圆锥曲线测试卷

圆锥曲线章末测试(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求)1．已知A (0，－5)，B (0，5)，|P A |－|PB |＝2a (a ＞0)，当a ＝3和5时，点P 的轨迹为( )A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和两条射线C ．双曲线的一支和一条直线D ．双曲线的一支和一条射线解析：当2a ＜|AB |时，表示双曲线的一支；当2a ＝|AB |时，表示一条射线． 答案：D2．抛物线y ＝4x 2的准线方程是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．y ＝116D ．y ＝－116解析：由抛物线方程x 2＝14y ，可知抛物线的准线方程是y ＝－116.答案：D3．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＞3B ．a ＜－2C ．a ＞3或a ＜－2D ．a ＞3或－6＜a ＜－2答案：D4．已知双曲线kx 2－y 2＝1的一条渐近线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则双曲线的离心率是( )A.52B.32C. 3D.5解析：由题意知，渐近线方程为kx ±y ＝0，所以k ＝14，所以e ＝52.答案：A5．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 24＝1解析：由x 2＋y 2－2x －15＝0，知r ＝4＝2a ⇒a ＝2. 又e ＝c a ＝12，c ＝1，b ＝3，椭圆方程为x 24＋y 23＝1.答案：A6．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为( )A ．1 B.2 C ．2D ．22解析：设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴的端点，所以S ＝12×2c ×b ＝bc ＝1≤b 2＋c 22＝a 22.所以a 2≥2.所以a ≥ 2.所以长轴长2a ≥22，故选D. 答案：D7．已知点P 是双曲线x 29－y 216＝1右支上的一点，点M ，N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案：D8．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m ＞1B ．m ≥1或0＜m ＜1C ．m ≥1且m ≠5D ．0＜m ＜5且m ≠1 解析：直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，只需该点落在椭圆内或椭圆上，所以025＋1m ≤1，解得m ≥1.又m ≠5，故选C.答案：C9．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋18＝0上的等轴双曲线的方程为( )A ．x 2－y 2＝6B ．x 2－y 2＝－6C ．x 2－y 2＝18D ．x 2－y 2＝－18解析：依据题意可知双曲线的一个焦点为(－6，0)，又因为双曲线为等轴双曲线，所以2a 2＝36，a 2＝18，所以双曲线的方程为x 2－y 2＝18.故选C.答案：C10．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，则双曲线的方程是( )A.x 212－y 24＝1 B.x 24－y 212＝1 C ．－x 212＋y 24＝1D ．－x 24＋y 212＝1解析：因为椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45，所以双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2，所以c ＝4，ca ＝2，所以a ＝2，所以a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝12.所以双曲线方程为y 24－x 212＝1.答案：C11．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |等于( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16解析：由抛物线方程y 2＝8x ，可得准线l ：x ＝－2，焦点F (2，0)，设点A (－2，n )， 所以－3＝n －0－2－2，所以n ＝4 3.所以P 点纵坐标为4 3. 由(43)2＝8x ，得x ＝6， 所以P 点坐标为(6，43)，所以|PF |＝|P A |＝|6－(－2)|＝8，故选B. 答案：B12．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交抛物线C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303B ．6C ．12D ．73答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪x 24＋y 216＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝2x }，则A ∩B 的子集的个数是________．解析：因为集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪x 24＋y 216＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝2x }，且(0，1)在椭圆内，所以两曲线有两个交点，所以A ∩B 有两个元素，所以A ∩B 的子集的个数是22＝4. 答案：414．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝________．答案：21015．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．解析：设椭圆的长半轴为a ， 由2a ＝12知a ＝6， 又e ＝c a ＝32，故c ＝33，所以b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9. 所以椭圆G 的标准方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝116．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：由直线方程y ＝3(x ＋c )⇒直线与x 轴的夹角为π3，且过点F 1(－c ，0)，因为∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，且三角形内角和为π，所以∠MF 2F 1<π3，所以∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1＝π3，所以∠MF 2F 1＝π6，所以∠F 1MF 2＝π2，所以F 1M ⊥F 2M ，所以在Rt △F 1MF 2中，F 1F 2＝2c ，F 1M ＝c ，F 2M ＝3c ， 所以由椭圆的定义可得2a ＝c ＋3c ， 所以c a ＝21＋3＝3－1.答案：3－1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)椭圆的两个焦点的坐标分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，且椭圆经过点⎝⎛⎭⎫52，－32.(1)求椭圆标准方程；(2)求椭圆长轴长、短轴长、离心率．