2020-2021学年吉林省长春市经开区九年级(上)期末数学试卷 (含解析)
吉林省长春市南关区2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷(word版含答案)
2020-2021学年吉林省长春市南关区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每道题3分，共24分）1．﹣8的绝对值是（）A．﹣8B．8C．﹣D．2．化简2（a﹣2）+4a结果为（）A．6a+4B．6a﹣4C．﹣6a+4D．﹣6a﹣43．下列运算，结果正确的是（）A．﹣＝B．3+＝3C．÷＝3D．×＝2 4．将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x﹣5）2﹣1C．y＝（x﹣5）2+5D．y＝（x+5）2﹣5 5．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是（）A．51°B．56°C．68°D．78°6．中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x辆车，y人，则可列方程组为（）A．B．C．D．7．图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盆中（底盆固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位，图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50cm，∠ABC＝47°．则车位锁的底盒BC长约为（）（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）A．34B．73C．68D．1078．三个正方形方格在扇形中的位置如图所示，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个方格的边长为1，则扇形EOF的面积为（）A．πB．πC．πD．π二、填空题（每道题3分，共18分）9．若分式有意义，则x的取值范围是．10．多项式5mx2﹣20my2分解因式的结果是．11．不等式组解集是．12．化简|﹣3|+的结果是．13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，则sin A＝．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，点C的坐标为（2，﹣4）；当CD最短时，则抛物线顶点纵坐标为．三、解答题（共10小题，共78分）15．先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中x＝﹣．y＝1．16．到目前为止，北京是世界上唯一一个既举办过夏季奥运会，又即将举办冬季奥运会的城市，以下是北京奥运会、残奥会、冬奥会及冬残奥会的会徽卡片（除字母和内容外，其余完全相同），四张会徽分别用编号A、B、C、D来表示．现将这四张会徽卡片背面朝上，洗匀放好．（1）从中任意抽取一个会徽卡片，恰好是“中国印•舞动的北京”的概率为．（2）小思从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张会徽卡片恰好是“冬梦”和“飞跃”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）17．疫情过后，为做好复工复产，某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料．已知A型机器人每小时搬运的原料比B型机器人每小时搬运的原料的一半多50千克，且B型机器人搬运2400千克所用时间与A型机器人搬运2000千克所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少千克原料．18．如图，在等腰三角形ABD中，AB＝AD，点C为BD上一点，以BC为直径作⊙O，且点A恰好在⊙O上，连接AC．（1）若AC＝CD，求证：AD是⊙O的切线．（2）在（1）的条件下，若⊙O的直径BC＝6，直接写出的长．19．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，按步骤完成下列问题：（1）在图1中，画出点D，使得四边形ABDC是平行四边形．（2）在图2中，在AB上找点E，使得△ACE的面积是△BCE面积的．（3）在图3中，在AB边上找一点F，使得tan∠ACF＝．20．为了了解我校学生在家做家务劳动的情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题．（1）求本次调查学生的人数；（2）将条形统计图补充完整；（3）抽查的学生中做家务劳动时间的众数是小时，中位数是小时；（4）如果全校共有学生3000人，请你估计全校大约有多少同学做家务劳动时间是2小时．21．受新型冠状病毒影响，学生在进入学校大门时都要配合监测体温．某学校上学高峰期学生到达学校的人数（包括校门口等待检测的学生和已经检测体温入校的学生）y（人）随时间x（分钟）的变化情况如图所示，已知前12分钟，y可看作是x的二次函数，并在12分钟时，学生到达学校人数y达到最大值为720人，回答下列问题：（1）当0≤x≤12时，求y与x之间的函数解析式；（2）已知学校门口有体温检测岗位3个，每个岗位的工作人员每分钟能检测10人，求学校门口等待接受体温测量的队伍最多时有多少人；（3）在（2）的条件下，从测温开始到所有学生测温结束，当学校门口等待接受体温测量的人数随时间的增加而减少时，直接写出对应的x的取值范围．22．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学数材第96页的部分内容（1）定理感知：如果教材中的已知条件不变，如图①，当PD＝2，OE＝4时，则直接写出△OPE的面积为．（2）定理应用：如图②，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，求证：＝．（3）拓展应用：如图③，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12，将△ABC先沿∠BAC的平分线AB1折叠，再剪掉重叠部分（即四边形ABB1A1），再将余下部分沿∠。
2020-2021学年吉林省长春市二道区九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析
2020-2021学年吉林省长春市二道区九年级上学期期末考试
数学试卷
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．下列各式属于最简二次根式的是（）
A．√8B．√x2+1C．√y2D．√1 2
2．一元二次方程4x2﹣3x+1
4
=0根的情况是（）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
3．用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（）
A．各边的长度B．各内角的度数
C．五边形的周长D．五边形的面积
4．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，则估计盒子中大约有红球（）
A．16个B．14个C．20个D．30个
5．肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，依题意可列方程（）
A．1+x＝225B．1+x2＝225
C．（1+x）2＝225D．1+（1+x2）＝225
6．抛物线y＝（x﹣3）2﹣2经过平移得到抛物线y＝x2，平移过程正确的是（）A．先向下平移2个单位，再向左平移3个单位
B．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位
C．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位
D．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
7．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB＝α，那么拉线BC的长度为（）
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2020-2021学年吉林省长春市二道区九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析
2020-2021学年吉林省长春市二道区九年级上学期期末考试
数学试卷
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）下列各式属于最简二次根式的是（）
A．√8B．√x2+1C．√y2D．√1 2
2．（3分）一元二次方程4x2﹣3x+1
4
=0根的情况是（）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
3．（3分）用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（）
A．各边的长度B．各内角的度数
C．五边形的周长D．五边形的面积
4．（3分）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，则估计盒子中大约有红球（）
A．16个B．14个C．20个D．30个
5．（3分）肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，依题意可列方程（）A．1+x＝225B．1+x2＝225
C．（1+x）2＝225D．1+（1+x2）＝225
6．（3分）抛物线y＝（x﹣3）2﹣2经过平移得到抛物线y＝x2，平移过程正确的是（）A．先向下平移2个单位，再向左平移3个单位
B．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位
C．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位
D．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
7．（3分）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB＝α，那么拉线BC的长度为（）
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2020-2021长春市初三数学上期末模拟试卷(及答案)
2020-2021长春市初三数学上期末模拟试卷(及答案)一、选择题1．若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥1B．m≤1C．m＞1D．m＜12．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知==，则球的半径长是（）EF CD4A．2B．2.5C．3D．44．把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（）A．y＝﹣2（x+1）2+1B．y＝﹣2（x﹣1）2+1C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1D．y＝﹣2（x+1）2﹣15．现有一块长方形绿地，它的短边长为20 m，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加300 m2，设扩大后的正方形绿地边长为xm，下面所列方程正确的是( )A．x(x-20)=300B．x(x+20)=300C．60(x+20)=300D．60(x-20)=300 6．某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（）A．正三角形B．矩形C．正八边形D．正六边形7．将抛物线y=2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（）A．y=2（x﹣3）2﹣5B．y=2（x+3）2+5C．y=2（x﹣3）2+5D．y=2（x+3）2﹣58．在一个不透明纸箱中放有除了标注数字不同外，其他完全相同的3张卡片，上面分别标有数字1，2，3，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为()A ．59B ．49C ．56D ．139．如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D ＝34°，则∠OAC 等于( )A ．68°B ．58°C ．72°D ．56°10．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 11．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，下列结论正确是( )A ．0abc >B ．20a b +<C ．30a c +<D ．230ax bx c ++-=有两个不相等的实数根12．当ab ＞0时，y ＝ax 2与y ＝ax +b 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为 ．14．在平面直角坐标系中，已知点P 0的坐标为（2，0），将点P 0绕着原点O 按逆时针方向旋转60°得点P 1，延长OP 1到点P 2，使OP 2=2OP 1，再将点P 2绕着原点O 按逆时针方向旋转60°得点P 3，则点P 3的坐标是_____．15．己知抛物线2114y x =+具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为(3,3)，P 是抛物线2114y x =+上一个动点，则△PMF 周长的最小值是__________.16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，以点C 为圆心，CB 的长为半径画弧，与AB 边交于点D ，将BD 绕点D 旋转180°后点B 与点A 恰好重合，则图中阴影部分的面积为_____．17．若点A （－3，y 1）、B （0，y 2）是二次函数y=－2（x －1）2+3图象上的两点，那么y 1与y 2的大小关系是________（填y 1＞y 2、y 1=y 2或y 1＜y 2）．18．一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的解是x 1、x 2（x 1＜x 2），则x 1﹣x 2=_____．19．袋中装有6个黑球和n 个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为34”，则这个袋中白球大约有_____个． 20．若二次函数y ＝x 2﹣3x +3﹣m 的图象经过原点，则m ＝_____．三、解答题21．小明在解方程2210x x --=时出现了错误，其解答过程如下：解：221x x -=-（第一步）22111x x -+=-+（第二步）2(1)0x -=（第三步）121x x ==（第四步）（1）小明解答过程是从第几步开始出错的，写出错误原因.（2）请写出此题正确的解答过程.22．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x 米.（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；23．在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）图象与x轴交于点A，B （点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求点A，B的坐标；（2）若M为对称轴与x轴交点，且DM=2AM．①求二次函数解析式；②当t﹣2≤x≤t时，二次函数有最大值5，求t值；③若直线x=4与此抛物线交于点E，将抛物线在C，E之间的部分记为图象记为图象P（含C，E两点），将图象P沿直线x=4翻折，得到图象Q，又过点（10，﹣4）的直线y=kx+b 与图象P，图象Q都相交，且只有两个交点，求b的取值范围．24．请你依据下面图框中的寻宝游戏规则，探究“寻宝游戏”的奥秘：(1)用树状图（或表格）表示出所有可能的寻宝情况；(2)求在寻宝游戏中胜出的概率．25．在四张编号为A，B，C，D的卡片(除编号外，其余完全相同)的正面分别写上如图所示正整数后，背面朝上，洗匀放好，现从中随机抽取一张，不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张．(1)请用树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果(卡片用A ，B ，C ，D 表示)；(2)我们知道，满足a 2+b 2＝c 2的三个正整数a ，b ，c 成为勾股数，求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】分析：根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出实数m 的取值范围．详解：∵方程2x 2x m 0-+=有两个不相同的实数根，∴()2240m =-->，解得：m ＜1．故选D ．点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 2．A解析：A【解析】分析：根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．详解：A 、是中心对称图形，故本选项正确；B 、不是中心对称图形，故本选项错误；C 、不是中心对称图形，故本选项错误；D 、不是中心对称图形，故本选项错误；故选：A ．点睛：本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．3．B【解析】【分析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM=4-x，MF=2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．【详解】如图：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN=CD=4，设OF=x，则ON=OF，∴OM=MN-ON=4-x，MF=2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2，即：（4-x）2+22=x2，解得：x=2.5，故选B．【点睛】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．4．B解析：B【解析】【详解】∵函数y=-2x2的顶点为（0，0），∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），∴将函数y=-2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y=-2（x-1）2+1，故选B．【点睛】二次函数的平移不改变二次项的系数；关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点．5．A解析：A【分析】设扩大后的正方形绿地边长为xm ，根据“扩大后的绿地面积比原来增加300m 2”建立方程即可．【详解】设扩大后的正方形绿地边长为xm ，根据题意得x （x-20）=300，故选A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系．6．C解析：C【解析】因为正八边形的每个内角为135︒，不能整除360度，故选C.7．A解析：A【解析】把22y x =向右平移3个单位长度变为：223()y x =-，再向下平移5个单位长度变为：22(3)5y x =--．故选A ．8．B解析：B【解析】【分析】先画出树状图得出所有等可能的情况的数量和所需要的情况的数量，再计算所需要情况的概率即得．【详解】解：由题意可画树状图如下：根据树状图可知：两次摸球共有9种等可能情况，其中两次摸出球所标数字之和为奇数的情况有4种，所以两次摸出球所标数字之和为奇数的概率为：49． 【点睛】本题考查了概率的求法，能根据题意列出树状图或列表是解题关键．解析：D【解析】【分析】根据圆周角定理求出∠AOC ，再根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可解决问题．【详解】∵∠ADC =34°，∴∠AOC =2∠ADC =68°．∵OA =OC ，∴∠OAC =∠OCA 12=（180°﹣68°）=56°． 故选D ．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 10．D解析：D【解析】试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念，可知：A 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不正确；B 不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不正确；C 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不正确；D 即是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确.故选D.考点：轴对称图形和中心对称图形识别11．C解析：C【解析】【分析】观察图象：开口向下得到a ＜0；对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号，则b ＞0；抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方得到c ＞0，所以abc ＜0；由对称轴为x=2b a -=1，可得2a+b=0；当x=-1时图象在x 轴下方得到y=a-b+c ＜0，结合b=-2a 可得 3a+c ＜0；观察图象可知抛物线的顶点为（1，3），可得方程230ax bx c ++-=有两个相等的实数根，据此对各选项进行判断即可.【详解】观察图象：开口向下得到a ＜0；对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号，则b ＞0；抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方得到c ＞0，所以abc ＜0，故A 选项错误；∵对称轴x=2b a-=1，∴b=-2a ，即2a+b=0，故B 选项错误； 当x=-1时， y=a-b+c ＜0，又∵b=-2a ，∴ 3a+c ＜0，故C 选项正确；∵抛物线的顶点为（1，3），∴230ax bx c ++-=的解为x 1=x 2=1，即方程有两个相等的实数根，故D 选项错误， 故选C.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，当a ＞0，开口向上，函数有最小值，a ＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=2b a-，a 与b 同号，对称轴在y 轴的左侧，a 与b 异号，对称轴在y 轴的右侧；当c ＞0，抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方；当△=b 2-4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点． 12．D解析：D【解析】【分析】【详解】∵ab ＞0，∴a 、b 同号．当a ＞0，b ＞0时，抛物线开口向上，顶点在原点，一次函数过一、二、三象限，没有图象符合要求；当a ＜0，b ＜0时，抛物线开口向下，顶点在原点，一次函数过二、三、四象限，B 图象符合要求．故选B ．二、填空题13．【解析】试题分析：根据圆的确定先做出过ABC 三点的外接圆从而得出答案如图分别作ABBC 的中垂线两直线的交点为O 以O 为圆心OA 为半径作圆则⊙O 即为过ABC 三点的外接圆由图可知⊙O 还经过点DEFGH 这5解析：【解析】试题分析：根据圆的确定先做出过A ，B ，C 三点的外接圆，从而得出答案．如图，分别作AB 、BC 的中垂线，两直线的交点为O ，以O 为圆心、OA 为半径作圆，则⊙O 即为过A ，B ，C 三点的外接圆，由图可知，⊙O 还经过点D 、E 、F 、G 、H 这5个格点，故答案为5．考点：圆的有关性质.14．（﹣22）【解析】【分析】利用旋转的性质得到OP2=2OP1=OP3=4∠xOP2=∠P2OP3=60°作P3H ⊥x 轴于H 利用含30度的直角三角形求出OHP3H 从而得到P3点坐标【详解】解：如图∵点解析：（﹣2，3【解析】【分析】利用旋转的性质得到OP2=2OP1=OP3=4，∠xOP2=∠P2OP3=60°，作P3H⊥x轴于H，利用含30度的直角三角形求出OH、P3H，从而得到P3点坐标．【详解】解：如图，∵点P0的坐标为（2，0），∴OP0=OP1=2，∵将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，∴OP2=2OP1=OP3=4，∠xOP2=∠P2OP3=60°，作P3H⊥x轴于H，OH=12OP3=2，P333∴P3（-2，3故答案为（-2，3【点睛】本题考查了坐标与图形变化：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．15．5【解析】【分析】过点M作ME⊥x轴于点EME与抛物线交于点P′由点P′在抛物线上可得出P′F=P′E结合点到直线之间垂线段最短及MF为定值即可得出当点P 运动到点P′时△PMF周长取最小值【详解】解解析：5【解析】【分析】过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，由点P′在抛物线上可得出P′F=P′E，结合点到直线之间垂线段最短及MF为定值，即可得出当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值.【详解】解：过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，如图所示．∵点P ′在抛物线上，∴P′F=P′E ．又∵点到直线之间垂线段最短，22(30)(32)-+-=2，∴当点P 运动到点P ′时，△PMF 周长取最小值，最小值为ME+MF=3+2=5． 故答案为5.【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及点到直线的距离，根据点到直线之间垂线段最短找出△PMF 周长的取最小值时点P 的位置是解题的关键.16．【解析】【分析】根据题意用的面积减去扇形的面积即为所求【详解】由题意可得AB ＝2BC ∠ACB ＝90°弓形BD 与弓形AD 完全一样则∠A ＝30°∠B ＝∠BCD ＝60°∵CB ＝4∴AB ＝8AC ＝4∴阴影部 解析：8833π． 【解析】【分析】根据题意，用ABC 的面积减去扇形CBD 的面积，即为所求.【详解】由题意可得，AB ＝2BC ，∠ACB ＝90°，弓形BD 与弓形AD 完全一样，则∠A ＝30°，∠B ＝∠BCD ＝60°，∵CB ＝4，∴AB ＝8，AC ＝3， 2443604360π⨯⨯⨯-＝8833π， 故答案为：8833π． 【点睛】本题考查不规则图形面积的求法，属中档题. 17．y1＜y2【解析】试题分析：根据题意可知二次函数的对称轴为x=1由a=-2可知当x ＞1时y 随x 增大而减小当x ＜1时y 随x 增大而增大因此由-3＜0＜1可知y1＜y2故答案为y1＜y2点睛：此题主要考查解析：y 1＜y 2【解析】试题分析：根据题意可知二次函数的对称轴为x=1，由a=-2，可知当x ＞1时，y 随 x 增大而减小，当x＜1时，y随x增大而增大，因此由-3＜0＜1，可知y1＜y2.故答案为y1＜y2.点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题关键是求出其对称轴，然后根据对称轴和a的值判断其增减性，然后可判断.18．-4【解析】【分析】利用根与系数的关系求出所求即可此题也可解出x的值直接计算【详解】∵一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解是x1x2（x1＜x2）∴x1+x2=2x1x2=﹣3则x1﹣x2=﹣（x1+解析：-4【解析】【分析】利用根与系数的关系求出所求即可．此题也可解出x的值，直接计算．【详解】∵一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解是x1、x2（x1＜x2），∴x1+x2=2，x1x2=﹣3，则x1﹣x2=﹣=﹣=﹣4．故答案为﹣4．【点睛】本题考查了根与系数的关系，弄清根与系数的关系是解答本题的关键．19．2【解析】试题解析：∵袋中装有6个黑球和n个白球∴袋中一共有球（6+n ）个∵从中任摸一个球恰好是黑球的概率为∴解得：n=2故答案为2解析：2【解析】试题解析：∵袋中装有6个黑球和n个白球，∴袋中一共有球（6+n）个，∵从中任摸一个球，恰好是黑球的概率为34，∴63 64n=+，解得：n=2．故答案为2．20．【解析】【分析】此题可以将原点坐标（00）代入y=x2-3x+3-m求得m的值即可【详解】由于二次函数y=x2-3x+3-m的图象经过原点把（00）代入y=x2-3x+3-m得：3-m=0解得：m=解析：【解析】【分析】此题可以将原点坐标（0，0）代入y=x2-3x+3-m，求得m的值即可．【详解】由于二次函数y=x2-3x+3-m的图象经过原点，把（0，0）代入y=x2-3x+3-m，得：3-m=0，解得：m=3．故答案为3．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，通过代入点的坐标即可求解．三、解答题21．（1）一，移项没变号（或移项错误或等式性质用错均给分）；（2）11x =21x =-【解析】【分析】（1）第一步即发生错误，移项未变号；（2）可将采用配方法解方程即可.【详解】（1）一，移项没变号（或移项错误或等式性质用错）（2）解：221x x -=22111x x -+=+()212x -=即，11x =，21x =【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟悉各种解法的特点并灵活选择解法是解题关键.22．（1）12（2）当x=11时，y 最小=88平方米【解析】（1）根据题意得方程解即可；（2）设苗圃园的面积为y ，根据题意得到二次函数的解析式y=x （30-2x ）=-2x 2+30x ，根据二次函数的性质求解即可.解： (1)苗圃园与墙平行的一边长为(30－2x )米．依题意可列方程 x (30－2x )＝72，即x 2－15x ＋36＝0．解得x 1＝3（舍去），x 2＝12．(2)依题意，得8≤30－2x ≤18．解得6≤x ≤11．面积S ＝x (30－2x )＝－2(x －152)2＋2252(6≤x ≤11)． ①当x ＝152时，S 有最大值，S 最大＝2252； ②当x ＝11时，S 有最小值，S 最小＝11×(30－22)＝88“点睛”此题考查了二次函数、一元二次不等式的实际应用问题，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可.23．（1）A （﹣1，0）、B （3，0）；（2）①y =x 2﹣2x ﹣3；②t 值为0或4；③﹣1≤b ＜11或b =﹣4．【解析】【分析】（1）令y ＝0，即：ax 2﹣2ax ﹣3a ＝0，解得：x ＝﹣1或3，即可求解；（2）①DM ＝2AM ＝4，即点D 的坐标为（1，﹣4），将点D 的坐标代入二次函数表达式，即可求解；②分x ＝t 和x ＝t ﹣2在对称轴右侧、左侧或两侧三种情况，讨论求解即可；③如下图所示，直线m 、l 、n 都是直线y ＝kx +b 与图象P 、Q 都相交，且只有两个交点的临界点，即可求解．【详解】解：（1）令y =0，即：ax 2﹣2ax ﹣3a =0，解得：x =﹣1或3，即点A 、B 的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），函数的对称轴12b x a =-=； （2）①DM =2AM =4，即点D 的坐标为（1，﹣4），将点D 的坐标代入二次函数表达式得：﹣4=a ﹣2a ﹣3a ，解得：a =1，即函数的表达式为：y =x 2﹣2x ﹣3；②当x =t 和x =t ﹣2在对称轴右侧时，函数在x =t 处，取得最大值，即：t 2﹣2t ﹣3=5，解得：t =﹣2或4（舍去t =﹣2），即t =4；同理当x =t 和x =t ﹣2在对称轴左侧或两侧时，解得：t =0，故：t 值为0或4；③如下图所示，直线m 、l 、n 都是直线y =kx +b 与图象P 、Q 都相交，且只有两个交点的临界点，点E 、R 、C '坐标分别为（4，5）、（10，﹣4）、（8，﹣3），直线l 的表达式：把点E 、R 的坐标代入直线y =kx +b 得：54410,k b k b =+⎧⎨-=+⎩ 解得：3211,k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 同理可得直线m 的表达式为：112y x =--， 直线n 的表达式为：y =﹣4，故：b 的取值范围为：﹣1≤b ＜11或b =﹣4．【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，其中（2）③是本题的难点，主要通过作图的方式，通过数形结合的方法即可解决问题．24．（1）答案见解析；（2）1 6【解析】【分析】列举出所有情况，让寻宝游戏中胜出的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】（1）树状图如下：（2）由（1）中的树状图可知：P（胜出）【点睛】本题考查的是用画树状图法求概率，解答本题的关键是熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比．同时熟记用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法25．（1）图形见解析（2）1 2【解析】【分析】（1）本题属于不放回的情况，画出树状图时要注意；（2）B、C、D三个卡片的上的数字是勾股数，选出选中B、C、D其中两个的即可【详解】（1）画树状图如下：（2）∵共有12种等可能的结果数，抽到的两张卡片上的数都是勾股数的结果数为6种，∴抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率61 122 ==.。
