因式分解法解一元二次方程练习题及答案

用因式分解法解一元二次方程(知识点经典例题综合练习)---详细答案

用因式分解法解一元二次方程【主体知识归纳】1．因式分解法若一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，例如，x 2－9＝0，这个方程可变形为(x ＋3)(x －3)＝0，要(x ＋3)(x －3)等于0，必须并且只需(x ＋3)等于0或(x －3)等于0，因此，解方程(x ＋3)(x －3)＝0就相当于解方程x ＋3＝0或x －3＝0了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2．因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论根据是：若A ·B ＝0A＝0或B ＝0．【基础知识讲解】1．只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．2．在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简便，有的用因式分解法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实际解一元二次方程时，一般不用配方法．而在以后的学习中，会常常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法．【例题精讲】例1：用因式分解法解下列方程：(1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1．解：(1)方程可变形为(y ＋1)(y ＋6)＝0，y ＋1＝0或y ＋6＝0，∴y 1＝－1，y 2＝－6． (2)方程可变形为t (2t －1)－3(2t －1)＝0，(2t －1)(t －3)＝0，2t －1＝0或t －3＝0，∴t 1＝21，t 2＝3．(3)方程可变形为2x 2－3x ＝0．x (2x －3)＝0，x ＝0或2x －3＝0． ∴x 1＝0，x 2＝23．说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2)应用因式分解法解形如(x －a )(x －b )＝c 的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x －e )(x －f )＝0的形式，这时才有x 1＝e ，x 2＝f ，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：- 2 -原方程变形为：2x －1＝1或x －1＝1．∴x 1＝1，x 2＝2．(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t －1)，请同学们思考？例2：用适当方法解下列方程：(1)3(1－x )2＝27；(2)x 2－6x －19＝0；(3)3x 2＝4x ＋1；(4)y 2－15＝2y ；(5)5x (x －3)－(x －3)(x ＋1)＝0；(6)4(3x ＋1)2＝25(x －2)2．剖析：方程(1)用直接开平方法，方程(2)用配方法，方程(3)用公式法，方程(4)化成一般式后用因式分解法，而方程(5)、(6)不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了．解：(1)(1－x )2＝9，(x －1)2＝3，x －1＝±3，∴x 1＝1＋3，x 2＝1－3．(2)移项，得x 2－6x ＝19，配方，得x 2－6x ＋(－3)2＝19＋(－3)2，(x －3)2＝28，x －3＝±27， ∴x 1＝3＋27，x 2＝3－27． (3)移项，得3x 2－4x －1＝0， ∵a ＝3，b ＝－4，c ＝－1，∴x ＝37232)1(34)4()4(2±=⨯-⨯⨯--±--， ∴x 1＝372+，x 2＝372-． (4)移项，得y 2－2y －15＝0，把方程左边因式分解，得(y －5)(y ＋3)＝0； ∴y －5＝0或y ＋3＝0，∴y 1＝5，y 2＝－3．(5)将方程左边因式分解，得(x －3)［5x －(x ＋1)］＝0，(x －3)(4x －1)＝0， ∴x －3＝0或4x －1＝0， ∴x 1＝3，x 2＝41． (6)移项，得4(3x ＋1)2－25(x －2)2＝0，［2(3x ＋1)］2－［5(x －2)］2＝0，［2(3x ＋1)＋5(x －2)］·［2(3x ＋1)－5(x －2)］＝0， (11x －8)(x ＋12)＝0，∴11x －8＝0或x ＋12＝0，∴x 1＝118，x 2＝－12．说明：(1)对于无理系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过要注意二次根式的化简．- 3 -(2)直接因式分解就能转化成两个一次因式乘积等于零的形式，对于这种形式的方程就不必要整理成一般式了．例3:解关于x 的方程：(a 2－b 2)x 2－4abx ＝a 2－b 2．解：(1)当a 2－b 2＝0，即｜a ｜＝｜b ｜时，方程为－4abx ＝0．当a ＝b ＝0时，x 为任意实数．当｜a ｜＝｜b ｜≠0时，x ＝0． (2)当a 2－b 2≠0，即a ＋b ≠0且a －b ≠0时，方程为一元二次方程．分解因式，得［(a ＋b )x ＋(a －b )］［(a －b )x －(a ＋b )］＝0， ∵a ＋b ≠0且a －b ≠0， ∴x 1＝b a a b +-，x 2＝ba ba -+．说明：解字母系数的方程，要注意二次项系数等于零和不等于零的不同情况分别求解．本题实际上是分三种情况，即①a ＝b ＝0；②｜a ｜＝｜b ｜≠0；③｜a ｜≠｜b ｜．例4:已知x 2－xy －2y 2＝0，且x ≠0，y ≠0，求代数式22225252yxy x y xy x ++--的值．剖析：要求代数式的值，只要求出x 、y 的值即可，但从已知条件中显然不能求出，要求代数式的分子、分母是关于x 、y 的二次齐次式，所以知道x 与y 的比值也可．由已知x 2－xy －2y 2＝0因式分解即可得x 与y 的比值．解：由x 2－xy －2y 2＝0，得(x －2y )(x ＋y )＝0，∴x －2y ＝0或x ＋y ＝0，∴x ＝2y 或x ＝－y ．当x ＝2y 时，135y 13y 5y 5y y 22)y 2(y 5y y 22)y 2(y 5xy 2x y 5xy 2x 2222222222-=-=+⋅⋅+-⋅⋅-=++--．当x ＝－y 时，21y 4y 2y 5y )y (2)y (y 5y )y (2)y (y 5xy 2x y 5xy 2x 222222222-=-=+⋅-⋅+--⋅-⋅--=++--2．说明：因式分解法体现了“降次”“化归”的数学思想方法，它不仅可用来解一元二次方程，而且在解一元高次方程、二元二次方程组及有关代数式的计算、证明中也有着广泛的应用．【同步达纲练习】 1．选择题(1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( ) A ．x 1＝－16，x 2＝8 B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－8- 4 -(2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( ) A ．．x ＝21B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝－1(3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( )A ．x 1＝53，x 2＝3 B ．x ＝53C ．x 1＝－53，x 2＝－3D ．x 1＝53，x 2＝－3(4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( ) A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对(5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( ) A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝5(6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．2C ．－4D ．4(7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( ) A ．5B ．5或11C ．6D ．11(8)方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．32．填空题(1)方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________． (3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________． (4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________． (5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________． 3．用因式分解法解下列方程： (1)x 2＋12x ＝0； (2)4x 2－1＝0；(3)x 2＝7x ；(4)x 2－4x －21＝0； (5)(x －1)(x ＋3)＝12； (6)3x 2＋2x －1＝0；(7)10x2－x－3＝0；(8)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．4．用适当方法解下列方程：(1)x2－4x＋3＝0；(2)(x－2)2＝256；(3)x2－3x＋1＝0；(4)x2－2x－3＝0；(5)(2t＋3)2＝3(2t＋3)；(6)(3－y)2＋y2＝9；(7)(1＋2)x2－(1－2)x＝0；(8)5x2－(52＋1)x＋10＝0；(9)2x2－8x＝7(精确到0．01)；(10)(x＋5)2－2(x＋5)－8＝0．5．解关于x的方程：(1)x2－4ax＋3a2＝1－2a；(2)x2＋5x＋k2＝2kx＋5k＋6；(3)x2－2mx－8m2＝0； (4)x2＋(2m＋1)x＋m2＋m＝0．- 5 -- 6 -6．已知x 2＋3xy －4y 2＝0(y ≠0)，试求yx yx +-的值．7．已知(x 2＋y 2)(x 2－1＋y 2)－12＝0．求x 2＋y 2的值．8．请你用三种方法解方程：x (x ＋12)＝864．9．已知x 2＋3x ＋5的值为9，试求3x 2＋9x －2的值．10．一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h (单位：米)与所用的时间t (单位：秒)的关系式h ＝－5(t －2)(t ＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．11．为解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0，我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1＝y ，则y 2＝(x 2－1)2，原方程化为y 2－5y ＋4＝0，解此方程，得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，x 2－1＝1，x 2＝2，∴x ＝±2．当y ＝4时，x 2－1＝4，x 2＝5，∴x ＝±5．∴原方程的解为x 1＝－2，x 2＝2，x 3＝－5，x 4＝5．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． (1)运用上述方法解方程：x 4－3x 2－4＝0．(2)既然可以将x 2－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗- 7 -参考答案【同步达纲练习】1．(1)B (2)C (3)D (4)D (5)B (6)A (7)A (8)D2．(1)t 1＝－7，t 2＝4(2)x 1＝－21，x 2＝－2(3)y 1＝－1，y 2＝－23(4)x 1＝－m ，x 2＝－n (5)x 1＝5，x 2＝－1 3．(1)x 1＝0，x 2＝－12；(2)x 1＝－21，x 2＝21；(3)x 1＝0，x 2＝7；(4)x 1＝7，x 2＝－3；(5)x 1＝－5，x 2＝3；(6)x 1＝－1，x 2＝31；(7)x 1＝53，x 2＝－21；(8)x 1＝8，x 2＝－2．4．(1)x 1＝1，x 2＝3；(2)x 1＝18，x 2＝－14；(3)x 1＝253+，x 2＝253-；(4)x 1＝3，x 2＝－1；(5)t 1＝0，t 2＝－23；(6)y 1＝0，y 2＝3；(7)x 1＝0，x 2＝22－3；(8)x 1＝55，x 2＝10；(9)x 1≈7.24，x 2＝－3.24；(10)x 1＝－1，x 2＝－7．5．(1)x 2－4ax ＋4a 2＝a 2－2a ＋1， (x －2a )2＝(a －1)2， ∴x －2a ＝±(a －1)， ∴x 1＝3a －1，x 2＝a ＋1．(2)x 2＋(5－2k )x ＋k 2－5k －6＝0，x 2＋(5－2k )x ＋(k ＋1)(k －6)＝0，［x －(k ＋1)］［x －(k －6)］＝0， ∴x 1＝k ＋1，x 2＝(k －6)．(3)x 2－2mx ＋m 2＝9m 2，(x －m )2＝(3m )2∴x 1＝4m ，x 2＝－2m(4)x 2＋(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)＝0， (x ＋m )［x ＋(m ＋1)］＝0， ∴x 1＝－m ，x 2＝－m －16．(x ＋4y )(x －y )＝0，x ＝－4y 或x ＝y当x ＝－4y 时，y x y x +-＝3544=+---y y y y ；当x ＝y 时，y x y x +-＝yy yy +-＝0． 7．(x 2＋y 2)(x 2＋y 2－1)－12＝0， (x 2＋y 2)2－(x 2＋y 2)－12＝0， (x 2＋y 2－4)(x 2＋y 2＋3)＝0， ∴x 2＋y 2＝4或x 2＋y 2＝－3(舍去)8．x 1＝－36，x 2＝249．∵x 2＋3x ＋5＝9，∴x 2＋3x ＝4，- 8 -∴3x 2＋9x －2＝3(x 2＋3x )－2＝3×4－2＝1010．10＝－5(t －2)(t ＋1)，∴t ＝1(t ＝0舍去)11．(1)x 1＝－2，x 2＝2(2)(x 2－2)(x 2－5)＝0， (x ＋2)(x －2)(x ＋5)(x －5)＝。

用因式分解法解一元二次方程(知识点经典例题综合练习)---详细答案

用因式分解法解一元二次方程【主体知识归纳】1．因式分解法若一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，例如，x 2－9＝0，这个方程可变形为(x ＋3)(x －3)＝0，要(x ＋3)(x －3)等于0，必须并且只需(x ＋3)等于0或(x －3)等于0，因此，解方程(x ＋3)(x －3)＝0就相当于解方程x ＋3＝0或x －3＝0了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2．因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论根据是：若A ·B ＝0A＝0或B ＝0．【基础知识讲解】1．只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．2．在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简便，有的用因式分解法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实际解一元二次方程时，一般不用配方法．而在以后的学习中，会常常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法．【例题精讲】例1：用因式分解法解下列方程：(1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1．解：(1)方程可变形为(y ＋1)(y ＋6)＝0，y ＋1＝0或y ＋6＝0，∴y 1＝－1，y 2＝－6． (2)方程可变形为t (2t －1)－3(2t －1)＝0，(2t －1)(t －3)＝0，2t －1＝0或t －3＝0，∴t 1＝21，t 2＝3．(3)方程可变形为2x 2－3x ＝0．x (2x －3)＝0，x ＝0或2x －3＝0． ∴x 1＝0，x 2＝23．说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2)应用因式分解法解形如(x －a )(x －b )＝c 的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x －e )(x －f )＝0的形式，这时才有x 1＝e ，x 2＝f ，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：- 2 -原方程变形为：2x －1＝1或x －1＝1．∴x 1＝1，x 2＝2．(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t －1)，请同学们思考？例2：用适当方法解下列方程：(1)3(1－x )2＝27；(2)x 2－6x －19＝0；(3)3x 2＝4x ＋1；(4)y 2－15＝2y ；(5)5x (x －3)－(x －3)(x ＋1)＝0；(6)4(3x ＋1)2＝25(x －2)2．剖析：方程(1)用直接开平方法，方程(2)用配方法，方程(3)用公式法，方程(4)化成一般式后用因式分解法，而方程(5)、(6)不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了．解：(1)(1－x )2＝9，(x －1)2＝3，x －1＝±3，∴x 1＝1＋3，x 2＝1－3．(2)移项，得x 2－6x ＝19，配方，得x 2－6x ＋(－3)2＝19＋(－3)2，(x －3)2＝28，x －3＝±27， ∴x 1＝3＋27，x 2＝3－27． (3)移项，得3x 2－4x －1＝0， ∵a ＝3，b ＝－4，c ＝－1，∴x ＝37232)1(34)4()4(2±=⨯-⨯⨯--±--， ∴x 1＝372+，x 2＝372-． (4)移项，得y 2－2y －15＝0，把方程左边因式分解，得(y －5)(y ＋3)＝0； ∴y －5＝0或y ＋3＝0，∴y 1＝5，y 2＝－3．(5)将方程左边因式分解，得(x －3)［5x －(x ＋1)］＝0，(x －3)(4x －1)＝0， ∴x －3＝0或4x －1＝0， ∴x 1＝3，x 2＝41． (6)移项，得4(3x ＋1)2－25(x －2)2＝0，［2(3x ＋1)］2－［5(x －2)］2＝0，［2(3x ＋1)＋5(x －2)］·［2(3x ＋1)－5(x －2)］＝0， (11x －8)(x ＋12)＝0，∴11x －8＝0或x ＋12＝0，∴x 1＝118，x 2＝－12．说明：(1)对于无理系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过要注意二次根式的化简．- 3 -(2)直接因式分解就能转化成两个一次因式乘积等于零的形式，对于这种形式的方程就不必要整理成一般式了．例3:解关于x 的方程：(a 2－b 2)x 2－4abx ＝a 2－b 2．解：(1)当a 2－b 2＝0，即｜a ｜＝｜b ｜时，方程为－4abx ＝0．当a ＝b ＝0时，x 为任意实数．当｜a ｜＝｜b ｜≠0时，x ＝0． (2)当a 2－b 2≠0，即a ＋b ≠0且a －b ≠0时，方程为一元二次方程．分解因式，得［(a ＋b )x ＋(a －b )］［(a －b )x －(a ＋b )］＝0， ∵a ＋b ≠0且a －b ≠0， ∴x 1＝b a a b +-，x 2＝ba ba -+．说明：解字母系数的方程，要注意二次项系数等于零和不等于零的不同情况分别求解．本题实际上是分三种情况，即①a ＝b ＝0；②｜a ｜＝｜b ｜≠0；③｜a ｜≠｜b ｜．例4:已知x 2－xy －2y 2＝0，且x ≠0，y ≠0，求代数式22225252yxy x y xy x ++--的值．剖析：要求代数式的值，只要求出x 、y 的值即可，但从已知条件中显然不能求出，要求代数式的分子、分母是关于x 、y 的二次齐次式，所以知道x 与y 的比值也可．由已知x 2－xy －2y 2＝0因式分解即可得x 与y 的比值．解：由x 2－xy －2y 2＝0，得(x －2y )(x ＋y )＝0，∴x －2y ＝0或x ＋y ＝0，∴x ＝2y 或x ＝－y ．当x ＝2y 时，135y 13y 5y 5y y 22)y 2(y 5y y 22)y 2(y 5xy 2x y 5xy 2x 2222222222-=-=+⋅⋅+-⋅⋅-=++--．当x ＝－y 时，21y 4y 2y 5y )y (2)y (y 5y )y (2)y (y 5xy 2x y 5xy 2x 222222222-=-=+⋅-⋅+--⋅-⋅--=++--2．说明：因式分解法体现了“降次”“化归”的数学思想方法，它不仅可用来解一元二次方程，而且在解一元高次方程、二元二次方程组及有关代数式的计算、证明中也有着广泛的应用．【同步达纲练习】 1．选择题(1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( ) A ．x 1＝－16，x 2＝8 B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－8- 4 -(2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( ) A ．．x ＝21B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝－1(3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( )A ．x 1＝53，x 2＝3 B ．x ＝53C ．x 1＝－53，x 2＝－3D ．x 1＝53，x 2＝－3(4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( ) A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对(5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( ) A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝5(6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．2C ．－4D ．4(7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( ) A ．5B ．5或11C ．6D ．11(8)方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．32．填空题(1)方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________． (3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________． (4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________． (5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________． 3．用因式分解法解下列方程： (1)x 2＋12x ＝0； (2)4x 2－1＝0；(3)x 2＝7x ；(4)x 2－4x －21＝0； (5)(x －1)(x ＋3)＝12； (6)3x 2＋2x －1＝0；(7)10x2－x－3＝0；(8)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．4．用适当方法解下列方程：(1)x2－4x＋3＝0；(2)(x－2)2＝256；(3)x2－3x＋1＝0；(4)x2－2x－3＝0；(5)(2t＋3)2＝3(2t＋3)；(6)(3－y)2＋y2＝9；(7)(1＋2)x2－(1－2)x＝0；(8)5x2－(52＋1)x＋10＝0；(9)2x2－8x＝7(精确到0．01)；(10)(x＋5)2－2(x＋5)－8＝0．5．解关于x的方程：(1)x2－4ax＋3a2＝1－2a；(2)x2＋5x＋k2＝2kx＋5k＋6；(3)x2－2mx－8m2＝0； (4)x2＋(2m＋1)x＋m2＋m＝0．- 5 -- 6 -6．已知x 2＋3xy －4y 2＝0(y ≠0)，试求yx yx +-的值．7．已知(x 2＋y 2)(x 2－1＋y 2)－12＝0．求x 2＋y 2的值．8．请你用三种方法解方程：x (x ＋12)＝864．9．已知x 2＋3x ＋5的值为9，试求3x 2＋9x －2的值．10．一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h (单位：米)与所用的时间t (单位：秒)的关系式h ＝－5(t －2)(t ＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．11．为解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0，我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1＝y ，则y 2＝(x 2－1)2，原方程化为y 2－5y ＋4＝0，解此方程，得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，x 2－1＝1，x 2＝2，∴x ＝±2．当y ＝4时，x 2－1＝4，x 2＝5，∴x ＝±5．∴原方程的解为x 1＝－2，x 2＝2，x 3＝－5，x 4＝5．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． (1)运用上述方法解方程：x 4－3x 2－4＝0．(2)既然可以将x 2－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗- 7 -参考答案【同步达纲练习】1．(1)B (2)C (3)D (4)D (5)B (6)A (7)A (8)D2．(1)t 1＝－7，t 2＝4(2)x 1＝－21，x 2＝－2(3)y 1＝－1，y 2＝－23(4)x 1＝－m ，x 2＝－n (5)x 1＝5，x 2＝－1 3．(1)x 1＝0，x 2＝－12；(2)x 1＝－21，x 2＝21；(3)x 1＝0，x 2＝7；(4)x 1＝7，x 2＝－3；(5)x 1＝－5，x 2＝3；(6)x 1＝－1，x 2＝31；(7)x 1＝53，x 2＝－21；(8)x 1＝8，x 2＝－2．4．(1)x 1＝1，x 2＝3；(2)x 1＝18，x 2＝－14；(3)x 1＝253+，x 2＝253-；(4)x 1＝3，x 2＝－1；(5)t 1＝0，t 2＝－23；(6)y 1＝0，y 2＝3；(7)x 1＝0，x 2＝22－3；(8)x 1＝55，x 2＝10；(9)x 1≈7.24，x 2＝－3.24；(10)x 1＝－1，x 2＝－7．5．(1)x 2－4ax ＋4a 2＝a 2－2a ＋1， (x －2a )2＝(a －1)2， ∴x －2a ＝±(a －1)， ∴x 1＝3a －1，x 2＝a ＋1．(2)x 2＋(5－2k )x ＋k 2－5k －6＝0，x 2＋(5－2k )x ＋(k ＋1)(k －6)＝0，［x －(k ＋1)］［x －(k －6)］＝0， ∴x 1＝k ＋1，x 2＝(k －6)．(3)x 2－2mx ＋m 2＝9m 2，(x －m )2＝(3m )2∴x 1＝4m ，x 2＝－2m(4)x 2＋(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)＝0， (x ＋m )［x ＋(m ＋1)］＝0， ∴x 1＝－m ，x 2＝－m －16．(x ＋4y )(x －y )＝0，x ＝－4y 或x ＝y当x ＝－4y 时，y x y x +-＝3544=+---y y y y ；当x ＝y 时，y x y x +-＝yy yy +-＝0． 7．(x 2＋y 2)(x 2＋y 2－1)－12＝0， (x 2＋y 2)2－(x 2＋y 2)－12＝0， (x 2＋y 2－4)(x 2＋y 2＋3)＝0， ∴x 2＋y 2＝4或x 2＋y 2＝－3(舍去)8．x 1＝－36，x 2＝249．∵x 2＋3x ＋5＝9，∴x 2＋3x ＝4，- 8 -∴3x 2＋9x －2＝3(x 2＋3x )－2＝3×4－2＝1010．10＝－5(t －2)(t ＋1)，∴t ＝1(t ＝0舍去)11．(1)x 1＝－2，x 2＝2(2)(x 2－2)(x 2－5)＝0， (x ＋2)(x －2)(x ＋5)(x －5)＝。

