理论力学 第五章 点的运动学(合)

第五章 点的运动学
例2 观察摆式运输机的运动
4
第五章 点的运动学
例3 观察行星轮的运动
5
第五章 点的运动学
例4 观察操纵斗的运动
6
第五章 点的运动学
例5 观察飞机的一般运动
7
第五章 点的运动学
例6 观察陀螺的运动特点
8
第五章 点的运动学
二、学习目的
学习动力学的基础 受力分析和运动分析是学习动力学的两大基础。
⋅
τ
+v⋅dτ dt
z 切向加速度 at
第一项反映速度大小随时间的变化率，方向沿切线 方向。
at
=
dvτ
dt
=
d2 sτ
dt2
at
=
dv dt
=
d2 s dt2
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第五章 点的运动学
z 法向加速度 an ——反映速度方向随时间的变化率
an
=
v
dτ
dt
= v lim Δτ
Δt→0 Δt
方向沿主法线正向。
18
第五章 点的运动学
A、B两点沿Ox轴的运动方程：
xA = b + r sin( ωt + θ ) xB = r sin( ωt + θ )
（2）求点B的速度和加速度
vB
=
d xB dt
aB
=
d vB dt
= rω cos( ω t + θ )
= − rω 2 sin( ω t + θ )
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第五章 点的运动学
§5-1 矢量法（矢径法）
M
一、运动方程 r = r (t )
二、轨迹 ——矢端曲线
矢径 r(t) O
三、点的速度
v = d r = r& dt
v M′
r(t + Δt)
四、点的加速度
a = dv dt
= d 2r d t2
= v& = &r&
此法只适用于定性分析，不宜用于定量分析。
12
第五章 点的运动学
学习机械原理和设计传动机构的基础
三、研究方法
不考虑运动原因，只研究运动的几何性质。 （包括运动方程、轨迹、速度和加速度）
9
第五章 点的运动学
四、具体内容
第五章 点的运动学 第六章 刚体的简单运动 第七章 点的合成运动 第八章 刚体的平面运动 另：理论力学（II） 第五章第3节 刚体运动的合成
10
当t =2π/ω （ϕ =2π）时
v = 2rω sin ωt
2
ax = rω 2 sin ωt
ay = rω 2 cos ωt
v=0
ax = 0
a y = rω 2
即：沿地面作纯滚动的轮子与地面接触点的速度为零， 但加速度不为零，且指向轮心。
33
第五章 点的运动学
[例5-3] 列车沿半径为R = 800m的圆弧轨道作匀加速运 动。如初速度为零，经过 2 min后，速度达到 54 km/h。 求起点和末点的加速度。 关键：如何求切向加速度?
= v& z
=
&z&
16
第五章 点的运动学
加速度的大小和方向余弦：
a=
a
2 x
+
a
2 y
+
a
2 z
cos( a , i ) = a x a
cos( a , j ) = a y a
cos( a , k ) = a z a
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第五章 点的运动学
[例5-1] 正弦机构
已知：曲柄OM长为r，绕O轴 匀速转动，它与水平线间的
[讨论] （1） d v 与 d v 有何不同? 就直线和曲线分别说明。
dt dt
d v = a ——点的加速度矢。 dt
对直线、曲线都一样。
d v ——速度大小对时间的变化率 dt 在直线中为加速度大小： d v = a
dt
在曲线中为切向加速度大小： d v dt
=
at
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第五章 点的运动学
（2）点作曲线运动, 画出下列情况下加速度的大致方向。 ① M1点作匀速运动； ② M2点作加速运动； ③ M3点作减速运动。
ρ = v 2 = 4r sin ωt
an
2
31
第五章 点的运动学
（4）运动方程（弧坐标） d s = v d t
如何选取弧坐标的原点？
∫ ∫ s = t v(η ) dη = t 2rω sin ωη dη = 4r(1− cos ωt )
0
0
2
2
(0 ≤ ωt ≤ 2π )
32
讨论：
第五章 点的运动学
22
第五章 点的运动学
思考：自然轴系与固定直角坐标系的共同点？ 自然轴系与固定直角坐标系的不同点？
23
第五章 点的运动学
三、点的速度
v = dr dt
= lim Δ r Δt→ 0 Δ t
= lim ( Δ r ⋅ Δ s ) Δt→ 0 Δ s Δ t
= lim Δ s ⋅ lim Δ r Δt→ 0 Δ t Δt→ 0 Δ s
§5-2 直角坐标法
一、运动方程
x = f1(t) = x(t) y = f2 (t) = y(t)
z = f3 (t) = z(t)
二、轨迹方程
z
M(x, y,z)
k
r
O j
i
z
y
x
x
y
r = xi + yj + zk
消去上式中的参数时间 t，即可求得点的轨迹方程。
ϕ (x, y) = 0
——空间曲线方程
dt dt
dt
Leabharlann Baidu
dt
=
d2 x dt2 i
+ d2 y dt2
j
+
d2 dt
z
2
k
解析表达式： a = a x i + a y j + a z k
ax
=
d vx dt
=
d2 x d t2
=
v& x
=
&x&
ay
=
d vy dt
=
d2 y d t2
=
v& y
=
&y&
az
=
d vz dt
=
d2 z d t2
⑦ at ≡ 0, an = 常数 （匀速曲线运动）
⑧ at = 常数，an = 常数 （匀变速曲线运动）
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第五章 点的运动学
（4）判断下列运动是否可能出现？若能出现，则判断是 什么运动?
