否定后作为新命题的结论)得到“若非q，则非p”即为逆否命题．注意：①非p常记作⌝p.②只有“若p，则q”形式的命题才研究它的逆命题、否命题、逆否命题．2．要注意否命题与命题的否定是不同的，“命题的否定”只否定结论，而否命题要对条件和结论分别进行否定．“若p，则q”形式的命题其否命题为“若⌝p，则⌝q”．在写一个命题的否定或否命题时要注意一些关键词的否定，后面学习逻辑联结词时还要详加讨论．3．命题的四种形式间的关系(1)命题的四种形式中，哪个是原命题是相对的，不是绝对的；(2)四种命题间有两对互逆关系，两对互否关系，两对互为逆否的关系，互为逆否的两命题同真同假，在判断和证明中要注意它们之间的相互转化．要通过实例去发现四种命题间的关系，并能用命题间的关系去验证写出的命题是否正确．4．间接证明有关问题由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明一个命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真来间接证明原命题为真，即正难则反的思想．1．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题__________，其中一个命题叫做原命题________，另一个叫做原命题的逆命题________．2．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题_________，其中一个命题叫做原命题_______，另一个叫做原命题的否命题_________．3．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题_____________，其中一个命题叫做原命题________，另一个叫做原命题的逆否命题_________．4．原命题为真，它的逆命题不一定________为真．5．原命题为真，它的否命题不一定_______为真．6．原命题为真，它的逆否命题一定______为真．即互为逆否的命题是等价命题，它们同真____同假____，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为逆否______的命题，它们同真____同假_____．考点一命题的四种形式之间的转换例1写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．(1)负数的平方是正数；(2)正方形的四条边相等．[分析]此题的题设和结论不很明显，因此首先将命题改写成“若p，则q”的形式，然后再写出它的逆命题、否命题与逆否命题．[解析](1)改写成“若一个数是负数，则它的平方是正数”．逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．(2)原命题可以写成：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等．逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形．[点评]写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写．在判断原命题及逆命题的真假时，常借助原命题与其逆否命题同真假，逆命题和否命题同真假进行判断．跟踪练习：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)若x2＋y2＝0，则x，y全为0.(2)若a＋b是偶数，则a，b都是偶数．[解析](1)逆命题：若x，y全为0，则x2＋y2＝0；否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为0；逆否命题：若x，y不全为0，则x2＋y2≠0.(2)逆命题：若a，b都是偶数，则a＋b是偶数；否命题：若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数；逆否命题：若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数.考点二四种命题的关系及真假判断例2写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假．(1)菱形的对角线互相垂直；(2)等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．[解析](1)逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直，则它是菱形．是假命题．否命题：若一个四边形不是菱形，则它的对角线不互相垂直．是假命题．逆否命题：若一个四边形的对角线不互相垂直，则这个四边形不是菱形．是真命题．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．是真命题．否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．是真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．是假命题．(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．是假命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的孤．是假命题．逆否命题：若一条直线不平分弦所对的孤，则这条直线不是弦的垂直平分线．是真命题．[点评]①四种命题具有两对互为逆否的关系，所以，判断四种命题的真假时，只需判断出原命题与其逆命题的真假，即可得其他命题的真假．②当一个命题是否定性命题且不易判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假以达到目的．跟踪练习：已知一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题，在这四个命题中()A．真命题个数一定是奇数B．真命题个数一定是偶数C．真命题个数可能是奇数，也可能是偶数D．以上判断都不对[答案] B[解析]因为原命题是真命题，则它的逆否命题一定是真命题，一个命题的逆命题是真命题，则它的否命题一定是真命题，故选B.考点三互为逆否命题同真同假的应用例3判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．[分析]解答本题可以直接进行逻辑推理判断；可以从逆否命题直接判断；也可以先判断原命题的真假，然后利用等价命题的同真同假判断．[解析]解法一：∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.∴方程x2＋2x－3＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．解法二：原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题为“若方程x2＋2x－3m＝0无实数根，则m≤0”．方程x2＋2x－3m＝0无实数根，∴Δ＝4＋12m<0.∴m<－13≤0.∴“若方程x2＋2x－3m＝0无实数根，则m≤0”为真．[点评]本题中解法一利用了原命题与它的逆否命题同真同假的方法解决；解法二是先写出原命题的逆否命题，再判断其真假．跟踪练习：有下列四个命题：(1)“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题；(2)“对顶角相等”的逆命题；(3)“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；(4)“直角三角形的两锐角互为余角”的逆命题．其中真命题的个数是()A．0B．1C．2D．[答案] B[解析](1)“若x＋y≠0，则x与y不是相反数”是真命题．(2)“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题．(3)“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，当x＝4时，x>－3而x2－x－6＝6>0，故是假命题．(4)“若一个三角形的两锐角互为余角，则这个三角形是直角三角形”，真命题．[点评]本题的解法中运用了举反例的办法，如(2)、(3)的解法．举出一个反例说明一个命题不正确是以后经常用到的方法.例4写出命题“已知a、b、c、d是实数，如果a＝b，c＝d，则a＋c＝b ＋d”的逆命题、否命题，并证明它们的真假．[错解]逆命题：如果a＋c＝b＋d，则a、b、c、d是实数，且a＝b，c＝d.假命题．否命题：如果a、b、c、d不是实数，a≠b，c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题．[辨析]上述解法没有弄清命题的条件，将大前提“a、b、c、d是实数”充当了条件．[正解]逆命题：已知a、b、c、d是实数，如果a＋c＝b＋d，则a＝b，c ＝d.假命题．否命题：已知a、b、c、d是实数，如果a≠b，或c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题．。
四种命题
则a+b≠1.