因式分解解一元二次方程136题

分解因式法解一元二次方程专项练习136题（有答案）1．3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，2．3x（x+2）=5（x+2）3．2x2﹣8x=04.x2﹣3x﹣4=0．5．x2﹣2x﹣3=0．6．x（x﹣3）﹣4（3﹣x）=0，7. 3（x﹣2）2=x（x﹣2）；8. 2x2﹣5x﹣3=09. （3x﹣1）2=（x+1）210. x（x﹣6）=2（x﹣8）11．4+4（1+x）+4（1+x）2=19 12．x2﹣4x﹣5=013. 3（5﹣x）2=2（5﹣x）14.（x﹣3）2=2（3﹣x）．15．2x2+x﹣6=0．16．2x2﹣x﹣1=0；17. 3x（x﹣1）=2（x﹣1）2．18．x（x﹣5）+4x=019． x2﹣2x=020．（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0；21．x2﹣3x=0；22．（x﹣2）2=（2x+3）223．3x2﹣11x﹣4=0．24．2x（x﹣1）﹣x+1=0 25. 2x2+x﹣3=026．x2﹣2x﹣15=0；27. 2x（x﹣3）+x=3．28. x（x﹣3）=15﹣5x；29．（x﹣1）2﹣2（x﹣1）=0 30．x（x﹣2）﹣x+2=0；31. 2x2﹣3x﹣5=0．32.．4x2﹣x﹣1=3x﹣2，33.34.（x﹣3）2﹣2（x﹣1）=x﹣7．35. 3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）=036. 3x2﹣x﹣2=0；37. （x﹣6）2﹣（3﹣2x）2=0．38．（x﹣3）2=5（3﹣x）（x﹣3）2=5（3﹣x）39．（2x+1）2=2（2x+1）40．（3x﹣1）（x﹣1）=（4x+1）（x﹣1）．41．x2﹣x﹣6=0，42．x2﹣8（x+6）=043．2x2﹣6x=0．44．（x﹣3）（x+1）=545．2x2﹣8x=0；46．x2+2x﹣15=047. 2x2﹣5x﹣7=048. 2y（y﹣3）=4（y﹣3）49. x2﹣7x﹣18=050. 3x2+8x﹣3=051． 2x（x﹣3）=9﹣3x 52．x2﹣4x=553. ﹣8x2+10x=054．3x2+4x﹣7=0，55. 3x2﹣5x+2=056. 2（x﹣3）2=x2﹣3x 57．x2=3x；58. （3x﹣2）2=（2x﹣3）259. （y﹣2）2+2y（y﹣2）=060.2y（y+2）=y+2．61. 5x2+3x=062. （3x﹣2）2=（2x﹣3）263. x（x﹣3）=5（x﹣3）；64. （2x+3）2﹣5（2x+3）+4=0．65. （2x﹣7）2﹣5（2x﹣7）+4=066. （3x﹣1）2=x2+6x+967.（2x+2）2=3（2x+2）（x﹣1）68.（x+7）（x﹣3）+4x（x+1）=069.2x（x+3）﹣3（x+3）=070. x﹣2=x（x﹣2）71. x2+8x﹣9=072．x（2x﹣5）=4x﹣10．73．（2x﹣5）2﹣（x+4）2=074．2（x﹣1）2=x2﹣175.76. 4x（2x﹣1）=3（2x﹣1）；77. 2x2+x﹣1=0．78. （3x﹣2）（x+4）=（3x﹣2）（5x ﹣1）；79. （x+1）（x+3）=15．80.x2﹣5x﹣6=081. x2﹣2x=9982. （x﹣3）2﹣4x+12=083. 4（x+1）2=9（x﹣2）284. x2=2x85. （x+4）2=5（x+4）87. 16（x﹣1）2=22588. 4x2﹣4x+1=x2﹣6x+989. 9（x+1）2=4（x﹣1）2（4）x2﹣4x+4=（3﹣2x）290. （x﹣2）2=（3﹣2x）2．91. （x+2）2﹣10（x+2）+25=0 92．x2﹣2（p﹣q）x﹣4pq=0．93．x2+10x+21=0，94．2（x﹣2）2=3（x﹣2）95. 3（x﹣5）2=2（5﹣x），96. ，97. 5x2﹣4x﹣12=0，98. （x ﹣）=5x （﹣x），99．9（x﹣2）2﹣4（x+1）2=0．100．．101．（2）x2﹣8x+15=0；103. 6x2﹣x﹣12=0．104. 2x2﹣x﹣6=0105. ﹣x2+6x﹣5=0106. （x﹣5）2=（2x﹣1）（5﹣x）107. （x+1）（x+2）=3x+6．108. x2﹣9=0，109. x2+3x﹣4=0，110. x2﹣3x+2=0，111. 4（3x﹣1）2 =25（2x+1）2．112. （3x+5）2﹣4（3x+5）+3=0113. （3x+2）（x+3）=x+14114. 3（x+1）2=（x+1）115.（x ﹣2）2﹣4=0116.（x ﹣3）2+2x （x ﹣3）=0117.（3x ﹣1）2=（x+1）2118.（x+5）2﹣2（x+5）﹣8=0．119. x 2﹣8x=9120. （x ﹣2）2=（2x+3）2． 121. x 2﹣3=3（x+1）； 122. （y ﹣3）2+3（y ﹣3）+2=0 123. 7x （5x+2）=6（5x+2） 124．（3）6（x+4）2﹣（x+4）﹣2=0125. x 2﹣（3m ﹣1）x+2m 2﹣m=0，126．x 2﹣2x ﹣224=0． 127.．128．5x （x ﹣3）﹣（x ﹣3）（x+1）=0．129．x 2﹣11x+28=0130. 4y 2﹣25=0；131.（2x+3）2﹣36=0；132. x 2﹣3x+2=0；133. 2t 2﹣7t ﹣4=0；134. 5y （y ﹣1）=2（y ﹣1）135. x 2+（1+2）x+3+=0；136.（x﹣3）2+（x+4）2﹣（x﹣5）2=17x+24．137.x2﹣3|x|﹣4=0 参考答案：1．3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0，x﹣2=0或2x﹣6=0，解得：x1=2，x2=3；2．3x（x+2）=5（x+2）原方程可化为3x（x+2）﹣5（x+2）=0，（3x﹣5）（x+2）=0，解得x1=﹣2，3．2x2﹣8x=0因式分解，得2x（x﹣4）=0，于是得，2x=0或x﹣4=0，即x1=0，x2=4．4. x2﹣3x﹣4=0．因式分解，得（x﹣4）（x+1）=0，于是得，x﹣4=0或x+1=0，解得：x1=4，x2=﹣15．x2﹣2x﹣3=0．原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）=0x﹣3=0，x+1=0∴x1=3，x2=﹣1．6．x（x﹣3）﹣4（3﹣x）=0，（x﹣3）（x+4）=0，x﹣3=0或x+4=0，解得：x1=3，x2=﹣4；7. 3（x﹣2）2=x（x﹣2）；整理得3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0 即（x﹣2）（x﹣3）=0x1=2，x2=38. 2x2﹣5x﹣3=0（2x+1）（x﹣3）=0 x1=﹣0.5，x2=39. （3x﹣1）2=（x+1）2原方程可化为：（3x﹣1）2﹣（x+1）2=0，（3x﹣1+x+1）（3x﹣1﹣x﹣1）=0，∴4x=0或2x﹣2=0，解得：x1=0，x2=1；10. x（x﹣6）=2（x﹣8）x2﹣6x=2x﹣16x2﹣8x+16=0（x﹣4）2=0x1=x2=411．4+4（1+x）+4（1+x）2=19原式可变为4（1+x）2+4（1+x）﹣15=0 [2（1+x）﹣3][2（1+x）+5]=0x1=，x2=﹣12．x2﹣4x﹣5=0（x﹣5）（x+1）=0x﹣5=0或x+1=0x1=5，x2=﹣113. 3（5﹣x）2=2（5﹣x）原方程可变形为：3（5﹣x）2﹣2（5﹣x）=0（5﹣x）[3（5﹣x）﹣2]=0（5﹣x）（13﹣3x）=0则x1=5，x2=14.（x﹣3）2=2（3﹣x）．原式可变为（x﹣3）2﹣2（3﹣x）=0（x﹣3）（x﹣1）=0x1=3，x2=115．2x2+x﹣6=0．2x2+x﹣6=0（x+2）（2x﹣3）=0x+2=0或2x﹣3=0∴x1=﹣2，x2=．16．2x2﹣x﹣1=0；原方程可化为：（x﹣1）（2x+1）=0，x﹣1=0或2x+1=0，解得：x1=1，x2=﹣．17. 3x（x﹣1）=2（x﹣1）2．原方程可化为：3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）2=0，（x﹣1）（3x﹣2x+2）=0，x﹣1=0或x+2=0，解得：x1=1，x2=﹣218．x（x﹣5）+4x=0即x（x﹣5+4）=0x（x﹣1）=0∴x1=0，x2=119． x2﹣2x=0x（x﹣2）=0∴x=0或x﹣2=0∴x1=0，x2=2．20．（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0；原方程可化为：（x﹣3）（x﹣3+2x）=0（x﹣3）（x﹣1）=0x1=3，x2=1．21．x2﹣3x=0；x（x﹣3）=0∴x1=0，x2=322．（x﹣2）2=（2x+3）2（x﹣2）2=（2x+3）2即（x﹣2）2﹣（2x+3）2=0（3x+1）（x+5）=0x1=﹣5，x2=23．3x2﹣11x﹣4=0．把方程3x2﹣11x﹣4=0即（x﹣4）（3x+1）=0，解得x1=4，x2=．24．2x（x﹣1）﹣x+1=0原方程变形为：2x（x﹣1）﹣（x﹣1）=0∴（x﹣1）（2x﹣1）=0∴x﹣1=0或2x﹣1=0解得x1=1，x2=；25. 2x2+x﹣3=0原方程变形为：（x﹣1）（2x+3）=0∴x1=1，x2=26．x2﹣2x﹣15=0；原式可化为：（x﹣5）（x+3）=0得x1=5，x2=﹣327. 2x（x﹣3）+x=3．原式可化为：（x﹣3）（2x+1）=0得，x2=328. x（x﹣3）=15﹣5x；x（x﹣3）=﹣5（x﹣3）（x﹣3）（x+5）=0x1=3，x2=﹣529．（x﹣1）2﹣2（x﹣1）=0（x﹣1）2﹣2（x﹣1）=0，（x﹣1）（x﹣1﹣2）=0，∴x﹣1=0或x﹣3=0，∴x1=1，x2=330．x（x﹣2）﹣x+2=0；原方程可化为：x（x﹣2）﹣（x﹣2）=0，（x﹣2）（x﹣1）=0，解得：x1=2，x2=1；31. 2x2﹣3x﹣5=0．原方程可化为：（2x﹣5）（x+1）=0，2x﹣5=0或x+1=0，解得：x1=，x2=﹣132.．∵4x2﹣x﹣1=3x﹣2，∴4x2﹣4x+1=0即（2x﹣1）2=0，解得33.解：∴∴34.（x﹣3）2﹣2（x﹣1）=x﹣7．移项，合并同类项得，（x﹣3）2﹣3x+9=0，即，（x﹣3）2﹣3（x﹣3）=0，因式分解得，（x﹣3﹣3）（x﹣3）=0则x﹣3=0或（x﹣6）=0，解得，x1=3，x2=6．35. 3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）=0（x﹣2）（3x﹣2）=0x1=2，x2=；36. 3x2﹣x﹣2=0；原方程变形得，（3x+2）（x﹣1）=0∴，x2=1；37. （x﹣6）2﹣（3﹣2x）2=0．原方程变形得，（x﹣6+3﹣2x）（x﹣6﹣3+2x）=0（x+3）（3x﹣9）=0∴x1=3，x2=﹣338．（x﹣3）2=5（3﹣x）（x﹣3）2=5（3﹣x）（x﹣3）2+5（x﹣3）=0（x﹣3）（x+2）=0∴x1=3，x2=﹣2．39．（2x+1）2=2（2x+1）原方程可化为：（2x+1）2﹣2（2x+1）=0，（2x+1）（2x+1﹣2）=0，（2x+1）（2x﹣1）=0，解得：x1=﹣，x2=．40．（3x﹣1）（x﹣1）=（4x+1）（x﹣1）．（3x﹣1）（x﹣1）﹣（4x+1）（x﹣1）=0，（x﹣1）[（3x﹣1）﹣（4x+1）]=0，（x﹣1）（x+2）=0，∴x1=1，x2=﹣2．41．∵x2﹣x﹣6=0，∴（x+2）（x﹣3）=0，∴x+2=0或x﹣3=0，解得x1=3，x2=﹣2．42．x2﹣8（x+6）=0原方程化为x2﹣8x﹣48=0（x+4）（x﹣12）=0解得x1=﹣4，x2=12．43．2x2﹣6x=0．原方程变形为2x（x﹣3）=0∴2x=0或x﹣3=0∴x1=0，x2=344．（x﹣3）（x+1）=5x2﹣2x﹣8=0，（x﹣4）（x+2）=0∴x1=4，x2=﹣2．45．2x2﹣8x=0；因式分解，得2x（x﹣4）=0，2x=0或x﹣4=0，解得，x=0或x=4；46．x2+2x﹣15=0（x+5）（x﹣3）=0x+5=0或x﹣3=0∴x1=﹣5，x2=3；47. 2x2﹣5x﹣7=0因式分解得（x+1）（2x﹣7）=0解得：，x2=﹣1；48. 2y（y﹣3）=4（y﹣3）2y（y﹣3）﹣4（y﹣3）=0（y﹣3）（2y﹣4）=0（2分）∴y1=3，y2=249. x2﹣7x﹣18=0解：（x﹣9）（x+2）=0x﹣9=0或x+2=0∴x1=9，x2=﹣250. 3x2+8x﹣3=0解：方程可以化为（x+3）（3x﹣1）=0 ∴x+3=0或3x﹣1=0即x1=﹣3，x2=．51． 2x（x﹣3）=9﹣3x2x（x﹣3）﹣（9﹣3x）=02x（x﹣3）+3（x﹣3）=0（x﹣3）（2x+3）=0x1=3，x2=﹣52．x2﹣4x=5x2﹣4x﹣5=0（x﹣5）（x+1）=0∴x﹣5=0，x+1=0∴原方程的解为：x1=5，x2=﹣1．53. ﹣8x2+10x=0x（10﹣8x）=0∴x1=0，x2=54．3x2+4x﹣7=0，（x﹣1）（3x+7）=0，x﹣1=0或3x+7=0，解得：55. 3x2﹣5x+2=0原式变形为：（3x﹣2）（x﹣1）=0∴x1=1，x2=56. 