吉林省长春市长春汽车经济技术开发区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题(含答案解析)
吉林省长春市长春汽车经济技术开发区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．方程x2-2x=0的根是（）A．x1=x2=0B．x1=x2=2C．x1=0，x2=2D．x1=0，x2=-22．抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交点坐标为（）A．(3，0) B．(0，﹣1) C．(2，﹣1) D．(0，3)3．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在15%和35%，则口袋中白色球的个数可能是（）A．6个B．14个C．20个D．40个4．如图, 边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为（）A．B．C．D．5．如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E都在⊙O上．若∠1＝55°，则∠2的大小为（）A．55°B．45°C．35°D．25°6．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是(3，m)，且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是43，则m 的值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．947．如图，⊙O 与正六边形OABCDE 的边OA 、OE 分别交于点F 、G ，点M 为劣弧FG的中点．若FM ＝⊙O 的半径为（ ）A ．2 BC ．D ．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()2233y x k =-++经过坐标原点O ，与x 轴的另一个交点为A ．过抛物线的顶点B 分别作BC ⊥x 轴于点C 、BD ⊥y 轴于点D ，则图中阴影部分图形的面积和为（ ）A ．18B ．12C ．9D ．6二、填空题 9．计算：tan 245°+1＝_____．10．若关于x 的一元二次方程x 2+2x+k ＝0无实数根，则k 的取值范围是_．11．如图，在圆内接四边形ABCD 中，若∠A ＝60°，则∠C 的大小为_____．12．如图，在ABCD中，点E在边AD上，AE：AD＝2：3，BE与AC交于点F．若AC＝20，则AF的长为_____．13．圆心角为90°的扇形如图所示，过AB的中点作CD⊥OA、CE⊥OB，垂足分别为点D、E．若半径OA＝2，则图中阴影部分图形的面积和为_____．14．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+5的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程250++-=（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围x bx t为_____．三、解答题15．解方程：x2﹣4x﹣3＝0．16．有甲、乙两个不透明的口袋，甲袋中有3个球，分别标有数字0，2，3；乙袋中有2个球，分别标有数字1，4，这5个球除所标数字不同外其余均相同．从甲、乙两袋中各随机摸出1个球．用画树状图（或列表）的方法，求摸出的两个球上数字之和是4的概率．17．图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段AB的端点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法，保留作图痕迹．（1）在图①中画出线段AB的中点C；（2）在图②中画出线段AB上的一点D，使AD：BD＝4：5．18．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B处的仰角为45°、底部C处的俯角为63°，此时航拍无人机A处与该建筑物的水平距离AD为80米．求该建筑物的高度BC（精确到1米）．[参考数据：sin63°＝0.89，cos63°＝0.45，tan63°＝1.96]19．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx经过点A(2，4)和点B(6，0)．(1)求这条抛物线所对应的二次函数的解析式；(2)直接写出它的开口方向、顶点坐标；(3)点(x1，y1)，(x2，y2)均在此抛物线上，若x1＞x2＞4，则y1 ________ y2(填“＞”“＝”或“＜”)．20．如图，在ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过点D 作DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若BC＝4，∠A＝30°，求DC的长．（结果保留π）21．某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，该山区组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元，试销阶段每袋的销售价x（元）与该土特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：（1）若日销售量y（袋）是每袋的销售价x（元）的一次函数，求y与x之间的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，设每日销售土特产的利润为w（元）；①求w与x之间的函数关系式；②要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝1（x﹣1）2﹣2与x轴交于点A和点B（点2A在点B的左侧），第一象限内的点C在该抛物线上．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）若ABC的面积为12，求点C坐标；（3）在（2）问的条件下，直线y＝mx+n经过点A、C，1（x﹣1）2﹣2＞mx+n时，2直接写出x的取值范围．23．如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿BC向点C运动，同时点M从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿AB向点B运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ、MQ为邻边作矩形PQMN，当点P到达点C时，整个运动停止．设点P的运动时间为t（t＞0）秒．（1）求BC的长；（2）用含t的代数式表示线段QM的长；（3）设矩形PQMN与ABC重叠部分图形的面积为S（S＞0），求S与t之间的函数关系式；（4）连结QN，当QN与ABC的一边平行时，直接写出t的值．24．在平面直角坐标系中，将函数y＝x2﹣2mx+4m（m为常数）的图象记为G，图象G 的最低点为P(x0，y0)．（1）当m＝0时，写出这个函数的表达式，并在所给坐标系中画出对应的图象G．（2）当y0＝﹣1时，求m的值．（3）求y0的最大值．（4）当m＞0，且当图象G与x轴有两个交点时，左边交点的横坐标为x1，直接写出x1的取值范围．参考答案1．C【解析】根据因式分解法解一元二次方程的方法，提取公因式x可得x（x-2）=0，然后按照ab=0的形式的方程解法，可得x=0或x-2=0，解得x1＝0，x2＝2.故选C.点睛：本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用.2．D【分析】把x=0代入抛物线解析式即可．【详解】解:把x=0代入y＝x2﹣4x+3，y=3,∴抛物线与y轴交点坐标为（0,3），故选D．【点睛】本题考查了抛物线与y轴交点坐标，知道y轴上的点的横坐标为0是解题关键．3．C【分析】根据题意先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数，即可求出答案．【详解】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和35%，∴摸到白球的频率为1-15%-35%=50%，故口袋中白色球的个数可能是40×50%=20（个）．故选：C．【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意掌握频率=所求情况数与总情况数之比．4．B【分析】作DF ⊥BC ，根据边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，得出DE ＝2，BD ＝2，解直角三角形求出DF【详解】解：作DF ⊥BC ，∵在边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，∴DE ＝2，BD ＝2，∴DF ＝BD•sin ∠B ＝∴四边形BCED 的面积为：12DF×（DE ＋BC ）＝12（2＋4）＝ 故选：B ．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质、三角形中位线的性质以及解直角三角，根据DE 为中位线，得出DE 、BD 的长是解决问题的关键．5．C【分析】如图，连接,OE 由圆周角定理可得，21110AOE ∠=∠=︒，再利用平角的定义求解∠BOE ，再利用圆周角定理可得：122BOE ∠=∠，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接,OE1=55∠︒，21110AOE ∴∠=∠=︒，18011070BOE ∴∠=︒-︒=︒，12352BOE ∴∠=∠=︒， 故选：.C【点睛】本题考查的是圆周角定理，平角的定义，掌握圆周角定理是解题的关键．6．B【分析】过P 作PQ x ⊥轴于Q ，利用坐标分别求解,OQ PQ ，再利用tan PQ OQα=，从而可得答案． 【详解】解：过P 作PQ x ⊥轴于,Q ()3,,P m3,OQ PQ m ∴==，tan ,PQ OQα= 4,33m ∴= 4.m ∴=故选：.B【点睛】本题考查的是坐标与图形，锐角三角函数的含义，掌握锐角的正切的定义是解题的关键． 7．C【分析】连接OM ，根据正六边形OABCDE 和点M 为劣弧FG 的中点，可得△OFM 是等边三角形，进而可得⊙O 的半径．【详解】解：如图，连接OM ，∵正六边形OABCDE ，∴∠FOG ＝120°，∵点M 为劣弧FG 的中点，∴∠FOM ＝60°，OM ＝OF ，∴△OFM 是等边三角形，∴OM ＝OF ＝FM ＝则⊙O 的半径为故选：C ．【点睛】本题考查正多边形与圆，解题的关键是学会添加常用辅助线．8．A【分析】先把原点坐标代入解析式，求出k 的值，得到B 点坐标，然后利用抛物线的对称性得到图中阴影部分图形的面积和=矩形OCBD 的面积，从而根据矩形面积公式计算即可．【详解】解：把（0，0）代入()2233y x k =-++， 得()220303k -++=， 解得k=6，∴抛物线解析式为()22363y x =-++， ∴B 点坐标为()3,6-，∵BC⊥x轴于C，结合抛物线的对称性可得：∴图中阴影部分图形的面积和=矩形OCBD的面积=3×6=18．故选：A．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数的对称性，掌握以上知识是解题的关键．9．2．【分析】把tan45°＝1代入原式计算即可．【详解】解：tan245°+1＝12+1＝1+1＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值进行解题．10．k＞1.【分析】由关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，可得：＜0，再列不等式，解不等式可得答案．【详解】解：关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，∴＜0，2∴-⨯⨯＜0，241k∴-＜0，44k-∴-＜4,4k∴＞1.k故答案为：k＞1.【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，一元一次不等式的解法，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．11．120°．【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠A+∠C＝180°，然后把∠A的度数代入计算即可．【详解】解：∵圆内接四边形ABCD∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝60°，∴∠C＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120°．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．12．8【分析】由题意根据四边形ABCD是平行四边形，证出△AEF∽△BCF，然后利用其对应边成比例即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC∴△AEF∽△BCF，∴AE AF BC CF，∵▱ABCD，AD=BC，∴23 AE AE AFBC AD CF＝＝＝，∵AC=20，即AF+CF=20，∴AF=8．故答案为：8．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质等知识点，熟练掌握并能综合应用相似三角形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．13．2π-【分析】根据矩形的判定定理得到四边形CDOE 是矩形，连接OC ，根据全等三角形的性质得到OD=OE ，得到矩形CDOE 是正方形，根据阴影部分图形的面积和等于扇形面积减去正方形的面积即可得到答案．【详解】解：∵CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，∴∠CDO=∠CEO=∠AOB=90°，∴四边形CDOE 是矩形，如图，连接OC ，∵点C 是AB 的中点，∴∠AOC=∠BOC ，在△COD 与△COE 中，CDO CEO DOC EOC OC OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COD ≌△COE （AAS ），∴OD=OE ，∴矩形CDOE 是正方形，,OD CD ∴=∵OC=OA=2， 222OD CD OC +=,OD CD ∴==∴图中阴影部分的面积= 22902 2.360ππ⨯-=-故答案为：2π-．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，圆心角与弧之间的关系，矩形的判定，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．14．4≤t ＜13．【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为225y x x =-+，将一元二次方程250x bx t ++-=的实数根可以看做225y x x =-+与函数y=t 的有交点，再由-1＜x ＜4的范围确定y 的取值范围即可求解．【详解】解：∵25y x bx =++的对称轴为直线x=1，∴2b =-，∴225y x x =-+，∴一元二次方程250x bx t ++-=的实数根可以看做225y x x =-+与函数y=t 的有交点， ∵方程在-1＜x ＜4的范围内有实数根，如图，当1x =-时，y=8； 当x=4时，y=13；函数225y x x =-+在x=1时有最小值4；∴4≤t ＜13．故答案为4≤t ＜13．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．15．x1＝，x2＝2【分析】利用配方法解方程.【详解】移项得x2﹣4x＝3，配方得x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2开方得x﹣2＝，∴x1＝，x2＝2【点睛】考查了利用配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．16．1 3【分析】根据题意列出图表得出所有等可能的情况数和摸出的两个球上数字之和是4的情况数，然后利用概率公式即可求解．【详解】解：根据题意列表得：∵共有6种等可能的情况数，其中摸出的两个球上数字之和是4的有2种，∴摸出的两个球上数字之和是4的概率是21=63．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．掌握“列表法与概率=所求情况数与总情况数之比”是解题的关键．17．（1）作图见解析；（2）作图见解析．【分析】（1）由题意取格点M，N，连接MN交AB于点C，点C即为所求；（2）根据题意取格点J，K，连接JK交AB于点D，点D即为所求．【详解】解：（1）如图，点C即为所求作．（2）如图，点D即为所求作．【点睛】本题考查作图-应用与设计和线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意并灵活运用所学知识解决问题．18．高度BC约为237米．【分析】根据题意可得BD＝AD＝80（米），再根据锐角三角函数求解即可．【详解】解：在△ADB中，∠ADB＝90°，∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝80（米），在△ACD中，∠ADC＝90°，∴CD ＝AD •tan63°＝80×1.96≈156.8（米），∴BC ＝BD +CD ＝80+156.8＝236.8≈237（米），答：该建筑物的高度BC 约为237米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．19．（1）y ＝－12x 2＋3x ；（2）抛物线开口向下，顶点坐标为(3，92)；（3）＜. 【分析】（1）把A 点和B 点坐标代入y=ax 2+bx 中得到关于a 、b 的方程组，然后解方程组求出a 、b 即可；（2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．（3）根据二次函数的性质求解即可．【详解】(1)∵抛物线y =ax 2+bx 经过点A (2,4)和点B (6,0)，∴4243660a b a b +=⎧⎨+=⎩ 解得123a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为2132y x x =-+ (2)因为221193(3)222y x x x =-+=--+， 该抛物线开口向下. 顶点坐标为9(3,).2(3)∵124,x x >>对称轴为x =3,102a =-< ∴y 1<y 2故答案为<.【点睛】考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数表达式之间的转化，二次函数的性质等，掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键.20．（1）证明见解析；（2）2.3π 【分析】（1）首先连接OD ，CD ，由以BC 为直径的⊙O ，可得CD ⊥AB ，得出AD=BD ，即可证得//OD AC ，继而可证得结论；（2）由等腰三角形的性质求解30B ∠=︒，再利用三角形的外角的性质求解60DOC ∠=︒， 结合4BC =，由弧长公式直接求解DC 的长即可． 【详解】（1）证明：连接OD ，CD ，∵BC 为⊙O 直径，∴∠BDC=90°，即CD ⊥AB ，∵△ABC 是等腰三角形，∴AD=BD ，∵OB=OC ，∴OD 是△ABC 的中位线，∴//OD AC ，∵DE ⊥AC ，∴OD ⊥DE ，∵D 点在⊙O 上，∴DE 为⊙O 的切线；（2）30,A AC BC ∠=︒=，30B A ∴∠=∠=︒，60DOC ∴∠=︒，4BC =，2OB OC ∴==，6022.1803DC l ππ⨯∴== 【点睛】本题考查的是切线的判定，弧长的计算，等腰三角形的性质，中位线的定义及性质，三角形的外角的性质，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．21．（1）40y x =-+；（2）①250400w x x =-+-；②每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．【分析】（1）设日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式为y=kx+b ，根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式即可；（2）①利用每件利润×总销量=总利润，进而列出二次函数关系式即可；②把①中的二次函数化为顶点式，再利用二次函数的性质求解最大利润可得答案．【详解】解： （1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式为y=kx+b ，则15252020k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：140k b =-⎧⎨=⎩， 故日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式为：40y x =-+（2）①依题意，设利润为w 元，得：()()2104050400w x x x x =--+=-+-②由250400w x x =-+-，整理得：()225225w x =--+∵1-＜0∴当x=25时，w 取得最大值，最大值为225，故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．【点睛】本题考查了利用待定系数法求解一次函数的解析式，列二次函数的解析式，利用二次函数的性质求解最大利润，掌握以上知识是解题的关键．22．（1）A （-1，0），B （3，0）；（2）C （5，6）；（3）x ＜-1或x ＞5，【分析】（1）根据题意令y=0，列出方程然后解方程即可求得A 、B 两点的坐标；（2）由题意根据三角形ABC 的面积求得C 的纵坐标，进而代入解析式即可求得C 的坐标； （3）由题意直接根据图象进行观察分析即可求得x 的取值范围．【详解】解：（1）令y=0，则12（x-1）2-2=0，解得1213x x =-=，， ∴A （-1，0），B （3，0）；（2）∵A （-1，0），B （3，0），∴AB=4， ∵1122ABC C SAB y ==， ∴12×4×y C =12，解得y C =6， ∴21(1)262x --=， 解得1253x x ==-，（不符题意，舍去），∴C （5，6）；（3）由图象可知，当21)(122x mx n --+＞时，x 的取值范围是x ＜-1或x ＞5， 【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，三角形面积，二次函数与不等式的关系，注意掌握二次函数图象的基本性质以及利用数形结合是解题的关键．23．（1）8；（2）1010t -或1010t -；（3）23030S t t =-+（0＜t ＜1），215754522S t t =-+-（1＜t ≤1.6）；（4）57t =或4031t =． 【分析】（1）由90106ACB AB AC ∠=︒==，，，利用勾股定理求解即可；（2）先求解6,4AM t QB t ==，分两种情况讨论，当0＜t ＜1时，当1＜t ≤1.6时，利用线段的和差可得答案；（3）分两种情况讨论，当0＜t ＜1时，分别求解：,PQ MQ 利用矩形的面积公式即可得到答案，当1＜t ≤1.6时，分别求解：,,PQ MQ MH ，利用直角梯形的面积公式即可得到答案； （4）分两种情况讨论，当0＜t ＜1时，证明MNQ QPB ∽，再利用相似三角形的性质证明：MQ QB =，再列方程求解即可，当1＜t ≤1.6时，证明PQN CBA ∽，再利用相似三角形的性质列方程求解即可得到答案．【详解】解：（1）∵90106ACB AB AC ∠=︒==，，,∴8BC ，（2）由题意得：5,6,BP t AM t ==90810C BC AB ∠=︒==，，，4cos ,5BC B AB ∴== 由AM QB AB +=时，1010,t =1,t ∴=当0＜t ＜1时，,PQ AB ⊥cos ,5QB QB B PB t ∴== 4,55QB t ∴= 4,QB t ∴=1010QM AB AM QB t ∴=--=-； P 的最长运动时间为：8=1.6,5s 而M 的最长运动时间为：105=63s ， 当1＜t ≤1.6时，同理：6,4,AM t QB t ==1010,QM AM QB AB t ∴=+-=-（3）当0＜t ＜1时，如图，由5,4,BP t QB t == 四边形PQMN 为矩形，3,PQ t ∴==()2310103030,S t t t t =-=-+当1＜t ≤1.6时，同理可得：1010,3,4,QM PN t PQ NH t BQ t ==-===()41010106,BM t t t ∴=--=-3tan ,4AC B BC == 34MH MB ∴=， ()3159106,422MH t t ∴=-=- ()2115915753101045,22222S t t t t t ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭（4）如图，当0＜t ＜1时，如图，当//QN BC 时，,MQN B ∠=∠,NMQ PQB ∠=∠ ,MNQ QPB ∴∽MN MQ QP QB∴=， ,PQ MN =,MQ QB ∴=10104,t t ∴-=57t ∴=，当1＜t ≤1.6时，如图，当//QN AC 时，同理可得：3,1010,PQ t QM PN t ===-由四边形PQMN 为矩形，90QPN PQM ∴∠=∠=︒，90PQN BQN ∴∠+∠=︒，90//,C QN AC ∠=︒，,QN BC ∴⊥90B BQN ∴∠+∠=︒，,B PQN ∴∠=∠90C QPN ∠=∠=︒，,PQN CBA ∴∽,PN PQ CA CB ∴= 10103,68t t -∴= 808018,t t ∴-=40.31t ∴= 综上，当57t =或4031t =，QN 与ABC 的一边平行 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的性质，锐角三角函数三角形相似的判定与性质，重叠部分的面积，列二次函数关系式，分类讨论的数学思想，掌握分类讨论思想解决问题是本题的关键．24．（1）2y x ，作图见解析；（2）1222m m ==（3）4；（4）2＜1x ＜4．【分析】（1）当m=0时，解析式为2y x ，利用描点法画出函数图象即可； （2）把解析式化成顶点式，令顶点纵坐标为1-，解关于m 的方程：2410m m --=，解方程即可求得答案．（3）把204y m m =-+化成顶点式，利用二次函数的最值性质即可求得结果；（4）先求得抛物线与x 轴有一个交点时的m 的取值，再根据当0y 的最大值时m 的值，再确定当2x =时的函数值y ＞0，从而即可解决问题． 【详解】解：（1）当m=0时，这个函数的表达式为2y x ，列表：描点并连线：图象如下：（2）由()222244y x mx m x m m m =-+=--+，∵01y =-时，241m m ∴-+=-2410,m m ∴--=∴m =1222m m ∴==（3）∵()220424y m m m =-+=--+，∴当m=2时，0y 的最大值是4．（4）当抛物线顶点在x 轴上时，240m m -+=，∴m=4或0m =， m ＞0， 4,m ∴=∵()220424y m m m =-+=--+，当m=2时，0y 的最大值是4，∴如图，观察图象可知，当2x =时，2244y x mx m =-+=＞0，所以当图象G 与x 轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为1x ，则1x 的取值范围是2＜1x ＜4，【点睛】本题属于考查了抛物线与x 轴的交点，一元二次方程的解法，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，最值问题，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．。
吉林省长春市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题(含答案解析)