逆否证法
常用的“结论词”与“反设词”列表如 下： 原结论 原结论
词 至少有 一个 至多有 一个 至少有 n个 至多有 n个 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有n-1个
词 对所有x 存在某x不成立 成立 对任意x 存在某x成立 不成立 p或 q p且 q 非p且非q
反设词
至少有n+1个
非p或非q
知识要点：
一、四种命题的概念：
原命题： 若 p 则 q . 逆命题： 若 q 则 p . 否命题： 若 p 则 ┐q .
逆否命题：若 ┐ q 则 ┐p.
举例
二、等价性：
1、原命题为真，它的逆否命题一定真；
2、原命题为真，它的逆命题、否命题不
一定真； 3、一个命题与它的逆否命题是等价的.
举例
三、四种命题之间的关系：
6
至少有一个大于0.
例3、已知正实数a、b、c满足
a+b+c=1，在关系式
3(1-a2)≤4(b+c），
3(1-b2)≤4(c+a)， 3(1-c2)≤4(a+b)中，
试证明至少有一个成立.
例4、已知a和b均为正有理数，且 a和
b 都是无理数，证明 a b是无理数.
例5、证明：若a2+2ab+b2+a+b-2≠0，
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例2、判断下列命题的真假，并写出它 们的逆命题、否命题、逆否命题. （1）若a＞b，则ac2＞bc2；
（2）若在二次函数y=ax2+bx+c中，
b2-4ac＜0，则该二次函数图象
与x轴有公共点.
返回
例3、判断下列命题的真假：
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B：命题（3）是把命题(1）的条件和结论全部否定了,换句话说，命题(3）的条件是命题(1）条件的否定,命题（3）的结论是命题（1）结论的否定。
C:命题（4)是把命题(1)的条件和结论调换后并加以否定了，换句话说，命题（4）的条件是命题(1)结论的否定,命题（４)的结论是命题（1）条件的否定。
问题5：如果我们把命题（１)叫做原命题；(2）叫做逆命题;(3）叫做否命题;(4)叫做逆否命题,那么它们该如何进行严格的定义?
2，正确理解四种命题及其关系；
3,正确理解命题的基本结构。
教学方法:讲授法、讲练结合、探究法、自学法
教学重点：能判断命题的真假
教学难点:以命题为工具,处理简单问题
教学用具:PPT
教学内容
师生活动
备注
设置情境
引例1：请将下列语句分类。
（1)矩形难道不是平行四边形么?
(2)垂直于同一条直线的两条直线平行。
3
同位角不相等
两直线不平行
4
两直线不平行
同位角不相等
讨论：请同学们讨论这四个命题之间的关系。
(如果学生没有线索,讨论混乱，则教师提示先讨论命题(１）和（2）,(1）和（3),（1)和(4)之间的关系)
答案：
Ａ:命题（2)是把命题(1)的条件和结论调换了,换句话说,命题(2）的条件是命题(1）的结论，命题（2）的结论是命题(1)的条件。
例2:请将下列命题改写成“若ｐ,则q”的形式,并判断真假。
（1)垂直于同一条直线的两平面平行;
（2)负数的立方是负数;
(３)对顶角相等;
(4)等边三角形的各边的中线相等;
(5)偶数能被2整除;
（６）奇函数的图像必过原点；
(7)同弧所对的圆周角不相等；
(８）当abc＝0时，a＝0且ｂ=0且c=０；
(9)已知x,y为实数，当y=x+1时,ｘ=2,y=３;
（８）是命题,真命题。
（9)不是命题。ﻩ
（１0）是命题，是假命题。
（11)(１2）不是命题，因为没有做出判断。
(1３）是命题，通过反问的语气对“对顶角相等”做出判断，是真命题。（14)是命题,真命题。虽然没有给x赋值,但是对任意的x都成立。
问题3：判断一个语句是否是命题的条件是什么?