2（x﹣3）2=x2﹣3x原方程变形为：2（x﹣3）2=x（x﹣3）（x﹣3）[2（x﹣3）﹣x]=0（x﹣3）（x﹣6）=0∴x1=3，x2=657．（1）x2=3x；移项得，x2﹣3x=0，因式分解得，x（x﹣3）=0，解得，x1=0，x2=3；58. （3x﹣2）2=（2x﹣3）2解：3x﹣2=±（2x﹣3）3x﹣2=2x﹣3或3x﹣2=﹣（2x﹣3）解得：x1=﹣1，x2=1；59. （y﹣2）2+2y（y﹣2）=0解：（y﹣2）（y﹣2+2y）=0解得：y1=2，y2=60.．2y（y+2）=y+2．原方程变形为：2y（y+2）﹣（y+2）=0，即（y+2）（2y﹣1）=0，解得y1=﹣2，y2=．61. 5x2+3x=0x（5x+3）=0，即：x=0或5x+3=0，∴x1=0，x2=﹣．62. （3x﹣2）2=（2x﹣3）2（3x﹣2）2﹣（2x﹣3）2=0，（3x﹣2+2x﹣3）（3x﹣2﹣2x+3）=0，5（x﹣1）（x+1）=0，即：x﹣1=0或x+1=0∴x1=1，x2=﹣163. x（x﹣3）=5（x﹣3）；x（x﹣3）﹣5（x﹣3）=0，（x﹣3）（x﹣5）=0，∴x1=3，x2=5；64. （2x+3）2﹣5（2x+3）+4=0．（2x+3）2﹣5（2x+3）+4=0（2x+3﹣4）（2x+3﹣1）=0（2x﹣1）（x+1）=0，∴x1=，x2=﹣165. （2x﹣7）2﹣5（2x﹣7）+4=0 （2x﹣7﹣4）（2x﹣7﹣1）=0；x2=466. （3x﹣1）2=x2+6x+9（3x﹣1）2﹣（x﹣3）2=0即（2x+1）（x﹣2）=0x1=2，x2=﹣0.567.（2x+2）2=3（2x+2）（x﹣1）（2x+2）2﹣3（2x+2）（x﹣1）=0即（2x+2）【2x+2﹣3（x﹣1）】=0∴（x﹣5）（x+1）=0x1=﹣1，x2=568.（x+7）（x﹣3）+4x（x+1）=0化简：（x+7）（x﹣3）+4x（x+1）=0整理得，5x2+8x﹣21=0，因式分解得，（5x﹣7）（x+3）=0，即5x﹣7=0或x+3=0，所以x1=，x2=﹣3．69.．2x（x+3）﹣3（x+3）=0根据题意，原方程可化为：（x+3）（2x﹣3）=0，∴方程的解为：x1=，x2=﹣370. x﹣2=x（x﹣2）即x﹣2﹣x（x﹣2）=0（x﹣2）（1﹣x）=0x1=2，x2=1；71. x2+8x﹣9=0（x+9）（x﹣1）=0x1=﹣9，x2=172．x（2x﹣5）=4x﹣10．原方程可变形为：x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）=0，（2x﹣5）（x﹣2）=0，2x﹣5=0或x﹣2=0；解得x1=，x2=2．74．（2x﹣5）2﹣（x+4）2=0因式分解，得[（2x﹣5）+（x+4）][（2x﹣5）﹣（x+4）]=0，整理得，（3x﹣1）（x﹣9）=0解得，x1=，x2=9．74．2（x﹣1）2=x2﹣1原方程即为2（x﹣1）2﹣（x2﹣1）=0，2（x﹣1）2﹣（x+1）（x﹣1）=0，（x﹣1）[2（x﹣1）﹣（x+1）]=0，（x﹣1）（x﹣3）=0，x1=1，x2=3；75.（x﹣1）（x ﹣+3）=0，∴x1=1，x2=-376. 4x（2x﹣1）=3（2x﹣1）；原方程可化为：4x（2x﹣1）﹣3（2x﹣1）=0，（2x﹣1）（4x﹣3）=0，2x﹣1=0或4x﹣3=0，解得：，；77. 2x2+x﹣1=0．原方程可化为：（2x﹣1）（x+1）=0，2x﹣1=0或x+1=0，解得：，x2=﹣1．78. （3x﹣2）（x+4）=（3x﹣2）（5x﹣1）；解：（3x﹣2）（x+4）﹣（3x﹣2）（5x﹣1）=0 （3x﹣2）[（x+4）﹣（5x﹣1）]=0（3x﹣2）（﹣4x+5）=03x﹣2=0或﹣4x+5=0；79. （x+1）（x+3）=15．方程整理得：x2+4x﹣12=0（ x+6）（x﹣2）=0x1=﹣6，x2=2．80. x2﹣5x﹣6=0解：（x﹣6）（x+1）=0，x﹣6=0或x+1=0，∴原方程的解是x1=6，x2=﹣1．81. x2﹣2x=99解：（x﹣11）（x+9）=0，x﹣11=0或x+9=0，∴原方程的解是x1=11，x2=﹣9．82. （x﹣3）2﹣4x+12=0解：（x﹣3）2﹣4（x﹣3）=0，（x﹣7）（x﹣3）=0，x﹣3=0或x﹣7=0，∴原方程的解是x1=3，x2=7．83. 4（x+1）2=9（x﹣2）2解：（2x+2）2=（3x﹣6）2，（2x+2+3x﹣6）（2x+2﹣3x+6）=0，即：（5x﹣4）（8﹣x）=0，x=8或x=，∴原方程的解是84. x2=2x移项，得x2﹣2x=0，因式分解，得x（x﹣2）=0，所以x=0或x=2．85. （x+4）2=5（x+4）移项，得，（x+4）2﹣5（x+4）=0，因式分解得，（x+4）[（x+4）﹣5]=0，x+4=0或x﹣1=0，解得，x1=﹣4，x2=187. 16（x﹣1）2=22516（x﹣1）2﹣152=0，所以[4（x﹣1）+15][4（x﹣1）﹣15]=0，即4x+11=0，4x﹣19=0，得x1=﹣，x2=．88. 4x2﹣4x+1=x2﹣6x+9方程变为（2x﹣1）2﹣（x﹣3）2=0，所以[（2x﹣1）+（x﹣3）][（2x﹣1）﹣（x﹣3）]=0，即3x﹣4=0，x+2=0，得x1=，x2=﹣2．89. 9（x+1）2=4（x﹣1）2（4）x2﹣4x+4=（3﹣2x）2原方程变为[3（x+1）]2﹣[2（x﹣1）]2=0，所以[3（x+1）+2（x﹣1）][3（x+1）﹣2（x﹣1）]=0，即（5x+1）（x+5）=0，得x1=﹣，x2=﹣5．90. （x﹣2）2=（3﹣2x）2．（x﹣2）2﹣（3﹣2x）2=0，（x﹣2+3﹣2x）（x﹣2﹣3+2x）=0，（1﹣x）（3x﹣5）=0，所以x1=1，x2=91. （x+2）2﹣10（x+2）+25=0因式分解得，[（x+2）﹣5]2=0，解得，x1=x2=392．x2﹣2（p﹣q）x﹣4pq=0．∵x2﹣2（p﹣q）x﹣4pq=0∴（x﹣2p）（x+2q）=0，∴x1=2p，x2=﹣2q．93．x2+10x+21=0，把左边分解因式得：（x+3）（x+7）=0，则：x+3=0，x+7=0，解得：x1=﹣3，x2=﹣7．94.2（x﹣2）2=3（x﹣2）∵2（x﹣2）2=3（x﹣2），∴（x﹣2）（2x﹣4﹣3）=0，即x﹣2=0或2x﹣7=0，解得：x1=2，x2=；95. 3（x﹣5）2=2（5﹣x），变形得：3（5﹣x）2=2（5﹣x），移项得：3（5﹣x）2﹣2（5﹣x）=0，分解因式得：（5﹣x）（13﹣3x）=0，则：5﹣x=0，13﹣3x=0，解得：x1=5，x2=；96. ，分解因式得：（x ﹣）（x ﹣）=0，则x ﹣=0，x ﹣=0，解得：x1=，x2=．97. 5x2﹣4x﹣12=0，（5x+6）（x﹣2）=0，5x+6=0，x﹣2=0，x1=﹣，x2=2．98. （x ﹣）=5x （﹣x），（x ﹣）+5x（x ﹣）=0，（x ﹣）（1+5x）=0，x ﹣=0，1+5x=0，x1=，x2=﹣．99．9（x﹣2）2﹣4（x+1）2=0．9（x﹣2）2﹣4（x+1）2=0（3x﹣6+2x+2）（3x﹣6﹣2x﹣2）=0，整理得：（5x﹣4）（x﹣8）=0，解方程得：x1=，x2=8100．．x（x﹣2）=2（x+6），x2﹣2x=2x+12，x2﹣4x﹣12=0，（x﹣6）（x+2）=0，x1=6，x2=﹣2．∴原方程的根为x1=6，x2=﹣2101．（2）x2﹣8x+15=0；把左边分解因式得：（x﹣3）（x﹣5）=0，则x﹣3=0，x﹣5=0，解得：x1=5，x2=3；102. ；移项得：y2﹣2y+2=0，（y ﹣）2=0，两边开方得：y ﹣=0，则y1=y2=；103. 6x2﹣x﹣12=0．由原方程，得（2x﹣3）（3x+4）=0，解得，x=，或x=﹣104. 2x2﹣x﹣6=0原方程化为（2x+3）（x﹣2）=0，解得x1=﹣，x2=2；105. ﹣x2+6x﹣5=0原方程化为x2﹣6x+5=0分解因式，得（x﹣1）（x﹣5）=0，解得x1=1，x2=5；106. （x﹣5）2=（2x﹣1）（5﹣x）移项，得（x﹣5）2+（2x﹣1）（x﹣5）=0，提公因式，得（x﹣5）（x﹣5+2x﹣1）=0，解得x1=5，x2=2107. （x+1）（x+2）=3x+6．∵（x+1）（x+2）=3x+6，∴（x+1）（x+2）=3（x+2），∴（x+1）（x+2）﹣3（x+2）=0，∴（x+2）（x+1﹣3）=0，∴x+2=0或x+1﹣3=0∴x1=﹣2，x2=2108. x2﹣9=0，x2=9，解得：x1=3，x2=﹣3，109. x2+3x﹣4=0，（x﹣1）（x+4）=0，解得：x1=1，x2=﹣4，110. x2﹣3x+2=0，（x﹣1）（x﹣2）=0，解得：x1=1，x2=2111. 4（3x﹣1）2 =25（2x+1）2．∵4（3x﹣1）2﹣25（2x+1）2=0，∴[2（3x﹣1）﹣5（2x+1）][2（3x﹣1）+5（2x+1）]=0，∴2（3x﹣1）﹣5（2x+1）=0或2（3x﹣1）+5（2x+1）=0，∴x1=﹣，x2=﹣．112. （3x+5）2﹣4（3x+5）+3=0 设3x+5=y，则原方程变为y2﹣4y+3=0，∴（y﹣1）（y﹣3）=0，解得，y=1或y=3；①当y=1时，3x+5=1，解得x=﹣；②当y=3时，3x+5=3，解得，x=﹣；∴原方程的解是x=﹣，或x=﹣；113. （3x+2）（x+3）=x+14 由原方程，得（x+4）（3x﹣2）=0，解得x=﹣4，或x=；114. 3（x+1）2=（x+1）移项得，3（x+1）2﹣（x+1）=0，提公因式得，（x+1）（3x+3﹣1）=0，即x+1=0或3x+3﹣1=0，解得x1=﹣1，x2=﹣115.（x﹣2）2﹣4=0∵（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）=0，∴x﹣2﹣2=0或x﹣2+2=0，∴x1=4，x2=0；116.（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0∵（x﹣3）（x﹣3+2x）=0，∴x﹣3=0或x﹣3+2x=0，∴x1=3，x2=1；117.（3x﹣1）2=（x+1）2∵3x﹣1=±（x+1），即3x﹣1=x+1或3x﹣1=﹣（x+1），∴x1=1，x2=0；118.（x+5）2﹣2（x+5）﹣8=0．∵[（x+5）﹣4][（x+5）+2]=0，∴（x+5）﹣4=0或（x+5）+2=0，∴x1=﹣1，x2=﹣7．119. x2﹣8x=9变形为：x2﹣8x﹣9=0，（x﹣9）（x+1）=0，则：x﹣9=0或x+1=0，解得：x1=9，x2=﹣1；120. （x﹣2）2=（2x+3）2．变形为：（x﹣2）2﹣（2x+3）2=0，（x﹣2+2x+3）（x﹣2﹣2x﹣3）=0，（3x+1）（﹣x﹣5）=0，则：3x+1=0，﹣x﹣5=0，解得：x1=﹣，x2=﹣5．121. x2﹣3=3（x+1）；整理得x2﹣3x﹣4=0，∴（x+1）（x﹣4）=0，∴x+1=0或x﹣4=0，∴x1=﹣1，x2=4；122. （y﹣3）2+3（y﹣3）+2=0 ∵（y﹣3+2）（y﹣3+1）=0，∴y﹣3+2=0或y﹣3+1=0，∴y1=1，y2=2；123. 7x（5x+2）=6（5x+2）∵7x（5x+2）﹣6（5x+2）=0，∴（5x+2）（7x﹣6）=0，∴5x+2=0或7x﹣6=0，∴x1=﹣，x2=124．（3）6（x+4）2﹣（x+4）﹣2=06（x+4）2﹣（x+4）﹣2=0，[3（x+4）﹣2][2（x+4）+1]=0，（3x+4）（2x+7）=0，3x+4=0，2x+7=0，解得：x1=﹣，x2=﹣；125. x2﹣（3m﹣1）x+2m2﹣m=0，（x﹣m）[x﹣（2m﹣1）]=0，x﹣m=0，x﹣（2m﹣1）=0，解得：x1=m，x2=2m﹣1126．x2﹣2x﹣224=0．x2﹣2x﹣224=0（x﹣16）（x+14）=0，解得：x1=16；x2=﹣14．127.．方程两边同时乘以2，得（x+3）2=4（x+2）2，移项，得（x+3）2﹣4（x+2）2，=0，（x+3+4x+8）（x+3﹣4x﹣8）=0，即5x+11=0或﹣3x﹣5=0，解得x1=﹣，x2=﹣；128．5x（x﹣3）﹣（x﹣3）（x+1）=0．∵（x﹣3）（5x﹣x﹣1）=0，∴x﹣3=0或5x﹣x﹣1=0，∴x1=3，x2=129．x2﹣11x+28=0x2﹣11x+28=0，（x﹣4）（x﹣7）=0，x﹣4=0，x﹣7=0，x1=4，x2=7130. 4y2﹣25=0；（2y+5）（2y﹣5）=0，所以y1=﹣，y2=；131.（2x+3）2﹣36=0；（2x+3）2﹣36=0；（2x+3+6）（2x+3﹣6）=0，所以x1=﹣，x2=；132. x2﹣3x+2=0；（x﹣1）（x﹣2）=0，所以x1=1，x2=2；133. 2t2﹣7t﹣4=0；（t﹣4）（2t+1）=0，所以t1=4，t2=﹣；134. 5y（y﹣1）=2（y﹣1）方程变形得：5y（y﹣1）﹣2（y﹣1）=0，因式分解得：（y﹣1）（5y﹣2）=0，可得y﹣1=0或5x﹣2=0，解得：y1=1，y2=．135. x2+（1+2）x+3+=0；（x+）（x+1+）=0x+=0或x+1+=0∴x1=﹣，x2=﹣1﹣．136.（x﹣3）2+（x+4）2﹣（x﹣5）2=17x+24．原方程整理得：x2﹣5x﹣24=0（x﹣8）（x+3）=0∴x1=8，x2=﹣3．137.x2﹣3|x|﹣4=0|x|2﹣3|x|﹣4=0 （|x|﹣4）（|x|+1）=0 |x|﹣4=0|x|+1≠0∴|x|=4∴x1=4，x2=﹣4．。

