第4章 单相合金与多相合金的凝固
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1、溶质富集引起界面前液体凝固温度（熔点、液相线温度） 变化。
mL
合金原始成分C0，平衡结晶温度T0，液相线斜率mL
T0 T x Cx C0
mL
Tx T0 mL (Cx C0 ) Tx为成分Cx对应的液相线温度
Tx T0 mL (Cx C0 )
Cx随距离x变化， 液相中只有扩散时：
GL为外界冷却引起的温度梯度(实际温度直线的斜率)
wenku.baidu.com 成分过冷的条件：
Tx
T0
mLC0
(1
k
k
e Rx/ DL
)
GL
dTL (x) dx
x0
GL mLC0 1 k R DL k
TC Tx (Ti GL x)
TC
mLC0 (1 k) [1 exp( k
R DL
x)] GL x
TCmax
k
3、固相无扩散，液相有对流
(a)液相容积足够大；(b)液相容积有限
❖ 如果液相容积很大，则扩散层以外液相中的溶质浓度
❖
CL 接近合金原始 C0 。
❖ 扩散层δ内溶质扩散场可用下式描述:
DL
d2CL dx2
R
dCL dx
0
通解CL
A
B exp(
R DL
x)
δ
•将边界条件代入，得到：
A
CL*
1
CL* C0
第四章 单相合金与多相合金的凝固
Chapter 4 Solidification of single-phase and multi-phase alloys
凝固过程中的传质基本原理
传质控制方程： 菲克第一定律：
jA
D dA
dz
D
dwA dz
JA
D dcA dz
Dc dxA dz
jA—体系中A物质的质量通量密度，kg/(m2.s)
CL*
C0
f k 1 L
(b)凝固开始，(c)T*、fs时，(d)凝固末期 固相内成分不均匀——晶内偏析
2、固相无扩散，液相只有有限扩散而无对流
起始瞬态
稳定态
CS
C0[1 (1 k) exp(
kR DL
x)]
张承甫等，凝固理论与凝固技术，1985
终止瞬态
❖ 凝固进入稳定状态时，
DL
d2CL dx2
mLC0 (1 k ) GL DL
k
R
[1 ln
RmLC0 (1 k ) ] GL DLk
TC
mLC0 (1 k) [1 exp( k
R DL
x)] GL x
影响成分过冷区宽度和过冷度大小的因素： 工艺因素：GL, R 合金本身的因素：DL, mL, k, C0
3、成分过冷的本质
(b)无溶质再分配的界面前过冷情况 ©有成分过冷 （1）溶质富集使平衡结晶温度大为降低，减小了 实际过冷度，甚至阻碍晶体生长。 （2）成分过冷使界面不稳定，将不能保持平面。
Cx
C0
1
1 k
k
exp
R DL
x
Tx
T0
mLC0
(1
k
k
e Rx / DL
)
x=0时， Tx0
T0
mLC0 (1 k
k)
T1
x=∞时， Tx T0
mL
或Ti
2、成分过冷的形成——内因＋外因（冷却速度，G）
mL
Ti
成分过冷度（动力学过冷度ΔTK很小，可忽略时）：
TC Tx (Ti GL x)
稳定界面的推进速率即晶体的生长速率R可由界面上 热平衡方程导出 ：
所以：
GSS GLL R L R GS S GLL
L
式中 λS，λL — 固、液两相的导热系数； ρ，L — 合金的密度和结晶潜热。
2、窄成分过冷区的胞状生长
dTL(x)/dx x=0 GL
T1
TL(x)
GL mLC0 1 k R DL k
JA--体系中A物质的摩尔通量密度，mol/(m2.s)
菲克第二定律：
（非稳态、无总体流动、 无化学反应）
cA t
DAB
(
2cA x 2
2cA y 2
2cA ) z 2
一维稳态分子扩散：
d2 cA d x2
0
JA
DAB
dcA dx
质量传递的动 力是什么？
§4-1 单相合金的凝固
一、 凝固过程中的溶质再分配
三、近平衡凝固时的溶质再分配 1、固相无扩散，液相均匀混合
(CL*
C* S
)df
S
(1
fS )dCL*
CL*
CS* k
dC
* L
dCS* k
dCS*
(1 k
)dfS
CS*
1 fS
ln CS* (k 1) ln(1 fS ) ln D
fs
0时,
C* S
kC0, D kC0
CS* k C0 (1 fS )k1
