中考数学命题研究第一编教材知识梳理篇第四章图形的初步认识与三角形、四边形第二节三角形的基本概念及全等
中考数学命题研究第一编教材知识梳理篇第四章图形的初步认识与三角形、四边形第二节三角形的基本概念及全等
第二节三角形的根本概念及全等三角形,贵阳五年中考命题规律)年份题型题号考察点考察内容分值总分2021解答18(1)全等三角形的判定以正方形为背景考察全等三角形的判定5解答24全等三角形性质的应用利用全等三角形的性质探索线段之间的数量关系12172021 选择8三角形全等的判定添加条件判断三角形全等332021未考2021未考2021选择4三角形全等的判定添加条件判断三角形全等33命题规律纵观贵阳市5年中全等的判定仍是考察内容，重点训练及等腰三角形、直角三角形相结合的内容.,贵阳五年中考真题及模拟)三角形全等的判定(4次)1．(2021贵阳4题3分)如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是( B )A．∠BCA＝∠F B．∠B＝∠EC．BC∥EF D．∠A＝∠EDF(第1题图)(第2题图)2．(2021 贵阳8题3分)如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是( B )A．∠A＝∠C B．∠D＝∠BC．AD∥BC D．DF∥BE3．(2021 贵阳适应性考试)在边长为1的正方形网格中标有A，B，C，D，E，F六个格点，根据图中标示的各点位置，及△ABC全等的是( C )A．△ACF B．△ACEC．△ABD D．△CEF4．(2021贵阳模拟卷)如图，：在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF.求证：(1)△AEH≌△CGF；(2)四边形EFGH是菱形．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，在△AEH及△CGF 中，AH＝CF，∠A＝∠C，∴△AEH≌△CGF(SAS)；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D.又∵AE＝CG，AH＝CF，∴BE＝DG，BF＝DH，△BEF及△DGH中，BF＝DH，∠B＝∠D，∴△BEF≌△DGH(SAS)，∴EF＝GH，又由(1)知，△AEH≌△CGF，∴EH＝GF，∴四边形EFGH是平行四边形，∴HG∥EF，∴∠HGE＝∠FEG.∵EG平分∠HEF，∴∠HEG＝∠FEG，∴∠HEG＝∠HGE，∴HE＝HG，∴四边形EFGH是菱形．,中考考点清单)三角形分类及三边关系1．三角形分类(1)按角分类锐角三角形直角三角形钝角三角形(2)按边分类两条边相等的三角形三边相等的三角形三边互不相等的三角形__等腰__三角形__等边__三角形不等边三角形2．三边关系：三角形任意两边之与__大于__第三边，任意两边之差小于第三边，如图，__a＋b__>c，|a－b|<__c__．三角形内角与定理及内外角关系3．内角与定理：三角形的内角与等于__180°__．4．内外角关系：三角形的一个外角__等于__及它不相邻的两个内角之与．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．三角形中的四条重要线段5.四线定义性质图形中线连接一个顶点及它对边中点的线段BD＝DC高线从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段AD⊥BC，即∠ADB＝∠ADC＝90°角平分线一个内角的平分线及这个角的对边相交，顶点及交点之间的线段∠1＝∠2中位线连接三角形两边中点的线段DE∥BC且DE＝21BC全等三角形及其性质6．定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形．7．性质：(1)全等三角形的对应边__相等__，对应角__相等__．(2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等，对应__周长__相等，对应面积__相等__．全等三角形的判定(高频考点)8．三角形全等的判定类型图形条件是否全等形成结论一般三角形的判定A1B1＝A2B2，B1C1＝B2C2，A1C1＝A2C2是__SSS__∠B1＝∠B2，B1C1＝B2C2，∠C1＝∠C2是ASA∠B1＝∠B2，∠C1＝∠C2，A1C1＝A2C2是AASA1B1＝A2B2，∠B1＝∠B2，B1C1＝是__SAS__B2C2直角三角形的判定A1B1＝A2B2，A1C1＝是__HL__A2C2，找任一边→AAS,中考重难点突破)三角形三边关系【例1】(2021贵阳考试说明)如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．假设调整木条的夹角时不破坏此木框，那么任意两个螺丝间距离的最大值为( )A．5 B．6 C．7 D．10【解析】4条木棍的四边长为2、3、4、6；①选2＋3、4、6作为三角形，那么三边长为5、4、6；5－4<6<5＋4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为6；②选3＋4、6、2作为三角形，那么三边长为2、7、6；6－2<7<6＋2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；③选4＋6、2、3作为三角形，那么三边长为10、2、3；2＋3<10，不能构成三角形，此种情况不成立；④选6＋2、3、4作为三角形，那么三边长为8、3、4；而3＋4<8，不能构成三角形，此种情况不成立．综上所述，任意两个螺丝间距离的最大值为7.【学生解答】C1．(2021岳阳中考)以下长度的三根小木棒能构成三角形的是( D )A．2 cm，3 cm，5 cm B．7 cm，4 cm，2 cmC．3 cm，4 cm，8 cm D．3 cm，3 cm，4 cm2．(2021长沙中考)假设一个三角形的两边长分别为3与7，那么第三边长可能是( A )A．6 B．3 C．2 D．113．(2021 玉林中考)在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为20 m，那么AB边的取值范围是( B )A．1 cm<AB<4 cm B．5 cm<AB<10 cmC．4 cm<AB<8 cm D．4 cm<AB<10 cm三角形的内角与外角关系【例2】(2021原创)如图，CD是△ABC外角∠ACE的平分线，AB∥CD，∠A＝50°，那么∠B的大小是( )A．50°B．60°C．40°D．30°【解析】∵AB∥CD，∴∠A＝∠ACD＝50°，又∵CD是△ABC外角∠ACE 的平分线，∴∠ACD＝∠DCE＝50°，∴∠ACE＝2∠ACD＝100°，由三角形内外角关系可得∠B＋∠A＝∠ACE，∴∠B＝∠ACE－∠A＝100°－50°＝50°.【学生解答】A4．(2021乐山中考)如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，假设∠B＝35°，∠ACE＝60°，那么∠A＝( C )A．35°B．95°C．85°D．75°,(第4题图)) ,(第5题图))5．(2021丽水中考)如图，在△ABC中，∠A＝53°，直线MN∥BC，且分别及AB，AC相交于点D，E，假设∠AEN＝133°，那么∠B的度数为__80°__．全等三角形的判定及性质【例3】(2021课本改编)如图，AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是________．(只需写一个，不添加辅助线)【解析】条件开放性问题给出了问题的结论，要求探索使该结论成立所需具备的条件，而满足结论的条件往往不唯一．一般地，依据三角形全等的判定方法及性质，由条件结合图形通过逆向思维找出适宜的条件．【学生解答】∠ABD＝∠CBD或AD＝CD6．(2021金华中考)如图，∠ABC＝∠BAD，添加以下条件还不能判定△ABC ≌△BAD的是( A )A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBAC．∠C＝∠D D．BC＝AD7．(2021宜宾中考)如图，∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC.求证：BC＝AD.证明：∵∠DBA＝∠CAB，∠CBD＝∠DAC，∴∠DBA＋∠CBD＝∠CAB＋∠DAC，即：∠CBA＝∠∵BA＝AB，∠CAB＝∠DBA，∴△CBA≌△DAB，∴BC＝AD.8．(2021武汉中考)如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE.证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，∴BC＝EF，在△ABC与△DEF AC＝DF，∴△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠DEF，∴AB∥DE.中，BC＝EF，9．(2021孝感中考)如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD＝AE.求证：BE＝CD.证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，在△ADB与△AEC AD＝AE，∴△ADB≌△AEC，∴AB＝AC.又AD＝AE，∴AB－AE＝AC－AD，中，∠A＝∠A，即BE＝CD.10．(2021呼与浩特中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)假设EF∥CD，求∠BDC的度数．解：(1)∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°－∠ACD＝∠FCE，在△∠BCD＝∠FCE，∴△BCD≌△FCE(SAS)；(2)由(1)可知△BCD≌△BCD与△FCE中，CD＝CE，FCE，∴∠BDC＝∠E，∵EF∥CD，∴∠E＝180°－∠DCE＝90°，∴∠BDC ＝90°.11．(2021贵阳中考)(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，假设AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB，AC，2AD集中在△ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是__2＜AD＜8__；(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF；(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．解：(1)2<AD<8；(2)延长FD至点M，使DM＝DF，连接EM，BM，在△BMD与△CFD 中．∵点D是BC的中点，∴BD＝CD.∵∠BDM＝∠∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，BE＋GM>EM，∴BE＋CF>EF；(3)BE＋DF＝EF.理由：延长AB至点N，使BN＝DF，在△NBC与△FDC 中，CB＝CD，BN＝DF.∵∠NBC＝∠ABC＝180°，∠D＋∠ABC＝180°，∴∠NBC＝∠D，∴△NBC≌△FDC，∴CN＝CF，∠NCB＝∠FCD.∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，∴∠BCE＋∠FCD＝70°，∴∠NCE＝70°，在△NCE与△FCE中，CN＝CF，∠ECF＝∠NCE＝70°，CE＝CE，∴△NCE≌△FCE，∴EN＝EF.∵BE＋BN＝EN，∴BE＋DF＝EF.。
中考数学复习 第1编 教材知识梳理篇 第4章 图形的初步认识与三角形、四边形 第1节 线段、角、相交
第四章图形的初步认识与三角形、四边形第一节线段、角、相交线和平行线,青海五年中考命题规律)和垂此考点一般,青海五年中考真题)平行线的性质1．(2014青海中考)如图，∠1＝∠2，∠3＝30°，则∠4等于( D)A．120°B．130°C．145°D．150°(第1题图)(第2题图)2．(2015西宁中考)如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°36′，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是( C)A．74°12′B．74°36′C．75°12′D．75°36′3．(2017青海中考)如图，直线a∥b，Rt△ABC的顶点B在直线a上，∠C＝90°，∠β＝55°，则∠α的度数为__35°__．,(第3题图)) ,(第4题图)) 4．(2016青海中考)如图所示，直线AB∥CD，CA平分∠BCD，若∠1＝50°，则∠2＝__65°__．5．(2015青海中考)如图，直线a∥b，直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，且PM垂直于l，若∠1＝58°，则∠2＝__32°__．,中考考点清单)线段与直线1．线段(1)定义：线段的直观形象是拉直的一段线．(2)基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短．(3)线段的和与差：如图①，已知两条线段a和b，且a>b，在直线l上画线段AB＝a，BC＝b，则线段AC就是线段a 与b 的和，即AC ＝__a ＋b__．如图②，在直线l 上画线段AB ＝a ，在AB 上画线段AD ＝b ，则线段DB 就是线段a 与b 的差，即DB ＝a －b.(4)线段的中点：如图③，线段AB 上的一点M ，把线段AB 分成两条线段AM 与MB.如果AM ＝MB ，那么点M 就叫做线段AB 的中点，此时有__AM__＝MB ＝12AB ，AB ＝2AM ＝2MB.2．直线(1)定义：沿线段向两方无限延伸所形成的图形． (2)基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．角及角平分线3．