因式分解法解一元二次方程练习题及答案

【因式分解法解一元二次方程练习题1．选择题(1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( )A ．x 1＝－16，x 2＝8B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－8(2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( ) A ．x ＝21B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝－1(3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( ) A ．x 1＝53，x 2＝3 B ．x ＝53C ．x 1＝－53，x 2＝－3D ．x 1＝53，x 2＝－3!(4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( ) A ．y 1＝5，y 2＝－2 B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对(5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( ) A ．x 1＝1，x 2＝－5 B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝5(6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( ) A ．1B ．2C ．－4D ．4(7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( ) A ．5B ．5或11C ．6D ．11'2．填空题(1)方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________． (3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________． (4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________． (5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．3．用因式分解法解下列方程：(1)x2＋12x＝0； (2)4x2－1＝0；（3）x2＝7x；?(4)x2－4x－21＝0； (5)(x－1)(x＋3)＝12； (6)3x2＋2x－1＝0；~(7)10x2－x－3＝0； (8)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．,4．用适当方法解下列方程：(1)x2－4x＋3＝0； (2)(x－2)2＝256；（3）x2－3x＋1＝0；(4)x2－2x－3＝0； (5)(2t＋3)2＝3(2t＋3)； (6)(3－y)2＋y2＝9；%(7)2x2－8x＝7； (8)(x＋5)2－2(x＋5)－8＝0．、5．解关于x的方程：(1)x2－4ax＋3a2＝1－2a； (2)x2＋5x＋k2＝2kx＋5k＋6；(3)x2－2mx－8m2＝0； (4)x2＋(2m＋1)x＋m2＋m＝0．！6．已知(x2＋y2)(x2－1＋y2)－12＝0．求x2＋y2的值．|7．解方程：x(x＋12)＝864．8．已知x2＋3x＋5的值为9，试求3x2＋9x－2的值．。

九年级数学上册《解一元二次方程(因式分解法)》练习题

九年级数学上册《解一元二次方程（因式分解法）》练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：______________一、单选题1．方程x 2﹣x ＝0的解是（）A ．x ＝0B ．x ＝1C ．x 1＝0，x 2＝﹣1D ．x 1＝0，x 2＝12．关于x 的方程x （x ﹣5）＝3（x ﹣5）的根是( )A ．x ＝5B ．x ＝﹣5C ．x 1＝﹣5；x 2＝3D ．x 1＝5；x 2＝33．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，放置边长分别为3，4，x 的三个正方形，则x 的值为（）A ．12B ．7C ．6D ．54．若m ，n 是方程x 2－x －2 022＝0的两个根，则代数式（m 2－2m －2 022）（－n 2＋2n ＋2 022）的值为（）A ．2 023B ．2 022C ．2 021D ．2 0205．下列关于x 的一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的命题中，真命题有（）∠若0a b c -+=，则240b ac -≥；∠若方程()200++=≠ax bx c a 两根为1和－2，则0a b -=；∠若方程()200++=≠ax bx c a 有一个根是()0c c -≠，则1b ac =+A ．∠∠∠B ．∠∠C ．∠∠D ．∠∠6．若函数y ＝m 22m m x +++4是二次函数，则m 的值为（）A ．0或﹣1B ．0或1C ．﹣1D ．17．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2﹣9x +18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A ．12B ．9C ．15D ．12或158．下列式子运算正确的是（）A ．（2a+b ）（2a ﹣b ）=2a 2﹣b 2B ．（a+2）（b ﹣1）=ab ﹣2C ．（a+1）2=a 2+1D ．（x ﹣1）（x ﹣2）=x 2﹣3x+29．已知方程x 2+2x ﹣3=0的解是x 1=1，x 2=﹣3，则另一个方程（x +3）2+2（x +3）﹣3=0的解是（）A ．x 1=﹣1，x 2=3B ．x 1=1，x 2=﹣3C ．x 1=2，x 2=6D ．x 1=﹣2，x 2=﹣6 10．下列解方程变形：∠由3x ＋4＝4x －5，得3x ＋4x ＝4－5；∠由1132x x +-=，去分母得2x －3x ＋3＝6； ∠由()()221331x x ---=，去括号得4x －2－3x ＋9＝1；∠由344x =，得x ＝3．其中正确的有（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个二、填空题11．一元二次方程()()120x x --=可化为两个一次方程为______________，方程的根是_________．12．方程2x 2+1=3x 的解为________．13．已知()()212x kx x a x b ++=++，()()215x kx x c x d ++=++，其中a b c d ,,,均为整数，则k =____________ 14．已知()()2222142x y x y ++-=，则22x y +的值是___________．15．若a ，b 是一元二次方程2220220x x +-=的两个实数根，则242a a b ++的值是_________．三、解答题16．已知关于x 的方程()()2222130k k x k x +-++-=（k 为常数）．(1)该方程一定是一元二次方程吗？如果一定是，请说明理由；如果不一定是，请求出当方程不是一元二次方程时k 的值；(2)求1k =时方程的解；(3)求出一个()1k k ≠的值，使这个k 的值代人原方程后，所得的方程中有一个解与（2）中方程的一个解相同．（本小题只需求一个k 的值即可）17．为解方程（x 2﹣1）2﹣5（x 2﹣1）+4＝0，我们可以将x 2﹣1视为一个整体，然后设x 2﹣1＝y ，则原方程可化为y 2﹣5y +4＝0，解此方程得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，x 2﹣1＝1，所以x =当y ＝4时，x 2﹣1＝4，所以x =所以原方程的根为1x =，2x =3x =4x =．以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程：（1）（x 2﹣x ）（x 2﹣x ﹣4）＝﹣4；（2）x 4+x 2﹣12＝0．参考答案与解析：1．D【分析】因式分解后求解即可.【详解】x 2﹣x ＝0，x （x -1）=0，x =0，或x -1=0，解得x 1＝0，x 2＝1，故选：D【点睛】此题考查因式分解法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：∠移项，使方程的右边化为零；∠将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；∠令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；∠解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．2．D【分析】利用因式分解法求解可得．【详解】解：∠x （x ﹣5）﹣3（x ﹣5）＝0，∠（x ﹣5）（x ﹣3）＝0，则x ﹣5＝0或x ﹣3＝0，解得x ＝5或x ＝3，故选：D ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3．B【分析】根据已知条件可以推出△CEF∠∠OME∠∠PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值．【详解】解：∠在Rt△ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，∠OM∠AB∠PN∠EF，EO∠FP，∠C=∠EOM=∠NPF=90°，∠∠CEF∠∠OME∠∠PFN，∠OE：PN=OM：PF，∠EF=x，MO=3，PN=4，∠OE=x-3，PF=x-4，∠（x-3）：4=3：（x-4），∠（x-3）（x-4）=12，即x2-4x-3x+12=12，∠x=0（不符合题意，舍去）或x=7．故选：B．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解题的关键在于找到相似三角形，用x 的表达式表示出对应边．4．B【详解】解：∠m、n是方程x2-x-2022=0的两个根，∠m2-m-2022=0，n2-n-2022=0，mn=-2022，∠m2-m=2022，n2-n=2022，∠（m2－2m－2 022）（－n2＋2n＋2 022）=（m2-m-m-2022）(-(n2-n)+n+2022)=(2022-m-2022)((-2022+n+2022)=-mn=2022，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程根与系数的关系，能根据已知条件得出m 2-m -2022=0，n 2-n -2022=0，mn =-2022是解此题的关键．5．A【分析】把b =a +c 代入判别式中得到24b ac -=（a -c ）2≥0，则可对∠进行判断；利用根与系数的关系得到2c a=-，根据根的定义可得0a b c ++=，于是可对∠进行判断；由方程的根的定义可得20ac bc c -+=，即可对∠进行判断．【详解】解：a -b +c =0，则b =a +c ，24b ac -=（a +c ）2-4ac =（a -c ）2≥0，所以∠正确；∠方程ax 2+bx +c =0两根为1和-2， ∠2c a=-，则2c a =-，0a b c ++= 20a b a ∴+-=∠0a b -=，所以∠正确；∠方程()200++=≠ax bx c a 有一个根是()0c c -≠，∠20ac bc c -+=0c ≠∠10ac b -+=∠1b ac =+所以∠正确．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．6．C【分析】利用二次函数定义可得m 2+m +2＝2，且m ≠0，再解即可．【详解】解：由题意得：m 2+m +2＝2，且m ≠0，解得：m ＝﹣1，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．7．C【分析】利用因式分解法求出x 的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论求解【详解】解：∠ x 2﹣9x +18＝0，∠（x﹣3）（x﹣6）＝0，则x﹣3＝0或x﹣6＝0，解得x＝3或x＝6，当3是腰时，三角形的三边分别为3、3、6，不能组成三角形；当6是腰时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长为3+6+6＝15．故选：C．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，要注意分情况讨论．8．D【分析】A、原式利用平方差公式计算即可得到结果；B、原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，即可做出判断；C、原式利用完全平方公式计算得到结果，即可做出判断；D、原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，即可做出判断．【详解】解：A、原式=4a2-b2，错误；B、原式=ab-a+2b-2，错误；C、原式=a2+2a+1，错误；D、原式=x2-3x+2，正确．故选D．【点睛】此题考查了平方差公式，多项式乘多项式，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．9．D【分析】根据已知方程的解得出x+3=1，x+3=﹣3，求出两个方程的解即可．【详解】解：∠方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，∠方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0中x+3=1或﹣3，解得：x=﹣2或﹣6，即x1=﹣2，x2=﹣6，故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程，换元法解一元二次方程，能根据方程的解得出x+3=1，x+3=﹣3，是解此题的关键．10．B【分析】根据解一元一次方程的步骤进行逐一求解判断即可．【详解】解：∠由3x +4=4x -5，得3x -4x =-5-4；方程变形错误，不符合题意；∠由1132x x +-=，去分母得2x -3x -3=6；方程变形错误，不符合题意； ∠由()()221331x x ---=，去括号得4x -2-3x +9=1；正确，符合题意；∠由344x =，得x =163．方程变形错误，不符合题意；综上，正确的是∠，只1个，故选：B ．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法． 11． x ﹣1＝0，x ﹣2＝0 11x =，22x =【分析】两个因式的积为0，这两个因式都可以为0，得到两个一次方程，然后求出方程的根．【详解】解：（x ﹣1）（x ﹣2）＝0∠x ﹣1＝0或x ﹣2＝0∠11x =，22x =．故答案分别是：x ﹣1＝0，x ﹣2＝0；11x =，22x =．【点睛】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，因式分解得到两个因式的积为0，这两个因式分别为0，得到两个一次方程，然后求出方程的根．12．1211,2x x == 【分析】先移项，再利用因式分解法解答，即可求解．【详解】解：移项得：22310x x -+=，∠()()2110x x --=，∠210x -=或10x -=，解得：1211,2x x ==，故答案为：1211,2x x ==．【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．13．8±．【分析】根据等式两边对应相等的关系，可得到ab 和cd 的值，以及a+b 和c+d 的关系，再根据a 、b 、c 、d 是整数，即可得到结果．【详解】解：由题可得()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，()()()2x c x d x c d x cd ++=+++12ab ∴=，15cd =，a b c d k +=+=又a b c d ，，，均为整数，∠2a =，6b =，3c =，5d =或2a =-，6b =-，3c =-，5d =-即8k =±．故答案为：±8．【点睛】本题考查多项式乘多项式，属基础知识．14．7【分析】换元法，令22x y t +=，将原方程化为t （t －1）＝42（t 0≥），求解一次方程即可．【详解】令22x y t +=（t 0≥），∠原方程化为t （t －1）＝42，解得t ＝7，或t ＝－6（舍），∠227x y +=，故答案为：7．【点睛】本题考查用换元法求解方程．解题关键是要注意换元之后一定要考虑新未知数的取值范围，换元法的实际应用，是解题关键．15．2018【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到222022a a +=，再根据根与系数的关系得到2a b +=-，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∠a ，b 是一元二次方程2220220x x +-=的两个实数根，∠2220220a a +-=∠222022a a +=∠a ，b 是一元二次方程2220220x x +-=的两个实数根，∠2a b +=-，∠242a a b ++2222a a a b =+++()222a a a b=+++()202222=+⨯-2018=故答案为：2018．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，还有整体的思想，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解本题的关键．16．(1)不一定是，1k=-(2)x1=1，x2=-3；(3)4-或8 3 -【分析】（1）不一定，当2220k k+-=时该方程为一元一次方程，解得k的值即可；（2）把k=1代入方程计算即可；（3）把（2）中解得的x的值代入原方程解得k的值即可．（1）解：不一定是．当2220k k+-=时该方程为一元一次方程，解得：1k=-±答：方程不一定是一元二次方程，当方程不是一元二次方程时k的值为1-（2）解：当k=1代入得：2230x x+-=解得：x1=1，x2=-3；（3）解：x=1代入得k=-4，或x=-3代入得k＝83 -，答：k的值为4-或83 -．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的解以及解一元二次方程，掌握定义与解法是解题的关键．17．（1）x 1＝2，x 2＝﹣1；（2）12x x ==【分析】（1）设x 2﹣x ＝a ，原方程可化为a 2﹣4a +4＝0，求出a 的值，再代入x 2﹣x ＝a 求出x 即可；（2）设x 2＝y ，原方程化为y 2+y ﹣12＝0，求出y ，再把y 的值代入x 2＝y 求出x 即可．【详解】解：（1）（x 2﹣x ）（x 2﹣x ﹣4）＝﹣4，设x 2﹣x ＝a ，则原方程可化为a 2﹣4a +4＝0，解此方程得：a 1＝a 2＝2，当a ＝2时，x 2﹣x ＝2，即x 2﹣x ﹣2＝0，因式分解得：（x ﹣2）（x +1）＝0，解得：x 1＝2，x 2＝﹣1，所以原方程的解是x 1＝2，x 2＝﹣1；（2）x 4+x 2﹣12＝0，设x 2＝y ，则原方程化为y 2+y ﹣12＝0，因式分解，得（y ﹣3）（y +4）＝0，解得：y 1＝3，y 2＝﹣4，当y ＝3时，x 2＝3，解得：x =当y ＝﹣4时，x 2＝﹣4，无实数根，所以原方程的解是1x 2x =【点睛】本题考查了用换元法解一元二次方程和用因式分解法解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键．。