(加速曲线运动) (不可能) (匀速曲线运动) (不可能)
(不可能)
(减速曲线运动) (不可能)
39
第五章 点的运动学
14
第五章 点的运动学
求出速度投影后，即可得速度的大小和方向余弦：
v=
v
2 x
+
v
2 y
+
v
2 z
cos( v , i ) = vx v
cos( v , j) = vy v
cos( v , k ) = vz v
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第五章 点的运动学
四、点的加速度
a = d v = d vx i + d vy j + d vz k
ds
=1
ρ
方向？ n
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第五章 点的运动学
an
=
v2
ρ
n
at
=
dvτ
dt
全加速度为：
a = a t + a n = a tτ + a n n
a = at2 + an2
θ = arctan | at |
an
讨论：什么情况下，点作加速运动？ v 、at 同向 什么情况下，点作减速运动？ v 、at 反向
将速度投影再对时间求导，即得加速度在直角坐标
轴上的投影：
ax = &x& = rω 2 sin ωt a y = &y& = rω 2 cos ωt
M点的全加速度为： a =
ax2
+
a
2 y
= rω 2
于是法向加速度为： an =
a2
−
a
2 t
= rω 2 sin ωt
2
另外，还可求得轨迹的曲率半径
M点的运动方程为：
x = OC − O1M cos(ϕ −π / 2) = r(ωt − sinωt)
y = O1C + O1M sin(ϕ − π / 2) = r(1− cosωt)
29
第五章 点的运动学
x = OC − O1M cos(ϕ −π / 2) = r(ωt − sinωt) y = O1C + O1M sin(ϕ − π / 2) = r(1− cosωt)
ψ (y, z) = 0 13
第五章 点的运动学
三、点的速度
r = xi + yj+ zk
v = dr= dxi + d y j+ dz k
dt dt
dt
dt
解析表达式： v = v x i + v y j + v z k
vx
=
dx= dt
x&
vy
=
dy dt
=
y&
vz
=
dz dt
=
z&
即：速度在各坐标 轴上的投影等于动 点的各对应坐标对 时间的一阶导数。
a = at O
M at
θ
末点:
at = 0.125 m/s2
指向？
an
=
15 2 800
=
0 .281 m/s 2
an a
末点的全加速度大小为： a = at2 + an2 = 0.308 m/s2
末点的全加速度与法向的夹角为
tanθ = at = 0.443
θ = 23 o5 4 ′
an
35
第五章 点的运动学
（5）点作直线运动时，若其速度为零，其加速度也为零？ 答：不一定，速度为零时加速度不一定为零。 例如：自由落体上抛到顶点时； 例5-1中正弦机构中B点的速度和加速度。
问：点作曲线运动时，若其速度大小不变，加速度是否 一定为零？
答：加速度不一定为零，只要点作曲线运动，就有法向 加速度。
40
第五章 点的运动学
= v ⋅ lim(Δτ ⋅ Δs )
Δt→0 Δs Δt
= v2 ⋅ lim Δτ
Δt→0 Δs
=
v2
ρ
n
Q| Δτ
|= 2 |τ | sin Δϕ
2
= 2 sin Δϕ
2
当Δt → 0时, Δs → 0, sin Δϕ → Δϕ
22
∴ lim Δτ
Δt→0 Δs
= lim Δϕ
Δs→0 Δs
=
dϕ
= d s ⋅ d r = d s ⋅τ
dt ds dt
Mτ
v M′
ΔrΔs
O
(+)
r (t )
(−)
r(t + Δt)