试卷第1页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………吉林省长春市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 题号 一 二 三 总分 得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得分一、单选题1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A ．2110x x +-= B ．23154+=+x x C ．20ax bx c ++= D ．2210m m -+=2．下列说法正确的是（ ） A ．“买中奖率为110的奖券10张，中奖”是必然事件 B ．“汽车累积行驶10000km ，出现一次故障”是随机事件C ．襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着襄阳明天一定下雨D ．若两组数据的平均数相同，则方差大的更稳定 3．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（ ） A ．89B ．27C ．23D ．184．如图，某停车场入口的栏杆AB ，从水平位置绕点O 旋转到A B ''的位置，已知AO 的长为5米．若栏杆的旋转角AOA α'∠=，则栏杆A 端升高的高度为（ ）A ．5sin α米 B ．5cos α米 C ．5sin α米 D ．5cos α米试卷第2页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………5．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC 与△ADE 相似的是（ ）A ．∠C ＝∠AEDB ．∠B ＝∠DC ．AB BCAD DE= D ．AB ACAD AE= 6．已知二次函数()22=++-y ax x a a 的图象经过原点，则a 的值为（ ）A ．0或2B ．0C ．2D ．无法确定7．由二次函数23(4)2=-+-y x 可知（ ） A ．其图象的开口向上B ．其顶点坐标为(4,2)C ．其图象的对称轴为直线4x =-D ．当3x >时，y 随x 的增大而增大8．如图，已知D 、E 分别为AB 、AC 上的两点，且DE ∥BC ，2,24BD AD BC ==，则DE 的长为（ ）A ．6B ．16C ．8D ．12第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分二、填空题91x -x 的取值范围是__． 10．若32x y x +=，则2=yx_________． 11．如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，其位似中心为点O ，且54OE EA =，则FGBC=________．试卷第3页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………12．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为660平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x 米，则根据题意，列方程为______________．13．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，水面下降2m ，水面宽度增加______m.14．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点A 在y 轴的负半轴上，点C 在x 轴的负半轴上，抛物线()()230y a x c a =++>的顶点为E ，且经过点A 、B ，若△ABE 为等腰直角三角形，则a 的值是________．评卷人 得分三、解答题15．计算：（121262(13) （2()22452cos301tan 60--︒︒︒试卷第4页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………16．如图，小明为了测量学校旗杆CD 的高度，在地面离旗杆底部C 处22米的A 处放置高度为1.8米的测角仪AB ，测得旗杆顶端D 的仰角为32︒．求旗杆的高度CD ．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin320.53,cos320.85,tan320.62︒=︒=︒=）17．现有A 、B 两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中，A 袋装有2个白球，1个红球；B 袋装有2个红球，1个白球．小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A ，B 两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小华获胜；若颜色不同，则小林获胜．请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平，如果不公平，谁获胜的机会大．18．2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店购进了一批口罩，二月份销售了256袋，三、四月该口罩十份畅销，销售量持续走高，四月份的销售量达到400袋． （1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；（2）如果继续按照相同的增长率增长，那么五月份的销售量会达到多少袋口罩？ 19．图①、图②、图③均是54⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A 、B 、C 、D 均在格点上在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法．（1）如图①，BECE=________． （2）如图②，在BC 上找一点F ，使2BF =．（3）如图③，在AC 上找一点M ，连结BM 、DM ，使ABM CDM ∽． 20．如图，Rt ABC 中，90,ACB CD AB ∠=︒⊥于点D ．试卷第5页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（1）求证：2AC AB AD =⋅；（2）如果5,6==BD AC ，求CD 的长．21．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ﹣2＝0…①（1）若x ＝﹣1是方程①的一个根，求m 的值和方程①的另一根； （2）对于任意实数m ，判断方程①的根的情况，并说明理由．22．（教材呈现）下图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图：在ABC 中，D 、E 分别是边BC 、AB 的中点， AD 、CE 相交于点G ．求证：13GE GD CE AD ==． 证明：连接ED ．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．（结论应用）如图②，在ABC 中，D 、F 分别是边BC 、AB 的中点，AD 、CF 相交于点G ，GE ∥AC 交BC 于点E ，GH ∥AB 交BC 于点H ，则EGH 与ABC 的面积的比值为_________．试卷第6页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………23．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =．动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒5个单位长度的速度向终点B 运动．当点P 不与点A 重合时，过点P 作PD AC ⊥于点D 、以AP ，AD 为边作APED ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）线段AD 的长为______．（用含t 的代数式表示）． （2）当点E 落在BC 边上时，求t 的值． （3）连结BE ，当1tan 4CBE ∠=时，求t 的值． （4）若线段PE 的中点为Q ，当点Q 落在ABC 一边垂直平分线上时，直接写出t 的值． 24．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(,23)-+m m ，过点A 作y 轴的平行线交二次函数2yx 的图象于点B ．（1）点B 的纵坐标为________（用含m 的代数式表示）； （2）当点A 落在二次函数2yx 的图象上时，求m 的值；（3）当0m <时，若2AB =．求m 的值；（4）当线段AB 的长度随m 的增大而增大时，直接写出m 的取值范围．答案第1页，共18页参考答案1．D 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A 、分母中含有未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B 、未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C 、当a =0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D 、是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程． 2．B 【分析】根据随机事件的概念、概率的意义和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A 、“买中奖率为110的奖券10张，中奖”是随机事件，故本选项错误； B 、汽车累积行驶10000km ，出现一次故障”是随机事件，故本选项正确；C 、襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着明天可能下雨，故本选项错误；D 、若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，故本选项错误； 故选：B ． 【点睛】此题考查了随机事件、概率的意义和方差的意义，正确理解概率的意义是解题的关键． 3．B 【分析】将选项中的二次根式化为最简，然后根据同类二次根式的被开方数相同可得出答案． 【详解】 解：A答案第2页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………B 、2733=，与3的被开方数相同，是同类二次根式，故本选项符合；C 、2633=，与3的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合； D 、1832=，与3的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合； 故选B ． 【点睛】此题考查同类二次根式的概念，属于基础题，注意掌握同类二次根式是指：二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式． 4．C 【分析】过点A ′作A ′C ⊥AB 于点C ，根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】解：过点A ′作A ′C ⊥AB 于点C ，由题意可知：A ′O =AO =5， ∴sinα=A CA O''， ∴A ′C =5sinα， 故选：C ． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型． 5．C 【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】 解：∵∠1＝∠2 ∴∠DAE ＝∠BAC答案第3页，共18页∴A ，B ，D 都可判定△ABC ∽△ADE选项C 中不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 6．C 【分析】把原点的坐标代入函数解析式可得：()20,a a -=解方程可得a 值，再由二次函数的定义可得2a ≠，从而可得答案． 【详解】解： ()22=++-y ax x a a 的图象经过原点，把0,0x y ==代入函数解析式可得：()20,a a ∴-=0a ∴=或20,a -= 0a ∴=或2,a =又由二次函数()22=++-y ax x a a 可得：0,a ≠2.a ∴=故选：.C 【点睛】本题考查的是二次函数图像上点的坐标特点，二次函数的定义，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键． 7．C 【分析】根据函数解析式可以确定函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标和函数的增减性． 【详解】答案第4页，共18页解：∵二次函数y =-3（x +4）2-2，∴图象开口向下，对称轴为直线x =-4，顶点是（-4，-2）， 当x ＞3时，y 随x 的增大而减小， 故选：C ． 【点睛】本题考查二次函数的性质，关键是对函数性质的应用． 8．C 【分析】由DE ∥BC ，得△ADE ∽△ABC ，从而AD DEAB BC=，代入计算即可． 【详解】 解：∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴AD DEAB BC=， ∵BD =2AD ，BC =24， ∴24AD DEAD BD =+，∴12324AD DEAD AD ==+，∴DE =8， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，似三角形的性质解决问题． 9．1x ． 【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，再列不等式，从而可得答案. 【详解】则10x -， 解得：1x ．答案第5页，共18页故答案为：1x ． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，解题的关键是根据二次根式有意义的条件列不等式. 10．14【分析】直接利用已知将原式变形进而得出x ，y 之间的关系进而得出答案． 【详解】 解：∵32x y x +=， ∴2x +2y =3x ， 故2y =x ， 则12224y y x y ==⨯， 故答案为：14．【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键． 11．59【分析】利用位似的性质得到FG OF OEBC OB OA==，然后根据比例的性质求解． 【详解】解：∵四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，其位似中心为点O ， ∴FG OF OEBC OB OA==， ∵54OE EA =， ∴55549FG BC ==+， 故答案为：59．【点睛】本题考查了位似变换：位似的两个图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．答案第6页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………12．（35-2x ）（20-x ）=660 【分析】若设小道的宽为x 米，则阴影部分可合成长为（35-2x ）米，宽为（20-x ）米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解 【详解】解：依题意，得：（35-2x ）（20-x ）=660． 故答案为：（35-2x ）（20-x ）=660． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13．42-4 【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把2y =-代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】建立平面直角坐标系，设横轴x 通过AB ，纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点，则通过画图可得知O 为原点，抛物线以y 轴为对称轴，且经过A ，B 两点，OA 和OB 可求出为AB 的一半2米，抛物线顶点C 坐标为()0,2.通过以上条件可设顶点式22y ax =+，其中a 可通过代入A 点坐标()2,0.- 代入到抛物线解析式得出：0.5a =-，所以抛物线解析式为20.52y x =-+，答案第7页，共18页当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当2y =-时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线2y =-与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把2y =-代入抛物线解析式得出： 220.52x -=-+，解得：x =± 所以水面宽度增加到 4. 故答案是： 4. 【点睛】考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 14．13【分析】过E 作EF ⊥x 轴于F ，交AB 于D ，求出E 、A 的坐标，代入函数解析式，即可求出答案． 【详解】解：∵抛物线()()230y a x c a =++>的顶点为E ，且经过点A 、B ， ∴抛物线的对称轴是直线3x =-，且A 、B 关于直线3x =-对称， 过E 作EF ⊥x 轴于F ，交AB 于D ， ∵△ABE 为等腰直角三角形， ∴AD=BD=3，∴AB=6，DE=12AB=3， ∵四边形OABC 是正方形， ∴OA=AB=BC=OC=6，EF=6+3=9， ∴A(0，-6)，E(-3，-9)，把A 、E 的坐标代入()23y a x c =++得：969a c c +=-⎧⎨=-⎩，解得：139a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 故答案为：13．答案第8页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，等腰直角三角形以及正方形的性质，准确求出A 、E 的坐标是解题关键． 15．（1）43（2）0 【分析】（1）先化简二次根式，计算除法，将括号展开，再合并即可； （2）先计算特殊角的三角函数值，再计算乘法并化简，最后合并． 【详解】解：（121262(13) =2331323+-=43；（2()22452cos301tan 60--︒︒︒()2232213--=1313=1331 =0 【点睛】本题考查的是实数的运算，掌握二次根式的混合运算法则、特殊角的三角函数值是解题的关键． 16．15.4米 【分析】根据BE ⊥CD 于E ，利用正切的概念求出ED 的长，结合图形计算即可．答案第9页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【详解】解：由题意得，BE ⊥CD 于E ， BE =AC =22米，∠DBE =32°，在Rt △DBE 中，DE =BE •tan ∠DBE =22×0.62≈13.64（米）， CD =CE +DE =1.8+13.64≈15.4（米）， 答：旗杆的高CD 约为15.4米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 17．不公平，小林获胜的机会大 【分析】根据题意列出图表得出所有等可能的结果数和颜色相同和不同的结果数，然后根据概率公式求出各自的概率，再进行比较即可得出这个游戏是否公平． 【详解】 解：列表如下：由上表或可知，一共有9种等可能的结果，其中颜色相同的结果有4种，颜色不同的结果有5种．∴P （颜色相同）=49，P （颜色不同）=59，∵49＜59，∴这个游戏规则对双方不公平，小林获胜的机会大． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．答案第10页，共18页18．（1）25%；（2）500袋 【分析】（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x ，根据二月份及四月份的月销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）五月份数量=四月份数量×（1+增长率），据此列式计算． 【详解】解：（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x ， 依题意，得：256（1+x ）2=400，解得：x 1=0.25=25%，x 2=-2.25（不合题意，舍去）． 答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%． （2）400（1+25%）=500（袋）， 答：五月份的销售量会达到500袋口罩． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题的等量关系． 19．（1）12；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）证明△AEB ∽△DEC ，根据相似三角形的性质解答； （2）根据相似三角形的性质画出图形，作出点F ； （3）根据全等三角形的性质、相似三角形的性质解答． 【详解】解：（1）∵AB ∥CD ， ∴△AEB ∽△DEC ， ∴BE ABCE CD=， ∵AB =1，CD =2， ∴12BE CE =， 故答案为：12；（2）如图②，点F 即为所求；答案第11页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（3）如图③，点M 即为所求．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质定理是解题的关键． 20．（1）见解析；（2）5【分析】（1）证明Rt △ACD ∽Rt △ABC ，然后利用相似比可得到结论；（2）由AC 2=AB •AD 得到62=（AD +5）•AD ，则可求出AD =4，同理证明△ACD ∽△CBD ，得到AD CDCD BD=，即可求出CD 的长． 【详解】解：（1）证明：∵CD ⊥AB ， ∴∠ADC =90°， ∵∠DAC =∠CAB ， ∴Rt △ACD ∽Rt △ABC ， ∴AC AD CDAB AC BC==， ∴AC 2=AB •AD ； （2）∵AC 2=AB •AD ， ∴62=（AD +5）•AD ，答案第12页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………整理得AD 2+5AD -36=0， 解得AD =-9（舍去）或AD =4， 同理可证：△ACD ∽△CBD ， ∴AD CDCD BD=， 即CD 2=AD •BD ， ∴CD =45⨯=25． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；再运用相似三角形的性质时主要利用相似比进行几何计算．21．（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析. 【详解】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m 的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断． (1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1 ∴2--2=0．∴∴另一根是2； (2)∵，∴方程①有两个不相等的实数根．考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根 22．（1）见解析；（2）19【分析】（1）连接DE ，如图①，先利用三角形中位线的性质得到DE ∥AC ，DE =12AC ，则证明答案第13页，共18页△DEG ∽△ACG ，利用相似三角形的性质得12EG DG DE CG AG AC ===，然后利用比例的性质得到结论；（2）由（1）得13DG DA =，再证明△DEG ∽△DCA ，利用相似比得到13DE DG DC DA ==，利用相似三角形的性质得到19DEGACDS S =△△，同理得到19DGH ABD S S =△△，即可得出结果． 【详解】解：（1）连接DE ，如图①， ∵D 、E 分别为BC 、BA 的中点， ∴DE 为△ABC 的中位线， ∴DE ∥AC ，DE =12AC ， ∴△DEG ∽△ACG ， ∴12EG DG DE CG AG AC ===， ∴121EG DG CG EG AG DG ==+++，即13EG DG CE AD ==； （2）∵D 、F 分别是边BC 、AB 的中点， ∴13DG DA =，BD =CD ， ∵GE ∥AC ， ∴△DEG ∽△DCA ， ∴13DE DG DC DA ==， ∴19DEGACDS S=△△， 同理：19DGHABDSS=△△， ∴111999EGH ABCS S+==+△△． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积，三角形中位线定理，综合性较强，难度适中．熟练掌握各定理是解题的关键． 23．（1）4t ；（2）（2）12t =；（3）1329t =或1935；（3）13t =或2566或12答案第14页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【分析】（1）根据勾股定理求出AB=5，证明PD ∥BC ，再根据平行线分线段成比例进行解答即可； （2）根据平行四边形的性质和平行线分线段成比例可证得PE BPAC AB=，进而可求解t 值； （3）依题意，分两种情况①当点E 在△ABC 的内部时；②当点E 在△ABC 的外部时，分别求解即可；（4） 依题意，分三种情况①当点Q 落在线段AC 的垂直平分线MN 上时；②当点Q 落在线段AB 的垂直平分线MN 上时；③当点Q 落在线段BC 的垂直平分线MN 上时；分别求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，AP =5t ， ∵∠C =90°，AC =4，BC =3， ∴AB =2222435AC BC +=+=， ∵PD ⊥AC ，∠C =90°， ∴PD ∥BC ， ∴AD APAC AB =即545AD t =， ∴AD =4t ， 故答案为：4t ；（2）如图，∵四边形APED 是平行四边形， ∴PE =AD =4t ，PE ∥AC ， ∴PE BP AC AB =即45545t t-=， 解得：12t =；（3）依题意，可分两种情况：①如图，当点E 在△ABC 的内部时，延长PE 交BC 于F ，则PF ⊥BC ，答案第15页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………∴四边形PFCD 是矩形， ∴PF=CD=4﹣4t ，又PE=AD=4t ， ∴EF=PF ﹣PE=4﹣8t ， ∵PE ∥AC ，即PF ∥AC ， ∴BF PF BC AC =即4434BF t-=， 解得：33BF t =-， ∵∠C =90°，1tan 4CBE ∠=， ∴481334EF t BF t -==-， 解得：1329t =； ②如图，当点E 在△ABC 的外部时，∵PE =AD =4t ，PF =AD =4﹣4t ， ∴EF =PE ﹣PF =8t ﹣4，由33BF t =-，∠C =90°，1tan 4CBE ∠=， 得841334EF t BF t -==-，解得：1935t =， 综上，1329t =或1935； （4）依题意，分三种情况：①当点Q 落在线段AC 的垂直平分线MN 上时，如图，答案第16页，共18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………则AN =52，PN = 52﹣5t ，PQ =2t ，AM =2，PE ⊥PE ， 由PQ AM PN AN =得：245552t t =-，解得：13t =；②当点Q 落在线段AB 的垂直平分线MN 上时，如图，依题意，∠QPN =∠A ，PQ =2t ，PN =52﹣5t ， ∴cos ∠A =cos ∠QPN ，即45PN AC PQ AB ==， ∴554225tt -=，解得：2566t = ③当点Q 落在线段BC 的垂直平分线上时，如图，则AP =PB ，PE 为线段BC 的垂直平分线，点E 在BC 上， 由（2）知， 12t =， 综上，13t =或2566或12．答案第17页，共18页【点睛】本题考查矩形的判定与性质、平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、平行线分线段成比例、解直角三角形，解答的关键是熟练掌握相关知识的性质及其应用，学会利用参数建立方程，学会用分类讨论和数形结合思想解决问题，属于中考压轴题，难度较难． 24．（1）m 2；（2）m 1=-3，m 2=1；（3）1-或1；（4）-3＜m ≤-1或m ＞1 【分析】（1）根据平行线的性质知，点B 与点A 的横坐标相同，所以把x =m 代入抛物线解析式，即可求得点B 的纵坐标；（2）把点A 代入二次函数解析式，列出方程，然后解方程即可；（3）根据等量关系AB =2和两点间的距离公式列出方程，解方程即可求得m 的值； （4）利用两点间的距离公式列出二次函数解析式，由二次函数的性质解答． 【详解】解：（1）根据题意知，点B 的横坐标是m ， ∴将x =m 代入y =x 2，得y =m 2． 即点B 的纵坐标为m 2． 故答案为：m 2；（2）把A （m ，-2m +3）代入y =x 2，得-2m +3=m 2． 解得m 1=-3，m 2=1；（3）根据题意知：|-2m +3-m 2|=2． ①-2m +3-m 2=2，解得m 1=1-，m 21， ∵m ＜0，∴m =1-，符合题意； ②-2m +3-m 2=-2，解得m 1=1，m 21， ∵m ＜0，∴m =1，符合题意．综上所述，m 的值为1-或1；答案第18页，共18页（4）由（2）知，当点A 、B 重合时，点A 的坐标是（-3，9）或（1，1）． 设AB =d ，当-3＜m ＜0时，d =-2m +3-m 2=-（m +1）2+4时，对称轴是直线m =-1且抛物线开口向下， ∴线段AB 的长度随m 的增大而增大时，-3＜m ≤-1．当m ＞1时，根据题意知，线段AB 的长度随m 的增大而增大时，m ＞1． 综上所述，m 的取值范围是-3＜m ≤-1或m ＞1． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，合能力．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，段的长度，从而求出线段之间的关系．。
2020-2021学年长春市新区九年级上学期期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年长春市新区九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( )A. √12B. √27C. √15D. √18 2. 二元一次方程组{x −y =32x +y =0的解为( ) A. {x =−1y =2B. {x =1y =−2C. {x =−2y =1D. {x =2y =−1 3. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，a +b =28，sinA +sinB =75，则斜边c 的长为( )A. 10B. 14C. 20D. 24 4. 如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个三角形的面积比为( )A. 2：3B. √2：√3C. 4：9D. 9：4 5. 把抛物线y =−2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为( ) A. y =−2 B. y =−2C. y =−2D. y =−2 6. 已知抛物线y =a(x −ℎ)2−7，点A(1,−5)、B(7,−5)、C(m,y 1)、D(n,y 2)均在此抛物线上，且|m −ℎ|>|n −ℎ|，则y 1与y 2的大小关系是( )A. y 1<y 2B. y 1>y 2C. y 1=y 2D. 不能确定 7. 下列检查一个四边形门框是否为矩形的方法中正确的是 ( )A. 测量两条对角线是否相等B. 测量两条对角线是否互相平分C. 测量门框的三个角是否都是直角D. 测量两条对角线的夹角是否为直角8. 在一个不透明的塑料袋中装有红色、白色球共20个，除颜色外，其它都相同．小明通过多次摸球实验后发现，其中摸到红球的频率稳定在25%左右．则口袋中红球大约有( )个．A. 5个B. 10个C. 12个D. 15个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.当x满足______的条件时，√−2在数范围内有意义．x10.⊙O的圆心到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，当d、r是关于x的方程x2−4x+m=0的两根，且直线l与⊙O相切时，则m的值为______ ．11.成语：水中捞月，瓮中捉鳖，守株待兔所描述的事件为必然事件的是______．12.如图，早上10点小东测得某树的影长为2m，到了下午5时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度约为m.13.如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=4，BC=10，CD=6，则tanC=______．14.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于点D，则BD=___________.三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）15.某个体商贩在一次买卖中同时买进两件上衣，每件都以a元出售，若按成本计算，一件盈利25%，另一件亏本25%，那么该商贩在这次买卖过程中是赚了还是赔本了？赚或赔多少？四、解答题（本大题共9小题，共72.0分）16.已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ac，试判断△ABC的形状．17.某体育老师统计了七年级A，B两个班女生的身高，并绘制了如图不完整的统计图表.根据图表中提供的信息，解答下列问题．身高(cm)人数A：145≤x<1502B：150≤x<1556C：155≤x<160mD：160≤x<16513E：165≤x<170nF：170≤x<1755(1)两个班共有女生______ 人，表中m=______ ，扇形统计图中E部分所对应的扇形圆心角是______ 度.(2)身高在170≤x<175(cm)的5人中，A班有3人，B有2人，现从中随机抽取两人补充到学校国旗队，求这两人来自同一班级的概率．18. 已知△ABC三个顶点的坐标分别A(0,2)，B(3,3)，C(2,1)．(1)画出△ABC；(2)以原点为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍，在网格图中画出放大后的图形△A1B1C1；(3)在(2)中，△ABC内一点P(a,b)的对应点为P1，直接写出P1的坐标．19. 今年第18号台风“米娜”于10月1号上午出现在温州附近海域．如图，台风“米娜”的中心位于点A处，周围200km都会受到台风影响．现在台风正往南偏东60°的方向移动，在A的正南方300km出有一座小镇B.在台风移动过程中，小镇B是否会受到影响，判断并说明理由．20. 已知：抛物线y=x2+4x+4+m的图象与y轴交于点C，点B与点C的纵坐标相同，一次函数y=kx+b的与二次函数交于A、B两点，且A点坐标为(−1,0)．(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)若抛物线对称轴上存在一点P，使得△PAC的周长最小，求P点坐标及△PAC周长的最小值．21. 某化妆品店在销售某品牌化妆品时，每套以高出进价的50%标价，已知按标价九折销售该品牌化妆品10套与按标价直降100元销售9套获利相同(1)求该品牌化妆品每套的进价和标价分别是多少元？(2)若该品牌化妆品每套的进价不变，按(1)中的每套的标价出售一批该品牌化妆品，该店平均每月可售出49套；若每套品牌化妆品每降价50元，每月可多售出7套，这批该品牌化妆品总利润w元，求该品牌化妆品降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少元？22. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是BC上一点，E是AC延长线上一点，作BE⊥AD交AD的延长线于点F．