角的分类 (1)分类(2)周角、平角、直角之间的关系和度数 1周角＝2平角＝4直角＝360°， 1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°，1°＝60′，1′＝60″，1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫160°，1″＝⎝ ⎛⎭⎪⎫160′. 4．角平分线的概念及性质(1)定义：如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的角平分线． (2)性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． 警示：到角两边距离相等的点在角平分线上． 5．余角、补角、邻补角(1)余角：A.如果两个角的和为__90°__，那么这两个角互为余角； B ．同角(等角)的余角相等．(2)补角：A.如果两个角的和为__180°__，那么这两个角互为补角； B ．同角(等角)的补角相等．(3)邻补角：A.两个角有一个公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角； B ．互为邻补角的两个角的和为180°.相交线三线八角(如图)6．同位角：∠1与__∠5__，∠2与∠6，∠4与∠8，∠3与∠7.7．内错角：∠2与__∠8__，∠3与∠5.8．同旁内角：∠3与∠8，∠2与__∠5__.9．对顶角：∠1与∠3，∠2与__∠4__，∠5与∠7，∠6与__∠8__．垂线及其性质10．定义：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．11．基本事实：经过直线上或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．12．性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．13．点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段长度．14．线段垂直平分线：(1)定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离__相等__；(2)逆定理：到一条线段的两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．平行线的判定及性质15．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．16．两条平行线之间的距离处处相等．17．性质：(1)两直线平行，同位角相等，即∠1＝__∠2__.(2)两直线平行，内错角相等，即∠2＝__∠3__．(3)两直线平行，同旁内角互补，即∠3＋__∠4__＝180°.18．判定：(1)基本事实：经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行．(2)同位角相等，两直线平行．(3)内错角相等，两直线平行．(4)同旁内角互补，两直线平行．(5)平行于同一条直线的两条直线平行．命题与定理19．命题：判断一件事情的句子叫做命题，命题由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题常写成“如果……那么……”的形式．20．真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题．21．假命题：题设成立，不能保证结论一定成立的命题叫做假命题．22．定理：有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，推理过程叫做证明．【方法技巧】利用平行线性质求角度：先观察要求角与已知角的位置关系，再选择合理的角度进行等量代换，因此需要熟练掌握平行线的性质．另外在解题中要注意平角、直角及三角形内角和、三角形内外角关系等知识的运用．,中考重难点突破)线段、角的有关概念及其性质【例1】(湘西中考)一个角的度数是40°，那么它的余角的补角度数是( )A．130°B．140°C．50°D．90°【解析】若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．依此求出度数．【答案】A1．(2017孝感中考)如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点D，E，射线DF⊥直线c，则图中与∠1互余的角有( A)A．4个B．3个C．2个D．1个(第1题图)(第2题图)2．(2017凉山中考)如图，AB∥CD，则下列式子一定成立的是( D)A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3C．∠1＝∠2＋∠3 D．∠3＝∠1＋∠23．(宜昌中考)如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是( D)A．垂线段最短B．经过一点有无数条直线C．经过两点，有且仅有一条直线D．两点之间，线段最短平行线的性质【例2】(2016西宁中考模拟)如图，直线a∥b，射线DC与直线a相交于点C，过点D作DE⊥b于点E，已知∠1＝25°，则∠2的度数为( )A．115°B．125°C．155°D．165°(例2题图)(例2题解图)【解析】如解图，过点D作c∥a，则∠1＝∠CDB＝25°.又∵a∥b，DE⊥b，∴b∥c，DE⊥c，∴∠2＝∠CDB ＋90°＝115°.【答案】A4．(2017遵义中考)把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1＝30°，则∠2的度数为( D) A．45°B．30°C．20°D．15°(第4题图)(第5题图)5．(咸宁中考)如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠1＝50°，则∠BCD的度数为( C)A．50°B．45°C．40°D．30°6．(2017襄阳中考)如图，BD∥AC，BE平分∠ABD，交AC于点E，若∠A＝50°，则∠1的度数为( A) A．65°B．60°C．55°D．50°(第6题图)(第7题图)7．(苏州中考)如图，直线a∥b，直线l与a，b分别相交于A，B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1＝58°，则∠2的度数为( C)A．58°B．42°C．32°D．28°8．(2017营口中考)如图，已知矩形纸片的一条边经过一个含30°角的直角三角尺的直角顶点，若矩形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，∠2＝115°，则∠1的度数是( B)A．75°B．85°C．60°D．65°(第8题图)(第9题图)9．(2017岳阳中考)如图，点P是∠NOM的边OM上一点，PD⊥ON于点D，∠OPD＝30°，PQ∥ON，则∠MPQ的度数是__60°__．10．(2017重庆中考)如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC＝42°，EF平分∠AED交AB于点F，∠AFE的度数是__69°__．,(第10题图)) ,(第11题图)) 11．(广东中考)如图，直线l1∥l2，若∠1＝130°，∠2＝60°，则∠3＝__70°__．12．(盐城中考)如图，点D，E分别在AB，BC上，DE∥AC，AF∥BC，∠1＝70°，则∠2＝__70__°.,(第12题图)) ,(第13题图)) 13．(连云港中考)如图，AB∥CD，∠1＝62°，FG平分∠EFD，则∠2＝__31__°.14．(郴州中考)如图，直线AB，CD被直线AE所截，AB∥CD，∠A＝110°，则∠1＝__70__°.平行线的实际应用【例3】如图，小明在操场上从A点出发，先沿南偏东30°方向走到B点，再沿南偏东60°方向走到C点，这时，∠ABC的度数是( )A．120°B．135°C．150°D．160°【解析】首先找准方位角，并从中找出互相平行的直线．【答案】C15．将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，则∠AFC的度数为( D)A．45°B．50°C．60°D．75°,(第15题图)) ,(第16题图)) 16．一次数学活动课上，小聪将一副三角板按如图所示方式叠放，则∠α等于( D)A．30°B．45°C．60°D．75°17．(2017枣庄中考)如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是( A)A．15°B．22.5°C．30°D．45°。
人教版九年级数学第四单元《图形的初步认识与三角形》中考知识点梳理
第四单元《图形的初步认识与三角形》中考知识点梳理第14讲平面图形与相交线、平行线一、知识清单梳理第15讲一般三角形及其性质知识点一：三角形的分类及性质关键点拨与对应举例1.三角形的分类（1）按角的关系分类（2）按边的关系分类⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形失分点警示：在运用分类讨论思想计算等腰三角形周长时，必须考虑三角形三边关系.例：等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为15.2.三边关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．3.角的关系（1）内角和定理：①三角形的内角和等180°；②推论：直角三角形的两锐角互余.（2）外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.利用三角形的内、外角的性质求角度时，若所给条件含比例，倍分关系等，列方程求解会更简便.有时也会结合平行、折叠、等腰（边）三角形的性质求解.4.三角形中的重要线段四线性质（1）角平分线、高结合求角度时，注意运用三角形的内角和为180°这一隐含条件.（2）当同一个三角形中出现两条高，求长度时，注意运用面积这个中间量来列方才能够求解. 角平分线（1）角平线上的点到角两边的距离相等（2）三角形的三条角平分线的相交于一点（内心）中线（1）将三角形的面积等分（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半高锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部中位线平行于第三边，且等于第三边的一半5.三角形中内、外角与角平分线的规律总结如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=12∠BAC-∠CAE=12(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=12(∠C-∠B）；如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=12∠A+90°；如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=12∠A，∠O’=12∠O；如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-12∠A.对于解答选择、填空题，可以直接通过结论解题，会起到事半功倍的效果.知识点二 ：三角形全等的性质与判定6.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等．(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． (3)全等三角形的周长等、面积等． 失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.7.三角形全等的判定一般三角形全等 SSS （三边对应相等）SAS （两边和它们的夹角对应相等）ASA （两角和它们的夹角对应相等）AAS （两角和其中一个角的对边对应相等）失分点警示如图，SSA 和AAA 不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等（HL ）(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA 和AAS.8.全等三角形的运用（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件. （2）全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS 可得△ACD ≌△EBD ，则AC=BE.在△ABE 中，AB+BE ＞AE ，即AB+AC ＞2AD. ③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.例：如图，在△ABC 中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=3.第16讲 等腰、等边及直角三角形三、 知识清单梳理知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB ＝AC ∠B ＝∠C ；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高 互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD 是对称轴. （2）判定（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 如：如左图，已知AD ⊥BC,D 为BC 的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC 的一个内角为①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形. 30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.2.等边三角形（1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为9.知识点二：角平分线和垂直平分线3.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．