解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则2a ＝⎝⎛⎭⎫52＋22＋⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52－22＋⎝⎛⎭⎫－322＝ 210，即a ＝10，又因为c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝6， 故椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.(2)由(1)得：椭圆的长轴长为210，短轴长为26，离心率e ＝210＝105.18．(本小题满分12分)设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A ，B .求双曲线C 的离心率e 的取值范围．解：由双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点，知方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1，有两个不同的实数解． 消去y 并整理，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2（1－a 2）＞0.解得0＜a ＜2且a ≠1.所以双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1. 因为0＜a ＜2且a ≠1，所以e ＞62且e ≠ 2. 故离心率e 的取值范围为⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)． 19．(本小题满分12分)已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积．解：(1)由已知得c ＝22，c a ＝63.解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4. 所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)， AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4；因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB .所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2. 所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3，2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.20．(本小题满分12分)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，O 为坐标原点，点P ⎝⎛⎭⎫－1，22在椭圆上，且PF 1→·F 1F 2→＝0，⊙O 相切，并且与椭圆交于不同的两点A ，B .(1)求椭圆的标准方程；(2)当OA →·OB →＝23时，求k 的值．解：(1)依题意，可知PF 1⊥F 1F 2，所以c ＝1. 把点P 的坐标代入椭圆方程，得1a 2＋12b 2＝1，又因为a 2＝b 2＋c 2， 解得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝1.所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O ：x 2＋y 2＝1相切，则|m |k 2＋1＝1， 即m 2＝k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.因为直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2＝2k 21＋2k 2，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝1－k 21＋2k 2，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1＋k 21＋2k 2＝23，所以k ＝±1.21．(本小题满分12分)如图所示，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2＝－2py (p ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线C 的方程；(2)抛物线上一动点P 从点A 到点B 运动时，求△ABP 面积的最大值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py得x 2＋2pkx －4p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.因为OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4)＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2. 所以直线l 的方程为y ＝2x －2， 抛物线C 的方程为x 2＝－2y .(2)设点P (x 0，y 0)，依题意，抛物线过点P 的切线与直线l 平行时，△ABP 的面积最大．设切线方程是y ＝2x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋t ，x 2＝－2y 得x 2＋4x ＋2t ＝0，所以Δ＝42－4×2t ＝0，所以t ＝2. 此时，点P 到直线l 的距离为两平行线间的距离，d ＝|2＋2|5＝455.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y 得x 2＋4x －4＝0，|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1·x 2＝ 1＋22×（－4）2－4×（－4）＝410. 所以△ABP 面积的最大值为12×410×455＝8 2.22．(本小题满分12分)过抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，当点A 的纵坐标为1时，|AF |＝2.(1)求抛物线C 的方程．(2)若直线l 的斜率为2，问抛物线C 上是否存在一点M ，使得MA ⊥MB ？并说明理由． 解：(1)由抛物线的定义得|AF |等于点A 到准线y ＝－p 2的距离，所以1＋p2＝2，所以p ＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)抛物线C 的焦点为F (0，1)，直线l 的方程y ＝2x ＋1， 设点A 、B 、M 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫x 1，x 214、⎝⎛⎭⎫x 2，x 224、⎝⎛⎭⎫x 0，x 204，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝2x ＋1，消去y 得：x 2＝4(2x ＋1)，即x 2－8x －4＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝－4. 因为MA ⊥MB ，所以MA →·MB →＝0， 所以(x 1－x 0)(x 2－x 0)＋⎝⎛⎭⎫x 214－x 204⎝⎛⎭⎫x 224－x 204＝0，所以(x 1－x 0)(x 2－x 0)＋116(x 1－x 0)(x 2－x 0)(x 1＋x 0)(x 2＋x 0)＝0.因为M 不与A ，B 重合，所以(x 1－x 0)(x 2－x 0)≠0， 所以1＋116(x 1＋x 0)(x 2＋x 0)＝0，x 1x 2＋(x 1＋x 2)x 0＋x 20＋16＝0，所以x 20＋8x 0＋12＝0，因为Δ＝64－48＞0，所以方程x 20＋8x 0＋12＝0有解，即抛物线C 上存在一点M ，使得MA⊥MB.。