(1)若BF=EF，求证：△ABF≌△AEF；(2)求证：CD=CE．23. 已知，如图1：△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF//BC交AB、AC于E、F．(1)直接写出图1中所有的等腰三角形，并指出EF与BE、CF间有怎样的数量关系？(2)在(1)的条件下，若AB=10，AC=15，求△AEF的周长．(3)如图2，若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACG的平分线CO交于点O，过O点作OE//BC交AB于E，交AC于F，请问(1)中EF与BE、CF间的关系还是否存在，若存在，说明理由；若不存在，写出三者新的数量关系，并说明理由．24. 已知二次函数y=ax2的图象与直线y=2x−1交于点P(1,m)．(1)求a，m的值；(2)写出二次函数的解析式，并指出x在和范围内时，y随x的增大而增大．参考答案及解析1.答案：C解析：解：A 、被开方数中含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；B 、27=3×32，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；C 、√15是最简二次根式，符合题意；D 、18=2×32，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C ．根据最简二次根式的定义逐个判断即可．本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．2.答案：B解析：解：{x −y =3①2x +y =0②②+①得：3x =3，解得：x =1，把x =1代入①得：1−y =3，解得：y =−2，所以原方程组的解是{x =1y =−2， 故选：B ．②+①得出3x =3，求出x ，把x =1代入①求出y 即可．本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． 3.答案：C解析：解：∵在Rt △ABC 中，∠C =90°，∴sinA =a c ，sinB =b c． 又a +b =28，sinA +sinB =75，∴a+b c =75， ∴c =20．故选C ．根据锐角三角函数的概念，结合已知条件得到a，b，c的方程，从而求得c的值．能够熟练运用锐角三角函数的概念进行求解．4.答案：C解析：解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴这两个三角形的面积比为4：9，故选：C．根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．5.答案：C解析：由“左加右减、上加下减”的原则解答即可．把抛物线y=−2x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为y=−2(x+1)2+2．故选：C．6.答案：B解析：解：∵点A(1,−5)、B(7,−5)均在此抛物线上，∴ℎ=1+7=4，2∴抛物线的顶点坐标为(4,−7)，∴a>0，开口向上，∵C(m,y1)、D(n,y2)均在此抛物线上，且|m−ℎ|>|n−ℎ|，∴y1>y2，故选：B．先求得抛物线的对称轴为x=4，再抛物线开口向上，最后根据|m−ℎ|>|n−ℎ|判断C离对称轴比较远，从而判断出y1与y2的大小关系．此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，利用已知对称点的坐标得出对称轴进而利用二次函数增减性得出是解题关键．7.答案：C解析：解：A、B、D均不符合矩形的判定方法，C符合“有三个角是直角的四边形是矩形”这个判定定理．故选C．8.答案：A解析：解：设有红球x个，根据题意得：x÷20=25%解得：x=5，故选A．设有红球x个，利用频率约等于概率进行计算即可．本题考查了由频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复实验中事件发生的频率等于事件发生的概率．9.答案：x<0≥0，且x≠0，解析：解：由题意得，−2x解得x<0．故答案为：x<0．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．本题考查的是二次根式有意义和分式有意义的条件，掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．10.答案：4解析：解：∵直线和圆相切，∴d=r，∴△=16−4m=0，∴m=4．若直线和圆相切，则d=r.即方程有两个相等的实数根，得16−4m=0，m=4．考查了直线和圆的位置关系与数量关系之间的联系，熟练运用根的判别式判断方程的根的情况．11.答案：翁中捉鳖解析：解：水中捞月是不可能事件，翁中捉鳖是必然事件，守株待兔是随机事件，故答案为：翁中捉鳖根据事件的分类进行逐一分析即可．本题考查的是随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．12.答案：4解析：试题分析：根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得EDDC =DCFD；即DC2=ED⋅FD，代入数据可得答案．根据题意，作△EFC；树高为CD，且∠ECF=90°，ED=2，FD=8；∵∠ECD+∠FCD=90°，∠CED+∠ECD=90°，∴∠CED=∠FCD，又∵∠EDC=∠CDF=90°，∴Rt△EDC∽Rt△CDF，∴EDDC =DCFD；即DC2=ED⋅FD，∴代入数据可得DC2=16，DC=4；故答案为：4．13.答案：43解析：解：连接BD，∵E、F分别是AB、AD的中点，∴EF//BD，且EF=12BD，∵EF=4，∴BD=8，∵BD=8，BC=10，CD=6，∴82+62=102，即BD2+CD2=BC2，∴△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°，∴tanC=BDDC =86=43，故答案是：43．连接BD，根据中位线的性质得出EF//BD，且EF=12BD，进而利用勾股定理的逆定理得出△BDC是直角三角形，求解即可．此题主要考查了锐角三角形的定义以及三角形中位线的性质以及勾股定理逆定理，根据已知得出△BDC是直角三角形是解题关键．14.答案：5解析：过点D作DE⊥AB，∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，∴CD=ED，在Rt△ACD与Rt△AED中，CD=ED，AD=AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，∴AE=AC=6，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∴，∴BE=10−6=4，设BD=x，则CD=BC−BD=8−x，∴ED=8−x，在Rt△DEB中，，解得：x=5，即BD=5．故答案为：5．15.答案：解：设第一件上衣的成本为x元，第二件的成本为y元．则a=x(1+25%)；a=y(1−25%)．∴x=45a，y=43a．∴x+y=45a+43a=3215a，32 15a−2a=215a>0故该商贩在这次买卖中赔了．赔了215a元．解析：此题首先要设出原来各自的成本，再根据题意表示售价，最后比较总售价和总进价，进行判断．注意无论是赔，还是赚，其基数都是原来的进价．16.答案：解：∵a2+b2+c2=ab+bc+ac，∴a2+b2+c2−ab−bc−ac=0，∴2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac=0，a2+b2−2ab+b2+c2−2bc+a2+c2−2ac=0，∴(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=0，∴a−b=0，b−c=0，c−a=0，∴a=b=c，∴△ABC为等边三角形．解析：本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质得出a，b，c之间的关系．将已知等式利用配方法进行变形，再利用非负数的性质求出a−b=0，b−c=0，c−a=0，即可判断出△ABC的形状．17.答案：501472解析：解：(1)两个班共有女生：13÷26%=50(人)，C部分对应的人数为：50×28%=14(，人)，即m=14，E部分所对应的人数为：50−2−6−13−14−5=10(人)；扇形统计图中E部分所对应的扇形圆心角度数为360°×1050=72°，故答案为：50，14，72；(2)画树状图：共有20种等可能的结果数，其中这两人来自同一班级的情况占8种，∴这两人来自同一班级的概率是820=25．(1)根据D部分学生人数除以它所占的百分比求得总人数，用总人数乘以C、E所占的百分比求得C、E 部分人数，用360°乘以E部分所占百分比可求E部分所对应的扇形圆心角度数；(2)利用树状图法，将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了样本估计总体、扇形统计图和统计图表．18.答案：解：(1)如图所示：△ABC即为所求；(2)如图所示：△A1B1C1即为所求；(3)P1坐标为：(2a,2b)．解析：(1)直接利用已知点坐标进而画出图形即可；(2)直接利用位似图形的性质得出对应点坐标即可；(3)直接利用位似图形的性质得出对应点坐标即可．此题主要考查了位似变换，正确得出对应点坐标是解题关键．19.答案：解：作BD⊥AC与点D，∵∠BAD=60°，AB=150√3，∴BD=√32∵150√3>200，∴小镇B不会受到台风影响．解析：作BD⊥AC与点D，构造直角三角形，解直角三角形求得BD的长后与200km比较后即可得到是否收到影响．考查了勾股定理及方向角的知识，解题的关键是构造直角三角形，难度不大．20.答案：解：(1)∵点A(−1,0)在抛物线y=x2+4x+4+m上，∴m=−1，∴二次函数的解析式为y=x2+4x+3，∴C点的坐标为(0,3)，则B点的坐标为(−4,3)，设直线AB的解析式为y=kx+b，{−k+b=0−4k+b=3，解得，k=−1b=−1，∴直线AB的解析式为：y=−x−1，即二次函数的解析式为y=x2+4x+3，一次函数的解析式是y=−x−1；=−2，(2)∵二次函数y=x2+4x+3的对称轴为直线x=−42×1由题意可知A和B关于对称轴x=−2对称，直线AB交直线x=−2于P，此时PA+PC的值最小，即△PAC的周长的值最小，∴把x=−2代入y=−x−1得y=1，∴P(−2,1)，∵A(−1,0)，B(−4,3)，C(0,3)，由勾股定理可得AB=√(−4+1)2+32=3√2，AC=√12+32=√10，∴△PAC周长的最小值为AB+AC=3√2+√10．解析：(1)根据题意，可以求得m的值，从而可以求得二次函数的解析式和一次函数的解析式；(2)在抛物线对称轴上存在一点P，使得△PAC周长最小，根据解析式求得对称轴为直线x=−2，把x=−2代入直线AB的解析式求得P的坐标，由题意可知A和B关于直线x=−2对称，直线AB交直线x=−2于P，此时PA+PC的值最小，即△PAC的周长的值最小，利用勾股定理求出AC和BC的长即可求出最小值．本题是考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，轴对称−最短路线问题，勾股定理的运用，运用数形结合是解题的关键．21.答案：解：(1)设该化妆品的进价为x元，根据题意得：[(1+50%)x×0.9−x]×10=[(1+50%)x−100−x]×9，∴x=900，∴(1+50%)x=1350元，∴该化妆品进价900元，标价1350元．(2)设该化妆品降价y元，根据题意得：W=(49+y50×7)(1350−900−y)=−750(y−50)2+22400，当y=50时，W有最大值22400，∴降价50元，每月获利最大，最大利润为22400元．解析：(1)根据题意列出一元一次方程[(1+50%)x×0.9−x]×10=[(1+50%)x−100−x]×9，即可求解；(2)利润等于销售量×每件的利润，故有W=(49+y50×7)(1350−900−y)=−750(y−50)2+22400，借助二次函数即可求最大值；本题考查二次函数的应用，一元一次方程的应用；熟练掌握利润的求法，能够结合二次函数求函数的最大值是解题的关键．22.答案：解：(1)证明：∵BE⊥AD交AD的延长线于点F，∴∠AFB=∠AFE=90°，又∵BF=EF，AF=AF，∵△ABF≌△AEF(SAS)；(2)∵∠AFB=∠ACB=90°，∴∠CBE=180°−∠AFB−∠BDF=90°−∠BDF，∠CAD=180°−∠ACB−∠ADC=90°−∠ADC，又∵∠ADC=∠BDF，∴∠CBE=∠CAD，又∵∠BCE=∠ACD=90°，BC=AC，∴△BCE≌△ACD(ASA)，∴CE=CD．解析：(1)根据SAS即可证明三角形全等；(2)根据三角形内角和及对顶角的性质得∠CBE=∠CAD，结合已知条件利用ASA即可证明△BCE≌△ACD，进而得出结论．本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和，垂线等知识，重点是掌握证明三角形全等的方法．23.答案：解：如(1)图1中，等腰三角形有；△EOB、△FOC仍为等腰三角形结论：EF=BE+CF．理由：∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，∵EF//BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO，即EO=EB，FO=FC，∴EF=EO+OF=BE+CF；(2)△AEF的周长为AE+AF+EF=AE+AF+OE+OF=AE+AF+BE+CF=AB+AC=25．(3)结论：EF=BE−FC．理由如下：同(1)可证得△EOB是等腰三角形；∵EO//BC，∴∠FOC=∠OCG；∵OC平分∠ACG，∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；∴EF=EO−FO=BE−FC．解析：(1)△OEB、△OFC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可证EF=BE+FC；(2)利用(1)中结论即可解决问题；(3)思路与(1)相同，只不过结果变成了EF=BE−FC．此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线、角平分线的性质等知识．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．24.答案：解：(1)点P(1,m)在y=2x−1的图象上∴m=2×1−1，解得m=1，把(1,1)代入y=ax2∴a=1(2)二次函数表达式：y=x2因为函数y=x2的开口向上，对称轴为y轴，当x>0时，y随x的增大而增大．解析：(1)把点P(1,m)分别代入二次函数y=ax2与直线y=2x−1即可求出未知数的值；(2)把a代入二次函数y=ax2与即可求出二次函数表达式；根据二次函数的对称轴及增减性判断出x 的取值．本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，及二次函数的增减性，解题的关键是熟记二次函数的性质．。
2020-2021学年吉林省长春市经开区九年级(上)期末数学试卷 (含解析)
2020-2021学年吉林省长春市经开区九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．一元二次方程3x2﹣2＝4x可化成一般形式为（）A．3x2﹣4x+2＝0B．3x2﹣4x﹣2＝0C．3x2+4x+2＝0D．3x2+4x﹣2＝0 2．下列事件是随机事件的是（）A．只买一张彩票，就中了大奖B．长春市某天的最低气温为﹣150℃C．口袋中装的全是黑球，从中摸出一个球是黑球D．抛掷8枚硬币，结果是3个正面朝上与6个反面朝上3．抛物线y＝2x2﹣4x+1的对称轴是直线（）A．x＝2B．x＝1C．D．x＝﹣14．式子2cos30°﹣tan45°的值是（）A．1﹣B．0C．﹣1D．﹣5．△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF的周长为（）A．4.5B．9C．10D．126．根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）的根的个数是（）x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2+bx+c0.020.010.020.04 A．1或2B．1C．2D．07．在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．8．在平面直角坐标系中，若函数y＝（k﹣2）x2﹣2kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，则下列各数中可能的k值为（）A．﹣1B．0C．1D．2二、填空题（共6小题）.9．若关于x的方程2x2+4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是．10．已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：25，则△ABC与△DEF的周长比为．11．一个不透明布袋里装有1个白球、2个黑球、3个红球，它们除颜色外均相同．从中任意摸出一个球，摸出的球是红球的概率为．12．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地．设原正方形空地的边长为xm，则根据题意所列方程是．13．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则cos∠ABC的值为．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为．三、解答题（共10小题，共78分）15．解方程：x2﹣8x﹣1＝0．16．小华有3张卡片，小明有2张卡片，卡片上数字如图所示，小华和小明分别从自己的卡片中随机抽取一张，请用画树状图（或列表）的方法，求抽取的两张卡片上的数字和为6的概率．17．如图为抛物线y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系上的图象，回答下列问题：（1）关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是；（2）关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集是；（3）若关于x的方程ax2+bx+c＝k有实数根，则k的取值范围是．18．某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行园林绿化工程．2016年投资2000万元，之后投资逐年增加，预计2018年投资2420万元．求这两年投资的年平均增长率．19．如图，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°．求旗杆的高度CD．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin32°＝0.53，cos32°＝0.85，tan32°＝0.62】20．如图，图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B均在格点上，在图①、图②中，只用无刻度的直尺，按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．（1）在图①中以线段AB为腰画一个等腰直角三角形ABC，并写出△ABC的面积．（2）在图②中以线段AB为边画一个△ABE，使∠BAE＝90°，△ABE面积为．21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．若∠BPC＝∠BAC，求sin∠BPC．22．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx经过点A（2，4）和点B（6，0）．（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式．（2）直接写出它的开口方向、顶点坐标．（3）点（x1，y1）、（x2，y2）均在此抛物线上，若x1＞x2＞4，则y1y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．23．如图①，在等边△ABC中，AB＝6，动点P从点A出发，沿AB边以每秒1个单位的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿着B→C→A方向运动，连结PQ，设点P运动的时间为t秒．（1）用含t的代数式表示线段QC的长．（2）当PQ⊥AC时，求t的值．（3）若△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（4）如图②，当点Q在C、A之间时，连结PC，△ABC被分割成△APQ、△PCQ、△PBC，当其中的某两个三角形面积相等时，直接写出t的值．24．已知函数y＝（k为常数）．（1）当k＝﹣2时，①写出此函数的表达式．②求此函数图象与x轴的交点的坐标．③当函数y的值随x的增大而减小时，自变量x的取值范围为．（2）若已知函数经过点（1，2），求k的值．（3）在平面直角坐标系中，设函数与y轴的交点为点C，当点C与原点的距离不大于5时，直接写出k的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．一元二次方程3x2﹣2＝4x可化成一般形式为（）A．3x2﹣4x+2＝0B．3x2﹣4x﹣2＝0C．3x2+4x+2＝0D．3x2+4x﹣2＝0解：方程整理得：3x2﹣4x﹣2＝0．故选：B．2．下列事件是随机事件的是（）A．只买一张彩票，就中了大奖B．长春市某天的最低气温为﹣150℃C．口袋中装的全是黑球，从中摸出一个球是黑球D．抛掷8枚硬币，结果是3个正面朝上与6个反面朝上解：A、只买一张彩票，就中了大奖，是随机事件；B、长春市某天的最低气温为﹣150℃，是不可能事件；C、口袋中装的全是黑球，从中摸出一个球是黑球，是必然事件；D、抛掷8枚硬币，结果是3个正面朝上与6个反面朝上，是不可能事件；故选：A．3．抛物线y＝2x2﹣4x+1的对称轴是直线（）A．x＝2B．x＝1C．D．x＝﹣1解：∵y＝2x2﹣4x+1＝2（x2﹣2x+1）﹣2+1＝2（x﹣1）2﹣1，∴抛物线y＝2x2﹣4x+1的对称轴是直线x＝1．故选：B．4．式子2cos30°﹣tan45°的值是（）A．1﹣B．0C．﹣1D．﹣解：2cos30°﹣tan45°＝2×﹣1＝﹣1，故选：C．5．△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF的周长为（）A．4.5B．9C．10D．12解：∵点D、E、F分别是三边的中点，∴DE、EF、DF为△ABC的中位线，∴DE＝AB＝×7＝，DF＝AC＝×5＝，EF＝BC＝×6＝3，∴△DEF的周长＝++3＝9，故选：B．6．根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）的根的个数是（）x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2+bx+c0.020.010.020.04 A．1或2B．1C．2D．0解：由表格中的对应值可得出，抛物线的最小值为0.01，∴抛物线与x轴没有交点，∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）没有实数根，故选：D．7．在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．解：三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6．A、＝＝，对应边＝＝≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；B、＝，对应边＝＝≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；C、＝＝，对应边＝＝≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；D、＝＝，对应边＝＝＝，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；故选：D．8．在平面直角坐标系中，若函数y＝（k﹣2）x2﹣2kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，则下列各数中可能的k值为（）A．﹣1B．0C．1D．2解：∵函数y＝（k﹣2）x2﹣2kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，∴，解得k＞0且k≠2，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．若关于x的方程2x2+4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是2．解：因为关于x的方程2x2+4x+k＝0有两个相等的实数根，所以△＝b2﹣4ac＝0，即42﹣4×2×k＝0，解这个方程得k＝2．10．已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：25，则△ABC与△DEF的周长比为2：5．解：∵△ABC与△DEF相似且面积比为4：25，∴△ABC与△DEF的相似比为＝，∴△ABC与△DEF的周长比为，即2：5．故答案是：2：5．11．一个不透明布袋里装有1个白球、2个黑球、3个红球，它们除颜色外均相同．从中任意摸出一个球，摸出的球是红球的概率为．解：1个白球、2个黑球、3个红球一共是1+2+3＝6（个），从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是3÷6＝．故答案为．12．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地．设原正方形空地的边长为xm，则根据题意所列方程是（x﹣3）（x﹣2）＝20．解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣3）（x﹣2）＝20，故答案为：（x﹣3）（x﹣2）＝20．13．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则cos∠ABC的值为．解：如图所示，作AD⊥BC，垂足为D，AD＝3，BD＝4，∴AB＝5，∴cos∠ABC＝，故答案为：．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为15．解：∵D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，∴设D（x，﹣x2+6x），∵顶点C的坐标为（4，3），∴OC＝＝5，∵四边形OABC是菱形，∴BC＝OC＝5，BC∥x轴，∴S△BCD＝×5×（﹣x2+6x﹣3）＝﹣（x﹣3）2+15，∵﹣＜0，∴S△BCD有最大值，最大值为15，故答案为15．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．解方程：x2﹣8x﹣1＝0．解：x2﹣8x﹣1＝0，x2﹣8x＝1，x2﹣8x+16＝1+16，（x﹣4）2＝17，x﹣4＝±，．16．小华有3张卡片，小明有2张卡片，卡片上数字如图所示，小华和小明分别从自己的卡片中随机抽取一张，请用画树状图（或列表）的方法，求抽取的两张卡片上的数字和为6的概率．解：画树状图如下：由树状图可知共有6种等可能结果，其中数字之和为6的有2种，则抽取的两张卡片上的数字和为6的概率为．17．如图为抛物线y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系上的图象，回答下列问题：（1）关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x＝0或x＝2；（2）关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集是0＜x＜2；（3）若关于x的方程ax2+bx+c＝k有实数根，则k的取值范围是k≥﹣1．解：（1）∵抛物线与x轴的两个交点坐标为（0，0）和（2，0），∴方程ax2+bx+c＝0的解为x＝0或x＝2，故答案为x＝0或x＝2；（2）由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0解集为0＜x＜2，故答案为0＜x＜2；（3）关于x的方程ax2+bx+c＝k有实数根，相当于抛物线与y＝k有一个或两个不同的交点，∴k≥﹣1，故答案为k≥﹣1．18．某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行园林绿化工程．2016年投资2000万元，之后投资逐年增加，预计2018年投资2420万元．求这两年投资的年平均增长率．解：设这两年投资的年平均增长率为x，根据题意得：2000（1+x）2＝2420，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），答：这两年投资的平均年增长率为10%．19．如图，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°．求旗杆的高度CD．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin32°＝0.53，cos32°＝0.85，tan32°＝0.62】解：由题意得，BE⊥CD于E，BE＝AC＝22米，∠DBE＝32°，在Rt△DBE中，DE＝BE•tan∠DBE＝22×0.62≈13.64（米），CD＝CE+DE＝1.5+13.64≈15.1（米），答：旗杆的高CD约为15.1米．20．如图，图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B均在格点上，在图①、图②中，只用无刻度的直尺，按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．（1）在图①中以线段AB为腰画一个等腰直角三角形ABC，并写出△ABC的面积．（2）在图②中以线段AB为边画一个△ABE，使∠BAE＝90°，△ABE面积为．解：（1）如图①中，△ABC即为所求作．S△ABC＝××＝．（2）如图②中，△ABE即为所求作．21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．若∠BPC＝∠BAC，求sin∠BPC．解：作AD⊥BC于点D，如右图所示，∵AB＝AC＝5，BC＝8，∴BD＝CD＝4，∠BAD＝∠BAC，∵∠ADB＝90°，∴sin∠BAD＝，又∵∠BPC＝∠BAC，∴∠BPC＝∠BAD，∴sin∠BPC＝．22．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx经过点A（2，4）和点B（6，0）．（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式．（2）直接写出它的开口方向、顶点坐标．（3）点（x1，y1）、（x2，y2）均在此抛物线上，若x1＞x2＞4，则y1＜y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx经过点A（2，4）和点B（6，0），∴解得∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为（2）因为，该抛物线开口向下．顶点坐标为（3，）．（3）∵x1＞x2＞4，对称轴为x＝3，a＝﹣∴y1＜y2故答案为：＜．23．如图①，在等边△ABC中，AB＝6，动点P从点A出发，沿AB边以每秒1个单位的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿着B→C→A方向运动，连结PQ，设点P运动的时间为t秒．（1）用含t的代数式表示线段QC的长．（2）当PQ⊥AC时，求t的值．（3）若△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（4）如图②，当点Q在C、A之间时，连结PC，△ABC被分割成△APQ、△PCQ、△PBC，当其中的某两个三角形面积相等时，直接写出t的值．解：（1）由题意得，点Q的运动路程为2t，当0≤t≤3时，QC＝6﹣2t，当3＜t≤6时，QC＝2t﹣6；（2）∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，当PQ⊥AC时，∠QPA＝30°，∴AQ＝AP，即t＝2×（12﹣2t），解得，t＝；（3）作QH⊥AB于H，如图①，在Rt△QBH中，QH＝BQ•sin B＝t，则S＝×PB×QH＝×（6﹣t）×t＝﹣t2+3t；如图②，在Rt△QAH中，QH＝AQ•sin A＝×（12﹣2t）＝6﹣t，则S＝×PB×QH＝×（6﹣t）×（6﹣t）＝（6﹣t）2；（4）当点Q为AC的中点时，△APQ的面积＝△PCQ的面积，即12﹣2t＝3，解得，t＝，如图①，作CE⊥AB于E，则CE＝AC•sin A＝×6＝3，∴△ABC的面积＝×6×3＝9，＝，∴△BPC的面积＝9﹣t，∴△APC的面积＝t，＝，∴△APQ的面积＝3t﹣t2，∴△PCQ的面积＝t2﹣t，当△APQ的面积＝△PCB的面积时，9﹣t＝3t﹣t2，整理得，t2﹣t+4＝0，△＝1﹣16＝﹣15＜0，方程无解，当△CPQ的面积＝△PCB的面积时，t2﹣t＝9﹣t，解得，t1＝3，t2＝﹣3（舍去），综上所述，在△APQ、△PCQ、△PBC中，其中的某两个三角形面积相等时，t＝或t ＝3．24．已知函数y＝（k为常数）．（1）当k＝﹣2时，①写出此函数的表达式．②求此函数图象与x轴的交点的坐标．③当函数y的值随x的增大而减小时，自变量x的取值范围为﹣2＜x＜2．（2）若已知函数经过点（1，2），求k的值．（3）在平面直角坐标系中，设函数与y轴的交点为点C，当点C与原点的距离不大于5时，直接写出k的取值范围．解：（1）如图1中，当k＝﹣2时，函数图像如图所示：①y＝．②观察图像可知，函数与x轴的交点为（﹣2，0）或（2，0）．③观察图像可知，函数y的值随x的增大而减小时，自变量x的取值范围为﹣2＜x＜2．故答案为：﹣2＜x＜2．（2）∵函数经过点（1，2），∴﹣1+2k﹣k2＝2或1﹣2k+k2＝2，解得，k＝1±．（3）当k≤0时，k2＝5，解得k＝﹣或（舍弃），由题意，当﹣≤k≤0时，点C与原点的距离不大于5．当k＞0时，k2＝5，解得k＝或﹣（舍弃），由题意，当0＜k≤时，点C与原点的距离不大于5．综上所述，满足条件的k的值为﹣≤k≤．。