例：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.4.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．知识点三：直角三角形的判定与性质5.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝12AB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝12AB.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2 .（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.6.直角三角形的判定(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.21P COBAPCO BADABC abcDABC abc第17讲 相似三角形知识点一：比例线段关键点拨与对应举例1. 比例线段在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱. 2.比例的基本性质(1)基本性质：a cb d =⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0）(2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c dd ±；（b 、d ≠0）(3)等比性质：a c b d =＝…＝mn ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔......a c mb d n++++++＝k .（b 、d 、···、n ≠0）已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k ,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b 代入求解. 例：若35a b =，则a b b +=85. 3.平行线分线段成比例定理（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DEBC EF=. 利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解. 例：如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE=2，CE=3，要使DE ∥AB ，那么BC ：CD 应等于53.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OBOD OC=. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.4.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACAB ＝=5－12≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．例：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm ．知识点二 ：相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定 (1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF.判定三角形相似的思路：①条件中若有平行 线，可用平行线找出相等的角而判定；②条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中 若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证 明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有 等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例.(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ，AC AB DF DE=，则△ABC ∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC ∽△DEF. F E D CB A l 5l 4l 3l 2l 1ODCBAED CBAFEDC B AFEDC BAFE DC BA6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为9：4.(2) 如图，DE∥BC，AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2.7.相似三角形的基本模型（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.第18讲解直角三角形五、知识清单梳理知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA122232 cosA322212 tanA331 3知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.例：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sin A＝=cosB=ac，cos A＝sinB=bc，tan A＝ab.知识点三：解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.6.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．。
中考数学命题研究第一编教材知识梳理篇第四章图形的初步认识与三角形、四边形第六节矩形、菱形、正方形精试
第六节矩形、菱形、正方形,贵阳五年中考命题规律)年份题型题号考察点考察内容分值总分2021解答18正方形的性质以正方形为背景考察全等三角形的判定，直角三角形的判定10解答22菱形的性质在直角坐标系中，以菱形为背景考察反比例函数、一次函数的有关知识10202021 解答18菱形菱形的性质及判定10102021解答18菱形菱形的性质及判定10102021解答20菱形利用菱形的性质：(1)1010定．命题预测预计2021年中考，特殊的平行四边形内容仍为重点考察内容，且以解答题形式出现，平时训练要加大对性质及判定的训练力度.,贵阳五年中考真题及模拟)菱形的性质及判定(4次)1．(2021贵阳22题10分)如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB 在x轴上，反比例函数y＝x k(x＞0)的图象经过菱形对角线的交点A，且及边BC交于点F，点A的坐标为(4，2)．(1)求反比例函数的表达式；(2)求点F的坐标．解：(1)∵反比例函数y＝x k的图象经过点A，A点的坐标为(4，2)，∴2＝4k，∴k ＝8.∴反比例函数的表达式为y＝x8；(2)过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN ⊥x轴于点N，由题意可知，CN＝2AM＝4，ON＝2OM＝8，∴点C的坐标为C(8，4)，设OB＝x，那么BC＝x，BN＝8－x，在Rt△CNB中，x2－(8－x)2＝42，解得x＝5，∴点B的坐标为B(5，0)，设直线BC的函数表达式为y＝k1x＋b，直线BC过点B(5，0)，C(8，4)，∴8k1＋b＝4，5k1＋b＝0，解得：，20∴直线BC的表达式为yx2＝－1，∵点F在第一象限，∴点F ＝34x－320，根据题意得方程组，8解此方程组得：，4y2＝－8，的坐标为F(6，34)．2．(2021 贵阳18题10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB 的中点，且AE∥CD，CE∥AB.(1)证明：四边形ADCE是菱形；(2)假设∠B＝60°，BC＝6，求菱形ADCE的高．(计算结果保存根号)解：(1)∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝BD＝AD，∴平行四边形ADCE是菱形；(2)如图，过点D作DF⊥CE，垂足为点F，那么DF即为菱形ADCE的高，∵∠B＝60°，CD＝BD，∴△BCD是等边三角形．∵CE∥AB，∴∠BCE＝120°，∴∠DCE＝60°，又∵CD＝BC＝6，∴在Rt△CDF中，DF＝3.3．(2021贵阳18题10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF.(1)求证：四边形ADCF是菱形；(2)假设BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长．解：(1)∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE.∴AE＝CE，DE＝FE，∴四边形ADCF为平行四边形．∵点D，E是AB及AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∵∠ACB＝90°即BC⊥AC，∴DF⊥AC，∴平行四边形ADCF为菱形；(2)∵在Rt△ABC中，BC＝8，AC＝6，∴AB＝10.∵点D是AB 边上的中点，∴AD＝5.∵四边形ADCF为菱形，∴AF＝FC＝AD＝5，∴C四边形＝8＋10＋5＋5＝28.ABCF4．(2021贵阳20题10分)：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：AE＝EC；(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．解：(1)连接AC，∵四边形ABCD为菱形，∴BD垂直平分AC，∴AE＝EC；(2)点F是线段BC的中点，理由如下：易得△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AE＝EC，∠CEF＝60°，∴∠EAC＝21∠BAC＝30°，∴AF是△ABC 的角平分线，∵AF交BC于点F，∴AF是△ABC边BC上的中线，∴点F是线段BC的中点．正方形的性质(2次)5．(2021贵阳模拟卷②15题)如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y＝x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8，4)，阴影三角形局部的面积从左向右依次记为S1，S2，S3，……，S n，那么S n的值为__24n－5__．(用含n的代数式表示，n为正整数) 6．(2021贵阳21题10分)如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC与CD上．(1)求证：CE＝CF；(2)假设等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．解：(1)易证△ABE≌△ADF，∴BE＝DF，又BC＝DC，∴BC－BE＝DC－DF，∴CE＝CF；(2)连接AC，交EF于G点，易得AC⊥EF，EC＝，设BE＝x，那么AB＝x＋，在Rt△ABE中，(x＋)2＋x2＝4，∴x＝26，∴AB＝26＋＝26，∴正方形的周长为2＋2.7．(2021 贵阳适应性考试)如图，E，F是菱形ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF.(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)假设∠DAB＝60°，AD＝6，AE＝DE，求菱形BEDF的周长．解：(1)∵菱形ABCD，∴AB＝AD，对角线AC平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，又∵AE＝AE，∴△ABE≌△ADE，∴BE＝ED.连接BD交AC于点O，那么OD＝OB，OA＝OC，∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，∴OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形，∴▱BEDF为菱形；(2)在菱形ABCD中，连接BD交于AC于O点，∴DB⊥AC，又∵∠DAB＝60°，∴∠DAE＝30°，∠ADB＝60°，∵AD＝6，∴在Rt△ADO中，DO＝21AD＝3，∵AE＝ED，∴∠DAE＝∠ADE，∠ADE＝∠EDO＝30°，在Rt△DEO中，可求得DE＝2，∴菱形BEDF 的周长为8.,中考考点清单)矩形的性质及判定1．定义：把有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．如图(1)．2．性质文字描述字母表示[参考图(1)](1)对边平行且相等AD綊BC，AB綊CD(2)四个内角都是直角__∠DAB__＝∠ABC＝∠BCD ＝∠CDA＝90°(3)两条对角线相等且互相平分AC＝__BD__，OA＝OC＝OB＝OD(4)矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形3.判定文字描述字母表示[参考图(1)](1)有一个角是直角的平行四边形是矩形假设四边形ABCD是平行四边形，且∠BAD＝90°，那么四边形ABCD是矩形(2)有三个角是直角的四边形是矩形假设∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，那么四边形ABCD是矩形(3)对角线相等的平行四边形是矩形假设AC＝__BD__，且四边形ABCD是平行四边形，那么四边形ABCD是矩形菱形的性质及判定(高频考点)4．定义：把有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．如图(2) 5．