(完整版)用因式分解法解一元二次方程(知识点+经典例题+综合练习)---详细答案

用因式分解法解一元二次方程【主体知识归纳】1．因式分解法若一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，例如，x 2－9＝0，这个方程可变形为(x ＋3)(x －3)＝0，要(x ＋3)(x －3)等于0，必须并且只需(x ＋3)等于0或(x －3)等于0，因此，解方程(x ＋3)(x －3)＝0就相当于解方程x ＋3＝0或x －3＝0了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2．因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论根据是：若A ·B ＝0A ＝0或B ＝0．【基础知识讲解】1．只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．2．在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简便，有的用因式分解法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实际解一元二次方程时，一般不用配方法．而在以后的学习中，会常常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法．【例题精讲】例1：用因式分解法解下列方程：(1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1．解：(1)方程可变形为(y ＋1)(y ＋6)＝0，y ＋1＝0或y ＋6＝0，∴y 1＝－1，y 2＝－6．(2)方程可变形为t (2t －1)－3(2t －1)＝0，(2t －1)(t －3)＝0，2t －1＝0或t －3＝0，∴t 1＝21，t 2＝3．(3)方程可变形为2x 2－3x ＝0．x (2x －3)＝0，x ＝0或2x －3＝0．∴x 1＝0，x 2＝23．说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2)应用因式分解法解形如(x －a )(x －b )＝c 的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x －e )(x －f )＝0的形式，这时才有x 1＝e ，x 2＝f ，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：原方程变形为：2x －1＝1或x －1＝1．∴x 1＝1，x 2＝2．(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t －1)，请同学们思考？例2：用适当方法解下列方程： (1)3(1－x )2＝27；(2)x 2－6x －19＝0；(3)3x 2＝4x ＋1；(4)y 2－15＝2y ；(5)5x (x －3)－(x －3)(x ＋1)＝0；(6)4(3x ＋1)2＝25(x －2)2．剖析：方程(1)用直接开平方法，方程(2)用配方法，方程(3)用公式法，方程(4)化成一般式后用因式分解法，而方程(5)、(6)不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了．解：(1)(1－x )2＝9，(x －1)2＝3，x －1＝±3，∴x 1＝1＋3，x 2＝1－3．(2)移项，得x 2－6x ＝19，配方，得x 2－6x ＋(－3)2＝19＋(－3)2，(x －3)2＝28，x －3＝±27， ∴x 1＝3＋27，x 2＝3－27．(3)移项，得3x 2－4x －1＝0，∵a ＝3，b ＝－4，c ＝－1， ∴x ＝37232)1(34)4()4(2±=⨯-⨯⨯--±--， ∴x 1＝372+，x 2＝372-． (4)移项，得y 2－2y －15＝0，把方程左边因式分解，得(y －5)(y ＋3)＝0；∴y －5＝0或y ＋3＝0，∴y 1＝5，y 2＝－3．(5)将方程左边因式分解，得(x －3)［5x －(x ＋1)］＝0，(x －3)(4x －1)＝0，∴x －3＝0或4x －1＝0，∴x 1＝3，x 2＝41． (6)移项，得4(3x ＋1)2－25(x －2)2＝0，［2(3x ＋1)］2－［5(x －2)］2＝0，［2(3x ＋1)＋5(x －2)］·［2(3x ＋1)－5(x －2)］＝0，(11x －8)(x ＋12)＝0，∴11x －8＝0或x ＋12＝0，∴x 1＝118，x 2＝－12．说明：(1)对于无理系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过要注意二次根式的化简．(2)直接因式分解就能转化成两个一次因式乘积等于零的形式，对于这种形式的方程就不必要整理成一般式了．例3:解关于x 的方程：(a 2－b 2)x 2－4abx ＝a 2－b 2．解：(1)当a 2－b 2＝0，即｜a ｜＝｜b ｜时，方程为－4abx ＝0．当a ＝b ＝0时，x 为任意实数．当｜a ｜＝｜b ｜≠0时，x ＝0．(2)当a 2－b 2≠0，即a ＋b ≠0且a －b ≠0时，方程为一元二次方程．分解因式，得［(a ＋b )x ＋(a －b )］［(a －b )x －(a ＋b )］＝0，∵a ＋b ≠0且a －b ≠0，∴x 1＝b a a b +-，x 2＝ba b a -+．说明：解字母系数的方程，要注意二次项系数等于零和不等于零的不同情况分别求解．本题实际上是分三种情况，即①a ＝b ＝0；②｜a ｜＝｜b ｜≠0；③｜a ｜≠｜b ｜．例4:已知x 2－xy －2y 2＝0，且x ≠0，y ≠0，求代数式22225252y xy x y xy x ++--的值．剖析：要求代数式的值，只要求出x 、y 的值即可，但从已知条件中显然不能求出，要求代数式的分子、分母是关于x 、y 的二次齐次式，所以知道x 与y 的比值也可．由已知x 2－xy －2y 2＝0因式分解即可得x 与y 的比值．解：由x 2－xy －2y 2＝0，得(x －2y )(x ＋y )＝0，∴x －2y ＝0或x ＋y ＝0，∴x ＝2y 或x ＝－y ．当x ＝2y 时，135y13y 5y 5y y 22)y 2(y 5y y 22)y 2(y 5xy 2x y 5xy 2x 2222222222-=-=+⋅⋅+-⋅⋅-=++--．当x ＝－y 时，21y 4y 2y 5y )y (2)y (y 5y )y (2)y (y 5xy 2x y 5xy 2x 222222222-=-=+⋅-⋅+--⋅-⋅--=++--2．说明：因式分解法体现了“降次”“化归”的数学思想方法，它不仅可用来解一元二次方程，而且在解一元高次方程、二元二次方程组及有关代数式的计算、证明中也有着广泛的应用．【同步达纲练习】1．选择题(1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( )A ．x 1＝－16，x 2＝8B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－8(2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( )A ．．x ＝21B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝－1(3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( )A ．x 1＝53，x 2＝3 B ．x ＝53C ．x 1＝－53，x 2＝－3D ．x 1＝53，x 2＝－3 (4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( )A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对 (5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( )A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝5 (6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．2C ．－4D ．4 (7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( )A ．5B ．5或11C ．6D ．11 (8)方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．填空题(1)方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．(3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．(4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________．(5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．3．用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋12x ＝0；(2)4x 2－1＝0； (3)x 2＝7x ；(4)x 2－4x －21＝0；(5)(x －1)(x ＋3)＝12； (6)3x 2＋2x －1＝0；(7)10x2－x－3＝0；(8)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．4．用适当方法解下列方程：(1)x2－4x＋3＝0；(2)(x－2)2＝256；(3)x2－3x＋1＝0；(4)x2－2x－3＝0；(5)(2t＋3)2＝3(2t＋3)；(6)(3－y)2＋y2＝9；(7)(1＋2)x2－(1－2)x＝0；(8)5x2－(52＋1)x＋10＝0；(9)2x2－8x＝7(精确到0．01)；(10)(x＋5)2－2(x＋5)－8＝0．5．解关于x的方程：(1)x2－4ax＋3a2＝1－2a；(2)x2＋5x＋k2＝2kx＋5k＋6；(3)x2－2mx－8m2＝0； (4)x2＋(2m＋1)x＋m2＋m＝0．6．已知x 2＋3xy －4y 2＝0(y ≠0)，试求yx y x +-的值．7．已知(x 2＋y 2)(x 2－1＋y 2)－12＝0．求x 2＋y 2的值．8．请你用三种方法解方程：x (x ＋12)＝864．9．已知x 2＋3x ＋5的值为9，试求3x 2＋9x －2的值．10．一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h (单位：米)与所用的时间t (单位：秒)的关系式h ＝－5(t －2)(t ＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．11．为解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0，我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1＝y ，则y 2＝(x 2－1)2，原方程化为y 2－5y ＋4＝0，解此方程，得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，x 2－1＝1，x 2＝2，∴x ＝±2．当y ＝4时，x 2－1＝4，x 2＝5，∴x ＝±5．∴原方程的解为x 1＝－2，x 2＝2，x 3＝－5，x 4＝5．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．(1)运用上述方法解方程：x 4－3x 2－4＝0．(2)既然可以将x 2－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗参考答案【同步达纲练习】1．(1)B (2)C (3)D (4)D (5)B (6)A (7)A (8)D2．(1)t 1＝－7，t 2＝4(2)x 1＝－21，x 2＝－2(3)y 1＝－1，y 2＝－23(4)x 1＝－m ，x 2＝－n (5)x 1＝5，x 2＝－1 3．(1)x 1＝0，x 2＝－12；(2)x 1＝－21，x 2＝21；(3)x 1＝0，x 2＝7；(4)x 1＝7，x 2＝－3；(5)x 1＝－5，x 2＝3；(6)x 1＝－1，x 2＝31； (7)x 1＝53，x 2＝－21；(8)x 1＝8，x 2＝－2． 4．(1)x 1＝1，x 2＝3；(2)x 1＝18，x 2＝－14；(3)x 1＝253+，x 2＝253-；(4)x 1＝3，x 2＝－1； (5)t 1＝0，t 2＝－23；(6)y 1＝0，y 2＝3；(7)x 1＝0，x 2＝22－3； (8)x 1＝55，x 2＝10；(9)x 1≈7.24，x 2＝－3.24；(10)x 1＝－1，x 2＝－7． 5．(1)x 2－4ax ＋4a 2＝a 2－2a ＋1，(x －2a )2＝(a －1)2，∴x －2a ＝±(a －1)，∴x 1＝3a －1，x 2＝a ＋1．(2)x 2＋(5－2k )x ＋k 2－5k －6＝0， x 2＋(5－2k )x ＋(k ＋1)(k －6)＝0，［x －(k ＋1)］［x －(k －6)］＝0，∴x 1＝k ＋1，x 2＝(k －6)．(3)x 2－2mx ＋m 2＝9m 2，(x －m )2＝(3m )2∴x 1＝4m ，x 2＝－2m(4)x 2＋(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)＝0，(x ＋m )［x ＋(m ＋1)］＝0，∴x 1＝－m ，x 2＝－m －16．(x ＋4y )(x －y )＝0， x ＝－4y 或x ＝y当x ＝－4y 时，y x y x +-＝3544=+---y y y y ；当x ＝y 时，y x y x +-＝y y y y +-＝0． 7．(x 2＋y 2)(x 2＋y 2－1)－12＝0，(x 2＋y 2)2－(x 2＋y 2)－12＝0，(x 2＋y 2－4)(x 2＋y 2＋3)＝0，∴x 2＋y 2＝4或x 2＋y 2＝－3(舍去)8．x 1＝－36，x 2＝249．∵x 2＋3x ＋5＝9，∴x 2＋3x ＝4，∴3x2＋9x－2＝3(x2＋3x)－2＝3×4－2＝10 10．10＝－5(t－2)(t＋1)，∴t＝1(t＝0舍去) 11．(1)x1＝－2，x2＝2(2)(x2－2)(x2－5)＝0，(x＋2)(x－2)(x＋5)(x－5)＝0。

(完整版)用因式分解法解一元二次方程(知识点+经典例题+综合练习)---详细答案

用因式分解法解一元二次方程【主体知识归纳】1.因式分解法若一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式时，例如，X2—9= 0, 这个方程可变形为(x+ 3)( X—3) = 0,要(x + 3)( x —3)等于0,必须并且只需(x+ 3)等于0或(x—3)等于0, 因此，解方程(x + 3)( x—3) = 0就相当于解方程x+ 3= 0或x—3 = 0 了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解•这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.2•因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程•其理论根据是：若A- B=吐A=0 或B= 0.【基础知识讲解】1 •只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程•分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法.2 •在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程•但对某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简便，有的用因式分解法简便•因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解. 配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实际解一元二次方程时，一般不用配方法•而在以后的学习中，会常常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法.【例题精讲】例1 :用因式分解法解下列方程：2(1) y + 7y + 6 = 0; (2) t (2 t —1) = 3(2 t —1); ⑶(2 x —1)( x—1) = 1.解：(1)方程可变形为(y+ 1)( y+ 6) = 0, y+ 1 = 0 或y + 6 = 0,「. y1 = —1, y2=— 6.1(2) 方程可变形为t(2t —1) —3(21 —1) = 0, (2t —1)( t —3) = 0, 2t —1 = 0 或t —3= 0,二t1= , t22=3.(3) 方程可变形为2x2—3x = 0. x(2x—3) = 0, x= 0 或2x — 3 = 0.3--X1 = 0, X2 =2说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了.(2)应用因式分解法解形如(x—a)(x —b) = c的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x —e)( x—f) = 0的形式，这时才有X1= e, %= f,否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解:原方程变形为：2x— 1 = 1 或x — 1 = 1 .••• x i = 1, X2= 2.(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t —1)，请同学们思考？例2 :用适当方法解下列方程：—2 ------------------------------------ 2 2 2(1) ..3(1 —x) = ..27 ; (2) x —6x—19= 0; (3)3 x = 4x+ 1; (4) y —15= 2y；(5)5 x(x—3) —(x—3)( x+ 1) = 0 ；2 2(6)4(3 x + 1) = 25(x —2).剖析：方程(1)用直接开平方法，方程(2)用配方法，方程(3)用公式法，方程(4)化成一般式后用因式分解法，而方程(5)、(6)不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了.解：(1)(1 —x)2= , 9 , (x—1) 2= 3, x —1 = ± , 3 , • X1 = 1 + . 3 , X2= 1 — .、3 .(2) 移项，得x2—6x = 19,配方，得x2—6x+ ( —3)2= 19+ ( —3)2, (x—3)2= 28, x — 3 =± 2 ,7 ,•-X1 = 3+ 2 .7 , X2= 3— 2 7 .⑶移项，得3x —4x—1= 0,a= 3, b=—4, c =—1,•x ( 4) V( 4)2 4 3 ( 1) 2 <7--x =2 3 32 V7 2 47•• X1 = , X2 =3 32 __⑷移项，得y—2y —15 = 0，把方程左边因式分解，得(y —5)( y+ 3) = 0；•y —5= 0 或y+ 3= 0, • y1 = 5, y2 = —3.⑸将方程左边因式分解，得(x—3) :5x —(x+ 1) ]= 0, (X —3)(4 x —1) = 0,•x —3= 0 或4x— 1 = 0,c 1--X1 = 3, X2 =42 2(6)移项，得4(3x + 1) —25(x —2) = 0,2 2[2(3 x+ 1): —[ 5( x—2): = 0,:2(3 x+ 1) + 5(x —2): • : 2(3 x+ 1) —5( x —2) ]= 0,(11 X—8)( x + 12) = 0,• 11x—8 = 0 或x + 12= 0,二X1 = — , X2=—12.11说明：(1)对于无理系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过要注意二次根式的化简.(2) 直接因式分解就能转化成两个一次因式乘积等于零的形式, 般式了.2 2 2 2 2例3:解关于x 的方程：(a — b )x — 4abx = a - b .解：⑴ 当 a 2— b 2= 0,即 | a | = | b | 时，方程为一4abx = 0. 当a = b = 0时，x 为任意实数.当| a | = | b |z 0时，x = 0. (2)当a 2— b 2^ 0，即a + 0且a — b *0时，方程为一元二次方程.分解因式，得[(a + b )x + (a — b ) ] [(a — b )x — (a + b ) ]= 0,a +b * 0 且 a — b * 0,b a a b X 1=, X 2 =a ba b说明：解字母系数的方程，要注意二次项系数等于零和不等于零的不同情况分别求解.本题实际上是分三种情况，即① a = b = 0 :②丨a | = | b |* 0 :③丨a | *| b | .例4:已知x 2— xy — 2y 2= 0，且x * 0, y * 0，求代数式剖析：要求代数式的值，只要求出x 、y 的值即可，但从已知条件中显然不能求出，要求代数式的分子、分母是关于x 、y 的二次齐次式，所以知道 x 与y 的比值也可.由已知 x 2— xy — 2y 2= 0因式分解即可得 x 与y 的比值.2 2解：由 x — xy — 2y = 0,得(x — 2y )( x + y ) = 0，二 x — 2y = 0 或 x + y = 0,. x = 2y 或 x =— y .“化归”的数学思想方法，它不仅可用来解一元二次方程，而且在解元高次方程、二元二次方程组及有关代数式的计算、证明中也有着广泛的应用.【同步达纲练习】 1•选择题(1)方程(x — 16)( x + 8) = 0 的根是()对于这种形式的方程就不必要整理成一2 2x 2 2xy 5y2 的值x 2xy 5y当x = 2y 时, 2 2 x2xy52 2 2(2y) 2 2y y 5y 5y (2y)2 2 2y y 5y 2 13y 2 5 13当x = — y 时,x 2 2xy 5y 22 2x 2xy 5y(y)22 ( y) y 5y 2 2(y) 2 ( y) y 5y y 24y 2 说明：因式分解法体现了“降次”A. X1 = —16, X2= 8B. X1 = 16, X2= —8C. X1 = 16, X2= 8D. X1 = —16, X2=—8__ 2 2 2(2)下列方程 4x - 3x — 1= 0, 5x - 7x + 2= 0, 13x - 15x + 2 = 0 中，有一个公共解是 ()方程 5x (x + 3) = 3(x + 3)解为( 方程(y -5)( y + 2) = 1的根为(22方程(x - 1) -4(x + 2) = 0 的根为()A .1 B.2 C. - 4 D. 4⑺ 已知三角形两边长为4和7,第三边的长是方程 x 2- 16X + 55= 0的一个根，则第三边长是 ( )A. 5B. 5 或 11C. 6D.11(8) 方程 x 2- 3|x - 1| = 1的不同解的个数是()A . 0 B. 1 C. 2 D. 32 .填空题(1)方程t (t + 3) = 28的解为 __________ .2⑵方程(2x + 1) + 3(2 x + 1) = 0的解为 _____________ .2⑶ 方程(2y + 1) + 3(2 y + 1) + 2 = 0 的解为 ____________ .⑷关于x 的方程x + (m+ n )x + mr = 0的解为 ______________⑸方程x (x - J5) =5 -x 的解为 _____________A . . x =12B. x = 2C. x = 1D.x =- 1A . X 1= 3, X 2= 3 B. 3x=-5 C.3X 1 = - — , X 2 =- 35D.3 X 1 = , X 2=- 35A . y 1 = 5, y =- 2B. y = 5C. y =-2D.以上答案都不对A. X 1 = 1, X =- 5B. X 1=- 1, X 2=- 5C.X 1 = 1, X 2= 5 D. X 1 =- 1, X 2 = 5元二次方程 x 2+ 5x = 0的较大的一个根设为 m,3x + 2 = 0较小的根设为 n ,贝U n 的值为2 (1) x + 12x = 0;2(3) x = 7x ；2⑷ x — 4x — 21 = 0;(5)( X - 1)( x + 3) = 12;2(6)3 x + 2x - 1= 0;2 2(6)(3 — y ) + y = 9；⑺(1 + , 2)x 3 — (1 — , 2)x = 0；(8) . 5 x 2— (5 2 + 1)x + ,10 = 0;201) ; (10)( x + 5) — 2( x + 5) — 8 = 0.5 .解关于x 的方程：(1) x 2 — 4ax + 3a 2= 1 — 2a ； (2) x 2 + 5x + k 2 = 2kx + 5k + 6 ；6 .已知 x 2+ 3xy — 4y 2= 0( y ^ 0)，试求的值.3 2 2 2(3) x — 2mx- 8m = 0； (4) x + (2 耐 1)x + m + m = 0.2 (7)10 x — x — 3= 0; 2(8)( x — 1) — 4( x — 1) — 21 = 0.4 .用适当方法解下列方程:2(1) x — 4x + 3 = 0; (4) x 2— 2x — 3 = 0;2(2)( x — 2) = 256; 2(3) x — 3x + 1 = 0;⑸(2 t + 3) 2= 3(21 + 3);2(9)2 x — 8x = 7(精确到 0.x y2 2 2 2 2 27.已知(x + y)( x — 1 + y ) —12= 0 .求x + y 的值.&请你用三种方法解方程：x(x + 12) = 864.9 .已知x2+ 3x+ 5的值为9，试求3x2+ 9x—2的值.10.一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h(单位：米)与所用的时间t(单位：秒)的关系式h=—5(t —2)( t + 1) •求运动员起跳到入水所用的时间.11•为解方程(x2—1)2—5(x2—1) + 4 = 0,我们可以将x2—1视为一个整体，然后设x2— 1 = y，则y2= (x2—1)2，原方程化为y2—5y + 4 = 0,解此方程，得y1 = 1, y2= 4.当y = 1 时，x2— 1 = 1, x2= 2,「. x=±2 .当y = 4 时，x2— 1 = 4, x2= 5,「. x=±、5 .原方程的解为X1=—2 , x2= , 2 , X3=—：.『5 , X4 =、.. 5 .以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想.(1) 运用上述方法解方程：x4—3x2—4= 0.(2) 既然可以将x2—1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗参考答案【同步达纲练习】1. (1)B (2)C (3)D (4)D (5)B (6)A (7)A (8)D12. (1) 11=—7 , 12 =4(2)X1=—— , X2=—2(3) y’ = —1 , y2= —-(4) X1 ==—m X2=—n(5) X1==.5 , X2 =—1221 13. (1) X1 = 0 , X2=—12; (2) X1=—— , X2 = ; (3) X1 =0 , X2 =7; (4) X1==7, X2= —3; (5) X1 =—5 , X2 = 3; (6) X1 = —1 ,2 21X2 =33 1(7)x i= , X2 = —一；(8)x i= 8, X2=— 2 .5 23 5 3 54. (1) x i= 1 , X2= 3; (2) x i= 18, X2=—14;⑶x i= , X2 = ; (4) x i =3, X2=—1;2 2(5) t1= 0, t2=—3; (6) y1= 0, y2 = 3; (7) X1 = 0, X2= 2 2 —3;2(8)X1=上,X2 = . 10 ; (9) X1~ 7.24 , X2=—3.24 ; (10) X1=—1 , X2 =—7.55. (1) x2—4ax+4a2=a2—2a + 1,(x —2a)2= (a—1)2,二x—2a=± (a—1),二X1= 3a—1, X2= a+ 1.(2) x2+ (5 —2k)x + k2—5k—6 = 0,x2+ (5 —2k)x + (k+ 1)( k—6) = 0,:x—(k + 1) ] [x —(k —6)]= 0 ,二X1= k +1 , X2 = ( k—6).(3) x2—2mx^ m = 9用，(x—m)2= (3 m)2二X1= 4m X2=—2m2(4) x + (2 m^ 1) x + m m^ 1) = 0 ,(x + m [x+ ( m^ 1) ]= 0,二X1=—m X2 = —m-16. (x+ 4y)( x —y) =0,x=—4y 或x=y当x=—4y 时，—=^^ 5;x y 4y y 3当x= y 时，—=3 = 0 .x y y y7. (x2+ y2)( X2+ y2—1) —12 = 0,2 2 2 2 2(x + y) —(x +y) —12 = 0,(x2+ y2—4)( x2+ y2+3) = 0,x2+ y2= 4 或x2+ y2= —3(舍去)8. X1=—36, X2= 249. ：X + 3x + 5= 9, . x?+ 3x= 4 ,/• 3x2+ 9x-2= 3(x2+ 3x) - 2 = 3X 4- 2= 1010. 10=- 5( t - 2)( t + 1)，二t = 1(t = 0 舍去)11 .⑴x i=- 2, X2 = 2(2)( x2- 2)( x2-5) =0,(x + , 2 )( x- 2 )(x + .. 5 )( x-、5) = 03 .用因式分解法解下列方程:2(2)4 X - 1= 0;。