五、成分过冷对单相合金凝固过程的影响
1、无成分过冷的平面生长 平面生长的条件：
GL mLC0 1 k R DL k
dTL(x)/dx x=0 GL T1
TL(x)
GS T2
ΔTK
图 界面前方无成分过冷时平面 S
生长
a）局部不稳定界面
b）最终稳定界面
S
L (a) 局部不稳定界面 L (b) 最终稳定界面
R dCL dx
0
❖ 式中 x 为离开界面的距离，DL为溶质在液相中的扩散
系数， R为界面推进速度。结合边界条件有通解和特
解分别为：
CL
A
B exp(
R DL
x)
❖
CL
C0
1
1 k
k
exp
R DL
x
（4-15）
❖ DL / R
称作“特性距离”因x
DL R
时，CL
C0
k
e 1 ke
exp(
R DL
)
B CL* C0
1
exp(
R DL
)
CL
CL*
(CL*
C0 )
1 exp( 1 exp(
R DL
R DL
x)
)
❖ 上式两边同减C0，得到界面前液 相内溶质浓度分布方程
CL
C0
1 exp( 1
R DL
x)
CL* C0
1
exp(
R DL
)
(4-16)
δ
❖ 如果液相容积有限，则溶质富集层δ以外的液相成 分，在凝固过程中将不再维持原始合金成分C0值不变 而是逐渐提高。
1、起因：同一温度下的固相与液相溶质的溶解度不同。
溶质分配系数：
k ws CS
wL
CL
C0
二 平衡凝固时溶质的再分配
固相与液相中溶质扩 散充分进行。平衡凝固时 固相和液相的溶质浓度：
CS fS CL fL C0
k CS CL
fS fL 1
CS
1
C0k fs (1 k)
CL
k
C0 fL (1 k)
❖用 则
❖
❖
CL 表示溶质富集层δ以外的液相平均溶质浓度，
CL CL*
CL CL
1 exp( 1
R DL
x)
1
exp(
R DL
)
(4-17)
❖
x 0处：CS* kCL*
CL*
k (1 k
C0 ) exp(
R
)
DL
CS*
k (1 k
kC0 ) exp(
R
)
DL
搅 拌 对 流 愈
四、成分过冷
GS T2 S S
(a) ΔTK
L
(b)
溶质汇集区
L
(c)
图 a）窄成分过冷区的形成 b）平界面在成分过冷作用下失去稳定 c）稳定的胞状界面形态的形成
mL
合金原始成分C0，平衡结晶温度T0，液相线斜率mL
T0 T x Cx C0
mL
Tx T0 mL (Cx C0 ) Tx为成分Cx对应的液相线温度
Tx T0 mL (Cx C0 )
Cx随距离x变化， 液相中只有扩散时：
GL为外界冷却引起的温度梯度(实际温度直线的斜率)
wenku.baidu.com 成分过冷的条件：
Tx
T0
mLC0
(1
k
k
e Rx/ DL
)
GL
dTL (x) dx
x0
GL mLC0 1 k R DL k
TC Tx (Ti GL x)
TC
mLC0 (1 k) [1 exp( k
R DL
x)] GL x
TCmax
k
3、固相无扩散，液相有对流
(a)液相容积足够大；(b)液相容积有限
❖ 如果液相容积很大，则扩散层以外液相中的溶质浓度
❖
CL 接近合金原始 C0 。
❖ 扩散层δ内溶质扩散场可用下式描述:
DL
d2CL dx2
R
dCL dx
0
通解CL
A
B exp(
R DL
x)
δ
•将边界条件代入，得到：
A
CL*
1
CL* C0
第四章 单相合金与多相合金的凝固
Chapter 4 Solidification of single-phase and multi-phase alloys
凝固过程中的传质基本原理
传质控制方程： 菲克第一定律：
jA
D dA
dz
D
dwA dz
JA
D dcA dz
Dc dxA dz
jA—体系中A物质的质量通量密度，kg/(m2.s)
CL*
C0
f k 1 L
(b)凝固开始，(c)T*、fs时，(d)凝固末期 固相内成分不均匀——晶内偏析
2、固相无扩散，液相只有有限扩散而无对流
起始瞬态
稳定态
CS
C0[1 (1 k) exp(
kR DL
x)]
张承甫等，凝固理论与凝固技术，1985
终止瞬态
❖ 凝固进入稳定状态时，
DL
d2CL dx2
mLC0 (1 k ) GL DL
k
R
[1 ln
RmLC0 (1 k ) ] GL DLk
TC