性质文字描述字母表示[参考图(2)](1)菱形的四条边都相等AB＝__BC__＝CD＝DA(2)对角相等∠DAB＝∠DCB，∠ADC＝__∠ABC__(3)两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角__AC__⊥BD，∠DAC＝∠CAB ＝∠DCA＝∠ACB，∠ADB＝∠BDC＝∠ABD＝∠DBC(4)菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形6．判定文字描述字母表示[参考图(2)](1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形假设四边形ABCD是平行四边形，且AD＝AB，那么四边形ABCD是菱形(2)四条边相等的四边形是菱形假设AB＝BC＝CD＝DA，那么四边形ABCD是菱形(3)两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形假设AC⊥BD，且四边形ABCD 是平行四边形，那么四边形ABCD是菱形正方形的性质及判定7．定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．如图(3)8．性质文字描述字母表示[参考图(3)](1)四条边都相等即AB＝BC＝CD＝DA(2)四个角都是90°即∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝90°(3)对角线互相垂直平分且相等即AC⊥__BD__，OA＝OC＝OD＝OB(4)对角线平分一组对角∠DAC＝∠CAB＝∠DCA＝∠ACB＝∠ADB＝∠BDC＝∠ABD＝∠DBC＝45°(5)正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形9.判定文字描述字母表示[参考图(3)](1)一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形假设四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∠ADC＝90°，那么四边形ABCD是正方形(2)有一个角是直角的__菱形__是正方形假设∠ABC＝90°且四边形ABCD是菱形，那么四边形ABCD是正方形(3)有一组邻边相等的矩形是正方形假设AB＝BC，且四边形ABCD 是矩形，那么四边形ABCD是正方形(4)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形假设四边形ABCD中，AC⊥BD，AC平分BD，BD平分AC，AC＝BD，那么四边形ABCD是正方形,中考重难点突破)矩形的有关计算【例1】(2021天津中考)如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′，DC相交于点E，那么以下结论一定正确的选项是( ) A．∠DAB′＝∠CAB′B．∠ACD＝∠B′CDC．AD＝AED．AE＝CE【解析】由折叠的性质得：∠CAB′＝∠∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB＝∠CAB′，∴AE＝CE.【学生解答】D1．(2021海南中考)如图，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且a ∥b，∠1＝60°，那么∠2的度数为( C )A．30°B．45°C．60°D．75°,(第1题图)) ,(第2题图))2．(2021南充中考)如图，对折矩形纸片ABCD，使AB及DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展开纸片后∠DAG的大小为( C )A．30°B．45°C．60°D．75°3．(2021巴中中考)如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，那么∠E＝__15__°.菱形的性质及判定【例2】(2021南充中考)如图，菱形ABCD的周长是8 cm，AB的长是________cm.【解析】菱形的四边形相等，故AB＝8÷4＝2(cm)．【学生解答】24．(2021无锡中考)以下性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是( C )A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．邻边互相垂直5．(2021雅安中考)如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC＝24 cm，那么四边形ABCD的周长为( A )A．52 cm B．40 cmC．39 cm D．26 cm6．(2021遵义中考)在▱ABCD中，，使▱ABCD成为菱形，以下给出的条件不正确的选项是( C )A．AB＝AD B．AC⊥BDC．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC7．(2021苏州中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)证明：四边形ACDE是平行四边形；(2)AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴AE∥CD，∠AOB ＝90°.又∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，∴∠AOB＝∠EDB，∴DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形；(2)∵∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8，∴△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.正方形的性质及判定【例3】(2021广东中考)如图，正方形ABCD的面积为1，那么以相邻两边中点的连线EF为边的正方形EFGH的周长为( )A. B．2C.＋1 D．2＋1【解析】由题意可知，正方形ABCD的边长为1，那么CE＝CF＝21.由勾股定理，得EF＝＝）21＝22，故正方形EFGH的周长为2.【学生解答】B8．(2021益阳中考)以下判断错误的选项是( D )A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形9．(2021陕西中考)如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，假设M，N是AD上的两点，连接MO，NO，并分别延长交边BC于M′，N′两点，那么图中全等三角形共有( C )A．2对B．3对C．4对D．5对,(第9题图)) ,(第10题图))10．(2021西宁中考)如图，正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC 边上的点，且∠EDF＝45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.假设AE＝1，那么FM的长为__25__．。
中考数学命题研究第一编教材知识梳理篇第四章图形的初步认识与三角形、四边形第二节三角形的基本概念及全等
第二节三角形的基本概念及全等三角形1．(2016聊城中考)如图，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，则∠D的度数为( C )A．28°B．38°C．48°D．88°,(第1题图)) ,(第3题图))2．(2016毕节中考)到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( D )A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条边的垂直平分线的交点3．(2016原创)如图，直线a∥b，∠1＝85°，∠2＝35°，则∠3等于( C )A．85°B．60°C．50°D．35°4．(2016临沂中考)如图，直线AB∥CD，∠A＝40°，∠D＝45°，则∠1的度数是( B ) A．80°B．85°C．90°D．95°,(第4题图)) ,(第5题图))5．(2016内江中考)将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为( A )A．75°B．65°C．45°D．30°6．(2016永州中考)如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD及BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( D )A．∠B＝∠C B．AD＝AEC．BD＝CE D．BE＝CD,(第6题图)) ,(第7题图))7．(2016枣庄中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC及∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于( A )A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°8．(2016广安中考)如图，直线l1∥l2，若∠1＝130°，∠2＝60°，则∠3＝__70°__．,(第8题图)) ,(第9题图))9．(2016长沙中考)如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为__13__．10．(2016金华中考)如图，已知AB∥CD，BC∥DE.若∠A＝20°，∠C＝120°，则∠AED 的度数是__80°__．11．(2016孝感中考)如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD＝AE.求证：BE＝CD.1 / 32 /3 证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEC ＝90°，在△ADB 和△AEC 中，∠A ＝∠A ，AD ＝AE ，∴△ADB≌△AEC(ASA )，∴AB＝AC ，又AD ＝AE ，∴AB－AE ＝AC －AD ，即BE ＝CD.12．(2016昆明中考)如图，点D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE ＝FE ，FC ∥AB.求证：AE ＝CE.证明：∵FC ∥AB ，∴∠A ＝∠FCE.又∵∠AED ＝∠CEF ，∴在△AED 和△CEF 中，DE ＝FE ，∠AED ＝∠CEF ，∴△AED≌△CEF(AAS )，∴AE＝CE.13．(2016重庆中考)如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，CE ∥DF ，EC ＝BD ，AC ＝FD.求证：AE ＝FB.证明：∵CE ∥DF ，∴∠ECA ＝∠BDF ，在△ECA 及△BDF 中，AC ＝FD ，∠ECA ＝∠BDF ，∴△ECA≌△BDF(SAS )，∴AE＝FB.14．(2016南充中考)已知△ABN 和△ACM 位置如图所示，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2. 求证：(1)BD ＝CE ；(2)∠M ＝∠N.证明：(1)∵在△ABD 和△ACE 中，AD ＝AE.∠1＝∠2，∴△ABD≌△ACE(SAS )，∴BD＝CE ；(2)∵△ABD ≌△ACE ，∴∠ADB＝∠AEC.又∵∠MDO ＝∠ADB ，∠NEO＝∠AEC ，∴∠MDO＝∠NEO.∵∠MOD ＝∠NOE ，∴180°－∠MDO －∠MOD ＝180°－∠NEO －∠NOE ，故∠M ＝∠N.15．(2016宜昌中考)杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A 步行到达B 处的过程中，通过隔离带的空隙O ，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下，如图，AB ∥OH ∥CD ，相邻两平行线间的距离相等．AC ，BD 相交于点O ，OD ⊥CD ，垂足为D.已知AB ＝20 m ．请根据上述信息求标语CD 的长度．解：∵AB ∥CD ，∴∠ABO＝∠CDO.又∵OD ⊥CD ，∴∠CDO＝90°，∴∠ABO＝90°，即OB ⊥AB.∵相邻两平行线间的距离相等，∴OB＝OD ，在△ABO 及△CDO中，∠AOB ＝∠COD ，OB ＝OD ，∴△ABO≌△CDO(ASA)，∴CD＝AB＝20(m)．16．(2016南京中考)用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．求证：∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360°.证法1：∵________．∴∠BAE＋∠1＋∠CBF＋∠2＋∠ACD＋∠3＝180°×3＝540°.∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°－(∠1＋∠2＋∠3)．∵________，∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°－180°＝360°请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2.解：∠BAE＋∠1＝∠CBF＋∠2＝∠ACD＋∠3＝180°；∠1＋∠2＋∠3＝180°.证法2：过点A作射线AP，使AP∥BD.∵AP∥BD，∴∠CBF＝∠PAB，∠ACD＝∠EAP.∵∠BAE＋∠PAB ＋∠EAP＝360°，∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360°.3 / 3。
中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第四章图形的初步认识与三角形、四边形第三节等腰三角形与直角三角形
【解析】由线段垂直平分线定理知
AD＝ BD，∴∠ A＝∠ ABD，又∵ AB＝ AC，∴∠ ABC＝∠ ACB，设∠ A＝ x，则 2(x ＋ 15°) ＋ x＝ 180°，∴∠ A＝ x＝50° . 【学生解答】解：∠ A＝ 50°.
