圆锥曲线测试卷

圆锥曲线章末测试

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求)

1．已知A (0，－5)，B (0，5)，|P A |－|PB |＝2a (a ＞0)，当a ＝3和5时，点P 的轨迹为( )

A ．双曲线和一条直线

B ．双曲线和两条射线

C ．双曲线的一支和一条直线

D ．双曲线的一支和一条射线

解析：当2a ＜|AB |时，表示双曲线的一支；当2a ＝|AB |时，表示一条射线． 答案：D

2．抛物线y ＝4x 2的准线方程是( )

A ．x ＝1

B ．x ＝－1

C ．y ＝1

16

D ．y ＝－1

16

解析：由抛物线方程x 2＝14y ，可知抛物线的准线方程是y ＝－1

16.

答案：D

3．如果方程x 2a 2＋y 2

a ＋6

＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )

A ．a ＞3

B ．a ＜－2

C ．a ＞3或a ＜－2

D ．a ＞3或－6＜a ＜－2

答案：D

4．已知双曲线kx 2－y 2＝1的一条渐近线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则双曲线的离心率是( )

A.5

2

B.32

C. 3

D.5

解析：由题意知，渐近线方程为kx ±y ＝0，所以k ＝14，所以e ＝5

2.

答案：A

5．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为1

2，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的

半径，则椭圆的标准方程是( )

A.x 24＋y 2

3＝1 B.x 216＋y 2

12＝1 C.x 24

＋y 2

＝1 D.x 216＋y 2

4

＝1

解析：由x 2＋y 2－2x －15＝0，知r ＝4＝2a ⇒a ＝2. 又e ＝c a ＝12，c ＝1，b ＝3，椭圆方程为x 24＋y 2

3＝1.

答案：A

6．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为( )

A ．1 B.2 C ．2

D ．22

解析：设椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，则三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆

短轴的端点，

所以S ＝1

2×2c ×b ＝bc ＝1≤b 2＋c 22＝a 22

.

所以a 2≥2.所以a ≥ 2.所以长轴长2a ≥22，故选D. 答案：D

7．已知点P 是双曲线x 29－y 2

16＝1右支上的一点，点M ，N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2

＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

答案：D

8．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2

m

＝1总有公共点，则m 的取值范围是( )

A ．m ＞1

B ．m ≥1或0＜m ＜1

C ．m ≥1且m ≠5

D ．0＜m ＜5且m ≠1 解析：直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，只需该点落在椭圆内或椭圆上，所以025＋1

m ≤1，

解得m ≥1.又m ≠5，故选C.

答案：C

9．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋18＝0上的等轴双曲线的方程为( )

A ．x 2－y 2＝6

B ．x 2－y 2＝－6

C ．x 2－y 2＝18

D ．x 2－y 2＝－18

解析：依据题意可知双曲线的一个焦点为(－6，0)，又因为双曲线为等轴双曲线，所以2a 2＝36，a 2＝18，所以双曲线的方程为x 2－y 2＝18.故选C.

答案：C

10．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为14

5

，则双曲线的方程是( )

A.x 212－y 2

4

＝1 B.x 24－y 2

12＝1 C ．－x 212＋y 2

4

＝1

D ．－x 24＋y 2

12

＝1

解析：因为椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝4

5，

所以双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝10

5＝2，

所以c ＝4，c

a ＝2，所以a ＝2，所以a 2＝4，

b 2＝

c 2－a 2＝12.

所以双曲线方程为y 24－x 2

12＝1.

答案：C

11．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |等于( )

A ．4 3

B ．8

C ．8 3

D ．16

解析：由抛物线方程y 2＝8x ，可得准线l ：x ＝－2，焦点F (2，0)，设点A (－2，n )， 所以－3＝n －0

－2－2，所以n ＝4 3.

所以P 点纵坐标为4 3. 由(43)2＝8x ，得x ＝6， 所以P 点坐标为(6，43)，

所以|PF |＝|P A |＝|6－(－2)|＝8，故选B. 答案：B

12．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交抛物线C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )

A.

303

B ．6

C ．12

D ．73

答案：C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭

⎬⎫（x ，y ）⎪⎪x 24＋y 216＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝2x }，则A ∩B 的子集的个数是________．

解析：因为集合A ＝⎩⎨⎧⎭

⎬⎫（x ，y ）⎪⎪x 24＋y 216＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝2x }，且(0，1)在椭圆内，所