2020-2021学年吉林省长春市新区九年级上学期期末考试数学试卷
第 1 页 共 19 页2020-2021学年吉林省长春市新区九年级上学期期末考试数学试卷解析版一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）使二次根式√1x−2有意义的x 的取值范围是（ ）A ．x ≥2B ．x ＞2C ．x ≥﹣2D ．x ＞﹣2 【解答】解：使二次根式√1x−2有意义的x 的取值范围是：x ﹣2＞0，解得：x ＞2．故选：B ．2．（3分）已知x y =35，那么下列等式中，不一定正确的是（ ） A ．5x ＝3y B ．x +y ＝8 C ．x+y y =85 D ．x y =x+3y+5【解答】解：A 、由比例的性质得到3y ＝5x ，故本选项不符合题意．B 、根据比例的性质得到x +y ＝8k （k 是正整数），故本选项符合题意．C 、根据合比性质得到x+y y=85，故本选项不符合题意． D 、根据等比性质得到x y =x+3y+5，故本选项不符合题意．故选：B ． 3．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）A ．某种彩票中奖率为1%，则买100张这种彩票必然中奖B ．今晚努力学习，明天考试必然考出好成绩C ．从装有2个红球、3个白球的袋中随机摸出4个球，则一定会摸出红球D ．抛掷一枚普通的骰子所得的点数一定小于6【解答】解：A 、某种彩票中奖率为1%，则买100张这种彩票必然中奖，不一定必然中奖，不合题意；B 、今晚努力学习，明天考试必然考出好成绩，是随机事件，不合题意；C 、从装有2个红球、3个白球的袋中随机摸出4个球，则一定会摸出红球，是必然事件，符合题意；D 、抛掷一枚普通的骰子所得的点数一定小于6，也有可能等于6，故此选项不合题意； 故选：C ．。
【区级联考】吉林省长春市汽开区2021届九年级(上)期末数学试题
【区级联考】吉林省长春市汽开区2018届九年级（上）期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．将一元二次方程﹣3x2﹣2=﹣4x化成一般形式为（）A．3x2﹣4x+2=0 B．3x2﹣4x﹣2=0 C．3x2+4x+2=0 D．3x2+4x﹣2=0 2．下列事件是必然事件的是（）A．明天是晴天B．购买一张彩票，中奖C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D．任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形3．抛物线y＝2x2﹣4x+1的对称轴是直线（）A．x＝2B．x＝1C．12x=-D．x＝﹣14．若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是A．点A在圆外B．点A在圆上C．点A在圆内D．不能确定5．如图，AC∥BD，直线l1、l2与这两条平行线分别交于点A、B和点C、D，l1与l2交于点E，若AEBE=12，则CECD的值是（）A．12B．13C．23D．26．如图，有一斜坡AB，坡角∠B＝30°，其水平长度BC为30米，则坡面AB的长为（）A．15米B．C．D．60米7．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠DAB ＝130°，连结OC ，P 是半径OC 上的一个动点，连结PD 、PB ，则么DPB 的大小可能为（ ）A ．40°B ．80°C ．110°D ．130°8．如图，点A 在抛物线y ＝x 2﹣2x +2上运动，过点A 作AC 上x 轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连结BD ，则BD 的最小值为（ ）A ．12B ．1CD ．2二、填空题9．若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m=0有两个相等的实数根，则m 的值为______． 10．任意抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数大于4的概率为 ．11．已知三角形的三条中位线的长分别为5cm 、6cm 、10cm ，则这个三角形的周长是_____cm ．12．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点O 、A 、B 都在格点上，则tan∠AOB 的值为_____．13．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 、AC 的夹角为150°，AB 的长为30cm ，BD 的长为18cm ，则扇面（阴影部分图形）的面积为_____cm 2（结果保留π）．14．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的函数值y 与自变量x 之间的部分对应值如下表：则2b a的值为_____．三、解答题15．解方程：x 2﹣8x ﹣1＝0．16．一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字1，2，3，每个小球除数字不同外其余均相同．小平从口袋中随机摸出一个小球，记录下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球，记下数字．用画树状图（或列表）的方法，求小平两次摸出的小球上的数字之和为奇数的概率．17．某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行园林绿化工程．2021年投资2 000万元，之后投资逐年增加，预计2021年投资2 420万元．求这两年投资的年平均增长率．18．如图，⊙O 的直径AB ＝12，AC 是⊙O 的切线，OC 交⊙O 于点D ，∠C ＝30°．（1）求∠BOD 的度数．（2）求BD 的长（结果保留π）．19．如图，一艘轮船在位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔120海里的A 处．轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东64°方向上的B 处．求轮船所在的B 处与灯塔P 的距离．（结果精确到0.1海里）（参考数据：sin64°＝0.90，cos64°＝0.44，tan64°＝2.05）20．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx经过点A(2，4)和点B(6，0)．(1)求这条抛物线所对应的二次函数的解析式；(2)直接写出它的开口方向、顶点坐标；(3)点(x1，y1)，(x2，y2)均在此抛物线上，若x1＞x2＞4，则y1 ________ y2(填“＞”“＝”或“＜”)．21．有一个截面的边缘为抛物线的拱桥桥洞，桥洞壁离水面AB的最大高度是2米，水面宽度AB为4米．把截面图形放在如图所示的平面直角坐标系中．（1）求这条抛物线对应的函数表达式．（2）若水面下降1米，求水面宽度增加了多少米？22．探究：如图①，在▱ABCD中，E为BC的中点，AE与BD相交于点M．求证：12 EMAM．应用：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点E、F分别为AB、BC的中点，EF与BD相交于点M，连结AC．若ME＝3，则AC的长为．23．如图，∠MAN＝30°，点C、B分别在射线AM、AN上，AB＝6，∠ACB＝30°．动点P从点A出发，沿射线AN以每秒3个单位长度的速度运动．过点P作PQ⊥AN交射线AM 于点Q，点E是线段AQ的中点，连结PE．设△PQE与△ABC重叠部分图形的面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒（t＞O）．（1）求PQ的长（用含t的代数式表示）．（2）当点Q在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．的三角形时，求t的值．（3）当△PQE与△ABC重叠部分图形是一个面积为424．定义：对于给定的一个二次函数，其图象沿x轴翻折后，得到的图象所对应的二次函数称为原二次函数的横翻函数．（1）直接写出二次函数y＝2x2的横翻函数的表达式．（2）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣3，1）、B（2，6）．①求b、c的值．②求二次函数y＝x2+bx+c的横翻函数的顶点坐标．③若将二次函数y＝x2+bx+c的图象位于A、B两点间的部分（含A、B两点）记为G，则当二次函数y＝﹣x2﹣bx﹣c+m与G有且只有一个交点时，直接写出m的取值范围．参考答案1．A【分析】方程整理为一般形式即可．【详解】方程整理得：3x2-4x+2=0，故选A．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．2．D【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.必然事件就是一定发生的事件,即发生的概率是1的事件.【详解】解：A、明天是晴天，是随机事件，故此选项错误；B、购买一张彩票，中奖，属于不确定事件，故此选项错误；C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于不确定事件，故此选项错误；D、任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形，是必然事件，故此选项正确；故选：D．【点睛】本题主要考查必然事件,不可能事件,随机事件的概念.必然事件指在一定条件下,一定发生的事件;不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件;不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.3．B【解析】【分析】根据二次函数的顶点式表达式即可解答．【详解】解：∵y＝2x2﹣4x+1＝2（x2﹣2x+1）﹣2+1＝2（x﹣1）2﹣1，∴抛物线y＝2x2﹣4x+l的对称轴是直线x＝1．故选B．【点睛】本题主要是对一般形式中对称轴的求法．是一道基础题，需要同学们细心认真审题，对考点熟练掌握应用，达到举一反三的程度，深化理解知识点.4．C【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．【详解】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，∴d＜r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，故选C．5．B【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．【详解】解：∵AC∥BD，∴AE BE=CEED=12，∴CECD =11+2=13，故选：B．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关键．6．C【解析】【分析】构造直角三角形，利用余弦定理即可解答.【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝30米，∴cosB＝BC AB，∴AB＝BCcosB＝．故选：C．【点睛】本题考察了余弦定理，熟悉掌握特殊角的值是解题关键.7．B【解析】【分析】连接OB、OD，根据圆内接四边形的性质求出∠DCB的度数，再根据圆周角定理求出∠DOB 的度数；结合上述所得可以得到∠DCB≤∠BPD≤∠DOB，据此，即可得出∠BPD可能的取得的度数，注意答案不唯一.【详解】解：连接OB、OD，∵四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝130°，∴∠DCB＝180°﹣130°＝50°，由圆周角定理得，∠DOB＝2∠DCB＝100°，∴∠DCB≤∠BPD≤∠DOB，即50°≤∠BPD≤100°，∴∠BPD可能为80°，故选B．【点睛】本题是一道关于圆的内接四边形的问题，掌握相关知识进行转化是解题关键.8．B【解析】【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值．【详解】解：∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（1，1），∵四边形ABCD为矩形，∴BD＝AC，而AC⊥x轴，∴AC的长等于点A的纵坐标，当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，∴对角线BD的最小值为1．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了矩形的性质．9．-1【分析】根据关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根可知△=0，求出m的取值即可．【详解】解：由已知得△=0，即4+4m=0，解得m=-1．故答案为-1.【点睛】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．10．13．【解析】试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．因此，∵1到6的点数中，点数大于4的有5，6两个，∴掷得面朝上的点数大于4的概率为21 63 ．11．42【分析】根据三角形的中位线定理解答即可.【详解】∵三角形的三条中位线的长分别是5cm、6cm、10cm，∴三角形的三条边分别是10cm、12cm、20cm．∴这个三角形的周长＝10+12+20＝42cm．故答案是：42．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，熟知三角形的中位线定理是解决问题的关键. 12．1【解析】【分析】连接AC,可得出三角形AOC为等腰直角三角形,利用锐角三角函数定义求出所求即可. 【详解】解：连接AC，可得OC＝AC∵OA，∴OA2＝OC2+AC2，∴∠ACO＝90°，在Rt△AOC中，tan∠AOB＝1，故答案为：1.【点睛】掌握在直角三角形中求正切值的方法，正确画辅助线是解题关键.13．315π【解析】【分析】贴纸部分的面积可看作是扇形BAC 的面积减去扇形DAE 的面积．【详解】解：S ＝S 扇形BAC ﹣S 扇形DAE ＝()22150301815030360360ππ⨯-⨯-＝315π（cm 2）． 故答案是：315π.【点睛】本题考查了扇形面积的计算．求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．14．32- 【分析】根据二次函数图形关于对称轴对称，求出对称轴即可解答.【详解】解：∵x ＝1、x ＝2时的函数值都是﹣1相等，∴此函数图象的对称轴为直线x ＝﹣2b a =12322+=， 即322b a =-． 故答案为32-． 【点睛】掌握二次函数的相关知识，如对称轴，对称性等是解答本题的关键.15．1244x x ==【解析】【分析】先进行移项，再利用配方法求解即可；【详解】解：x2﹣8x＝1，x2﹣8x+16＝17，（x﹣4）2＝17，x﹣4＝±，所以x1＝4+，x2＝4﹣．【点睛】掌握配方法解方程是解答本题的关键.16．答案见解析【解析】【分析】首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出的两个小球上的数字之和为奇数的情况,再利用概率公式即可求得答案.【详解】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，摸出的两个小球上的数字之和为奇数的有4种情况，∴摸出的两个小球上的数字之和为奇数的概率＝．【点睛】本题考查概率的相关知识，学会画树状图和求简单概率是解题关键.17．10%【解析】【分析】设平均每年投资增长的百分率是x．根据2021年投资2000万元，得出2021年投资2000（1+x）万元，2021年投资2000（1+x）2万元，而2021年投资2420万元．据此列方程求解．【详解】解：设这两年投资的年平均增长率为x，根据题意得：2000（1+x）2＝2420，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），答：这两年投资的平均年增长率为10%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的关系，列出方程．18．（1）120° （2）4π【解析】【分析】(1)根据切线的性质进行即可得出答案;(2)根据切线的性质求出∠OAC=90°,求出∠AOD,∠BOD,根据弧长公式求出BD的长,即可得出答案.【详解】解：（1）∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°．∵∠C＝30°，∴∠BOD＝∠OAC+∠C＝90°+30°＝120°．（2）∵⊙O的直径为12，∴⊙O的半径为6．的长为＝4π．【点睛】掌握圆的切线相关知识和求弧的面积公式是解题关键.19．66.7海里【解析】【分析】首先过点P作PC⊥AB于点C，然后利用三角函数的性质：PC=AP•sin30°，即可求得PC的值,即可求得答案【详解】解：如图，过点P作PC⊥AB于点C．由题意可知，∠A＝30°，∠B＝64°，在Rt△APC中，∠ACP＝90°，∠A＝30°，AP＝120，∴PC＝AP＝×120＝60．在Rt△PBC中，∠BCP＝90°，∠B＝64°，sinB＝，∴PB＝＝＝≈66.7（海里）．答：轮船所在的B处与灯塔P的距离约为66.7海里．【点睛】此题考查了方向角问题．注意准确构造直角三角形是解此题的关键．20．（1）y＝－12x2＋3x；（2）抛物线开口向下，顶点坐标为(3，92)；（3）＜.【分析】（1）把A点和B点坐标代入y=ax2+bx中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b 即可；（2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．（3）根据二次函数的性质求解即可．【详解】(1)∵抛物线y=ax2+bx经过点A(2,4)和点B(6,0)，∴424 3660 a ba b+=⎧⎨+=⎩解得123a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为2132y x x =-+ (2)因为221193(3)222y x x x =-+=--+， 该抛物线开口向下. 顶点坐标为9(3,).2(3)∵124,x x >>对称轴为x =3,102a =-< ∴y 1<y 2故答案为<.【点睛】考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数表达式之间的转化，二次函数的性质等，掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键.21．（1）212y x =-（2）（﹣4）米 【解析】【分析】（1）设抛物线所对应的函数表达式为y=ax 2，将点A 的坐标（2，-2）代入求得a 的值即可； （2）求出y=-3时x 的值，即可得出水面的宽度，从而得出增加的水面宽度．【详解】解：（1）设抛物线所对应的函数表达式为y ＝ax 2，由题意，得点A 的坐标为（2，﹣2）．∴4a ＝﹣2．解得：a ＝﹣．∴抛物线所对应的函数表达式为y ＝﹣x 2．（2）当y ＝﹣3时，﹣ x 2＝﹣3．∴x ＝±． ∴水面宽度为﹣（﹣）＝2，∴水面宽度将增加（2﹣4）米．【点睛】本题考查抛物线的综合运用，能够读懂题意并且列出方程是解题关键.22．证明见解析 AC=9【解析】【分析】(1)根据四边形ABCD是平行四边形，从而得到线段间的位置关系，利用三角形相似即可解答.(2)根据点E、F分别为AB、BC的中点，求出四边形BCDE为平行四边形，再利用中位线即可解答.【详解】探究：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠EBM＝∠ADM，∠BEM＝∠DAM，∴△EBM∽△ADM，∴＝．∵点E为BC的中点，∴EB＝BC＝AD，∴＝，∴＝．应用：解：∵AB∥CD，AB＝2CD，点E为AB的中点，∴BE＝AB＝CD，∴四边形BCDE为平行四边形．又∵点F为BC的中点，∴＝．∵ME＝3，∴EF＝ME+MF＝3+＝．∵点E、F分别为AB、BC的中点，∴EF为△BAC的中位线，∴AC＝2EF＝9．故答案为：9．【点睛】本题是复杂多边形的综合考察，掌握平行四边形判定定理，中位线等知识是解答本题的关键.23．（1）PQ=（2）2S=（3）t＝1或t＝6【解析】【分析】(1)在直角三角形根据正切公式直接求.(2)分类讨论当t不同时，两者的关系，再综合描述即可.(3) 分类讨论当t不同时，形成固定面积三角形时的t值即可.【详解】解：（1）在Rt△APQ中，∠MAN＝30°，AP＝3t，∴PQ＝AP•tan∠MAN＝t；（2）当0＜t≤2时，如图，∵点E是线段AQ的中点，S＝S△APQ＝×AP×PQ＝×3t×t＝t2，当2＜t≤3时，如图2，∵∠MAN＝30°，∠ACB＝30°，∴∠CBP＝60°，∵PQ⊥AN，点E是线段AQ的中点，∴EA＝EP，∴∠EPA＝∠A＝30°，∴∠BGP＝90°，由题意得，BP＝3t﹣6，∴PG＝（3t﹣6），∴GH＝×（3t﹣6）＝（3t﹣6），∴S△PGH＝×GP×GH＝（3t﹣6）2，∴S＝t2﹣（3t﹣6）2＝﹣t2+t﹣；（3）当0＜t≤2时，t2＝，解得，t1＝1，t2＝﹣1（不合题意，舍去），当2＜t≤3时，△PQE与△ABC重叠部分图形是四边形．当3＜t≤6时，S＝（6﹣t）2＝（6﹣t）2，则（6﹣t）2＝，解得，t1＝6﹣，t2＝6+（不合题意，舍去）．综上，t＝1或t＝6﹣．【点睛】本题是一道动态综合题，能够读懂题意并且正确分类讨论是解题关键.24．（1）y＝﹣22x（2）①b=2,c=-2 ②（﹣1，3）③m＝﹣6，2＜m≤12【解析】【分析】（1）根据横翻函数的定义解答.(2)代入已知点，先求出a,b，可得函数表达式.再求出横翻函数的表达式，随之即可求顶点坐标.将A，B代入函数，再根据题意即可求m的范围.【详解】解：（1）由横翻函数的定义知，二次函数y＝2x2的横翻函数的表达式是y＝﹣2x2；（2）①∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣3，1）、B（2，6），∴解得∴b的值为2，c的值为﹣2．②∵二次函数y＝x2+bx+c的表达式为y＝x2+2x﹣2，∴它的横翻函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+2∵y＝﹣x2﹣2x+2＝﹣（x+1）2+3，∴二次函数y＝x2+bx+c的横翻函数的顶点坐标为（﹣1，3）．③点A（﹣3，1）代入二次函数y＝﹣x2﹣2x+2+m，得﹣9+6+2+m＝1，解得m＝2；点B（2，6）代入二次函数y＝﹣x2﹣2x+2+m，得﹣4﹣4+2+m＝6，解得m＝12；当顶点重合时，m＝﹣6，则m满足的条件为m＝﹣6，2＜m≤12．【点睛】本题是二次函数的综合运用，能够理解新概念是解题关键.。
【区级联考】吉林省长春市汽开区2021届九年级(上)期末数学试题 (1)
【区级联考】吉林省长春市汽开区2019届九年级（上）期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若关于x 的方程 ()2m 110x mx -+-= 是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m 1≠. B ．m 1=. C ．m 1≥ D ． m 0≠. 2．抛物线y ＝x 2+x ﹣1的对称轴是（ ）A ．直线x ＝﹣1B ．直线x ＝1C ．直线x ＝﹣12D ．直线x ＝12 3．将二次函数y=x 2﹣2x+3化为y=（x ﹣h ）2+k 的形式，结果为（ ）A ．y=（x+1）2+4B ．y=（x ﹣1）2+4C ．y=（x+1）2+2D ．y=（x ﹣1）2+24．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若△ADE 的面积是a ，则四边形BDEC 的面积是（ ）A ．aB ．2aC ．3aD ．4a5．如图，在6×6的正方形网格中，△ABC 的顶点都在小正方形的顶点上，则tan ∠BAC 的值是( )A ．45B ．43C ．34D ．356．如图，AB 是⊙O 的直径，∠C ＝30°，则∠ABD 等于（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°7．如图，⊙O 的直径AB =6，若∠BAC =50°，则劣弧AC 的长为（ ）A ．2πB ．83πC ．34πD ．43π 8．二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0，a 、b 、c 为常数）的图象如图所示，则方程ax 2+bx+c ＝m 有实数根的条件是（ ）A ．m≥﹣4B ．m≥0C ．m≥5D ．m≥6二、填空题 9．已知x ＝-2是方程220x mx ++=的一个根，则m 的值是_________．10．某校对初三（2）班40名学生体育考试中“立定跳远”项目的得分情况进行了统计，结果如下表：根据表中数据，若随机抽取该班的一名学生，则该学生“立定跳远”得分恰好是10分的概率是_____.11．函数 2y 24x x =-- 的最小值为_____.12．我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积（矩形面积），八百六十四（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少12步），问阔及长各几步．”如果设矩形田地的长为x 步，那么根据题意列出的方程为_____．13．如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O ．若直线 PA 与⊙O 相切于点 A ，则∠PAB ＝ ．14．如图，抛物线y＝﹣2x2+2与x轴交于点A、B，其顶点为E．把这条抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，C2的顶点为F，连结EF．则图中阴影部分图形的面积为______．三、解答题15．解方程：x2+4x−7=016．如图，AB是⊙O的直径，⊙O的半径为5cm，弦AC的长为6cm，求弦BC的长．17．如图是一副扑克牌中的三张牌，将它们正面向下洗均匀，甲同学从中随机抽取一张牌后放回，乙同学再从中随机抽取一张牌，用树状图（或列表）的方法，求抽出的两张牌中，牌面上的数字都是偶数的概率．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以点C为圆心，以2cm长为半径作圆，试判断⊙C与AB的位置关系．19．如图，为了测量旗杆的高度BC，在距旗杆底部B点10米的A处，用高1.5米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角∠CDE为52°，求旗杆BC的高度．（结果精确到0.1米）（参考数据sin52°＝0.79，cos52°＝0.62，tan52°＝1.28）20．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0）和点B（4，3）．（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式．（2）直接写出该抛物线开口方向和顶点坐标．（3）直接在所给坐标平面内画出这条抛物线．21．如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，点D为⊙O上一点，连结AD、OD、BD，∠BAD＝∠B＝30°．（1）求证：BD是⊙O的切线．（2）若OA＝8，求OA、OD与弧AD围成的扇形的面积．22．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系y＝mx2+20x+n，其图象如图所示．（1）m＝_____，n＝_____．（2）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（3）该种商品每天的销售利润不低于16元时，直接写出x的取值范围．23．（感知）如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A＝∠B＝∠DPC＝90°．易证：△DAP∽△PBC（不要求证明）．（探究）如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A ＝∠B＝∠DPC．（1）求证：△DAP～△PBC．（2）若PD＝5，PC＝10，BC＝9，求AP的长．（应用）如图③，在△ABC中，AC＝BC＝4，AB＝6，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作∠CPE＝∠A，PE与边BC交于点E．当CE＝3EB时，求AP的长．24．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为﹣1．动点P在抛物线上运动（不与点A、B重合），过点P作y轴的平行线，交直线AB于点Q，当PQ不与y轴重合时，以PQ为边作正方形PQMN，使MN与y轴在PQ的同侧，连结PM．设点P的横坐标为m．（1）求b、c的值．（2）当点N落在直线AB上时，直接写出m的取值范围．（3）当点P在A、B两点之间的抛物线上运动时，设正方形PQMN周长为c，求c与m 之间的函数关系式，并写出c随m增大而增大时m的取值范围．（4）当△PQM与y轴只有1个公共点时，直接写出m的值．参考答案1．A【分析】根据一元二次方程的定义可得m﹣1≠0，再解即可．【详解】由题意得：m﹣1≠0，解得：m≠1，故选A．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．2．C【分析】由对称轴公式x＝﹣b2a可得对称轴．【详解】∵对称轴x＝﹣﹣b2a＝﹣121＝﹣12，∴对称轴是直线x＝﹣12．故选C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练运用对称轴公式．也可以运用配方法写成顶点式求对称轴．3．D【解析】试题分析：本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可得y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2．故选D．考点：二次函数的三种形式4．C【分析】由D、E分别是AB、AC的中点，可得出DE∥BC、BC=2DE，进而可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得出S △ABC =4a ，再根据S △BDEC =S △ABC -S △ADE 即可求出四边形BDEC 的面积．【详解】解：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC ，BC=2DE ，∴△ADE ∽△ABC ，2ABC ADE SBC S DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭=4, ∴S △ABC =4a ，∴S 四边形BDEC =S △ABC -S △ADE =3a ．故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，利用相似三角形的性质求出S △ABC =4a 是解题的关键．5．C【分析】过点B 作BD ⊥AC ，交AC 延长线于点D ，利用正切函数的定义求解可得．【详解】如图，过点B 作BD ⊥AC ，交AC 延长线于点D ，则tan ∠BAC ＝BD AD ＝34， 故选C ．【点睛】 本题主要考查三角函数的定义，解题的关键是掌握正切函数的定义：锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切．6．