一元二次方程的解法综合练习题及答案

一元二次方程的解法专题训练1、因式分解法 ①移项：使方程右边为0②因式分解：将方程左边因式分解；方法：一提，二套，三十字，四分组③由A ∙B=0，那么A=0或B=0，解两个一元一次方程2、开平方法 )0(2≥=a a x3、配方法 ①移项：左边只留二次项与一次项，右边为常数项〔移项要变号．．．．．〕 ②同除：方程两边同除二次项系〔每项都要除．．．．．〕 ③配方：方程两边加上一次项系数一半的平方．．．．．．．④开平方：注意别忘根号与正负⑤解方程：解两个一元一次方程4、公式法① 将方程化为一般式② 写出a 、b 、c③ 求出ac b 42-，④ 假设b 2-4ac ＜0，那么原方程无实数解⑤ 假设b 2-4ac ＞0，那么原方程有两个不相等的实数根，代入公式x= ⑥ 假设b 2-4ac ＝0，那么原方程有两个相等的实数根，代a x a x -==21入公式2b x a=-求解。

例1、利用因式分解法解以下方程(x －2) 2＝(2x-3)2 042=-x x 3(1)33x x x +=+ x 2()()0165852=+---x x例2、利用开平方法解以下方程51)12(212=-y 4〔x-3〕2=25 24)23(2=+x例3、利用配方法解以下方程7x=4x 2+2 01072=+-x x 例4、利用公式法解以下方程－3x 2＋22x －24＝0 2x 〔x －3〕=x －3． 3x 2+5(2x+1)=0课后练习1、方程2x 2-3x+1=0化为(x+a)2=b 的形式,正确的选项是 ( )A 、 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B 、2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C 、 231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ D 、以上都不对2、用__________________法解方程(x-2)2=4比拟简便。

3、一元二次方程x 2-ax+6=0, 配方后为(x-3)2=3, 那么a=______________.4、解方程〔x+a 〕2=b 得〔〕A 、x=-a B 、x=±039922=--x xC 、当b ≥0时，x=-aD 、当a ≥0时，x=a5、关于x 的方程〔a 2-1〕x 2+〔1-a 〕x+a-2=0，以下结论正确的选项是〔〕A 、当a ≠±1时，原方程是一元二次方程。

(完整版)初中数学用因式分解法解一元二次方程及答案

初中数学用因式分解法解一元二次方程一.选择题（共7小题）1.（2013秋？广州校级期中）用因式分解法解一元二次方程x （x- 1） -2 （1-x） =0,正确的步骤是（）A .（x+1 ）（x+2） =0 B. （x+1 ）（x-2） =0C. （x-1）（x- 2）=0D. （x-1）（x+2）=02.（2012春？萧山区校级期中）解一元二次方程2x2+5x=0的最佳解法是（）A.因式分解法B.开平方法C.配方法D.公式法3,解一元二次方程（y+2） 2-2 （y+2） - 3=0时，最简单的方法是（）A.直接开平方法B.因式分解法C.配方法D.公式法4.（2015?东西湖区校级模拟）一元二次方A. 0B. 25.（2014?平顶山二模）一元二次方程一A . 3 B. - 36.（2011春？招远市期中）一元二次方程A. c4B. cv0 W x2 - 2x=0 的解是（）C. 0, - 2D. 0, 2x2=3x的解是（）C. 3, 0 D, - 3, 0x2+c=0实数解的条件是（）C. c> 0D. c用7.（2011?北京模^若x= - 1是一元二次方程x2- ax=0的一个解，则a的值（）A . - 1 B. 1 C. 0 D. 土二.填空题（共3小题）8.（2012秋？开县校级月考）一元二次方程3x2 -4x-2=0的解是.9.（2012?铜仁地区）一元二次方程x2-2x-3=0的解是.10.（2014秋？禹州市期中）一元二次方程（4-2x） 2—36=0的解是三.解答题（共10小题）11.（2006秋?阜宁县校级月考）用指定的方法解下列一元二次方程:（1）2x2- 4x+1=0 （配方法）；（2）3x （x-1） =2-2x （因式分解法）；（3）x2-x-3=0 （公式法）.12.用因式分解法解下列关于x的一元二次方程.11) x2+x - k2x=0(2) x2-2mx+m 2-n2=0 .13. (2008?温州)(1)计算:曲-(b-1)(2)我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法,配方法和公式法.请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程.① x2—3x+1=0;②(x-1) 2=3；③ x2— 3x=0;④ x2-2x=4.14.用因式分解法解下列一元二次方程:(1)5x2=\/2x(2) 4 (2x+3) - ( 2x+3) 2=0(3)(x-2) 2= (2x+3) 2(4)一(x+1 ) 2=A (x- 1) 2.4 g15.因式分解法解方程：3x2-12x=-12.16.用因式分解法解方程：x2-9x+18=0 .17.用因式分解法解方程：12x2+x-6=0.18. （2013秋？黄陂区校级月考）用因式分解法解方程： 3 （x-5）2=2 （5-x）19. （2013秋？富顺县校级期中）用因式分解法解方程（x+3）2=5 （x+3）(3t-1 ) 2t C21-3) 20.因式分解法解一元二次方程. +1 —初中数学用因式分解法解一元二次方程参考答案与试题解析一．选择题(共7 小题)1．(2013秋？广州校级期中)用因式分解法解一元二次方程x (x- 1) -2 (1-x) =0,正确的步骤是( )A. (x+1 ) (x+2) =0B. (x+1 ) (x-2) =0C. (x-1)(x- 2)=0D. (x-1)(x+2)=0考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：将方程左边第二项提取-1变形后，提取公因式化为积的形式，即可得到结果.解答：解：方程x (x — 1) — 2 (1 — x) =0,变形得：x (x-1) +2 (x- 1) =0,分解因式得：(x- 1) (x+2) =0, 故选D点评：此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握此解法是解本题的关键.2．( 2012 春？萧山区校级期中)解一元二次方程2x2+5x=0 的最佳解法是( )A．因式分解法B．开平方法C．配方法D．公式法考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：方程左边缺少常数项，右边为0,左边可以提公因式x,运用因式分解法解方程.解答：解：方程2x2+5x=0左边可提公因式x,分解为两个一次因式的积，而右边为0,运用因式分解法．故选A．点评：本题考查了解一元二次方程的解法的运用．解方程时，要根据方程左右两边的特点，合理地选择解法，可使运算简便．3,解一元二次方程(y+2) 2-2 (y+2) - 3=0时，最简单的方法是( )A．直接开平方法B．因式分解法C．配方法D．公式法考点：解一元二次方程-因式分解法．分析：此题考查了数学思想中白^整体思想，把( y+2)看做一个整体，设(y+2)为x,则原方程可变为x2-2x-3=0 ,可以发现采用因式分解法最简单.解答：解：设( y+2) =x原方程可变为x2 - 2x - 3=0,(x - 3) (x+1 ) =0 采用因式分解法最简单.故选B点评：此题考查了数学思想中的整体思想，也就是换元思想，解题的关键是要充分理解一元二次方程各种解法的应用条件．4.（2015?东西湖区校级模拟）一元二次方程x2-2x=0的解是（）A . 0 B. 2 C. 0, - 2 D. 0, 2考点：解一元二次方程-因式分解法．分析：先提公因式x,然后根据两式相乘值为0,这两式中至少有一式值为0 .”进行求解. 解答：解：原方程化为：x（X-2） =0,解得x i=0, x2=2.故选D.点评：本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0 后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0 的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．5.（2014?平顶山二模）一元二次方程- x2=3x的解是（）A. 3B. -3C. 3, 0 D, - 3, 0考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：方程移项后，右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0 转化为两个一元一次方程来求解．解答：解：方程变形得：x2+3x=0,即x （x+3） =0,解得：x=0或x= - 3,故选D点评：此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．6.（2011 春?招远市期中）一元二次方程x2+c=0 实数解的条件是（）A. c 码B. cv 0C. c> 0D. c 不考点：根的判别式．专题：计算题．分析：由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于c的不等式，求出不等式的解集即可得到 c 的范围．解答：解：: 一元二次方程x2+c=0有实数解，2△ =b - 4ac= - 4c刃，解得：c旬.故选A点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根．7.（2011?北京模^若x= - 1是一元二次方程x2- ax=0的一个解，则a的值（）A.TB. 1C. 0D. 土考点：一元二次方程的解．分析：由方程的解的定义，将 x=- 1代入方程，即可求得 a 的值解答：解：- 1是关于x 的方程：x 2-ax=0的一个解，，1+a=0,解得a= - 1,故选A.点评：本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题. 二.填空题（共3小题）8. （2012秋？开县校级月考）一元二次方程考点：解一元二次方程-公式法.分析：利用公式法解此一元二次方程的知识，即可求得答案. 解答：解：--- a=3, b=—4, c= - 2,△ =b 2-4ac=（- 4） 2-4X3X （ -2） =40,.|4±y40j2±Vi0x=2a2X3 3故答案为：士屈. 3点评：此题考查了公式法解一元二次方程的知识.此题难度不大，注意熟记公式是关键.9. （ 2012?铜仁地区）一元二次方程 x2-2x - 3=0的解是 x 』=3. xg= - 1考点：解一元二次方程-因式分解法. 专题：计算题；压轴题.分析：根据方程的解x 1x 2=-3,x 1+x 2=2可将方程进行分解，得出两式相乘的形式，再根据两式相乘值为0,这两式中至少有一式值为 0”来解题.解答：解：原方程可化为：（x-3）（x+1） =0,x — 3=0 或 x+1=0 , x 1=3, x 2= — 1 .点评：本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法.本题运用的是因式分解法.10. （2014秋？禹州市期中）一元二次方程（ 4-2x ） 2 — 36=0的解是 x j = — 1 ： x 2=5 .考点：解一元二次方程-直接开平方法.分析：先移项，写成（x+a ） 2=b 的形式，然后利用数的开方解答. 解答：解：移项得，（4- 2x ） 2=36,开方得，4 - 2x= =6, 解得 x 1= - 1, x 2=5. 故答案为x 1= - 1, x 2=5.点评：本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，注意：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有： x 2=a （a 涮）；ax 2=b （a, b 同号且a^0）; （x+a ） 2=b （b 用）；a （x+b ） 2=c （a, c 同号且a 加）.法则：要把方程化为左3x2 - 4x- 2=0 的解是 2 土力°一3平方，右常数，先把系数化为1,再开平方取正负，分开求得方程解(2)运用整体思想，会把被开方数看成整体.(3)用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点.三.解答题(共10小题)11. (2006秋?阜宁县校级月考)用指定的方法解下列一元二次方程：(1) 2x 2-4x+1=0 (配方法)；(2) 3x (x-1) =2-2x (因式分解法)；(3) x 2-x-3=0 (公式法).考点：解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程 -因式分解法. 专题：计算题.分析：(1)用配方法，用配方法解方程，首先二次项系数化为1,移项，把常数项移到等号的右边，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数的一半，即可使左边是完全平方式，右边是常数，直接开方即可求解；(2)用因式分解法，用提公因式法解方程，方程左边可以提取公因式x-1,即可分解，转化为两个式子的积是0的形式，从而转化为两个一元一次方程求解；(3)利用公式法即可求解.解答：解：(1) 2x2 - 4x+1=0x2- 2x+—=0 2 (x T) 2=_!.…也■ - x1=1+——, x2=1 ---；2 2(2) 3x ( x T ) =2 - 2x 3x (x - 1) +2 (x- 1) =0 (x- 1) (3x+2) =0-2• - x 1=1 , x 2=—;J 本题考查了解一元二次方程的方法，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法, 要会灵活运用.当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程.12.用因式分解法解下列关于 x 的一元二次方程.(1) x 2+x - k 2x=0(2) x 2-2mx+m 2-n 2=0 .考点：解一元二次方程-因式分解法.专题：计算题.x=(3) x 2-x- 3=01 ±、氐 x 1 = 2----- ，x2= --- --2 2 点评:分析：两方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.解答：解：（1）分解因式得：x （x+1 - k2） =0,解得：X1=0, x2=k2_ 1;（2）分解因式得：（x-m+n）（x-m-n） =0,解得：x i=m-n, x2=m+n .点评：此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.13. （2008?温州）（1）计算:展-（例-1）口+|-1|；（2）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法.请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程.① x2—3x+1=0;②（x-1）2=3；③ x2— 3x=0 ;④ x2-2x=4.考点：实数的运算；解一元二次方程 -直接开平方法；解一元二次方程 -配方法；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法.专题：计算题.分析：（1）本题涉及零指数哥还有绝对值，解答时要注意它们的性质.（2）①x2- 3x+1=0采用公式法；②（x-1） 2=3采用直接开平方法；③x2- 3x=0采用因式分解法；④x2- 2x=4采用配方法.解答：解：（1）场-［炳-1）（2）① x2- 3x+1=0 ,刎/日抖而Vs解得町二丁厂，¥.2二一^；②（xT） 2=3,x - 1=V^或x -1= - Vs解得x1 = 1 + \!, 3,x2=1 h/s③ x2-3x=0,x （x - 3） =0解得x1=0, x2=3;④ x2-2x=4,即x2 - 2x - 4=02- 2x=4x即x2- 2x+1=5（x T） 2=5解得x1=l-V^0二计听.点评：本题考查实数的综合运算能力，解决此类题目的关键熟记零指数哥和绝对值的运算.解一元二次方程时要注意选择适宜的解题方法.14.用因式分解法解下列一元二次方程: (1) 5x 2=V2x(2) 4 (2x+3) - ( 2x+3) 2=0 (3) (x- 2) 2= (2x+3) 2(4)一(x+1 ) 2=1 (x- 1) 2.4 9考点：解一元二次方程-因式分解法. 分析：(1)移项后提公因式即可；(1) 移项后因式分解即可； (2) 移项后因式分解即可； (3) 直接开平方即可解答.解答：解：(1) 5x 2=/2x ,移项得 5x 2 - J^x=0 ,提公因式得x (5x-=0, 解得 x 1=0 x 2=Y2.5(4) 4 (2x+3) - ( 2x+3) 2=0,提公因式得，(2x+3) [4- (2x+3) ]=0, 解得，2x+3=0 , 1 - 2x=0 ,(5) (x — 2) 2= (2x+3) 2,移项得，(x-2) 2- ( 2x+3) 2=0,因式分解得，(x- 2 - 2x - 3) (x-2+2x+3) =0 , 则—x — 5=0, 3x+1=0 , 解得，x 1= - 5, x 2=- ';(6) — (x+1) 2」(x- 1) 2,4 9直接开平方得 J (x+1) =W(x-1), £ J解得x 1= - 5,点评：本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法.15.因式分解法解方程： 3x 2-12x=-12.则［(x+1) 2=4 (xT),(x+1)考点：解一元二次方程-因式分解法.分析：先移项，再两边都除以3,分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可. 解答：解：3x2- 12x= -12,移项得：3x2- 12x+12=0 ,2- 4x+4=0 ,x(x-2) (x-2) =0,x-2=0, x-2=0, x i=x2=2.点评：本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元- 次方程，题目比较好，难度适中.16.用因式分解法解方程：x2-9x+18=0 .考点：解一元二次方程-因式分解法.分析：分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.解答：解：x2 - 9x+18=0 ,(x - 3) (x - 6) =0,x — 3=0 , x — 6=0, x1=3, x2=6.点评：本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元- 次方程.17.用因式分解法解方程：12x2+x-6=0.考点：解一元二次方程-因式分解法.分析：分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.解答：解：分解因式得：(3x-2) (4x+3) =0,3x - 2=0, 4x+3=0 ,点评：本题考查了解一元二次方程的应用, 解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元次方程.18.(2013秋？黄陂区校级月考)用因式分解法解方程： 3 (x-5) 2=2 (5-x)考点：解一元二次方程-因式分解法.专题：因式分解.分析：先移项，然后提公因式，这样转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可.解答：解：移项，得3 (x-5) 2+2 (x-5) =0,(x-5) (3x-13) =0,•• x - 5=0 或3x - 13=0 ,所以x1=5, x2=-^y.第11页(共11页)点评：本题考查了利用因式分解法把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解的能力.要熟练掌握因式分解的方法. 19. (2013秋？富顺县校级期中)用因式分解法解方程(x+3) 2=5 (x+3)考点：实数范围内分解因式.分析：利用因式分解法进行解方程得出即可.解答：解：(x+3) 2-5 (x+3) =0, (x+3) [ (x+3) — 5]=0,(x+3) =0 或(x+3) - 5=0,解得：x i = - 3, x 2=2.点评：此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键.考点：解一元二次方程-因式分解法.分析：首先移项，然后利用平方差公式使方程的左边进行因式分解，再进行去分母，最后解两个一元一次方程即可."解:「『—况”、t (2L3) 5 52 .(t+3)2 (3fl ) 2 2?-3t-2 .. ------- = , 5 5 2(t+3- (t+3+3t-l) (2t+lJ (t-2)-4 (t-2) C2t11)(2t+D (t-2? - 8 (t-2) (2t+1) =5 (t —2) (2t+1), 13 (t —2) (2t+1) =0,. . t — 2=0 或 2t+1=0,t 1=2 , t 2=一点评：本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是熟练掌握平方差公式的应用，此题难度不大. 20.因式分解法解一元二次方程.32+1—(孕-1)二9” 5 52。