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1．( 2016 雅安中考 ) 如图所示 ， 底边 BC为 2 3， 顶角 A 为 120° 的等腰 △ABC中 ， DE垂直平分 AB于点 D，则 △ACE的周长为 ( A )
A． 44° B． 66° C． 88° D． 92°
直角三角形的相关计算 【例 2 】 ( 2015 宿迁中考 ) 如图，在 Rt △ABC中，∠ ACB＝ 90°， AD平分∠ BAC 与 BC 相交于点 D，若 BD＝ 4，
CD＝ 2，求 AB 的长．
,( 例 2 题图 ))
,( 例 2 题解图 )) 【解析】如解图，过 D 作 DE⊥AB，∵∠ ACB＝ 90°， AD平分∠ BAC，∴ DE＝ CD＝ 2，在 Rt△ BDE中， DE＝ 2， BD
第三节 等腰三角形与直角三角形
, 怀化七年中考命题规律 )
年份
题型
题号
考查点
考查内容
分值
总分
掌握三角形
2016
选择
8
等腰三角形
的性质与三
44Βιβλιοθήκη 的性质角形的三边关系
(1) 求直角三
角形两边上 动点之间的
距离的最大 值； (2) 判断
等腰三角形
两动点在何
2015
解答
22
与
处时与直角
8
8
直角三角形
三角形上的
顶点构成等 腰三角形；
(3) 利用相似 三角形的性
中考数学复习 第1编 教材知识梳理篇 第4章 图形的初步认识与三角形、四边形 第2节 三角形的基本概
第二节三角形的基本概念及全等三角形,青海五年中考命题规律)全等三角形式出,青海五年中考真题)三角形的边角关系1．(2015青海中考)已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是( C)A．5 B．6 C．12 D．162．(2016西宁中考)下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆动成三角形的是( D)A．3 cm、4 cm、8 cm B．8 cm、7 cm、15 cmC．5 cm、5 cm、11 cm D．13 cm、12 cm、20 cm3．(2014西宁中考)下列线段能构成三角形的是( B)A．2，2，4 B．3，4，5 C．1，2，3 D．2，3，64．(2017青海中考)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，若∠A＝50°，则∠BOC＝__115°__.(第4题图)(第5题图)5．(2016青海中考)如图，已知∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且AD是∠EAC的平分线，若∠B＝71°，则∠BAC＝__38°__．三角形的四条重要线段6．(2013西宁中考)如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为( A)A．2 B．4 C．6 D．87．(2016西宁中考)如图，已知直角梯形ABCD的一条对角线把梯形分为一个直角三角形和一个以BC为底的等腰三角形．若梯形上底为5，则连接△DBC的两腰中点的线段的长为__5__．全等三角形8．(2013西宁中考)使两个直角三角形全等的条件是( D)A．一锐角对应相等B．两锐角对应相等C．一条边对应相等D．两条边对应相等9.(2015青海中考)如图，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是__AB＝DE或∠A＝∠D或∠ACB＝∠DFE或AC∥FD__．(只需写一个，不添加辅助线)(第9题图)(第10题图)10．(2014青海中考)如图，已知∠C＝∠D，∠CAB＝∠DBA，AD交BC于点O，请写出图中一组相等的线段__BC＝AD或AC＝BD或OA＝OB或OC＝OD__．11．(2013青海中考)如图，BC＝EC，∠1＝∠2，添加一个适当的条件，使△ABC≌△DEC，则需添加的条件是__答案不唯一，如∠A＝∠D__．(不添加任何辅助线)12．(2014青海中考)如图，▱ABCD中，点E在边AB上，点F在AB的延长线上，且AE＝BF.求证：∠ADE＝∠BCF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC且AD∥BC，∴∠DAE ＝∠CBF. 又∵AE＝BF ，∴△DAE ≌△CBF(SAS )， ∴∠ADE ＝∠BCF.13．(2014西宁中考)课间，小明拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图所示． (1)求证：△ADC≌△CEB；(2)从三角板的刻度可知AC ＝25 cm ，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a 的大小．(每块砖的厚度相等)解：(1)由题意得：AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC ＝∠CEB＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE＝90°，∠ACD ＋∠DAC＝90°，∴∠BCE ＝∠CAD.在△ADC 和△CEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC＝∠CEB，∠DAC＝∠ECB，AC ＝CB ，∴△ADC ≌△CEB(AAS )； (2)由题意得：AD ＝4a ，BE ＝3a ， 由(1)得△ADC≌△CEB，∴DC ＝BE ＝3a. 在Rt △ADC 中，AD 2＋DC 2＝AC 2， ∴(4a)2＋(3a)2＝252，即a 2＝25. ∵a ＞0，∴a ＝5.答：砌墙砖块的厚度a 为5 cm .,中考考点清单)三角形分类及三边关系1．三角形分类 (1)按角分类(2)按边分类2．三边关系：三角形任意两边之和__大于__第三边，任意两边之差小于第三边，如图，__a ＋b__>c ，|a －b|<__c__.3.判断几条线段能否构成三角形：运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判断这三条线段能构成一个三角形．三角形内角和定理及内外角关系4．内角和定理：三角形的内角和等于__180°__．5．内外角关系：三角形的一个外角__等于__与它不相邻的两个内角之和．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．三角形中的四条重要线段全等三角形及其性质6．定义能完全重合的两个三角形叫做全等三角形．7．性质(1)全等三角形的对应边__相等__，对应角__相等__；(2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等，周长__相等__，面积__相等__．全等三角形的判定8．三角形全等的判定∠B1【方法技巧】证明三角形全等的思路判定三角形全等⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧已知两边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角→SAS 找直角→HL 或SAS找另一边→SSS已知一边和一角⎩⎪⎨⎪⎧边为角的对边→找任一角→AAS 边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角的另一边→SAS 找夹边的另一角→ASA找边的对角→AAS 已知两角⎩⎪⎨⎪⎧找夹边→ASA 找任一边→AAS,中考重难点突破)三角形三边关系【例1】一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数，则这个三角形的周长为( )A ．10B ．12C ．14 D ．16【解析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，再根据第三边为偶数，求出第三边的长度，从而可求出三角形周长．【答案】C1．(2017舟山中考)长度分别为2，7，x 的三条线段能组成一个三角形，x 的值可以是( C )A ．4B ．5C ．6D ．92．(玉林中考)在等腰△ABC 中，A B ＝AC ，其周长为20 m ，则AB 边的取值范围是( B )A ．1 cm ＜AB ＜4 cm B ．5 cm ＜AB ＜10 cmC ．4 cm ＜AB ＜8 cmD ．4 cm ＜AB ＜10 cm三角形的内角与外角关系【例2】(2018中考预测)如图，CD 是△ABC 外角∠ACE 的平分线，AB∥CD ，∠A ＝50°，则∠B 的大小是( )A ．50°B ．60°C ．40°D ．30°【解析】∵AB∥CD，∴∠A ＝∠ACD＝50°，又∵CD 是△ABC 外角∠ACE 的平分线，∴∠ACD ＝∠DCE＝50°，∴∠ACE ＝2∠ACD＝100°，由三角形内外角关系可得∠B＋∠A＝∠ACE，∴∠B ＝∠ACE －∠A ＝100°－50°＝50°.【答案】A3．(丽水中考)如图，在△ABC 中，∠A ＝63°，直线MN∥BC，且分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，若∠AEN＝133°，则∠B 的度数为__70°__．(第3题图)(第4题图)4．(2017郴州中考)小明把一副45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A ＝45°，∠D ＝30°，则∠α＋∠β等于( B )A ．180°B ．210°C ．360°D ．270°三角形中重要线段的应用【例3】在△ABC 中，D 为AB 的中点，E 为AC 上一点，CE ＝13AC ，BE ，CD 交于点O ，BE ＝5 cm ，则OE ＝________cm .(例3题图)(例3题解图)【解析】如解图，过D 作DF∥BE，那么DF 就是三角形ABE 的中位线，∴DF ＝12BE ，AF ＝EF ，又∵CE＝13AC ，∴CE ＝EF ，∴OE 就是三角形CDF 的中位线，∵OE ＝12DF ＝14BE ＝1.25 cm .【答案】1.255．(2017遵义中考)如图，△ABC 的面积是12，点D ，E ，F ，G 分别是BC ，AD ，BE ，CE 的中点，则△AFG 的面积是( A )A ．4.5B ．5C ．5.5D ．6(第5题图)(第7题图)6．(内江中考)已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为( B )A .32 B .332 C .32D ．不能确定 7．