D【分析】连接AD，由AB是⊙O的直径，可证∠ADB＝90°，由圆周角定理可证∠A＝∠C＝30°，即可求∠ABD．【详解】连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠A＝∠C＝30°，∴∠ABD＝90°﹣∠A＝60°．故选：D．【点睛】本题考查了直径对的圆周角是直角，圆周角定理，直角三角形的性质.7．D【解析】分析：连接OC，根据∠BAC=50°，求出∠COA的度数，再根据弧长公式即可求出弧AC的长．详解：连接OC.则∠BAC=∠OCA=50°，∴∠AOC=80°，∴680421803 ACππ⨯⨯==故选D点睛：此题考查了扇形的弧长公式的应用，连接OC，由等边对等角及三角形内角和定理得到∠AOC=80°是解题的关键.8．A【解析】【分析】利用函数图象，当m≥﹣4时，直线y＝m与二次函数y＝ax2+bx+c有公共点，从而可判断方程ax2+bx+c＝m有实数根的条件．【详解】∵抛物线的顶点坐标为（6，﹣4），即x＝6时，二次函数有最小值为﹣4，∴当m≥﹣4时，直线y＝m与二次函数y＝ax2+bx+c有公共点，∴方程ax2+bx+c＝m有实数根的条件是m≥﹣4．故选：A．【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；9．-3【解析】试题解析：已知方程x2+mx+2=0的一个根是-2，则把x=-2，代入方程得到4-2m+2=0，解得m =3．10．1 2【解析】【分析】先求出该班人数，再根据概率公式即可求出“立定跳远”得分恰好是10分的概率．【详解】由表可知，共有学生20+12+5+2+1＝40人；“立定跳远”得分恰好是10分的概率是2040＝12．故答案为12．【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝mn．11．-5【解析】【分析】将二次函数配方，即可直接求出二次函数的最小值．【详解】∵y＝x2﹣2x﹣4＝x2﹣2x+1﹣5＝（x﹣1）2﹣5，∴可得二次函数的最小值为﹣5．故答案是：﹣5．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，用配方法是解此类问题的最简洁的方法．12．x（x﹣12）＝864【分析】如果设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步，根据面积为864，即可得出方程．【详解】解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步．根据矩形面积＝长×宽，得：x（x﹣12）＝864．故答案为：x（x﹣12）＝864．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意根据面积公式列出方程是解题的关键．13．30°【分析】连接OB，AD，BD，由多边形是正六边形可求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADB的度数，利用弦切角定理∠PAB．【详解】连接OB，AD，BD，∵多边形ABCDEF 是正多边形，∴AD 为外接圆的直径，∠AOB＝3606＝60°，∴∠ADB＝12∠AOB＝12×60°＝30°．∵直线P A 与⊙O 相切于点A，∴∠P AB＝∠ADB＝30°．故答案为30°．【点睛】本题考查正多边形和圆，切线的性质，作出适当的辅助线，利用弦切角定理是解答此题的关键．14．4【分析】由S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE，即可求解．【详解】令y＝0，则：x＝±1，令x＝0，则y＝2，则：OB＝1，BD＝2，OB＝2，S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE＝2×2＝4．故：答案为4．【点睛】本题考查的是抛物线性质的综合运用，确定S阴影部分图形＝S四边形BDFE是本题的关键．15．x1=-2+√6，x2=-2-√6．【解析】【分析】首先把方程移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．【详解】x2+4x-7=0，移项得，x2+4x=7，配方得，x2+4x+4=7+4，（x+2）2=11，解得x+2=±√11，即x1=-2+√11，x2=-2-√11【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程的知识，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．16．8cm【解析】【分析】根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据勾股定理计算即可．【详解】∵⊙O的半径为5cm，∴AB＝10cm，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，由勾股定理得，BC＝8，∴弦BC的长为8cm．【点睛】本题考查的是圆周角定理，勾股定理，掌握直径所对的圆周角是直角是直角是解题的关键．17．1 3【解析】【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次抽取的牌上的数字都是偶数的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次抽取的牌上的数字都是偶数的结果数为2，所以两次抽取的牌上的数字都是偶数的概率＝26＝13．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．18．相切【解析】【分析】作CD⊥AB于点D．根据三角函数求CD的长，与圆的半径比较，作出判断．【详解】作CD⊥AB于点D，∵∠B＝30°，BC＝4cm，∴CD＝12BC＝2cm，即CD等于圆的半径．∵CD⊥AB，∴AB与⊙C相切．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、三角形的面积以及含30度角的直角三角形，利用面积法求出边AB上的高的长度是解题的关键．19．14.3米【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形△ADE，解其可得DE的长，进而借助BC＝EC+EB 可解即可求出答案．【详解】过点D作DE⊥BC交BC于E，在△CDE中，有CE＝tan52°×DE＝1.28×10≈12.8，故BC＝BE+CE＝1.5+12.8≈14.3，答：旗杆的高度为14.3米．【点睛】此题考查的知识点是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，关键是本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．20．（1）y＝x2﹣4x+3（2）（2，﹣1）（3）见解析【解析】【分析】（1）把A点和B点坐标代入y＝ax2+bx+3得关于a、b的方程组，然后解方程组即可；（2）先把一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题；（3）利用描点法画函数图象．【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0）和点B（4，3）．∴9330{16433a ba b++=++=，解得1{4ab==-，∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）a＝1＞0，抛物线开口向上，∵y＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线顶点坐标为（2，﹣1）；（3）如图，【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．21．（1）证明见解析；（2）64 3π.【解析】【分析】（1）求出∠A=∠ADO=30°，求出∠DOB=60°，求出∠ODB=90°，根据切线的判定推出即可；（2）根据扇形的面积公式即可求出答案．【详解】（1）证明：∵OA＝OD，∠A＝∠B＝30°，∴∠A＝∠ADO＝30°，∴∠DOB＝∠A+∠ADO＝60°，∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝90°，∵OD是半径，∴BD是⊙O的切（2）∵∠DOB＝60°，∴∠AOD＝120°，∵AO＝8，∴OA、OD与弧AD围成的扇形的面积＝2120?8360π⨯＝643π．【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，扇形面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．22．（1）﹣1，﹣75（2）销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元（3）销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式得出即可；（2）利用配方法求出二次函数最值即可；（3）根据函数值大于或等于16，可得不等式的解集，可得答案．【详解】（1）y＝mx2+20x+n图象过点（5，0）、（7，16），∴251000 4914016m nm n++=⎧⎨++=⎩，解得：175 mn=-⎧⎨=-⎩；故答案为﹣1，﹣75；（2）∵y＝﹣x2+20x﹣75＝﹣（x﹣10）2+25，∴当x＝10时，y最大＝25．答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元；（3）∵函数y＝﹣x2+20x﹣75图象的对称轴为直线x＝10，可知点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16），又∵函数y＝﹣x2+20x﹣75图象开口向下，∴当7≤x≤13时，y≥16．答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求解析式，利用顶点坐标求最值，利用对称点求不等式的解集．23．【探究】（1）证明见解析（2）AP＝4.5；【应用】AP＝AP＝3【解析】【分析】探究：（1）根据外角的性质得到∠DPB＝∠A+∠ADP，等量代换得到∠ADP＝∠CPB，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到PD APPC BC=，代入数据即可得到结论；应用：根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，根据相似三角形的性质得到AC•BE＝AP•BP，代入数据即可得到结论．【详解】探究：（1）∵∠DPB＝∠A+∠ADP，∴∠DPC+∠CPB＝∠A+∠ADP，∵∠A＝∠DPC，∴∠ADP＝∠CPB，∵∠A＝∠B，∴△DAP∽△PBC；（2）∵△DAP∽△PBC，∴PD AP PC BC=，∴5109AP=，∴AP＝4.5；应用：∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∵∠CPE＝∠A，∴∠A＝∠CPE＝∠B，由探究得△CAP∽△PBE，∴AC AP BP BE=，∴AC•BE＝AP•BP，∵BC＝4，CE＝3EB，∴BE＝1，∵AC ＝4，BP ＝AB ﹣AP ＝6﹣AP ，∴AP （6﹣AP ）＝4，∴AP ＝AP ＝3【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，正确的识别图形是解题的关键． 24．（1）b=1，c=6；（2）0＜m ＜3或m ＜-1；（3）-1＜m≤1且m≠0，（4）m 的值为：12或12-或32或32. 【分析】（1）求出A 、点B 的坐标代入二次函数表达式即可求解；（2）当0＜m ＜3时，以PQ 为边作正方形PQMN ，使MN 与y 轴在PQ 的同侧，此时，N 点在直线AB 上，同样，当m ＜-1，此时，N 点也在直线AB 上即可求解；（3）当-1＜m ＜3且m≠0时，PQ=-m 2+m+6-（-m+3）=-m 2+2m+3，c=4PQ=-4m 2+8m+12即可求解；（4）分-1＜m≤3、m≤-1，两种情况求解即可．【详解】（1）把y=0代入y=-x+3，得x=3．∴点A 的坐标为（0，3），把x=-1代入y=-x+3，得y=4．∴点B 的坐标为（-1，4），把（0，3）、（-1，4）代入y=-x 2+bx+c ，解得：b=1，c=6；（2）当0＜m ＜3时，以PQ 为边作正方形PQMN ，使MN 与y 轴在PQ 的同侧，此时，N 点在直线AB 上， 同样，当m ＜-1，此时，N 点也在直线AB 上，故：m 的取值范围为：0＜m ＜3或m ＜-1；（3）当-1＜m ＜3且m≠0时，PQ=-m 2+m+6-（-m+3）=-m 2+2m+3，∴c=4PQ=-4m 2+8m+12；c 随m 增大而增大时m 的取值范围为-1＜m≤1且m≠0，（4）点P （m ，-m 2+m+6），则Q （m ，-m+3），①当-1＜m≤3时，当△PQM 与y 轴只有1个公共点时，PQ=x P ，即：-m 2+m+6+m-3=m ，解得：m =； ②当m≤-1时，△PQM 与y 轴只有1个公共点时，PQ=-x Q ，即-m+3+m 2-m-6=-m ，整理得：m 2-m-3=0，解得：m =， ③m ＞3时，同理可得：32m ±=（舍去负值）； ④当-1＜m ＜0时，PQ=-m ，解得：32m =故m 【点睛】 此题考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形和正方形相关知识，本题解题的关键是通过画图确定正方形或三角形所在的位置，此题难度较大．。
2020-2021学年吉林省长春市新区九年级(上)期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年吉林省长春市新区九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．下列根式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．用配方法解一元二次方程x2+2x﹣2＝0时，原方程可变形为（）A．（x+1）2＝2B．（x﹣1）2＝2C．（x+1）2＝3D．（x﹣1）2＝3 3．△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则sin A的值是（）A．B．C．D．4．两相似三角形的周长之比为1：3，那么它们对应边上的高之比是（）A．1：3B．1：9C．2：1D．9：15．将抛物线y＝x2平移后得到抛物线y＝x2﹣3，平移的方法可以是（）A．沿y轴向上平移3个单位B．沿y轴向下平移3个单位C．沿x轴向右平移3个单位D．沿x轴向左平移3个单位6．抛物线y＝（x﹣1）2﹣2与y轴交点的纵坐标为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣27．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，对应点B、F的坐标分别为（﹣4，4）、（2，1），则位似中心的坐标为（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，3）D．（0，4）8．为了估计水塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获30条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2.5%左右，则鱼塘中鱼的条数估计为（）A．600条B．1200条C．2200条D．3000条二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）9．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．10．若关于x的方程（x﹣5）2＝m有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．11．一只不透明的袋子里装有4个黑球，2个白球．每个球除颜色外都相同，则事件“从中任意模出1个球，是黑球”的事件类型是（填“随机事件”“不可能事件”或“必然事件”）．12．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是毫米．13．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos A的值为．14．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，经过点A、B的抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）的顶点为E．若△ABE为等腰直角三角形，则a的值为．三、解答题（共10小题）.15．先分解因式，再代入求值：a2b+ab2，其中a＝3+，b＝3﹣．16．对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，居委会采取随机抽查的方式对辖区内的甲、乙、丙、丁四个小区中的两个小区进行检查．请用列表或画树状图的方法求恰好甲、乙两个小区被抽到的概率．17．某种植物的主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求x的值．18．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点O是格点，△ABC 是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点A1是点A以点O为位似中心的对应点．（1）画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1．（2）△A1B1C1与△ABC的位似比为；（3）△A1B1C1的周长为．19．如表是小菲填写的实践活动报告的部分内容．题目测量铁塔顶端到地面的高度测量目标示意图相关数据CE＝25米，CD＝10米，∠FDG＝44°求铁塔的高度FE．（结果精确到1米）【参考数据：sin44°＝0.69，cos44°＝0.72，tan44°＝0.97】20．已知抛物线y＝﹣x2+4x的顶点为A，与x轴的交点为B、C（点B在点C左边）．（1）直接写出点A、B、C的坐标．（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这条抛物线．（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．21．某商场购进一批单价为16元的日用品，按每件20元销售时，每月能卖360件；经调查发现，售价每提高1元，月销量就减少30件．设每件售价为x（20≤x≤28）元时，每月的利润为W元．（1）若按每件25元的价格销售时，每月能卖件．（2）求W与x的函数关系式．（3）销售价定为每件多少元时，才能使每月获得的利润最大？每月的最大利润是多少？22．（1）把两个含有45°角的直角三角板如图①放置，点E、C、A在同一直线上，点D 在边BC上，连结BE、AD，AD的延长线交BE于点F．求证：AD＝BE．（2）把两个含有30°角的直角三角板如图②放置，点E、C、A在同一直线上，点D在边BC上，连结BE、AD，AD的延长线交BE于点F．若AD＝1，则BE的长为．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝15，sin A＝．点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿AC﹣CB运动，到点B停止；点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC﹣CA运动，到点A停止．P、Q两点同时出发，到各自的终点时停止．当点P、Q不与点C重合时，过点C作直线l，使点A、B在直线l同侧，过点P、Q分别作直线l的垂线，垂足分别为点E、F．设点Q运动时间为t（秒）．（1）求△ABC的边AC，BC的长．（2）当t＝2时，求的值．（3）当△PEC与△QFC的面积比为1：1时，求t的值．24．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）经过点A（﹣2，2），与y轴交于点B．（1）求点B的坐标．（2）用含a的式子表示b．（3）当﹣2＜x＜0时，y随x的增大而减小，求a的取值范围．（4）直线AB上有一点C（m，5），将点C向右平移4个单位长度，得到点D．当抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与线段CD只有一个公共点时，直接写出a的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．下列根式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．解：A、＝＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；B、，是最简二次根式；C、＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；D、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；故选：B．2．用配方法解一元二次方程x2+2x﹣2＝0时，原方程可变形为（）A．（x+1）2＝2B．（x﹣1）2＝2C．（x+1）2＝3D．（x﹣1）2＝3解：∵x2+2x＝2，∴x2+2x+1＝2+1，即（x+1）2＝3，故选：C．3．△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则sin A的值是（）A．B．C．D．解：由勾股定理得：AB＝＝＝5，∴sin A＝＝．故选：C．4．两相似三角形的周长之比为1：3，那么它们对应边上的高之比是（）A．1：3B．1：9C．2：1D．9：1解：∵两相似三角形的周长之比为1：3，∴两相似三角形的相似比为1：3，∴它们对应边上的高之比等于相似比＝1：3，故选：A．5．将抛物线y＝x2平移后得到抛物线y＝x2﹣3，平移的方法可以是（）A．沿y轴向上平移3个单位B．沿y轴向下平移3个单位C．沿x轴向右平移3个单位D．沿x轴向左平移3个单位解：将二次函数y＝x2的图象向下平移3个单位后，所得图象的函数表达式是y＝x2﹣3，故选：B．6．抛物线y＝（x﹣1）2﹣2与y轴交点的纵坐标为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2解：当x＝0时，y＝（0﹣1）2﹣2＝﹣1，即与y轴交点的纵坐标为﹣1．故选：C．7．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，对应点B、F的坐标分别为（﹣4，4）、（2，1），则位似中心的坐标为（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，3）D．（0，4）解：如图，连接BF交y轴于P，则点P为位似中心，∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），∴点C的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1），∴CG＝3，∵BC∥GF，∴＝＝，∴GP＝1，PC＝2，∴点P的坐标为（0，2），故选：B．8．为了估计水塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获30条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2.5%左右，则鱼塘中鱼的条数估计为（）A．600条B．1200条C．2200条D．3000条解：30÷2.5%＝1200条故选：B．二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）9．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≤5．解：由题意得：5﹣x≥0，解得：x≤5，故答案为：x≤5．10．若关于x的方程（x﹣5）2＝m有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是m＞0．解：∵方程（x﹣5）2＝m，即x2﹣10x+25﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（﹣10）2﹣4（25﹣m）＞0，解得：m＞0．故答案是：m＞0．11．一只不透明的袋子里装有4个黑球，2个白球．每个球除颜色外都相同，则事件“从中任意模出1个球，是黑球”的事件类型是随机（填“随机事件”“不可能事件”或“必然事件”）．解：∵袋子里装有4个黑球，2个白球，∴从中任意模出1个球，可能是黑球，有可能是白球，∴事件“从中任意模出1个球，是黑球”的事件类型是随机事件，故答案为：随机．12．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是毫米．解：∵DE∥AB∴△CDE∽△CAB∴CD：CA＝DE：AB∴20：60＝DE：10∴DE＝毫米∴小管口径DE的长是毫米．故答案为：13．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos A的值为．解：如图，作CH⊥AB于H，设小正方形的边长为1．则AC＝＝，在Rt△ACH中，cos A＝＝＝，故答案为：．14．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，经过点A、B的抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）的顶点为E．若△ABE为等腰直角三角形，则a的值为．解：∵抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）的顶点为E，且经过点A、B，∴抛物线的对称轴是直线x＝2，且A、B关于直线x＝2对称，过E作EF⊥x轴于F，交AB于D，∵△ABE为等腰直角三角形，∴AD＝BD＝2，∴AB＝4，DE＝AB＝2，∵四边形OABC是正方形，∴OA＝AB＝BC＝OC＝4，EF＝4+2＝6，∴A（0，﹣4），E（2，﹣6），把A、E的坐标代入y＝a（x﹣2）2+c得：，解得：a＝，故答案为：．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．先分解因式，再代入求值：a2b+ab2，其中a＝3+，b＝3﹣．解：a2b+ab2＝ab（a+b），当a＝3+，b＝3﹣时，原式＝（3+）×（3﹣）×[（3+）+（3﹣）]＝（9﹣2）×（3++3﹣）＝7×6＝42．16．对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，居委会采取随机抽查的方式对辖区内的甲、乙、丙、丁四个小区中的两个小区进行检查．请用列表或画树状图的方法求恰好甲、乙两个小区被抽到的概率．解：根据题意画树状图如下：∵共有12种等可能的结果数，其中恰好甲、乙两个小区被抽到的结果数为2，∴恰好甲、乙两个小区被抽到的概率为＝．17．某种植物的主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求x的值．解：设每个支干长出x个小分支，由题意可得，1+x+x2＝91．解得：x1＝9，x2＝﹣10（舍去），则x＝9．18．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点O是格点，△ABC 是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点A1是点A以点O为位似中心的对应点．（1）画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1．（2）△A1B1C1与△ABC的位似比为1：3；（3）△A1B1C1的周长为9+3+3．解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；（2）△A1B1C1与△ABC的位似比为：1：3；（3）△A1B1C1的周长为：9++＝9+3+3．故答案为：（2）1：3；（3）9+3+3．19．如表是小菲填写的实践活动报告的部分内容．题目测量铁塔顶端到地面的高度测量目标示意图CE＝25米，CD＝10米，∠FDG＝44°相关数据求铁塔的高度FE．（结果精确到1米）【参考数据：sin44°＝0.69，cos44°＝0.72，tan44°＝0.97】解：在Rt△DGF中，∵FG＝DG×tan∠FDG，＝CE×tan∠FDG＝25×tan44°＝24.25，∴FE＝FG+GE＝FG+CD，＝24.25+10≈34（米）答：铁塔FE的高度约为34米．20．已知抛物线y＝﹣x2+4x的顶点为A，与x轴的交点为B、C（点B在点C左边）．（1）直接写出点A、B、C的坐标．（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这条抛物线．（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴顶点A（2，4），在y＝﹣x2+4x中，令y＝0，则﹣x2+4x＝0，解得x1＝0，x2＝4，∴B（0，0），C（4，0）；（2）描点、连线，画出函数图象如图：；（3）由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4．21．某商场购进一批单价为16元的日用品，按每件20元销售时，每月能卖360件；经调查发现，售价每提高1元，月销量就减少30件．设每件售价为x（20≤x≤28）元时，每月的利润为W元．（1）若按每件25元的价格销售时，每月能卖90件．（2）求W与x的函数关系式．（3）销售价定为每件多少元时，才能使每月获得的利润最大？每月的最大利润是多少？解：（1）若按每件25元的价格销售时，每月能卖360﹣30×（25﹣20）＝210（件）；故答案为：210；（2）根据题意得：W＝[360﹣30（x﹣20）]（x﹣16）＝﹣30x2+1440x﹣15360，∴W与x的函数关系式为：W＝﹣30x2+1440x﹣15360；（3）∵W＝﹣30x2+1440﹣15360＝﹣30（x﹣24）2+1920，∵20≤x≤28，∴当x＝24时，W有最大值，W的最大值为1920．答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元．22．（1）把两个含有45°角的直角三角板如图①放置，点E、C、A在同一直线上，点D 在边BC上，连结BE、AD，AD的延长线交BE于点F．求证：AD＝BE．（2）把两个含有30°角的直角三角板如图②放置，点E、C、A在同一直线上，点D在边BC上，连结BE、AD，AD的延长线交BE于点F．若AD＝1，则BE的长为．【解答】证明：（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴∠ECD＝∠BCA＝90°，CE＝CD，BC＝AC，∴在△ECB和△DCA中，，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴AD＝BE；（2）∵∠ABC＝∠DEC＝30°，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴，∴△DCA∽△ECB，∴，∵AD＝1，∴BE＝，故答案为：．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝15，sin A＝．点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿AC﹣CB运动，到点B停止；点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC﹣CA运动，到点A停止．P、Q两点同时出发，到各自的终点时停止．当点P、Q不与点C重合时，过点C作直线l，使点A、B在直线l同侧，过点P、Q分别作直线l的垂线，垂足分别为点E、F．设点Q运动时间为t（秒）．（1）求△ABC的边AC，BC的长．（2）当t＝2时，求的值．（3）当△PEC与△QFC的面积比为1：1时，求t的值．解：（1）在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝15，∴sin A＝＝，∴BC＝9，∴AC＝＝＝12.（2）当t＝2时，AP＝6，BQ＝4，∵AC＝12，BC＝9，∴PC＝6，CQ＝5，∵PE⊥EF，QF⊥EF，∴∠PEC＝∠ACB＝∠QCF＝90°，∴∠PCE+∠QCF＝90°，∠QCF+∠CQF＝90°，∴∠PCE＝∠CQF，∴△PCE∽△CQF，∴＝＝．（3）∵△PCE∽△CQF，面积比为1：1，∴△PCE≌△CQF，∴PC＝CQ，∴12﹣3t＝9﹣2t或3t﹣12＝9﹣2t，解得t＝3或．24．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）经过点A（﹣2，2），与y轴交于点B．（1）求点B的坐标．（2）用含a的式子表示b．（3）当﹣2＜x＜0时，y随x的增大而减小，求a的取值范围．（4）直线AB上有一点C（m，5），将点C向右平移4个单位长度，得到点D．当抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与线段CD只有一个公共点时，直接写出a的取值范围．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）经过点A（﹣2，2），与y轴交于点B．∴当x＝0时，y＝﹣2，∴B（0，﹣2）；（2）把点A（﹣2，2）代入y＝ax2+bx﹣2中，得4a﹣2b﹣2＝2．∴b＝2a﹣2；（3）当a＜0时，依题意抛物线的对称轴需满足﹣≤﹣2，解得﹣1≤a＜0．当a＞0时，依题意抛物线的对称轴需满足﹣≥0，解得0＜a≤1．∴a的取值范围是1≤a＜0或0＜a≤1；（4）设直线AB的表达式为：y＝kx+n，则，解得：，故直线AB表达式为y＝﹣2x﹣2，把C（m，5）代入得m＝﹣3.5．∴C（﹣3.5，5），由平移得D（，5）．①当a＞0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点（如图1），y＝ax2+bx+c＝ax2+（2a﹣2）x﹣2，当x＝时，y＝a﹣3，则抛物线上的点（，a﹣3）在D点的下方，∴a﹣3＜5．解得a＜．∴0＜a＜；②当a＜0时，若抛物线的顶点在线段CD上，则抛物线与线段只有一个公共点（如图2），∴＝5．解得a＝或a＝．综上，a的取值范围是0＜a＜或a＝或a＝．。