完整版)因式分解法解一元二次方程练习题及答案

完整版)因式分解法解一元二次方程练习题及答案因式分解法解一元二次方程练题1.选择题1) 方程(x-16)(x+8)=0的根是( C )。

A。

x1=-16，x2=8B。

x1=16，x2=-8C。

x1=16，x2=-8D。

x1=-16，x2=-82) 下列方程4x2-3x-1=0，5x2-7x+2=0，13x2-15x+2=0中，有一个公共解是( B )。

A。

x=0B。

x=1C。

x=23) 方程5x(x+3)=3(x+3)解为( D )。

A。

x1=3/5，x2=-3/5B。

x=1/2C。

x1=-3/5，x2=-1/2D。

x1=-3/5，x2=-1/34) 方程(y-5)(y+2)=1的根为( A )。

A。

y1=5，y2=-2B。

y=5C。

y=-2D。

以上答案都不对5) 方程(x-1)2-4(x+2)2=0的根为( D )。

A。

x1=1，x2=-5B。

x1=-1，x2=-5C。

x1=1，x2=5D。

x1=-1，x2=56) 一元二次方程x2+5x=0的较大的一个根设为m，x2-3x+2=0的较小的根设为n，则m+n的值为( B )。

A。

1B。

2C。

-4D。

47) 已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x2-16x+55=0的一个根，则第三边长是( D )。

A。

5B。

5或11C。

6D。

112.填空题1) 方程t(t+3)=28的解为4或-7.2) 方程(2x+1)2+3(2x+1)=0的解为-2或-4/3.3) 方程(2y+1)2+3(2y+1)+2=0的解为-3或-5/2.4) 关于x的方程x2+(m+n)x+mn=0的解为-m或-n。

5) 方程x(x-5)=5-x的解为-1或5.3.用因式分解法解下列方程：1) x(x+12)=0，解为x=0或x=-12.2) (2x+1)(2x-1)=0，解为x=1/2或x=-1/2.3) (2y+1)(2y+5)=0，解为y=-1/2或y=-5/2.4) (x-7)(x+3)=0，解为x=7或x=-3.5) (x-1)(x+3)=12，解为x=2或x=-4.6) (3x+1)(x-1)=0，解为x=-1/3或x=1.7) (5x+3)(2x-1)=0，解为x=-3/5或x=1/2.8) (x-1-5)(x-1+4)=0，解为x=-2或x=6.4.用适当方法解下列方程：（略）5.解关于x的方程：1) x^2 - 4ax + 3a^2 = 1 - 2a；将等式右边的常数项移到左边，得到 x^2 - 4ax + 3a^2 + 2a - 1 = 0，然后使用求根公式得到x = 2a ± √(a^2 + 1)。

因式分解法解一元二次方程(含答案)

因式分解法解一元二次方程一．解答题（共11小题）1．用适当的方法解下列一元二次方程：（1）x2﹣2x﹣15＝0；（2）（x+4）2﹣5（x+4）＝0．2．解方程：（1）（x﹣3）2﹣16＝0；（2）x2+2x﹣3＝0．3．解下列方程：（1）x2﹣4x＝0；（2）x（x﹣2）＝x﹣2．4．解方程：（1）（x﹣1）2﹣4＝0；（2）（x﹣2）2＝3x﹣6．5．解一元二次方程：（1）（x﹣2）2＝9；（2）x2+2x﹣3＝0．6．解下列方程：（1）x2﹣3x＝0（2）x2+4x﹣5＝07．请用适当的方法解下列方程：（1）4x﹣2＝2x2；（2）（x+1）2+2＝3（x+1）．8．用适当的方法解下列方程：（1）2x2+5x＝7．（2）x2+8x+15＝0．9．解方程：（1）x2﹣2x﹣15＝0；（2）（x+4）2﹣5（x+4）＝0．10．用适当的方法解方程：（1）x2＝7x；（2）x2+4x﹣5＝0．11．阅读下面例题的解题过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的解法解方程．例：解方程：x2﹣|x|﹣2＝0解：当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0．解得：x1＝2，x2＝﹣1∵x≥0，故x＝﹣1舍去，∴x＝2是原方程的解；当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0．解得：x1＝﹣2，x2＝1∵x＜0，故x＝1舍去，∴x＝﹣2是原方程的解；综上所述，原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2．解方程x2+2|x+2|﹣4＝0．参考答案与试题解析一．解答题（共11小题）1．用适当的方法解下列一元二次方程：（1）x2﹣2x﹣15＝0；（2）（x+4）2﹣5（x+4）＝0．【分析】（1）利用十字相乘法把方程的左边变形，进而解出方程；（2）利用提公因式法把方程的左边变形，进而解出方程．【解答】（1）∵x2﹣2x﹣15＝0，∴（x﹣5）（x+3）＝0，∴x﹣5＝0或x+3＝0，∴x1＝5，x2＝﹣3；（2）∵（x+4）2﹣5（x+4）＝0，∴（x+4）（x+4﹣5）＝0，∴x+4＝0或x﹣1＝0，∴x1＝﹣4，x2＝1．【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．2．解方程：（1）（x﹣3）2﹣16＝0；（2）x2+2x﹣3＝0．【分析】（1）先移项得到（x﹣3）2＝16，然后利用直接开平方法解方程；（2）利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）（x﹣3）2＝16，x﹣3＝±4，所以x1＝7，x2＝﹣1；（2）x2+2x﹣3＝0，（x+3）（x﹣1）＝0，x+3＝0或x﹣1＝0，所以x1＝﹣3，x2＝1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法．3．解下列方程：（1）x2﹣4x＝0；（2）x（x﹣2）＝x﹣2．【分析】（1）将等号左边提公因式，用因式分解法即可求出方程的解；（2）移项将等号右边化为0，左边因式分解，再用因式分解法求出方程的解．【解答】解：（1）∵x2﹣4x＝0，∴（x﹣4）＝0，∴x＝0或x﹣4＝0，∴x1＝0，x2＝4；（2）∵x（x﹣2）＝x﹣2，∴（x﹣2）（x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣1＝0，∴x1＝2，x2＝1．【点评】本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤．4．解方程：（1）（x﹣1）2﹣4＝0；（2）（x﹣2）2＝3x﹣6．【分析】（1）将方程变形后用直接开平方法可求出方程的解；（2）将方程变形，右边化为0，左边分解因式，即可把原方程化为两个一元一次方程，从而求出原方程的解．【解答】解：（1）（x﹣1）2＝4，∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，∴x1＝3，x2＝﹣1；（2）（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0，∴（x﹣2）（x﹣2﹣3）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣5＝0，∴x1＝2，x2＝5．【点评】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握直接开平方法和因式分解法解一元二次方程．5．解一元二次方程：（1）（x﹣2）2＝9；（2）x2+2x﹣3＝0．【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【解答】（1）解：（x﹣2）2＝9，x﹣2＝±3，x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，∴x1＝5，x2＝﹣1．（2）解：x2+2x﹣3＝0，∴（x﹣1）（x+3）＝0，则x﹣1＝0或x+3＝0，∴x1＝1，x2＝﹣3．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．6．解下列方程：（1）x2﹣3x＝0（2）x2+4x﹣5＝0【分析】（1）利用因式分解法把原方程化为x＝0或x﹣3＝0，然后解两个一次方程即可；（2）利用因式分解法把原方程化为x+5＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：（1）x（x﹣3）＝0，x＝0或x﹣3＝0，所以x1＝0，x2＝3；（2）（x+5）（x﹣1）＝0，x+5＝0或x﹣1＝0，所以x1＝﹣5，x2＝1..【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．7．请用适当的方法解下列方程：（1）4x﹣2＝2x2；（2）（x+1）2+2＝3（x+1）．【分析】（1）先化成一般式，再因式分解即可；（2）把x+1看成一个整体，利用因式分解法解即可．【解答】解：（1）原方程化为x2﹣2x+1＝0；∴（x﹣1）2＝0，∴x﹣1＝0或x﹣1＝0，∴x1＝x2＝1；（2）移项得（x+1）2﹣3（x+1）+2＝0，因式分解得（x+1﹣1）（x+1﹣2）＝0，∴x+1﹣1＝0或x+1﹣2＝0，∴x1＝0，x2＝1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．也考查了直接开平方法解一元二次方程．8．用适当的方法解下列方程：（1）2x2+5x＝7．（2）x2+8x+15＝0．【分析】（1）利用十字相乘法因式分解，解出x的值即可；（2）利用十字相乘法因式分解，解出x的值即可．【解答】解：（1）2x2+5x＝7，因式分解得，（2x+7）（x﹣1）＝0，所以x1＝﹣，x2＝1；（2）x2+8x+15＝0，因式分解得（x+3）（x+5）＝0，所以x1＝﹣3，x2＝﹣5．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．9．解方程：（1）x2﹣2x﹣15＝0；（2）（x+4）2﹣5（x+4）＝0．【分析】（1）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣15＝0，（x﹣5）（x+3）＝0，x﹣5＝0或x+3＝0，x1＝5，x2＝﹣3；（2）（x+4）2﹣5（x+4）＝0，（x+4）（x+4﹣5）＝0，（x+4）（x﹣1）＝0，x+4＝0或x﹣1＝0，x1＝﹣4，x2＝1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．10．用适当的方法解方程：（1）x2＝7x；（2）x2+4x﹣5＝0．【分析】（1）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，再进一步求解即可；（2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．【解答】解：（1）∵x2＝7x，∴x2﹣7x＝0，∴x（x﹣7）＝0，则x＝0或x﹣7＝0，解得x1＝0，x2＝7；（2）∵x2+4x﹣5＝0，∴（x+5）（x﹣1）＝0，则x+5＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣5，x2＝1．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．11．阅读下面例题的解题过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的解法解方程．例：解方程：x2﹣|x|﹣2＝0解：当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0．解得：x1＝2，x2＝﹣1∵x≥0，故x＝﹣1舍去，∴x＝2是原方程的解；当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0．解得：x1＝﹣2，x2＝1∵x＜0，故x＝1舍去，∴x＝﹣2是原方程的解；综上所述，原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2．解方程x2+2|x+2|﹣4＝0．【分析】分x+2大于等于0与小于0两种情况，利用绝对值的代数意义化简所求方程，求出解即可．【解答】解：当x+2≥0，即x≥﹣2时，方程变形得：x2+2x＝0，即x（x+2）＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣2；当x+2＜0，即x＜﹣2时，方程变形得：x2﹣2x﹣8＝0，即（x﹣4）（x+2）＝0，解得：x1＝4（不合题意，舍去），x2＝﹣2（不合题意，舍去），综上，原方程的解为x＝0或x＝﹣2．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．。

因式分解法解一元二次方程练习题及答案

因式分解法解一元二次方程练习题1．选择题(1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( )A ．x 1＝－16，x 2＝8B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－8(2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( )A ．x ＝21B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝－1 (3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( )A ．x 1＝53，x 2＝3 B ．x ＝53 C ．x 1＝－53，x 2＝－3 D ．x 1＝53，x 2＝－3(4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( )A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对(5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( )A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝5(6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．2C ．－4D ．4(7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( )A ．5B ．5或11C ．6D ．112．填空题(1)方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．(3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．(4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________．(5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．3．用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋12x ＝0； (2)4x 2－1＝0；（3） x 2＝7x ；(4)x 2－4x －21＝0； (5)(x －1)(x ＋3)＝12； (6)3x 2＋2x －1＝0；(7)10x 2－x －3＝0； (8)(x －1)2－4(x －1)－21＝0．4．用适当方法解下列方程：(1)x2－4x＋3＝0；(2)(x－2)2＝256；（3）x2－3x＋1＝0；(4)x2－2x－3＝0；(5)(2t＋3)2＝3(2t＋3)；(6)(3－y)2＋y2＝9；(7)2x2－8x＝7；(8)(x＋5)2－2(x＋5)－8＝0．5．解关于x的方程：(1)x2－4ax＋3a2＝1－2a；(2)x2＋5x＋k2＝2kx＋5k＋6；(3)x2－2mx－8m2＝0；(4)x2＋(2m＋1)x＋m2＋m＝0．6．已知(x2＋y2)(x2－1＋y2)－12＝0．求x2＋y2的值．7．解方程：x(x＋12)＝864．8．已知x2＋3x＋5的值为9，试求3x2＋9x－2的值．。

因式分解法解一元二次方程试题附答案

30题搞定一元二次方程计算易错点因式分解法日期:________时间:________姓名:________成绩:________一、单选题（共10小题）1.方程x（x﹣6）＝0的解是（）A．x＝6B．x1＝0，x2＝6C．x＝﹣6D．x1＝0，x2＝﹣62.方程（x﹣5）（x+2）＝0的解是（）A．x＝5B．x＝﹣2C．x1＝﹣5，x2＝2D．x1＝5，x2＝﹣23.方程x2+x﹣12＝0的根是（）A．3B．4C．﹣3D．﹣24.一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（）A．x1＝2，x2＝﹣3B．x1＝﹣2，x2＝3C．x1＝﹣2，x2＝﹣3D．x1＝2，x2＝35.一元二次方程5x2﹣2x＝0的解是（）A．x1＝0，x2＝B．x1＝0，x2＝﹣C．x1＝0，x2＝D．x1＝0，x2＝﹣6.方程x2﹣4x＝0的解是（）A．x＝4B．x1＝1，x2＝4C．x1＝0，x2＝4D．x＝07.一元二次方程（2x+1）2＝（2x+1）（x﹣1）的解为（）A．x＝1B．x1＝﹣，x2＝1 C．x1＝﹣，x2＝﹣2D．x1＝﹣，x2＝28.方程3x（2x+1）＝2（2x+1）的两个根为（）A．B．C．D．9.一元二次方程x2+6x﹣7＝0的解为（）A．x1＝1，x2＝7B．x1＝﹣1，x2＝7 C．x1＝﹣1，x2＝﹣7D．x1＝1，x2＝﹣7 10.方程x2+3x﹣18＝0的两个根为（）A．x1＝﹣6，x2＝3B．x1＝﹣3，x2＝6 C．x1＝﹣2，x2＝9D．x1＝﹣9，x2＝2二、填空题（共10小题）11.方程（x﹣1）（x﹣3）＝0的解为．12.一元二次方程x2﹣7x＝0的较大根为．13.方程3x（2x+1）＝2x+1解为．14.一元二次方程x2+3x＝0的解是．15.一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的解是．16.一元二次方程6x2﹣12x＝0的解是．17.方程（x﹣3）2+4x（x﹣3）=0的解为．18.方程x2﹣3x+2＝0的根是．19.一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的解为．20.方程x2﹣3x﹣4＝0的解是．三、解答题（共10小题）21.用因式分解法解方程：（x+1）2﹣4＝3（x+1）．22.用因式分解法解方程：x2﹣5x+6＝023.用因式分解法解方程：x（x﹣8）＝9（8﹣x）．24.用因式分解法解方程：x2﹣7x﹣30＝0．25.用因式分解法解方程：（x+1）（x+2）＝2x+4．26.用因式分解法解方程：x2+4x﹣21＝0．27.用因式分解法解方程：（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝﹣1．28.用因式分解法解方程：x2﹣1＝2（x+1）29.用因式分解法解方程：x2+10x+16＝0．30.用因式分解法解方程：（x+3）2＝（1﹣2x）2．因式分解法解一元二次方程参考答案部分答案偶尔有误，仅供参考一、单选题（共10小题）1.【答案】B2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】C7.【答案】C8.【答案】C9.【答案】D10.【答案】A二、填空题（共10小题）11.【答案】x1＝3，x2＝1．12.【答案】7．13.【答案】x1＝﹣，x2＝．14.【答案】0，﹣3．15.【答案】x1＝6，x2＝﹣116.【答案】x1＝0，x2＝2．17.【答案】x1=3，x2=．18.【答案】1或219.【答案】x1＝，x2＝120.【答案】x1＝﹣1，x2＝4．三、答案题（共10小题）21.【答案】x＝3或x＝﹣2．22.【答案】x1＝2，x2＝3．23.【答案】x1＝8，x2＝﹣9．24.【答案】x1＝10，x2＝﹣3．25.【答案】x＝﹣2或1．26.【答案】x1＝3，x2＝﹣7．27.【答案】x1＝x2＝2．28.【答案】x＝﹣1或x＝3．29.【答案】x1＝﹣2，x2＝﹣8．30.【答案】x1＝4，x2＝﹣．。