(永州中考)如图，点D ，E 分别在线段AB ，AC 上，CD 与BE 相交于O 点，已知AB ＝AC ，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( D )A ．∠B ＝∠C B ．AD ＝AE C ．BD ＝CE D ．BE ＝CD全等三角形的证明及性质【例4】如图，已知点D 为等腰Rt △ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD＝15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA.若点M 在DE 上，且DC ＝DM ，试探究线段ME 与BD 的数量关系，并说明理由．【解析】连接MC ，先证△BDC≌△ADC，再证△ADC≌△EMC.【答案】解：如图，连接MC.在等腰Rt △ABC 中，∵∠CAD ＝∠CBD＝15°，∴∠BAD ＝∠ABD＝45°－15°＝30°，∴BD ＝AD.又AC ＝B C ，∴△BDC ≌△ADC(SSS )，∴∠DCA ＝∠DCB＝45°，∠EDC ＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°.∵DC ＝DM ，∴△MDC 是等边三角形，即CM ＝CD.又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC ＝180°－∠MDC＝180°－60°＝120°，∴∠EMC ＝∠ADC.又∵CE＝CA ，∴∠DAC ＝∠CEM＝15°，∴△ADC ≌△EMC(AAS )，∴ME ＝AD ＝DB ，∴ME ＝BD.8．(2017孝感中考)如图，已知AB ＝CD ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，BF ＝DE ，求证：AB ∥CD.解：∵AE⊥BD，CF ⊥BD ，∴∠AEB ＝∠CFD＝90°.∵DE ＝BF ，∴DE ＋EF ＝BF ＋EF ，即BE ＝DF.在Rt △AEB 和Rt△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，BE ＝DF ，∴Rt △AEB ≌Rt △CFD(HL )，∴∠B ＝∠D，∴AB ∥CD.9．(2017怀化中考)如图，四边形ABCD 是正方形，△EBC 是等边三角形． (1)求证：△ABE≌△DCE； (2)求∠AED 的度数．解：(1)∵四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等边三角形，∴AB ＝BE ＝CE ＝CD ，∴∠ABE ＝∠DCE＝30°.由⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，∠ABE ＝∠DCE，EB ＝EC ，可知△ABE≌△DCE(SAS )； (2)由(1)知AE ＝DE ，即△AED 为等腰三角形．又∵AB＝BC ＝BE ，∴∠BAE ＝180°－∠ABE2＝75°，则∠DAE＝90°－∠BAE＝15°，∴∠AED ＝180°－2∠DAE ＝150°.10．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE 于点E ，AD ⊥CE 于点D. (1)求证：△BEC≌△CDA；(2)试判断BE ，DE ，AD 三条线段之间的关系．证明：(1)∵∠ACB＝90°，∴∠BCE ＋∠ACD＝90°.∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E ＝∠CDA＝90°.又∵∠BCE＋∠CBE＝90°，∴∠ACD ＝∠CBE.又AC ＝BC ，∴△BEC ≌△CDA(AAS )；(2)由(1)知CE ＝AD.∵CD＋DE ＝CE ，∴CD ＋DE ＝AD.又∵BE＝CD ，∴BE ＋DE ＝AD.11．(2017连云港中考)如图，已知等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AD ＝AE ，连接BE ，CD ，交于点F.(1)判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系，并说明理由； (2)求证：过点A ，F 的直线垂直平分线段BC.解：(1)∠ABE＝∠ACD，∵AB ＝AC ，∠BAE ＝∠CAD ，AE ＝AD ，∴△ABE ≌△ACD ，∴∠ABE ＝∠ACD；(2)∵AB＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB，由(1)可知∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC ＝∠FCB，∴FB ＝FC.又∵AB＝AC ，∴点A ，F 均在线段BC 的垂直平分线上，即直线AF 垂直平分线段BC.12．(2017齐齐哈尔中考)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BD ＝AD ，DG ＝DC ，点E ，F 分别是BG ，AC 的中点．(1)求证：DE ＝DF ，DE ⊥DF ；(2)连接EF ，若AC ＝10，求EF 的长．解：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADB ＝∠ADC＝90°.在△BDG 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝AD ，∠BDG ＝∠ADC，DG ＝DC ，∴△BDG ≌△ADC ，∴BG ＝AC ，∠BGD ＝∠C.∵∠ADB ＝∠ADC＝90°，E ，F 分别是BG ，AC 的中点，∴DE ＝12BG ＝EG ，DF ＝12AC ＝AF.∴DE＝DF ，∠EDG ＝∠EGD＝∠C，∠FDA ＝∠FAD，∴∠EDG ＋∠FDA＝90°，∴DE ⊥DF ；(2)∵AC＝10，∴DE ＝DF ＝5，由勾股定理，得EF ＝DE 2＋DF 2＝5 2.。
中考数学命题研究 第一编 教材知识梳理篇 第四章 图形
第三节等腰三角形与直角三角形,贵阳五年中考命题规律)年份题型题号考查点考查内容分值总分2016解答18(2) 直角三角形的判定以正方形为背景利用全等三角形的性质判定直角三角形5 52015未考2014填空15 等腰直角三角形以等腰直角三角形为背景，结合动点，确定时间4解答24 直角三角形的性质以一副直角三角形为背景，将三角形折叠，求：(1)折痕长；(2)求两线段的最小值；(3)求点到线的距离12 162013解答24 勾股定理以三角形三边长为条件探索三角形的形状12 122012选择8 直角三角形的性质以直角三角形为背景，求线段的长3填空15 等腰三角形的性质以等腰三角形为背景，求角度4 7命题规律纵观贵阳市5年中考，本节内容多以选择、填空、解答题形式出现，其中选择题考查了1次，填空题考查了2次，解答题考了3次，主要涉及等腰直角三角形，直角三角形的性质与判定．命题预测预计2017年贵阳中考，本节内容仍为重点考查内容，主要利用直角三角形的性质进行计算，题型仍以选择、填空题为主.,贵阳五年中考真题及模拟) 直角三角形的有关计算(3次)1．(2012贵阳8题3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝1，则EF的长是( B )A．3 B．2 C. D．1(第1题图)(第2题图)2．(2014贵阳15题4分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC边上的高．动点P 从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t s(0＜t＜8)，则t＝__6__ s时，S1＝2S2.3．(2014贵阳24题12分)如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC＝45°，∠ACD ＝30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F点．若AB＝6 cm.(1)AE的长为__4__cm；(2)试在线段AC上确定一点P，使得DP＋EP的值最小，并求出这个最小值；(3)求点D′到BC的距离．解：∵Rt △ADC 中，∠ACD＝30°，∴∠ADC＝60°.∵E 是CD 边上的中点，∴AE＝DE ，∴△ADE 是等边三角形．∵△ADE 沿着AE 所在直线翻折得到△AD′E，∴△AD′E 是等边三角形．∴∠AED′＝60°，∵∠EAC＝∠DAC －∠EAD ＝30°，∴∠EFA＝90°，即AC 所在直线垂直平分线段ED′，∴点E ，D′关于直线AC 对称．连接DD′交AC 与点P ，∴此时DP ＋EP 值最小，且DP ＋EP ＝DD′.∵△ADE 是等边三角形，AD ＝AE ＝4，∴DD′＝2×AD·cos 30°＝2×4×23＝12，即DP ＋EP 的最小值是12；(3)连接CD′，BD′，过D′作D′G⊥BC 于点G.∵AC 垂直平分ED′，∴AE ＝AD′，CE ＝CD′.∵AE ＝CE ，∴AD′＝CD′＝4.∵AB ＝BC ，BD′＝BD′，∴△ABD′≌△CBD′(SSS )，∴∠D′BG＝45°，∴D′G＝GB.设D′G＝x cm ，则CG ＝(6－x)cm ，∴x 2＋(6－x)2＝(4)2，解得x 1＝3－，x 2＝3＋(不合题意，舍去)．∴点D′到BC 的距离为(3－)cm .勾股定理(1次)4．(2013贵阳24题12分)在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，设c 为最长边，当a 2＋b 2＝c 2时，△ABC 是直角三角形；当a 2＋b 2≠c 2时，利用代数式a 2＋b 2和c 2的大小关系，探究△ABC 的形状(按角分类)．(1)当△ABC 三边分别为6，8，9时，△ABC 为__锐角__三角形；当△ABC 三边分别为6，8，11时，△ABC 为__钝角__三角形；(2)猜想，当a 2＋b 2__>__c 2时，△ABC 为锐角三角形；当a 2＋b 2__<__c 2时，△ABC 为钝角三角形； (3)判断当a ＝2，b ＝4时，△ABC 的形状，并求出对应的c 的取值范围．解：∵c 为最长边，∴4≤c ＜6，①a 2＋b 2＞c 2，即c 2＜20，0＜c ＜2，∴当4≤c<2时，△ABC 是锐角三角形；②a 2＋b 2＝c 2，c 2＝20，c ＝2，∴当c ＝2时，△ABC 是直角三角形；③a 2＋b 2＜c 2，c 2＞20，c ＞2，∴当2＜c ＜6时，△ABC 是钝角三角形．直角三角形的判定(1次)5．