2021-2022学年吉林省长春市新区九年级(上)期末数学试卷(附详解)
2021-2022学年吉林省长春市新区九年级（上）期末数学试卷1.化简二次根式√13的正确结果为()A. 3B. 13C. √3 D. √332.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是()A. x+1x=2 B. 2x2−x=1 C. 3x3=1 D. xy=43.若ba−b =14，则ab的值为()A. 5B. 15C. 3 D. 134.有5张完全相同的卡片，正面分别写有1，2，3，4，5这5个数字，现把卡片背面朝上，从中随机抽取一张卡片，其数字是奇数的概率为()A. 25B. 12C. 35D. 345.根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a、b、c为常数)的根的个数是()x 6.17 6.18 6.19 6.20 y=ax2+bx+c0.020.010.020.04A. 1或2B. 1C. 2D. 06.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinA的值为()A. 12B. √22C. √32D. 17.已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是()A.B.C.D.8.在平面直角坐标系中，若函数y=(k−2)x2−2kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，则下列各数中可能的k值为()A. −1B. 0C. 1D. 29.计算sin60°+tan30°=______．10.若关于x的方程x2+(m2−2)x−15=0有一个根是x=3，则m的值是______．11.已知二次函数y=(x−m)2+1，当x<1时，y随着x的增大而减小，请写出一个符合条件的m的值是______．12.某市某楼盘准备以每平方米7200元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米5832元的均价开盘销售．则平均每次下调的百分率为______．13.如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1.5米后，水面的宽度为______米．14.如图，在2×4的方格中，两条线段的夹角(锐角)为∠1，则sin∠1=______ ．15.解方程：x2+2x−2=0．16.先化简，再求值：6x2+2xy−8y2−2(3xy−4y2+3x2)，其中x=√2，y=√6．17.某校围棋队共有4名队员，分别是：小明、小红、小聪、小丽，其中小明、小红来自八年级，小聪小丽来自九年级，现准备抽取两名队员参加集训．(1)若从八年级、九年级中各随机抽取一人，则小红和小丽恰好被抽到参加集训的概率为______；(2)若从四名队员中随机抽取两名队员，请用列表法或画树状图法求抽到小明和小聪的概率．18.在5×5的方格中，△ABC的三个顶点都在格点上，我们把像这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图．(1)在图1的方格中作出与△ABC相似的最小格点三角形；(2)在图2中把线段AC分成三条相等的线段AE=EF=FC，点E，F都在线AC上.(①只能用无刻度的直尺作直线；②保留作图痕迹)19.2016年国庆节前夕，全球最长跨海大桥−港珠澳大桥主体桥梁工程贯通，大桥连接香港，澳门，珠海三地，总长55千米.大桥某段采用低塔斜拉桥桥型，图2是从图1引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长(结果精确到0.1米，√3=1.732)．20.如图，有一道长为25m的墙，计划用总长为50m的栅栏，靠墙围成由三个小长方形组成的矩形花圃ABCD.若花圃ABCD的面积为150m2，求AB的长．21.已知关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+2=0．(Ⅰ)证明：不论m为何值时，方程总有实数根．(Ⅱ)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．22.如图，AD、BE是△ABC的高，连接DE．(1)求证：△ACD∽△BCE；(2)若点D是BC的中点，CE=6，BE=8，求AB的长．23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D，点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到点C时，两点都停止运动，设运动时间为t秒．(1)求线段CD的长；(2)设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)当t为何值时，△CPQ与△CAD相似？请直接写出t的值．24.已知二次函数y=ax2−2ax−2(a≠0)．(1)该二次函数图象的对称轴是直线______；(2)若该二次函数的图象开口向上，当−1≤x≤5时，函数图象的最高点为M，最，求点M和点N的坐标；低点为N，点M的纵坐标为112(3)已知线段PQ的两个端点坐标分别为P(0,−4)、Q(3,−4)，当此函数图象与线段PQ只有一个交点时，直接写出a的取值范围．(4)对于该二次函数图象上的两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，当x2≥3时，y2≥y2恒成立，设t≤x1≤t+1，请结合图象，直接写出t的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：√13=√3=√3√3×√3=√33故选：D．根据二次根式的除法法则的逆运算和分母有理化把原式化简即可．本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质和最简二次根式的概念是解题的关键．2.【答案】B【解析】解：A、x+1x=2为分式方程，所以A选项不符合题意．B、2x2−x=1为一元二次方程，所以B选项符合题意；C、3x3=1是一元三次方程，所以C选项不符合题意；D、xy=4是二元二次方程，所以D选项不符合题意；故选：B．根据一元二次方程的定义对各选项进行判断．本题考查了一元二次方程的一般式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫一元二次方程的一般形式．也考查了一元二次方程的定义．3.【答案】A【解析】解：由ba−b =14，得4b=a−b.，解得a=5b，a b =5bb=5，故选：A．根据比例的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案．本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出b表示a是解题关键．4.【答案】C【解析】解：∵从写有数字1，2，3，4，5这5张卡片中抽取一张，其中数字是奇数的有1、3、5这3种结果，∴正面的数字是奇数的概率为35，故选：C．让正面的数字是奇数的情况数除以总情况数即为所求的概率．此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．5.【答案】D【解析】解：由表格中的对应值可得出，抛物线的最小值为0.01，∴抛物线与x轴没有交点，∴方程ax2+bx+c=0(a≠0,a、b、c为常数)没有实数根，故选：D．由表格中的对应值可得出，抛物线的最小值为0.01，故方程ax2+bx+c=0(a≠0,a、b、c为常数)没有实数根．本题考查了二次函数与方程的关系，结合表格中的数据判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)无实数解是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：∵∠C=90°，AB=2BC，∴sinA=BCAB =12，故选：A．根据正弦的定义列式计算即可．本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．7.【答案】D【解析】解：∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°，∴∠C=75°，∠A=30°，A、三角形各角的度数都是60°，B、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，C、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，D、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，∴只有D选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，故选：D．由题意知△ABC是等腰三角形，底角是75°，则顶角是30°，看各个选项是否符合相似的条件．此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定的理解和掌握．8.【答案】C【解析】解：∵函数y=(k−2)x2−2kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，∴{k−2≠0k≠0(−2k)2−4(k−2)⋅k>0，解得k>0且k≠2，故选：C．根据函数y=(k−2)x2−2kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，可以得到关于k的不等式组，从而可以求得k的取值范围，然后即可解答本题．本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．9.【答案】5√36【解析】解：原式=√32+√33=5√36．故答案为：5√36．直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．10.【答案】2或−2【解析】解：把x=3代入x2+(m2−2)x−15=0得9−3m2−6−15=0，整理得m2=4，解得m=±2．故答案为2或−2．把x=3代入x2+(m2−2)x−15=0得9−3m2−6−15=0，然后解关于m的方程即可．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．11.【答案】m=2【解析】解：∵二次函数y=(x−m)2+1的对称轴为x=m，当x<1时，y随着x的增大而减小∴当m≥1时都符合要求，故可取m=2故答案为：m=2根据二次函数的对称性及在对称轴两侧的增减变化规律可得答案．本题考查了二次函数的对称性及二次函数在对称轴两侧的增减变化趋势，本题属于基础题型，难度不大．12.【答案】10%【解析】解：设平均每次下调的百分率为x，根据题意得，7200(1−x)2=5832，解得x1=0.1，x2=1.9(不符合题意，舍去)，答：平均每次下调的百分率为10%．故答案为：10%．设平均每次下调的百分率为x，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，即可得到结果．此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．13.【答案】2√7【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决．根据二次函数图象和性质即可求解．【解答】解：如图：以拱顶到水面的距离为2米时的水面为x轴，拱顶所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据题意设二次函数解析式为：y=ax2+2，把A(2,0)代入，得：a=−1，2x2+2，所以二次函数解析式为：y=−12x2+2=−1.5当y=−1.5时，−12解得x=±√7．所以水面的宽度为2√7．故答案为2√7．14.【答案】√22【解析】解：如图，过点C作CE//AB，连接DE，∵CE=√5，DE=√5，CD=√10，∴DE=CE，CE2+DE2=10=CD2，∴∠CED=90°，∴∠EDC=∠ECD=45°，∵CE//AB，∴∠1=∠DCE=45°，∴sin∠1=√2，2．故答案为：√22由勾股定理的逆定理可得∠CED=90°，可得∠EDC=∠ECD=45°，由平行线的性质和锐角三角函数可求解．本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．15.【答案】解：原方程化为：x2+2x=2，x2+2x+1=3(x+1)2=3，x+1=±√3x1=−1+√3，x2=−1−√3．【解析】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．16.【答案】解：原式=6x2+2xy−8y2−6xy+8y2−6x2=(6x2−6x2)+(2xy−6xy)+(−8y2+8y2)=−4xy．当x=√2，y=√6时，原式=−4×√2×√6=−8√3．【解析】根据整式的加减法则进行化简，再把值代入化简后的整式计算即可求解．本题考查了整式的加减−化简求值、二次根式乘法，解决本题的关键是数值要代入化简后的整式．17.【答案】14【解析】解：(1)列表如下：由表可知，共有4种等可能结果，其中小红和小丽恰好被抽到参加集训的有1种结果，所以小红和小丽恰好被抽到参加集训的概率为14，故答案为：14；(2)列表如下：由表知，共有12种等可能结果，其中抽到小明和小聪的有2种结果，∴抽到小明和小聪的概率为212=16．(1)列表得出所有等可能结果，从中找到小红和小丽恰好被抽到参加集训的结果数，再根据概率公式求解即可；(2)列表得出所有等可能结果，从中找到小明和小聪恰好被抽到参加集训的结果数，再根据概率公式求解即可．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18.【答案】解：(1)如图1，三角形DEF即为所求；(2)如图2，点E，F即为所求．【解析】(1)根据网格即可在图1的方格中作出与△ABC相似的最小格点三角形；(2)根据网格，在图2中在线AC上找到点E，F即可．本题考查了作图−相似变换，解决本题的关键是掌握相似变换．19.【答案】解：设DH=x米，∵∠CDH=60°，∠H=90°，∴CH=DH⋅tan60°=√3x，∴BH=BC+CH=2+√3x，∵∠A=30°，∴AH=√3BH=2√3+3x，∵AH=AD+DH，∴2√3+3x=20+x，解得：x=10−√3，∴BH=2+√3(10−√3)=10√3−1≈16.3(米)．答：立柱BH的长约为16.3米．【解析】设DH=x米，由三角函数得出CH=√3x，得出BH=BC+CH=2+√3x，求出AH=√3BH=2√3+3x，由AH=AD+DH得出方程，解方程求出x，即可得出结果．本题考查了解直角三角形的应用；由三角函数求出CH和AH是解决问题的关键．20.【答案】解：设AB=x m，则BC=(50−4x)m，依题意得：x(50−4x)=150，整理得：2x2−25x+75=0，解得：x1=5，x2=152．当x=5时，50−4x=50−4×5=30>25，不合题意，舍去；当x=152时，50−4x=50−4×152=20<25，符合题意．答：AB的长为152m.【解析】设AB=xm，则BC=(50−4x)m，根据花圃ABCD的面积为150m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合BC的长不超过墙的长度，即可确定AB的长．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21.【答案】(Ⅰ)证明：△=(m+2)2−8m=m2−4m+4=(m−2)2，∵不论m为不为0的何值时，(m−2)2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；(Ⅱ)解方程得，x=m+2±(m−2)2m，x1=2m，x2=1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m=1或2，m=2不合题意，∴m =1．【解析】(Ⅰ)求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可； (Ⅱ)利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m 的值．本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△>0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△<0⇔方程没有实数根是解题的关键．22.【答案】(1)证明：∵AD 、BE 是△ABC 的高，∴∠ADC =∠BEC =90°， ∵∠C =∠C ， ∴△ACD∽△BCE ；(2)解：∵点D 是BC 的中点，AD ⊥BC ， ∴AB =AC ， 在Rt △BEC 中， ∵CE =6，BE =8，∴BC =√CE 2+BE 2=√62+82=10， ∴CD =12BC =5， ∵△ACD∽△BCE ， ∴AD CD=BE EC， ∴AD =8×56=203，∴AC =√AD 2+CD 2=√(203)2+52=253，∴AB =AC =253．【解析】(1)根据相似三角形的判定即可证明结论；(2)根据垂直平分线的性质可得AB =AC ，由(1)△ACD∽△BCE ，可得ADCD =BE CE，再根据勾股定理即可求出AB 的长；本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明△ACD∽△BCE ．23.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10．∵CD⊥AB，∴S△ABC=12BC⋅AC=12AB⋅CD．∴CD=BC⋅ACAB=4.8．∴线段CD的长为4.8；(2)过点P作PH⊥AC，垂足为H，如图1所示．由题可知DP=t，CQ=t，则CP=4.8−t，∵∠ACB=∠CDB=90°，∴∠HCP=90°−∠DCB=∠B，∵PH⊥AC，∴∠CHP=90°，∴∠CHP=∠ACB．∴△CHP∽△BCA．∴PHAC =PCAB，∴PH8=4.8−t10，∴PH=9625−45t，∴S=S△CPQ=12CQ⋅PH=12t(9625−45t)=−25t2+4825t(0≤t≤4.8)；(3)由运动知，DP=t，CQ=t.则CP=4.8−t．∵∠ACD=∠PCQ，且∠ADC=90°，①当∠CPQ=∠ADC=90°时，如图2，∴△CPQ∽△CDA，∴CQAC =CPCD，∴t8=4.8−t4.8，∴t=3；②当∠CQP=∠ADC=90°时，如图3．∵△CPQ∽△CAD，∴CPAC =CQCD，∴4.8−t8=t4.8，∴t=95，∴当t为3或95时，△CPQ与△CAD相似．【解析】(1)利用勾股定理可求出AB长，再用等积法就可求出线段CD的长．(2)过点P作PH⊥AC，垂足为H，通过三角形相似即可用t的代数式表示PH，从而可以求出S与t之间的函数关系式，即可解决问题；(3)先用t表示出DP，CQ，CP的长，再分∠CPQ=90°与∠CQP=90°两种情况，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．此题是几何变换综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．24.【答案】x=1【解析】解：(1)y=ax2−2ax−2=a(x−1)2−a−2，∴函数的对称轴为直线x=1，故答案为：x=1．(2)∵y=a(x−1)2−a−2，∴抛物线顶点坐标为(1,−a−2)，∵抛物线开口向上，∴a>0，顶点(1,−a−2)为图象最低点N，∵5−1>1−(−1)，∴直线x=5与抛物线交点为最高点M，把x=5代入代入y=ax2−2ax−2得y=15a−2，∴M(5,15a−2)，∵15a−2=112，∴a=12，∴M(5,112)，N(1,−52).(3)∵y=ax2−2ax−2=ax(x−2)−2，∴x=0或x=2时，y=−2，∴抛物线经过定点(0,−2)，(2,−2)，当a>0时，抛物线开口向上，当顶点(1,−a−2)落在PQ上时满足题意，−a−2=−4，解得a=2，当a<0时，抛物线开口向下，∵抛物线经过定点(0,−2)，∴抛物线不经过点P，当抛物线经过点Q时，将(3,−4)代入y=ax2−2ax−2得−4=3a−2，解得a=−23，∴a=2或a≤−23．(4)当x2≥3时，y2≥y2，即抛物线开口向下，点A(x1,y1)在点B(x2,y2)上方，∴点A到对称轴距离小于等于点B到对称轴距离，∵抛物线对称轴为直线x=1，∴x=3时，y2取最大值，直线x=3关于对称轴对称后为直线x=−1，∴−1≤x1≤3，∵t≤x1≤t+1，∴{−1≤tt+1≤3，∴−1≤t≤2．(1)将抛物线解析式化为顶点式求解．(2)根据抛物线顶点坐标及x的取值范围可得顶点(1,−a−2)为图象最低点N，最高点M(5,15a−2)，由点M的纵坐标为11求解．2(3)通过二次函数解析式可得抛物线经过定点(0,−2)，然后分类讨论a>0与a<0求解．(4)由x2≥3时，y2≥y2恒成立可得抛物线开口向下，则x=3时，y2取最大值，直线x=3关于对称轴为直线x=−1，所以−1≤x1≤3，进而求解．本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过数形结合方法求解．第21页，共21页。
2021-2022学年吉林省长春市汽开区九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)
2021-2022学年吉林省长春市汽开区九年级（上）期末数学试卷1.当函数y=(a−1)x2+bx+c是二次函数时，a的取值为( )A. a=1B. a=−1C. a≠−1D. a≠12.掷一枚均匀的正方体骰子，掷得“6”的概率为( )A. 13B. 14C. 15D. 163.随着生产技术的进步，生产成本逐年下降．某工厂两年前生产一台扫地机器人的成本是900元，现在生产一台扫地机器人的成本是600元．设该种扫地机器人生产成本的年平均下降率为x，则下面所列方程正确的是( )A. 900×(1−x)2=600B. 900×2(1−x)=600C. 900×(1−2x)=600D. 900×(1−x2)=6004.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，顶点坐标为(3,−7)，那么该二次函数有( )A. 最小值−7B. 最大值−7C. 最小值3D. 最大值35.如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AB的长为10km，则M、C两点间的距离为( )A. 3kmB. 4kmC. 5kmD. 6km6.如图，在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为6米，那么相邻两树在坡面上的距离AB为( )A. 6cosαB. 6cosαC. 6sinαD. 6sinα7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点(−1,0)，对称轴为直线x=1.若y<0，则x的取值范围是( )A. x<1B. x<−1C. −1<x<1D. x<−1或x>38.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AB=6，AC=8，点P为BC上任意一点，连结PA，以PA、PC为邻边作▱PAQC，连结PQ，则PQ的最小值为( )A. 125B. 3 C. 245D. 59.已知二次函数y=3x2，则其图象的开口向______.(填“上”或“下”)10.关于x的一元二次方程x2−3x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为______.11.下列事件：①长春市某天的最低气温为−200℃；②人们外出旅游时，使用手机App购买景点门票；③在平面内任意画一个三角形，其内角和等于180∘，其中是随机事件的是______(只填写序号).12.如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB=12，CD=6，tanA=32，则sinB的值为______.13.如图，在△ABC中，∠C=90∘.按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交边AB、AC于点M、N；②分别以点M和点N为圆心、大于MN一半的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D.若△DAC∽△ABC，则∠B的大小为______度．14.在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+ax+6的图象关于直线x=−2对称．若当m≤x≤0时，y有最大值6，最小值2，则m的取值范围是__________.15.解方程：x2−4x−2=0.16.在课堂上，老师将除颜色外其余均相同的1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让全班同学参与摸球试验，每人每次随机摸出一个球，记下颜色再放回搅匀，如表是试验得到的一组数据．摸球的次数n1001502005001000摸到黑球的次数335167166333m摸到黑球的频率0.330.340.3350.3320.333mn(1)估算口袋中白球的个数为______个．(2)在(1)的条件下，小明从口袋中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，再随机摸出一个小球．请用画树状图(或列表)的方法，求小明两次摸出的小球颜色不同的概率．17.已知二次函数y=ax2+bx+1的图象经过点(1,3)、(4,−15)，求这个二次函数的表达式．18.图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．(1)在图①中作△ABC的中位线EF，使点E、F分别在边AB、AC上．(2)在图②中作线段GH，使GH//BC，GH=1BC，点G、H分别在边AB、AC上．319.某数学兴趣小组本着用数学知识解决问题的想法，来到“党史”教育基地，准备测量四平烈士塔的高度如图①，小组数学报告得出如下信息：如图②，测角仪CD竖直放在距烈士塔AB底部18m的位置，在D处测得塔尖A的仰角为51∘，测角仪的高度是1.5m.请你结合，上述信息计算四平烈士塔的高度AB.(精确到1m)【参考数据：sin51∘=0.78，cos51∘=0.63，tan51∘=1.23】20.观察下面的表格：x−101ax2____________1ax2+bx+c127______(2)设y=ax2+bx+c，当y>0时，x的取值范围为______.21.北方的冬天，人们酷爱冰雪运动，在这项运动里面，我们可以用数学知识解决一些实际问题．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点Ax2+40作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，图中的抛物线C1：y=−1480近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方50米处的A点滑出，滑出后沿x2+bx+c运动．当运动员运动到离A处的水平距离为60米时，一段抛物线C2：y=−1120离水平线的高度为60米．(1)求小山坡最高点到水平线的距离．(2)求抛物线C2所对应的函数表达式．(3)当运动员滑出点A后，直接写出运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡C1的竖直距离为10米？22.在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点，∠BAC=∠AED=90∘.如图②，若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE 与边BC的交点分别为M、N(点M不与点B重合，点N不与点C重合).【探究】求证：△BAN∽△CMA.【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4.(1)BN⋅CM的值为______.(2)若BM=CN，则MN的长为______.23.如图，在▱ABCD中，AD=10，AB=8，BD⊥AB.点P从点A出发，沿折线AB−BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动(点P不与点A、B、C重合).在点P的运动过程中，过点P作AB所在直线的垂线，交边AD或边CD于点Q，以PQ为一边作矩形PQMN，且QM=4，MN与BD在PQ的同侧．设点P的运动时间为t(秒).(1)tanA的值为______.(2)求线段PQ的长．(用含t的代数式表示)(3)当t=6时，求△PCQ的面积．(4)连结AC.当点M或点N落在AC上时，直接写出t的值．24.在平面直角坐标系中，M(t,y1)、N(t+1,y2)为抛物线y=x2−2x上两点．(1)求抛物线与x轴的交点坐标．(2)记抛物线与x轴交点分别为A、B(点A在点B左侧)，设点P在此抛物线的对称轴上，若四边形PABM为平行四边形，求y1的值．(3)点M、N在抛物线上运动，过点M作y轴的垂线，过点N作x轴的垂线，两条垂线交于点Q，当△MNQ为等腰直角三角形时，求t的值．(4)记抛物线在M、N两点之间的部分为图象G(包含M、N两点)，设图象G最低点的纵坐标为n.当6≤n≤8时，直接写出t的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由题意得：a−1≠0，解得：a≠1，故选：D.根据二次函数定义可得a−1≠0，再解即可．此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．2.【答案】D【解析】解：因为抛掷一枚正方体骰子共有六种情况出现，.因此掷得“6”的概率是16故选：D.先弄清正方体骰子六个面上分别刻的点数，再根据概率公式解答就可求出掷得“6”的概率．此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．3.【答案】A【解析】解：设该种扫地机器人生产成本的年平均下降率为x，根据题意得：900(1−x)2=600，故选：A.等量关系为：两年前的生产成本×(1−年平均下降率)2=现在的生产成本，把相关数值代入即可．此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为a(1+x)n=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．4.【答案】B【解析】解：∵抛物线开口向下，顶点坐标为(3,−7)，∴二次函数最大值为y=−7.故选：B.抛物线开口向下，则顶点纵坐标为函数最大值．本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．5.【答案】C【解析】解：∵公路AC，BC互相垂直，∴∠ACB=90∘，∵M为AB的中点，∴CM=12AB，∵AB=10km，∴CM=5(km)，即M，C两点间的距离为5km，故选：C.根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=12AB，再求出答案即可．本题考查了直角三角形斜边上的中线，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键．6.【答案】B【解析】解：在Rt△ABC中，BC=6米，∠ABC=α，∵cos∠ABC=BCAB，∴AB=BCcos∠ABC =6cosα，故选：B.根据正切的定义计算，判断即可．本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点(−1,0)，对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一交点为(3,0)，由图象可知，y<0时，x的取值范围是x<−1或x>3.故选：D.由抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一交点为(3,0)，根据图象可得出答案．