初中数学新人教版因式分解法解一元二次方程练习题及答案

初中数学新人教版因式分解法解一元二次方程练习题及答案1．选择题方程＝0的根是A．x1＝－16，x2＝B．x1＝16，x2＝－C．x1＝16，x2＝D．x1＝－16，x2＝－8222下列方程4x－3x－1＝0，5x－7x＋2＝0，13x－15x ＋2＝0中，有一个公共解是1 B．x＝C．x＝1D．x＝－1方程5x＝3解为3333A．x1＝，x2＝B．x＝ C．x1＝－，x2＝－ D．x1＝，x2＝－5555方程＝1的根为A．y1＝5，y2＝－2B．y＝ C．y＝－2D．以上答案都不对22方程－4＝0的根为A．x1＝1，x2＝－B．x1＝－1，x2＝－C．x1＝1，x2＝D．x1＝－1，x2＝522一元二次方程x＋5x＝0的较大的一个根设为m，x －3x＋2＝0较小的根设为n，则m＋n的值为 A．x＝A．1 B． C．－4D．42已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x－16x＋55＝0的一个根，则第三边长是A．5B．5或11C． D．112．填空题方程t＝28的解为_______．2方程＋3＝0的解为__________．2方程＋3＋2＝0的解为__________．2关于x的方程x＋x＋mn＝0的解为__________．方程x＝－x的解为__________．3．用因式分解法解下列方程：222x＋12x＝0；4x－1＝0； x＝7x；2x－4x－21＝0；＝12； 3x＋2x－1＝0；2210x－x－3＝0；－4－21＝0．4．用适当方法解下列方程：222x－4x＋3＝0；＝256； x－3x＋1＝0；2222x－2x－3＝0；＝3；＋y＝9；22x－8x＝7；－2－8＝0．5．解关于x的方程：2222x－4ax＋3a＝1－2a； x＋5x＋k＝2kx＋5k＋6； 2222x－2mx－8m＝0； x＋x＋m＋m＝0．2222226．已知－12＝0．求x＋y的值．7．解方程：x＝864．228．已知x＋3x＋5的值为9，试求3x＋9x－2的值．9．一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h与所用的时间t的关系式h＝－5．求运动员起跳到入水所用的时间．10．解方程22242－5＋4＝0x－3x－4＝0．初中数学用因式分解法解一元二次方程一．选择题1．用因式分解法解一元二次方程x﹣2=0，正222222二．填空题8．一元二次方程3x2﹣4x﹣2=0的解是．9．一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解是．10．一元二次方程2﹣36=0的解是．三．解答题11．用指定的方法解下列一元二次方程：2x2﹣4x+1=0；3x=2﹣2x；x2﹣x﹣3=0．第1页12．用因式分解法解下列关于x的一元二次方程．22x+x﹣kx=0222x﹣2mx+m﹣n=0．13．计算：；我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．①x﹣3x+1=0；②=3；③x﹣3x=0；④x﹣2x=4．14．用因式分解法解下列一元二次方程：25x=x24﹣=022==．15．因式分解法解方程：3x﹣12x=﹣12．16．用因式分解法解方程：x﹣9x+18=0．第2页2222222217．用因式分解法解方程：12x+x﹣6=0．18．用因式分解法解方程：3=219．用因式分解法解方程=520．因式分解法解一元二次方程．+1﹣=．22第3页初中数学用因式分解法解一元二次方程参考答案与试题解析一．选择题1．用因式分解法解一元二次方程x﹣2=0，正22第4页2222第5页因式分解法解一元二次方程练习题1．选择题方程＝0的根是A．x1＝－16，x2＝B．x1＝16，x2＝－C．x1＝16，x2＝D．x1＝－16，x2＝－8222下列方程4x－3x－1＝0，5x－7x＋2＝0，13x－15x ＋2＝0中，有一个公共解是1 B．x＝C．x＝1D．x＝－1方程5x＝3解为3333A．x1＝，x2＝B．x＝ C．x1＝－，x2＝－ D．x1＝，x2＝－5555方程＝1的根为A．y1＝5，y2＝－2B．y＝ C．y＝－2D．以上答案都不对22方程－4＝0的根为A．x1＝1，x2＝－B．x1＝－1，x2＝－C．x1＝1，x2＝D．x1＝－1，x2＝522一元二次方程x＋5x＝0的较大的一个根设为m，x －3x＋2＝0较小的根设为n，则m＋n的值为A．1 B． C．－4D．42已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x－16x＋55＝0的一个根，则第三边长是A．5B．5或11C． D．112方程x－3|x－1|＝1的不同解的个数是A．0 B．1 C．D．32．填空题方程t＝28的解为_______．2方程＋3＝0的解为__________．2方程＋3＋2＝0的解为__________．2关于x的方程x＋x＋mn＝0的解为__________． A．x ＝方程x＝－x的解为__________．3．用因式分解法解下列方程：2222x＋12x＝0； 4x－1＝0； x＝7x； x－4x－21＝0；222＝12； 3x＋2x－1＝0；10x－x－3＝0；－4－21＝0．4．用适当方法解下列方程：2222x－4x＋3＝0；＝256； x－3x＋1＝0； x－2x －3＝0；222＝3；＋y＝9；x－x＝0； x－x＋＝0；222x－8x＝7；－2－8＝0．25．解关于x的方程：2222x－4ax＋3a＝1－2a； x＋5x＋k＝2kx＋5k＋6； 2222x－2mx－8m＝0； x＋x＋m＋m＝0．x?y226．已知x＋3xy－4y＝0，试求的值． x?y2222227．已知－12＝0．求x＋y的值．8．请你用三种方法解方程：x＝864．229．已知x＋3x＋5的值为9，试求3x＋9x－2的值． 10．一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h与所用的时间t的关系式h＝－5．求运动员起跳到入水所用的时间．222222211．为解方程－5＋4＝0，我们可以将x－1视为一个整体，然后设x－1＝y，则y＝，原方程化为y－5y ＋4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x－1＝1，x＝2，∴x＝±2．当y＝4时，x－1＝4，x＝5，∴x＝±．∴原方程的解为x1＝－2，x2＝2，x3＝－5，x4＝5．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．42运用上述方法解方程：x－3x－4＝0．2既然可以将x－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗？222。

用因式分解法解一元二次方程(知识点+经典例题+综合练习)---详细答案

用因式分解法解一元二次方程【主体知识归纳】1．因式分解法若一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，例如，x 2－9＝0，这个方程可变形为(x ＋3)(x －3)＝0，要(x ＋3)(x －3)等于0，必须并且只需(x ＋3)等于0或(x －3)等于0，因此，解方程(x ＋3)(x －3)＝0就相当于解方程x ＋3＝0或x －3＝0了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2．因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论根据是：若A ·B ＝0A ＝0或B ＝0．【基础知识讲解】1．只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．2．在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简便，有的用因式分解法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实际解一元二次方程时，一般不用配方法．而在以后的学习中，会常常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法．【例题精讲】例1：用因式分解法解下列方程：(1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1．解：(1)方程可变形为(y ＋1)(y ＋6)＝0，y ＋1＝0或y ＋6＝0，∴y 1＝－1，y 2＝－6．(2)方程可变形为t (2t －1)－3(2t －1)＝0，(2t －1)(t －3)＝0，2t －1＝0或t －3＝0，∴t 1＝21，t 2＝3． (3)方程可变形为2x 2－3x ＝0．x (2x －3)＝0，x ＝0或2x －3＝0．∴x 1＝0，x 2＝23．说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2)应用因式分解法解形如(x －a )(x －b )＝c 的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x －e )(x －f )＝0的形式，这时才有x 1＝e ，x 2＝f ，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：原方程变形为：2x －1＝1或x －1＝1．∴x 1＝1，x 2＝2．(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t －1)，请同学们思考例2：用适当方法解下列方程： (1)3(1－x )2＝27；(2)x 2－6x －19＝0；(3)3x 2＝4x ＋1；(4)y 2－15＝2y ；(5)5x (x －3)－(x －3)(x ＋1)＝0；(6)4(3x ＋1)2＝25(x －2)2．剖析：方程(1)用直接开平方法，方程(2)用配方法，方程(3)用公式法，方程(4)化成一般式后用因式分解法，而方程(5)、(6)不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了．解：(1)(1－x )2＝9，(x －1)2＝3，x －1＝±3，∴x 1＝1＋3，x 2＝1－3．(2)移项，得x 2－6x ＝19，配方，得x 2－6x ＋(－3)2＝19＋(－3)2，(x －3)2＝28，x －3＝±27， ∴x 1＝3＋27，x 2＝3－27．(3)移项，得3x 2－4x －1＝0，∵a ＝3，b ＝－4，c ＝－1，∴x ＝37232)1(34)4()4(2±=⨯-⨯⨯--±--， ∴x 1＝372+，x 2＝372-． (4)移项，得y 2－2y －15＝0，把方程左边因式分解，得(y －5)(y ＋3)＝0；∴y －5＝0或y ＋3＝0，∴y 1＝5，y 2＝－3．(5)将方程左边因式分解，得(x －3)［5x －(x ＋1)］＝0，(x －3)(4x －1)＝0，∴x －3＝0或4x －1＝0，∴x 1＝3，x 2＝41． (6)移项，得4(3x ＋1)2－25(x －2)2＝0，［2(3x ＋1)］2－［5(x －2)］2＝0，［2(3x ＋1)＋5(x －2)］·［2(3x ＋1)－5(x －2)］＝0，(11x －8)(x ＋12)＝0，∴11x －8＝0或x ＋12＝0，∴x 1＝118，x 2＝－12．说明：(1)对于无理系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过要注意二次根式的化简．(2)直接因式分解就能转化成两个一次因式乘积等于零的形式，对于这种形式的方程就不必要整理成一般式了．例3:解关于x 的方程：(a 2－b 2)x 2－4abx ＝a 2－b 2．解：(1)当a 2－b 2＝0，即｜a ｜＝｜b ｜时，方程为－4abx ＝0．当a ＝b ＝0时，x 为任意实数．当｜a ｜＝｜b ｜≠0时，x ＝0．(2)当a 2－b 2≠0，即a ＋b ≠0且a －b ≠0时，方程为一元二次方程．分解因式，得［(a ＋b )x ＋(a －b )］［(a －b )x －(a ＋b )］＝0，∵a ＋b ≠0且a －b ≠0，∴x 1＝b a a b +-，x 2＝ba b a -+．说明：解字母系数的方程，要注意二次项系数等于零和不等于零的不同情况分别求解．本题实际上是分三种情况，即①a ＝b ＝0；②｜a ｜＝｜b ｜≠0；③｜a ｜≠｜b ｜．例4:已知x 2－xy －2y 2＝0，且x ≠0，y ≠0，求代数式22225252y xy x y xy x ++--的值．剖析：要求代数式的值，只要求出x 、y 的值即可，但从已知条件中显然不能求出，要求代数式的分子、分母是关于x 、y 的二次齐次式，所以知道x 与y 的比值也可．由已知x 2－xy －2y 2＝0因式分解即可得x 与y 的比值．解：由x 2－xy －2y 2＝0，得(x －2y )(x ＋y )＝0，∴x －2y ＝0或x ＋y ＝0，∴x ＝2y 或x ＝－y ．当x ＝2y 时，135y 13y 5y 5y y 22)y 2(y 5y y 22)y 2(y 5xy 2x y 5xy 2x 2222222222-=-=+⋅⋅+-⋅⋅-=++--．当x ＝－y 时，21y4y 2y 5y )y (2)y (y 5y )y (2)y (y 5xy 2x y 5xy 2x 222222222-=-=+⋅-⋅+--⋅-⋅--=++--2．说明：因式分解法体现了“降次”“化归”的数学思想方法，它不仅可用来解一元二次方程，而且在解一元高次方程、二元二次方程组及有关代数式的计算、证明中也有着广泛的应用．【同步达纲练习】1．选择题(1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( )A ．x 1＝－16，x 2＝8B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－8(2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( )A ．．x ＝21 B ．x ＝2 C ．x ＝1 D ．x ＝－1(3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( )A ．x 1＝53，x 2＝3 B ．x ＝53C ．x 1＝－53，x 2＝－3D ．x 1＝53，x 2＝－3 (4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( )A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对(5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( )A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝5(6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．2C ．－4D ．4(7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( )A ．5B ．5或11C ．6D ．11(8)方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．填空题(1)方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．(3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．(4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________．(5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．3．用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋12x ＝0；(2)4x 2－1＝0； (3)x 2＝7x ；(4)x 2－4x －21＝0；(5)(x －1)(x ＋3)＝12； (6)3x 2＋2x －1＝0；(7)10x 2－x －3＝0；(8)(x －1)2－4(x －1)－21＝0．4．用适当方法解下列方程：(1)x 2－4x ＋3＝0；(2)(x －2)2＝256； (3)x 2－3x ＋1＝0；(4)x 2－2x －3＝0；(5)(2t ＋3)2＝3(2t ＋3)；(6)(3－y )2＋y 2＝9；(7)(1＋2)x 2－(1－2)x ＝0；(8)5x 2－(52＋1)x ＋10＝0；(9)2x 2－8x ＝7(精确到0．01)；(10)(x ＋5)2－2(x ＋5)－8＝0．5．解关于x 的方程：(1)x 2－4ax ＋3a 2＝1－2a ；(2)x 2＋5x ＋k 2＝2kx ＋5k ＋6；(3)x 2－2mx －8m 2＝0； (4)x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＝0．6．已知x 2＋3xy －4y 2＝0(y ≠0)，试求yx y x +-的值．7．已知(x 2＋y 2)(x 2－1＋y 2)－12＝0．求x 2＋y 2的值．8．请你用三种方法解方程：x(x＋12)＝864．9．已知x2＋3x＋5的值为9，试求3x2＋9x－2的值．10．一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h(单位：米)与所用的时间t(单位：秒)的关系式h＝－5(t－2)(t＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．11．为解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y，则y2＝(x2－1)2，原方程化为y2－5y＋4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2－1＝1，x2＝2，∴x＝±2．当y＝4时，x2－1＝4，x2＝5，∴x＝±5．∴原方程的解为x1＝－2，x2＝2，x3＝－5，x4＝5．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．(1)运用上述方法解方程：x4－3x2－4＝0．(2)既然可以将x2－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗参考答案【同步达纲练习】1．(1)B (2)C (3)D (4)D (5)B (6)A (7)A (8)D2．(1)t 1＝－7，t 2＝4(2)x 1＝－21，x 2＝－2(3)y 1＝－1，y 2＝－23(4)x 1＝－m ，x 2＝－n (5)x 1＝5，x 2＝－1 3．(1)x 1＝0，x 2＝－12；(2)x 1＝－21，x 2＝21；(3)x 1＝0，x 2＝7；(4)x 1＝7，x 2＝－3；(5)x 1＝－5，x 2＝3；(6)x 1＝－1，x 2＝31； (7)x 1＝53，x 2＝－21；(8)x 1＝8，x 2＝－2． 4．(1)x 1＝1，x 2＝3；(2)x 1＝18，x 2＝－14；(3)x 1＝253+，x 2＝253-；(4)x 1＝3，x 2＝－1； (5)t 1＝0，t 2＝－23；(6)y 1＝0，y 2＝3；(7)x 1＝0，x 2＝22－3； (8)x 1＝55，x 2＝10；(9)x 1≈，x 2＝－；(10)x 1＝－1，x 2＝－7． 5．(1)x 2－4ax ＋4a 2＝a 2－2a ＋1，(x －2a )2＝(a －1)2，∴x －2a ＝±(a －1)，∴x 1＝3a －1，x 2＝a ＋1．(2)x 2＋(5－2k )x ＋k 2－5k －6＝0，x 2＋(5－2k )x ＋(k ＋1)(k －6)＝0，［x －(k ＋1)］［x －(k －6)］＝0，∴x 1＝k ＋1，x 2＝(k －6)．(3)x 2－2mx ＋m 2＝9m 2，(x －m )2＝(3m )2∴x 1＝4m ，x 2＝－2m(4)x 2＋(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)＝0，(x ＋m )［x ＋(m ＋1)］＝0，∴x 1＝－m ，x 2＝－m －16．(x ＋4y )(x －y )＝0，x ＝－4y 或x ＝y当x ＝－4y 时，y x y x +-＝3544=+---y y y y ；当x ＝y 时，y x y x +-＝yy y y +-＝0． 7．(x 2＋y 2)(x 2＋y 2－1)－12＝0，(x 2＋y 2)2－(x 2＋y 2)－12＝0，(x 2＋y 2－4)(x 2＋y 2＋3)＝0，∴x 2＋y 2＝4或x 2＋y 2＝－3(舍去)8．x 1＝－36，x 2＝24 9．∵x 2＋3x ＋5＝9，∴x 2＋3x ＝4，∴3x2＋9x－2＝3(x2＋3x)－2＝3×4－2＝10 10．10＝－5(t－2)(t＋1)，∴t＝1(t＝0舍去) 11．(1)x1＝－2，x2＝2(2)(x2－2)(x2－5)＝0，(x＋2)(x－2)(x＋5)(x－5)＝0。

因式分解法解一元二次方程练习题及答案

用因式分解法解一元二次方程(知识点 经典例题 综合练习)---详细答案

用因式分解法解一元二次方程(知识点 经典例题 综合练习)---详细答案

因式分解解一元二次方程136题

因式分解法解一元二次方程练习题及答案

九年级数学上册《解一元二次方程(因式分解法)》练习题

(完整版)用因式分解法解一元二次方程(知识点+经典例题+综合练习)---详细答案

(完整版)用因式分解法解一元二次方程(知识点+经典例题+综合练习)---详细答案

一元二次方程的解法综合练习题及答案

(完整版)初中数学用因式分解法解一元二次方程及答案

完整版)因式分解法解一元二次方程练习题及答案

因式分解法解一元二次方程(含答案)

因式分解法解一元二次方程练习题及答案

因式分解法解一元二次方程试题附答案

初中数学新人教版因式分解法解一元二次方程练习题及答案

用因式分解法解一元二次方程(知识点+经典例题+综合练习)---详细答案

用因式分解法解一元二次方程(知识点经典例题综合练习)---详细答案

用因式分解法解一元二次方程(知识点经典例题综合练习)---详细答案