3.判断命题的条件：陈述句和可判断。
(6）若一个函数是奇函数，则这个函数的图像必过原点。 假命题。
（说明:这个函数要在原点有定义才可以。)
(7）若两个角为同弧所对的圆周角，则这两个角不相等。 假命题。
(8）若abc=0,则a=０且b=0且c=0。 假命题。
(９)已知ｘ,ｙ为实数，若y=ｘ+１，则x=2，y=３。 假命题。
(10)若一个四边形是正方形，则这个四边形既是矩形又是菱形。 真命题。
命题的概念及四种命题
———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期：
任课教师
白杰
授课班级
高二（9）、(1０）班
授课日期
1０.8
教学课题：命题的概念及四种命题
教学目标：
1，正确理解命题的概念，并能判断命题的真假;
问题1：如果将(2）、(4）、(５)、(７）、(8）、(9）五个语句再继续分类，该如何分类？
答:(2)、（4)、（５)、(９)能判断对错,(7）、（8）不能够判断对错。
(说明:因为语句中含有未知数x和ｙ，在没给变量赋值前,我们无法判断语句的对错。）
问题2：我们把像（２)、(4)、(5)、(9）这样的语句称作命题，那么命题该怎么定义？
(１１)若一个方程是一元二次方程,则这个方程有两个实数根。 假命题。
引例２:写出下列命题的条件和结论:
(１)同位角相等,两直线平行;
(２)两直线平行,同位角相等；
（3)同位角不相等，两直线不平行;
(4)两直线不平行,同位角不相等。
答案：
命题
条件：（若）
结论：（则）
1
同位角相等
两直线平行
2
两直线平行
同位角相等
例1:下列语句中哪些是命题，那些不是命题？是真命题还是假命题，并说明理由。
１.3>2；
2．5是15的约数；
3．这是一棵大树;
４．π是无限不循环小数；
5．x＋５=8;
6．x2＋3x-2>0；
7.x<ａ；
8．若x=4，则2ｘ>０；
9．把门关上;
1０.平行于同一直线的两条平面一定平行。
11．证明方程:ｘ２+３x-4=0无实数根;
（10)正方形既是矩形又是菱形；
(11)一元二次方程有两个实数根。
解:
（1)若两个平面垂直于同一条直线，则这两平面平行。真命题。
（２）若一个数是负数，则这个数的立方也是负数。真命题。
（3)若两个角是对顶角,则这两个角相等。 真命题。
(4）若三角形是等边三角形，则这个三角形各边的中线相等。真命题。
（5)若一个数是偶数,则这个数能被2整除。 真命题。
一．命题的定义及其分类。
１.定义:我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
问题3：如果将(2)、（４)、(５)、(9)这四个命题分类,该如何分类?
答:(2）和（5)错误，(4)和（9)正确。
２．命题的分类——真假命题。
（１)真命题：判断为真的命题;（2)假命题：判断为假的命题。
1２．向抗击非典的英雄致敬!
13.难道对顶角不相等吗?
１4．-1≤sinx≤1。
答案:
（１）（２）是命题，能判断真假，并且都是真命题。
(3)不是命题。因为大树的概念没有界定，也不能判断其是否正确
(４）是命题,能判断真假,并且都是真命题。
(5)(6)（7）不是命题,因为语句中含有未知数ｘ,在没给变量赋值前，我们无法判断语句的真假。
(3)一个数不是合数就是质数么？
(４)大角所对的边大于小角所对的边。
(5)ｘ+y是无理数，则x,ｙ也都是有理数。
(6)求证ｘ∈R，则x２+x＋1＝0＞０。
（9)x≥0,则｜x|=x。
答：(1）和(3）是疑问句,（6)是祈使句,(2)、（4)、(5）、（７）、(8)、(9）均是陈述句。
问题４：判断一个命题真假的关键是什么?
答：扎实的数学知识和严格的逻辑推理能力。
讲授:观察例1中的命题８：“若ｘ＝4，则2x＞0”,它具有“若┄,则┄”的格式。在本章中,我们只研究具有这种格式的命题。其中x=2是命题的条件我们用小写英文字母p表示，其中2x>0是命题的结论我们用小写英文字母q表示。
4.命题的一种结构:若ｐ，则q。