本题考查了二次函数与x轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，准确识图是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′.在Rt△ABC中，BC=√AC2+AB2=√62+82=10，∵∠OCP′=∠ACB，∠OP′C=∠CAB，∴△COP′∽△CBA，∴CO CB =OP′AB，∴4 10=OP′6，∴OP′=125，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值=2OP′=245.故选：C.设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′.首先求出OP′，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值=2OP′.本题考查平行四边形的性质．直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．9.【答案】上【解析】解：y=3x2，∵a=3>0，∴抛物线开口向上，故答案为：上．据二次项系数得出抛物线的开口方向．此题考查二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键．10.【答案】94【解析】解：根据题意得Δ=(−3)2−4×1×k=0，即9−4k=0，解得k=94.故答案为：94.根据判别式的意义得到Δ=(−3)2−4×1×k=0，然后解关于k的方程即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．11.【答案】②【解析】解：①长春市某天的最低气温为−200℃，是不可能事件，故此选项不合题意；②人们外出旅游时，使用手机App购买景点门票，是随机事件，符合题意；③在平面内任意画一个三角形，其内角和等于180∘，是必然事件，故此选项不合题意；故答案为：②．直接利用随机事件以及必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案．此题主要考查了随机事件以及必然事件、不可能事件的定义，正确掌握相关定义是解题关键．12.【答案】35【解析】解：∵CD=6，tanA=32，∴tanA=CDAD =32，∴AD=4，∵AB=12，∴BD=AB−AD=12−4=8，由勾股定理可得BC=√CD2+BD2=√62+82=10，∴sinB=CDBC =610=35，故答案为：35.根据三角函数求出AD的值，进而求出BD，利用勾股定理求出BC即可求出sinB的值．本题主要考查解直角三角形的知识，熟练掌握三角函数及勾股定理的知识是解题的关键．13.【答案】30【解析】解：由作法得AD平分∠BAC，∴∠CAD=12∠BAC，∵△DAC∽△ABC，∴∠CAD=∠B，∴∠B=12∠BAC，∵∠C=90∘，∴∠B +∠BAC =90∘， 即∠B +2∠B =90∘，∴∠B =30∘.故答案为：30.先利用基本作图得到AD 平分∠BAC ，所以∠CAD =12∠BAC ，再根据相似三角形的性质得到∠CAD =∠B ，则∠B =12∠BAC ，然后根据三角形内角和求∠B 的度数．本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．14.【答案】−4≤m ≤−2【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握求二次函数的最值的方法是解题的关键．由二次函数的对称轴求出a 的值，把一般式化为顶点式，即可求出当x =−2时，y 有最小值2，把y =6代入即可求出x 的值，即可求得m 的取值范围． 【解答】解：∵二次函数y =x 2+ax +6的图象关于直线x =−2对称， ∴−a2=−2， ∴a =4，∴y =x 2+4x +6=(x +2)2+2， ∴当x =−2时，y 有最小值2，∵当m ≤x ≤0时，y 有最大值6，最小值2， ∴令(x +2)2+2=6， 解得：x =0或x =−4，∴m 的取值范围是−4≤m ≤−2， 故答案为：−4≤m ≤−2.15.【答案】解：由题意得：a =1，b =−4，c =−2，Δ=b 2−4ac =16−4×1×(−2)=24>0， x =−b±√b 2−4ac2a=4±2√62=2±√6，∴x 1=2+√6，x 2=2−√6. 【解析】根据公式法，可得方程的解．本题考查了解一元二次方程，熟记公式是解题关键，要用根的判别式判断根的情况．16.【答案】2【解析】解：(1)又表格中数据可得出，摸到黑球的频率稳定在0.33， 故1÷0.33−1≈2(个)， 答：口袋中白球的个数约为2个， 故答案为：2；(2)画树状图得：∵共有19种等可能的结果，两次都摸到白球的有4种情况， ∴P(小明两次摸出的小球颜色不同)=49.(1)直接利用表格中数据估算出得到白球的频率，进而得出答案；(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到白球的情况，再利用概率公式即可求得答案．本题考查了模拟实验以及频率求法和树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17.【答案】解：∵二次函数y =ax 2+bx +1的图象经过点(1,3)、(4,−15)，∴{a +b +1=316a +4b +1=−15解得{a =−2b =4，∴这个二次函数的表达式为y =−2x 2+4x +1.【解析】把点(1,3)、(4,−15)代入二次函数关系式，即可求出a 、b 的值即可确定关系式． 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．18.【答案】解：(1)如图①中，线段EF ，即为所求；(2)如图②中，线段GH 即为所求．【解析】(1)作出AB 的中点E ，AC 的中点F ，连接EF ，线段EF 即为所求；(2)在AB 上找一点G ，使得AG =13AB ，在AC 上找一点H ，使得AH =13AC ，连接GH ，线段GH 即为所求．本题考查作图-应用与设计作图，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．19.【答案】解；如图②，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，则DE =BC =18m ，DC =BE =1.5m ， 在Rt △ADE 中，∵tan∠ADE =AEDE ，∴AE =tan∠ADE ⋅DE =tan51∘×18=1.23×18=22.14(m)，∴AB =AE +BE =22.14+1.5≈24(m).答：四平烈士塔的高度AB 约为24m.【解析】根据题意，作辅助线DE ⊥AB ，然后根据锐角三角函数可以得到AE 的长，从而可以求得AB 的长，本题得以解决．本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20.【答案】1−47全体实数【解析】解：(1)由题意得，a ×12=1， 解得：a =1， ∴{1−b +c =12c =7，解得：{b =−4c =7，故答案为：1，−4，7；(2)∵y =x 2−4x +7=(x −2)2+3，∴x 取全体实数，y 的值均大于0， 故答案为：全体实数．(1)把x =1代入ax 2=1，即可求出a 的值，把x =−1，y =12和x =0，y =7代入x 2+bx +c ，解二元一次方程组，即可求出b ，c 的值；(2)把y =x 2−4x +7化成顶点式，即可求出y >0时，x 的取值范围．本题考查了二次函数的性质及配方法的应用，利用待定系数法求出a ，b ，c 的值是解题的关键．21.【答案】(1)由y =−1480x 2+40，当x =0时，y 有最大值为40.∴小山坡最高点到水平线的距离为40米； (2)把(0,50)、(60,60)代入y =−1120x 2+bx +c ，得{c =50,−1120×602+60b +c =60, 解得{b =23,c =50.∴抛物线C 2所对应的函数表达式y =−1120x 2+23x +50；(3)设运动员运动的水平距离是x 米，此时小山坡的高度是y =−1480x 2+40，运动员运动的水平高度是y =−1120x 2+23x +50， ∴−1120x 2+23x +50=−1480x 2+40+10，解得x =3203或0(舍去)， 答：运动员运动的水平距离为为3203米时，运动员与小山坡C 1的竖直距离为10米． 【解析】(1)由抛物线C 1的解析式得出最大值即可；(2)把(0,50)、(60,60)代入可得抛物线C 2所对应的函数表达式； (3)根据纵坐标的差为10，列出方程可得答案．本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．22.【答案】84√2−4【解析】【探究】∵△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC =90∘， ∴∠B =∠C =45∘， 同理，∠DAE =45∘，∵∠BAN =∠BAM +∠DAE =∠BAM +45∘， ∠AMC =∠BAM +∠B =∠BAM +45∘， ∴∠BAN =∠AMC ，∴△BAN∽△CMA；【应用】(1)∵等腰直角三角形的斜边长为4，∴AB=AC=2√2，∵△BAN∽△CMA，∴BN AC =BACM，∴2√2=2√2CM，∴BN⋅CM=8，故答案为：8；(2)∵BM=CN，∴BN=CM，∵BN⋅CM=8，∴BN=CM=2√2，∴MN=BN+CM−BC=4√2−4，故答案为：4√2−4.【探究】利用三角形外角的性质可证∠BAN=∠AMC，又由∠B=∠C=45∘，可证明结论；【应用】(1)首先求出等腰直角三角形的直角边长，再由△BAN∽△CMA，得2√2=2√2CM，则BN⋅CM=8；(2)由BM=CN，得BN=CM，由(1)知BN⋅CM=8，得BN=CM=2√2，从而得出答案．本题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用前面探索的结论解决新的问题是解题的关键．23.【答案】34【解析】解：(1)在Rt△ABD中，AD=10，AB=8，∴BD=6，∴tanA=BDAB =34，故答案为：34；(2)①如图2中，当0<t<4时，∵PQ//BD，∴PQ BD =APAB，∴PQ6=2t8，∴PQ=32t.②如图3中，当4<t<9时，∵PQ//BD，∴PQ BD =CPCB，∴PQ6=18−2t10，∴PQ=35(18−2t)=−65t+545.综上，当0<t<4时，PQ=32t；当4<t<9时，PQ=−65t+545.(3)当t=6时，PQ=−65×6+545=185，QC=185×43=245，∴S△PCQ=12⋅PQ⋅QC=12×185×245=21625.(4)①当点M在线段AC上，如图，，t，在Rt△APQ中，AP=2t，PQ=32t，则AQ=52由矩形的性质可知，QM//AB，QM=PN=4，又AB//CD，∴QM//CD，t：10=4：8，解得t=2；∴AQ：AD=QM：CD，即52②当点N在线段AC上，如图，在Rt△ACQ中，CP=18−2t，由矩形的性质可知，PN//CD，QM=PN=4，又AB//CD，∴PN//AB∴CP：BC=PN：AB，即(18−2t)：10=4：8，解得t=13；2.综上，t=2或t=132(1)在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出BD的长，再利用正切的定义可求解．(2)分两种情形求解即可①如图2中，当0<t<4时，②如图3中，当4<t<9时；(3)当t=6时，点P在线段BC上，可求出PQ的长，根据三角形的面积公式求解即可；(4)分两种情形分别求解即可，①当点M在线段AC上．②当点N在线段AC上．本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用平行线分线段成比例定理，构建方程解决问题，属于中考压轴题．24.【答案】解：(1)由x2−2x=0得x1=0，x2=2.∴抛物线与x轴的交点坐标为(0,0)、(2,0)；(2)由y=x2−2x=(x−1)2−1，得抛物线的对称轴为直线x=1，∵点P在此抛物线的对称轴上，∴x P=1，∵抛物线与x轴的交点坐标为(0,0)、(2,0)，∴AB=2，∵四边形PABM为平行四边形，∴PM=AB=2.∴t=x P+PM=1+2=3，∴y1=32−2×3=3；(3)把M(t,y1)代入y=x2−2x得y1=t2−2t，把N(t+1,y2)代入y=x2−2x得y2=t2−1，∵△MNQ为等腰直角三角形，∠MQN=90∘，∴NQ=MQ.∵MQ=t+1−t=1，∴NQ=1，∵NQ=y1−y2或NQ=y2−y1，∴t2−2t−(t2−1)=1或t2−1−(t2−2t)=1，∴t=0或t=1；(4)在y=x2−2x中，令y=6得：x2−2x=6，解得x=1+√7或x=1−√7，在y=x2−2x中，令y=8得：x2−2x=8，解得x=4或x=−2，如图：∵在M、N两点之间的部分图象G最低点的纵坐标为n，6≤n≤8，∴−2≤t+1≤1−√7或1+√7≤t≤4，即−3≤t≤−√7或1+√7≤t≤4.【解析】(1)由x2−2x=0得x1=0，x2=2.即得抛物线与x轴的交点坐标为(0,0)、(2,0)；(2)由y=x2−2x=(x−1)2−1得抛物线的对称轴为直线x=1，即知x P=1，而AB=2，根据四边形PABM为平行四边形，有PM=AB=2，故t=x P+PM=3，即得y1=3；(3)根据△MNQ为等腰直角三角形可得NQ=MQ，即得t2−2t−(t2−1)=1或t2−1−(t2−2t)=1，解得t=0或t=1；(4)在y=x2−2x中，令y=6得：x2−2x=6，解得x=1+√7或x=1−√7，令y=8得：x2−2x=8，解得x=4或x=−2，数形结合可得−2≤t+1≤1−√7或1+√7≤t≤4，故−3≤t≤−√7或1+√7≤t≤4.本题考查二次函数综合应用，涉及等腰直角三角形、平行四边形等知识，解题的关键是根据题意列出关于t的方程或不等式．。
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2020-2021学年吉林省长春市经开区九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．一元二次方程3x2﹣2＝4x可化成一般形式为（）A．3x2﹣4x+2＝0B．3x2﹣4x﹣2＝0C．3x2+4x+2＝0D．3x2+4x﹣2＝0 2．下列事件是随机事件的是（）A．只买一张彩票，就中了大奖B．长春市某天的最低气温为﹣150℃C．口袋中装的全是黑球，从中摸出一个球是黑球D．抛掷8枚硬币，结果是3个正面朝上与6个反面朝上3．抛物线y＝2x2﹣4x+1的对称轴是直线（）A．x＝2B．x＝1C．D．x＝﹣14．式子2cos30°﹣tan45°的值是（）A．1﹣B．0C．﹣1D．﹣5．△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF的周长为（）A．4.5B．9C．10D．126．根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）的根的个数是（）x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2+bx+c0.020.010.020.04 A．1或2B．1C．2D．07．在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．8．在平面直角坐标系中，若函数y＝（k﹣2）x2﹣2kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，则下列各数中可能的k值为（）A．﹣1B．0C．1D．2二、填空题（共6小题）.9．若关于x的方程2x2+4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是．10．已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：25，则△ABC与△DEF的周长比为．11．一个不透明布袋里装有1个白球、2个黑球、3个红球，它们除颜色外均相同．从中任意摸出一个球，摸出的球是红球的概率为．12．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地．设原正方形空地的边长为xm，则根据题意所列方程是．13．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则cos∠ABC的值为．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为．三、解答题（共10小题，共78分）15．解方程：x2﹣8x﹣1＝0．16．小华有3张卡片，小明有2张卡片，卡片上数字如图所示，小华和小明分别从自己的卡片中随机抽取一张，请用画树状图（或列表）的方法，求抽取的两张卡片上的数字和为6的概率．17．如图为抛物线y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系上的图象，回答下列问题：（1）关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是；（2）关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集是；（3）若关于x的方程ax2+bx+c＝k有实数根，则k的取值范围是．18．某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行园林绿化工程．2016年投资2000万元，之后投资逐年增加，预计2018年投资2420万元．求这两年投资的年平均增长率．19．如图，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°．求旗杆的高度CD．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin32°＝0.53，cos32°＝0.85，tan32°＝0.62】20．如图，图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B均在格点上，在图①、图②中，只用无刻度的直尺，按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．（1）在图①中以线段AB为腰画一个等腰直角三角形ABC，并写出△ABC的面积．（2）在图②中以线段AB为边画一个△ABE，使∠BAE＝90°，△ABE面积为．21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．若∠BPC＝∠BAC，求sin∠BPC．22．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx经过点A（2，4）和点B（6，0）．（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式．（2）直接写出它的开口方向、顶点坐标．（3）点（x1，y1）、（x2，y2）均在此抛物线上，若x1＞x2＞4，则y1y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．23．如图①，在等边△ABC中，AB＝6，动点P从点A出发，沿AB边以每秒1个单位的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿着B→C→A方向运动，连结PQ，设点P运动的时间为t秒．（1）用含t的代数式表示线段QC的长．（2）当PQ⊥AC时，求t的值．（3）若△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（4）如图②，当点Q在C、A之间时，连结PC，△ABC被分割成△APQ、△PCQ、△PBC，当其中的某两个三角形面积相等时，直接写出t的值．24．已知函数y＝（k为常数）．（1）当k＝﹣2时，①写出此函数的表达式．②求此函数图象与x轴的交点的坐标．③当函数y的值随x的增大而减小时，自变量x的取值范围为．（2）若已知函数经过点（1，2），求k的值．（3）在平面直角坐标系中，设函数与y轴的交点为点C，当点C与原点的距离不大于5时，直接写出k的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．一元二次方程3x2﹣2＝4x可化成一般形式为（）A．3x2﹣4x+2＝0B．3x2﹣4x﹣2＝0C．3x2+4x+2＝0D．3x2+4x﹣2＝0解：方程整理得：3x2﹣4x﹣2＝0．故选：B．2．下列事件是随机事件的是（）A．只买一张彩票，就中了大奖B．长春市某天的最低气温为﹣150℃C．口袋中装的全是黑球，从中摸出一个球是黑球D．抛掷8枚硬币，结果是3个正面朝上与6个反面朝上解：A、只买一张彩票，就中了大奖，是随机事件；B、长春市某天的最低气温为﹣150℃，是不可能事件；C、口袋中装的全是黑球，从中摸出一个球是黑球，是必然事件；D、抛掷8枚硬币，结果是3个正面朝上与6个反面朝上，是不可能事件；故选：A．3．抛物线y＝2x2﹣4x+1的对称轴是直线（）A．x＝2B．x＝1C．D．x＝﹣1解：∵y＝2x2﹣4x+1＝2（x2﹣2x+1）﹣2+1＝2（x﹣1）2﹣1，∴抛物线y＝2x2﹣4x+1的对称轴是直线x＝1．故选：B．4．式子2cos30°﹣tan45°的值是（）A．1﹣B．0C．﹣1D．﹣解：2cos30°﹣tan45°＝2×﹣1＝﹣1，故选：C．5．△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF的周长为（）A．4.5B．9C．10D．12解：∵点D、E、F分别是三边的中点，∴DE、EF、DF为△ABC的中位线，∴DE＝AB＝×7＝，DF＝AC＝×5＝，EF＝BC＝×6＝3，∴△DEF的周长＝++3＝9，故选：B．6．根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）的根的个数是（）x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2+bx+c0.020.010.020.04 A．1或2B．1C．2D．0解：由表格中的对应值可得出，抛物线的最小值为0.01，∴抛物线与x轴没有交点，∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）没有实数根，故选：D．7．在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．解：三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6．A、＝＝，对应边＝＝≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；B、＝，对应边＝＝≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；C、＝＝，对应边＝＝≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；D、＝＝，对应边＝＝＝，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；故选：D．8．在平面直角坐标系中，若函数y＝（k﹣2）x2﹣2kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，则下列各数中可能的k值为（）A．﹣1B．0C．1D．2解：∵函数y＝（k﹣2）x2﹣2kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，∴，解得k＞0且k≠2，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．若关于x的方程2x2+4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是2．解：因为关于x的方程2x2+4x+k＝0有两个相等的实数根，所以△＝b2﹣4ac＝0，即42﹣4×2×k＝0，解这个方程得k＝2．10．已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：25，则△ABC与△DEF的周长比为2：5．解：∵△ABC与△DEF相似且面积比为4：25，∴△ABC与△DEF的相似比为＝，∴△ABC与△DEF的周长比为，即2：5．故答案是：2：5．11．一个不透明布袋里装有1个白球、2个黑球、3个红球，它们除颜色外均相同．从中任意摸出一个球，摸出的球是红球的概率为．解：1个白球、2个黑球、3个红球一共是1+2+3＝6（个），从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是3÷6＝．故答案为．12．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地．设原正方形空地的边长为xm，则根据题意所列方程是（x﹣3）（x﹣2）＝20．解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣3）（x﹣2）＝20，故答案为：（x﹣3）（x﹣2）＝20．13．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则cos∠ABC的值为．解：如图所示，作AD⊥BC，垂足为D，AD＝3，BD＝4，∴AB＝5，∴cos∠ABC＝，故答案为：．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为15．解：∵D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，∴设D（x，﹣x2+6x），∵顶点C的坐标为（4，3），∴OC＝＝5，∵四边形OABC是菱形，∴BC＝OC＝5，BC∥x轴，∴S△BCD＝×5×（﹣x2+6x﹣3）＝﹣（x﹣3）2+15，∵﹣＜0，∴S△BCD有最大值，最大值为15，故答案为15．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．解方程：x2﹣8x﹣1＝0．解：x2﹣8x﹣1＝0，x2﹣8x＝1，x2﹣8x+16＝1+16，（x﹣4）2＝17，x﹣4＝±，．16．小华有3张卡片，小明有2张卡片，卡片上数字如图所示，小华和小明分别从自己的卡片中随机抽取一张，请用画树状图（或列表）的方法，求抽取的两张卡片上的数字和为6的概率．解：画树状图如下：由树状图可知共有6种等可能结果，其中数字之和为6的有2种，则抽取的两张卡片上的数字和为6的概率为．17．如图为抛物线y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系上的图象，回答下列问题：（1）关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x＝0或x＝2；（2）关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集是0＜x＜2；（3）若关于x的方程ax2+bx+c＝k有实数根，则k的取值范围是k≥﹣1．解：（1）∵抛物线与x轴的两个交点坐标为（0，0）和（2，0），∴方程ax2+bx+c＝0的解为x＝0或x＝2，故答案为x＝0或x＝2；（2）由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0解集为0＜x＜2，故答案为0＜x＜2；（3）关于x的方程ax2+bx+c＝k有实数根，相当于抛物线与y＝k有一个或两个不同的交点，∴k≥﹣1，故答案为k≥﹣1．18．某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行园林绿化工程．2016年投资2000万元，之后投资逐年增加，预计2018年投资2420万元．求这两年投资的年平均增长率．解：设这两年投资的年平均增长率为x，根据题意得：2000（1+x）2＝2420，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），答：这两年投资的平均年增长率为10%．19．如图，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°．求旗杆的高度CD．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin32°＝0.53，cos32°＝0.85，tan32°＝0.62】解：由题意得，BE⊥CD于E，BE＝AC＝22米，∠DBE＝32°，在Rt△DBE中，DE＝BE•tan∠DBE＝22×0.62≈13.64（米），CD＝CE+DE＝1.5+13.64≈15.1（米），答：旗杆的高CD约为15.1米．20．如图，图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B均在格点上，在图①、图②中，只用无刻度的直尺，按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．（1）在图①中以线段AB为腰画一个等腰直角三角形ABC，并写出△ABC的面积．（2）在图②中以线段AB为边画一个△ABE，使∠BAE＝90°，△ABE面积为．解：（1）如图①中，△ABC即为所求作．S△ABC＝××＝．（2）如图②中，△ABE即为所求作．21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．若∠BPC＝∠BAC，求sin∠BPC．解：作AD⊥BC于点D，如右图所示，∵AB＝AC＝5，BC＝8，∴BD＝CD＝4，∠BAD＝∠BAC，∵∠ADB＝90°，∴sin∠BAD＝，又∵∠BPC＝∠BAC，∴∠BPC＝∠BAD，∴sin∠BPC＝．22．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx经过点A（2，4）和点B（6，0）．（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式．（2）直接写出它的开口方向、顶点坐标．（3）点（x1，y1）、（x2，y2）均在此抛物线上，若x1＞x2＞4，则y1＜y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx经过点A（2，4）和点B（6，0），∴解得∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为（2）因为，该抛物线开口向下．顶点坐标为（3，）．（3）∵x1＞x2＞4，对称轴为x＝3，a＝﹣∴y1＜y2故答案为：＜．23．如图①，在等边△ABC中，AB＝6，动点P从点A出发，沿AB边以每秒1个单位的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿着B→C→A方向运动，连结PQ，设点P运动的时间为t秒．（1）用含t的代数式表示线段QC的长．（2）当PQ⊥AC时，求t的值．（3）若△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（4）如图②，当点Q在C、A之间时，连结PC，△ABC被分割成△APQ、△PCQ、△PBC，当其中的某两个三角形面积相等时，直接写出t的值．解：（1）由题意得，点Q的运动路程为2t，当0≤t≤3时，QC＝6﹣2t，当3＜t≤6时，QC＝2t﹣6；（2）∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，当PQ⊥AC时，∠QPA＝30°，∴AQ＝AP，即t＝2×（12﹣2t），解得，t＝；（3）作QH⊥AB于H，如图①，在Rt△QBH中，QH＝BQ•sin B＝t，则S＝×PB×QH＝×（6﹣t）×t＝﹣t2+3t；如图②，在Rt△QAH中，QH＝AQ•sin A＝×（12﹣2t）＝6﹣t，则S＝×PB×QH＝×（6﹣t）×（6﹣t）＝（6﹣t）2；（4）当点Q为AC的中点时，△APQ的面积＝△PCQ的面积，即12﹣2t＝3，解得，t＝，如图①，作CE⊥AB于E，则CE＝AC•sin A＝×6＝3，∴△ABC的面积＝×6×3＝9，＝，∴△BPC的面积＝9﹣t，∴△APC的面积＝t，＝，∴△APQ的面积＝3t﹣t2，∴△PCQ的面积＝t2﹣t，当△APQ的面积＝△PCB的面积时，9﹣t＝3t﹣t2，整理得，t2﹣t+4＝0，△＝1﹣16＝﹣15＜0，方程无解，当△CPQ的面积＝△PCB的面积时，t2﹣t＝9﹣t，解得，t1＝3，t2＝﹣3（舍去），综上所述，在△APQ、△PCQ、△PBC中，其中的某两个三角形面积相等时，t＝或t ＝3．24．已知函数y＝（k为常数）．（1）当k＝﹣2时，①写出此函数的表达式．②求此函数图象与x轴的交点的坐标．③当函数y的值随x的增大而减小时，自变量x的取值范围为﹣2＜x＜2．（2）若已知函数经过点（1，2），求k的值．（3）在平面直角坐标系中，设函数与y轴的交点为点C，当点C与原点的距离不大于5时，直接写出k的取值范围．解：（1）如图1中，当k＝﹣2时，函数图像如图所示：①y＝．②观察图像可知，函数与x轴的交点为（﹣2，0）或（2，0）．③观察图像可知，函数y的值随x的增大而减小时，自变量x的取值范围为﹣2＜x＜2．故答案为：﹣2＜x＜2．（2）∵函数经过点（1，2），∴﹣1+2k﹣k2＝2或1﹣2k+k2＝2，解得，k＝1±．（3）当k≤0时，k2＝5，解得k＝﹣或（舍弃），由题意，当﹣≤k≤0时，点C与原点的距离不大于5．当k＞0时，k2＝5，解得k＝或﹣（舍弃），由题意，当0＜k≤时，点C与原点的距离不大于5．综上所述，满足条件的k的值为﹣≤k≤．。