mLC0 (1 k) [1 exp( k
R DL
x)] GL x
影响成分过冷区宽度和过冷度大小的因素： 工艺因素：GL, R 合金本身的因素：DL, mL, k, C0
3、成分过冷的本质
(b)无溶质再分配的界面前过冷情况 ©有成分过冷 （1）溶质富集使平衡结晶温度大为降低，减小了 实际过冷度，甚至阻碍晶体生长。 （2）成分过冷使界面不稳定，将不能保持平面。
Cx
C0
1
1 k
k
exp
R DL
x
Tx
T0
mLC0
(1
k
k
e Rx / DL
)
x=0时， Tx0
T0
mLC0 (1 k
k)
T1
x=∞时， Tx T0
mL
或Ti
2、成分过冷的形成——内因＋外因（冷却速度，G）
mL
Ti
成分过冷度（动力学过冷度ΔTK很小，可忽略时）：
TC Tx (Ti GL x)
稳定界面的推进速率即晶体的生长速率R可由界面上 热平衡方程导出 ：
所以：
GSS GLL R L R GS S GLL
L
式中 λS，λL — 固、液两相的导热系数； ρ，L — 合金的密度和结晶潜热。
2、窄成分过冷区的胞状生长
dTL(x)/dx x=0 GL
T1
TL(x)
GL mLC0 1 k R DL k
JA--体系中A物质的摩尔通量密度，mol/(m2.s)
菲克第二定律：
（非稳态、无总体流动、 无化学反应）
cA t
DAB
(
2cA x 2
2cA y 2
2cA ) z 2
一维稳态分子扩散：
d2 cA d x2
0
JA
DAB
dcA dx
质量传递的动 力是什么？
§4-1 单相合金的凝固
一、 凝固过程中的溶质再分配
三、近平衡凝固时的溶质再分配 1、固相无扩散，液相均匀混合
(CL*
C* S
)df
S
(1
fS )dCL*
CL*
CS* k
dC
* L
dCS* k
dCS*
(1 k
)dfS
CS*
1 fS
ln CS* (k 1) ln(1 fS ) ln D
fs
0时,
C* S
kC0, D kC0
CS* k C0 (1 fS )k1
五、成分过冷对单相合金凝固过程的影响
1、无成分过冷的平面生长 平面生长的条件：
GL mLC0 1 k R DL k
dTL(x)/dx x=0 GL T1
TL(x)
GS T2
ΔTK
图 界面前方无成分过冷时平面 S
生长
a）局部不稳定界面
b）最终稳定界面
S
L (a) 局部不稳定界面 L (b) 最终稳定界面
R dCL dx
0
❖ 式中 x 为离开界面的距离，DL为溶质在液相中的扩散
系数， R为界面推进速度。结合边界条件有通解和特
解分别为：
CL
A
B exp(
R DL
x)
❖
CL
C0
1
1 k
k
exp
R DL
x
（4-15）
❖ DL / R
称作“特性距离”因x
DL R
时，CL
C0
k
e 1 ke
exp(
R DL
)
B CL* C0
1
exp(
R DL
)
CL
CL*
(CL*
C0 )
1 exp( 1 exp(
R DL
R DL
x)
)
❖ 上式两边同减C0，得到界面前液 相内溶质浓度分布方程
CL
C0
1 exp( 1
R DL
x)
CL* C0
1
exp(
R DL
)
(4-16)
δ
❖ 如果液相容积有限，则溶质富集层δ以外的液相成 分，在凝固过程中将不再维持原始合金成分C0值不变 而是逐渐提高。
1、起因：同一温度下的固相与液相溶质的溶解度不同。
溶质分配系数：
k ws CS
wL
CL
C0
二 平衡凝固时溶质的再分配
固相与液相中溶质扩 散充分进行。平衡凝固时 固相和液相的溶质浓度：
CS fS CL fL C0
k CS CL
fS fL 1
CS
1
C0k fs (1 k)
CL
k
C0 fL (1 k)
❖用 则
❖
❖
CL 表示溶质富集层δ以外的液相平均溶质浓度，
CL CL*
CL CL
1 exp( 1
R DL
x)
1
exp(
R DL
)
(4-17)
❖
x 0处：CS* kCL*
CL*
k (1 k
C0 ) exp(
R
)
DL
CS*
k (1 k
kC0 ) exp(
R
)
DL
搅 拌 对 流 愈
四、成分过冷
GS T2 S S
(a) ΔTK
L
(b)
溶质汇集区
L
(c)
图 a）窄成分过冷区的形成 b）平界面在成分过冷作用下失去稳定 c）稳定的胞状界面形态的形成