(2016贵阳18题10分)如图，点E 是正方形ABCD 外一点，点F 是线段AE 上一点，△EBF 是等腰直角三角形，其中∠EBF ＝90°，连接CE ，CF.(1)求证：△ABF ≌△CBE ；(2)判断△CEF 的形状，并说明理由．证明：(1)略；(2)△CEF 是直角三角形．理由：∵△EBF 是等腰直角三角形，∴∠BFE＝∠FEB ＝45°，∴∠AFB ＝135°.又∵△ABF ≌△CBE ，∴∠CEB＝∠AFB ＝135°，∴∠CEF＝∠CEB －∠FEB ＝135°－45°＝90°，∴△CEF 是直角三角形．等腰三角形的性质(1次)6．(2012贵阳15题4分)如图，在△ABA 1中，∠B ＝20°，AB ＝A 1B ，在A 1B 上取一点C ，延长AA 1到A 2，使得A 1A 2＝A 1C ；在A 2C 上取一点D ，延长A 1A 2到A 3，使得A 2A 3＝A 2D ；……，按此做法进行下去，∠A n 的度数为__2n －180°__．(第6题图)(第7题图)7．(2016贵阳适应性考试)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，BC ＝6，CD 为AB 边上的高，点P 为射线CD 上一动点，当点P 运动到使△ABP 为等腰三角形时，BP 的长度为__4或6__．8．(2016贵阳模拟)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为__(2，4)或(3，4)或(8，4)__．,中考考点清单)等腰三角形的性质与判定(高频考点)1定义有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫腰，第三边为底性质(1)等腰三角形两腰相等(即AB ＝AC)；(2)等腰三角形的两底角相等(即∠B ＝∠C )；(3)等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴；(4)等腰三角形顶角的平分线、底边上的高和底边的中线互相重合；(5)面积：S △ABC ＝21BC ·AD判定如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边相等．(简称“__等角对等边__”)定义 三边相等的三角形是等边三角形性质(1)等边三角形三边相等(即AB ＝BC ＝AC)；(2)等边三角形三角相等，且每一个角都等于60°(即∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°)； (3)等边三角形内、外心重合；(4)等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；(5)面积：S △ABC ＝21BC ·AD判定(1)三边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形直角三角形的性质与判定(高频考点)3定义有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形性质(1)直角三角形的两个锐角之和等于__90°__；(2)直角三角形斜边上的__中线__等于斜边的一半(即BD＝21AC)；(3)直角三角形中__30°__角所对应的直角边等于斜边的一半(即AB＝21AC)；(4)勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2；(5)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°判定(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形；(2)一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；(3)有两个角互余的三角形是直角三角形4.定义顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形性质等腰直角三角形的顶角是直角，两底角为45°判定(1)用定义判定；(2)有两个角为45°的三角形,中考重难点突破)等腰三角形的性质与判定【例1】(2016原创)如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，且∠DBC＝15°，则∠A＝________．【解析】由线段垂直平分线定理知AD＝BD，∴∠A＝∠ABD，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，设∠A＝x，则2(x＋15°)＋x＝180°，∴∠A＝x＝50°.【学生解答】50°1．(2016贵阳模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为( B ) A．30°B．36°C．40° D．45°,(第1题图)) ,(第2题图))2．(2016白银中考)将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB ＝6 cm ，则AC ＝__6__cm .3．(2016遵义中考)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝110°.AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，连接BD ，则∠ABD ＝__35__°.4．(2016襄阳中考)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD ＝CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F. (1)求证：AB ＝AC ；(2)若AD ＝2，∠DAC ＝30°，求AC 的长．解：(1)∵AD 平分∠BAC ，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∵BD ＝CD ，∴Rt △BDE≌Rt △CDF，∴∠B＝∠C ，∴AB＝AC ；(2)∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD⊥BC.在Rt △ADC 中，∵∠DAC＝30°，AD ＝2，∴AC＝cos30°AD＝4.直角三角形的相关计算【例2】(2016河南中考)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，AB ＝10.DE 垂直平分AC 交AB 于点E ，则DE 的长为( )A ．6B ．5C ．4D ．3【解析】根据题意，DE 是AC 的垂直平分线．∵∠ACB ＝90°，∴DE ∥BC ，∴DE 是△ABC 的中位线．∵BC ＝＝6，∴DE ＝21BC ＝3.【学生解答】D5．(2016宁波中考)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ∥AB ，∠ACD ＝40°，则∠B 的度数为( B ) A ．40° B ．50° C ．60° D ．70°,(第5题图)) ,(第6题图))6．(2016南充中考)如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝1，点D ，E 分别是直角边BC ，AC 的中点，则DE 的长为( A )A ．1B ．2C .D ．1＋7．(2016娄底中考)如图，已知在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 沿BC 自B 向C 运动(点D 与点B 、C 不重合)，作BE ⊥AD 于点E ，CF ⊥AD 于点F ，则BE ＋CF 的值( C )A ．不变B ．增大C ．减小D ．先变大再变小,(第7题图)) ,(第8题图))8．(2015广东中考)如图，正方形ABCD 的面积为1，则连接相邻两边中点EF ，以EF 为边的正方形EFGH 的周长为( B )A .B ．2C .＋1D ．2＋19．(2016株洲中考)如图，以直角三角形a 、b 、c 为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S 1＋S 2＝S 3图形个数有( D )A ．1B ．2C ．3D ．410．(2015贵阳考试说明)已知：如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，AB ＝10，D 为△ABC 外一点，连接AD ，BD ，过D 作DH ⊥AB ，垂足为点H ，交AC 于E.若△ABD 是等边三角形，求DE 的长．解：∵△ABD 为等边三角形，AB ＝10，∴∠ADB＝60°，AD ＝AB ＝10，∵DH⊥AB，∴AH＝21AB ＝5，∴DH＝5，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∴∠AEH＝45°，∴EH＝AH ＝5，∴DE＝DH －EH ＝5－5.。
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第二节三角形的基本概念及全等三角形,贵阳五年中考命题规律)年份题型题号考查点考查内容分值总分2016解答18(1)全等三角形的判定以正方形为背景考查全等三角形的判定5解答24全等三角形性质的应用利用全等三角形的性质探索线段之间的数量关系12172015选择8三角形全等的判定添加条件判断三角形全等332014未考2013未考2012选择4三角形全等的判定添加条件判断三角形全等33命题规律纵观贵阳市5年中考，考查本节内容共4次，2016年两次考查了三角形全等的判定及应用，都是综合命题，其中18题第11问判定三角形全等难度不大，第24题阅读理解题利用三角形全等的性质探索线段之间的数量关系难度较大．命题预测预计2017年贵阳市中考，三角形全等的判定仍是考查内容，重点训练及等腰三角形、直角三角形相结合的内容.,贵阳五年中考真题及模拟)三角形全等的判定(4次)1．(2012贵阳4题3分)如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是( B )A．∠BCA＝∠F B．∠B＝∠EC．BC∥EF D．∠A＝∠EDF(第1题图)(第2题图)2．(2015贵阳8题3分)如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是( B )A．∠A＝∠C B．∠D＝∠BC．AD∥BC D．DF∥BE3．(2015贵阳适应性考试)在边长为1的正方形网格中标有A，B，C，D，E，F六个格点，根据图中标示的各点位置，及△ABC全等的是( C )A．