O
v= ds dt
= v ⋅τ
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第五章 点的运动学
四、点的加速度
a = d v = d (vτ ) = d v ⋅ τ + v ⋅ d τ
d t dt
dt
dt
=
d2 s dt2
夹角ϕ = ω t +θ，其中θ 为t =0 时的夹角，ω为常数。动杆上
A、B两点间距离为b。 求： A、B两点的运动方程及 点B的速度和加速度。
解：（1）求A、B两点的运动方程（取坐标轴Ox如图示）
xA = b + r sin ϕ = b + r sin( ωt + θ )
xB = r sin ϕ = r sin( ωt + θ )
（2）速度
vx = x& = rω (1− cosωt)
vy = y& = rω sin ωt
v=
v
2 x
+
v
2 y
= rω
2
− 2 cosωt
=
2rω
sin
ωt
2
（3）切向、法向加速度
at = v&
= rω 2 cos ωt
2
an
=
rω 2
sin
ωt
2
思考：如何求点M的法向加速度？
30
第五章 点的运动学
27
第五章 点的运动学
28
第五章 点的运动学
[例5-2] 半径为r的轮子沿直线轨道作纯滚动，设轮子
转角ϕ =ωt （ ω为常值），如图所示。求用直角坐标和
弧坐标表示的轮缘上任一点M的运动方程，并求该点的 速度、切向加速度及法向加速度。
解：（1）运动方程
直角坐标系Oxy如图。
OC = MC = rωt
第五章 点的运动学
理 论 力 学(I)
第二部分
运动学
2009年10月8日
1
第五章 点的运动学
引言
一、运动学的研究对象及任务
研究对象 点和刚体（单个刚体、简单刚体系统）
研究任务 z 运动的几何性质； z 运动的合成与分解。 几个工程实例
2
第五章 点的运动学
例1 观察轮缘上点的运动轨迹
3
s
O
正方向：坐标原点O的某一侧为正向。
弧坐标 s ：沿轨迹从O到点M的弧长。
M
(+)
B
弧坐标表示的运动方程 s = f (t) = s(t)
21
二、自然轴系
第五章 点的运动学
切线：单位矢量 τ ，指向与弧坐标正向一致。
主法线：单位矢量 n，正向指向凹侧。
副法线：单位矢量 b ，且满足 b = τ × n 。
xB = r sin( ωt + θ )
vB = rω cos( ω t + θ )
a B = − rω 2 sin( ω t + θ ) = −ω2xB
运动图线
加速度图线 速度图线
20
第五章 点的运动学
§5-3 自然法（弧坐标法）
前提：运动轨迹已知。
一、运动方程
弧坐标
(−)
A
原点O ：轨迹上任选一点。
解：由于列车作匀加速运动，故有切向加速度等于恒量。
dv dt
=
at
dv = atdt
积分得： v = a tt
当t =2min = 120s 时： v = 54 km/h = 15 m/s
at = 0.125 m/s2
34
第五章 点的运动学
起点:
an
=
v0 2 R
=0
a = at = 0.125 m/s2
第五章 点的运动学
第五章 点的运动学
研究对象 ——几何点， 称为运动的点 研究任务 ——研究点在空间运动的几何性质 具体内容
§5-1 矢量法 §5-2 直角坐标法 §5-3 自然法 *§5-4 点的速度和加速度在柱坐标和极坐标中的投影 *§5-5 点的速度和加速度在球坐标中的投影
11
第五章 点的运动学
a3
a2 a1
37
第五章 点的运动学
（3）指出在下列情况下，点M作何种运动?
① an ≡ 0, at = 常数 ② at ≡ 0, ρ = 常数
（匀变速直线运动） （匀速圆周运动）
③ a =0
（匀速直线运动或静止）
④ an ≡ 0, ρ → ∞ ⑤ at ≡ 0 ⑥ ρ = 常数
（直线运动） （匀速运动） （圆周运动）