△ACF B．△ACEC．△ABD D．△CEF4．(2016贵阳模拟卷)如图，已知：在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF.求证：(1)△AEH≌△CGF；(2)四边形EFGH是菱形．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，在△AEH及△CGF中，AH＝CF，∠A＝∠C，∴△AEH≌△CGF(SAS)；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D.又∵AE＝CG，AH＝CF，∴BE＝DG，BF＝DH，△BEF及△DGH中，BF＝DH，∠B＝∠D，∴△BEF≌△DGH(SAS)，∴EF＝GH，又由(1)知，△AEH≌△CGF，∴EH＝GF，∴四边形EFGH 是平行四边形，∴HG∥EF，∴∠HGE＝∠FEG.∵EG平分∠HEF，∴∠HEG＝∠FEG，∴∠HEG＝∠HGE，∴HE＝HG，∴四边形EFGH是菱形．,中考考点清单)三角形分类及三边关系1．三角形分类(1)按角分类锐角三角形直角三角形钝角三角形(2)按边分类两条边相等的三角形三边相等的三角形三边互不相等的三角形__等腰__三角形__等边__三角形不等边三角形2．三边关系：三角形任意两边之和__大于__第三边，任意两边之差小于第三边，如图，__a＋b__>c，|a－b|<__c__．三角形内角和定理及内外角关系3．内角和定理：三角形的内角和等于__180°__．4．内外角关系：三角形的一个外角__等于__及它不相邻的两个内角之和．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．三角形中的四条重要线段5.四线 定义性质 图形中线 连接一个顶点及它对边中点的线段BD ＝DC 高线 从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段AD ⊥BC ，即∠ADB ＝ ∠ADC ＝90°角平分线 一个内角的平分线及这个角的对边相交，顶点及交点之间的线段∠1＝∠2中 位线 连接三角形两边中点的线段DE ∥BC 且DE ＝21BC全等三角形及其性质6．定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形．7．性质：(1)全等三角形的对应边__相等__，对应角__相等__．(2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等，对应__周长__相等，对应面积__相等__．全等三角形的判定(高频考点)8类型 图形 已知条件是否全等 形成结论一般三角形的判定A 1B 1＝A 2B 2，B 1C 1＝B 2C 2，A 1C 1＝A 2C 2 是__SSS __∠B 1＝∠B 2，B 1C 1＝B 2C 2，∠C 1＝∠C 2 是ASA∠B 1＝∠B 2，∠C 1＝∠C 2，A 1C 1＝A 2C 2 是AASA 1B 1＝A 2B 2，∠B 1＝∠B 2， B 1C 1＝B 2C 2 是__SAS __直角 三角 形的判定A 1B 1＝A 2B 2， A 1C 1＝A 2C 2， 是__HL __,中考重难点突破)三角形三边关系【例1】(2016贵阳考试说明)如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间距离的最大值为( )A ．5B ．6C ．7D ．10【解析】已知4条木棍的四边长为2、3、4、6；①选2＋3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6；5－4<6<5＋4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为6；②选3＋4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6；6－2<7<6＋2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；③选4＋6、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3；2＋3<10，不能构成三角形，此种情况不成立；④选6＋2、3、4作为三角形，则三边长为8、3、4；而3＋4<8，不能构成三角形，此种情况不成立．综上所述，任意两个螺丝间距离的最大值为7. 【学生解答】C1．(2016岳阳中考)下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( D ) A ．2 cm ，3 cm ，5 cm B ．7 cm ，4 cm ，2 cm C ．3 cm ，4 cm ，8 cm D ．3 cm ，3 cm ，4 cm2．(2016长沙中考)若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是( A ) A ．6 B ．3 C ．2 D ．113．(2015玉林中考)在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，其周长为20 m ，则AB 边的取值范围是( B )A ．1 cm <AB<4 cmB ．5 cm <AB<10 cmC ．4 cm <AB<8 cmD ．4 cm <AB<10 cm三角形的内角和外角关系【例2】(2016原创)如图，CD 是△ABC 外角∠ACE 的平分线，AB ∥CD ，∠A ＝50°，则∠B 的大小是( )A ．50°B ．60°C ．40°D ．30°【解析】∵AB∥CD，∴∠A＝∠ACD＝50°，又∵CD是△ABC外角∠ACE的平分线，∴∠ACD＝∠DCE＝50°，∴∠ACE＝2∠ACD＝100°，由三角形内外角关系可得∠B＋∠A＝∠ACE，∴∠B＝∠ACE－∠A＝100°－50°＝50°.【学生解答】A4．(2016乐山中考)如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝( C )A．35°B．95°C．85°D．75°,(第4题图)) ,(第5题图))5．(2016丽水中考)如图，在△ABC中，∠A＝53°，直线MN∥BC，且分别及AB，AC相交于点D，E，若∠AEN＝133°，则∠B的度数为__80°__．全等三角形的判定及性质【例3】(2016课本改编)如图，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是________．(只需写一个，不添加辅助线)【解析】条件开放性问题给出了问题的结论，要求探索使该结论成立所需具备的条件，而满足结论的条件往往不唯一．一般地，依据三角形全等的判定方法及性质，由已知条件结合图形通过逆向思维找出合适的条件．【学生解答】∠ABD＝∠CBD或AD＝CD6．(2016金华中考)如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD 的是( A )A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBAC．∠C＝∠D D．BC＝AD7．(2016宜宾中考)如图，已知∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC.求证：BC＝AD.证明：∵∠DBA＝∠CAB，∠CBD＝∠DAC，∴∠DBA＋∠CBD＝∠CAB＋∠DAC，即：∠CBA ＝∠DAB.又∵BA＝AB，∠CAB＝∠DBA，∴△CBA≌△DAB，∴BC＝AD.8．(2016武汉中考)如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE.AC＝DF，证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠DEF，∴AB∥DE.9．(2016孝感中考)如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD＝AE.求证：BE＝CD.AD＝AE，证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，在△ADB和△AEC中，∠A＝∠A，∴△ADB≌△AEC，∴AB＝AC.又AD＝AE，∴AB－AE＝AC－AD，即BE＝CD.10．(2016呼和浩特中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC 上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．解：(1)∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°，∠BCD＝∠FCE，又∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°－∠ACD＝∠FCE，在△BCD和△FCE中，CD＝CE，∴△BCD≌△FCE(SAS)；(2)由(1)可知△BCD≌△FCE，∴∠BDC＝∠E，∵EF∥CD，∴∠E＝180°－∠DCE＝90°，∴∠BDC＝90°.11．(2016贵阳中考)(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是__2＜AD＜8__；(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF；(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．解：(1)2<AD<8；(2)延长FD至点M，使DM＝DF，连接EM，BM，在△BMD和△CFD中．∵点D是BC的中点，∴BD＝CD.∵∠BDM＝∠CDF，DM＝DF，∴△BMD≌△CFD，∴BM＝DF.又∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，BE＋GM>EM，∴BE＋CF>EF；(3)BE＋DF＝EF.理由：延长AB至点N，使BN＝DF，在△NBC和△FDC中，CB＝CD，BN＝DF.∵∠NBC＝∠ABC＝180°，∠D＋∠ABC＝180°，∴∠NBC＝∠D，∴△NBC≌△FDC，∴CN＝CF，∠NCB＝∠FCD.∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，∴∠BCE＋∠FCD＝70°，∴∠NCE＝70°，在△NCE和△FCE中，CN＝CF，∠ECF＝∠NCE＝70°，CE＝CE，∴△NCE≌△FCE，∴EN＝EF.∵BE＋BN＝EN，∴BE＋DF＝EF.。